大学数学 （二）
脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中
§ 4 中的直线与平面方程3R
一,平面及其方程主题,1,空间平面在直角坐标系的表示法。
2,空间平面间的关系。
1、平面的点法式方程几何上，任给空间中某一点，及某一方向，
都可且只可做一个过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系,
M0
M
x
z
y 任取平面?上一点 M(x,y,z).
O
故由已知,n?M0M，
设：平面?过定点 M0(x0,y0,z0) 且垂直于方向 n=(A,B,C).
n
n? M0M=0,(4.1)
(A,B,C)?(x?x0,y?y0,z?z0)
= A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)
= 0.
即平面? 上任意点 M(x,y,z) 都满足方程 (4.2).
反之 若 (x,y,z) 满足 (4.2)，则由 (4.2).
(4.2)
n 与 M0M 垂直,即 M 在平面?上,
我们称垂直于平面? 的任何非零向量为?的法方向或法向,因此,n 即为?之一个法向,
(4.2) 依赖于法方向 n 及定点 M(x0,y0,z0),故 (4.2)
称为平面?的法点式方程,
A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0 法点式方程解,由法点式，得所求平面方程为
2(x?1)+3(y?3)?4(z+2)=0,
2x+3y?4z?19=0.
例 4.1 求过点 M0(1,3,?2) 且以 n=(2,3,?4) 为法向的平面方程,
即例 4.2,求过点 M1(2,?1,4),M2(?1,3,?2) 和
M3(0,2,3) 的平面方程,
O
x
y
z
M1
M2
M3
从图知,M1,M2,M3 不共线,即三点不在同一直线故可唯一确定一平面,如何验证？ 如何求？
解,由于
3121 MMMM?
=(?3,4,?6)?(?2,3,?1)
132
643
kji
kji 32 4312 6313 64
kji 914 =(14,9,?1)?0.
故 M1,M2,M3 不共线,
为所求平面之法向,
3121 MMMMn且故得平面方程为：
=14(x?2)+9(y+1)?(z?4)
= 14x+ 9 y? z?15= 0,
或
=14(x+1)+9(y? 3)?( z+2)
= 14x+ 9 y－ z?15 = 0.
(x?x1,y?y1,z?z1)?n
(x?x2,y?y2,z?z2)?n
一般地，设平面?过 M1,M2,M3 三点,M1,M2,
M3 不共线,即
.03121 MMMM
则得平面方程为：
,0)( 31211 MMMMMM
即
,0),,( 111
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
kji
.0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx 平面的三点式方程,
（ 4.3)
副产品,(1)()=0,?,?共面,
称为?,?,? 的混合积,
(2) 三点共线
0
3121 MMMM
或
03221 MMMM
或
.01332 MMMM
() = ()?
2 平面的一般方程对于二维空间,Ax+By+D=0?A
2+B2?0
平面直线,
对于三维空间,同样
Ax+By+Cz+D=0?A
2+B2+C2?0
空间平面,
故 Ax+ By+ Cz+ D = 0,
A2+B2+C2?0 平面一般方程,
事实上,任何平面都可用法点式表示,
因而为 x,y,z的三元一次方程 ;
反之,任何关于 x,y,z的三元一次方程
Ax+ By+ Cz+ D = 0,
取某一点 M0(x0,y0,z0)满足上述方程,两式相减
A(x?x0)+B(y?y0) +C(z?z0) =0,
故上述方程表示过 M0 且垂直于 (A,B,C) 的平面的法点式方程,即 Ax+By+Cz+D=0 表示一个平面，
且以 (A,B,C) 为法向,
,Ax+By+Cz+D=0 之特例,
(i) 平面过原点 D=0,
(ii)? // x轴 A=0,
// y轴 B=0,
// z轴 C=0,
(iii) A=B=0 // x轴,? // y轴,
// xy 平面,
B=C=0 //yz 平面,
C=A=0 //zx 平面,
(iv) A=B=D=0 Cz=0 z=0 xy平面,
例 4.3,求过 y 轴和点 M(1,1,1) 的平面方程,
解,设平面方程为 Ax+Cz+D=0.
由于过 y 轴,故过原点,? D=0,
且因平面过点 M(1,1,1),得
A?1+C?1=0? A=? C.
平面方程为 Ax?Az=0.
A? 0,平面方程为 x?z =0.
例 4.4 设平面? 与 x,y,z 轴分别交于 P (p,0,0),
Q(0,q,0),R (0,0,r),求? 的方程,其中 p,
q,r 非零,
解,设平面?为方程 A x + B y + C z + D = 0.
则 A p+D = B q + D = C r + D = 0.
,
p
DA,
g
DB,
r
DC
平面方程为
.0 Dz
r
Dy
g
Dx
p
D
.1
r
z
g
y
p
x
在 x 轴上截距?在 y 轴上截距?在 z 轴上截距截距式方程由于 D?0,上式化简得
3 两平面的夹角我们目前已对平面本身的解析关系描述得较清楚了,现在讨论两平面间的关系,
一般说来，两平面的关系有以下几种两平面平行不重合,
两平面平行重合,
两平面不平行相交
两平面法向一致但无交点
两法向一致且有交点两平面垂直相交但不垂直
两法向垂直
两法向不共线也不垂直桥梁 法向夹角
1,A1x+B1y+C1z+D1=0,
2,A2x+B2y+C2z+D2=0.
如何求其间夹角?？
分别为? 1,? 2 的法向,故
cos
||||
||
21
21
nn
nn,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBACBA
CCBBAA
20
定义 4.1两平面? 1,? 2 的法方向 n1,n2的夹角称为平面?1和?2 的夹角 (通常指锐角 ).
由平面方程，知 n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2)
A1A2+B1B2+C1C2=0;
两平面平行
0
222
111?
CBA
CBA
kji
kBABAjCACAiCBCB )()()( 122112211221
=
=
),,( 122112211221 BABACACACBCB= = =
A1:A2=B1:B2=C1:C2.
两平面垂直 n1?n2=0
n1?n2=0 A1:A2=B1,B2=C1,C2,
0 0 0
即平行不重合
重合
A1:A2=B1:B2=C1:C2? D1:D2;
A1:A2=B1:B2=C1:C2= D1:D2,
特殊情形：
例 4.5设平面? 过点 M1(1,0,0),M2(1,1,1) 且与平面?1,x+y+z=0 垂直,求平面?,
而?过点 M1,M2,故平面? // M1M2,
设?1 法向 n1=(1,1,1).
因此，平面n1?M1M2,?
n1?M1
M2?
即?的法向 n =n1?M1M2,
则 平面? // n1,
解,
110
111
kji
kj ).1,1,0(
故得平面?方程为
.0)0()0()1(0 zyx
即,0 zy
)01,01,11()1,1,1(n
5 平面外一点到平面的距离解,如图
M1
NM0
设平面?,Ax+By+Cz+D=0,则平面上点 M1(x1,y1,z1)满足 A1x+B1y+C1z+D1=0.
由于 M0N 为之法向,故 M0N // (A,B,C).
n
|| 0 NMd? |c o s||| 10 MM即
|| 0 NMd? |c o s||| 10 MM
||||
||||
10
10
10 nMM
nMMMM
||
|| 10
n
nMM
,|)()()(|
222
00101
CBA
zzCyyBxxA
.||
222
000
CBA
DCzByAxd
即点到平面的距离公式例 4.6 求 M0(x0,y0,z0) 到 xy 平面的距离,
解,xy平面,z=0.
222
000
100
|0100|
zyxd,|| 0z?
故二,空间直线及其关系
1 空间直线的一般方程空间上任何两个不平行的平面的交点在一条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程组表示
,01111 DzCyBxA
,02222 DzCyBxA
直线的一般方程其中,021 nn
(交面式 )
,01111 DzCyBxA
.0)()()( 12222212 DDzCCyBBxAA
上述直线也等价于几何上,一条直线可看作任意两个过该直线且不平行的平面的交线,即直线方程的表达式不唯一,
2 直线的对称式方程和参数方程若给一定点及一向量，过此定点平行于已知向量可唯一确定一条直线,
M (x,y,z) 为直线 l 上任意一点,
则 sMM?//
0
设直线 l 过定点 M0(x0,y0,z0),平行已知向量
(非零 ) s＝ (m,n,p),设
.0 0 sMM
s?
M0
M
l
nyymxx,)(:)( 00 pzz,)( 0
p
zz
n
yy
m
xx 000 对称式方程 (4.4)
反过来，任一点 M(x,y,z) 满足 (4.4)，则 sMM //
0
因 M0 在 l 上，故 M 也在 l上，故 (4.4) 即为直线
l 的方程,s＝ (m,n,p) 称为 l 的方向,
在 (4.4) 式中，令
.000 tp zzn yym xx
则
,0 mtxx
,0 ntyy
,0 ptzz
t为参数,
直线的参数方程约定：
0m,,00
0 p
zz
n
yyxx ; // 平面yzl
0n,,00
0 p
zz
m
xxyy ; // 平面xzl
0p,,00
0 n
yy
m
xxzz,// 平面xzl
0 nm,,00 yyxx ; // 轴zl?
0 pn,,00 zzyy ; // 轴xl?
0 mp,,zz 00 xx,// 轴yl?
例 4.7 求过点 A(1,1,1),B(1,2,3) 的直线 l
的对称式方程、参数方程及一般方程,
解,l 的方向 ).2,1,0()13,12,11( ABs
则得 l 的对称式方程参数方程,1?x
,1 ty;21 tz;2 11 10 1 zyx
上面方程组中,x=1为一平面，后面两方程去掉参数 t 得
,2 11 zy
故得一般方程
,1?x
.012 zy
例 4.8 用对称方程及参数方程表示直线
0,1 zyxl：
0.432 zyx
解,由两种形式直线方程表达式知，只需求得
l 上一定点和 l 的方向即可,
21 nns )3,1,2()1,1,1(
312
111
kji
kji 12 1132 1131 11
).3,1,4(
现求一定点,将联立方程组
0,1 zyx
0432 zyx
相加,0.543 zx
令 z = 1得 x =?3,y=1,
得一定点 (?3,1,1),故得对称式
1
1
4
3
yx,
3
1
z
即而得参数方程：
x =?3 + 4t,
y = 1? t,
z = 1? 3t,
t 为参数,
3 两直线的夹角
||||
||c o s
21
21
ss
ss
.||c o s
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
pnmpnm
ppnnmm
两直线 l1,l2 的方向 s1,s2 之间夹角称为该两直线的夹角 (通常指锐角 ),易知令 s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2).
特例：
l1 // l2
.
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
l1? l2,0212121 ppnnmm
s1? s2=0
s1,s2线性相关,
s1? s2=0
4 直线与平面的夹角我们称直线 l 与它所在平面? 上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角 (通常要求 ).
20
l
n
设直线 l,
n
yy
m
xx 00,0
p
zz ),,( pnms
平面?,,0 DCzByAx ).,,( CBAn
.2 2 或
).2c o s (),c o s (
sn
.||s i n
222222 pnmCBA
CpBnAm
ln
则 n 与 s 的夹角为例 4.8 求过点 M0(1,2,?4) 且与平面 x?2y+z?4=0
垂直的直线方程,
则 直线方程为：
2
2
1
1
yx,
1
4 z
解,取 s = n = (1,?2,1).
例 4.10 求直线
2
4
1
3
1
2 zyx 与平面
062 zyx 的交点,
解,令则,1 2 tx
x=2+t,y=3+t,z=4+2t.
代入平面方程
2(2+t)+3+t+4+2t?6=0.
5t+5=0,
得 x=1,y=2,z=2.
t=?1,
例 4.11 求过点 M0(3,3,0) 且与直线
l1:
211
zyx 垂直相交的直线 l 的方程,
解,
M0
M1
l1 设所求直线 l 与 l1 的交点为 M1(x1,y1,z1),则
,0)0(2)3(1)3(1 111 zyx
.062 111 zyx
M0M1? s1 = (1,1,2).
令
，则tx?11
.2,,111 tztytx
t + t + 2?2t? 6 = 0.
t =1,
得 (x1,y1,z1)=(1,1,2).
故直线方程为
.22 32 3 zyx
s 直线方向,10 MM? )02,31,31( ).2,2,2(
例 4.12 求直线 l1:
x+y?1=0,
y+z+1=0
在平面?,2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程,
解,直线 l1 的方向
110
0111
kji
s?
kji =(1,?1,1).
再求 l1 与?的交点 M0(x0,y0,z0),即联立求解
x+y?1=0,
y+z+1=0,
2x+y+2z=0.
消元 x + y?1 = 0,
y+z+1=0,
y+2z+2=0.
x + y?1 = 0,
y+z+1= 0,
3z+3= 0.
M0
l1
n
M1
得 (x0,y0,z0)=(1,0,?1).
M0
l1
n
M1
任取 l1 上 (不在? 上 )一点 M1(x,y,z)=(0,1,?2),
作过 M1 且垂直于? 的直线 l2,
.2 21 12 0 tzyx
设 l2 与? 交点为 M2(x2,y2,z2),则相应参数 t 满足
2?2t +1+t+2(?2+2t )=0
).3 4,34,32(
得交点 M2(x2,y2,z2)
3
1?t
所求直线方程为
,
1
3
4
1
0
3
4
0
1
3
2
1
zyx
即
.1 141 1 zyx
思想：
求直线与? 交点 M0；
求直线上平面?外一点 M1 ；
求过 M1 垂直于? 的直线 l2 ;
求 l2 与?的交点 M2 ；
求过 M0,M2 的投影直线方程,
M0
l1
n
M1
事实上，我们利用了直线的另外一种表达式两点式设 l,过点 M0(x0,y0,z0),M1(x1,y1,z1).
则 l,
.
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
下面我们用平面束来解题设直线 l,A1x+B1y+C1z+D1=L1(x,y,z)=0,?1
A2x+B2y+C2z+D2=L2(x,y,z)=0,?2
令? (?1,?2):
1L1(x,y,z)+?2L2(x,y,z)=0,.02
221 为参数
称? (?1,?2) 为平面束,
1//?2
命题 4.1,平面束? (?1,?2) 为过直线 l 的平面,且 任何过 l 的平面都对应于平面束中某一平面,
证,显然,? (?1,?2) 对 02
221
都表示平面且过 l,现设平面? 为过 l 及 l 外某一点
(x1,y1,z1) 的平面,
令?1,?2 满足：
1L1(x1,y1,z1)+?2L2(x1,y1,z1)=0,
则平面束中对应于方程
L2(x1,y1,z1)L1(x,y,z)? L1(x1,y1,z1)L2(x,y,z)=0.
例 4.12新解例 4.12 求直线 l,x+y?1=0,
y+z+1=0.
在平面?,2x+y+2z=0上的投影直线方程,
l
解,由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直于?的平面?1，即由直线的一般形式 (也称交面式 )求得投影直线,
过 l 的平面束为
，0)1()1( 21 zyyx
,0)( 122211 zyx
.02)(2 2211
.1,21
l
得?1：,0)1(1 zyyx
.02 zx
投影直线为 x?z?2=0,过?1,
2x+y +2z=0,过?.
令?1=1,
即
§ 5 空间曲面和空间曲线在前面，我们已知，空间平面对应于一个三元一次方程,
0 DCzByAx
反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面,
如果平面? 的方程是 (5.0)，其含义是平面
上任意动点 (x,y,z) 都是 (5.0) 的解,而 (5.0) 的每一组解也对应于? 上某一点,
(5.0)
定义 5.1 设空间曲面 S,及三元方程 F(x,y,z)=0,
如果 S 上任一点 M(x,y,z),其坐标 x,y,z 都满足
F(x,y,z)=0,反之,F(x,y,z)=0 的任一解 (x,y,z)
对应的空间点 (x,y,z) 也在 S 上,则称 F(x,y,z)=0
为 S 的方程,而 S 则称为 F(x,y,z)=0 的图形,
一、空间曲面及其方程例 5.1 建立球心在 M0(x0,y0,z0),半径为 R 的球面的方程,
解：
M0 R
Ox y
z
M
根据图形知，球面上任一点 M到球心的距离为 R.
即 |M0M|=R.
设 M点坐标为 (x,y,z),则根据两点间距离计算公式
,)()()( 202020 Rzzyyxx
或,)()()( 22
02020 Rzzyyxx
(5.1)
反之,任取 (x,y,z) 满足 (5.1),则 M(x,y,z) 到 M0
的距离为 R,故 (x,y,z) 在球面上,因此 (5.1) 即为所求球面的方程,
特例,x0=y0=z0=0,则 (5.1) 变为
x 2 + y2 + z 2=R 2,(5.2)
(5.2) 表示中心在原点，半径为 R的球面方程,
解：
x
y
f (y,z)=0
z
例 5.2 设 yz 平面有一已知曲线 C,它的方程为
f (y,z)=0,将曲线绕 z 轴旋转一周，得一曲面,
求此旋转面的方程。
M1
M?d
d1
设旋转面上任一点 M(x,
y,z),于 M 作垂直于 z 轴的平面在 yz 平面上与平面曲线
f (y,z)=0 交于 M1(x1,y1,z1),
与 z 轴交于 M2(0,0,z2),则
x1=0,z1=z2=z,从而 y1 满足
f (y1,z1) = f (y1,z)=0.
M2
由旋转性质
d = d1= |y1|
.)()0()0( 222222 yxzzyx
故,22
1 yxy
故得
.0),( 22 zyxf
反之，若空间点 (x,y,z) 满足 (5.3)，也可推知
(x,y,z) 在旋转面上，即 (5.3) 为所求,
(5.3)
其它情形：平面曲线 f (y,z) 绕 y 轴所成旋转面之方程,
)4.5(.0),( 22 zxyf
平面曲线 f (x,y) 绕 x 轴所成旋转面之方程
.0),( 22 zxxf
几种重要曲面
1,圆锥面设过原点直线 l 绕另一直线 (比如 z 轴 ) 旋转,
旋转而成曲面称为圆锥面,
)20(
称为圆锥面的半顶角,
0
x
y
z
l
其中 l 称为母线,z 轴为中心轴,l 与旋转轴夹角,
0
x
y
z
l
同前例，任取圆锥面上一点 M(x,y,z)
由几何性质
.tg
||
||
2
2
OM
MM
故
.tg||
22
z yx
即得曲面方程,c t g222?yxz
M?M2
M1
过 M 作垂直于 z 轴的平面,则交 z 轴于 M2(0,0,z)，
交 yz平面于 M1.
2,圆柱面两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所形成的曲面称为圆柱面,
如图设直线 l 绕 z 轴旋转,柱面上任意点 M(x,y,z),过 M
作垂直于 z 轴平面交 z 轴于 M1(x1,y1,z1),则 (x1,y1,
z1)=(0,0,z).
x
y
z
0
M
M1
l
,)()0()0( 222 Rzzyx
,222 Ryx即则 |M1M| = 定长 =R.
二、空间曲线及其方程空间曲线：两空间曲面的交线,
其方程可描述为
F1(x,y,z)=0，
F2(x,y,z)=0,(5.6)
交面式方程或一般方程例 5.3 x2+y2=1
x+y+z=2.
表示圆柱面与平面的交线,
另外，和直线一样，我们也可用参数形式表示空间曲线,
x=x(t),
y=y(t),
z=z(t).
yx
z
0
例 5.4 若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速度? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 (其中?,v 都是常数 ),则点 M 构成的图形为螺旋线,试建立其方程,
设时间 t 为参数,
初始时刻 (t = 0),动点在 A(a,0,0) 处，
经时刻 t,动点运动到 M(x,y,z).
z
x
y0
解,
A
M
z
x
y0
A
M
作 M 在 xy 平面的投影,
投影点为 M',其坐标为
(x,y,0).
由题意 z = | MM' | = vt,
= a sin? t.
x = | OM' | cos? t,
y = | OM' | sin? t
参数方程
x = acos? t,
y = asin? t,
z = vt.
M '
在讲直线与平面之关系时,曾介绍过如何求空间直线在某平面上的投影,下面介绍一般的空间曲线在坐标面上的投影,
设空间曲线
F1(x,y,z)=0,
F2(x,y,z)=0,
(5.7)
消去 z,得 H(x,y)=0,(5.8)
曲面 (5.8) 可视为平行于 z 轴的柱面,
C,
C
0
x
y
z
若点 M(x,y,z)满足 (5.7)，
则 (x,y) 满足 (5.8),故 C
上的点均在柱面 (5.8)上,
即 C 是柱面 (5.8)上的一条曲线,故 C 在 xy
平面的投影为
H(x,y) = 0
z = 0 (5.9)
(5.9) 即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程,
投影方程例 5.5 求例 5.4中螺旋线在 xy 平面上的投影,
解,由参数方程，即得 x2+y2=a2 (消去了 z),
故投影方程为
z=0.
x2+y2=a2,
例 5.6 求球面 x2+y2+z2=1,和 x2+(y?1)2+(z?1)2=1
的交线在 xy 面上的投影方程,
解,交线方程为
x2+y2+z2=1
x2+(y?1)2+(z?1)2=1.
z
x
y
投影方程：
x2+2y2?2y=0，
z=0.
两式相减,2y+2z=2,即 z=1?y,代入第一个方程,
x2+y2+(1?y)2=1,
x2+2y2?2y=0.
三、二次曲面下面接着介绍空间二次曲面的典型类型,
一般地，称
A11x2+A22y2+A33z2
+2A12xy+2A23yz+2A31zx+A+A1x+A2y+A3z=0
为三维空间 R3中的二次曲面方程,我们仅讨论几类典型情况,
1,椭球面
12
2
2
2
2
2
czbyax ( a,b,c均大于 0).
易知,|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,为了了解曲面形状，先以平行于 xy 面的平面 z=z0(|z0|≤c)截曲面，得到截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
z=0.
因
,01 2
2
0
c
z 从而当,|| 0 时Cz? 截线是平面
z=z0上一椭圆，
同理，以平面 x=x0(|x0|≤a)和平面 y=y0(|y0|≤b)
截椭球面所得截线与上述情况类似,因此，椭球面的形状如图 z
x
y0
而当 | z0|=c时，截线退缩成一点 (0,0,z0).
若 a=b，
,12
2
2
2
2
2
c
z
a
y
a
x
由旋转曲面的知识知，这个方程表示 xz 面上椭圆
12
2
2
2
c
z
a
x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转椭球面,
若 a=b=c，
方程变为它表示一个球心在原点，半径为 a 的球面,
方程变为 x2+y2+z2=a2,
2,椭圆抛物面
,
22 0
22
z
q
y
p
x
不妨设 p,q 均大于 0,以平行于 xy 面的平面
z=z0(z0>0)截椭圆抛物面，所得截线方程为
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x
.0zz?
椭圆以平行于 xz 面的平面 y=y0 截曲面，截线方程为
,
22
2
0
2
q
yz
p
x
.0yy?
抛物线同理，以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面所得截线是平面 x=x0 上的一条抛物线,
特例：
若 p,q均小于 0，则椭圆抛物面的开口朝下,
若 p= q,方程变为
,22
2
0
2
zpypx 它是由 xz 面上曲线
p
xz
2
2
绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面,
若 p,q均大于 0，则椭圆抛物面的开口朝上,
x
z
y
3,双曲抛物面
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x
z
x
y
4,单叶双曲面
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
.0zz?
椭圆以平行于 xz面的平面 y=y0截曲面,所得截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x
.0yy?
双曲线以平行于 yz 面的平面
x=x0 截曲面，所得截线方程为：
,1 2
2
0
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y
.0yy?
双曲线
5,双叶双曲面
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
.0zz?
双曲线以平行于 xz面的平面 y=y0截曲面,所得截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x
.0yy?
双曲线以平行于 yz 面的平面
x=x0 截曲面，所得截线方程为：
,12
2
0
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y
.0yy?
椭圆
0
z
x
y
小结空间平面空间直线一般形式法点式截距式
(三元一次方程 ) Ax+By+Cz+D=0.
.1 rzqypx
00 MMn
交面式对称式,
参数形式,
两点式,
(一般形式 ),三元一次方程组,
,00 MMs?
p
zz
n
yy
m
xx 000即
x=x0+mt,
y=y0+nt,
z=z0+pt ;
即,010 0 MMMM
.
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
关系直线间夹角：
平面间夹角：
直线与平面间夹角：
直线在平面上的投影,过直线的平面束中的一条垂直于已知平面的平面与已知平面的交线 (交面式 )
点到直线的距离点到平面的距离
||||
|| 0
s
sMMd
Ax+By+Cz+D=0
c o s|||| 10 MMd?
222
000 ||
CBA
DCzByAx
s1,s2间夹角
n,n 间夹角与 s1,n 间夹角互余
d
M
l
sM0
M0?
M1 n
n=(A,B,C)
数量积向量积 平行相交垂直
§ 6 实内积空间欧氏空间一、内积的公理化定义，实内积空间、欧氏空间定义 6.1 设 V是实数域 R上的线性空间,对 V中任两个向量 u,v 确定了一个实数 (u,v),如果 (u,
v) 满足：
(1) 对称性 ( u,v ) = ( v,u );
(2) 线性性 ( ku,v ) = k( v,u );
( u+ v,w ) = ( u,w ) + ( v,w );
(3) 正定性,( u,v )? 0,等号当且仅当 u = 0
(其中 u,v,w? V,k? R).
则称 (u,v) 是 u 与 v 的内积,
定义了内积的线性空间 V 称为实内积空间,
有限维实内积空间称为欧氏空间 (Euclid
space).
例 6.1 定义在 [a,b] 上的实连续函数的全体,
对通常函数加法和数乘运算构成实数域上线性空间 C [a,b].
,d)()(),( b
a
xxgxfgf
验证 (f,g) 是内积。
f(x),g(x)? C (a,b),定义解：
)1( b
a xxfxg d)()(
),( fg?
)2( b
a xxfxgk d)()(
).,( gfk?
设 f,g,h? C [a,b],
),( gf b
a xxgxf d)()(
),( gkf b
a xxgxkf d)()(
),( hgf?
ba xxhxgxhxf d))()()()((
ba ba xxhxgxxhxf d))()(d)()(
).,(),( hghf
ba xxhxgxf d)())()((
(3)
,0d)(·)( ba xxfxf
当且仅当 f(x) = 0时等号成立，
故?
ba dxxgxfgf )()(),( 是 C[a,b] 上的一个内积。
与 n 维欧氏空间 Rn中向量长度定义相同,实内积空间中定义向量 u 长度为
.),(|||| uuu?
长度为 1的向量称为单位向量。
定理 6.1 设 V 是一个实内积空间,则对任意的 u,v,V 和 R,有
(1) || u || = |? |·|| u || ;
(2) ( u? v )? || u ||·|| v || ;
(3) || u+ v ||? || u || + || v ||.
证明与 § 1完全相同。
定义 6.2 称
||||·||||
),(a r c c o s
vu
vu
为实内积空间中非零向量?,? 的夹角。
定义 6.3 实内积空间 V 中两个向量之内积
( u,v )=0,则称 u 与 v 正交,记作 u? v。
同一元素在不同欧氏空间其长度往往是不一样的 。
例 6.2 对二维向量空间 R2中? = (x1,x2),? = (y1,
y2) 令
(?,? ) = x1y1－ 2x2y1－ 2x1y2 + 6x2y2 (*)
容易验证,(*)式是内积，
),(,2)2( 2221 xxx
当?= (1,1)时，,3||||
则有 22 11||||
而用内积
(?,? ) = x1y1 + x2y2,
由于
222121 64 xxxx
.2?
二、标准正交基 度量矩阵对于欧氏空间 V 的一组基?1,?2,…,?n,
如果?1,?2,…,?n 是正交向量组,且每个向量?i ( i = 1,2,…,n )都是单位向量,则称?1,
2,…,?n 是 V 的一组标准正交基 。
||1|| 2
12
0
2 )ds i n( xx
||c o s|| x
容易验证 1,sinx,cosx 是两两正交的，
例 6.3 L(1,sinx,cosx) = {k1 + k2sinx + k3cosx | k1,k2,
k3? k} 按内积
20 d)()(),( xxgxfgf
欧氏空间，
构成一个由于
2
12
0
2 )d1( x,2 ||sin|| x
,
2
12
0
2 )dc o s( xx,
故 1,sinx,cosx 不是单位向量,
,
2
1
将其单位化得
L(1,sinx,cosx) 的一个标准正交基为
,sin
x,c o s
x
对于 n 维欧氏空间 V 中 n 个线性无关的向量仍可以用施密特 (Schmidt)正交化方法将其化成 V 的一组标准正交基 。
设?1,?2,…,?n 是欧氏空间 V 的一组基,
向量?,? 在这组基下的坐标分别为 x = ( x1,
x2,…,xn )T 和 y = ( y1,y2,…,yn )T.
,),,,( 21
1
xx n
n
i
ii
,),,,(
21
1
yy n
n
i
ii
nnxxx2211
nnyyy2211
则有 ),(
.),(
1 1
n
i
n
j
jiji yx
设
,),( ijji a
则
),(
),(
11
n
i
ii
n
i
ii yx
,)( nnijaA
n
i
n
j
ijji ayx
1 1
(5.3).Ayx T?
(5.3)式说明要计算内积 (?,? ),只要算出基向量间的内积,即求出 A = (aij)n× n = ((?i,?j))n× n,
然后通过 (5.3)式计算矩阵乘法即可 。
定义 6.4 设欧氏空间的一组基为?1,?2,…,?n,
A
为欧氏空间 V在基?1,?2,…,?n 下的度量矩阵。
称对称矩阵
nnija )( nnji )),((
显然，当?1,?2,…,?n为 V 的一组标准正交基时，
A＝ E,是一个 n 阶单位阵，此时,V 中向量内积
.),(
1
n
i
ii
T yxYX
,),(
1
n
i
ii yx
称为标准内积，其中
§ 1中在 Rn 中定义的内积，
正是在这种意义下的内积,因为 Rn中每个向量都可视为在自然基 e1 = (1,0,…,0),e2 = (0,1,0,…,0),…,en
= (0,0,…,1)下的坐标向量,因此我们将 Rn 中定义的内积
),,,( 21 nxxx,,),,,( 21 Ryyy n
三、欧氏空间的正交分解设 V 是一个欧氏空间,W 是它的一个线性子空间,即 W 对 V 中的加法数乘是封闭的,
容易验证,W对 V 中内积也是一个欧氏空间 。
如果不作特别说明,我们总假定欧氏空间 V 的子空间 W 的内积与 V相同,因此有：
定理 6.2 欧氏空间 V 的线性子空间 W 仍是欧氏空间 。
定义 6.5 若欧氏空间 V 中向量? 与其子空间
W 中的每一向量正交,则称? 与 W 正交,
记作 W.
定义 6.6 设 W1,W2 是欧氏空间 V 的两个子空间,如果W1,W2,有 (?,? ) = 0,则称 W1 和 W2 正交,记作 W1?W2。
例如,R3中 oxy 平面上的全体向量和 z 轴上的全体向量,分别是 R3的二维和一维子空间它们是两个正交的子空间 。
0, czbyax?
是 R3 的二维空间,
一般地当 a,b,c 不全为 0 时,R3中平面
c
z
b
y
a
xl:
是 R3 的一维子空间 。
n元齐次线性方程组 Ax=0 的解空间与 A 的行空间是 Rn 的两个子空间,且它们是正交的 。
两个正交子空间显然?和 l 是 R3 的性质：
(1) 若 V1?V2,V1?V3,则 V1?V2+ V3
事实上,V1,V2+V3,即有?2?V2,
3?V3 使? =?2 +?3,因此 (?,? ) = (?,? 2) + (?,? 3)
= 0,所以 V1?V2+ V3,
(2) 若 V1?V2,则 }0{
21?VV?
事实上，,21 VV 有V1，
(?,?) = 0,故? = 0。
且V2,因而定理 6.3 设 V1是欧氏空间 V 的一个子空间,
则 V 中与 V1 正交的全部向量构成的集合
V2 = {? | V1, V |
是 V的一个子空间。
证 因为零向量与任何子空间都正交,所以 V2
是非空的,
(? +?,? )
因此 (? +? )?V,
对于 V 中这样的子空间 V1 和 V2,给出下面定义 。
从而有设?, V2,于是对任意的 V1，
都有 (?,? ) = 0,(?,? ) = 0，
= 0 (k? R) = 0,( k?,? )
kV2,
kV,从而 (? +? )? V2,
故 V2 是 V 的一个子空间。
定理 6.7 欧氏空间 V 中与其子空间 W 正交的全体向量构成的子空间,称为 V 的正交补,
记为 W?。
定义 6.4 设 W 是 n 维欧氏空间的子空间,
则 V 可惟一分解成 W 与其正交补 W? 的直和,即
V = W W?,＋
证明从略。
例如,设?1 = (1,0,0),?2 = (0,1,0),?3 = (0,0,1),
显然 L1?L2,
故 L2 ＝ L1?.令 W = L1,
L1=L(?1),L2 = L(?2,?3)，
R3 = W W?＋则,
欧氏空间 W的正交补 W?具有下列性质：;)()1( WW
,)()2( 2121 WWWW?
.)( 2121 WWWW?
脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中
§ 4 中的直线与平面方程3R
一,平面及其方程主题,1,空间平面在直角坐标系的表示法。
2,空间平面间的关系。
1、平面的点法式方程几何上，任给空间中某一点，及某一方向，
都可且只可做一个过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系,
M0
M
x
z
y 任取平面?上一点 M(x,y,z).
O
故由已知,n?M0M，
设：平面?过定点 M0(x0,y0,z0) 且垂直于方向 n=(A,B,C).
n
n? M0M=0,(4.1)
(A,B,C)?(x?x0,y?y0,z?z0)
= A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)
= 0.
即平面? 上任意点 M(x,y,z) 都满足方程 (4.2).
反之 若 (x,y,z) 满足 (4.2)，则由 (4.2).
(4.2)
n 与 M0M 垂直,即 M 在平面?上,
我们称垂直于平面? 的任何非零向量为?的法方向或法向,因此,n 即为?之一个法向,
(4.2) 依赖于法方向 n 及定点 M(x0,y0,z0),故 (4.2)
称为平面?的法点式方程,
A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0 法点式方程解,由法点式，得所求平面方程为
2(x?1)+3(y?3)?4(z+2)=0,
2x+3y?4z?19=0.
例 4.1 求过点 M0(1,3,?2) 且以 n=(2,3,?4) 为法向的平面方程,
即例 4.2,求过点 M1(2,?1,4),M2(?1,3,?2) 和
M3(0,2,3) 的平面方程,
O
x
y
z
M1
M2
M3
从图知,M1,M2,M3 不共线,即三点不在同一直线故可唯一确定一平面,如何验证？ 如何求？
解,由于
3121 MMMM?
=(?3,4,?6)?(?2,3,?1)
132
643
kji
kji 32 4312 6313 64
kji 914 =(14,9,?1)?0.
故 M1,M2,M3 不共线,
为所求平面之法向,
3121 MMMMn且故得平面方程为：
=14(x?2)+9(y+1)?(z?4)
= 14x+ 9 y? z?15= 0,
或
=14(x+1)+9(y? 3)?( z+2)
= 14x+ 9 y－ z?15 = 0.
(x?x1,y?y1,z?z1)?n
(x?x2,y?y2,z?z2)?n
一般地，设平面?过 M1,M2,M3 三点,M1,M2,
M3 不共线,即
.03121 MMMM
则得平面方程为：
,0)( 31211 MMMMMM
即
,0),,( 111
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
kji
.0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx 平面的三点式方程,
（ 4.3)
副产品,(1)()=0,?,?共面,
称为?,?,? 的混合积,
(2) 三点共线
0
3121 MMMM
或
03221 MMMM
或
.01332 MMMM
() = ()?
2 平面的一般方程对于二维空间,Ax+By+D=0?A
2+B2?0
平面直线,
对于三维空间,同样
Ax+By+Cz+D=0?A
2+B2+C2?0
空间平面,
故 Ax+ By+ Cz+ D = 0,
A2+B2+C2?0 平面一般方程,
事实上,任何平面都可用法点式表示,
因而为 x,y,z的三元一次方程 ;
反之,任何关于 x,y,z的三元一次方程
Ax+ By+ Cz+ D = 0,
取某一点 M0(x0,y0,z0)满足上述方程,两式相减
A(x?x0)+B(y?y0) +C(z?z0) =0,
故上述方程表示过 M0 且垂直于 (A,B,C) 的平面的法点式方程,即 Ax+By+Cz+D=0 表示一个平面，
且以 (A,B,C) 为法向,
,Ax+By+Cz+D=0 之特例,
(i) 平面过原点 D=0,
(ii)? // x轴 A=0,
// y轴 B=0,
// z轴 C=0,
(iii) A=B=0 // x轴,? // y轴,
// xy 平面,
B=C=0 //yz 平面,
C=A=0 //zx 平面,
(iv) A=B=D=0 Cz=0 z=0 xy平面,
例 4.3,求过 y 轴和点 M(1,1,1) 的平面方程,
解,设平面方程为 Ax+Cz+D=0.
由于过 y 轴,故过原点,? D=0,
且因平面过点 M(1,1,1),得
A?1+C?1=0? A=? C.
平面方程为 Ax?Az=0.
A? 0,平面方程为 x?z =0.
例 4.4 设平面? 与 x,y,z 轴分别交于 P (p,0,0),
Q(0,q,0),R (0,0,r),求? 的方程,其中 p,
q,r 非零,
解,设平面?为方程 A x + B y + C z + D = 0.
则 A p+D = B q + D = C r + D = 0.
,
p
DA,
g
DB,
r
DC
平面方程为
.0 Dz
r
Dy
g
Dx
p
D
.1
r
z
g
y
p
x
在 x 轴上截距?在 y 轴上截距?在 z 轴上截距截距式方程由于 D?0,上式化简得
3 两平面的夹角我们目前已对平面本身的解析关系描述得较清楚了,现在讨论两平面间的关系,
一般说来，两平面的关系有以下几种两平面平行不重合,
两平面平行重合,
两平面不平行相交
两平面法向一致但无交点
两法向一致且有交点两平面垂直相交但不垂直
两法向垂直
两法向不共线也不垂直桥梁 法向夹角
1,A1x+B1y+C1z+D1=0,
2,A2x+B2y+C2z+D2=0.
如何求其间夹角?？
分别为? 1,? 2 的法向,故
cos
||||
||
21
21
nn
nn,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBACBA
CCBBAA
20
定义 4.1两平面? 1,? 2 的法方向 n1,n2的夹角称为平面?1和?2 的夹角 (通常指锐角 ).
由平面方程，知 n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2)
A1A2+B1B2+C1C2=0;
两平面平行
0
222
111?
CBA
CBA
kji
kBABAjCACAiCBCB )()()( 122112211221
=
=
),,( 122112211221 BABACACACBCB= = =
A1:A2=B1:B2=C1:C2.
两平面垂直 n1?n2=0
n1?n2=0 A1:A2=B1,B2=C1,C2,
0 0 0
即平行不重合
重合
A1:A2=B1:B2=C1:C2? D1:D2;
A1:A2=B1:B2=C1:C2= D1:D2,
特殊情形：
例 4.5设平面? 过点 M1(1,0,0),M2(1,1,1) 且与平面?1,x+y+z=0 垂直,求平面?,
而?过点 M1,M2,故平面? // M1M2,
设?1 法向 n1=(1,1,1).
因此，平面n1?M1M2,?
n1?M1
M2?
即?的法向 n =n1?M1M2,
则 平面? // n1,
解,
110
111
kji
kj ).1,1,0(
故得平面?方程为
.0)0()0()1(0 zyx
即,0 zy
)01,01,11()1,1,1(n
5 平面外一点到平面的距离解,如图
M1
NM0
设平面?,Ax+By+Cz+D=0,则平面上点 M1(x1,y1,z1)满足 A1x+B1y+C1z+D1=0.
由于 M0N 为之法向,故 M0N // (A,B,C).
n
|| 0 NMd? |c o s||| 10 MM即
|| 0 NMd? |c o s||| 10 MM
||||
||||
10
10
10 nMM
nMMMM
||
|| 10
n
nMM
,|)()()(|
222
00101
CBA
zzCyyBxxA
.||
222
000
CBA
DCzByAxd
即点到平面的距离公式例 4.6 求 M0(x0,y0,z0) 到 xy 平面的距离,
解,xy平面,z=0.
222
000
100
|0100|
zyxd,|| 0z?
故二,空间直线及其关系
1 空间直线的一般方程空间上任何两个不平行的平面的交点在一条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程组表示
,01111 DzCyBxA
,02222 DzCyBxA
直线的一般方程其中,021 nn
(交面式 )
,01111 DzCyBxA
.0)()()( 12222212 DDzCCyBBxAA
上述直线也等价于几何上,一条直线可看作任意两个过该直线且不平行的平面的交线,即直线方程的表达式不唯一,
2 直线的对称式方程和参数方程若给一定点及一向量，过此定点平行于已知向量可唯一确定一条直线,
M (x,y,z) 为直线 l 上任意一点,
则 sMM?//
0
设直线 l 过定点 M0(x0,y0,z0),平行已知向量
(非零 ) s＝ (m,n,p),设
.0 0 sMM
s?
M0
M
l
nyymxx,)(:)( 00 pzz,)( 0
p
zz
n
yy
m
xx 000 对称式方程 (4.4)
反过来，任一点 M(x,y,z) 满足 (4.4)，则 sMM //
0
因 M0 在 l 上，故 M 也在 l上，故 (4.4) 即为直线
l 的方程,s＝ (m,n,p) 称为 l 的方向,
在 (4.4) 式中，令
.000 tp zzn yym xx
则
,0 mtxx
,0 ntyy
,0 ptzz
t为参数,
直线的参数方程约定：
0m,,00
0 p
zz
n
yyxx ; // 平面yzl
0n,,00
0 p
zz
m
xxyy ; // 平面xzl
0p,,00
0 n
yy
m
xxzz,// 平面xzl
0 nm,,00 yyxx ; // 轴zl?
0 pn,,00 zzyy ; // 轴xl?
0 mp,,zz 00 xx,// 轴yl?
例 4.7 求过点 A(1,1,1),B(1,2,3) 的直线 l
的对称式方程、参数方程及一般方程,
解,l 的方向 ).2,1,0()13,12,11( ABs
则得 l 的对称式方程参数方程,1?x
,1 ty;21 tz;2 11 10 1 zyx
上面方程组中,x=1为一平面，后面两方程去掉参数 t 得
,2 11 zy
故得一般方程
,1?x
.012 zy
例 4.8 用对称方程及参数方程表示直线
0,1 zyxl：
0.432 zyx
解,由两种形式直线方程表达式知，只需求得
l 上一定点和 l 的方向即可,
21 nns )3,1,2()1,1,1(
312
111
kji
kji 12 1132 1131 11
).3,1,4(
现求一定点,将联立方程组
0,1 zyx
0432 zyx
相加,0.543 zx
令 z = 1得 x =?3,y=1,
得一定点 (?3,1,1),故得对称式
1
1
4
3
yx,
3
1
z
即而得参数方程：
x =?3 + 4t,
y = 1? t,
z = 1? 3t,
t 为参数,
3 两直线的夹角
||||
||c o s
21
21
ss
ss
.||c o s
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
pnmpnm
ppnnmm
两直线 l1,l2 的方向 s1,s2 之间夹角称为该两直线的夹角 (通常指锐角 ),易知令 s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2).
特例：
l1 // l2
.
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
l1? l2,0212121 ppnnmm
s1? s2=0
s1,s2线性相关,
s1? s2=0
4 直线与平面的夹角我们称直线 l 与它所在平面? 上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角 (通常要求 ).
20
l
n
设直线 l,
n
yy
m
xx 00,0
p
zz ),,( pnms
平面?,,0 DCzByAx ).,,( CBAn
.2 2 或
).2c o s (),c o s (
sn
.||s i n
222222 pnmCBA
CpBnAm
ln
则 n 与 s 的夹角为例 4.8 求过点 M0(1,2,?4) 且与平面 x?2y+z?4=0
垂直的直线方程,
则 直线方程为：
2
2
1
1
yx,
1
4 z
解,取 s = n = (1,?2,1).
例 4.10 求直线
2
4
1
3
1
2 zyx 与平面
062 zyx 的交点,
解,令则,1 2 tx
x=2+t,y=3+t,z=4+2t.
代入平面方程
2(2+t)+3+t+4+2t?6=0.
5t+5=0,
得 x=1,y=2,z=2.
t=?1,
例 4.11 求过点 M0(3,3,0) 且与直线
l1:
211
zyx 垂直相交的直线 l 的方程,
解,
M0
M1
l1 设所求直线 l 与 l1 的交点为 M1(x1,y1,z1),则
,0)0(2)3(1)3(1 111 zyx
.062 111 zyx
M0M1? s1 = (1,1,2).
令
，则tx?11
.2,,111 tztytx
t + t + 2?2t? 6 = 0.
t =1,
得 (x1,y1,z1)=(1,1,2).
故直线方程为
.22 32 3 zyx
s 直线方向,10 MM? )02,31,31( ).2,2,2(
例 4.12 求直线 l1:
x+y?1=0,
y+z+1=0
在平面?,2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程,
解,直线 l1 的方向
110
0111
kji
s?
kji =(1,?1,1).
再求 l1 与?的交点 M0(x0,y0,z0),即联立求解
x+y?1=0,
y+z+1=0,
2x+y+2z=0.
消元 x + y?1 = 0,
y+z+1=0,
y+2z+2=0.
x + y?1 = 0,
y+z+1= 0,
3z+3= 0.
M0
l1
n
M1
得 (x0,y0,z0)=(1,0,?1).
M0
l1
n
M1
任取 l1 上 (不在? 上 )一点 M1(x,y,z)=(0,1,?2),
作过 M1 且垂直于? 的直线 l2,
.2 21 12 0 tzyx
设 l2 与? 交点为 M2(x2,y2,z2),则相应参数 t 满足
2?2t +1+t+2(?2+2t )=0
).3 4,34,32(
得交点 M2(x2,y2,z2)
3
1?t
所求直线方程为
,
1
3
4
1
0
3
4
0
1
3
2
1
zyx
即
.1 141 1 zyx
思想：
求直线与? 交点 M0；
求直线上平面?外一点 M1 ；
求过 M1 垂直于? 的直线 l2 ;
求 l2 与?的交点 M2 ；
求过 M0,M2 的投影直线方程,
M0
l1
n
M1
事实上，我们利用了直线的另外一种表达式两点式设 l,过点 M0(x0,y0,z0),M1(x1,y1,z1).
则 l,
.
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
下面我们用平面束来解题设直线 l,A1x+B1y+C1z+D1=L1(x,y,z)=0,?1
A2x+B2y+C2z+D2=L2(x,y,z)=0,?2
令? (?1,?2):
1L1(x,y,z)+?2L2(x,y,z)=0,.02
221 为参数
称? (?1,?2) 为平面束,
1//?2
命题 4.1,平面束? (?1,?2) 为过直线 l 的平面,且 任何过 l 的平面都对应于平面束中某一平面,
证,显然,? (?1,?2) 对 02
221
都表示平面且过 l,现设平面? 为过 l 及 l 外某一点
(x1,y1,z1) 的平面,
令?1,?2 满足：
1L1(x1,y1,z1)+?2L2(x1,y1,z1)=0,
则平面束中对应于方程
L2(x1,y1,z1)L1(x,y,z)? L1(x1,y1,z1)L2(x,y,z)=0.
例 4.12新解例 4.12 求直线 l,x+y?1=0,
y+z+1=0.
在平面?,2x+y+2z=0上的投影直线方程,
l
解,由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直于?的平面?1，即由直线的一般形式 (也称交面式 )求得投影直线,
过 l 的平面束为
，0)1()1( 21 zyyx
,0)( 122211 zyx
.02)(2 2211
.1,21
l
得?1：,0)1(1 zyyx
.02 zx
投影直线为 x?z?2=0,过?1,
2x+y +2z=0,过?.
令?1=1,
即
§ 5 空间曲面和空间曲线在前面，我们已知，空间平面对应于一个三元一次方程,
0 DCzByAx
反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面,
如果平面? 的方程是 (5.0)，其含义是平面
上任意动点 (x,y,z) 都是 (5.0) 的解,而 (5.0) 的每一组解也对应于? 上某一点,
(5.0)
定义 5.1 设空间曲面 S,及三元方程 F(x,y,z)=0,
如果 S 上任一点 M(x,y,z),其坐标 x,y,z 都满足
F(x,y,z)=0,反之,F(x,y,z)=0 的任一解 (x,y,z)
对应的空间点 (x,y,z) 也在 S 上,则称 F(x,y,z)=0
为 S 的方程,而 S 则称为 F(x,y,z)=0 的图形,
一、空间曲面及其方程例 5.1 建立球心在 M0(x0,y0,z0),半径为 R 的球面的方程,
解：
M0 R
Ox y
z
M
根据图形知，球面上任一点 M到球心的距离为 R.
即 |M0M|=R.
设 M点坐标为 (x,y,z),则根据两点间距离计算公式
,)()()( 202020 Rzzyyxx
或,)()()( 22
02020 Rzzyyxx
(5.1)
反之,任取 (x,y,z) 满足 (5.1),则 M(x,y,z) 到 M0
的距离为 R,故 (x,y,z) 在球面上,因此 (5.1) 即为所求球面的方程,
特例,x0=y0=z0=0,则 (5.1) 变为
x 2 + y2 + z 2=R 2,(5.2)
(5.2) 表示中心在原点，半径为 R的球面方程,
解：
x
y
f (y,z)=0
z
例 5.2 设 yz 平面有一已知曲线 C,它的方程为
f (y,z)=0,将曲线绕 z 轴旋转一周，得一曲面,
求此旋转面的方程。
M1
M?d
d1
设旋转面上任一点 M(x,
y,z),于 M 作垂直于 z 轴的平面在 yz 平面上与平面曲线
f (y,z)=0 交于 M1(x1,y1,z1),
与 z 轴交于 M2(0,0,z2),则
x1=0,z1=z2=z,从而 y1 满足
f (y1,z1) = f (y1,z)=0.
M2
由旋转性质
d = d1= |y1|
.)()0()0( 222222 yxzzyx
故,22
1 yxy
故得
.0),( 22 zyxf
反之，若空间点 (x,y,z) 满足 (5.3)，也可推知
(x,y,z) 在旋转面上，即 (5.3) 为所求,
(5.3)
其它情形：平面曲线 f (y,z) 绕 y 轴所成旋转面之方程,
)4.5(.0),( 22 zxyf
平面曲线 f (x,y) 绕 x 轴所成旋转面之方程
.0),( 22 zxxf
几种重要曲面
1,圆锥面设过原点直线 l 绕另一直线 (比如 z 轴 ) 旋转,
旋转而成曲面称为圆锥面,
)20(
称为圆锥面的半顶角,
0
x
y
z
l
其中 l 称为母线,z 轴为中心轴,l 与旋转轴夹角,
0
x
y
z
l
同前例，任取圆锥面上一点 M(x,y,z)
由几何性质
.tg
||
||
2
2
OM
MM
故
.tg||
22
z yx
即得曲面方程,c t g222?yxz
M?M2
M1
过 M 作垂直于 z 轴的平面,则交 z 轴于 M2(0,0,z)，
交 yz平面于 M1.
2,圆柱面两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所形成的曲面称为圆柱面,
如图设直线 l 绕 z 轴旋转,柱面上任意点 M(x,y,z),过 M
作垂直于 z 轴平面交 z 轴于 M1(x1,y1,z1),则 (x1,y1,
z1)=(0,0,z).
x
y
z
0
M
M1
l
,)()0()0( 222 Rzzyx
,222 Ryx即则 |M1M| = 定长 =R.
二、空间曲线及其方程空间曲线：两空间曲面的交线,
其方程可描述为
F1(x,y,z)=0，
F2(x,y,z)=0,(5.6)
交面式方程或一般方程例 5.3 x2+y2=1
x+y+z=2.
表示圆柱面与平面的交线,
另外，和直线一样，我们也可用参数形式表示空间曲线,
x=x(t),
y=y(t),
z=z(t).
yx
z
0
例 5.4 若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速度? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 (其中?,v 都是常数 ),则点 M 构成的图形为螺旋线,试建立其方程,
设时间 t 为参数,
初始时刻 (t = 0),动点在 A(a,0,0) 处，
经时刻 t,动点运动到 M(x,y,z).
z
x
y0
解,
A
M
z
x
y0
A
M
作 M 在 xy 平面的投影,
投影点为 M',其坐标为
(x,y,0).
由题意 z = | MM' | = vt,
= a sin? t.
x = | OM' | cos? t,
y = | OM' | sin? t
参数方程
x = acos? t,
y = asin? t,
z = vt.
M '
在讲直线与平面之关系时,曾介绍过如何求空间直线在某平面上的投影,下面介绍一般的空间曲线在坐标面上的投影,
设空间曲线
F1(x,y,z)=0,
F2(x,y,z)=0,
(5.7)
消去 z,得 H(x,y)=0,(5.8)
曲面 (5.8) 可视为平行于 z 轴的柱面,
C,
C
0
x
y
z
若点 M(x,y,z)满足 (5.7)，
则 (x,y) 满足 (5.8),故 C
上的点均在柱面 (5.8)上,
即 C 是柱面 (5.8)上的一条曲线,故 C 在 xy
平面的投影为
H(x,y) = 0
z = 0 (5.9)
(5.9) 即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程,
投影方程例 5.5 求例 5.4中螺旋线在 xy 平面上的投影,
解,由参数方程，即得 x2+y2=a2 (消去了 z),
故投影方程为
z=0.
x2+y2=a2,
例 5.6 求球面 x2+y2+z2=1,和 x2+(y?1)2+(z?1)2=1
的交线在 xy 面上的投影方程,
解,交线方程为
x2+y2+z2=1
x2+(y?1)2+(z?1)2=1.
z
x
y
投影方程：
x2+2y2?2y=0，
z=0.
两式相减,2y+2z=2,即 z=1?y,代入第一个方程,
x2+y2+(1?y)2=1,
x2+2y2?2y=0.
三、二次曲面下面接着介绍空间二次曲面的典型类型,
一般地，称
A11x2+A22y2+A33z2
+2A12xy+2A23yz+2A31zx+A+A1x+A2y+A3z=0
为三维空间 R3中的二次曲面方程,我们仅讨论几类典型情况,
1,椭球面
12
2
2
2
2
2
czbyax ( a,b,c均大于 0).
易知,|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,为了了解曲面形状，先以平行于 xy 面的平面 z=z0(|z0|≤c)截曲面，得到截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
z=0.
因
,01 2
2
0
c
z 从而当,|| 0 时Cz? 截线是平面
z=z0上一椭圆，
同理，以平面 x=x0(|x0|≤a)和平面 y=y0(|y0|≤b)
截椭球面所得截线与上述情况类似,因此，椭球面的形状如图 z
x
y0
而当 | z0|=c时，截线退缩成一点 (0,0,z0).
若 a=b，
,12
2
2
2
2
2
c
z
a
y
a
x
由旋转曲面的知识知，这个方程表示 xz 面上椭圆
12
2
2
2
c
z
a
x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转椭球面,
若 a=b=c，
方程变为它表示一个球心在原点，半径为 a 的球面,
方程变为 x2+y2+z2=a2,
2,椭圆抛物面
,
22 0
22
z
q
y
p
x
不妨设 p,q 均大于 0,以平行于 xy 面的平面
z=z0(z0>0)截椭圆抛物面，所得截线方程为
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x
.0zz?
椭圆以平行于 xz 面的平面 y=y0 截曲面，截线方程为
,
22
2
0
2
q
yz
p
x
.0yy?
抛物线同理，以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面所得截线是平面 x=x0 上的一条抛物线,
特例：
若 p,q均小于 0，则椭圆抛物面的开口朝下,
若 p= q,方程变为
,22
2
0
2
zpypx 它是由 xz 面上曲线
p
xz
2
2
绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面,
若 p,q均大于 0，则椭圆抛物面的开口朝上,
x
z
y
3,双曲抛物面
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x
z
x
y
4,单叶双曲面
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
.0zz?
椭圆以平行于 xz面的平面 y=y0截曲面,所得截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x
.0yy?
双曲线以平行于 yz 面的平面
x=x0 截曲面，所得截线方程为：
,1 2
2
0
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y
.0yy?
双曲线
5,双叶双曲面
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
.0zz?
双曲线以平行于 xz面的平面 y=y0截曲面,所得截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x
.0yy?
双曲线以平行于 yz 面的平面
x=x0 截曲面，所得截线方程为：
,12
2
0
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y
.0yy?
椭圆
0
z
x
y
小结空间平面空间直线一般形式法点式截距式
(三元一次方程 ) Ax+By+Cz+D=0.
.1 rzqypx
00 MMn
交面式对称式,
参数形式,
两点式,
(一般形式 ),三元一次方程组,
,00 MMs?
p
zz
n
yy
m
xx 000即
x=x0+mt,
y=y0+nt,
z=z0+pt ;
即,010 0 MMMM
.
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
关系直线间夹角：
平面间夹角：
直线与平面间夹角：
直线在平面上的投影,过直线的平面束中的一条垂直于已知平面的平面与已知平面的交线 (交面式 )
点到直线的距离点到平面的距离
||||
|| 0
s
sMMd
Ax+By+Cz+D=0
c o s|||| 10 MMd?
222
000 ||
CBA
DCzByAx
s1,s2间夹角
n,n 间夹角与 s1,n 间夹角互余
d
M
l
sM0
M0?
M1 n
n=(A,B,C)
数量积向量积 平行相交垂直
§ 6 实内积空间欧氏空间一、内积的公理化定义，实内积空间、欧氏空间定义 6.1 设 V是实数域 R上的线性空间,对 V中任两个向量 u,v 确定了一个实数 (u,v),如果 (u,
v) 满足：
(1) 对称性 ( u,v ) = ( v,u );
(2) 线性性 ( ku,v ) = k( v,u );
( u+ v,w ) = ( u,w ) + ( v,w );
(3) 正定性,( u,v )? 0,等号当且仅当 u = 0
(其中 u,v,w? V,k? R).
则称 (u,v) 是 u 与 v 的内积,
定义了内积的线性空间 V 称为实内积空间,
有限维实内积空间称为欧氏空间 (Euclid
space).
例 6.1 定义在 [a,b] 上的实连续函数的全体,
对通常函数加法和数乘运算构成实数域上线性空间 C [a,b].
,d)()(),( b
a
xxgxfgf
验证 (f,g) 是内积。
f(x),g(x)? C (a,b),定义解：
)1( b
a xxfxg d)()(
),( fg?
)2( b
a xxfxgk d)()(
).,( gfk?
设 f,g,h? C [a,b],
),( gf b
a xxgxf d)()(
),( gkf b
a xxgxkf d)()(
),( hgf?
ba xxhxgxhxf d))()()()((
ba ba xxhxgxxhxf d))()(d)()(
).,(),( hghf
ba xxhxgxf d)())()((
(3)
,0d)(·)( ba xxfxf
当且仅当 f(x) = 0时等号成立，
故?
ba dxxgxfgf )()(),( 是 C[a,b] 上的一个内积。
与 n 维欧氏空间 Rn中向量长度定义相同,实内积空间中定义向量 u 长度为
.),(|||| uuu?
长度为 1的向量称为单位向量。
定理 6.1 设 V 是一个实内积空间,则对任意的 u,v,V 和 R,有
(1) || u || = |? |·|| u || ;
(2) ( u? v )? || u ||·|| v || ;
(3) || u+ v ||? || u || + || v ||.
证明与 § 1完全相同。
定义 6.2 称
||||·||||
),(a r c c o s
vu
vu
为实内积空间中非零向量?,? 的夹角。
定义 6.3 实内积空间 V 中两个向量之内积
( u,v )=0,则称 u 与 v 正交,记作 u? v。
同一元素在不同欧氏空间其长度往往是不一样的 。
例 6.2 对二维向量空间 R2中? = (x1,x2),? = (y1,
y2) 令
(?,? ) = x1y1－ 2x2y1－ 2x1y2 + 6x2y2 (*)
容易验证,(*)式是内积，
),(,2)2( 2221 xxx
当?= (1,1)时，,3||||
则有 22 11||||
而用内积
(?,? ) = x1y1 + x2y2,
由于
222121 64 xxxx
.2?
二、标准正交基 度量矩阵对于欧氏空间 V 的一组基?1,?2,…,?n,
如果?1,?2,…,?n 是正交向量组,且每个向量?i ( i = 1,2,…,n )都是单位向量,则称?1,
2,…,?n 是 V 的一组标准正交基 。
||1|| 2
12
0
2 )ds i n( xx
||c o s|| x
容易验证 1,sinx,cosx 是两两正交的，
例 6.3 L(1,sinx,cosx) = {k1 + k2sinx + k3cosx | k1,k2,
k3? k} 按内积
20 d)()(),( xxgxfgf
欧氏空间，
构成一个由于
2
12
0
2 )d1( x,2 ||sin|| x
,
2
12
0
2 )dc o s( xx,
故 1,sinx,cosx 不是单位向量,
,
2
1
将其单位化得
L(1,sinx,cosx) 的一个标准正交基为
,sin
x,c o s
x
对于 n 维欧氏空间 V 中 n 个线性无关的向量仍可以用施密特 (Schmidt)正交化方法将其化成 V 的一组标准正交基 。
设?1,?2,…,?n 是欧氏空间 V 的一组基,
向量?,? 在这组基下的坐标分别为 x = ( x1,
x2,…,xn )T 和 y = ( y1,y2,…,yn )T.
,),,,( 21
1
xx n
n
i
ii
,),,,(
21
1
yy n
n
i
ii
nnxxx2211
nnyyy2211
则有 ),(
.),(
1 1
n
i
n
j
jiji yx
设
,),( ijji a
则
),(
),(
11
n
i
ii
n
i
ii yx
,)( nnijaA
n
i
n
j
ijji ayx
1 1
(5.3).Ayx T?
(5.3)式说明要计算内积 (?,? ),只要算出基向量间的内积,即求出 A = (aij)n× n = ((?i,?j))n× n,
然后通过 (5.3)式计算矩阵乘法即可 。
定义 6.4 设欧氏空间的一组基为?1,?2,…,?n,
A
为欧氏空间 V在基?1,?2,…,?n 下的度量矩阵。
称对称矩阵
nnija )( nnji )),((
显然，当?1,?2,…,?n为 V 的一组标准正交基时，
A＝ E,是一个 n 阶单位阵，此时,V 中向量内积
.),(
1
n
i
ii
T yxYX
,),(
1
n
i
ii yx
称为标准内积，其中
§ 1中在 Rn 中定义的内积，
正是在这种意义下的内积,因为 Rn中每个向量都可视为在自然基 e1 = (1,0,…,0),e2 = (0,1,0,…,0),…,en
= (0,0,…,1)下的坐标向量,因此我们将 Rn 中定义的内积
),,,( 21 nxxx,,),,,( 21 Ryyy n
三、欧氏空间的正交分解设 V 是一个欧氏空间,W 是它的一个线性子空间,即 W 对 V 中的加法数乘是封闭的,
容易验证,W对 V 中内积也是一个欧氏空间 。
如果不作特别说明,我们总假定欧氏空间 V 的子空间 W 的内积与 V相同,因此有：
定理 6.2 欧氏空间 V 的线性子空间 W 仍是欧氏空间 。
定义 6.5 若欧氏空间 V 中向量? 与其子空间
W 中的每一向量正交,则称? 与 W 正交,
记作 W.
定义 6.6 设 W1,W2 是欧氏空间 V 的两个子空间,如果W1,W2,有 (?,? ) = 0,则称 W1 和 W2 正交,记作 W1?W2。
例如,R3中 oxy 平面上的全体向量和 z 轴上的全体向量,分别是 R3的二维和一维子空间它们是两个正交的子空间 。
0, czbyax?
是 R3 的二维空间,
一般地当 a,b,c 不全为 0 时,R3中平面
c
z
b
y
a
xl:
是 R3 的一维子空间 。
n元齐次线性方程组 Ax=0 的解空间与 A 的行空间是 Rn 的两个子空间,且它们是正交的 。
两个正交子空间显然?和 l 是 R3 的性质：
(1) 若 V1?V2,V1?V3,则 V1?V2+ V3
事实上,V1,V2+V3,即有?2?V2,
3?V3 使? =?2 +?3,因此 (?,? ) = (?,? 2) + (?,? 3)
= 0,所以 V1?V2+ V3,
(2) 若 V1?V2,则 }0{
21?VV?
事实上，,21 VV 有V1，
(?,?) = 0,故? = 0。
且V2,因而定理 6.3 设 V1是欧氏空间 V 的一个子空间,
则 V 中与 V1 正交的全部向量构成的集合
V2 = {? | V1, V |
是 V的一个子空间。
证 因为零向量与任何子空间都正交,所以 V2
是非空的,
(? +?,? )
因此 (? +? )?V,
对于 V 中这样的子空间 V1 和 V2,给出下面定义 。
从而有设?, V2,于是对任意的 V1，
都有 (?,? ) = 0,(?,? ) = 0，
= 0 (k? R) = 0,( k?,? )
kV2,
kV,从而 (? +? )? V2,
故 V2 是 V 的一个子空间。
定理 6.7 欧氏空间 V 中与其子空间 W 正交的全体向量构成的子空间,称为 V 的正交补,
记为 W?。
定义 6.4 设 W 是 n 维欧氏空间的子空间,
则 V 可惟一分解成 W 与其正交补 W? 的直和,即
V = W W?,＋
证明从略。
例如,设?1 = (1,0,0),?2 = (0,1,0),?3 = (0,0,1),
显然 L1?L2,
故 L2 ＝ L1?.令 W = L1,
L1=L(?1),L2 = L(?2,?3)，
R3 = W W?＋则,
欧氏空间 W的正交补 W?具有下列性质：;)()1( WW
,)()2( 2121 WWWW?
.)( 2121 WWWW?
