大学数学 （二）
脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中本章目的;,1 维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在 nR n
的概念及求法；讨论欧氏空间的正交基.2;
,3 3
程等内容直线及平面方中向量积，三维欧氏空间讨论 R
念。建立一般内积空间的概.4
§ 1 内积,欧氏空间 Rn
一,R3中向量的内积三维向量空间中向量的内积来源于物理和几何背景 。 考虑物理问题：
例 1.1
解,
所做功 W = f1 ·s
S
F
s
F1
= |F| ·|S|cos (F,S) = F? S.
定义 1.1
称数，
的夹角为与记中两个向量，为，设
,
3 R
,c o s||||
即，
记为（数量积或点积），的内积，为向量
)1.1(.,c o s||||
或记为 ).,(
下面推导 内积 的 具体计算公式,
如果?,? 都不为 0 向量,且?,? 不平行 (即?,
线性无关 ),则在空间直角坐标系中,由原点 O 和?,
的终点 A 和 B 可确定?,? 所在平面上的一个三角形 OAB.
A
B
O
由余弦定理,知
= 2|? | ·|? |cos?
= |? |2+|? |2?|? |2
212212212
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
)()()(
)()(
zzyyxx
zyxzyx
=2 (x1 x2? y1 y2? z1 z2)
2? ·?
因此,? ·?=(x1 x2? y1 y2? z1 z2),(1.2)
A
B
O
(1.2) 称为向量内积的坐标表示。
特例 1,向量的长度
= (x1,y1,z1)?R3,
|? | ·|? | =（?,?） = x1 x1? y1 y1? z1 z1,
.),(|| 212121 zyx
特例 2,向量的垂直关系,
两向量垂直的充要条件是它们的内积等于零。
= (x1,y1,z1),? = (x2,y2,z2)?R3，
垂直于? 的充要条件为
cos? = 0.
也即 = x1 x2? y1 y2? z1 z2 = 0.
特例 3,向量的平行关系,
两非零向量平行的充要条件是它们的夹角余弦等于 1 或 － 1。
若? //?,则有 0,使? =,
=(?,? )
(?,?)=? 2 (?,? )
||||
,),c o s (
）（
=? (?,? )
=? 2|? | 2.
=
1?>0,
1?<0.
=? |? |2.
二,Rn中向量的内积，欧氏空间 Rn
维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在 nR n
维向量的长度n?
维向量间的夹角n?
维向量间的关系n?
定义 1.2
设 n 维向量? = (a1,…,an),? = (b1,…,bn).
定义数：
为向量? 与? 的内积,记为 （?,? ）,即
nn bababa2211
.),( 2211 nn bababa
性质
(i) （?,? )= (?,? );
(ii) （,? )=? (?,? );
(iii) （,? ) = (?,? )? (?,?） ;
(iv) （?,?）? 0,且（?,?） = 0 iff? = 0.
交换律分配律非负性定义 1.3
设 n 维向量? = (a1,…,an),定义
.),(|| 22221 n
为向量?的模 (或 范数,长度 ).
重要性质范数的性质,,?, Rn, R,则
1) |? |?0,|? | = 0,iff? = 0;
2) | | = |?|·|? |;
3) | |? |? |? |? |,三角不等式非负性正齐次性特别,
若 |? |=1,则称? 为单位向量,
易知,Rn 中的单位向量有等,e1,e2,en…,
定理 1.1(Chauchy-Schwarz不等式）
向量的内积满足
)8.1(|,||||),(|
其中等号成立当且仅当向量?和? 线性相关,
22 ||
),(,
||
),(
4
2
2 ||
),(),(
||
),(),(2),(
2
2
2
||
),(||
,0?
。所以 |||||),(|
重要不等式
.||
1
2
1
2
1
n
i
i
n
i
ii
n
i
i baba
定义 1.4
的夹角为与定义中两个向量，为，设 nR
.|||| ),(a r c c o s,
记为垂直（正交）与称时，，（特别当,0)
,
定义 1.5
,),S p a c eE u c l i d
n
n
R
nRn
仍记为（欧氏空间维称为维实向量空间定义了内积的定理 1.2(三角不等式）
则中两个向量，为欧氏空间，设 nR
| |? |? |? |? |.
证,
| |2 =（, )
=（?,? )?2(?,?)+(?,? )
|? |2?2|?|·|?|+|? |2
=( |? |?|? |)2,证毕定理 1.3(余弦定理）
则中两个向量，为欧氏空间，设 nR
.,c o s||||2|||||| 222
－?
证,
|?－? |2=（?－?,?－? )
=（?,? ) － 2(?,?)+(?,? )
证毕
.,c o s||||2|||| 22
定理 1.4(勾股定理）
则（即的向量，
中两两正交为欧氏空间，，设
.,0),
,21
ji
R
ji
n
k
.||||| || | 22221221 kk
证,2
21 | | k
),( 2121 kk
),(
11
k
j
j
k
i
i
k
i
k
j
ji
1 1
),(
),(
1
k
j
jj
.||||| | 22221 k证毕
§ 2 标准正交基在三维欧氏空间 R3 中，它的一组基 i =(1,0,0),
j=(0,1,0),k=(0,0,1) 满足如下条件：
（ I） 基中的向量是单位的，即
| i| = |j| = |k| = 1;
（ II） 基中的向量两两正交，即
( i,j ) = (j,k) = (k,i) = 0.
定义 2.1
n 维欧氏空间中任意一组两两正交的向量组称为正交向量组,
定理 2.1 若 n 维 欧氏空间中 向量
1,?2,…,?r 是一组两两正交的非零向量,
则?1,?2,…,?r 线性无关,
证,若有?1,…,?r,使
1?1?…r?r= 0
1
r
j
jj
||?
(0,?i )= (?,?i )
),(
1
i
r
j
jj
),(
1
ij
r
j
j
=? i (?i,?i),
由于?1,?2,…,?r 非零,知?i =0.
故?1,?2,…,?r 线性无关,
定义 2.2
设 n 维向量?1,?2,…,?r 是向量空间 V? Rn 的一个基,
若? 1,…,? r 两两正交,
且 |? i| = 1,i = 1,…,r,
则称? 1,…,? r 为 V 的正交规范基,
定理 2.2
若 n 维向量?1,?2,…,?n 是一组标准正交基,
则 n 维向量? =(x1,x2,…,xn) 在基?1,?2,…,?n 下的第 j 个分量为,
.,21),,( njx jj?，，
证,),(
j ),(
1
j
n
i
iix
),(
1
j
n
i
iix
),( jjjx,jx?
证毕
= (a1,…,an)? Rn,
例 2.1 e1,e2,…,en 是 Rn的一个正交规范基,
= a1 e1?…? an en
在? 的表达式中,ej 前的系数即为? 的第 j 个坐标,
例 2.2
)
2
1
,
2
1
,0,0(
),
2
1
,
2
1
,0,0(),0,0,
2
1
,
2
1
(),0,0,
2
1
,
2
1
(
4
321
为 R4 的正交规范基,
证,?),(
ii易算出即 |?i | = 1，
且?),(
21
,0),(),( 4131,0),(),( 4232
),( 43
由定理 2.1,?1,?2,?3,?4 线性无关,即为正交规范基,
)21()21(,0?
)21()21(,0?
2)
2
1(?,1?2)
2
1(
2
1
2
1?
2
1
2
1?
定理 2.3 任何一个非零向量空间 V 都存在正交规范基,且若
1,…,?r 为 V 的一个基,则可通过?1,…,?r 构造出一个正交规范基,
构造性证明 (Schmidt正交化）,
令?1 =?1 ;
求?2 =?21?1 使
(?2,?1) = (?2,?1)1 (?1,?1),
得? 1=?(?2,?1) / (?1,?1),
= (?21?1,?1);),( ),( 1
11
12
22
故
0 =
1
2
2
求?3=?31?12?2 使
(?3,?1)
= (?3,?1)1 (?1,?1),
0 =
= (?3,?2)2 (?2,?2),
= (?31?12?2,?1)0 =
(?3,?2) = (?31?12?2,?2);,,,),2
22
23
1
11
13
33
）（
）（
）（
（
……
1
11
1
2
22
2
1
11
1
),(
),(
),(
),(
),(
),(
r
rr
rrrr
r
.),( ),(
1
1
r
j
j
jj
jr?
Schmidt 正交化过程
,|| 1 1
1
1再令则?1,?2,…,?r 是一个正交规范基,
,|| 1 2
2
2
…,
,|| 1 r
r
r
例 2.3 设?1= (1,2,?1),?2= (?1,3,1),?3= (4,?1,0),试将其正交规范化,
解,?1=?1= (1,2,?1);
1
11
21
22 ),(
),(?
= (?1,3,1) 4
6
(1,2,?1)
= (?1,3,1)
)32,34,32(
,35(,35 );1,1,1(35)35
2
22
32
1
11
31
33 ),(
),(
),(
),(?
= (4,?1,0) 2
6 (1,2,?1)? )1,1,1(5?
3
25?
= (4
3
1?
3
5?,?1
3
2?
3
5?,0
3
1?
3
5? )
= (2,0,2).
单位化得正交规范基：
|| 111
|| 222
|| 333
),1,2,1(61
),1,1,1(31
).1,0,1(21?
3 = (4,?1,0)
1 = (1,2,?1)
);1,1,1(352
例 2.4 设?1= (1,2,?1),?2= (?1,3,1),?3= (0,5,0),试将其正交规范化,
解,?1=?1;
);1,1,1(352
2
22
32
1
11
31
33 ),(
),(
),(
),(?
= (0,5,0) 10
6
(1,2,?1)?
)1,1,1(5?
3
25
= (0
3
5?
3
5?,5
3
10?
3
5?,0
3
5?
3
5? )
= 0.
1,?2,?3 两两正交,但不能规范化,
原因?
3 =?12
即?1,?2,?3 线性相关,
1= (1,2,?1)
2= (?1,3,1)
3= (0,5,0)
例 2.5 求空间任意点? = (x,y,z)与三个坐标轴之间的夹角,
解,在坐标轴上分别取三个单位向量
i = (1,0,0),j = (0,1,0),k = (0,0,1)
则
||||),c o s ( i
ii
||||),c o s ( j
jj
||||),c o s ( k
kk
;
222 zyx
x
;
222 zyx
y
.
222 zyx
z
如果? 是单位的,即 |? |=1,则
cos(?,i) = x,cos(?,j) = y,? cos(?,k) = z,?
如果? 不是单位的,可进行单位化,
||?
=
222222222
,,
zyx
z
zyx
y
zyx
x
= (cos(?,i),cos(?,j ),cos(?,k) ).
易知 cos2(?,i)? cos2(?,j)? cos2(?,k) = 1,
的 方向余弦 及 方向角,
与坐标轴夹角的余弦例 2.6 设两点 M1(2,2,),M2(1,3,0),求向量 M1M2 的方向余弦及与 M1M2 反方向的单位向量,
2
解,? = M1M2 )2,2,2()0,3,1(
),2,1,1(
.2)2(1)1(|| 22221MM
,21),c o s (i?
,21),c o s (?j?
,2 2),c o s (k?
,32),(i
,3),(j
.43),(k
与 M1M2 反方向的向量为
).2,1,1(12MM
将其单位化,得单位化向量
).2 2,21,21(2 )2,1,1(||)( 0
向量在轴上的投影
M
P
u
点 P 为点 M 在轴上的投影,
M1
M2
u1 u2 u
u2? u1为 M1M2在轴上的投影,
记为 Proju? = u2? u1,
M1?
o u1
u2 u
c os||Pr?uoj
c o sPr?uoj
.1||,00?uuu 轴同向与其中
,0u
o u1u2
u
M2 M2
M1
co s|||| 0u
例 2.7 设 M(2,1,0),? =(1,1,0),求 OM 在? 上的投影解,?
M
y
xz o
222 011
)0,1,1()0,1,2(
.2 23
2
3
OMOMojPr
性质：
2) 设? =(x,y,z),则
Proji? =? ·i=x，
Projj? =? ·j=y,
Projk? =? ·k=z;
3) Proju(?+? )=Proju?+ Proju?,
1) Proju? =? ·u 0
其中 u0 为与 u 轴同向的单位向量 ;
§ 3 R3 中向量的向量积与混合积一、向量积在前面介绍的向量加法与减法时我们知道,两向量之和或差仍然是一个向量,但在介绍向量的数量积时却发现, 不再是一个向量而是一个数了,因此,我们仍希望引入向量的某种,积,运算,使之结果仍为一个向量,构造的准则 之一,有实际应用,
M B
l
|? |=?,? 称为角速度向量,
= | r |sin
=|?|? | r| sin?
考察一个刚体绕一轴 l 作旋转，刚体上任意一点就产生线速度 v,它的大小等于点 M 到旋转轴的距离乘旋转角速度?,方向垂直于过 l 及 M 的平面,
v
r
v 的方向与?,r 都垂直,
=|?|? | r |sin(?,r ).
// l 轴，满足
A
| v |= | MB|?则定义 3.1,设?, R3，定义? =? ×R3 满足
ii)? 的指向按右手法则从? 转到? 确定且与?,
所在平面垂直,
由此知上例中称? 为向量? 和? 的向量积,
v =? × r,
i) |? | = |? |? |? | sin(?,? )，?
性质 i) i× j=k,j × k=i,k × i=j,
ii)? ×? =0,特别有 i× i=j × j=k × k=0,
iii)?,R3 为非零向量，则? // ×? =0.
运算规律,设?,?, R3,则
i)? ×? = –? ×? = (–? ) ×? ;
ii) (?+? )×? =? ×? +? ×? ;
iii) ( ) ×? =? × ( ) =? (?×? ).
向量积的坐标表示：
设? =(x1,y1,z1),? =(x2,y2,z2)
×? =(x1i+y1j+z1k)× (x2i + y2 j +z2 k)
= x1y2 i× j + x1z2 i× k+y1x2 j× i
+ y1z2 j× k+ z1x2 k× i+ z1y2 k× j
= x1y2 k + x1z2 (–j)+y1x2 (–k)+ y1z2 i+
z1x2 j+ z1y2 (–i)
=( y1z2 – z1y2 )i+(z1x2 –x1z2) j+ (x1y2 – y1x2)k
kyyxxjzzxxizzyy
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
.
z
z
2
1
2
1
2
1
k
y
y
j
x
x
i
例 3.1 求以? = (2,1,–1),? =(1,–1,2)为两边的平等四边形的面积,
解：
S
=|? ×? |.
S=|? |·|? |· sin(?,? )?
而
S=|? ×? |
2
1
1
1
1
2?
k
ji
kji 11 122 1 122 1 11
= i–5j –3k = (1,–5,–3),
.35)3()5(1 222
加法
数乘
封闭性 向量空间内积
(?,? )
基本定义运算法则齐次性对称性线性本身内积非负性向量模 |? |
向量内积空间 (欧氏空间）
正交性 正交规范基任意一个基
Schmidt 正交化向量三维向量 空间直角坐标系 空间中点
(x,y,z) xi? yj? zk
一种内积向量间夹角方向余弦与方向角向量在轴上的投影
||||||||),c o s (
垂直关系
222||||),c o s ( zyx
xii
数量积
·?
性质分配律交换律?
平行关系平面三角形面积计算平行四边形面积计算
= 0
||21||
|| ||
向量积
基表示
Proju? u
0// u轴
|| u0 || = 1
·u 0
由第三章向量的线性相关性讨论知,两非零向量? 与? 线性相关 (共线 )的充要条件是存在不全为零的实数?,使
=,(3.5)
设? = (ax,ay,az),? = (ax,ay,az),则? 与? 共线的充要条件是
.
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a (3.6)
有了向量积概念后,我们又得：
两非零向量共线的充要条件是
＝ 0,(3.7)
例 3.2 已知向量?＝ (2,3,1),? ＝ (3,－ 9,
6,),求, 2?。
2?
解
693
132
kji
＝,27927 kji
2,541854 kji 2
例 3.3 求同时垂直于向量?＝ (2,－ 3,1);? = (1,
－ 2,3,)且模等于 的向量?。
3
解
设?＝ (cx,cy,cz),
321
132
kji
.57 kji
,375 2?t
为所求。故?
5
1,1,
5
7?
由向量积的定义知所求向量? 与 共线,因此有
7?
xc
又因?
5
yc
1
zc ).,0( Rttt
222 2549 ttt,3?
得
.51t即
222 zyx ccc＝
二、混合积定义 3.2 设有三个向量?,?,?,称? 与? 的向量积 再与向量? 的数量积 (内积 )为向量
,?,? 的混合积,记作 (?,?,? ),
(?,?,?)＝ () (3.8)即设向量?＝ (ax,ay,az),
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ibb
aa
zy
zy?
则有
= (cx,cy,cz),
＝ (bx,by,bz),
j
bb
aa
zx
zx?,k
bb
aa
yx
yx?
)(
由行列式的性质有
x
zy
zy c
bb
aa
＝
)(,
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
(3.9)
式 (3.9) 称为混合积 (?,?,? ) 的坐标表示。
y
zx
zx c
bb
aa
,z
yx
yx c
bb
aa
给定三个向量?,?,?,它们的混合积有不同的组合形式,如( ),( ),
( ),( ) 等等,除了它们都是实数这一特点外,还有其它联系吗？ 下面我们从几何上寻找它们的另一共性 。
不妨设?,?,? 不在同一平面上,令?＝
,由矢量积的几何意义 | | 表示以?,?
为相邻两条边的平行四边形的面积,由数 量积定义有
)(,,c o s＝
^
其中,c o s ^ 是?在?上的投影,
以空间一点 O为始点,作三个向量?、
,? 始于 O点,以这三个向量为棱作一平行六面体,如图 3－ 3所示 。
o
=
图 3-3
^当
,20,即?,?,? 成右手系时,,c o s
^
就是?,?所在底面上的高 。
即为平行六面体的体积。
)(
因此
V,)(
若?,?,? 共面,则由 垂直 所在的平面,得 垂直于?,故 ( )·? = 0;
反之,若 ( ) ·? = 0; 则 垂直于?,而
垂直于?和?,故?,?,? 共面,因此有定理 3.1 三向量?,?,? 共面的充要条件是
()·?= 0。
运算性质：
,
例 3.3 求由不在一个平面上的空间四点 A(x1,
y1,z1),B( x2,y2,z2),C( x3,y3,z3),D ( x4,y4,z4),
为顶点的四面体的体积 。
V,)(
6
1 ADACAB,，?
由立体几何知,四面体 ABCD的体积等于以 AB,AC,AD 为棱的平行六面体体积的
1/6，
解即故
V,
6
1
141414
131313
121212
yzyyxx
yzyyxx
yzyyxx
＝
,,,121212 zzyyxxAB
,,,131313 zzyyxxAC
.,,141414 zzyyxxAD
脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中本章目的;,1 维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在 nR n
的概念及求法；讨论欧氏空间的正交基.2;
,3 3
程等内容直线及平面方中向量积，三维欧氏空间讨论 R
念。建立一般内积空间的概.4
§ 1 内积,欧氏空间 Rn
一,R3中向量的内积三维向量空间中向量的内积来源于物理和几何背景 。 考虑物理问题：
例 1.1
解,
所做功 W = f1 ·s
S
F
s
F1
= |F| ·|S|cos (F,S) = F? S.
定义 1.1
称数，
的夹角为与记中两个向量，为，设
,
3 R
,c o s||||
即，
记为（数量积或点积），的内积，为向量
)1.1(.,c o s||||
或记为 ).,(
下面推导 内积 的 具体计算公式,
如果?,? 都不为 0 向量,且?,? 不平行 (即?,
线性无关 ),则在空间直角坐标系中,由原点 O 和?,
的终点 A 和 B 可确定?,? 所在平面上的一个三角形 OAB.
A
B
O
由余弦定理,知
= 2|? | ·|? |cos?
= |? |2+|? |2?|? |2
212212212
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
)()()(
)()(
zzyyxx
zyxzyx
=2 (x1 x2? y1 y2? z1 z2)
2? ·?
因此,? ·?=(x1 x2? y1 y2? z1 z2),(1.2)
A
B
O
(1.2) 称为向量内积的坐标表示。
特例 1,向量的长度
= (x1,y1,z1)?R3,
|? | ·|? | =（?,?） = x1 x1? y1 y1? z1 z1,
.),(|| 212121 zyx
特例 2,向量的垂直关系,
两向量垂直的充要条件是它们的内积等于零。
= (x1,y1,z1),? = (x2,y2,z2)?R3，
垂直于? 的充要条件为
cos? = 0.
也即 = x1 x2? y1 y2? z1 z2 = 0.
特例 3,向量的平行关系,
两非零向量平行的充要条件是它们的夹角余弦等于 1 或 － 1。
若? //?,则有 0,使? =,
=(?,? )
(?,?)=? 2 (?,? )
||||
,),c o s (
）（
=? (?,? )
=? 2|? | 2.
=
1?>0,
1?<0.
=? |? |2.
二,Rn中向量的内积，欧氏空间 Rn
维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在 nR n
维向量的长度n?
维向量间的夹角n?
维向量间的关系n?
定义 1.2
设 n 维向量? = (a1,…,an),? = (b1,…,bn).
定义数：
为向量? 与? 的内积,记为 （?,? ）,即
nn bababa2211
.),( 2211 nn bababa
性质
(i) （?,? )= (?,? );
(ii) （,? )=? (?,? );
(iii) （,? ) = (?,? )? (?,?） ;
(iv) （?,?）? 0,且（?,?） = 0 iff? = 0.
交换律分配律非负性定义 1.3
设 n 维向量? = (a1,…,an),定义
.),(|| 22221 n
为向量?的模 (或 范数,长度 ).
重要性质范数的性质,,?, Rn, R,则
1) |? |?0,|? | = 0,iff? = 0;
2) | | = |?|·|? |;
3) | |? |? |? |? |,三角不等式非负性正齐次性特别,
若 |? |=1,则称? 为单位向量,
易知,Rn 中的单位向量有等,e1,e2,en…,
定理 1.1(Chauchy-Schwarz不等式）
向量的内积满足
)8.1(|,||||),(|
其中等号成立当且仅当向量?和? 线性相关,
22 ||
),(,
||
),(
4
2
2 ||
),(),(
||
),(),(2),(
2
2
2
||
),(||
,0?
。所以 |||||),(|
重要不等式
.||
1
2
1
2
1
n
i
i
n
i
ii
n
i
i baba
定义 1.4
的夹角为与定义中两个向量，为，设 nR
.|||| ),(a r c c o s,
记为垂直（正交）与称时，，（特别当,0)
,
定义 1.5
,),S p a c eE u c l i d
n
n
R
nRn
仍记为（欧氏空间维称为维实向量空间定义了内积的定理 1.2(三角不等式）
则中两个向量，为欧氏空间，设 nR
| |? |? |? |? |.
证,
| |2 =（, )
=（?,? )?2(?,?)+(?,? )
|? |2?2|?|·|?|+|? |2
=( |? |?|? |)2,证毕定理 1.3(余弦定理）
则中两个向量，为欧氏空间，设 nR
.,c o s||||2|||||| 222
－?
证,
|?－? |2=（?－?,?－? )
=（?,? ) － 2(?,?)+(?,? )
证毕
.,c o s||||2|||| 22
定理 1.4(勾股定理）
则（即的向量，
中两两正交为欧氏空间，，设
.,0),
,21
ji
R
ji
n
k
.||||| || | 22221221 kk
证,2
21 | | k
),( 2121 kk
),(
11
k
j
j
k
i
i
k
i
k
j
ji
1 1
),(
),(
1
k
j
jj
.||||| | 22221 k证毕
§ 2 标准正交基在三维欧氏空间 R3 中，它的一组基 i =(1,0,0),
j=(0,1,0),k=(0,0,1) 满足如下条件：
（ I） 基中的向量是单位的，即
| i| = |j| = |k| = 1;
（ II） 基中的向量两两正交，即
( i,j ) = (j,k) = (k,i) = 0.
定义 2.1
n 维欧氏空间中任意一组两两正交的向量组称为正交向量组,
定理 2.1 若 n 维 欧氏空间中 向量
1,?2,…,?r 是一组两两正交的非零向量,
则?1,?2,…,?r 线性无关,
证,若有?1,…,?r,使
1?1?…r?r= 0
1
r
j
jj
||?
(0,?i )= (?,?i )
),(
1
i
r
j
jj
),(
1
ij
r
j
j
=? i (?i,?i),
由于?1,?2,…,?r 非零,知?i =0.
故?1,?2,…,?r 线性无关,
定义 2.2
设 n 维向量?1,?2,…,?r 是向量空间 V? Rn 的一个基,
若? 1,…,? r 两两正交,
且 |? i| = 1,i = 1,…,r,
则称? 1,…,? r 为 V 的正交规范基,
定理 2.2
若 n 维向量?1,?2,…,?n 是一组标准正交基,
则 n 维向量? =(x1,x2,…,xn) 在基?1,?2,…,?n 下的第 j 个分量为,
.,21),,( njx jj?，，
证,),(
j ),(
1
j
n
i
iix
),(
1
j
n
i
iix
),( jjjx,jx?
证毕
= (a1,…,an)? Rn,
例 2.1 e1,e2,…,en 是 Rn的一个正交规范基,
= a1 e1?…? an en
在? 的表达式中,ej 前的系数即为? 的第 j 个坐标,
例 2.2
)
2
1
,
2
1
,0,0(
),
2
1
,
2
1
,0,0(),0,0,
2
1
,
2
1
(),0,0,
2
1
,
2
1
(
4
321
为 R4 的正交规范基,
证,?),(
ii易算出即 |?i | = 1，
且?),(
21
,0),(),( 4131,0),(),( 4232
),( 43
由定理 2.1,?1,?2,?3,?4 线性无关,即为正交规范基,
)21()21(,0?
)21()21(,0?
2)
2
1(?,1?2)
2
1(
2
1
2
1?
2
1
2
1?
定理 2.3 任何一个非零向量空间 V 都存在正交规范基,且若
1,…,?r 为 V 的一个基,则可通过?1,…,?r 构造出一个正交规范基,
构造性证明 (Schmidt正交化）,
令?1 =?1 ;
求?2 =?21?1 使
(?2,?1) = (?2,?1)1 (?1,?1),
得? 1=?(?2,?1) / (?1,?1),
= (?21?1,?1);),( ),( 1
11
12
22
故
0 =
1
2
2
求?3=?31?12?2 使
(?3,?1)
= (?3,?1)1 (?1,?1),
0 =
= (?3,?2)2 (?2,?2),
= (?31?12?2,?1)0 =
(?3,?2) = (?31?12?2,?2);,,,),2
22
23
1
11
13
33
）（
）（
）（
（
……
1
11
1
2
22
2
1
11
1
),(
),(
),(
),(
),(
),(
r
rr
rrrr
r
.),( ),(
1
1
r
j
j
jj
jr?
Schmidt 正交化过程
,|| 1 1
1
1再令则?1,?2,…,?r 是一个正交规范基,
,|| 1 2
2
2
…,
,|| 1 r
r
r
例 2.3 设?1= (1,2,?1),?2= (?1,3,1),?3= (4,?1,0),试将其正交规范化,
解,?1=?1= (1,2,?1);
1
11
21
22 ),(
),(?
= (?1,3,1) 4
6
(1,2,?1)
= (?1,3,1)
)32,34,32(
,35(,35 );1,1,1(35)35
2
22
32
1
11
31
33 ),(
),(
),(
),(?
= (4,?1,0) 2
6 (1,2,?1)? )1,1,1(5?
3
25?
= (4
3
1?
3
5?,?1
3
2?
3
5?,0
3
1?
3
5? )
= (2,0,2).
单位化得正交规范基：
|| 111
|| 222
|| 333
),1,2,1(61
),1,1,1(31
).1,0,1(21?
3 = (4,?1,0)
1 = (1,2,?1)
);1,1,1(352
例 2.4 设?1= (1,2,?1),?2= (?1,3,1),?3= (0,5,0),试将其正交规范化,
解,?1=?1;
);1,1,1(352
2
22
32
1
11
31
33 ),(
),(
),(
),(?
= (0,5,0) 10
6
(1,2,?1)?
)1,1,1(5?
3
25
= (0
3
5?
3
5?,5
3
10?
3
5?,0
3
5?
3
5? )
= 0.
1,?2,?3 两两正交,但不能规范化,
原因?
3 =?12
即?1,?2,?3 线性相关,
1= (1,2,?1)
2= (?1,3,1)
3= (0,5,0)
例 2.5 求空间任意点? = (x,y,z)与三个坐标轴之间的夹角,
解,在坐标轴上分别取三个单位向量
i = (1,0,0),j = (0,1,0),k = (0,0,1)
则
||||),c o s ( i
ii
||||),c o s ( j
jj
||||),c o s ( k
kk
;
222 zyx
x
;
222 zyx
y
.
222 zyx
z
如果? 是单位的,即 |? |=1,则
cos(?,i) = x,cos(?,j) = y,? cos(?,k) = z,?
如果? 不是单位的,可进行单位化,
||?
=
222222222
,,
zyx
z
zyx
y
zyx
x
= (cos(?,i),cos(?,j ),cos(?,k) ).
易知 cos2(?,i)? cos2(?,j)? cos2(?,k) = 1,
的 方向余弦 及 方向角,
与坐标轴夹角的余弦例 2.6 设两点 M1(2,2,),M2(1,3,0),求向量 M1M2 的方向余弦及与 M1M2 反方向的单位向量,
2
解,? = M1M2 )2,2,2()0,3,1(
),2,1,1(
.2)2(1)1(|| 22221MM
,21),c o s (i?
,21),c o s (?j?
,2 2),c o s (k?
,32),(i
,3),(j
.43),(k
与 M1M2 反方向的向量为
).2,1,1(12MM
将其单位化,得单位化向量
).2 2,21,21(2 )2,1,1(||)( 0
向量在轴上的投影
M
P
u
点 P 为点 M 在轴上的投影,
M1
M2
u1 u2 u
u2? u1为 M1M2在轴上的投影,
记为 Proju? = u2? u1,
M1?
o u1
u2 u
c os||Pr?uoj
c o sPr?uoj
.1||,00?uuu 轴同向与其中
,0u
o u1u2
u
M2 M2
M1
co s|||| 0u
例 2.7 设 M(2,1,0),? =(1,1,0),求 OM 在? 上的投影解,?
M
y
xz o
222 011
)0,1,1()0,1,2(
.2 23
2
3
OMOMojPr
性质：
2) 设? =(x,y,z),则
Proji? =? ·i=x，
Projj? =? ·j=y,
Projk? =? ·k=z;
3) Proju(?+? )=Proju?+ Proju?,
1) Proju? =? ·u 0
其中 u0 为与 u 轴同向的单位向量 ;
§ 3 R3 中向量的向量积与混合积一、向量积在前面介绍的向量加法与减法时我们知道,两向量之和或差仍然是一个向量,但在介绍向量的数量积时却发现, 不再是一个向量而是一个数了,因此,我们仍希望引入向量的某种,积,运算,使之结果仍为一个向量,构造的准则 之一,有实际应用,
M B
l
|? |=?,? 称为角速度向量,
= | r |sin
=|?|? | r| sin?
考察一个刚体绕一轴 l 作旋转，刚体上任意一点就产生线速度 v,它的大小等于点 M 到旋转轴的距离乘旋转角速度?,方向垂直于过 l 及 M 的平面,
v
r
v 的方向与?,r 都垂直,
=|?|? | r |sin(?,r ).
// l 轴，满足
A
| v |= | MB|?则定义 3.1,设?, R3，定义? =? ×R3 满足
ii)? 的指向按右手法则从? 转到? 确定且与?,
所在平面垂直,
由此知上例中称? 为向量? 和? 的向量积,
v =? × r,
i) |? | = |? |? |? | sin(?,? )，?
性质 i) i× j=k,j × k=i,k × i=j,
ii)? ×? =0,特别有 i× i=j × j=k × k=0,
iii)?,R3 为非零向量，则? // ×? =0.
运算规律,设?,?, R3,则
i)? ×? = –? ×? = (–? ) ×? ;
ii) (?+? )×? =? ×? +? ×? ;
iii) ( ) ×? =? × ( ) =? (?×? ).
向量积的坐标表示：
设? =(x1,y1,z1),? =(x2,y2,z2)
×? =(x1i+y1j+z1k)× (x2i + y2 j +z2 k)
= x1y2 i× j + x1z2 i× k+y1x2 j× i
+ y1z2 j× k+ z1x2 k× i+ z1y2 k× j
= x1y2 k + x1z2 (–j)+y1x2 (–k)+ y1z2 i+
z1x2 j+ z1y2 (–i)
=( y1z2 – z1y2 )i+(z1x2 –x1z2) j+ (x1y2 – y1x2)k
kyyxxjzzxxizzyy
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
.
z
z
2
1
2
1
2
1
k
y
y
j
x
x
i
例 3.1 求以? = (2,1,–1),? =(1,–1,2)为两边的平等四边形的面积,
解：
S
=|? ×? |.
S=|? |·|? |· sin(?,? )?
而
S=|? ×? |
2
1
1
1
1
2?
k
ji
kji 11 122 1 122 1 11
= i–5j –3k = (1,–5,–3),
.35)3()5(1 222
加法
数乘
封闭性 向量空间内积
(?,? )
基本定义运算法则齐次性对称性线性本身内积非负性向量模 |? |
向量内积空间 (欧氏空间）
正交性 正交规范基任意一个基
Schmidt 正交化向量三维向量 空间直角坐标系 空间中点
(x,y,z) xi? yj? zk
一种内积向量间夹角方向余弦与方向角向量在轴上的投影
||||||||),c o s (
垂直关系
222||||),c o s ( zyx
xii
数量积
·?
性质分配律交换律?
平行关系平面三角形面积计算平行四边形面积计算
= 0
||21||
|| ||
向量积
基表示
Proju? u
0// u轴
|| u0 || = 1
·u 0
由第三章向量的线性相关性讨论知,两非零向量? 与? 线性相关 (共线 )的充要条件是存在不全为零的实数?,使
=,(3.5)
设? = (ax,ay,az),? = (ax,ay,az),则? 与? 共线的充要条件是
.
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a (3.6)
有了向量积概念后,我们又得：
两非零向量共线的充要条件是
＝ 0,(3.7)
例 3.2 已知向量?＝ (2,3,1),? ＝ (3,－ 9,
6,),求, 2?。
2?
解
693
132
kji
＝,27927 kji
2,541854 kji 2
例 3.3 求同时垂直于向量?＝ (2,－ 3,1);? = (1,
－ 2,3,)且模等于 的向量?。
3
解
设?＝ (cx,cy,cz),
321
132
kji
.57 kji
,375 2?t
为所求。故?
5
1,1,
5
7?
由向量积的定义知所求向量? 与 共线,因此有
7?
xc
又因?
5
yc
1
zc ).,0( Rttt
222 2549 ttt,3?
得
.51t即
222 zyx ccc＝
二、混合积定义 3.2 设有三个向量?,?,?,称? 与? 的向量积 再与向量? 的数量积 (内积 )为向量
,?,? 的混合积,记作 (?,?,? ),
(?,?,?)＝ () (3.8)即设向量?＝ (ax,ay,az),
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ibb
aa
zy
zy?
则有
= (cx,cy,cz),
＝ (bx,by,bz),
j
bb
aa
zx
zx?,k
bb
aa
yx
yx?
)(
由行列式的性质有
x
zy
zy c
bb
aa
＝
)(,
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
(3.9)
式 (3.9) 称为混合积 (?,?,? ) 的坐标表示。
y
zx
zx c
bb
aa
,z
yx
yx c
bb
aa
给定三个向量?,?,?,它们的混合积有不同的组合形式,如( ),( ),
( ),( ) 等等,除了它们都是实数这一特点外,还有其它联系吗？ 下面我们从几何上寻找它们的另一共性 。
不妨设?,?,? 不在同一平面上,令?＝
,由矢量积的几何意义 | | 表示以?,?
为相邻两条边的平行四边形的面积,由数 量积定义有
)(,,c o s＝
^
其中,c o s ^ 是?在?上的投影,
以空间一点 O为始点,作三个向量?、
,? 始于 O点,以这三个向量为棱作一平行六面体,如图 3－ 3所示 。
o
=
图 3-3
^当
,20,即?,?,? 成右手系时,,c o s
^
就是?,?所在底面上的高 。
即为平行六面体的体积。
)(
因此
V,)(
若?,?,? 共面,则由 垂直 所在的平面,得 垂直于?,故 ( )·? = 0;
反之,若 ( ) ·? = 0; 则 垂直于?,而
垂直于?和?,故?,?,? 共面,因此有定理 3.1 三向量?,?,? 共面的充要条件是
()·?= 0。
运算性质：
,
例 3.3 求由不在一个平面上的空间四点 A(x1,
y1,z1),B( x2,y2,z2),C( x3,y3,z3),D ( x4,y4,z4),
为顶点的四面体的体积 。
V,)(
6
1 ADACAB,，?
由立体几何知,四面体 ABCD的体积等于以 AB,AC,AD 为棱的平行六面体体积的
1/6，
解即故
V,
6
1
141414
131313
121212
yzyyxx
yzyyxx
yzyyxx
＝
,,,121212 zzyyxxAB
,,,131313 zzyyxxAC
.,,141414 zzyyxxAD
