343
龚光鲁,钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用
清华大学出版社,2003
下面我们粗略地介绍随机分析的基本工具,即随机微积分,还要介绍一种最常见的连续状态连续时间的 Markov 过程,称为扩散过程,由于这部分内容涉及较多的数学内容,要真正表达清楚,测度论与概率基础 等工具 是必不可少的,这样 就大大超出了本书大部分读者现有的数学基础,因此,在本章中我们并不求给出一般的定义与定理 的精确叙述,而是只从一些有典型意义的特例,来导出随机微积分及扩散过程的概念与其思想之精髓,
3,Ito 积分 － 对 Brown 运动的积分
对于 函数 的研究,函数的微积分是其精髓,而 对 于一个 随机过程的函数这样的特殊随机函数而言,其微积分也具有同样的重要性,函数的微分与积分是一对互逆的运算,对 于初等函数,我们常 从 其导数入手,进而得到微分 与积分 ； 但是对非常复杂的一般函数,积分却比导数更容易理解 与处理,也易于作近似计算,因此,人们也常以积分作为微积分的核心,在本节中,我们 将 考虑对 Brown 运动的随机积分,作为随机微积分的核心,
3,1 对 Brown 运动的积分与其特殊性
对 Brown 运动的积分的特殊性
设在概率空间,(? F ),P 上有 Brown 运动 }{ tB (?∈= ww),(tt BB ) 及另一个轨道 ( 样
本函数 ) 连续的随机过程 )(wtt Φ=Φ? ( 回忆 起 它是依赖于参数 t 的随机变量族,在 w 固定时,)(wtΦ 作为 t 的函数,即为随机过程 tΦ 的一个样本函数,或轨道 ),我们能不能对于固定的 w,定义样本函数 )(wFt 对于 Brown 运动的样本函数 )(wtB 的积分
)()( ww tt
b
a
dBΦ∫ 为 积分 和的极限呢? 更具体地,如果我们考虑区间 ],[ ba 的一组划分,
btta nln n =<<= )()(0 L,0)(max )()( 110 →?=? +?≤≤
n
k
n
klkn ttn,
令
))()()(()( )()(
1
)(
1
0
wwww n
k
n
k
n
k
n
ttt
l
k
n BBJ?Φ= +∑?
=
,(12,24)
那么能否定义 )()( ww tt
b
a
dBΦ∫ 为 )(lim wnn J∞→ 呢? 如果 )(lim wnn J∞→ 对每一个 ω 都存在,那么很自然地,这个极限就该是 tΦ 对 tB 的积分,但是不幸的是,一般 )(lim wnn J∞→
并不存在,关于这一点,我们将在下面说明,
另一方面,如果我们不要求 )(lim wnn J∞→ 对每一个 ω 都存在,而把
344
∈=? ww),(nn JJ 视为随机变量,而且把,极限,的含义要求得弱 一 些,如果随机过程
Φ t 只依赖 Brown 运动的过去 }:{ tuBu ≤,即 Φ t 为 )( tB 可知的,则可以证明随机列 nJ 是按概率收敛的,Ito 就把这个概率收敛的极限随机变量,定义为随机过程 Φ t 对 Brown 运动
tB 的积分,这就是 Ito 积分的基本思想,即若 对于任意 0>e 有
0)|)()((|lim =>?∞→ ewhwnn JP,
则我们就定义
=Φ∫ )()( ww tt
b
a
dB η ( ω ),
并把它 简记为 =Φ∫ t
b
a
dBt)( h,或更简单地记为 dB
b
a
Φ∫,
需要指出,和数 nJ 在每个小区间 ],( )()( nknk tt 上,我们需要 限定取 Φ )( n
kt
作为 Φ 在此小区间上的近似,而不能象在普通函数的积分中那样,可以取 Φ 在此小区间上 任意 的一点的值为近似,其原因是,这里相应于普通积分中的差分的 项 是,)()(
1
)( n
k
n
k
n
k ttt
BBB?=?
+
,它们是随机变量,虽然 0)(lim )( =?∞→ wnkn B,但是对于不同的 ω,它们趋于 0 的速度很不一致,而 粗略地说,平均地有 )(2)(2)( )(~)( nknknk tBEB?=,也就是说,平均地 Δ B )(nk 趋于 0 的速度为 )(nktD,它大大地慢于 )(nkt?,从而在区间 ],( )()( nknk tt 上取不同的点作为 Φ 的 近似,所得的近似和之间的差别是不可忽略的,
定义 （ 命题 ） １２,４４ （ Ito( 随机 ) 积分的定义 ）
若随机过程 tΦ 是 )( tB 可知的,且
∞<Φ∫ dtE t
T
2
0
|)(| w,(12,25)
则对于区间 ],0[ T 的 任意 一组划分,
Ttt nln n =<<= )()(00 L,0)(max )()( 110 →?=? +?≤≤
n
k
n
klkn ttn,
和数
∑?Φ= + )( )()( 1)( nknknk tttn BBJ
必然 按概率收敛到某个随机变量,则这个极限随机变量就定义为 t
T
dBt)(
0
Φ∫,称为 Ito 积
345
分,
例 １２,４５ 我们有
tBdBB tss
t
2
1
2
1 2
0
=∫,
这个结果与普通微积分的不定积分公式是不同处,是这里多了 t21,下面我们来推导这一结论,记 )()(
1
)( n
k
n
k
n
k ttt
BBB?=?
+
,则
∑?= +
k
tttn nknknk BBBJ )( )()( 1)(
∑?= +
k
ttt nknknk BBB ]22[2
1 2
)()(
1
)( ∑=
k
tt nknk BB ])()([2
1 22
)()(
= 22 )(2121 )(∑
k
tt nkBB nt IB?=
2
2
1,
而由 Brown 运动的性质,我们有
2
tEI
n =,
2)(4 )(3)(
)(
n
kt tBE nk?=?,
2)(22 ])[(
4
1)
2( )(
n
kt
k
n tBE
tIE
n
k
=? ∑ ])()[(41 2)(4)( nkt
k
tBE n
k
= ∑
2)( )(
2
1 n
k
k
t?= ∑ ∑ →?=≤
k
n
n
kn
Tt 0
22
1 )(,)( ∞→n,
这说明
0|)221(| 22 → tBJE tn,
用 Chebyshev 不等式,便得 nJ 概率收敛到 )(21 2 tBt?,
[ 注 ] 以上论证实际上证明了以下的命题,
命题 １２,４６
0|)(| 22)( →∑ tBE
k
t nk,
类似的推理可以证明 下面的命题,
命题 １２,４６ ＇
0|)())((| 202)()( → ∫∑ dtBfBBfE tT
k
tt nknk,
［ 注 ］ 如果我们在例 12.45 的积分和中,用 )(
1
n
kt
B
+
代替 )( n
kt
B,并记
∑?= +
k
ttn nknk BBH )()( 1,
那么
346
∑ ++?=
k
tttn nknknk BBBH )22(2
1
)()(
1
)(
1
2
∑∑?+=?+?= +
k
tn
k
tt nknknk BJBB
222 )(])()([
2
1
)()()(
1
,
于是有
0|)221(| 22 →+? tBHE tn,
用 Chebyshev 不等式,立得 nH 按概率收敛到 )(21 2 tBt +,
特别地,我们有
∑?+ +
k
t
tt
n
k
n
k
n
k B
BB
E )()( 1)( 2| 0|21 22 →? tB,
[ 注 ] )( tB 可知的随机过程 tΦ 的可积条件 (12,25) 还可以减弱,
定义 １２,４７ （ Stratonovich( 随机 ) 积分 ） 若 f 为连续可微函数,则
∑?+ +
k
t
tt
n
k
n
k
n
k B
BfBf
)(
)(
1
)(
2
)()(
的概率极限,称为 Stratonowich 积分,记为 tt
T
dBBf o)(
0
∫,又若 tx 是一个?)( tB 可知的连续随机过程,那么,类似地定义 tt
T
dBf o)(
0
x∫,
用与上面类似的推理,可以得到 Stratonowich 积分与 Ito 积分的如下关系,
ss
t
dBBf o)(
0
∫ 21)(
0
+= ∫ ss
t
dBBf dsBf s
t
)('
0
∫,(12,26)
( 但是 ss
t
dBf o)(
0
x∫ 21)(
0
+≠ ∫ ss
t
dBf x dsf s
t
)('
0
x∫,在 3.2 段中,我们将给出其正确的形式 ),
例 １２,４８
2
0 2
1
ttt
t
BdBB =∫ o,
例 １２,４９ 如果函数 f 有原函数 F,则 用 积分和可以直接验证
)()()( 0
0
BFBFdBBf ttt
t
=∫ o,
347
这个结果与普通微积分中的结果 是 一致 的,而 Ito 积分就没有这样简单的形式,这是
Strat o nowich 积分的优点,但是 Ito - 随机积分在计算中有其更为方便的优点,它便于利用鞅论作理论推导的工具,所以在很多情况下,数学家 更喜欢使用 Ito 积分,而物理学家则更喜欢 Stratonovich 积分,
Ito 积分 有下面的一些基本 性质,
(1) 线性 性质
∫
t
0
( Φ ＋ Ψ )dB = ∫
t
0
Φ dB ＋ ∫
t
0
Ψ dB,
∫
t
0
( c Φ )dB = c ∫
t
0
Φ dB,
( 对于一个只依赖于 {B u,u ≤ a} 的随机时间 h,也有
∫
b
a
( h Φ )dB = h ∫
b
a
Φ dB),
(2) 可加性,对 cba << 有 （ 对于 ba <,定义
∫
b
a
Φ dB = ∫
b
0
Φ dB - ∫
a
0
Φ dB ）
∫
c
a
Φ dB = ∫
b
a
Φ dB + ∫
c
b
Φ dB,
（ ３ ） 对任意 )( tB 有界停时 τ,假定 T≤t,则可以定义
tt
T
dBtIdB )(],0(
00
t
t
Φ=Φ ∫∫
,
此外,作为,随机的,积分,它还有性质,
（ ４ ） 零期望性与鞅性,在 t 变化时,随机过程 }{
0
ss
t
dBΦ∫ 是 )( tB 鞅 （ 这是 Brown
运动是鞅的推广 ）,且
0)(
0
=Φ∫ ss
t
dBE,
（ ５ ） 协方差与平方可积鞅性质,对任意 tu <≤0 有
)()( ∫∫∫ ΨΦ=ΨΦ
t
u
sss
t
u
ss
t
u
dsEdsdBE （ 这是 Brown 运动平方可积鞅的推广 ）,
从而随机过程 })( 2
0
2
0
dsdB s
t
ss
t
Φ?Φ ∫∫ 也是 )( tB 鞅,
348
（（ １ ），（ ２ ），（ ３ ） 直接得自定义,对 （ ４ ） 我们给出直观证明如下,让我们简单地使用记号
F t }:{ tuBu ≤=?,
对于 ts <,由随机过程 tΦ 是 )( tB 可知的,故
|{
0
uu
s
dBE Φ∫ F )s uu
s
dBΦ= ∫
0
,
再则,对于 1+<≤ kk tts,我们有
|(
kk tt
BE?Φ F )s |([
kk tt
BEE?Φ= F |)
kt
F ]s |([
kk tt
BEE?Φ= F |)
kt
F 0] =s,
对于 k 求和,再取极限便得
|{ uu
t
s
dBE Φ∫ F 0) =s,
合起来就是
|{
0
uu
t
dBE Φ∫ F )s uu
s
dBΦ= ∫
0
,
这就直观地证明了 （ ４ ）,而这里 的直观证明是利用了线性性质,Brown 运动的性质,条件期望的性质,最后还要加上极限与取条件期望的次序可以交换,类似的考虑,可以得到 （ 5 ） 的直观证明,而 性质 （ ４ ），（ ５ ）
的严格证明要涉及测度论的许多知识,本书从略,
* （ ６ ） 令
dsdB
t
s
t
ss
t
eM
2
00 2
1 Φ?Φ ∫∫
=,(12,27)
则 tM 是 )( tB 鞅,称为 Ito 积 分的指数鞅,它是 Brown 运动的指数鞅的自然推广,我们将在下一段中用
Ito 公式证明它,
需要特别强调的是,性质 （ ４ ） 与 （ ５ ） 是使 Ito 积分比 Stratonovich 积分更易于用于随机分析的理论推导的原因,
3,2 Ito 公式 — 随机积分的换元公式与复合函数的随机微分公式
在普通函数微积分中,复合函数的微分公式与积分的换元公式是相互等价的两个最基本的公式,而 在随机微积分中,我们也有一个对应的公式,虽然它比微积分中的公式复杂,但是通过它仍然可以如在微积分中那样,把 Ito 积分方便 地应用到许多问题中去,
定义 １２,５０ （ Ito 过程 ）
设
dsdBx s
t
ss
t
t Ψ+Φ+= ∫∫
00
x,
其中随机过程 tt ΨΦ,都是 )( tB 可知的,且对任意固定的 ω,都是 t 的连续函数,满足
349
∞<Φ∫
∞
dsE s2
0
,∞<Ψ∫
∞
dsE s ||
0
,而 dss
t
Ψ∫
0
理解为在 w 固定后的普通积分,则 tx 称为 Ito 过程,它也可以记成如下的 Ito 形式微分
dsdBd ssst Ψ+Φ=x,
设 tx 是 Ito 过程,又 二元实函数 ),( xtf 对 x 二阶光滑且对 t 一阶光滑,令 th 为复合 得到的随机过程 ),( tt tf xh =,则下面的 Ito 公式表明 th 也是一个 Ito 过程,也就是说,
Ito 过程对于这种 光滑函数的 复合运算是封闭的,
我们 先分析例 12.35,它说明了 221 tB 是一个 Ito 过程,且 dtdBBBd ttt +=)21( 2,
于是对于 221)( xxf =,有 tttttt dBBfdBBBdBdf )(')21()( 2 =≠=,可见为了得到
)( tBdf,仅用通常的 微 积分中的 一阶展开 tt dBBf )(' 是不够的,必须还 补充 以
2
2
1)( xxf = 的 Taylor 展开中的第二项 2))((''
2
1
tt dBBf
2)(
tdB=,它提供了 )2
1( 2
tBd 中的第二项 dt,比较后可见 有 下面的引理,
引理 １２,５１
dtdBt =2)(,即 2
1
)(dtdBt =,(12,28)
它 说明 tdB 是 ( dt 的 ) 半阶无穷小 2
1
)(dt,从而 对于 Ito 过程的复合函数 ),( ttf x,在作微分 ( 即随机微分 ) 的时候,必须把 Taylor 展开应用到二阶,
2))((''
2
1)(')(
ttttt dfdfdf xxxxx +=,(12,29)
这才穷尽了半阶无穷小 作出的 的贡献,例 １２,３５ 的结论可以一般化为 下面的定理,
定理 12,2 （ Ito 公式,随机微分公式 ）
设 tx 为 Ito 过程,即 dtdBd tttt Ψ+Φ=x,二元实函数 ),( xtf 对 x 二阶光滑且对 t
一阶光滑,那么,th ),( ttf x= 也是 Ito 过程,而且有
),(21),( 2 ttt tfdtdfd xxh += 2))(,(''21),('),(' ttxxttxtt dtfdtfdttf xxxxx ++=
ttxxxttxt dBfdtfff Φ+Φ+Ψ+= ')''2
1''( 2,(12,30)
其中
=2)( tdx 2)( dtdB ttt Ψ+Φ dtt2Φ=?,(12,31)
( 理解与证明 Ito 公式的核心是,dtdBt =2)(,即 2
1
)(dtdBt =,在严格的论证中它实际上
350
将 被关系 0|)(| 22)( →∑ tBE
k
t nk 所代替 ),
Ito 公式实际上就是用 Taylor 公式对 ),( ttf x 作关于 dt 的一阶近似,它也就 给出了
Ito 公式的直观推导,而其严格推导则需要较为精致的随机分析工具,本书中并不必要 介绍,
推论 １２,５２ 设 tx 为 Ito 过程,dtdBd tttt Ψ+Φ=x,)(xf 二阶光滑,那么,
)( tf x 也是 Ito 过程,而且有
)(21)()( 2 ttt fddfdf xxx += 2))((''21)(' tttt dfdf xxxx +=
ttxtt dBfdtff Φ+Φ+Ψ= ')''2
1'( 2 (12,32)
注 1 设 tx 为 Ito 过程,dtdBd tttt Ψ+Φ=x,)(xf 二阶光滑,那么,
ss
t
dBf o)(
0
x∫ 21)(
0
+= ∫ ss
t
dBf x dsf ss
t
Φ∫ )('
0
x
注 2 设 tx 是 Stratonovich 型 的 Ito 过程 dsdBx s
t
ss
t
t Ψ+Φ+= ∫∫
00
ox （ 写 成
dtdBd tttt Ψ+Φ= ox ）,那么,可以证明它有如普通的微积分那样的复合函数的微分的链法则 ； 即对于三阶可微的函数 )(xf 有 ttt dfdf xxx o)(')( =,
定理 １２,５３ ( 多维 Ito 公式 )
设 ),,( )()1( dttt xxx Lr =,)(,)( diit ≤x 为 Ito 过程,dtdBd ittitit )()()( Ψ+Φ=x,
),( xtf r 为对 xr二阶光滑且对 t 一阶光滑,那么,th ),( ttf xr= 也是 Ito 过程,而且有
),(21),( 2 ttt tfdtdfd xxh +=
))(,(''21),('),(' )()(
1,
)(
1
j
t
i
ttxx
d
ji
i
ttx
d
j
tt ddtfdtfdttf jii xxxxxx
rr ∑∑
==
++=
t
i
tx
d
i
xx
j
t
i
t
d
ji
i
tx
d
i
t dBfdtfff ijii ]'[]''2
1''[ )(
1
)()(
1,
)(
1
Φ+ΦΦ+Ψ+= ∑∑∑
===
,(12,33)
其中
=)()( jtit dd xx )( )()( dtdB ittit Ψ+Φ )( )()( dtdB jttjt Ψ+Φ dtjtit )()( ΦΦ=?,(12,34)
推论 １２,５４ （ 乘积公式 ） 设 tt hx,都是 Ito 过程,则
351
))(()( tttttttt ddddd hxxhhxhx ++=,(12,35)
推论 １２,５５ ( 推广的 Ito 公式 )
设 tx 为 Ito 过程,)(xg 为有界连续函数 （ 显见 dsg s
t
)(
0
x∫ 也是 Ito 过程 ）,又若
),( xtf 是 对 x 二阶光滑,且对 t 一阶光滑的实函数,)(xh 一阶连续可微,那么,
th ),())((
0
ts
t
tfdsgh xx∫= 也是 Ito 过程,而且有
=tdh += ∫ dtgdsghtf ts
t
t )())(('),(
0
xxx ),())((
0
ts
t
tdfdsgh xx∫,
( 证 明 用二 维 过程 ))(,(
0
dsg s
t
t xx ∫ 的 Ito 公式 ),
例 １２,５６ 设 b,s 是 常数,Gauss 过程 ∫+=?
t
s
bsbt
t dBee
0
0 ][ shh,则 有
ttt dBdtbd shh +?=,
证明 令 ∫+=
t
s
bs
t dBe
0
0 shx,则 t
bt
t e xh
=,对它用 Ito 公式便得到
dtbeded tbttbtt xxh= dtbdB tt hs?=
[ 注 ] 这里 th 满足一个随机微分方程,( 由它的定义还知道它是一个 Gauss 马氏过程,
可以证明它就是 参数为 bb 2,
2s
gb == 的 OU 过程,) 这个随机微分方程最早出现于理论物理中,称为 Langevin 方程,
例 １２,５７ 设 tΦ 是有界 的 （ 即存在 0>M,使得对于任意 ),( wt 有
Mt ≤Φ |)(| w ）,且为 )( tB 可知的随机过程,又
dsdBeZ s
t
ss
t
tt
t 2
00 2
1,Φ?Φ== ∫∫xx,
那么,由 Ito 公式推出
2)(
2
1
ttt dedededZ
ttt xx xxx +==
352
ttttttt dBZdtedtdBe
tt Φ=Φ+Φ?Φ= 22
2
1)
2
1( xx,
可见 tZ 是随机微分方程
tdZ ttt dBZ Φ=
满足初始条件
10 =Z
的解,事实上 由下面的定理 12.59 知道 此解是 唯一 的,又 由于 tZ 作为 Ito 过程只含对 Brown
运动的随机积分项,由 Ito 积分的性质 ( ４ ) 得到 tZ 是 )( tB 鞅,这就 顺便 地 证明了 Ito 积分的指数鞅性质,
例 １２,５８ ( 描述证券的 Black - Scholes 模型 )
Black - Scholes 用 如下的 随机微分方程 ( 称为 Black - Scholes 随机微分方程 )
)( ttt dBbdtd sxx +=
的解 tx 来描述证券价格的随机 模型,其中 tdBbdt s+ 称为 随机的收益变化率,常数 b 称为平均收益率 （ Yield ）,常数 s 称为 波动率 ( V olatility),这个方程与例 １２,５７ 中的方程非常类似,我们 容易 用 Ito 公式 直接 验证
tBtb
t e
ssxx += )2(
0
2
是 Black - Scholes 随机微分方程的解,当 10 =x 时,这个解就是几何 Brown 运动,
从本章 第 4 节 中的定理,我们可以知道,在初始值 0x 给定的条件下,例 １２,５６,
例 １２,５７ 与例 １２,５８ 三个例子中的解,都是唯一的,
Ito 公式成立的范围可以更广,但是需要用测度论的语言,我们这里只能就特殊的情况,把 Ito 公式的核心 内容 介绍 给 读者,使读者能领略随机微积分的概要,要完全地,严格地懂得与掌握随机微积分,读者必须 先 掌握基本的测度论知识与方法,
4,随机微分方程与扩散过程简介
4,1 随机微分方程
在例 １２,５６ 与例 １２,５７ 中,我们已经给出了两个特殊的随机微分方程,
ttt dBbd shh +?= 与 tdZ ttt dBZ Φ=,本段将介绍较为一般的随机微分方程,
随机微分方程也称 随机积分方程,是表达 相当广的一类 连续时间,连续状态的 Markov
过程的一个重要而方便的工具,随机微分方程的一般形式为
tttt dBtdttbd ),(),( xsxx +=,(12,36)
它应该理解为 其积分形式
353
ss
t
o
s
t
t dBsdssb ),(),(
0
0 xsxxx ∫∫ ++=,
其中第一个积分理解为对任意固定的 ω 后,对时间参数作普通函数的积分,而第二 个积分则就是为 Ito 积分,
上述随机微分方程解的存在性和唯一性的研究,是随机微分方程的理论研究的一个基本问题,它不仅是随机分析的理论基础,而且对于许多应用问题也有重要意义,例如,在物理问题中归纳出的 Langevin 方程,从其存在唯一性,就可断定它就是例 １２,３５ 中给出的那个 Gauss Markov 过程,由此我们就 可以 知道它的统计特性,
下面我们给出随机微分方程的一个最简单的存在唯一性定理,
定理 １２,５９ 如果 b,s 满足,存在 0>C,使对于 任意 t,一致地 满足如下的
Lipschitz 条件
|||),(),(||),(),(| yxCytbxtbytxt?≤?+?ss,
那么,在初始值 0x 给定的条件下 ( 指整个随机变量给定 ),随机微分方程 (12,36) 存在唯一的 解 tx ( 其含义为,如果有另一个解 'tx,那么只要满足 1)'( 00 == xxP,就一定有
1)0,'( =>?= tP tt xx ),此 解 tx 可以由下面迭代程序的收敛极限得到,
,0)0( xx =t
s
n
s
t
o
n
s
t
n
t dBsdssb ),(),(
)()(
0
0
)1( xsxxx ∫∫ ++=+,
这时对任意 0>T 有
0|| 2)(
0
→ ∞→∫ ntnt
T
dtE xx,
( 此极限式的成立,还可以 进一步 保证对任意 0,0 >> Te 有
0)||(sup )( →?>? ∞→≤ ntntTtP exx ),
由此也可看出,tx 只依赖于 0x 及 Brown 运动 }{ tB 在时刻 t 以前的 值,特别地,如果
x=0x ( 非随机 ),则随机过程 tx 是 )( tB 可知的,
[ 注 ] 本定理也是一个近似算法,再则,保证存在唯一性的条件实际上可以减弱,但本书中不再论述,
例 １ ２,５６ 与例 １２,５８ 中 的 随机微分方程,都满足定理 １２,５９ 的条件,所以在初始值给定的条件下,方程的解是存在 ( 已经得到了解析表达式 ) 且唯一的,例 １２,５７
中的随机微分方程的解,也是唯一的,但是需要另行证明,本书从略,
例 １２,６０ (线性随机微分方程 ) 对于线性随机微分方程
354
tttt dBcXdtabXdX )()( +?++= s,
可以仿照常微分方程的方法得到它的解,首先,将方程改写为
ttttt cdBadtdBXdtbXdX +=?+? )( s,
它所 对应的齐次线性随机微分方程
0)( =?+? tttt dBYdtbYdY s
是 一个 Black-Scholes 随机微分方程,故其 解为
tBtb
t eYY
ss +?= )2(
0
2
,
仿照常微分方程中恰当因子的方法,把 其倒数 1?tY 乘到非齐次方程上,以便用 Ito 公式求 得
)( 1?ttYXd,由于,t
Btb
t eYY
ss = )2(1
0
1
2
tBtbeY s
ss+?
= ]2)[(1
0
22
,可见 1?tY 应满足以下方程
])[( 211 tt dBdtbYdY+?= ss,
因此
1111)( ++= dXdYdXYXdYYXd
tt
dtYcXdBcXdtabXYdBdtbXY t?++?++++?= sssss 1121 )(])()[(])[(
])[(1 cdBdtcaY +?=? s,
于是 就 得到解 tX 的显 式 表示
])([ 1
0
1
0
1
00 ss
t
s
t
tt dBYcdsYcaYXYX
∫∫ +?+= s
])( )())((2(
0
)())(2(
0
)2(
0
222
s
BBstbtBBstbtBtb dBecdsecaeX ststt?+++? ∫∫ +?+= ssssss s
,
例 １２,６１ 求解
ttttt dBcXdtXbaXdX ++= )(,
我们可以通过变换,并运用 Ito 公式,把此方程化为一个 可以视 随机性 w 为参变量的普通的常微分方程,从而可以求得方程的显式解,此解为
2
0
)24(2
0
2 )
2(
22
XdsebeX s
acBctattccB
t
st +=?+?+? ∫,
(证 明提 示 对 ttttt dBcXdtXbaXdX ++= )(,令
tccB
t
teM
2
2
1+?
=,则有
dtXbaXMXMd ttttt )()( +=,
355
记 ttt XMY =,那么 它满足 如下的 常微分方程
t
tccB
t
t YbeaY
dt
dY t
2
4
1
2
1 +?
+=,
再作变换 tt YZ =,则得到
tccB
t
t tebZa
dt
dZ 24121
22
+?+=
,求解 tZ 后 再 代回去便得,
例 １２,６２ （ 时变 Kalman-Bucy 滤波的连续时间形式 ） 设 }0:{},0:{ ≥≥ tWtB tt 是两个彼此独立的 Brown.运动,而状态随机过程 tX 满足如下的线性随机微分方程
ttt dBtbdtXtadX )()( +=,
但是状态 tX 无法测量得到,能测量到的是与之有关的,如下的量测随机过程 tY
ttt dWtddtXtcdY )()( +=,
其中 )(),(),(),( tdtctbta 都是非随机的函数,则 用资料 }:{ tsYs ≤ 得到 tX 的估计 tX∧ 满足如下的方程,称为滤波方程 （ 实际应用时,应该用差分采样代替,从而得到 滤波公式 ）
])([)( )()()( ^2^^ dtXtcdYtd tptcdtXtaXd tttt?+=
)()(])( )([)()(2)(' 222 tbtptd tctptatp +?=,
这里 )(tp 满足的方程是 Riccatti方程,可以用变换 )( )(')( )()(
2
tu
tu
tc
tdtp = 化为 )(tu 的二阶线性方程以求解,
(证明较长从略 ),
4,2 扩散过程
定理 １２,６３ 在定理 １２,５９ 的条件成立下,将 随机微分方程
ss
t
o
s
t
t dBdsbx )()(
0
xsxx ∫∫ ++=
的唯一解记为 )(xtx （ 因为它 依赖初始值 x ）,那么 )(xtx 是具有概率转移密度的时齐 Markov
过程,其转移密度 ).,( yxtp 存在,且满足下面的 扩散方程 ( 也称为 Kolmogorov 向后方程 ),
x
pxb
x
px
t
p
+
=
)(
2
)(
2
22s
,(12,37)
)()(),,0( xfdyyfyxp =∫ ( 初值 ),(12,38)
356
又因为转移密度 ).,( yxtp 满足扩散方程,所以随机过程 )(xtx 称为 扩散过程,而
2)()( xxa s?= 称为 扩散系数,)( xb 称为 漂移系数,
Markov 性的直观证明 对于任意 n,及任意 1ssst n >>>> L,在 ),[ ∞∈ st,满足条件
11,,,xxx snss n === xxx L 的解 tx 的迭代构造也应为
xt =)0(x,sns
t
s
n
s
t
s
n
t dBdsbx )()(
)()()1( xsxx ∫∫ ++=+,
其中的一切 )(ntx 都只依赖于 )(),(,xbxx s,而不依赖于 1,,xxn L,从而条件概率
),,,|( 1
1
xxxP snsst
n
===Λ∈ xxxx L 也不依赖于 1,,xxn L,即应该有
),,,|( 1
1
xxxP snsst
n
===Λ∈ xxxx L )|( xP st =Λ∈= xx,
此即 Markov 性,
往证时齐性,对于方程的解有
uu
st
s
u
st
s
sst dBdub )()( xsxxx ∫∫
++
+ ++=,
改记
stt +=xx,sstt BBB?= +,
则 tB 也是一个 Brown 运动,而且直接由 Ito 积分的定义,从极限容易得到
uu
t
uu
st
s
BddB )()(
0
xsxs ∫∫ =
+
,
于是
uu
t
u
t
t Bddub )()(
00
0 xsxxx ∫∫ ++=,
与
uu
t
u
t
t dBdub )()(
00
0 xsxxx ∫∫ ++=
是具有相同系数但对应于不同 Brown 运动的 Ito 方程的解,而对于不同的 Brown 运动对应的迭代过程的每一步都具有相同的分布,从而它们的解作为极限有相同的转移函数,
关于转移密度的存在性证明,一般都较为复杂,最方便的是援用光滑系数的线性偏微分方程的结论,
在 )(),(2 xbxs 有高于二阶的连续导数时,向后 方程
357
t
uxb
x
ux
t
xtu
+
=
)()(
2
1),(
2
2
2s
的基本解 ),,( yxtG 对 t 一阶连续可导,对 x 二阶连续可 导,而且 dyyuyxtGxtu ),0(),,(),( ∫=,
此时 ),,( yxtG 正是我们的转移密度 ),,( yxtp,
对于 Kolmogorov 向后方程,我们将在定理 12.63 后面的注中给出其直观推导,
[ 注 ] 由
uu
t
s
u
t
s
st dBdub )()( xsxxx ∫∫ +=?
可得漂移系数与扩散系数的概率含义为
h
xExb sshs
h
]|)[(lim)(
0
=?= +
→
xxx
（ 即条件平均速率 ）,
h
xExa sshs
h
]|)[(lim)( 2
0
=?= +
→
xxx
（ 即条件平均二阶矩增长率 ）,
定理 １２,６３ （ K olmogorov 向前方程,Fokker - Plank 方程 ）
若 )(xs 二阶光滑,)( xb 一阶光滑,则扩散过程的转移密度 ),,( yxtp 还满足如下的方程
))(()2)((
2
2
2
pybypyytp= s,(12,39)
它称为 K o lmogorov 向前方程 或 Fokker - Plank 方程,写成散度型的方程就是
))](')()(([)2)((
2
pyyybyypyytp sss=,(12.39) ’
[ 注 ] Kolmogorov 向前方程与向后方程的直观推导,
( 1) Kolmogorov 向前方程的直观推导,由 Ito 公式有
2))((''
2
1)(')(
ttttt dfdff xxxxx +=,
tuu
ts
s
uuu
ts
s
sst dBfdtfbff )('')()(')]()(2
1[)()( 2 xxsxxxsxx ∫∫ ++
+ +++=
对于有连续二阶导数且在有限区间外取值 0 的函数 ( 简称为 20C 函数 ) )(xf 而言,uuu
t
dBfb )()(
0
xx∫
是 ( )tB 鞅,记 F }:{ tuBut ≤=,由 条件期望的性质得到
==?=+ )|)(()|)(( 00 xfExfE tst xxxx |))()([((( tts ffEE xx?+ F )|] 0 xt =x
358
|))](')()('')(21[([( 2 dufbfEE uuuu
ts
t
xxxxs += ∫
+
x ]|) 0 xt =x,
再 用微积分中的定理,我们 有
)|)]()(([(1 0 xffEs tst =?+ xxx
|))(')()('')(21[(1( 2 uuuu
ts
t
fbfEsE xxxxs += ∫
+
)|] 0 xdut =xx
]|))(')()('')(21[( 020 xfbfE tttts =+?→? → xxxxxs,
另一方面,如果我们假定时齐的 Markov 过程 tx 有转移密度 ),,( yxtp,那么由
∫== dyyfyxtpxfE t )(),,()|)(( 0xx,
上面的极限式就变成
∫?+ dyyfyxtpyxstps )()),,(),,((1
dyyfybyfyyxtps )](')()('')(21)[,,( 20 +?→? ∫→ s,
即
dyyfybyfyyxtpdyyft yxtp )](')()('')(21)[,,()(),,( 2 += ∫∫ s,
再用分部积分推出 (利用 f 在 ∞± 处为 0)
dyyfyxtpybyyxtpyydyyft yxtp )())],,()(()),,()((21[)(),,( 22
2
=
∫∫ s,
由于 f 的任意性,我们便得到
)),,()(()),,()((21),,( 22
2
yxtpybyyxtpyyt yxtp= s,
这正是 Kolmogorov 向前方程 (12,39),
(2) Kolmogorov 向后方程的直观推导 对于任意 20C 函数 )(xg,记
∫= dxxgyxtpytv )(),,(),(,
则我们仍有
)),()(()),()((21),( 22
2
ytvybyytvyyt ytv= s,
而且由 Chapman-Kolmogorov 方程,还有
359
∫∫∫
∫∫∫
===
=+=+
)),(),,((),(),,(),(),,(
)(),,(),,()(),,(),(
dxxsvyxtpdxxtvyxspdzztvyzsp
dxxdzgyzspzxtpdxxgyxstpystv
,
于是由上式及 Kolmogorov 向前方程和 形式的 分部积分 (指终端 ∞± 处 都认为取 0)推出
=?+?∫ dxxgt yxstp )(),,( ∫=?+?=?+? dxs xsvyxtps ystvt ystv ),(),,(),(),(
dxx xsvxbx xsvxyxtp ))],()([)],()([21)(,,( 2
22
= ∫ s
dxx yxtpxbx yxtpxxsv ]),,()(),,()(21)[,( 2
2
2
+
= ∫ s
dxx yxtpxbx yxtpxdyygxysp ]),,()(),,()(21[)(),,( 2
2
2
+
= ∫∫ s,
令 0→s 就得到
dxxgt yxtp )(),,(∫ dxx yxtpxbx yxtpxxg ]),,()(),,()(21)[( 2
2
2
+
= ∫ s,
再由 )(xg 的任意性 得到
t
yxtp
),,(
x
yxtpxb
x
yxtpx
+
= ),,()(),,()(
2
1
2
2
2s,
这正是 Kolmogorov 向后方程 (12,37),
需要指出的是,以上均为形式运算,对于函数的定义域,对于积分,微商,极限等诸多运算之间的可交换性,都 未追究,所以我们的推导只是给出了猜测结果的一种方法,正 式 的数学证明,则需要使用较多的知识与相对地较为长的叙述,
定理 １２,６４ （ Master 方程 ） 设定理 １２,６３ 的条件成立,且 ０x 有分布密度 （ 此条件非本质 ）,把 Ito 方程的解在时刻 t 的分布函数 )( yP t ≤x 的密度函数 (它必定存在,但是这一事实并不容易证明 )记为 ),( ytp,那么它满足以下的 Master 方程,
))(()2)((
2
2
2
pybxpyytp= s,(12,40)
证明 设 0x 的密度为 ),0( yp,因为 ),( ytp dxxpyxtp ),0(),,(∫=,由转移密度满足的 Kolmogorov 向前方程便得,
,下面我们讨论 扩散过程 }0,{ ≥ttx 的转移函数 ),,( yxtp 的 不变密度,一般 并非所有的扩散过程的转移密度都有不变密度,例 １２,９ 中,Brown 运动 作为最简单的扩散过程,就不存在不变密度,对于扩散过程,有一个几乎公认的断言,就是对于较好的系数
360
)(),( xbxs (例如,满足定理 １２,６３ 的条件的情形 ),作为随机微分方程解的扩散过程的转移密度具有 如下的 二岐性质,在 ∞→t 时,要么 0),,( →yxtp (例如 Brown 运动 ),要么
)(),,( yyxtp j→,与 x 无关且 1)( =∫ dyyj,这两种情形分别类似于 Markov 链的零常返与正常返,可是这个断言还未见严格的概率论方法的论证,在第二种情形,根据偏微分方程的理论,极限函数 j 应该是 Kolmogorov 向前方程的定态解 (即不依赖时间 t 的解 ),即满足椭圆型方程
0))(()2)((
2
2
2
= jjs ybyyy,(12,41)
另一方面,在 Chapman-Kolmogorov 方程 ∫=+ dzyzspzxtpyxstp ),,(),,(),,( 中,令
∞→t,便得 ∫= dzyzspzy ),,()()( jj,这说明了极限函数 j 是扩散过程的转移函数的不变密度,
一般地,我们有
定理 １２,６５ 转移函数 ),,( yxtp 有不变密度的充要条件为,方程
0))(()2)((
2
2
2
=? yys ybdydydyd
有非负可积解,在条件成立时,yyj ∫
= 就是扩散过程的不变密度,
注 对于 Stratonovich 型随机微分方程
ss
t
o
s
t
t dBdsbx o)()(
0
xsxx ∫∫ ++=
的解,可以化归 Ito 型随机微分方程
ss
t
o
sss
t
t dBdsbx )()](')(2
1)([
0
xsxsxsxx ∫∫ +++=
处理,其 Kolmogorov 向前方程 （ Fokker-Planck 方程 ） 则是如下的散度型的
))](')(21)(([)2)((
2
pyyybyypyytp sss=,(12,39)’’
警告 有一些书上将 (12,39)’’误 写 为
))(()2)((
2
pybyypyytp= s,
这是不对的,
再则,如果我们定义如下的 新的随机积分,设 f 为连续可微函数,则当 ∞→n 时
361
∑?+
k
tt nknk Bf )()( 1 )(x
的概率极限,我们 称 之 为,向后随机积分,,并将它 记为 tt
T
dBBf?∫ )(
0
,那么,对于 由这种向后随机积分定义的随机微分方程
ss
t
o
s
t
t dBdsbx?++= ∫∫ )()(
0
xsxx,
我们可以 类似地得到一个扩散过程,其 散度型的 Kolmogorov 向前方程 （ Fokker-Planck 方程 ） 正是
))(()2)((
2
pybyypyytp= s,
而散度型的优点是,其二阶导数部分写成为一个对称的运算形式,在二阶线性抛物型偏微分方程中,这种形式是较易处理的,
总之,对于随机积分 我们 可 有三种不同定义,它们各有优缺点,Ito 积分 (向前积分 )的优点是有鞅性质,
Strtonovich 积分 (中间 随机积分 )的优点是有复合函数的链法则,向后积分的优点是 Fokker-Planck 方程 的散度型 具有简单 而直接 的形式,
以上的有关扩散过程的结论,都可以推广到高维情形,对于 m 维 Brown 运动 tBr,即 m
个相互独立的 Brown 运动排成的列向量,以及 )( tBr 可知的 md × 矩阵值随机过程 tΦ,可以类似地定义 Ito 积分和随机微分方程,对于 md × 矩阵值函数 )(xΣ 及 d 维向量值函数 )( xbr,
d 维随机微分方程
ss
t
o
s
t
t Bddsbx
rrrrr )()(
0
xxx Σ++= ∫∫,
有类似的存在唯一性定理,也 有与例 １２,５６ 至例 １２,５８ 相应的方程的解的表达式,
定理 １２,６６ d 维随机微分方程的解仍然是 Markov 过程,称为 d 维 扩散过程,
其转移密度存在,且满足 以下诸方程,
K olmogorov 向后方程,
pxbxx pxatp x
ji
d
ji
ij+
=
∑
=
)()(21
2
1,
r
,
其中 dRyx ∈,,Tdjiij xxxa )()())((,,ΣΣ=≤,x? 是关于变量 x 的梯度运算,
Kolmogorov 向前方程,
))(())((21
2
1,
pybpyayytp ij
ji
d
ji
r
=
∑
=
,
其中 是对于变量 y 的散度运算,
362
扩散过程 txr 在 时刻 t 的 分布 密度 ),( xtp 还满足 Master 方程,
))(())((21
2
1,
pybpyayytp ij
ji
d
ji
r
=
∑
=
,
从而其 不变密度 j 满足的方程为,
0))(())((21
2
1,
=∑
=
jj ybyayy ij
ji
d
ji
r
,(12.41) ’
[ 注 ] 对于 S tratonovich 型随机微分方程
ss
t
o
s
t
t Bddsbx
rorrrrr )()(
0
xxx Σ++= ∫∫,
其 K olmogorov 向后方程为
+= ∑
=
))((21
1,
2
pxayytp
d
ji
ij
ji ji
ijd
i
j
d
j y
p
y
ayb
+ ∑∑
==
)41)((
11
,
而 Kolmogorov 向前方程可以写为以下的 散度形式,
,
])41)([())((21
111,
pyaybyypyaytp
i
ijd
i
j
j
d
jj
ij
i
d
ji?
=
∑∑∑
===
,
4,扩散过程的遍历定理
由于 扩散过程 的 遍历定理 在物理,化学,生物,工程,经济,金融等诸多领域有广泛的应用,
我们不加证明地叙述以下 3 个定理,
定理 １２,６７ ( 遍 历定理 ) 如果存在 210 gg <<,使扩散矩阵 ）)(()(( xaxA ij= 满足
IxAI 21 )( gg ≤≤,( I 是单位矩阵 ),
而且方程
0))(())((21
2
1,
=∑
=
jj ybyayy ij
ji
d
ji
r
有一个可积的正解,那么其归一化的正解 )(xj 是对应的扩散过程 tx 的不变密度,并且成立如下的遍历定理,对于任意的有界的 Bor el 函数 f,不管 0x 的初始分布是什么,恒有
1))()()(1(
0
= →? ∫∫ ∞→ dxxxfdtfTP Tt
T
jx,
( 定理 的证明远超出本书的水平,故而从略,这个 定理 是 Markov 链的遍历定理的扩 散过程版本,其出处可参见下书中的附录 IV,
钱敏平,龚光鲁 随机过程论,第二版,北京大学出版社,1997,
363
该书 中 叙述的遍历性条件,是 由 Orey 的二岐性定理保证成立 的 ）,
类似 的事实对于多个时刻也成立,即对于任意 n,任意 nss <<< L10 及 任意的有界
Borel 函数 ),,( 1 nxxf L,不管 0x 的初始分布是什么,总以概率为 1 地有
=++∞→ ∫ dtfT nstst
T
T ),,(
1lim
1
0
xx L
nnnnnn dxdxxxsspxxsspxxxf LLL 11121121 ),,(),,()(),,(∫ j,
作为定理 １２,６７ 的推论,我们有
定理 １２,６８ （ 平均遍历定理 ）
在定理 １２ 。 ６７ 的条件下,对于任意的有界的 Borel 函数 f,及 x=0x
dyyyfdtfET Ttx
T
)()()(1
0
jx ∫∫ →? ∞→,
证明从略,
* 4,3 Girsanov 定理与 Feyman-Kac 公式
Girsanov 定理与 Feyman-Kac 公式是随机微积分中,除了 Ito 公式以外最重要的两个定理,它们 与 Ito
公式一起,形成 了 随机分析理论与应用的三大支柱,它们的证明需要随机分析的工具,所以我们只给出叙述,而不给证明,
定义 １２,６８ （ Girsanov 变 换 ）
设 tBr 为概率空间,(? F ),P 上的 d 维 Brown 运动,tΦr 为 )( tBr 可知的有界随机过程,令
tB
^ dsB
s
t
t Φ?= ∫
rr
0
,
它称为 Brown 运动的随机平移 或 Girsanov 变换,定义新的概率 *P 如下,对于 F 中的任意事件 A,只要它的信息完全可由 ):{ tsBs ≤ 确定,就定义它的新的概率为
][)( 0 02
1
* ∫ ∫=
ΦΦ?Φ
t t
sTssTs dsBd
AeIEAP
rr
,
则不难证明 *P 确是 F 上的概率,
定理 １２,６９ （ Girsanov 定理 ） 在新概率 *P 下,Brown 运动的 Girsanov 变换 tB^ 是 d 维 Brown
运动,( 警告,在原来的 概率 P 下它并不是 Brown 运动 ),
Girsanov 定理有广泛的应用,例如,把它应用到金融数学中的 Black-Scholes 模型,就可以得到风险中性的概率,这是期权 ( option) 定价的理论基础,
定理 １２,７０ （ Feyman-Kac 公式 ）
364
设 txr 是随机微分方程 ss
t
o
s
t
t Bddsbx
rrrrr )()(
0
xxx Σ++= ∫∫ 的 解,?∞>≥ 0)( cxc,
T
djiij xxxa )()())((,,ΣΣ=≤,那么,在 Tt ≤≤0 满足 终值条件
)(),( xfxTu =,)( dRx∈
的偏微分方程
0),()()()(21
2
1,
=+++ ∑
=
xtguxcuxbxx uxatu x
ji
d
ji
ij
r
,
的解可以用概率表示为 以下的条件期望的形式,
):|)](),(([),(
)()(
tvBfesgeExtu vT
duc
s
ducT
t
T
t
u
s
t
u
≤∫+∫=
∫ rrr
rr
xx
xx
,
Feyman-Kac 公式把一个线性偏微分方程的终值问题的解,表达为一个随机微分 方程的解的函数的条件期望,于是我们可以通过随机模拟得到线性偏微分方程的终值问题的数值解,例如说,得到
)](),([),0(
)()(
T
duc
s
ducT
t
fesgeExu
T
t
u
s
t
u
xx
xx rr rr ∫
+∫=
∫
的近似值,
5 随机微分方程的解的数值模拟算法
对于随机微分方程
ss
t
o
s
t
t dBsdssb ),(),(
0
0 xsxxx ∫∫ ++=,
可以用迭代方法,或与常微分方程类似地,给出数值解的方法,但是,这样的方法在计算上是不经济的,需要采用更为实用的算法,
5,1 随机微分方程在固定时刻附近的随机 Taylor 展开与解的差分近似
在 ],0[ T 上随机微分方程
tttt dBXdtXbdX )()( s+=,xX =0
的解是一个 Ito 过程,求方程的数值解实际上是给出该过程的样本在离散时间采样点上的
Monte Carlo 近似,为此,我们先将 ],0[ T 作 n 等分
Tttt n =<<<= L100,
使步长 nT=d 适当地小,
假定扩散系数 )( xs 有界且二次连续可微,我们 考虑 tX 在 )( nmtm < 附近的展开,其思
365
想是,用随机的差分来近似,在 1+<< mm tst,对 )( sXs 用 Ito 公式得到
=? )()( ms tX ss uuu
s
t
uuuu
s
t
dBXXduXXXXb
mm
)(')()]('')(21)(')([ 2 sssss ∫∫ ++,
于是有
ss
t
t
s
t
t
tt dBXdsXbXX
m
m
m
m
mm
)()(
11
1
s∫∫
++
+
+=?
sts
t
t
tttt dBXXBBXoXb m
m
m
mmmm
)]()([))(())()((
1
1
sssdd?+?++= ∫
+
+
(12,42)
)()](')()()(
1
dssVsd odBdBXXXXb suuu
s
t
t
t
mtt
m
m
m
mm
+++= ∫∫
+
,(12,43)
其中 }{ mV 独立同分布且 ),0(~
1
dV NBB
mm ttm
=
+
,
首先 考虑 （ １２,４２ ）,由于
)()]()([max])]()([[ 22
1
1
dssss otXXEdBXXE mtstststs
t
t
mmmm
m
m
=≤?
+
+
<<∫,
粗略地有
)()]()([
1
dss odBXX sts
t
t
m
m
m
=?∫
+
,
所以,只要 )( xs 有界连续 (并不需要二次连续可微 ),我们就由 （ １２,４２ ） 得到随机微分方程的精确到 d 的 21 阶 （ 即精度为 2
1
d ） 的如下差分近似,
2
1 阶差分近似模型 (Euler - Maruyama 近似 ),令
m
n
tm
n
t
n
t
n
t mmmm XtXbXX Vs )()(
)()()()(
1 +?+=+,xX
n
t =
)(
0,(12,44)
其中 }{ mV 独立同分布且 ),0(~ dV NB
mtm
= (注意 d==? nTt m ),
较高精度的近似是利用 （ １２,４３ ）,注意到
)()(')()](')(
11
dssss odBdBXXdBdBXX su
s
t
t
t
ttsuuu
s
t
t
t m
m
m
mm
m
m
m
+= ∫∫∫∫
++
)()()(')(
1
dss odBBBXX sts
t
t
tt m
m
m
mm
+?= ∫
+
366
)(])(21)[(')( 22
1
dss oBBtBBXX
mmmmmm ttmtttt
+=
+
)(]))[((')(21 2 dss otBXX mttt
mmm
+=,(12,45)
由 (12,43)和 (12,45),我们得到随机微分方程的精确到 d 的 １ 次方的如下的差分近似,
一阶差分近似模型 (Milstein 近似 ),
))((')(21)()( 2)()()()()()(
1 mm
n
t
n
tm
n
tm
n
t
n
t
n
t tXXXtXbXX mmmmmm++?+=+ VssVs,(12,46)
其中 }{ mV 独立同分布,),0(~ dV Nm,xX nt =)(0,
具体做法是,对于给定的 n,通过独立地生成的 ),0( dN 随机数 )(,nmm <V,逐步地解出的 )()(,,1 ntnt nXX L,就得 到随机微分方程的近似解在离散时间集合 },,{ 1 ntt L 上的采样值,
用它们 做 折线内插近似,或样条函数 (spline)内插近似,就得到随机微分方程的一个近似模拟轨道,
如果漂移系数 )( xb 与扩散系数有更多阶的连续导数,我们还可以沿着这个思路构造 23
阶,2 阶,以至更高阶的差分近似模型,但是,对于通常的应用,一阶近似模型已经够了,
下面的内容,有助于我们对随机差分模型近似的认识,
５,２ Ito 过程的一个光滑函数 f 复合在时刻 t 附近的随机 Taylor 展开
(本段内容可参考
Platen,E,and Wagner,W,On a Taylor formula for a class of Ito process,Probability Math,Statistics 3,
37-51,1982),
对于 Ito 过程 tX,我们考虑 )( tXf 在 t 附近的近似计算,为了求得较好的近似,我们要在
mm tttt?+≤< 时用 Ito 过程 作 随机 Taylor 展开式,它是 5,1段的思路的推广,因为 5,1段可以看成
xxf =)( 的情形,
由 Ito 公式
sss
t
t
ssss
t
t
tt dBXfXdsXfXXfXbXfXf
mm
m
)(')()]('')(21)(')([)()( 2 ss ∫∫ +++=
,它的 21 阶随机 Taylor 展开式 则是在上式中,将被积的随机过程 sX 简单地用 （ 它在 mt 处的随机变量 ）
mt
X 替代后,再把差别统统放到一个余项中,这就是
RBdXfXdsXfXXfXbXfXf s
t
t
tt
t
t
tttttt
m
mm
m
mmmmm
++++= ∫∫ )(')()]('')(21)(')([)()( 2 ss
其中 R 是一个随机的余项,
较高精确度的是 一阶随机 Taylor 展开,为了得到它,我们把上式改写为
367
s
t
t
tt
t
t
tttttt BdXfXdsXfXXfXbXfXf
m
mm
m
mmmmm ∫∫
+++= )(')()]('')(21)(')([)()( 2 ss
1)](')()(')([ RdBXfXXfX sttss
t
t
mm
m
+?+ ∫ ss,
对于乘积复合函数 ))('( sXf?s 应用 Ito 公式,我们发现 )(')()(')(
mm ttss
XfXXfX ss? 中含 Ito
积分的项只有 uuu
s
t
dBXfX
m
)()'')((?∫ ss,它的 21 阶近似为 ))(()'')((
mmm tstt
BBXfXss,
其它部分都高于 21 阶,于是在只考虑一阶近似时,我们把展开式写为
s
t
t
tt
t
t
tttttt BdXfXdsXfXXfXbXfXf
m
mm
m
mmmmm ∫∫
+++= )(')()]('')(21)(')([)()( 2 ss
1)]()'')(( RBddBXfX s
t
t
u
s
t
tt
m m
mm
+?+ ∫∫ss,,(12,47)
这就是 一阶随机 Taylor 展开式,
5,3,差分近似模型的改进
用一阶随机 Taylor 展开的思想作差分近似的缺点,是需要计算扩散系数 )( xs 的微商,
借用常微分方程近似计算的思想,我们也有
一阶 随机 Runge - Kutta 模型
),)]}(())(([1{21)()( 2)()()()()()()(
1 mm
n
t
n
t
n
tm
n
tm
n
t
n
t
n
t tXXXXtXbXX mmmmmmm+++?+=+ VsdssdVs
}{ mV 独立同分布,),0(~ dV Nm,xX nt =)(0,(12,48)
当 ∞→n 时,可以在理论上证明,以上几个模型得到的,近似解,确实是在平均意义下收敛到随机微分方程的唯一的解,
以上讨论的是取值于实直线 1R 的随机微分方程,对于多变量情形,即取值于 dR 的随机微分方程,可以完全类似地得到随机 Taylor 近似及随机 Runge-Kutta 模型,
习题 12
1,求对应于相关函数为 )0,(,)( || >?=? bgg b tetB 的宽 Markov 平稳 Gauss 过程的条件数学期望
)|( stsE xx + 与其相应的条件方差 )|( stsVar xx +
368
2,证明平稳 Gauss - Markov 过程是可逆的,
3,设矩阵 A为非正定对称 ( 即所有特征值都小于 0),}:{ +∞<<?∞ ttx 为 d 维平稳 Gauss 过程,且
满足
)! )()(()(,0 )( LL +?++?+===? n stAstAIeEE
nn
stAT
tst xxx,
证明 }0:{ +∞<≤ ttx 的转移密度 ),,( yxtp 为 ),( 2AtAt eIxeN? （ 把 y 看成分布密度的变量 ）,因而有
),0(),,(lim INyxtpt =∞→,
4,设正态过程 tx 的数学期望为 0,协方差函数 )()(),( tsvtsuCov ts ∨∧=xx,证明它是 Markov 过
程,又问它是否时齐?
5,若 nx 是鞅列,则 cn ∨x 是下鞅列,cn ∧x 是上鞅列,又若,+∞<+nEx 则 +nx 也是下鞅列,对应地,
又若,?∞>?nEx 则?nx 也是上鞅列,
6,设 nx 是鞅列,其方差有限,且对于任意 n 有 k
n
k
n X∑
=
=
1
x,则序列 }{ kX 中的随机变量两两不相关,
7,在博采输光问题中,如果 qp <,求输光概率 ba qp,以及博采至输光为止的平均时间,
8,设 }1,{ ≥nX n 独立同分布,
pqX n
11~
,qp >,nx 是简单随机徘徊,∑
==
n
k kn X1x
,
])(1[ 22 qpnnn= xh,,
n
p
q
n
x
V
=
)( qpnZ nn= x,
(1) 证明 nx 是 )( nX 下鞅列,而 nnn Z,,Vh 都是 )( nx 鞅列,
(2) 求 mh 与 nh 的相关系数,
369
9,若 nX ～
2
2
1
2 22 ),,( s
m
s
m
xsm
nX
n
k
n
keN
∑
= =,证明 nx 是 )( nX 鞅列,
10,假定随机序列 }0,{ ≥nnx 均有数学期望,且满足
nnnE axxxx =+ ],,|( 01 L )1,0,(,1 =+>+? bababxn,
能否选取 c,使 ),1(,001 xhxxh =≥+=? nc nnn 为 )( nx 鞅列?
11,设 ]1,0[~0 Ux,又在 nx 已知的 条件下,]1,1[~1 nn U xx?+,证明 如下定义的 nh 是 )( nx 鞅列,
=
=
=
∏
11
00
12
k
k
n
k
n
n x
xh
xh
12,设 }0,{ ≥nnx 是状态空间 },,2,1,0{ NS L= 的时齐 Markov 链,
(1) 若转移 概率为 jNjjNij NiNiCp= )1()(,那么
n
nn
n
N
N
)11(
)(
= xxh 是 )(
nx 鞅列,
(2) 若转移概率为 N
N
jN
N
j
i
ij C
CCp
2
22
=,那么存在 l 使 n nnn
N
l
xxV )(?=
是 )( nx 鞅列,
13,设 tN 为强度为 l 的 Poisson 过程,证明 tNtt= lx,ttt= lxh 2,)1(
a
t ea
t e
+?= lxV
都
是 )( tN 鞅,
14.,求 积分 Brown 运动 ∫=
t
o
st dsBx 的协方差函数 )0(),( tsCov ts ≤<xx,并证明
,),( ttB x 是二维 Markov 过程,
15,设 tt hx,是鞅,则 tt hx + 是鞅,tt ),min( hx 是下鞅,
16,若 tx 是 Markov 过程,f 为严格单调函数,则 )( tt f xV?= 也是 Markov 过程,
17.,把 btaBte + 写成 Ito 过程的形式,
370
18 设 nn XXS ++= L1 是简单随机徘徊,)1(11~ pqpqX n?=
且独立同分布,证明
)(22 )( qpnSnpq
n
nzqzpz+=x 是鞅列,
19,利用选样定理证明 Wald 公式 (见第 1 章 ),
20,设 tB 为 Brown 运动,)(xf 为二次连续可微的增函数,证明
dsBafBfaBaf
t
ss
t
t
e
)]('')('[21)( 22 +? ∫
=x 是 )( tB 鞅,
21,设 }{ il 为有界序列,tx 是参数为 il 的纯生过程,证明 dss
t
tt xlxh ∫?=
0
,
dsea
t
s
t
a
t
e
xlx
V ∫=
0
)1(
都是 )( tx 鞅,
22 证明 Brown 桥 1tBBX tt?= )10( ≤≤ t 是 Markov 过程,
23,设 )(tf 为平方可积的实值函数,求证 ∫=
t
st dBsfX
0
)( 为 Gauss 过程,并计算 ),( ts XXCov,进一步证 明 ),( tt YX 是二维 Gauss 过程,其中 dtXtgY t
t
t )(
0
∫=,又问 ),( ts YXCov,),( ts YYCov 各是什么?
24,设 ttttt dBcXdtXbaXdX ++= )(,
tccB
t
teM
2
2
1+?
=,
（ 1） 求证
dtXbaXMXMd ttttt )()( +=,
（ 2） 令 ttt XMY =,并证明它满足常微分方程
t
tccB
t
t YbeaY
dt
dY t
2
4
1
2
1 +?
+=,
（ 3） 求证 tt YZ = 满足 t
tccB
t
t ZebZa
dt
dZ t
2
4
1
2
1
22
+?+=
,
（ 4） 通过求解 tZ,证明,20
)24(2
0
2 )
2(
22
XdsebeX s
acBctattccB
t
st +=?+?+? ∫,
25,设 ),( xtf 为对 x 二阶光滑 ( 二阶导数连续 ) 且对 t 一阶光滑 ( 一阶导数连续 ) 的实 函数
371
th ),(
0
t
ds
tfe
s
t
x
x∫
=,求 tdh,
26,求证如下的随机利率的方程 dtbradBdr ttt )(?+?= s 有唯一解
s
as
t
atatat
t dBeeeberr ∫
+?+=
0
0 )1( s,
再求它的期望函数 tEr 与协方差函数 ),( ts rrCov,
27,d 维 Brown 运动 ),,( )()1( dtt BB L 的向径过程 2)(2)1( )()( dttt BBR ++= L 称为 Bessel 过程,请利用多维 Ito 公式,导出它所满足的随机微分方 程,
28,由定义求 s
t
0
sdB∫,ss
t
0
dBB 2∫,
29,求由原点出发的二维 Brown 运动在时刻 t 落在圆盘 222 r≤+ yx 中的概率,
30,判别下列是否为鞅 (需要证明 ),dssBBt s
t
t ∫?
0
2 2,
tt tBB 3
3?
31 设 ),( )2()1( tt BB 是二维 Brown 运动,判别下列是否为鞅 (需要证明 ),)2()1( tt BB,
)][]ln([ 2)2(2)1( tt BB +,
32 归纳法证明 ； )(! 110
2 t
BhdBdB
t
n t
nuuuun nn =∫ ∫ ≤≤≤ LL L,其中 )(xhn 是一个多项式,称为 n
阶 Hermite 多项式,
33,将 下列 Stratonovich 方程化为 Ito 方程,tttt dBXdtXdX oab +=,
ttttt dBXtdtXXdX o)cos{cossin 2 ++= 。
34,将 下列 Ito 方程化为 Stratonovich 方程,tttt dBXdtXdX ab +=,ttXt dBXdtedX t 22 +=? 。
35,求 tdX,其中 =tX ntB,=tX tBet ++2,=tX 2)2(2)1( ][][ tt BB +,),( )2()1( tt BB 是二
维 Brown 运动,
36,设 tB 是三维 Brown 运动 。 证明 || 1
t
t BxX += 是鞅,
37,记 ||)( ktk BEtg = 。 证明 )2()()1(21)( 1
0
≥?=?∫ kdssgkktg k
t
k,
372
38,设
)(
3
1
ktk
k
Bbct
t eX
∑=
=
+
,其中 ),,( )3()2()1( ttt BBB 是三维 Brown 运动,求 tdX,
39,设 }|{|
2
}|{| )(2
1||)(
eee ee <≥ ++= xx I
xIxxg,证明 Tanaka 公式
|),0:{|21)(')()(
0
0 eeeeee <<?≤≤++= ∫ sss
t
t BtssdBBgBgBg,
其中 |),0:{| ee <<?≤≤ sBtss 表示集合 ),0:{ ee <<?≤≤ sBtss 的测度,
40,求解 ttt KdBdtCAXdX ++= )(,
41,设 )sin,(cos)( xxxg =,求 )(),( ttt BgYX = (称为圆上的 Brown 运动 )满足的 随机微分方程,
42,证明 tBsin 是方程 ))2,2((121 02 pp?∈=?+?= xBdBXdtXdX tttt 的解,
43,求 下列方程的 解 （ １ ） tX
tt
t dB
edtYY
Xd
t?
+
=
01
（ 提示
t
t Be
t
）,
（ ２ ） t
t
t
t
t
t
t dB
X
Ydt
Y
X
Y
Xd
+
=
2
1
（ 提示
t
t
shB
chB
）,
（ ３ ） t
t
t
t
t
t
t dB
X
Y
a
bdt
Y
X
Y
Xd
+
=
2
1
（ 提示
t
t
Bb
Ba
sin
cos
）,
（ ４ ）
+
=
)2(
)1(
0
1
tt
t
t
t
dBX
dBdt
Y
Xd
,
44,对于下列方程 求解,并求 其转移密度满足的向后方程与向前方程
（ １ ） ttt dBdtXdX +=,（ ２ ） tttt dBedtXdX?+?=,
（ ３ ） )(
1
k
tk
m
k
tt dBdtrXdX s∑
=?
+=,（ ４ ） ttttt dBXIXdtXdX )()1ln( ),0(2 ∞++=,
龚光鲁,钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用
清华大学出版社,2003
下面我们粗略地介绍随机分析的基本工具,即随机微积分,还要介绍一种最常见的连续状态连续时间的 Markov 过程,称为扩散过程,由于这部分内容涉及较多的数学内容,要真正表达清楚,测度论与概率基础 等工具 是必不可少的,这样 就大大超出了本书大部分读者现有的数学基础,因此,在本章中我们并不求给出一般的定义与定理 的精确叙述,而是只从一些有典型意义的特例,来导出随机微积分及扩散过程的概念与其思想之精髓,
3,Ito 积分 － 对 Brown 运动的积分
对于 函数 的研究,函数的微积分是其精髓,而 对 于一个 随机过程的函数这样的特殊随机函数而言,其微积分也具有同样的重要性,函数的微分与积分是一对互逆的运算,对 于初等函数,我们常 从 其导数入手,进而得到微分 与积分 ； 但是对非常复杂的一般函数,积分却比导数更容易理解 与处理,也易于作近似计算,因此,人们也常以积分作为微积分的核心,在本节中,我们 将 考虑对 Brown 运动的随机积分,作为随机微积分的核心,
3,1 对 Brown 运动的积分与其特殊性
对 Brown 运动的积分的特殊性
设在概率空间,(? F ),P 上有 Brown 运动 }{ tB (?∈= ww),(tt BB ) 及另一个轨道 ( 样
本函数 ) 连续的随机过程 )(wtt Φ=Φ? ( 回忆 起 它是依赖于参数 t 的随机变量族,在 w 固定时,)(wtΦ 作为 t 的函数,即为随机过程 tΦ 的一个样本函数,或轨道 ),我们能不能对于固定的 w,定义样本函数 )(wFt 对于 Brown 运动的样本函数 )(wtB 的积分
)()( ww tt
b
a
dBΦ∫ 为 积分 和的极限呢? 更具体地,如果我们考虑区间 ],[ ba 的一组划分,
btta nln n =<<= )()(0 L,0)(max )()( 110 →?=? +?≤≤
n
k
n
klkn ttn,
令
))()()(()( )()(
1
)(
1
0
wwww n
k
n
k
n
k
n
ttt
l
k
n BBJ?Φ= +∑?
=
,(12,24)
那么能否定义 )()( ww tt
b
a
dBΦ∫ 为 )(lim wnn J∞→ 呢? 如果 )(lim wnn J∞→ 对每一个 ω 都存在,那么很自然地,这个极限就该是 tΦ 对 tB 的积分,但是不幸的是,一般 )(lim wnn J∞→
并不存在,关于这一点,我们将在下面说明,
另一方面,如果我们不要求 )(lim wnn J∞→ 对每一个 ω 都存在,而把
344
∈=? ww),(nn JJ 视为随机变量,而且把,极限,的含义要求得弱 一 些,如果随机过程
Φ t 只依赖 Brown 运动的过去 }:{ tuBu ≤,即 Φ t 为 )( tB 可知的,则可以证明随机列 nJ 是按概率收敛的,Ito 就把这个概率收敛的极限随机变量,定义为随机过程 Φ t 对 Brown 运动
tB 的积分,这就是 Ito 积分的基本思想,即若 对于任意 0>e 有
0)|)()((|lim =>?∞→ ewhwnn JP,
则我们就定义
=Φ∫ )()( ww tt
b
a
dB η ( ω ),
并把它 简记为 =Φ∫ t
b
a
dBt)( h,或更简单地记为 dB
b
a
Φ∫,
需要指出,和数 nJ 在每个小区间 ],( )()( nknk tt 上,我们需要 限定取 Φ )( n
kt
作为 Φ 在此小区间上的近似,而不能象在普通函数的积分中那样,可以取 Φ 在此小区间上 任意 的一点的值为近似,其原因是,这里相应于普通积分中的差分的 项 是,)()(
1
)( n
k
n
k
n
k ttt
BBB?=?
+
,它们是随机变量,虽然 0)(lim )( =?∞→ wnkn B,但是对于不同的 ω,它们趋于 0 的速度很不一致,而 粗略地说,平均地有 )(2)(2)( )(~)( nknknk tBEB?=,也就是说,平均地 Δ B )(nk 趋于 0 的速度为 )(nktD,它大大地慢于 )(nkt?,从而在区间 ],( )()( nknk tt 上取不同的点作为 Φ 的 近似,所得的近似和之间的差别是不可忽略的,
定义 （ 命题 ） １２,４４ （ Ito( 随机 ) 积分的定义 ）
若随机过程 tΦ 是 )( tB 可知的,且
∞<Φ∫ dtE t
T
2
0
|)(| w,(12,25)
则对于区间 ],0[ T 的 任意 一组划分,
Ttt nln n =<<= )()(00 L,0)(max )()( 110 →?=? +?≤≤
n
k
n
klkn ttn,
和数
∑?Φ= + )( )()( 1)( nknknk tttn BBJ
必然 按概率收敛到某个随机变量,则这个极限随机变量就定义为 t
T
dBt)(
0
Φ∫,称为 Ito 积
345
分,
例 １２,４５ 我们有
tBdBB tss
t
2
1
2
1 2
0
=∫,
这个结果与普通微积分的不定积分公式是不同处,是这里多了 t21,下面我们来推导这一结论,记 )()(
1
)( n
k
n
k
n
k ttt
BBB?=?
+
,则
∑?= +
k
tttn nknknk BBBJ )( )()( 1)(
∑?= +
k
ttt nknknk BBB ]22[2
1 2
)()(
1
)( ∑=
k
tt nknk BB ])()([2
1 22
)()(
= 22 )(2121 )(∑
k
tt nkBB nt IB?=
2
2
1,
而由 Brown 运动的性质,我们有
2
tEI
n =,
2)(4 )(3)(
)(
n
kt tBE nk?=?,
2)(22 ])[(
4
1)
2( )(
n
kt
k
n tBE
tIE
n
k
=? ∑ ])()[(41 2)(4)( nkt
k
tBE n
k
= ∑
2)( )(
2
1 n
k
k
t?= ∑ ∑ →?=≤
k
n
n
kn
Tt 0
22
1 )(,)( ∞→n,
这说明
0|)221(| 22 → tBJE tn,
用 Chebyshev 不等式,便得 nJ 概率收敛到 )(21 2 tBt?,
[ 注 ] 以上论证实际上证明了以下的命题,
命题 １２,４６
0|)(| 22)( →∑ tBE
k
t nk,
类似的推理可以证明 下面的命题,
命题 １２,４６ ＇
0|)())((| 202)()( → ∫∑ dtBfBBfE tT
k
tt nknk,
［ 注 ］ 如果我们在例 12.45 的积分和中,用 )(
1
n
kt
B
+
代替 )( n
kt
B,并记
∑?= +
k
ttn nknk BBH )()( 1,
那么
346
∑ ++?=
k
tttn nknknk BBBH )22(2
1
)()(
1
)(
1
2
∑∑?+=?+?= +
k
tn
k
tt nknknk BJBB
222 )(])()([
2
1
)()()(
1
,
于是有
0|)221(| 22 →+? tBHE tn,
用 Chebyshev 不等式,立得 nH 按概率收敛到 )(21 2 tBt +,
特别地,我们有
∑?+ +
k
t
tt
n
k
n
k
n
k B
BB
E )()( 1)( 2| 0|21 22 →? tB,
[ 注 ] )( tB 可知的随机过程 tΦ 的可积条件 (12,25) 还可以减弱,
定义 １２,４７ （ Stratonovich( 随机 ) 积分 ） 若 f 为连续可微函数,则
∑?+ +
k
t
tt
n
k
n
k
n
k B
BfBf
)(
)(
1
)(
2
)()(
的概率极限,称为 Stratonowich 积分,记为 tt
T
dBBf o)(
0
∫,又若 tx 是一个?)( tB 可知的连续随机过程,那么,类似地定义 tt
T
dBf o)(
0
x∫,
用与上面类似的推理,可以得到 Stratonowich 积分与 Ito 积分的如下关系,
ss
t
dBBf o)(
0
∫ 21)(
0
+= ∫ ss
t
dBBf dsBf s
t
)('
0
∫,(12,26)
( 但是 ss
t
dBf o)(
0
x∫ 21)(
0
+≠ ∫ ss
t
dBf x dsf s
t
)('
0
x∫,在 3.2 段中,我们将给出其正确的形式 ),
例 １２,４８
2
0 2
1
ttt
t
BdBB =∫ o,
例 １２,４９ 如果函数 f 有原函数 F,则 用 积分和可以直接验证
)()()( 0
0
BFBFdBBf ttt
t
=∫ o,
347
这个结果与普通微积分中的结果 是 一致 的,而 Ito 积分就没有这样简单的形式,这是
Strat o nowich 积分的优点,但是 Ito - 随机积分在计算中有其更为方便的优点,它便于利用鞅论作理论推导的工具,所以在很多情况下,数学家 更喜欢使用 Ito 积分,而物理学家则更喜欢 Stratonovich 积分,
Ito 积分 有下面的一些基本 性质,
(1) 线性 性质
∫
t
0
( Φ ＋ Ψ )dB = ∫
t
0
Φ dB ＋ ∫
t
0
Ψ dB,
∫
t
0
( c Φ )dB = c ∫
t
0
Φ dB,
( 对于一个只依赖于 {B u,u ≤ a} 的随机时间 h,也有
∫
b
a
( h Φ )dB = h ∫
b
a
Φ dB),
(2) 可加性,对 cba << 有 （ 对于 ba <,定义
∫
b
a
Φ dB = ∫
b
0
Φ dB - ∫
a
0
Φ dB ）
∫
c
a
Φ dB = ∫
b
a
Φ dB + ∫
c
b
Φ dB,
（ ３ ） 对任意 )( tB 有界停时 τ,假定 T≤t,则可以定义
tt
T
dBtIdB )(],0(
00
t
t
Φ=Φ ∫∫
,
此外,作为,随机的,积分,它还有性质,
（ ４ ） 零期望性与鞅性,在 t 变化时,随机过程 }{
0
ss
t
dBΦ∫ 是 )( tB 鞅 （ 这是 Brown
运动是鞅的推广 ）,且
0)(
0
=Φ∫ ss
t
dBE,
（ ５ ） 协方差与平方可积鞅性质,对任意 tu <≤0 有
)()( ∫∫∫ ΨΦ=ΨΦ
t
u
sss
t
u
ss
t
u
dsEdsdBE （ 这是 Brown 运动平方可积鞅的推广 ）,
从而随机过程 })( 2
0
2
0
dsdB s
t
ss
t
Φ?Φ ∫∫ 也是 )( tB 鞅,
348
（（ １ ），（ ２ ），（ ３ ） 直接得自定义,对 （ ４ ） 我们给出直观证明如下,让我们简单地使用记号
F t }:{ tuBu ≤=?,
对于 ts <,由随机过程 tΦ 是 )( tB 可知的,故
|{
0
uu
s
dBE Φ∫ F )s uu
s
dBΦ= ∫
0
,
再则,对于 1+<≤ kk tts,我们有
|(
kk tt
BE?Φ F )s |([
kk tt
BEE?Φ= F |)
kt
F ]s |([
kk tt
BEE?Φ= F |)
kt
F 0] =s,
对于 k 求和,再取极限便得
|{ uu
t
s
dBE Φ∫ F 0) =s,
合起来就是
|{
0
uu
t
dBE Φ∫ F )s uu
s
dBΦ= ∫
0
,
这就直观地证明了 （ ４ ）,而这里 的直观证明是利用了线性性质,Brown 运动的性质,条件期望的性质,最后还要加上极限与取条件期望的次序可以交换,类似的考虑,可以得到 （ 5 ） 的直观证明,而 性质 （ ４ ），（ ５ ）
的严格证明要涉及测度论的许多知识,本书从略,
* （ ６ ） 令
dsdB
t
s
t
ss
t
eM
2
00 2
1 Φ?Φ ∫∫
=,(12,27)
则 tM 是 )( tB 鞅,称为 Ito 积 分的指数鞅,它是 Brown 运动的指数鞅的自然推广,我们将在下一段中用
Ito 公式证明它,
需要特别强调的是,性质 （ ４ ） 与 （ ５ ） 是使 Ito 积分比 Stratonovich 积分更易于用于随机分析的理论推导的原因,
3,2 Ito 公式 — 随机积分的换元公式与复合函数的随机微分公式
在普通函数微积分中,复合函数的微分公式与积分的换元公式是相互等价的两个最基本的公式,而 在随机微积分中,我们也有一个对应的公式,虽然它比微积分中的公式复杂,但是通过它仍然可以如在微积分中那样,把 Ito 积分方便 地应用到许多问题中去,
定义 １２,５０ （ Ito 过程 ）
设
dsdBx s
t
ss
t
t Ψ+Φ+= ∫∫
00
x,
其中随机过程 tt ΨΦ,都是 )( tB 可知的,且对任意固定的 ω,都是 t 的连续函数,满足
349
∞<Φ∫
∞
dsE s2
0
,∞<Ψ∫
∞
dsE s ||
0
,而 dss
t
Ψ∫
0
理解为在 w 固定后的普通积分,则 tx 称为 Ito 过程,它也可以记成如下的 Ito 形式微分
dsdBd ssst Ψ+Φ=x,
设 tx 是 Ito 过程,又 二元实函数 ),( xtf 对 x 二阶光滑且对 t 一阶光滑,令 th 为复合 得到的随机过程 ),( tt tf xh =,则下面的 Ito 公式表明 th 也是一个 Ito 过程,也就是说,
Ito 过程对于这种 光滑函数的 复合运算是封闭的,
我们 先分析例 12.35,它说明了 221 tB 是一个 Ito 过程,且 dtdBBBd ttt +=)21( 2,
于是对于 221)( xxf =,有 tttttt dBBfdBBBdBdf )(')21()( 2 =≠=,可见为了得到
)( tBdf,仅用通常的 微 积分中的 一阶展开 tt dBBf )(' 是不够的,必须还 补充 以
2
2
1)( xxf = 的 Taylor 展开中的第二项 2))((''
2
1
tt dBBf
2)(
tdB=,它提供了 )2
1( 2
tBd 中的第二项 dt,比较后可见 有 下面的引理,
引理 １２,５１
dtdBt =2)(,即 2
1
)(dtdBt =,(12,28)
它 说明 tdB 是 ( dt 的 ) 半阶无穷小 2
1
)(dt,从而 对于 Ito 过程的复合函数 ),( ttf x,在作微分 ( 即随机微分 ) 的时候,必须把 Taylor 展开应用到二阶,
2))((''
2
1)(')(
ttttt dfdfdf xxxxx +=,(12,29)
这才穷尽了半阶无穷小 作出的 的贡献,例 １２,３５ 的结论可以一般化为 下面的定理,
定理 12,2 （ Ito 公式,随机微分公式 ）
设 tx 为 Ito 过程,即 dtdBd tttt Ψ+Φ=x,二元实函数 ),( xtf 对 x 二阶光滑且对 t
一阶光滑,那么,th ),( ttf x= 也是 Ito 过程,而且有
),(21),( 2 ttt tfdtdfd xxh += 2))(,(''21),('),(' ttxxttxtt dtfdtfdttf xxxxx ++=
ttxxxttxt dBfdtfff Φ+Φ+Ψ+= ')''2
1''( 2,(12,30)
其中
=2)( tdx 2)( dtdB ttt Ψ+Φ dtt2Φ=?,(12,31)
( 理解与证明 Ito 公式的核心是,dtdBt =2)(,即 2
1
)(dtdBt =,在严格的论证中它实际上
350
将 被关系 0|)(| 22)( →∑ tBE
k
t nk 所代替 ),
Ito 公式实际上就是用 Taylor 公式对 ),( ttf x 作关于 dt 的一阶近似,它也就 给出了
Ito 公式的直观推导,而其严格推导则需要较为精致的随机分析工具,本书中并不必要 介绍,
推论 １２,５２ 设 tx 为 Ito 过程,dtdBd tttt Ψ+Φ=x,)(xf 二阶光滑,那么,
)( tf x 也是 Ito 过程,而且有
)(21)()( 2 ttt fddfdf xxx += 2))((''21)(' tttt dfdf xxxx +=
ttxtt dBfdtff Φ+Φ+Ψ= ')''2
1'( 2 (12,32)
注 1 设 tx 为 Ito 过程,dtdBd tttt Ψ+Φ=x,)(xf 二阶光滑,那么,
ss
t
dBf o)(
0
x∫ 21)(
0
+= ∫ ss
t
dBf x dsf ss
t
Φ∫ )('
0
x
注 2 设 tx 是 Stratonovich 型 的 Ito 过程 dsdBx s
t
ss
t
t Ψ+Φ+= ∫∫
00
ox （ 写 成
dtdBd tttt Ψ+Φ= ox ）,那么,可以证明它有如普通的微积分那样的复合函数的微分的链法则 ； 即对于三阶可微的函数 )(xf 有 ttt dfdf xxx o)(')( =,
定理 １２,５３ ( 多维 Ito 公式 )
设 ),,( )()1( dttt xxx Lr =,)(,)( diit ≤x 为 Ito 过程,dtdBd ittitit )()()( Ψ+Φ=x,
),( xtf r 为对 xr二阶光滑且对 t 一阶光滑,那么,th ),( ttf xr= 也是 Ito 过程,而且有
),(21),( 2 ttt tfdtdfd xxh +=
))(,(''21),('),(' )()(
1,
)(
1
j
t
i
ttxx
d
ji
i
ttx
d
j
tt ddtfdtfdttf jii xxxxxx
rr ∑∑
==
++=
t
i
tx
d
i
xx
j
t
i
t
d
ji
i
tx
d
i
t dBfdtfff ijii ]'[]''2
1''[ )(
1
)()(
1,
)(
1
Φ+ΦΦ+Ψ+= ∑∑∑
===
,(12,33)
其中
=)()( jtit dd xx )( )()( dtdB ittit Ψ+Φ )( )()( dtdB jttjt Ψ+Φ dtjtit )()( ΦΦ=?,(12,34)
推论 １２,５４ （ 乘积公式 ） 设 tt hx,都是 Ito 过程,则
351
))(()( tttttttt ddddd hxxhhxhx ++=,(12,35)
推论 １２,５５ ( 推广的 Ito 公式 )
设 tx 为 Ito 过程,)(xg 为有界连续函数 （ 显见 dsg s
t
)(
0
x∫ 也是 Ito 过程 ）,又若
),( xtf 是 对 x 二阶光滑,且对 t 一阶光滑的实函数,)(xh 一阶连续可微,那么,
th ),())((
0
ts
t
tfdsgh xx∫= 也是 Ito 过程,而且有
=tdh += ∫ dtgdsghtf ts
t
t )())(('),(
0
xxx ),())((
0
ts
t
tdfdsgh xx∫,
( 证 明 用二 维 过程 ))(,(
0
dsg s
t
t xx ∫ 的 Ito 公式 ),
例 １２,５６ 设 b,s 是 常数,Gauss 过程 ∫+=?
t
s
bsbt
t dBee
0
0 ][ shh,则 有
ttt dBdtbd shh +?=,
证明 令 ∫+=
t
s
bs
t dBe
0
0 shx,则 t
bt
t e xh
=,对它用 Ito 公式便得到
dtbeded tbttbtt xxh= dtbdB tt hs?=
[ 注 ] 这里 th 满足一个随机微分方程,( 由它的定义还知道它是一个 Gauss 马氏过程,
可以证明它就是 参数为 bb 2,
2s
gb == 的 OU 过程,) 这个随机微分方程最早出现于理论物理中,称为 Langevin 方程,
例 １２,５７ 设 tΦ 是有界 的 （ 即存在 0>M,使得对于任意 ),( wt 有
Mt ≤Φ |)(| w ）,且为 )( tB 可知的随机过程,又
dsdBeZ s
t
ss
t
tt
t 2
00 2
1,Φ?Φ== ∫∫xx,
那么,由 Ito 公式推出
2)(
2
1
ttt dedededZ
ttt xx xxx +==
352
ttttttt dBZdtedtdBe
tt Φ=Φ+Φ?Φ= 22
2
1)
2
1( xx,
可见 tZ 是随机微分方程
tdZ ttt dBZ Φ=
满足初始条件
10 =Z
的解,事实上 由下面的定理 12.59 知道 此解是 唯一 的,又 由于 tZ 作为 Ito 过程只含对 Brown
运动的随机积分项,由 Ito 积分的性质 ( ４ ) 得到 tZ 是 )( tB 鞅,这就 顺便 地 证明了 Ito 积分的指数鞅性质,
例 １２,５８ ( 描述证券的 Black - Scholes 模型 )
Black - Scholes 用 如下的 随机微分方程 ( 称为 Black - Scholes 随机微分方程 )
)( ttt dBbdtd sxx +=
的解 tx 来描述证券价格的随机 模型,其中 tdBbdt s+ 称为 随机的收益变化率,常数 b 称为平均收益率 （ Yield ）,常数 s 称为 波动率 ( V olatility),这个方程与例 １２,５７ 中的方程非常类似,我们 容易 用 Ito 公式 直接 验证
tBtb
t e
ssxx += )2(
0
2
是 Black - Scholes 随机微分方程的解,当 10 =x 时,这个解就是几何 Brown 运动,
从本章 第 4 节 中的定理,我们可以知道,在初始值 0x 给定的条件下,例 １２,５６,
例 １２,５７ 与例 １２,５８ 三个例子中的解,都是唯一的,
Ito 公式成立的范围可以更广,但是需要用测度论的语言,我们这里只能就特殊的情况,把 Ito 公式的核心 内容 介绍 给 读者,使读者能领略随机微积分的概要,要完全地,严格地懂得与掌握随机微积分,读者必须 先 掌握基本的测度论知识与方法,
4,随机微分方程与扩散过程简介
4,1 随机微分方程
在例 １２,５６ 与例 １２,５７ 中,我们已经给出了两个特殊的随机微分方程,
ttt dBbd shh +?= 与 tdZ ttt dBZ Φ=,本段将介绍较为一般的随机微分方程,
随机微分方程也称 随机积分方程,是表达 相当广的一类 连续时间,连续状态的 Markov
过程的一个重要而方便的工具,随机微分方程的一般形式为
tttt dBtdttbd ),(),( xsxx +=,(12,36)
它应该理解为 其积分形式
353
ss
t
o
s
t
t dBsdssb ),(),(
0
0 xsxxx ∫∫ ++=,
其中第一个积分理解为对任意固定的 ω 后,对时间参数作普通函数的积分,而第二 个积分则就是为 Ito 积分,
上述随机微分方程解的存在性和唯一性的研究,是随机微分方程的理论研究的一个基本问题,它不仅是随机分析的理论基础,而且对于许多应用问题也有重要意义,例如,在物理问题中归纳出的 Langevin 方程,从其存在唯一性,就可断定它就是例 １２,３５ 中给出的那个 Gauss Markov 过程,由此我们就 可以 知道它的统计特性,
下面我们给出随机微分方程的一个最简单的存在唯一性定理,
定理 １２,５９ 如果 b,s 满足,存在 0>C,使对于 任意 t,一致地 满足如下的
Lipschitz 条件
|||),(),(||),(),(| yxCytbxtbytxt?≤?+?ss,
那么,在初始值 0x 给定的条件下 ( 指整个随机变量给定 ),随机微分方程 (12,36) 存在唯一的 解 tx ( 其含义为,如果有另一个解 'tx,那么只要满足 1)'( 00 == xxP,就一定有
1)0,'( =>?= tP tt xx ),此 解 tx 可以由下面迭代程序的收敛极限得到,
,0)0( xx =t
s
n
s
t
o
n
s
t
n
t dBsdssb ),(),(
)()(
0
0
)1( xsxxx ∫∫ ++=+,
这时对任意 0>T 有
0|| 2)(
0
→ ∞→∫ ntnt
T
dtE xx,
( 此极限式的成立,还可以 进一步 保证对任意 0,0 >> Te 有
0)||(sup )( →?>? ∞→≤ ntntTtP exx ),
由此也可看出,tx 只依赖于 0x 及 Brown 运动 }{ tB 在时刻 t 以前的 值,特别地,如果
x=0x ( 非随机 ),则随机过程 tx 是 )( tB 可知的,
[ 注 ] 本定理也是一个近似算法,再则,保证存在唯一性的条件实际上可以减弱,但本书中不再论述,
例 １ ２,５６ 与例 １２,５８ 中 的 随机微分方程,都满足定理 １２,５９ 的条件,所以在初始值给定的条件下,方程的解是存在 ( 已经得到了解析表达式 ) 且唯一的,例 １２,５７
中的随机微分方程的解,也是唯一的,但是需要另行证明,本书从略,
例 １２,６０ (线性随机微分方程 ) 对于线性随机微分方程
354
tttt dBcXdtabXdX )()( +?++= s,
可以仿照常微分方程的方法得到它的解,首先,将方程改写为
ttttt cdBadtdBXdtbXdX +=?+? )( s,
它所 对应的齐次线性随机微分方程
0)( =?+? tttt dBYdtbYdY s
是 一个 Black-Scholes 随机微分方程,故其 解为
tBtb
t eYY
ss +?= )2(
0
2
,
仿照常微分方程中恰当因子的方法,把 其倒数 1?tY 乘到非齐次方程上,以便用 Ito 公式求 得
)( 1?ttYXd,由于,t
Btb
t eYY
ss = )2(1
0
1
2
tBtbeY s
ss+?
= ]2)[(1
0
22
,可见 1?tY 应满足以下方程
])[( 211 tt dBdtbYdY+?= ss,
因此
1111)( ++= dXdYdXYXdYYXd
tt
dtYcXdBcXdtabXYdBdtbXY t?++?++++?= sssss 1121 )(])()[(])[(
])[(1 cdBdtcaY +?=? s,
于是 就 得到解 tX 的显 式 表示
])([ 1
0
1
0
1
00 ss
t
s
t
tt dBYcdsYcaYXYX
∫∫ +?+= s
])( )())((2(
0
)())(2(
0
)2(
0
222
s
BBstbtBBstbtBtb dBecdsecaeX ststt?+++? ∫∫ +?+= ssssss s
,
例 １２,６１ 求解
ttttt dBcXdtXbaXdX ++= )(,
我们可以通过变换,并运用 Ito 公式,把此方程化为一个 可以视 随机性 w 为参变量的普通的常微分方程,从而可以求得方程的显式解,此解为
2
0
)24(2
0
2 )
2(
22
XdsebeX s
acBctattccB
t
st +=?+?+? ∫,
(证 明提 示 对 ttttt dBcXdtXbaXdX ++= )(,令
tccB
t
teM
2
2
1+?
=,则有
dtXbaXMXMd ttttt )()( +=,
355
记 ttt XMY =,那么 它满足 如下的 常微分方程
t
tccB
t
t YbeaY
dt
dY t
2
4
1
2
1 +?
+=,
再作变换 tt YZ =,则得到
tccB
t
t tebZa
dt
dZ 24121
22
+?+=
,求解 tZ 后 再 代回去便得,
例 １２,６２ （ 时变 Kalman-Bucy 滤波的连续时间形式 ） 设 }0:{},0:{ ≥≥ tWtB tt 是两个彼此独立的 Brown.运动,而状态随机过程 tX 满足如下的线性随机微分方程
ttt dBtbdtXtadX )()( +=,
但是状态 tX 无法测量得到,能测量到的是与之有关的,如下的量测随机过程 tY
ttt dWtddtXtcdY )()( +=,
其中 )(),(),(),( tdtctbta 都是非随机的函数,则 用资料 }:{ tsYs ≤ 得到 tX 的估计 tX∧ 满足如下的方程,称为滤波方程 （ 实际应用时,应该用差分采样代替,从而得到 滤波公式 ）
])([)( )()()( ^2^^ dtXtcdYtd tptcdtXtaXd tttt?+=
)()(])( )([)()(2)(' 222 tbtptd tctptatp +?=,
这里 )(tp 满足的方程是 Riccatti方程,可以用变换 )( )(')( )()(
2
tu
tu
tc
tdtp = 化为 )(tu 的二阶线性方程以求解,
(证明较长从略 ),
4,2 扩散过程
定理 １２,６３ 在定理 １２,５９ 的条件成立下,将 随机微分方程
ss
t
o
s
t
t dBdsbx )()(
0
xsxx ∫∫ ++=
的唯一解记为 )(xtx （ 因为它 依赖初始值 x ）,那么 )(xtx 是具有概率转移密度的时齐 Markov
过程,其转移密度 ).,( yxtp 存在,且满足下面的 扩散方程 ( 也称为 Kolmogorov 向后方程 ),
x
pxb
x
px
t
p
+
=
)(
2
)(
2
22s
,(12,37)
)()(),,0( xfdyyfyxp =∫ ( 初值 ),(12,38)
356
又因为转移密度 ).,( yxtp 满足扩散方程,所以随机过程 )(xtx 称为 扩散过程,而
2)()( xxa s?= 称为 扩散系数,)( xb 称为 漂移系数,
Markov 性的直观证明 对于任意 n,及任意 1ssst n >>>> L,在 ),[ ∞∈ st,满足条件
11,,,xxx snss n === xxx L 的解 tx 的迭代构造也应为
xt =)0(x,sns
t
s
n
s
t
s
n
t dBdsbx )()(
)()()1( xsxx ∫∫ ++=+,
其中的一切 )(ntx 都只依赖于 )(),(,xbxx s,而不依赖于 1,,xxn L,从而条件概率
),,,|( 1
1
xxxP snsst
n
===Λ∈ xxxx L 也不依赖于 1,,xxn L,即应该有
),,,|( 1
1
xxxP snsst
n
===Λ∈ xxxx L )|( xP st =Λ∈= xx,
此即 Markov 性,
往证时齐性,对于方程的解有
uu
st
s
u
st
s
sst dBdub )()( xsxxx ∫∫
++
+ ++=,
改记
stt +=xx,sstt BBB?= +,
则 tB 也是一个 Brown 运动,而且直接由 Ito 积分的定义,从极限容易得到
uu
t
uu
st
s
BddB )()(
0
xsxs ∫∫ =
+
,
于是
uu
t
u
t
t Bddub )()(
00
0 xsxxx ∫∫ ++=,
与
uu
t
u
t
t dBdub )()(
00
0 xsxxx ∫∫ ++=
是具有相同系数但对应于不同 Brown 运动的 Ito 方程的解,而对于不同的 Brown 运动对应的迭代过程的每一步都具有相同的分布,从而它们的解作为极限有相同的转移函数,
关于转移密度的存在性证明,一般都较为复杂,最方便的是援用光滑系数的线性偏微分方程的结论,
在 )(),(2 xbxs 有高于二阶的连续导数时,向后 方程
357
t
uxb
x
ux
t
xtu
+
=
)()(
2
1),(
2
2
2s
的基本解 ),,( yxtG 对 t 一阶连续可导,对 x 二阶连续可 导,而且 dyyuyxtGxtu ),0(),,(),( ∫=,
此时 ),,( yxtG 正是我们的转移密度 ),,( yxtp,
对于 Kolmogorov 向后方程,我们将在定理 12.63 后面的注中给出其直观推导,
[ 注 ] 由
uu
t
s
u
t
s
st dBdub )()( xsxxx ∫∫ +=?
可得漂移系数与扩散系数的概率含义为
h
xExb sshs
h
]|)[(lim)(
0
=?= +
→
xxx
（ 即条件平均速率 ）,
h
xExa sshs
h
]|)[(lim)( 2
0
=?= +
→
xxx
（ 即条件平均二阶矩增长率 ）,
定理 １２,６３ （ K olmogorov 向前方程,Fokker - Plank 方程 ）
若 )(xs 二阶光滑,)( xb 一阶光滑,则扩散过程的转移密度 ),,( yxtp 还满足如下的方程
))(()2)((
2
2
2
pybypyytp= s,(12,39)
它称为 K o lmogorov 向前方程 或 Fokker - Plank 方程,写成散度型的方程就是
))](')()(([)2)((
2
pyyybyypyytp sss=,(12.39) ’
[ 注 ] Kolmogorov 向前方程与向后方程的直观推导,
( 1) Kolmogorov 向前方程的直观推导,由 Ito 公式有
2))((''
2
1)(')(
ttttt dfdff xxxxx +=,
tuu
ts
s
uuu
ts
s
sst dBfdtfbff )('')()(')]()(2
1[)()( 2 xxsxxxsxx ∫∫ ++
+ +++=
对于有连续二阶导数且在有限区间外取值 0 的函数 ( 简称为 20C 函数 ) )(xf 而言,uuu
t
dBfb )()(
0
xx∫
是 ( )tB 鞅,记 F }:{ tuBut ≤=,由 条件期望的性质得到
==?=+ )|)(()|)(( 00 xfExfE tst xxxx |))()([((( tts ffEE xx?+ F )|] 0 xt =x
358
|))](')()('')(21[([( 2 dufbfEE uuuu
ts
t
xxxxs += ∫
+
x ]|) 0 xt =x,
再 用微积分中的定理,我们 有
)|)]()(([(1 0 xffEs tst =?+ xxx
|))(')()('')(21[(1( 2 uuuu
ts
t
fbfEsE xxxxs += ∫
+
)|] 0 xdut =xx
]|))(')()('')(21[( 020 xfbfE tttts =+?→? → xxxxxs,
另一方面,如果我们假定时齐的 Markov 过程 tx 有转移密度 ),,( yxtp,那么由
∫== dyyfyxtpxfE t )(),,()|)(( 0xx,
上面的极限式就变成
∫?+ dyyfyxtpyxstps )()),,(),,((1
dyyfybyfyyxtps )](')()('')(21)[,,( 20 +?→? ∫→ s,
即
dyyfybyfyyxtpdyyft yxtp )](')()('')(21)[,,()(),,( 2 += ∫∫ s,
再用分部积分推出 (利用 f 在 ∞± 处为 0)
dyyfyxtpybyyxtpyydyyft yxtp )())],,()(()),,()((21[)(),,( 22
2
=
∫∫ s,
由于 f 的任意性,我们便得到
)),,()(()),,()((21),,( 22
2
yxtpybyyxtpyyt yxtp= s,
这正是 Kolmogorov 向前方程 (12,39),
(2) Kolmogorov 向后方程的直观推导 对于任意 20C 函数 )(xg,记
∫= dxxgyxtpytv )(),,(),(,
则我们仍有
)),()(()),()((21),( 22
2
ytvybyytvyyt ytv= s,
而且由 Chapman-Kolmogorov 方程,还有
359
∫∫∫
∫∫∫
===
=+=+
)),(),,((),(),,(),(),,(
)(),,(),,()(),,(),(
dxxsvyxtpdxxtvyxspdzztvyzsp
dxxdzgyzspzxtpdxxgyxstpystv
,
于是由上式及 Kolmogorov 向前方程和 形式的 分部积分 (指终端 ∞± 处 都认为取 0)推出
=?+?∫ dxxgt yxstp )(),,( ∫=?+?=?+? dxs xsvyxtps ystvt ystv ),(),,(),(),(
dxx xsvxbx xsvxyxtp ))],()([)],()([21)(,,( 2
22
= ∫ s
dxx yxtpxbx yxtpxxsv ]),,()(),,()(21)[,( 2
2
2
+
= ∫ s
dxx yxtpxbx yxtpxdyygxysp ]),,()(),,()(21[)(),,( 2
2
2
+
= ∫∫ s,
令 0→s 就得到
dxxgt yxtp )(),,(∫ dxx yxtpxbx yxtpxxg ]),,()(),,()(21)[( 2
2
2
+
= ∫ s,
再由 )(xg 的任意性 得到
t
yxtp
),,(
x
yxtpxb
x
yxtpx
+
= ),,()(),,()(
2
1
2
2
2s,
这正是 Kolmogorov 向后方程 (12,37),
需要指出的是,以上均为形式运算,对于函数的定义域,对于积分,微商,极限等诸多运算之间的可交换性,都 未追究,所以我们的推导只是给出了猜测结果的一种方法,正 式 的数学证明,则需要使用较多的知识与相对地较为长的叙述,
定理 １２,６４ （ Master 方程 ） 设定理 １２,６３ 的条件成立,且 ０x 有分布密度 （ 此条件非本质 ）,把 Ito 方程的解在时刻 t 的分布函数 )( yP t ≤x 的密度函数 (它必定存在,但是这一事实并不容易证明 )记为 ),( ytp,那么它满足以下的 Master 方程,
))(()2)((
2
2
2
pybxpyytp= s,(12,40)
证明 设 0x 的密度为 ),0( yp,因为 ),( ytp dxxpyxtp ),0(),,(∫=,由转移密度满足的 Kolmogorov 向前方程便得,
,下面我们讨论 扩散过程 }0,{ ≥ttx 的转移函数 ),,( yxtp 的 不变密度,一般 并非所有的扩散过程的转移密度都有不变密度,例 １２,９ 中,Brown 运动 作为最简单的扩散过程,就不存在不变密度,对于扩散过程,有一个几乎公认的断言,就是对于较好的系数
360
)(),( xbxs (例如,满足定理 １２,６３ 的条件的情形 ),作为随机微分方程解的扩散过程的转移密度具有 如下的 二岐性质,在 ∞→t 时,要么 0),,( →yxtp (例如 Brown 运动 ),要么
)(),,( yyxtp j→,与 x 无关且 1)( =∫ dyyj,这两种情形分别类似于 Markov 链的零常返与正常返,可是这个断言还未见严格的概率论方法的论证,在第二种情形,根据偏微分方程的理论,极限函数 j 应该是 Kolmogorov 向前方程的定态解 (即不依赖时间 t 的解 ),即满足椭圆型方程
0))(()2)((
2
2
2
= jjs ybyyy,(12,41)
另一方面,在 Chapman-Kolmogorov 方程 ∫=+ dzyzspzxtpyxstp ),,(),,(),,( 中,令
∞→t,便得 ∫= dzyzspzy ),,()()( jj,这说明了极限函数 j 是扩散过程的转移函数的不变密度,
一般地,我们有
定理 １２,６５ 转移函数 ),,( yxtp 有不变密度的充要条件为,方程
0))(()2)((
2
2
2
=? yys ybdydydyd
有非负可积解,在条件成立时,yyj ∫
= 就是扩散过程的不变密度,
注 对于 Stratonovich 型随机微分方程
ss
t
o
s
t
t dBdsbx o)()(
0
xsxx ∫∫ ++=
的解,可以化归 Ito 型随机微分方程
ss
t
o
sss
t
t dBdsbx )()](')(2
1)([
0
xsxsxsxx ∫∫ +++=
处理,其 Kolmogorov 向前方程 （ Fokker-Planck 方程 ） 则是如下的散度型的
))](')(21)(([)2)((
2
pyyybyypyytp sss=,(12,39)’’
警告 有一些书上将 (12,39)’’误 写 为
))(()2)((
2
pybyypyytp= s,
这是不对的,
再则,如果我们定义如下的 新的随机积分,设 f 为连续可微函数,则当 ∞→n 时
361
∑?+
k
tt nknk Bf )()( 1 )(x
的概率极限,我们 称 之 为,向后随机积分,,并将它 记为 tt
T
dBBf?∫ )(
0
,那么,对于 由这种向后随机积分定义的随机微分方程
ss
t
o
s
t
t dBdsbx?++= ∫∫ )()(
0
xsxx,
我们可以 类似地得到一个扩散过程,其 散度型的 Kolmogorov 向前方程 （ Fokker-Planck 方程 ） 正是
))(()2)((
2
pybyypyytp= s,
而散度型的优点是,其二阶导数部分写成为一个对称的运算形式,在二阶线性抛物型偏微分方程中,这种形式是较易处理的,
总之,对于随机积分 我们 可 有三种不同定义,它们各有优缺点,Ito 积分 (向前积分 )的优点是有鞅性质,
Strtonovich 积分 (中间 随机积分 )的优点是有复合函数的链法则,向后积分的优点是 Fokker-Planck 方程 的散度型 具有简单 而直接 的形式,
以上的有关扩散过程的结论,都可以推广到高维情形,对于 m 维 Brown 运动 tBr,即 m
个相互独立的 Brown 运动排成的列向量,以及 )( tBr 可知的 md × 矩阵值随机过程 tΦ,可以类似地定义 Ito 积分和随机微分方程,对于 md × 矩阵值函数 )(xΣ 及 d 维向量值函数 )( xbr,
d 维随机微分方程
ss
t
o
s
t
t Bddsbx
rrrrr )()(
0
xxx Σ++= ∫∫,
有类似的存在唯一性定理,也 有与例 １２,５６ 至例 １２,５８ 相应的方程的解的表达式,
定理 １２,６６ d 维随机微分方程的解仍然是 Markov 过程,称为 d 维 扩散过程,
其转移密度存在,且满足 以下诸方程,
K olmogorov 向后方程,
pxbxx pxatp x
ji
d
ji
ij+
=
∑
=
)()(21
2
1,
r
,
其中 dRyx ∈,,Tdjiij xxxa )()())((,,ΣΣ=≤,x? 是关于变量 x 的梯度运算,
Kolmogorov 向前方程,
))(())((21
2
1,
pybpyayytp ij
ji
d
ji
r
=
∑
=
,
其中 是对于变量 y 的散度运算,
362
扩散过程 txr 在 时刻 t 的 分布 密度 ),( xtp 还满足 Master 方程,
))(())((21
2
1,
pybpyayytp ij
ji
d
ji
r
=
∑
=
,
从而其 不变密度 j 满足的方程为,
0))(())((21
2
1,
=∑
=
jj ybyayy ij
ji
d
ji
r
,(12.41) ’
[ 注 ] 对于 S tratonovich 型随机微分方程
ss
t
o
s
t
t Bddsbx
rorrrrr )()(
0
xxx Σ++= ∫∫,
其 K olmogorov 向后方程为
+= ∑
=
))((21
1,
2
pxayytp
d
ji
ij
ji ji
ijd
i
j
d
j y
p
y
ayb
+ ∑∑
==
)41)((
11
,
而 Kolmogorov 向前方程可以写为以下的 散度形式,
,
])41)([())((21
111,
pyaybyypyaytp
i
ijd
i
j
j
d
jj
ij
i
d
ji?
=
∑∑∑
===
,
4,扩散过程的遍历定理
由于 扩散过程 的 遍历定理 在物理,化学,生物,工程,经济,金融等诸多领域有广泛的应用,
我们不加证明地叙述以下 3 个定理,
定理 １２,６７ ( 遍 历定理 ) 如果存在 210 gg <<,使扩散矩阵 ）)(()(( xaxA ij= 满足
IxAI 21 )( gg ≤≤,( I 是单位矩阵 ),
而且方程
0))(())((21
2
1,
=∑
=
jj ybyayy ij
ji
d
ji
r
有一个可积的正解,那么其归一化的正解 )(xj 是对应的扩散过程 tx 的不变密度,并且成立如下的遍历定理,对于任意的有界的 Bor el 函数 f,不管 0x 的初始分布是什么,恒有
1))()()(1(
0
= →? ∫∫ ∞→ dxxxfdtfTP Tt
T
jx,
( 定理 的证明远超出本书的水平,故而从略,这个 定理 是 Markov 链的遍历定理的扩 散过程版本,其出处可参见下书中的附录 IV,
钱敏平,龚光鲁 随机过程论,第二版,北京大学出版社,1997,
363
该书 中 叙述的遍历性条件,是 由 Orey 的二岐性定理保证成立 的 ）,
类似 的事实对于多个时刻也成立,即对于任意 n,任意 nss <<< L10 及 任意的有界
Borel 函数 ),,( 1 nxxf L,不管 0x 的初始分布是什么,总以概率为 1 地有
=++∞→ ∫ dtfT nstst
T
T ),,(
1lim
1
0
xx L
nnnnnn dxdxxxsspxxsspxxxf LLL 11121121 ),,(),,()(),,(∫ j,
作为定理 １２,６７ 的推论,我们有
定理 １２,６８ （ 平均遍历定理 ）
在定理 １２ 。 ６７ 的条件下,对于任意的有界的 Borel 函数 f,及 x=0x
dyyyfdtfET Ttx
T
)()()(1
0
jx ∫∫ →? ∞→,
证明从略,
* 4,3 Girsanov 定理与 Feyman-Kac 公式
Girsanov 定理与 Feyman-Kac 公式是随机微积分中,除了 Ito 公式以外最重要的两个定理,它们 与 Ito
公式一起,形成 了 随机分析理论与应用的三大支柱,它们的证明需要随机分析的工具,所以我们只给出叙述,而不给证明,
定义 １２,６８ （ Girsanov 变 换 ）
设 tBr 为概率空间,(? F ),P 上的 d 维 Brown 运动,tΦr 为 )( tBr 可知的有界随机过程,令
tB
^ dsB
s
t
t Φ?= ∫
rr
0
,
它称为 Brown 运动的随机平移 或 Girsanov 变换,定义新的概率 *P 如下,对于 F 中的任意事件 A,只要它的信息完全可由 ):{ tsBs ≤ 确定,就定义它的新的概率为
][)( 0 02
1
* ∫ ∫=
ΦΦ?Φ
t t
sTssTs dsBd
AeIEAP
rr
,
则不难证明 *P 确是 F 上的概率,
定理 １２,６９ （ Girsanov 定理 ） 在新概率 *P 下,Brown 运动的 Girsanov 变换 tB^ 是 d 维 Brown
运动,( 警告,在原来的 概率 P 下它并不是 Brown 运动 ),
Girsanov 定理有广泛的应用,例如,把它应用到金融数学中的 Black-Scholes 模型,就可以得到风险中性的概率,这是期权 ( option) 定价的理论基础,
定理 １２,７０ （ Feyman-Kac 公式 ）
364
设 txr 是随机微分方程 ss
t
o
s
t
t Bddsbx
rrrrr )()(
0
xxx Σ++= ∫∫ 的 解,?∞>≥ 0)( cxc,
T
djiij xxxa )()())((,,ΣΣ=≤,那么,在 Tt ≤≤0 满足 终值条件
)(),( xfxTu =,)( dRx∈
的偏微分方程
0),()()()(21
2
1,
=+++ ∑
=
xtguxcuxbxx uxatu x
ji
d
ji
ij
r
,
的解可以用概率表示为 以下的条件期望的形式,
):|)](),(([),(
)()(
tvBfesgeExtu vT
duc
s
ducT
t
T
t
u
s
t
u
≤∫+∫=
∫ rrr
rr
xx
xx
,
Feyman-Kac 公式把一个线性偏微分方程的终值问题的解,表达为一个随机微分 方程的解的函数的条件期望,于是我们可以通过随机模拟得到线性偏微分方程的终值问题的数值解,例如说,得到
)](),([),0(
)()(
T
duc
s
ducT
t
fesgeExu
T
t
u
s
t
u
xx
xx rr rr ∫
+∫=
∫
的近似值,
5 随机微分方程的解的数值模拟算法
对于随机微分方程
ss
t
o
s
t
t dBsdssb ),(),(
0
0 xsxxx ∫∫ ++=,
可以用迭代方法,或与常微分方程类似地,给出数值解的方法,但是,这样的方法在计算上是不经济的,需要采用更为实用的算法,
5,1 随机微分方程在固定时刻附近的随机 Taylor 展开与解的差分近似
在 ],0[ T 上随机微分方程
tttt dBXdtXbdX )()( s+=,xX =0
的解是一个 Ito 过程,求方程的数值解实际上是给出该过程的样本在离散时间采样点上的
Monte Carlo 近似,为此,我们先将 ],0[ T 作 n 等分
Tttt n =<<<= L100,
使步长 nT=d 适当地小,
假定扩散系数 )( xs 有界且二次连续可微,我们 考虑 tX 在 )( nmtm < 附近的展开,其思
365
想是,用随机的差分来近似,在 1+<< mm tst,对 )( sXs 用 Ito 公式得到
=? )()( ms tX ss uuu
s
t
uuuu
s
t
dBXXduXXXXb
mm
)(')()]('')(21)(')([ 2 sssss ∫∫ ++,
于是有
ss
t
t
s
t
t
tt dBXdsXbXX
m
m
m
m
mm
)()(
11
1
s∫∫
++
+
+=?
sts
t
t
tttt dBXXBBXoXb m
m
m
mmmm
)]()([))(())()((
1
1
sssdd?+?++= ∫
+
+
(12,42)
)()](')()()(
1
dssVsd odBdBXXXXb suuu
s
t
t
t
mtt
m
m
m
mm
+++= ∫∫
+
,(12,43)
其中 }{ mV 独立同分布且 ),0(~
1
dV NBB
mm ttm
=
+
,
首先 考虑 （ １２,４２ ）,由于
)()]()([max])]()([[ 22
1
1
dssss otXXEdBXXE mtstststs
t
t
mmmm
m
m
=≤?
+
+
<<∫,
粗略地有
)()]()([
1
dss odBXX sts
t
t
m
m
m
=?∫
+
,
所以,只要 )( xs 有界连续 (并不需要二次连续可微 ),我们就由 （ １２,４２ ） 得到随机微分方程的精确到 d 的 21 阶 （ 即精度为 2
1
d ） 的如下差分近似,
2
1 阶差分近似模型 (Euler - Maruyama 近似 ),令
m
n
tm
n
t
n
t
n
t mmmm XtXbXX Vs )()(
)()()()(
1 +?+=+,xX
n
t =
)(
0,(12,44)
其中 }{ mV 独立同分布且 ),0(~ dV NB
mtm
= (注意 d==? nTt m ),
较高精度的近似是利用 （ １２,４３ ）,注意到
)()(')()](')(
11
dssss odBdBXXdBdBXX su
s
t
t
t
ttsuuu
s
t
t
t m
m
m
mm
m
m
m
+= ∫∫∫∫
++
)()()(')(
1
dss odBBBXX sts
t
t
tt m
m
m
mm
+?= ∫
+
366
)(])(21)[(')( 22
1
dss oBBtBBXX
mmmmmm ttmtttt
+=
+
)(]))[((')(21 2 dss otBXX mttt
mmm
+=,(12,45)
由 (12,43)和 (12,45),我们得到随机微分方程的精确到 d 的 １ 次方的如下的差分近似,
一阶差分近似模型 (Milstein 近似 ),
))((')(21)()( 2)()()()()()(
1 mm
n
t
n
tm
n
tm
n
t
n
t
n
t tXXXtXbXX mmmmmm++?+=+ VssVs,(12,46)
其中 }{ mV 独立同分布,),0(~ dV Nm,xX nt =)(0,
具体做法是,对于给定的 n,通过独立地生成的 ),0( dN 随机数 )(,nmm <V,逐步地解出的 )()(,,1 ntnt nXX L,就得 到随机微分方程的近似解在离散时间集合 },,{ 1 ntt L 上的采样值,
用它们 做 折线内插近似,或样条函数 (spline)内插近似,就得到随机微分方程的一个近似模拟轨道,
如果漂移系数 )( xb 与扩散系数有更多阶的连续导数,我们还可以沿着这个思路构造 23
阶,2 阶,以至更高阶的差分近似模型,但是,对于通常的应用,一阶近似模型已经够了,
下面的内容,有助于我们对随机差分模型近似的认识,
５,２ Ito 过程的一个光滑函数 f 复合在时刻 t 附近的随机 Taylor 展开
(本段内容可参考
Platen,E,and Wagner,W,On a Taylor formula for a class of Ito process,Probability Math,Statistics 3,
37-51,1982),
对于 Ito 过程 tX,我们考虑 )( tXf 在 t 附近的近似计算,为了求得较好的近似,我们要在
mm tttt?+≤< 时用 Ito 过程 作 随机 Taylor 展开式,它是 5,1段的思路的推广,因为 5,1段可以看成
xxf =)( 的情形,
由 Ito 公式
sss
t
t
ssss
t
t
tt dBXfXdsXfXXfXbXfXf
mm
m
)(')()]('')(21)(')([)()( 2 ss ∫∫ +++=
,它的 21 阶随机 Taylor 展开式 则是在上式中,将被积的随机过程 sX 简单地用 （ 它在 mt 处的随机变量 ）
mt
X 替代后,再把差别统统放到一个余项中,这就是
RBdXfXdsXfXXfXbXfXf s
t
t
tt
t
t
tttttt
m
mm
m
mmmmm
++++= ∫∫ )(')()]('')(21)(')([)()( 2 ss
其中 R 是一个随机的余项,
较高精确度的是 一阶随机 Taylor 展开,为了得到它,我们把上式改写为
367
s
t
t
tt
t
t
tttttt BdXfXdsXfXXfXbXfXf
m
mm
m
mmmmm ∫∫
+++= )(')()]('')(21)(')([)()( 2 ss
1)](')()(')([ RdBXfXXfX sttss
t
t
mm
m
+?+ ∫ ss,
对于乘积复合函数 ))('( sXf?s 应用 Ito 公式,我们发现 )(')()(')(
mm ttss
XfXXfX ss? 中含 Ito
积分的项只有 uuu
s
t
dBXfX
m
)()'')((?∫ ss,它的 21 阶近似为 ))(()'')((
mmm tstt
BBXfXss,
其它部分都高于 21 阶,于是在只考虑一阶近似时,我们把展开式写为
s
t
t
tt
t
t
tttttt BdXfXdsXfXXfXbXfXf
m
mm
m
mmmmm ∫∫
+++= )(')()]('')(21)(')([)()( 2 ss
1)]()'')(( RBddBXfX s
t
t
u
s
t
tt
m m
mm
+?+ ∫∫ss,,(12,47)
这就是 一阶随机 Taylor 展开式,
5,3,差分近似模型的改进
用一阶随机 Taylor 展开的思想作差分近似的缺点,是需要计算扩散系数 )( xs 的微商,
借用常微分方程近似计算的思想,我们也有
一阶 随机 Runge - Kutta 模型
),)]}(())(([1{21)()( 2)()()()()()()(
1 mm
n
t
n
t
n
tm
n
tm
n
t
n
t
n
t tXXXXtXbXX mmmmmmm+++?+=+ VsdssdVs
}{ mV 独立同分布,),0(~ dV Nm,xX nt =)(0,(12,48)
当 ∞→n 时,可以在理论上证明,以上几个模型得到的,近似解,确实是在平均意义下收敛到随机微分方程的唯一的解,
以上讨论的是取值于实直线 1R 的随机微分方程,对于多变量情形,即取值于 dR 的随机微分方程,可以完全类似地得到随机 Taylor 近似及随机 Runge-Kutta 模型,
习题 12
1,求对应于相关函数为 )0,(,)( || >?=? bgg b tetB 的宽 Markov 平稳 Gauss 过程的条件数学期望
)|( stsE xx + 与其相应的条件方差 )|( stsVar xx +
368
2,证明平稳 Gauss - Markov 过程是可逆的,
3,设矩阵 A为非正定对称 ( 即所有特征值都小于 0),}:{ +∞<<?∞ ttx 为 d 维平稳 Gauss 过程,且
满足
)! )()(()(,0 )( LL +?++?+===? n stAstAIeEE
nn
stAT
tst xxx,
证明 }0:{ +∞<≤ ttx 的转移密度 ),,( yxtp 为 ),( 2AtAt eIxeN? （ 把 y 看成分布密度的变量 ）,因而有
),0(),,(lim INyxtpt =∞→,
4,设正态过程 tx 的数学期望为 0,协方差函数 )()(),( tsvtsuCov ts ∨∧=xx,证明它是 Markov 过
程,又问它是否时齐?
5,若 nx 是鞅列,则 cn ∨x 是下鞅列,cn ∧x 是上鞅列,又若,+∞<+nEx 则 +nx 也是下鞅列,对应地,
又若,?∞>?nEx 则?nx 也是上鞅列,
6,设 nx 是鞅列,其方差有限,且对于任意 n 有 k
n
k
n X∑
=
=
1
x,则序列 }{ kX 中的随机变量两两不相关,
7,在博采输光问题中,如果 qp <,求输光概率 ba qp,以及博采至输光为止的平均时间,
8,设 }1,{ ≥nX n 独立同分布,
pqX n
11~
,qp >,nx 是简单随机徘徊,∑
==
n
k kn X1x
,
])(1[ 22 qpnnn= xh,,
n
p
q
n
x
V
=
)( qpnZ nn= x,
(1) 证明 nx 是 )( nX 下鞅列,而 nnn Z,,Vh 都是 )( nx 鞅列,
(2) 求 mh 与 nh 的相关系数,
369
9,若 nX ～
2
2
1
2 22 ),,( s
m
s
m
xsm
nX
n
k
n
keN
∑
= =,证明 nx 是 )( nX 鞅列,
10,假定随机序列 }0,{ ≥nnx 均有数学期望,且满足
nnnE axxxx =+ ],,|( 01 L )1,0,(,1 =+>+? bababxn,
能否选取 c,使 ),1(,001 xhxxh =≥+=? nc nnn 为 )( nx 鞅列?
11,设 ]1,0[~0 Ux,又在 nx 已知的 条件下,]1,1[~1 nn U xx?+,证明 如下定义的 nh 是 )( nx 鞅列,
=
=
=
∏
11
00
12
k
k
n
k
n
n x
xh
xh
12,设 }0,{ ≥nnx 是状态空间 },,2,1,0{ NS L= 的时齐 Markov 链,
(1) 若转移 概率为 jNjjNij NiNiCp= )1()(,那么
n
nn
n
N
N
)11(
)(
= xxh 是 )(
nx 鞅列,
(2) 若转移概率为 N
N
jN
N
j
i
ij C
CCp
2
22
=,那么存在 l 使 n nnn
N
l
xxV )(?=
是 )( nx 鞅列,
13,设 tN 为强度为 l 的 Poisson 过程,证明 tNtt= lx,ttt= lxh 2,)1(
a
t ea
t e
+?= lxV
都
是 )( tN 鞅,
14.,求 积分 Brown 运动 ∫=
t
o
st dsBx 的协方差函数 )0(),( tsCov ts ≤<xx,并证明
,),( ttB x 是二维 Markov 过程,
15,设 tt hx,是鞅,则 tt hx + 是鞅,tt ),min( hx 是下鞅,
16,若 tx 是 Markov 过程,f 为严格单调函数,则 )( tt f xV?= 也是 Markov 过程,
17.,把 btaBte + 写成 Ito 过程的形式,
370
18 设 nn XXS ++= L1 是简单随机徘徊,)1(11~ pqpqX n?=
且独立同分布,证明
)(22 )( qpnSnpq
n
nzqzpz+=x 是鞅列,
19,利用选样定理证明 Wald 公式 (见第 1 章 ),
20,设 tB 为 Brown 运动,)(xf 为二次连续可微的增函数,证明
dsBafBfaBaf
t
ss
t
t
e
)]('')('[21)( 22 +? ∫
=x 是 )( tB 鞅,
21,设 }{ il 为有界序列,tx 是参数为 il 的纯生过程,证明 dss
t
tt xlxh ∫?=
0
,
dsea
t
s
t
a
t
e
xlx
V ∫=
0
)1(
都是 )( tx 鞅,
22 证明 Brown 桥 1tBBX tt?= )10( ≤≤ t 是 Markov 过程,
23,设 )(tf 为平方可积的实值函数,求证 ∫=
t
st dBsfX
0
)( 为 Gauss 过程,并计算 ),( ts XXCov,进一步证 明 ),( tt YX 是二维 Gauss 过程,其中 dtXtgY t
t
t )(
0
∫=,又问 ),( ts YXCov,),( ts YYCov 各是什么?
24,设 ttttt dBcXdtXbaXdX ++= )(,
tccB
t
teM
2
2
1+?
=,
（ 1） 求证
dtXbaXMXMd ttttt )()( +=,
（ 2） 令 ttt XMY =,并证明它满足常微分方程
t
tccB
t
t YbeaY
dt
dY t
2
4
1
2
1 +?
+=,
（ 3） 求证 tt YZ = 满足 t
tccB
t
t ZebZa
dt
dZ t
2
4
1
2
1
22
+?+=
,
（ 4） 通过求解 tZ,证明,20
)24(2
0
2 )
2(
22
XdsebeX s
acBctattccB
t
st +=?+?+? ∫,
25,设 ),( xtf 为对 x 二阶光滑 ( 二阶导数连续 ) 且对 t 一阶光滑 ( 一阶导数连续 ) 的实 函数
371
th ),(
0
t
ds
tfe
s
t
x
x∫
=,求 tdh,
26,求证如下的随机利率的方程 dtbradBdr ttt )(?+?= s 有唯一解
s
as
t
atatat
t dBeeeberr ∫
+?+=
0
0 )1( s,
再求它的期望函数 tEr 与协方差函数 ),( ts rrCov,
27,d 维 Brown 运动 ),,( )()1( dtt BB L 的向径过程 2)(2)1( )()( dttt BBR ++= L 称为 Bessel 过程,请利用多维 Ito 公式,导出它所满足的随机微分方 程,
28,由定义求 s
t
0
sdB∫,ss
t
0
dBB 2∫,
29,求由原点出发的二维 Brown 运动在时刻 t 落在圆盘 222 r≤+ yx 中的概率,
30,判别下列是否为鞅 (需要证明 ),dssBBt s
t
t ∫?
0
2 2,
tt tBB 3
3?
31 设 ),( )2()1( tt BB 是二维 Brown 运动,判别下列是否为鞅 (需要证明 ),)2()1( tt BB,
)][]ln([ 2)2(2)1( tt BB +,
32 归纳法证明 ； )(! 110
2 t
BhdBdB
t
n t
nuuuun nn =∫ ∫ ≤≤≤ LL L,其中 )(xhn 是一个多项式,称为 n
阶 Hermite 多项式,
33,将 下列 Stratonovich 方程化为 Ito 方程,tttt dBXdtXdX oab +=,
ttttt dBXtdtXXdX o)cos{cossin 2 ++= 。
34,将 下列 Ito 方程化为 Stratonovich 方程,tttt dBXdtXdX ab +=,ttXt dBXdtedX t 22 +=? 。
35,求 tdX,其中 =tX ntB,=tX tBet ++2,=tX 2)2(2)1( ][][ tt BB +,),( )2()1( tt BB 是二
维 Brown 运动,
36,设 tB 是三维 Brown 运动 。 证明 || 1
t
t BxX += 是鞅,
37,记 ||)( ktk BEtg = 。 证明 )2()()1(21)( 1
0
≥?=?∫ kdssgkktg k
t
k,
372
38,设
)(
3
1
ktk
k
Bbct
t eX
∑=
=
+
,其中 ),,( )3()2()1( ttt BBB 是三维 Brown 运动,求 tdX,
39,设 }|{|
2
}|{| )(2
1||)(
eee ee <≥ ++= xx I
xIxxg,证明 Tanaka 公式
|),0:{|21)(')()(
0
0 eeeeee <<?≤≤++= ∫ sss
t
t BtssdBBgBgBg,
其中 |),0:{| ee <<?≤≤ sBtss 表示集合 ),0:{ ee <<?≤≤ sBtss 的测度,
40,求解 ttt KdBdtCAXdX ++= )(,
41,设 )sin,(cos)( xxxg =,求 )(),( ttt BgYX = (称为圆上的 Brown 运动 )满足的 随机微分方程,
42,证明 tBsin 是方程 ))2,2((121 02 pp?∈=?+?= xBdBXdtXdX tttt 的解,
43,求 下列方程的 解 （ １ ） tX
tt
t dB
edtYY
Xd
t?
+
=
01
（ 提示
t
t Be
t
）,
（ ２ ） t
t
t
t
t
t
t dB
X
Ydt
Y
X
Y
Xd
+
=
2
1
（ 提示
t
t
shB
chB
）,
（ ３ ） t
t
t
t
t
t
t dB
X
Y
a
bdt
Y
X
Y
Xd
+
=
2
1
（ 提示
t
t
Bb
Ba
sin
cos
）,
（ ４ ）
+
=
)2(
)1(
0
1
tt
t
t
t
dBX
dBdt
Y
Xd
,
44,对于下列方程 求解,并求 其转移密度满足的向后方程与向前方程
（ １ ） ttt dBdtXdX +=,（ ２ ） tttt dBedtXdX?+?=,
（ ３ ） )(
1
k
tk
m
k
tt dBdtrXdX s∑
=?
+=,（ ４ ） ttttt dBXIXdtXdX )()1ln( ),0(2 ∞++=,
