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龚光鲁,钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用
清华大学出版社,2003
第 14 章 在精算与风险模型中的应用
1 基本概念
１,１ 保险中的利率概念
定义 １４,１ （ 利率,名义利率与连续利率 ）
设 实际年利率为 1r,则 折现系数 定义为
11
1
rv +=
,把与年利率 1r 相等价的一年计息 m 次的 名义利率 (nominal interest rate)记为 mr,则它满足
11)1( rm
r mm +=+,(14,1)
而
mm rr ∞→= lim
则就 是第 13 章中的 无风险银行 利率,称为 连续利率,在保险学中则称为 利息强度 (force of
interest),
定义 １４,２ （ 贴现率与名义贴现率 ）
对于一年一次计息的利率,在年终计算利息时就应该用年利率 1r,但是如果在年初预付利息,则就要用 贴现率,即 预付利率 d,它就是 利率的贴现率,即
1
1
1 r
rd
+=,(14,2)
这个公式 等价于
1
2 11 rdd +=+++ L,(14.3)
即,本利和 ＝ 1(元本金 ) + 预付率 + 预付率的预付率 + 预付率的预付率的预付率 L+,
对于与年利率 1r 等价的一年 m 次计息的名义利率 mr,其 相应的 名义贴现率 (预付利率 ) md 同样 满足
m
r
m
d
m
d mmm +=+++ 1)(1 2 L,(14,3)’
由此也可得名义贴现率的公式
m
m
m rm
rd
+=,(14,2)’
１,２ 生存模型的寿命分布与精算模型中的余寿
406
考察失效 可有 两种不同的角度,研究部件的失效时间和生物体的死亡时间,随着目的的不同,考虑的方式也会不同,例如,要知道某种药物对于动物死亡的影响时,我们往往不去追究被试验的动物的年龄,然而在精算中我们又必须考虑的年龄的差别,在精算界,人们把后一类归入所谓,有选择模型,,其意思是其对象是有选择的,例如,要考虑年龄的差别,
定义 １４,３ （ 寿命分布,生存概率与失效率 ）
寿命是一个取非负值的随机变量 X,记 其分布密度为 )(tp,分布函数为 )(tF,那
么存活到时刻 t 生存函数 (生存概率 )为
)(1)( tFtS?=?,(14,4)
而时刻 t 的 失效率 （ 死亡率 ） 定义为
∫∞→
=>+≤=
t
h duup
tptXhtXPt
)(
)()|(lim)(
0l,(14,5)
显见我们有
∫=? t duuetS 0 )()( l,(14,6)
典型的寿命分布,除 常用的指数分布 (由于它是无记忆的分布,在理论上 不应直接应用于有选择模型 ),对数正态分布外,还有
（ １ ） Weibull 分布 ),( laW )0,(),()( ),0[1 >= ∞ ll l atIetatp ata,
其中 a 为形状参数,数学期望为 )11(
1
a
a +Γ?l,方差为 ]))11(()21([ 2
2
aa
a +Γ?+Γ?l,又若 lx exp~,则 有 ),,(~
1
aWa lxh =,
（ ２ ） 广义 Gamma 分布 )()()( ),0[)(1 tIettp
t
∞
Γ=
bsgbgbs
g
b,
（ ３ ） 半边 正态分布 )()21)(()( ),0[ tIttF ∞?Φ=２,其中 )(tΦ 为 )1,0(N 的分布函数,
寿命的对数 的分布还有
（ １ ） 极值分 布
s
m?
=
t
eetF 1)(
（ ２ ） Logistic 分布
s
m
+
= t
e
tF
1
1)(,数学期望 m,方差 22
3
1 ps,
其它被用作寿命分布的还有逆 Gauss 分布等,
精算中的死亡力度
如前所述,在精算中应该把投保人的年龄作为重要因素考虑,设年龄 x 的人的余寿 T
具有分布密 度 )(tp x,其分布函数为 )(tFx,那么,他在年龄 tx + 时的 危险率 (死亡率,相
407
当于,顾及年龄,的部件的 失效率 ) 应理解成他在 时刻 t 死亡的密度,
)(1
)()|(lim)(
0 tF
tptTttTPt
x
x
tx?=>?+≤= →?l,(14,5)’
同样,生 存时间超过 t 的概率为 ∫=?
t
x duu
x etS
0 )()( l,于是 ∫?=?
t
x duu
x etF
0 )(1)( l,
记号 １４,４ 在国际精算界 )(txl 被称为 死亡力度,在概率界常用记号 )(txl,)(tFx
和 )(tSx 表示死亡力度,余寿分布和生存概率,而在精算界,则有他们专用的 传统记号,
分别用 tx+m,xt q,和 xt p,
典型的死亡力度模型 有
（ 1） Gompertz 的指数死亡力度
tx
x Cet
+=)(l,
（ 2） Makeham 死亡力度
tx
x eCCt
++=
21)(l,
（ 3） Weibull 的幂死亡力度 (余寿遵从 Weibull 分布 ),
)0(,)()( >+= gl gtxCtx,
（ 4） 线性指数死亡力度 (余寿分布 称为线性指数分布,或 Rayleigh 分布 )
)()( txCtx ++= ll,
(5) 阶梯形死亡力度,
(6) 盆状死亡力度,如
ttxtx?+++= dgbl )(,或
b
ab
aa
bl )(1)()( tx
x e
txt +?+=,
(7) 广义 Pareto 死亡力度
g
bal
+++= txtx )(
等等,以上几个分布除线性指数分布和 Weibull分布外,即使数学期望的解析式都很难求,一般需要用数值近似计算,
概念 １２,５ （ 生命表 ） 年龄 x 的人在当年内死亡的概率 用 表列出,称为 生命表,它给出了在 t 为整数 (以年为单位 )时的死亡概率,在实际制定时,这些概率都是用 统计频率 近似 得到 的,而在 t 为非整数时,则可以用此生命表内插,生命表是人寿保险投保操作的基本依据,
2 风险模型与 破产理论介绍
２,１ 盈余过程与 永 不破产的概率
408
定义 １４,５ （ 理赔次数为 Poisson 过时的盈余过程 ） 设 tN 是 Poisson 过程,它 表示相继的理赔时刻,而各次理赔的金额是与理赔发生相互独立的独立同分布随机变量列 ){ nX,
其中 )0(>nX 表示第 n 次理赔金额,把时刻 t 前的 累计索赔额 记为 tS,即
tNt
XXS ++= L1,(14,7)
它是强度 l 的复合 Poisson 过程,假定单位时间的投保费为 c,而承担此项保险的公司的 初始保证金 (准备金 )为 0x,那么在时刻 t 公司在此项保险上的盈余为
tt SctxU?+= 0,(14,8)
它是一个随机过程,称为 盈余过程,
定义 １４,６ 令 1EXp =,为了保证运行,保险公司必须要求 pc l>,记
1?=Λ? pcl,(14,9)
它称为 相对安全负荷,
定义 １４,７ （ 破产时刻,破产赤字,最终破产概率,永 不破产的概率 ）
随机时刻
}0:inf{ ≤= tUtT (14,10)
称为 破产时刻,|| TU 称为 破产赤字,它显然满足 0,0 ≤>? TT UU,而
( ) ( )000 | xUTPx =∞<=y (14,11)
则是 在 00 xU = 的条件下 最 终破产的概率,则简称为 破产概率,类似地
( ) ( )000 |,xUtTPtx =≤=y (14,12)
称为 t 前破产的概率,记 永 不破产的概率 为 )( 0xR,则
),(),0()(1)( 000 txctSPtUPxxR tt?≤?=?≥=?= y
)())((sup 000 xLPxctSP tt ≤=≤?=?≥,(14,13)
其中
)(sup 0 ctSL tt?= ≥?
是 保险公司的 最大损失,可见 永 不破产的概率 )( 0xR 正是最大损失的分布函数,类似地还有 t 前不破产的概率
409
),(1),( 00 txtxR y?=?,(14,14)
显见 有 )(),( 00 xRxR =∞,
在本书中,如果不作特别声明,恒假设 理 赔额 iX 是有分布密度 )(xp X 的随机变量,于是累计理赔额 tS (它 是复合 Poisson 过程 ) 的分布函数为 ),( txFS 具有密度函数,记为
),( txpS,从而盈余过程 tU 的分布函数为
),(1)(),( 00 txctxFxSctxPtxF StU?+?=≤?+=,(14.15)
并有密度,记为 ),( txpU,表示 准备金为 0x 时,盈余过程在时刻 t 的分布密度,显见 有
),(),( 0 txctxptxp SU?+=,(14,15)＇
２,２ t 前不破产的概率的公 式与估计
准备知识
定义 １ ４,７ 随机 变量 序列 }{ nX 称为 可交换的随机序列,如果对于任意 m 及
},,2,1{ mL 的任意一个排序 },,,{ 21 miii L,均有 },,,{
21 miii
XXX L 与 },,,{ 21 mXXX L 同分布,可交换的随机序列 nX 的部分和 )0(,01 =+++=? SXXxS nn L 称为 具可交换增量的随机序列,
例 １４,８ 独立同分布随机变量的部分和 是最简单的具可交换增量的随机序列,
例 １４,９ 设 tN 是以 }{ nt 为更新流的更新过程,而其独立同分布的更新间隔为
LL,,,1 nTT,这时,在条件 nNt = 下,nmm ≤}{t 对于条件概率 )|( nNP t =? 而言,是具有可交换增量的随机序 列
与随机徘徊 相 类似,具可交换增量的随机序列 也有 对称原理,它是随机徘徊的对称原
理的推广,
命题 １４,１０ ( 可交换增量的随机序列 对称原理 ) 设 nS 为具可交换增量的随机序列,且 00 =S,则有
]),[),(,(]),[),(,0( baSniSSPbaSniSP nnini ∈<<=∈<>,(14,16)
(其 证明几乎可以照搬第 3 章中随机 徘徊的对称原理 (定理 ３,３０ )的证明 )
命题 １４,１１ (Dwass –Dinges 定理 )
设 nS 为具可交换增量的随机序列 nn XXxS +++= L1,其中 iX 取值于
},2,1,0,1{ L,xS =0 (整数 ),那么,在 xm > 时有
410
)()),(,( mSPn xmmSnimSP nni =?==<<,(14,17)
(证明几乎可以照搬第 3 章定理 ３,３４ 的证明 ),
[注 ] 可交换的随机序列可以由条 件独立同分布随机变量列来描述,这就是著名的 de Finetti 定理,我们把它放在下面以供参考
de Finetti 定理 若 ∞<≤nnX 1}{ 是可交换的随机序列 (只有有限个随机变量时定理不真 ),则存在一个随机变量 h,使在 h 已知的条件下,}{ nX 为条件独立同分布的,即对于任意 yxxm n,,,,1 L,恒有
∏
=
=≤==≤≤
m
k
kkmm yxXPyxXxXP
1
11 )|()|,,( hhL,
１,无准备金情形 的 永 不 破产 概率
引理 １４,１２ 若 000 == xU,则对 0>x,我们有
),,0( tsdxxUxUP ts <?+≤<≥ = ),,( tsdxxUxUUP tts <?+≤<<
= ctx )( dxxUxP t +≤<,(14,18)
(证明大意 由于盈余过程 tU 是由复合 Poisson 过程构成的,所以它是独立增量过程,于是它在相等时间间隔的采样是独立随机变量的和,因而采样列是具 有 可交换增量的随机变量列,对它应用对称原理,再让采样间隔趋于 0,便得第一个等式,再对 tUc1 用 Dwass-Dinges 定理,并让采样间隔趋于 0,便得第二个等式 ),
(1) 无准备金时 t 前不破产概率 ),0( tR 的 第一个计算公式
因为 00 =x,所以 ctUt ≤,在 (14,18)两边对 x 从 0 到 ct 积分,我们得到
=),0( tR ),0( tsUP s ≤?≥ = ),,0( tsctUUP ts ≤?≤≥ =ct1 dxtxpx Uct ),(
0∫
,
对于 上式 右方用分部积分,再 用 变量替换 yxct =?,并 用 (14.15),则
上式右 方 ]),(),([1
0
dxtxFtctctFct ct UU ∫?=
∫= ct S dxtxctFctct 0 ])),(1([1 dytyFct ct S ),(1 0∫=,
于是我们得到 如下的 第一个公式
dytyFcttR
S
ct ),(1),0(
0∫
=,(14,19)
[注 ] 此公式在理赔额无分布密度时仍然正确,证明只需作一些必要的修改,
(2),无准备金时 t 前不破产概率 ),0( tR 的第二个计算公式
由前面的推导过程可以看出
411
∫ ∫∫ ∞ ∞ >+== ct tSSct dyySPdytyFctctdytyFctcttR 00 ])()),(1([1])),(1([1),0(,
再利用 ∫∞ ==>
0
)( tpESdyySP tt l,并用 相对安全负荷 1?=Λ pcl 作为参数,便得另一个表达式
dyySPcttR
ct t∫
∞ >+
Λ+
Λ= )(1
1),0(,(14,20)
我们把它们综合为 下面的定理 。
定理 １ ４,１３ 对无准备金且以复合 Poisson 过程理赔的风险模型,在时刻 t 以前破产的概率为
dytyFcttR
S
ct ),(1),0(
0∫
= dyySPct
ct t∫
∞ >+
Λ+
Λ= )(1
1,
(3) 无准备金时前不破产概率 ),0( tR 的上界估计
假定累次理赔额 iX 的二阶矩有限,由 Chebyshev 不等式,我们有
2
2
1
2 )()(
)()()(
tpy
tEX
tpy
SVartpyESSPySP t
ttt l
l
ll?=?≤?>?=>,
于是由 (14,20)得到 上界估计
pcct
EXdy
tpyc
EXtR
ct l
l
l
l
+Λ+
Λ≤
+Λ+
Λ≤ ∫∞ 1
1)(
1
1),0(
2
1
2
2
1,(14,21)
(4),无准备金时 永 不破产概率 )0(R 的公式
Λ+Λ=∞= 1),0()0( RR (14,22)
可见最终破产的概率 为
Λ+= 1
1)0(y,(14,23)
即相对安全负荷 1?=Λ pcl 越大,则 最终 破产概率越小,这与直觉并无二致,
２,有准备金情形 下的不破产概率
现 在 设 000 >= xU,我们可以把有 准备金情形化 为 无准备金情形,显见
)0,0()0())(,0(),( 0 =<?≥?≥=≤?≥= stts UtsUPUPtsUPtxR 使
+≤= )( 0xctSP t
dpUtsrUdpppsUP rstt )0),(,0),[,0(
0
>∈?=+∈?≥? ∫ 有且使,(14,23)
由于 tS 在 ),[ dppp + 中不变化的概率为 )(1 dpo?,从而 )0),[( =+∈? sUdpppsP 使 与
412
])0,(( cdpUP p?∈ 只差 )(dpo (它们都近似地等于在长为 dp 的时间段 只 有一次理赔 的概率 ),再则,由 tU 的独立增量性可知它也是 Markov 过程,直观地利用全概率公式 (如果要追究数学的严格性,就需要注意破产时刻 T 是随机变量,在把 T 作为,现在,时刻,利用 tU 是独立增量过程,仍然可以证明它对于这种随机的,现在,仍具有 Markov 性 {对随机的,现在,仍有 Markov 性的随机过程,称为具有 强 Markov 性,本书中略去这较多测度论知识的推导 },注意到此时 cdpdU p =,于是 (14,23)的右方 为
),0(),0(),(
00
ptcdpRpptctxF t US+= ∫,
再 用 (14,15),就得到把有准备金情形化为 无准备金情形的 t 前不破产概率的公式,即 下面的定理,
定理 １４,１４
∫ ++= t SS dppcpxpptRctctxFtxR 0 000 ),(),0(),(),(,(14 24)
[注 ] 此公式在随机理赔额无分布密度时 只需 作相应的修改,
２,３ 有准备金时最终破产概率的上界与调节系数
定理 １４,１５ 下述关于 s 的方程
dxxpesc Xsx )(
0∫
∞=+ ll (14,25)
存在唯一正解 R (即 R 满足 dxxpepR XRx )()1(1
0∫
∞=Λ++ ),它 给出了 最终破产概率
)( 0xy ( ∞<<∞? 0x,即容许初始盈余为负 — -负债 的 情形 ) 随初始盈余衰减的指数界,
0)( 0 Rxex?≤y,(14,26)
这个 R 称为 调节系数,
[注 ] 如果将 理赔额的分布密度的 Laplace变换记为 )(sL
XP ∫∞= 0 )( dxxpe Xsx,那么 R
为非线性方程
[l scsL
Xp
= ]1)( (14,26) ’
的正根,它可以用数值分析方法求得,
证明 首先,０ 显然 是此方程的一个解,再则,方程 (14.25)的左方 是 s 的线性函数,右方则 是 s 的 趋于 ∞ 的凸函数,而在 0=s 处左边的导数大于右边的导数,因此,此方程 还存在一个正解,我们 将 第 n 次理赔前破产的概率记为 )( 0xny,那么,)( 0xny )( 0xy≤ 且
)( 0xny )( 0xy→,于是定理的证明只需对 n 归纳地 证明
)( 0xny 0Rxe?≤,(14,27)
注意 )()( 0]0,(00 xIx?∞=y,即 0=n 时 (14,27)自然 成立,今 作归纳法假设 1?n 时 (14,27)
413
正确,对于 n 的情形,利用 第一次理赔时刻服从指数分布,在计算概率 )(xny 时,对第一次理赔时刻与理赔额运用全概率公式,再用归纳法假定 及调节系数的定义,我们得到
dydtypytnPex Xtn )(),|()(
00
理赔额为首次理赔时刻为破产次理赔前∫∞?= lly
∫ ∫∞ ∞+= 0 0 01 )()( dyypyctxdte Xnt yl l ∫ ∫∞ ∞?+≤ 0 0 ][ )(0 dyypedte XyctxRtll
∫ =+= 00 )( RxXRyRx edyypeeRcl l,
其中最后一个等号得自 R 的定义,
[注 1] 递推公式
)( 0xny ∫ ∫∞ ∞+=
0 0 01
)()( dyypyctxdte Xnt yl l (14,28)
正 给出了最终破产概率的递推近似,
[注 2] (一般 的 理赔更新流情形 ) 如果理赔流不是 指数 流,而是一般 的 更新流,那么调节系数 R 定义 应 为下述方程的解 s,
1)( 11 =?cTXsEe,(14,29)
其中 1T 为首次理赔时刻,同样可以证明 0)( 0 Rxex?≤y,注意当理赔流为 指数 流时,调节系数 用 (14,29)定义与用 ((14,25)定义是一致的,
定理 １４,１５ (调节系数的估计 )
2
1
12
EX
EXR Λ<,(14,30)
又 若 理赔额 iX 是有界随机变量,且 其上界为 M,则还有下界估计
)1log(1 Λ+> MR,(14,31)
证明 由 R 满足
dxxpepR XRx )()1(1
0∫
∞=Λ++ ∫∞ ++=++>
0
2
1
2
1
2
2
11)()
2
)(1( EXRREXdxxpRxRx
X
立得 (14.30),另一方面,在区间 ],0[ M 的两端,凸函数 Rxe 与线性函数 1)1( +?RMeMx 相等,
由此推出
Rxe ≤ 1)1( +?RMe
M
x,
于是
dxxpepR XRx )()1(1
0∫
∞=Λ++ ∫∞?+=?+≤
0
)1(1)())1(1( p
M
edxxpe
M
x RM
X
RM,
因此 MR
RM
eRMe <?≤Λ+ 11,便得 (14.31),
414
[注 ] 理赔额存在密度 )(xp X 的假定也是不必要的,其证明也只需要把普通积分改为
Stieltjes 积分,
２,４ 破产概率的方程
由于理赔额超过 x 的概率为 )(1 xFX?,对于 0≥x,在 (14,28)中,令 ∞→n,便得到破产概率满足积分方程
∫ ∫∞ ∞+= 0 0 )()()( dyypyctxdtex Xt yly l,(14,32)
令 ctxu +=,那么
)0(,)()()(
0
)(
≥?= ∫ ∫∞ ∞
xdyypyuduex
x X
c
xu
yly
l
,(14,33)
另一方面,显见应有
)0(,1)( <= xxy,(14,34)
对 (14,33)求导数 得到
∫∞= 0 ])()()([)(' dyypyxxcx Xyyly,
再 利用 (14,34)就得到 下面的定理,
定理 １４,１６ 最终破产概率满足的积分微分方程,
)0(,)])(1[)()()(()('
0
>= ∫ xxFduuxpuxcx x XXyyly,(14,35)
它也可简单地写成 永 不破产概率的积 分 微分方程,
])()()([)('
0
duuxpuRxRcxR X
x
= ∫l,(14,35)’
例 １５,１７ 在理赔额服从指数分布及混合指数分布时,可以由 (14,35)再求导数,导出 y 满足的常系数常微分方程,求解便可得 y 的明显 表达 式,例如,在理赔额服从参数为 m 的指数分布时,调节系数为 Λ+Λ= 1mR,最终破产概率为 01 1)( 0 Rxex?Λ+=y,
[注 １ ] 理赔 次数 可以不必局限为 Poisson 过程,一般地可以是一个更新过程,其中最简单的是 Erlang(2)
过程,相应地就有 Erlang(2) 盈余过程,
[注 ２ ] 还有 大数 定 律 l
l 1EXc
N
U t
t
t→? ∞→,从而 有 U( )∞ = ∞,
[ 注 ３ ] 一般重点关心的问题 还有,在初始保证金为 0x 时,集体风险理论中的破产时刻 T,破产前的盈余?TU 与 破产时刻的赤字 TU?,这三个随机变量 组 ),,( TT UUT 如果存在联合密度
415
)|,,( 0xyxtf,那么它 将提供 重要的统计信息,若假定破产前的盈余为 x 而破产时的赤字为 )0(<y 时的惩罚权重函数为 ),( yxw,那么平均折现为
dtdxdyxyxtfex rt )|,,()( 0
00
0
0
∞
∞?
∫∫∫=
a
f,
其中 r 为利率,
在实用中 常 把时间取 为 离散 采样,这 时 有关的一些概率量,常可写成迭代形式 （ 对应于连续时间情形的更新方程 ）,这时非常有利于作数 值计算,
２,５ 保险费的效用函数与保险费策略的制定
如果抽象地考虑风险,保险公司承担的风险 h 是一个随机变量 （ 例如,=h 复合
Poisson 过程 tS 的情形 ）,公司为此收取保险费是依赖于此风险的 一个正数,记成 )(hP,一次投保使保险公司有随机收入 hh?)(P,比率 hhEP )( 称为保费率,在无竞争条件下,在 制定保险费策略 )(?P 时,通常 要求满足,
(1) )(hh PE ≤ 某个上界≤ ;
(2) )(?P 应 像数学期望,但是一般没 或 有可加性,而只对 多个独立的风险有可加性 ；
(3) 对于两个风险 Vh,,与条件期望类似地,可以定义条件风险 )|( VhP,它是一个依赖于 V 的随机变量,因而条件风险也可以再投保,而且应该要求保费策略满足
)())|(( hVh PPP =,
最平凡的取法是令 hh EP =)(,称为 净保策略,但是这不 容易 被保险公司所接受,而通常的其它情形 有 hah EP )1()( +=,)()( hahh VarEP +=,)()( hahh VarEP +=
等等,但是它们 都并不能 保证 (1) － (3) 全部满足,所以人们提出了效用函数和非线性数学期望等概念,
保险公司获得的盈余 x 的实际作用,可以用一个函数 )(xu 来公平地表达,它 应该 满足
0)('',0)(' ≤> xuxu,即它是一个可微的严格的递增凹函数,称为 效用函数,
有一种 考虑,是 使 用 效用函数 aexu
ax
a
= 1)( (显见它关于 a 是递增的 )作用下的 平均原理,即 对于固定的 x,将 h 作为变量,在 方程
)]([)( h?+= PxuExu aa (14,36)
416
中解出一个与 初始盈余 x 无关的 P 作为 h 的函数,取之为 )(hP,并将它 记为 )(haP,这时有 (请读者自行验证 )
hh a
a EeaP log
1)( =,(14,37)
再定义
)|(log1)|( VVh haa eEaP =,
这种计算保险费用的策略,称为 指数零效用原理,它满足以上 （ １ ）－（ ３ ） 的所有要求 (请读者自行验证 ),在风险 h 为累计理赔额为复合 Poisson 过程 tS 时,指数零效用原理就是说,
盈余 tt SSPx?+ )( 的效用 ))(( tt SSPxu?+ 是一个鞅,即效用是,公平地,发展的,这样的原则容易得到保方与被保方认可,
当然,对于一般的效用函数,也可以类似地用平均原理给出收取保险费的策略,
例 １４,１７ 设保险 的 风险 h 为累计理赔额为复合 Poisson 过程 tS,假定按指数零效用原理收取保险费 taStaa EeaSPtP log1)()( ==?,那么单位时间的投保费为
11log1)( aXaSa Ee
aEeatt
tPc t === (读者自行验证 ),
其中 1X 为一次理赔额度,此时的调节系数 aR = (读者自行验证 ),
非线性条件期望是由彭实戈提出的,它由向后随机微分方程的解给出,至今还未在保险领域 起 用,我们认为 这种概念 将能在制定保费策略上发挥重要的 理论 作用,
２,６ 最大损失 的分布
在复合 Poisson 过程作为 累计理赔时,我们求最大损失 }{max 0 ctSL tt?= > 的分布,为此,只 需 求它的 Laplace 变换,由 (14.13),最大损失 L 的分布函数就是 永 不破产概率 )( xR,
Λ+
Λ===
1)0()0( RLP,用 分部积分 便 得
∫ ∫∞∞=+= dxxeRxdReREe sxsxLs )(')0()()0( 0),0( y )(1 ssLy?=,(14.38)
此处
∫∞?= 0 )()( dxxesL sxyy,
而对于理赔额 1X 的密度 )(xp X 的 Laplace 变换,用分部积分有
∫∞= 0 )()( dxxpesL XsxpX ∫∞= 0 ))(1(1 dxxFes Xsx,
另一方面,由 (14,35)求 Laplace 变换得到 (注意卷积的 Laplace 变换是 Laplace 变换的乘积 )
417
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∞ ∞ ∞∞ ∞= 0 0 00 0 ))(1()()()()(' duuFeduufeduueduueduuec XsuXsusususu yyyl
即
l
c =+? )](1)0([ ssLR
y?1)[(sLy 1[
1)](
ssL Xp )](sL Xp,
解此方程 得
)](1[
)](1[1)]0(1[
)(
sLcs
sLsRc
sL
X
X
p
p
=
l
l
y,
再用 （ １４,３８ ）,便得到最大损失 L 的分布 的 Laplace 变换的明显表示式如下
=?=? )(1 ssLEe sL y
)](1[
)0(
sLcs
Rcs
Xp
l
l,
由它在 0=s 的展开式易得
1
2
1
2 EX
EXEL
Λ=,
2
1
2
1
1
3
12
2
1
3?
Λ+Λ= EX
EX
EX
EXEL,
[注 ] 第 2 节 的 部分 内容选材自
汉斯 U,盖伯,数学风险论导引 (成世学,严颍 译 ),世界图书出版公司,1997
3 考虑利率与投资的保险模型简述
设 ( 连续 ) 利率为 r,假定收取的保险金存入银行,那么盈余过程应满足
ttt dSdtrUcdtdU?+=,
此处 由于 tS 是 强度为 l 的复 合 Poisson 过程,因而是 独立增量过程,可以 与 Ito 积分 类似地定义函数对于 tS 的积分,且 更为简单,即在作积分和 时,不会如 Ito 积分那样依赖于取左端点还是取右端点,对此方程进行积分便得 盈余过程的表达式
∫+= t pptr
rt
rt
t dSer
ecueU
0
)(1,
还可以考虑 如下类型的 随机利率
r t r t t( ) ( ) '= +?0 Λ l,
其中 Λ( )t 是 一个 强度为 l' 的 Poisson 过程,此时有单位币值 trtetL )()()( l?+Λ=,也 可考虑利率
r r Bt= +0 s 的情形,最后还可以考虑用保险金投入风险市场购买投资组合的情形,可 参考
Dickson,Math & Economics 11,191-207,1992,
Dufresne & Gerber,ibid,7,193-199,1988,
418
Egidio Dos Reis,ibid,12,23-38,1993
Geber,H,U,and Shiu,E.S.W.,On the them value of ruin,North Amer,Acturial J.,2(1),48-78,
习题 14
1,求 ∞→l 时,累计 理 赔的近似分布,
2,只考虑整数 理 赔时刻,并设它们以二值分布独立同分布地到达,于是累计 理 赔
nN
S 为复合负二项随机
变量列,试讨论相应的破产理论,
3,设风险 h 有分布密度 )( xp,hsEesM =)( 是 h 的矩母函数,定义风险 h 的 Esscher 变换为分布密度
为 )( )(aM xpe
ax
的随机变量 )(ah,证明
)(]))( )('()( )(''[)')')(log(( )(22 aVaraM aMaM aMaa aMa h=?=,
4,验证 (14,37),
5,验证对于复合 Poisson 为累计理赔时,由效用函数 aexu
ax
a
= 1)( 按平均原理制定的单位时间的保费为 11
)( aXa Ee
at
tP =
,而调节系数为 a,
6 当 理赔流为指数流时,证明 调节系数用 (14,29)定义与用 ((14,25)定义是一致的,
龚光鲁,钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用
清华大学出版社,2003
第 14 章 在精算与风险模型中的应用
1 基本概念
１,１ 保险中的利率概念
定义 １４,１ （ 利率,名义利率与连续利率 ）
设 实际年利率为 1r,则 折现系数 定义为
11
1
rv +=
,把与年利率 1r 相等价的一年计息 m 次的 名义利率 (nominal interest rate)记为 mr,则它满足
11)1( rm
r mm +=+,(14,1)
而
mm rr ∞→= lim
则就 是第 13 章中的 无风险银行 利率,称为 连续利率,在保险学中则称为 利息强度 (force of
interest),
定义 １４,２ （ 贴现率与名义贴现率 ）
对于一年一次计息的利率,在年终计算利息时就应该用年利率 1r,但是如果在年初预付利息,则就要用 贴现率,即 预付利率 d,它就是 利率的贴现率,即
1
1
1 r
rd
+=,(14,2)
这个公式 等价于
1
2 11 rdd +=+++ L,(14.3)
即,本利和 ＝ 1(元本金 ) + 预付率 + 预付率的预付率 + 预付率的预付率的预付率 L+,
对于与年利率 1r 等价的一年 m 次计息的名义利率 mr,其 相应的 名义贴现率 (预付利率 ) md 同样 满足
m
r
m
d
m
d mmm +=+++ 1)(1 2 L,(14,3)’
由此也可得名义贴现率的公式
m
m
m rm
rd
+=,(14,2)’
１,２ 生存模型的寿命分布与精算模型中的余寿
406
考察失效 可有 两种不同的角度,研究部件的失效时间和生物体的死亡时间,随着目的的不同,考虑的方式也会不同,例如,要知道某种药物对于动物死亡的影响时,我们往往不去追究被试验的动物的年龄,然而在精算中我们又必须考虑的年龄的差别,在精算界,人们把后一类归入所谓,有选择模型,,其意思是其对象是有选择的,例如,要考虑年龄的差别,
定义 １４,３ （ 寿命分布,生存概率与失效率 ）
寿命是一个取非负值的随机变量 X,记 其分布密度为 )(tp,分布函数为 )(tF,那
么存活到时刻 t 生存函数 (生存概率 )为
)(1)( tFtS?=?,(14,4)
而时刻 t 的 失效率 （ 死亡率 ） 定义为
∫∞→
=>+≤=
t
h duup
tptXhtXPt
)(
)()|(lim)(
0l,(14,5)
显见我们有
∫=? t duuetS 0 )()( l,(14,6)
典型的寿命分布,除 常用的指数分布 (由于它是无记忆的分布,在理论上 不应直接应用于有选择模型 ),对数正态分布外,还有
（ １ ） Weibull 分布 ),( laW )0,(),()( ),0[1 >= ∞ ll l atIetatp ata,
其中 a 为形状参数,数学期望为 )11(
1
a
a +Γ?l,方差为 ]))11(()21([ 2
2
aa
a +Γ?+Γ?l,又若 lx exp~,则 有 ),,(~
1
aWa lxh =,
（ ２ ） 广义 Gamma 分布 )()()( ),0[)(1 tIettp
t
∞
Γ=
bsgbgbs
g
b,
（ ３ ） 半边 正态分布 )()21)(()( ),0[ tIttF ∞?Φ=２,其中 )(tΦ 为 )1,0(N 的分布函数,
寿命的对数 的分布还有
（ １ ） 极值分 布
s
m?
=
t
eetF 1)(
（ ２ ） Logistic 分布
s
m
+
= t
e
tF
1
1)(,数学期望 m,方差 22
3
1 ps,
其它被用作寿命分布的还有逆 Gauss 分布等,
精算中的死亡力度
如前所述,在精算中应该把投保人的年龄作为重要因素考虑,设年龄 x 的人的余寿 T
具有分布密 度 )(tp x,其分布函数为 )(tFx,那么,他在年龄 tx + 时的 危险率 (死亡率,相
407
当于,顾及年龄,的部件的 失效率 ) 应理解成他在 时刻 t 死亡的密度,
)(1
)()|(lim)(
0 tF
tptTttTPt
x
x
tx?=>?+≤= →?l,(14,5)’
同样,生 存时间超过 t 的概率为 ∫=?
t
x duu
x etS
0 )()( l,于是 ∫?=?
t
x duu
x etF
0 )(1)( l,
记号 １４,４ 在国际精算界 )(txl 被称为 死亡力度,在概率界常用记号 )(txl,)(tFx
和 )(tSx 表示死亡力度,余寿分布和生存概率,而在精算界,则有他们专用的 传统记号,
分别用 tx+m,xt q,和 xt p,
典型的死亡力度模型 有
（ 1） Gompertz 的指数死亡力度
tx
x Cet
+=)(l,
（ 2） Makeham 死亡力度
tx
x eCCt
++=
21)(l,
（ 3） Weibull 的幂死亡力度 (余寿遵从 Weibull 分布 ),
)0(,)()( >+= gl gtxCtx,
（ 4） 线性指数死亡力度 (余寿分布 称为线性指数分布,或 Rayleigh 分布 )
)()( txCtx ++= ll,
(5) 阶梯形死亡力度,
(6) 盆状死亡力度,如
ttxtx?+++= dgbl )(,或
b
ab
aa
bl )(1)()( tx
x e
txt +?+=,
(7) 广义 Pareto 死亡力度
g
bal
+++= txtx )(
等等,以上几个分布除线性指数分布和 Weibull分布外,即使数学期望的解析式都很难求,一般需要用数值近似计算,
概念 １２,５ （ 生命表 ） 年龄 x 的人在当年内死亡的概率 用 表列出,称为 生命表,它给出了在 t 为整数 (以年为单位 )时的死亡概率,在实际制定时,这些概率都是用 统计频率 近似 得到 的,而在 t 为非整数时,则可以用此生命表内插,生命表是人寿保险投保操作的基本依据,
2 风险模型与 破产理论介绍
２,１ 盈余过程与 永 不破产的概率
408
定义 １４,５ （ 理赔次数为 Poisson 过时的盈余过程 ） 设 tN 是 Poisson 过程,它 表示相继的理赔时刻,而各次理赔的金额是与理赔发生相互独立的独立同分布随机变量列 ){ nX,
其中 )0(>nX 表示第 n 次理赔金额,把时刻 t 前的 累计索赔额 记为 tS,即
tNt
XXS ++= L1,(14,7)
它是强度 l 的复合 Poisson 过程,假定单位时间的投保费为 c,而承担此项保险的公司的 初始保证金 (准备金 )为 0x,那么在时刻 t 公司在此项保险上的盈余为
tt SctxU?+= 0,(14,8)
它是一个随机过程,称为 盈余过程,
定义 １４,６ 令 1EXp =,为了保证运行,保险公司必须要求 pc l>,记
1?=Λ? pcl,(14,9)
它称为 相对安全负荷,
定义 １４,７ （ 破产时刻,破产赤字,最终破产概率,永 不破产的概率 ）
随机时刻
}0:inf{ ≤= tUtT (14,10)
称为 破产时刻,|| TU 称为 破产赤字,它显然满足 0,0 ≤>? TT UU,而
( ) ( )000 | xUTPx =∞<=y (14,11)
则是 在 00 xU = 的条件下 最 终破产的概率,则简称为 破产概率,类似地
( ) ( )000 |,xUtTPtx =≤=y (14,12)
称为 t 前破产的概率,记 永 不破产的概率 为 )( 0xR,则
),(),0()(1)( 000 txctSPtUPxxR tt?≤?=?≥=?= y
)())((sup 000 xLPxctSP tt ≤=≤?=?≥,(14,13)
其中
)(sup 0 ctSL tt?= ≥?
是 保险公司的 最大损失,可见 永 不破产的概率 )( 0xR 正是最大损失的分布函数,类似地还有 t 前不破产的概率
409
),(1),( 00 txtxR y?=?,(14,14)
显见 有 )(),( 00 xRxR =∞,
在本书中,如果不作特别声明,恒假设 理 赔额 iX 是有分布密度 )(xp X 的随机变量,于是累计理赔额 tS (它 是复合 Poisson 过程 ) 的分布函数为 ),( txFS 具有密度函数,记为
),( txpS,从而盈余过程 tU 的分布函数为
),(1)(),( 00 txctxFxSctxPtxF StU?+?=≤?+=,(14.15)
并有密度,记为 ),( txpU,表示 准备金为 0x 时,盈余过程在时刻 t 的分布密度,显见 有
),(),( 0 txctxptxp SU?+=,(14,15)＇
２,２ t 前不破产的概率的公 式与估计
准备知识
定义 １ ４,７ 随机 变量 序列 }{ nX 称为 可交换的随机序列,如果对于任意 m 及
},,2,1{ mL 的任意一个排序 },,,{ 21 miii L,均有 },,,{
21 miii
XXX L 与 },,,{ 21 mXXX L 同分布,可交换的随机序列 nX 的部分和 )0(,01 =+++=? SXXxS nn L 称为 具可交换增量的随机序列,
例 １４,８ 独立同分布随机变量的部分和 是最简单的具可交换增量的随机序列,
例 １４,９ 设 tN 是以 }{ nt 为更新流的更新过程,而其独立同分布的更新间隔为
LL,,,1 nTT,这时,在条件 nNt = 下,nmm ≤}{t 对于条件概率 )|( nNP t =? 而言,是具有可交换增量的随机序 列
与随机徘徊 相 类似,具可交换增量的随机序列 也有 对称原理,它是随机徘徊的对称原
理的推广,
命题 １４,１０ ( 可交换增量的随机序列 对称原理 ) 设 nS 为具可交换增量的随机序列,且 00 =S,则有
]),[),(,(]),[),(,0( baSniSSPbaSniSP nnini ∈<<=∈<>,(14,16)
(其 证明几乎可以照搬第 3 章中随机 徘徊的对称原理 (定理 ３,３０ )的证明 )
命题 １４,１１ (Dwass –Dinges 定理 )
设 nS 为具可交换增量的随机序列 nn XXxS +++= L1,其中 iX 取值于
},2,1,0,1{ L,xS =0 (整数 ),那么,在 xm > 时有
410
)()),(,( mSPn xmmSnimSP nni =?==<<,(14,17)
(证明几乎可以照搬第 3 章定理 ３,３４ 的证明 ),
[注 ] 可交换的随机序列可以由条 件独立同分布随机变量列来描述,这就是著名的 de Finetti 定理,我们把它放在下面以供参考
de Finetti 定理 若 ∞<≤nnX 1}{ 是可交换的随机序列 (只有有限个随机变量时定理不真 ),则存在一个随机变量 h,使在 h 已知的条件下,}{ nX 为条件独立同分布的,即对于任意 yxxm n,,,,1 L,恒有
∏
=
=≤==≤≤
m
k
kkmm yxXPyxXxXP
1
11 )|()|,,( hhL,
１,无准备金情形 的 永 不 破产 概率
引理 １４,１２ 若 000 == xU,则对 0>x,我们有
),,0( tsdxxUxUP ts <?+≤<≥ = ),,( tsdxxUxUUP tts <?+≤<<
= ctx )( dxxUxP t +≤<,(14,18)
(证明大意 由于盈余过程 tU 是由复合 Poisson 过程构成的,所以它是独立增量过程,于是它在相等时间间隔的采样是独立随机变量的和,因而采样列是具 有 可交换增量的随机变量列,对它应用对称原理,再让采样间隔趋于 0,便得第一个等式,再对 tUc1 用 Dwass-Dinges 定理,并让采样间隔趋于 0,便得第二个等式 ),
(1) 无准备金时 t 前不破产概率 ),0( tR 的 第一个计算公式
因为 00 =x,所以 ctUt ≤,在 (14,18)两边对 x 从 0 到 ct 积分,我们得到
=),0( tR ),0( tsUP s ≤?≥ = ),,0( tsctUUP ts ≤?≤≥ =ct1 dxtxpx Uct ),(
0∫
,
对于 上式 右方用分部积分,再 用 变量替换 yxct =?,并 用 (14.15),则
上式右 方 ]),(),([1
0
dxtxFtctctFct ct UU ∫?=
∫= ct S dxtxctFctct 0 ])),(1([1 dytyFct ct S ),(1 0∫=,
于是我们得到 如下的 第一个公式
dytyFcttR
S
ct ),(1),0(
0∫
=,(14,19)
[注 ] 此公式在理赔额无分布密度时仍然正确,证明只需作一些必要的修改,
(2),无准备金时 t 前不破产概率 ),0( tR 的第二个计算公式
由前面的推导过程可以看出
411
∫ ∫∫ ∞ ∞ >+== ct tSSct dyySPdytyFctctdytyFctcttR 00 ])()),(1([1])),(1([1),0(,
再利用 ∫∞ ==>
0
)( tpESdyySP tt l,并用 相对安全负荷 1?=Λ pcl 作为参数,便得另一个表达式
dyySPcttR
ct t∫
∞ >+
Λ+
Λ= )(1
1),0(,(14,20)
我们把它们综合为 下面的定理 。
定理 １ ４,１３ 对无准备金且以复合 Poisson 过程理赔的风险模型,在时刻 t 以前破产的概率为
dytyFcttR
S
ct ),(1),0(
0∫
= dyySPct
ct t∫
∞ >+
Λ+
Λ= )(1
1,
(3) 无准备金时前不破产概率 ),0( tR 的上界估计
假定累次理赔额 iX 的二阶矩有限,由 Chebyshev 不等式,我们有
2
2
1
2 )()(
)()()(
tpy
tEX
tpy
SVartpyESSPySP t
ttt l
l
ll?=?≤?>?=>,
于是由 (14,20)得到 上界估计
pcct
EXdy
tpyc
EXtR
ct l
l
l
l
+Λ+
Λ≤
+Λ+
Λ≤ ∫∞ 1
1)(
1
1),0(
2
1
2
2
1,(14,21)
(4),无准备金时 永 不破产概率 )0(R 的公式
Λ+Λ=∞= 1),0()0( RR (14,22)
可见最终破产的概率 为
Λ+= 1
1)0(y,(14,23)
即相对安全负荷 1?=Λ pcl 越大,则 最终 破产概率越小,这与直觉并无二致,
２,有准备金情形 下的不破产概率
现 在 设 000 >= xU,我们可以把有 准备金情形化 为 无准备金情形,显见
)0,0()0())(,0(),( 0 =<?≥?≥=≤?≥= stts UtsUPUPtsUPtxR 使
+≤= )( 0xctSP t
dpUtsrUdpppsUP rstt )0),(,0),[,0(
0
>∈?=+∈?≥? ∫ 有且使,(14,23)
由于 tS 在 ),[ dppp + 中不变化的概率为 )(1 dpo?,从而 )0),[( =+∈? sUdpppsP 使 与
412
])0,(( cdpUP p?∈ 只差 )(dpo (它们都近似地等于在长为 dp 的时间段 只 有一次理赔 的概率 ),再则,由 tU 的独立增量性可知它也是 Markov 过程,直观地利用全概率公式 (如果要追究数学的严格性,就需要注意破产时刻 T 是随机变量,在把 T 作为,现在,时刻,利用 tU 是独立增量过程,仍然可以证明它对于这种随机的,现在,仍具有 Markov 性 {对随机的,现在,仍有 Markov 性的随机过程,称为具有 强 Markov 性,本书中略去这较多测度论知识的推导 },注意到此时 cdpdU p =,于是 (14,23)的右方 为
),0(),0(),(
00
ptcdpRpptctxF t US+= ∫,
再 用 (14,15),就得到把有准备金情形化为 无准备金情形的 t 前不破产概率的公式,即 下面的定理,
定理 １４,１４
∫ ++= t SS dppcpxpptRctctxFtxR 0 000 ),(),0(),(),(,(14 24)
[注 ] 此公式在随机理赔额无分布密度时 只需 作相应的修改,
２,３ 有准备金时最终破产概率的上界与调节系数
定理 １４,１５ 下述关于 s 的方程
dxxpesc Xsx )(
0∫
∞=+ ll (14,25)
存在唯一正解 R (即 R 满足 dxxpepR XRx )()1(1
0∫
∞=Λ++ ),它 给出了 最终破产概率
)( 0xy ( ∞<<∞? 0x,即容许初始盈余为负 — -负债 的 情形 ) 随初始盈余衰减的指数界,
0)( 0 Rxex?≤y,(14,26)
这个 R 称为 调节系数,
[注 ] 如果将 理赔额的分布密度的 Laplace变换记为 )(sL
XP ∫∞= 0 )( dxxpe Xsx,那么 R
为非线性方程
[l scsL
Xp
= ]1)( (14,26) ’
的正根,它可以用数值分析方法求得,
证明 首先,０ 显然 是此方程的一个解,再则,方程 (14.25)的左方 是 s 的线性函数,右方则 是 s 的 趋于 ∞ 的凸函数,而在 0=s 处左边的导数大于右边的导数,因此,此方程 还存在一个正解,我们 将 第 n 次理赔前破产的概率记为 )( 0xny,那么,)( 0xny )( 0xy≤ 且
)( 0xny )( 0xy→,于是定理的证明只需对 n 归纳地 证明
)( 0xny 0Rxe?≤,(14,27)
注意 )()( 0]0,(00 xIx?∞=y,即 0=n 时 (14,27)自然 成立,今 作归纳法假设 1?n 时 (14,27)
413
正确,对于 n 的情形,利用 第一次理赔时刻服从指数分布,在计算概率 )(xny 时,对第一次理赔时刻与理赔额运用全概率公式,再用归纳法假定 及调节系数的定义,我们得到
dydtypytnPex Xtn )(),|()(
00
理赔额为首次理赔时刻为破产次理赔前∫∞?= lly
∫ ∫∞ ∞+= 0 0 01 )()( dyypyctxdte Xnt yl l ∫ ∫∞ ∞?+≤ 0 0 ][ )(0 dyypedte XyctxRtll
∫ =+= 00 )( RxXRyRx edyypeeRcl l,
其中最后一个等号得自 R 的定义,
[注 1] 递推公式
)( 0xny ∫ ∫∞ ∞+=
0 0 01
)()( dyypyctxdte Xnt yl l (14,28)
正 给出了最终破产概率的递推近似,
[注 2] (一般 的 理赔更新流情形 ) 如果理赔流不是 指数 流,而是一般 的 更新流,那么调节系数 R 定义 应 为下述方程的解 s,
1)( 11 =?cTXsEe,(14,29)
其中 1T 为首次理赔时刻,同样可以证明 0)( 0 Rxex?≤y,注意当理赔流为 指数 流时,调节系数 用 (14,29)定义与用 ((14,25)定义是一致的,
定理 １４,１５ (调节系数的估计 )
2
1
12
EX
EXR Λ<,(14,30)
又 若 理赔额 iX 是有界随机变量,且 其上界为 M,则还有下界估计
)1log(1 Λ+> MR,(14,31)
证明 由 R 满足
dxxpepR XRx )()1(1
0∫
∞=Λ++ ∫∞ ++=++>
0
2
1
2
1
2
2
11)()
2
)(1( EXRREXdxxpRxRx
X
立得 (14.30),另一方面,在区间 ],0[ M 的两端,凸函数 Rxe 与线性函数 1)1( +?RMeMx 相等,
由此推出
Rxe ≤ 1)1( +?RMe
M
x,
于是
dxxpepR XRx )()1(1
0∫
∞=Λ++ ∫∞?+=?+≤
0
)1(1)())1(1( p
M
edxxpe
M
x RM
X
RM,
因此 MR
RM
eRMe <?≤Λ+ 11,便得 (14.31),
414
[注 ] 理赔额存在密度 )(xp X 的假定也是不必要的,其证明也只需要把普通积分改为
Stieltjes 积分,
２,４ 破产概率的方程
由于理赔额超过 x 的概率为 )(1 xFX?,对于 0≥x,在 (14,28)中,令 ∞→n,便得到破产概率满足积分方程
∫ ∫∞ ∞+= 0 0 )()()( dyypyctxdtex Xt yly l,(14,32)
令 ctxu +=,那么
)0(,)()()(
0
)(
≥?= ∫ ∫∞ ∞
xdyypyuduex
x X
c
xu
yly
l
,(14,33)
另一方面,显见应有
)0(,1)( <= xxy,(14,34)
对 (14,33)求导数 得到
∫∞= 0 ])()()([)(' dyypyxxcx Xyyly,
再 利用 (14,34)就得到 下面的定理,
定理 １４,１６ 最终破产概率满足的积分微分方程,
)0(,)])(1[)()()(()('
0
>= ∫ xxFduuxpuxcx x XXyyly,(14,35)
它也可简单地写成 永 不破产概率的积 分 微分方程,
])()()([)('
0
duuxpuRxRcxR X
x
= ∫l,(14,35)’
例 １５,１７ 在理赔额服从指数分布及混合指数分布时,可以由 (14,35)再求导数,导出 y 满足的常系数常微分方程,求解便可得 y 的明显 表达 式,例如,在理赔额服从参数为 m 的指数分布时,调节系数为 Λ+Λ= 1mR,最终破产概率为 01 1)( 0 Rxex?Λ+=y,
[注 １ ] 理赔 次数 可以不必局限为 Poisson 过程,一般地可以是一个更新过程,其中最简单的是 Erlang(2)
过程,相应地就有 Erlang(2) 盈余过程,
[注 ２ ] 还有 大数 定 律 l
l 1EXc
N
U t
t
t→? ∞→,从而 有 U( )∞ = ∞,
[ 注 ３ ] 一般重点关心的问题 还有,在初始保证金为 0x 时,集体风险理论中的破产时刻 T,破产前的盈余?TU 与 破产时刻的赤字 TU?,这三个随机变量 组 ),,( TT UUT 如果存在联合密度
415
)|,,( 0xyxtf,那么它 将提供 重要的统计信息,若假定破产前的盈余为 x 而破产时的赤字为 )0(<y 时的惩罚权重函数为 ),( yxw,那么平均折现为
dtdxdyxyxtfex rt )|,,()( 0
00
0
0
∞
∞?
∫∫∫=
a
f,
其中 r 为利率,
在实用中 常 把时间取 为 离散 采样,这 时 有关的一些概率量,常可写成迭代形式 （ 对应于连续时间情形的更新方程 ）,这时非常有利于作数 值计算,
２,５ 保险费的效用函数与保险费策略的制定
如果抽象地考虑风险,保险公司承担的风险 h 是一个随机变量 （ 例如,=h 复合
Poisson 过程 tS 的情形 ）,公司为此收取保险费是依赖于此风险的 一个正数,记成 )(hP,一次投保使保险公司有随机收入 hh?)(P,比率 hhEP )( 称为保费率,在无竞争条件下,在 制定保险费策略 )(?P 时,通常 要求满足,
(1) )(hh PE ≤ 某个上界≤ ;
(2) )(?P 应 像数学期望,但是一般没 或 有可加性,而只对 多个独立的风险有可加性 ；
(3) 对于两个风险 Vh,,与条件期望类似地,可以定义条件风险 )|( VhP,它是一个依赖于 V 的随机变量,因而条件风险也可以再投保,而且应该要求保费策略满足
)())|(( hVh PPP =,
最平凡的取法是令 hh EP =)(,称为 净保策略,但是这不 容易 被保险公司所接受,而通常的其它情形 有 hah EP )1()( +=,)()( hahh VarEP +=,)()( hahh VarEP +=
等等,但是它们 都并不能 保证 (1) － (3) 全部满足,所以人们提出了效用函数和非线性数学期望等概念,
保险公司获得的盈余 x 的实际作用,可以用一个函数 )(xu 来公平地表达,它 应该 满足
0)('',0)(' ≤> xuxu,即它是一个可微的严格的递增凹函数,称为 效用函数,
有一种 考虑,是 使 用 效用函数 aexu
ax
a
= 1)( (显见它关于 a 是递增的 )作用下的 平均原理,即 对于固定的 x,将 h 作为变量,在 方程
)]([)( h?+= PxuExu aa (14,36)
416
中解出一个与 初始盈余 x 无关的 P 作为 h 的函数,取之为 )(hP,并将它 记为 )(haP,这时有 (请读者自行验证 )
hh a
a EeaP log
1)( =,(14,37)
再定义
)|(log1)|( VVh haa eEaP =,
这种计算保险费用的策略,称为 指数零效用原理,它满足以上 （ １ ）－（ ３ ） 的所有要求 (请读者自行验证 ),在风险 h 为累计理赔额为复合 Poisson 过程 tS 时,指数零效用原理就是说,
盈余 tt SSPx?+ )( 的效用 ))(( tt SSPxu?+ 是一个鞅,即效用是,公平地,发展的,这样的原则容易得到保方与被保方认可,
当然,对于一般的效用函数,也可以类似地用平均原理给出收取保险费的策略,
例 １４,１７ 设保险 的 风险 h 为累计理赔额为复合 Poisson 过程 tS,假定按指数零效用原理收取保险费 taStaa EeaSPtP log1)()( ==?,那么单位时间的投保费为
11log1)( aXaSa Ee
aEeatt
tPc t === (读者自行验证 ),
其中 1X 为一次理赔额度,此时的调节系数 aR = (读者自行验证 ),
非线性条件期望是由彭实戈提出的,它由向后随机微分方程的解给出,至今还未在保险领域 起 用,我们认为 这种概念 将能在制定保费策略上发挥重要的 理论 作用,
２,６ 最大损失 的分布
在复合 Poisson 过程作为 累计理赔时,我们求最大损失 }{max 0 ctSL tt?= > 的分布,为此,只 需 求它的 Laplace 变换,由 (14.13),最大损失 L 的分布函数就是 永 不破产概率 )( xR,
Λ+
Λ===
1)0()0( RLP,用 分部积分 便 得
∫ ∫∞∞=+= dxxeRxdReREe sxsxLs )(')0()()0( 0),0( y )(1 ssLy?=,(14.38)
此处
∫∞?= 0 )()( dxxesL sxyy,
而对于理赔额 1X 的密度 )(xp X 的 Laplace 变换,用分部积分有
∫∞= 0 )()( dxxpesL XsxpX ∫∞= 0 ))(1(1 dxxFes Xsx,
另一方面,由 (14,35)求 Laplace 变换得到 (注意卷积的 Laplace 变换是 Laplace 变换的乘积 )
417
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∞ ∞ ∞∞ ∞= 0 0 00 0 ))(1()()()()(' duuFeduufeduueduueduuec XsuXsusususu yyyl
即
l
c =+? )](1)0([ ssLR
y?1)[(sLy 1[
1)](
ssL Xp )](sL Xp,
解此方程 得
)](1[
)](1[1)]0(1[
)(
sLcs
sLsRc
sL
X
X
p
p
=
l
l
y,
再用 （ １４,３８ ）,便得到最大损失 L 的分布 的 Laplace 变换的明显表示式如下
=?=? )(1 ssLEe sL y
)](1[
)0(
sLcs
Rcs
Xp
l
l,
由它在 0=s 的展开式易得
1
2
1
2 EX
EXEL
Λ=,
2
1
2
1
1
3
12
2
1
3?
Λ+Λ= EX
EX
EX
EXEL,
[注 ] 第 2 节 的 部分 内容选材自
汉斯 U,盖伯,数学风险论导引 (成世学,严颍 译 ),世界图书出版公司,1997
3 考虑利率与投资的保险模型简述
设 ( 连续 ) 利率为 r,假定收取的保险金存入银行,那么盈余过程应满足
ttt dSdtrUcdtdU?+=,
此处 由于 tS 是 强度为 l 的复 合 Poisson 过程,因而是 独立增量过程,可以 与 Ito 积分 类似地定义函数对于 tS 的积分,且 更为简单,即在作积分和 时,不会如 Ito 积分那样依赖于取左端点还是取右端点,对此方程进行积分便得 盈余过程的表达式
∫+= t pptr
rt
rt
t dSer
ecueU
0
)(1,
还可以考虑 如下类型的 随机利率
r t r t t( ) ( ) '= +?0 Λ l,
其中 Λ( )t 是 一个 强度为 l' 的 Poisson 过程,此时有单位币值 trtetL )()()( l?+Λ=,也 可考虑利率
r r Bt= +0 s 的情形,最后还可以考虑用保险金投入风险市场购买投资组合的情形,可 参考
Dickson,Math & Economics 11,191-207,1992,
Dufresne & Gerber,ibid,7,193-199,1988,
418
Egidio Dos Reis,ibid,12,23-38,1993
Geber,H,U,and Shiu,E.S.W.,On the them value of ruin,North Amer,Acturial J.,2(1),48-78,
习题 14
1,求 ∞→l 时,累计 理 赔的近似分布,
2,只考虑整数 理 赔时刻,并设它们以二值分布独立同分布地到达,于是累计 理 赔
nN
S 为复合负二项随机
变量列,试讨论相应的破产理论,
3,设风险 h 有分布密度 )( xp,hsEesM =)( 是 h 的矩母函数,定义风险 h 的 Esscher 变换为分布密度
为 )( )(aM xpe
ax
的随机变量 )(ah,证明
)(]))( )('()( )(''[)')')(log(( )(22 aVaraM aMaM aMaa aMa h=?=,
4,验证 (14,37),
5,验证对于复合 Poisson 为累计理赔时,由效用函数 aexu
ax
a
= 1)( 按平均原理制定的单位时间的保费为 11
)( aXa Ee
at
tP =
,而调节系数为 a,
6 当 理赔流为指数流时,证明 调节系数用 (14,29)定义与用 ((14,25)定义是一致的,
