373
龚光鲁,钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用
清华大学出版社,2003
第 13 章 金融证券未定权益的定价
1 Black-Scholes 模型 的 欧式未定权益的定价
1,1 术语与基本假定
概念 １３,１ （ 可行市场 ） 研究金融市场有一个基本的假定,就是 无套利原则,也称 套利原则,这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会,（ 套利的粗略含义是,在开始时无资本,经过资本的市场运作后,变成有非负的 （ 随机 ） 资金,而且有正资金的概率为正 ）,因为在出现套利机会时,大量的投机者就 会涌向市场进行套利,于是经过一个相对短的时期的,混乱,后,市场就会重返,正常,,即回复到无套利状态,在金融衍生证券的定价理论中 并不讨论这段短混乱时期,因此,在研究中,普遍 地 设置无套利假定,这样的市场也称为 可行市场,
概念 １３,２ （ 套期 ） 粗略地说,以持有某些有价证券组合来抵销某种金融衍生证券所带来的风险,称为 套期,这种套期事实上是 完全套期,如果只抵销了部分风险,则称为 部分套期,
定义 １３,３ （ 欧式 期权,欧式 未定权益 ） 设某种 风险 金融证券每 份 在 t 时刻的价格为 tS,并设 它满足以下的 Black - Scholes 模型,
)( ttt dBdtSdS sm +=,(13,1)
其中 )0(,>sm 分别为证券的 收益率 与 波动率,假定当前的银行利率为 r,而且不随时间变化,以这种证券为 标的变量 (Underlying Variable) 的欧式 看涨期权 （ European c all
option ）,是指在 0=t 时甲方 ( 一般为证券公司 ) 与乙方的一个合约,按此合约规定乙方有一个权利,能在时刻 T 以价格 K ( 它称为 敲定价格,striking price ) 从甲方买进一批 ( 一般为 100 份 ) 这种证券,如果时间 T 时的市场价格 TS 低于 K,乙方可以不买,而只要时间 T 时的市场价格 TS 高于 K,乙方就得利,综合起来,乙方在时刻 T 净得 随机收益 为
+?= )( KSX
TT,这种合约 ( 它的数学表示就是
+?= )( KSX
TT ) 称为 期权,又因为乙方只能在最终时刻 T 作出选择,称为 欧式期 权,此外,乙方希望 TS 尽量大,以便有更多的获利,也就是有选择权的乙方盼望股票上涨,所以称为 看涨期权,或者 买权,由于这个合约能给乙方带来 TX 的 随机 收益,就需要乙方在 0=t 时刻用钱从甲方购买,这个合约在 0=t
时刻的价格,称为它的 贴水 或 保证金 (premium ),问题是如何确定这个合约在时刻 Tt < 的价格 ( 包括 贴水 ),
另一种相反的情况是,如果 0=t 时甲方 (一般为证券公司 )卖给乙方如下的合约,此合约规定乙方有一个权利,即 能在时刻 T 以价格为 K 卖给甲方一批 (一般也为 100份 )这种证券,
如果时刻 T 时的市场价格 TS 高于 K,乙方可以不卖,只要时 间 T 时的市场价格 TS 低于 K,
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卖 方就得利,综合起来,乙方在时刻 T 净得为 随机收益 +?= )( TT SKX,这也是一种欧式期权,此时乙方盼望 TS 尽量小,以便有更多的获利,也就是,乙方盼望股票下跌,所以称为看跌期权,或者 卖权 (put option),同样由于这 个合约也能给乙方带来 TX 的收益,也就需要乙方在 0=t 时刻用钱从甲方购买,这个合约在 0=t 时刻的价格,也称为它的 贴水 或 保证金,
比看涨期权与看跌期权更为一般的欧式期权是,甲方卖给 乙方一个由证券组合组成的一个合约,此合约能在 T 时刻给乙方带来 随机收 益 )( TSf (称为 欧式未定权益 ),同样要给出这个合约 在时刻 Tt < 的价格 (贴水 ),
基本假定 为了讨论简单,通常假定市场是 无摩擦的,即无税收,无交易费,可以卖空,
银行的存贷利率是一样的,又假定此未定权益的持有人是小投资者,并且是 自融资的,即在整个过程中,持有人既没有添入资金,也没有抽走资金,
再则,存银行的钱是无风险的,由银行利率为 r (在时变情形为 )(tr,这在数学处理上并未增加任何困难 ),时刻 0=t 的 存款 00S 元到时刻 t 的价值应为
rt
t eSS
0
0
0 =,即 dtrSdS
tt
00 =,(13,2)
无套利下的看涨与看跌平权关系
定义 １３,４ （ 远期合约 ） 未定权益为 TS 的欧式权益,称为在时刻 T 成熟的 远期合约,
显见远期合约在时刻 )( Tt < 的价格就应该为证券的即时价格 tS,
命题 １３,５ （ 平权关系 ） 将 把看涨期权,看跌期权,远期合约在时刻 )( Tt < 的价格分别记为 ttt FPC,,,于是在无套利假定下有
rt
ttt KeFPC
=?,(13,3)
这个关系式称为 欧式 看涨 - 看跌 期权 的平权关系 (Call-Put parity),有了这个关系,欧式看涨期权与看跌期权中只要知道一个的价格,就立刻可以得到另一个的价格,
(平权关系的得到,是基于未定权益有如下的等式,
KSSKKS TTT?= ++ )()(,
这说明买进一张 (在金融中称为 多头 一张 )在 T 到期的执行价格为 K 的看涨期权与卖出一张
(在金融中称为 空头 一张 )相应的看跌期权,就相当于买进一张远期合约与卖出一张在时刻 T
到期的额度为 K 的银行存款,
1,2 定价的 套期方法
１,Black-Scholes 偏微分方程的推导
满足 Black -Scholes 模型 （ １３,１ ） 的 风险 标的资产 tS 是 随机微分方程 的解,因此 是
375
Markov 过程,从而,欧式 未定权益 )( TSf 在时刻 Tt < 的价格只依赖 tS,于 是 可以 将 此 价格 随机过程 记 为 ),( tStV,下面我们将按 Black -Scholes 在 1973 年的经典论文 中 的套期思想,
来推导 价格函数 ),( xtVVt?= 满足的微分方程,首先,由 Ito 公式有
tSxttttt dtx
VS
x
VS
t
VdBS
x
VStdV
=?
+
+
+?
= ])
2
1([),(
2
2
22sms,
假定在时刻 t 甲方为了保护卖出未定权益的风险,虚拟地待定购进?份标的证券,那么,
将 卖出的未定权益合约得到的价格 tV 与购进的标的证券化费的 tS 合起来考虑,甲方共计得 资产
ttt SVN=
,
由自融资原则,到了时刻 dtt +,这个获利就变为 dttdttdtt SVN ++?+=,即
tt dSdVdN= tSxtttt dtx
VS
x
VS
t
VdBS
x
V
=?
+
+
+
= ])
2
1)(()[(
2
2
22sms,
我们只要 取
),( tStxV=?,(13,4)
便得 到
=tdN dtxVStV
tSxt =?
+
)
2
1(
2
2
22s,(13,5)
再由无套利假定可知,tN 必须是无风险资产,即
dtrNdN tt =,(13,6)
(事实上,如果 dtrNdN tt >,则甲可以在时刻 t 从银行借贷 并 投资于上述组合 tN,在 dtt + 时刻得
tdN 后立刻偿 还银行 dtrN t,从而 净得 dtrNdN tt?,在另一种情形,如果 dtrNdN tt <,则甲可以在时刻 t 卖空上述组合 tN,将钱存入 银行,到 dtt + 时刻得 dtrN t,还去购回卖空的组合,由此 也 净得
tt dNdtrN?,所以,这两种情形都发生了套利,与无套利假定矛盾,可见只能有 dtrNdN tt = ),把
(13,5)式 中的 tN 的表达式代入 (13,6)式,就得到 ),( xtV 应满足的 Black - Scholes 偏微分方程,
376
021 2
2
22 =?
+
+
rV
x
Vrx
x
VS
t
V
ts,(13,7)
外加终端条件
)(),( xfxTV =,（ 因为 )(),( TT SfSTV = ）,(13,8)
只要求 得此方程的解 ),( xtV,就得到了未定权益 )( TSf 在时刻 Tt < 的价格 ),( tStV,
而在时刻 0=t 贴水为 ),0( 0SV,
２,Black-Scholes 微分方程的求解
先 令 tTt?=' 将 终值问题 化 成初值问题,再令 xx log'=,),()','(~ xtVxtV =,并 利用
xxxxxxxxxx xVVxxVxxVVxVV +====
2
'''
~
'
~ )()(,
,tt VV?='~,
把 方程 （ １３,７ ） 化为
0)2(21
~
'
~2
''
~2~
' =++? VrVrVV xxxt
ss,(13,9)
)())(),(()',0( '~ xefxfxTVxV ===,(13,10)
此 方程的系数不依赖 'x,是常系数偏微分方程,然 后 作变换
)','()','( ''~ xtUextV tx?+= ba,(13,11)
只要 在此变换中 选取 合适的 常数 ba,,就可以消灭方程中含 U 和含 'xU 的项,即
（ １ ） 置 'xU 的系数为 0,得到
22
2
2
12
ss
s
a r
r
=
=,(13,12)
（ ２ ） 再置 U 的系数为 0,得到
)21( 22 r+?= asb,(13,13)
这时 （ １３,９ ），（ １３,１０ ） 就简化为 传热 方程的 初值问题
''
2
' 2 xxt UU
s= (13,14)
)()',0( '' xx efexU a?=,(13,15)
由此可以用 初等偏微分方程中的经典方法,即 用 Gauss 核 (Brown 运动的转移密度函数 也称为 Gauss 核 ) 的积分给出其解 )','( xtU
377
dyeyUtxtU t
xy
2
2
'2
)'(
),0('2 1)','( ssp
∫?=
dyeefet t
xy
yy 2
2
'2
)'(
)('2 1 sasp
∫
=,
再 作变换 '' yxy =?,便得
)','( xtU ')('2 1 )''('2
'
'' 2
2
dyeeeft yxt
y
xy ++∫
=
as
sp ')('2
2
22
'2
''2'
'
'
dyexefte t
yty
y
x
s
asa
sp
+
∫?=,
注意积分号内指数项的分子为 24222 ')''( asas tty?+,作变换 ztty =+ '''
2
s
as,就得
dzeexefextU
tz
tzt
x
2
'
2''
' 222
2 )(
2)','(
as
ass
a
p
∫=
dzexefee
z
tTztT
rttx
2)(
)''(' 2
2 )(
2
+ ∫= assba
p,
最后 用 )','()','(),( ''~ xtUextVxtV tx?+== ba,得到 ),( xtV 的明显表达式如下 面定理所述,
定理 １３,６
dzexefextV
zrtTztTtTr
2)2()(
)( 222
)(2),(
∫=
sss
p,(13,16)
于是欧式未定权益 )( NSf 在时刻 )( Tt < 的价格为 ),( tStV,而在 合约 开始时刻的贴水为
dzeeSfeSV
zrTzTrT
2)2(00
22
2
)(2),0(
∫=
sss
p,(13,17)
而 用以 套期标的证券的数量,则由 (13,4)式 给出,
定义 １３,７ （ Black-Scholes 中性模型 ） 从 (13,16)可以看出,欧式 未定权益的定价不依赖 风险证券 的收益率 m,而代替它的则是银行利率 r,这就启示我们,在利用
Black-Scholes 模型求未定权益的定价时,风险证券的 价格模型应该改用
)( ttt dBrdtSdS +=,(13,18)
这样的模型称为 Black - Scholes 风险 中性模型,由于它与收益率为 m 时的模型不一样,我们把对应于这个风险中性模型所取的概率记为 *P (相应的期望记为 *E ),称为 风险中性概率,
在金融中,sm r? 称为 风险的市场价格,
１,３ 风险中性概率 方 法
设 在风险中性模型下,风险证券 在 t 时刻的价格记为 tS,它 对于 银行利率 r 的折现价
378
记 为 trtt SeS=~ (在初始时刻的等价价格,相当于将一切资产都折合到初始时刻考虑 ),用
Ito 公式得
tttt
rt
t
rt
t
rtt dBSdBrdtSedtSreSedSd ~~ )()( ss =++?==,(13,19)
由此可见对风险中性概率 *P 而言,风险证券 的折现价 tS~ 是 随机微分方程 （ １３,１９ ） 的解,由 例 １２,５７,此方程的唯一解是
tBt
t eSS
ss +?= 2
0
~~ 2
,(13,20)
这正是 tB 的 一个 指数鞅,因为 鞅在时间进行中体现了公平的发展,在时刻 T 的未定权益
)( TSf 在初始时刻的折现价为 )( ~~ TrTrT Sefef=,并且 鞅性质体现为,时刻 t 的 价格在初始时刻的 折现价 trtt VeV=~ 应该是 ),|( ~* tsBfE s ≤,即
=~tV ),|( ~* tsBfE s ≤,(13,21)
于是
),|)(( ~* tsBSefeEeV sTrTrTrtt ≤=?
],|)([ ))(2()(*)(
2
tsBeSfEe stTrBBttTr tt ≤=+
ss
,(13,22)
再利用条件期望的公式,并令 tT BB tT=
h,则对应于概率 *P 有 )1,0(~ Nh,故而
)])(2exp[(
)(*)(
2)](([
tTrSx
BBtTr
t
t
tTxefEeV
=
=
s
s
)])(2exp[(
)*)(
2)](([
tTrSx
tTtTr
t
xefEe
=
=
s
hs
dueeSfe
uutTtTr
t
tTr 2))(2()(
22
)(21+ ∫= s
s
p ),( tStV
记为 =
,
其中
),( xtV duexefe
uutTtTr
tTr 2))(2()(
22
)(21+ ∫= s
s
p,
它 正好是带终端条件的 Black-Scholes 偏微分方程的解 (13,16),
推论 １３,７ 对于远期合约 x)x(f =,由 Black-Scholes 公式得到它在时刻 )( Ttt <
的价格为 tt S)S,t(F =,恰好就是标的 风险 证券的市价,
推论 １３,８ 对于欧式看涨期权 （ 对应于 +?= )()( Kxxf ）,它在时刻 )( Ttt < 的
379
价格的公式可以简化为
))(())((),( 2)(1 xdKexdxStF tTrt Φ?Φ=,
其中
t-T
tTrKx
xd s
s ))(
2()log()(
2
1
++
=,t-T
t-T-rKx
xd 2 s
s ))(
2()log()(
2
+
=,
due21(x) 2
u-x
-
2
∫
∞
=Φ p (在通常的金融文献中记为 )x(N ) 是 为标准正态分布的分布函数,
此时应该套期的风险证券的数量为
tt Sx
xd
tTr
xd
Sxt xdeKexdxexdx
F
=
=?+Φ=?
=? )](')('))(([|
2
2
)(
)(
1
2
)(
1
2221
))(( 1 tSdΦ=,
推论 １３,９ 由 平权关系便得到欧式看跌期权 （ 对应于 +?= )()( xKxf ） 在时刻
)( Ttt < 的价格
))(())((),( 12)( xdxxdKeStF tTrt?ΦΦ=,
此时应该套期的风险证券的数量为
tSxt x
F
=?
=? | ))((
1 tSd?Φ?== L,
[注 ] 如果不用风险中性的 Black-Scholes 模型,而是用带收益率 m 的 Black-Scholes 模型,那么类似地用 Ito 公式,可得证券的折现价格
~
tS 满足的方程为,
)(~~ dtrdBSSd ttt sms?+=,
作 Girsanov 变换 trBB t sm?+=*,则 对于 F 中的任意事件 A,只要它的信息完全可由 ):{ tsBs ≤
确定,就定义它的 一个 新概率 *P 为
)()(
2
2
1
* t
rBr
A
teIEAP
= s
m
s
m
,
于是 由 Girsanov 定理 （ 定理 １２,６９ ）,在新概率 *P 下,*B 是一个 Brown 运动,从而重新 得到
*~~
ttt dBSSd?= s,这正好是风险中性的 Black-Scholes 模型,而概率
*P 就是风险中性概率,这是从另一个 角 度 得到同样的结果,
* 1．,4 币值单位与随机折现因子方法
定义 １３,１０ 设某个 风险 证券在时刻 t 的价格为 tS,又 若 存在另一个 正值 随机过程 tM 使得
380
t
tt
M
SS?=~
是一个鞅,则称 tM 为证券 tS 的 币值单位 ( 更 一般 一些,在理论上 只要 tS~ 是一个 局部鞅,也就是存在一个停时 ）（ tS
~
序列 ∞↑nt,使对于固定的 n,}0:{~ ≥∧ tS nt t 是鞅,这里,鞅和局部鞅都代表在统计 平均 意义下不随时间增值的资金流 ),
从 直观看,资本的价值是随着时间 增值的,币值单位 tM 就体现了 该 证券 的 价格的时间增值,即在
0=t 时的 1 元钱,经过单个证券 tS 的市场因素的作用,在时刻 t 的实际价值相当于 tM 元,又因为市场是随机的,所以币值单位也是随机的量 (随机过程 ),这就体现了一元钱的时间价值,
定义 １３,１１
t
t MN
1?= (13,23)
称 为 随机折现因子,因为 tN 是 1 除以币值单位,所以它就相当于把随机因素考虑进去以后的,随机折现因子,,
对于 Black-Scholes 模型的币值单位,我们有 下面的命题,
命题 １３,１２ 假定证券在时刻 t 的价格 tS 满足 Black-Scholes 模型
)( ttt dBdtSdS sm +=,(13,24)
那么
t
rt
t LeM =,(13,25)
就 是 tS 的币值单位,其中 r 是银行利率,而
),(
)(
2
1
2
2
tt BtG
trBr
t eeL
+
== s
m
s
m
,(13,26)
证明 对于 tL 用 Ito 公式得到
2),(),( )),((
2
1),(
t
BtG
t
BtG
t BtdGeBtdGedL
tt +=
])([ 2),( dtrdBre tBtG smsm?+?=,
于是 tM 及
t
t MN
1?= 满足的随机微分就分别为
])([ 2 dtrdBrMdtrMdLedtLredM ttttrttrtt smsm?+?+=+=
)])(([ 2 tt dBrdtrrM smsm?+?+=,
381
2
32 )(
11
t
t
t
t
t dMMdMMdN +?=
dtrMMdBrdtrrM t
t
t
t
22
3
2 )(1)])(([1
s
m
s
m
s
m?+?+?+?=
)( tt dBrrdtN sm?+?=,
即 tN 所满足的随机微分方程为,
)( ttt dBrrdtNdN sm=,(11,27)
再用 Ito 公式得到
tttttttt dNdSdSNdNSNSd ++=)(
dtrNSdBdtSNdBrrdtNS tttttttt )()()( smssmsm+++=
ttt dB
rNS )(
s
ms=,
由例 １２,５７ 可知,tt
t
t NS
M
S =
是一个 指数鞅,命题 得证,
既然
t
t
t M
SS?=~
随时间的发展体现了一个,公平博弈,,由此 可 得到,一般的欧式未定权益 TX 在
)( Tt < 的合理定价 tV,即对于折现价格
t
t
t M
VV?=~
,
T
T
T M
XX?=~
,应该 有
):|( ~~ tsBXEV sTt ≤=,
从而 得到一般的定价公式
),|( tsBMXEMV s
T
T
tt ≤= ),|
1( tsB
LeXELe sT
rT
Tt
rt ≤=?,(13,28)
1,5 倒向随机微分方程方法
设风险证券的价格过程为 tS,将 由它衍生的欧式 未定权益 )( TSf 在 t 时刻的价格 记 为 tx,利用套期的想法,在 t 时刻,虚拟,地待定卖出 tn 张标的 风险证券 ( 这里 tn 可以负,此时表示买进 ),使余下的部分不再有风险,在,卖出,了 tn 张 风险证券 后的投资组合为 ttt Sn?x,由 自融资假定,在时刻 dtt + 这个投资组合的价值变为 dtttdtt Sn ++?x,又 因为要求它是无风险的,所以它应该相当于时刻 t 的资产
ttt Sn?x 存进银行中到时刻 dtt + 的资产,即
382
dtttdtt Sn ++?x ))(1( ttt Snrdt?+= x,(13,29)
用 tt dSd,x 分别代替 tdtt xx?+,tdtt SS?+ 后,上式成为
dtSnrdSnd tttttt )(?=? xx,(13,30)
再用 )( ttt dBdtSdS sm += 代入,并把总的套期的价值记为
ttt SnV =,(13,31)
那么,我们 就 得到下述的倒向随机微分方程,
ttttt dBVdtVrrd?+?+= smxx ))((,(13,32)
)( TT Sf=x,(13,33)
注意,这里是一个方程,一个终端条件,两个未知 的随机过程 ),( tt Vx,这是倒向随机微分方程所特有的,
这一点是与普通 ( 正向的 ) 随机微分方程是绝然不同的,正向的随机微分方程对一个初始条件,在 一个未知随机过程时有唯一解,而 倒向随机微分方程 对一个终端条件,只有在两个未知过程时,才可能存在唯一解
),( tt Vx,这里,tx 是证券在时刻 t 的价格,而 tV 则是在时刻 t 的套期 数量,
在数学上,倒向随机微分方程 与经典的情形的不同 的是,要求解 ),( tt Vx 是 )( tB 可知的,彭实戈等人的一般理论指出,只要满足 ∞<2)( TSEf,方程 (13,32 )在 (13,33)条件下存在唯一 的 解 ),( tt Vx,于是这时 0x (它 将 是常数,不再随机 ) 是 欧式 未定权益 )( TSf 在开始时刻 0=t 时的贴水,倒向随机微分方程的有效而快速的数值解法,目前是研究的关心点之一,
1,6 时变 的 Black-Scholes 模型
设 风险 证券在 t 时刻的价格 tS 满足
))()(( ttt dBtdttSdS sm +=,(13,34)
其中 )0)((),( >tt sm 是非随机的函数,分别 代表 证券的时变收益率与波动率,基于这种模型的证券的 欧式 未定权益的定价,在 用上述 4 种方法 中的任意一种后,都可以最后得到
),( xtV dzexefe
zzdss
tTds
ssr
tTr
T
t
T
t 2
)(1)2)()(()( 2
2
)(21+ ∫∫= ∫ s
s
p,(13,35)
从而,贴水为
),0( 0SV dzeeSfe
zzdss
Tds
ssr
rT
TT
2
)(1)2)()((
0
2
0
2
0 )(
2
1+ ∫∫= ∫ ss
p,
383
2,二叉模型与 Black - Scholes 模型的二叉近似
２,１ 二叉模型
二叉 模型 (Cox-Ross-Rubinstein 模型 –相当于离散的 Black-Scholes 模型 )与风险中性概率,
二叉模型 考虑的是时间离散情形,它比 Black-Scholes 模型 更适合于实际拟合与模拟计算,设银行利率为 R (注意离散时间的利率与连续实际的利率之间有一个折合关系 ),即存在银行的资金的增长为
00
1 )1( nn SRS +=+,(13,36)
假定风险 证券价格的增长为
nnn SS )1(1 h+=+,
其中 }{ nh 是独立同分布的随机变量列,且
)10,0(,1~1 <<<<
+ pbapp
ba
nh,
即
+
pp
ba
S
S
n
n
1~
1,(13,37)
此时,证券在时刻 0=t 的折现价格为
nnn SRS )1(
1~
+=
,(13,38)
由 Black-Scholes 模型启示,无套利相当于对于
n
n
S
S 1+ 存在一个风险中性的概率分布
** 1 pp
ba
( *p 称为公平概率,对应于 事件类 F 上定义的 风险中性概率 )(*?P ),它使 风险 证券的折现价格
~
nS 关于
*P 是鞅列,即
nnn SSSSE
~
0
~~
1
~* ),,|( =
+ L,
定理 １３,１３ 当且仅当在 bRa <+<1 时,公平概率 *p 存在唯一,在条件成立时有
ab
Rbp
+?= )1(* 。 (13,39)
384
证明 由于 }{ 1
n
n
S
S + 的独立同分布性 推出
n
n
n
n
S
S
RS
S 1
~
1
~
1
1 ++
+= 与 },,{ 0
~~ SS
n L 是 相互独立的,于是
== + ),,|( 0~~1~*~ SSSES nnn L )(),,|( ~ 1
~
*~0~~~
~
1
~
*
n
n
nnn
n
n
S
SESSSS
S
SE ++ =L,
从而有
)1(11)(1 **~ 1
~
* p
R
bp
R
a
S
SE
n
n?
+++==
+,
解出 ab Rbp?+?= )1(*,所以,为了使 10 * << p 必须满足 bRa <+<1,】
二叉模型下的 欧式未定权益的定价
由处理 Black-Scholes 模型的经验,我们 可 以 假定未定权益 )( NSf 在时刻 )( Nn < 的价格为 ),( nn SnVV?=,我们 沿 用套期方法计算它,设在时刻 n 卖空此未定权益,并待定买进
n? 张标的证券,并把此投资组合的价值记为 nX,则
nnnn VSX=,
在 nS 已知的条件下,要用此投资组合来抵销在时 刻 1+n 由
n
n
S
S 1+ 带来的随机性,由自融资假定,此投资组合在时刻 1+n 的价格应为
111 +++= nnnn VSX ),1(
11
n
n
n
n
n
nn S
SSnV
S
SS ++ +=,(13,40)
为了 使后者不再随机,就是要使它 的取值 不 再 依赖于 ba,,也就 应 该 有
),1( nnn aSnVaS + ),1( nnn bSnVbS +=,
为了保证这个等式成立,我们只需把待定的 n? 取为
n
nn
n Sab
aSnVbSnV
)(
),1(),1(
+?+=?,(13,41)
利用无套利假定,这个 消失了随机性的投资组合 的时间发展 应该按银行利率 进行,
nn XRX )1(1 +=+ (13,42)
(如果取不等号就会如 Black-Scholes 模型 时 的推导那样出现套利 ),于是我们有
),1((1 11 1 1 nnnnn aSnVaSRXRX ++=+= +
385
)),1()],1(),1([(1 1 nnn aSnVaSnVbSnVab aR +?+?+?+=
)],1(),1([11 1 nn aSnbVbSnaVabR +?+?+=,
利用 （ １３,４１ ），（ １３,４２ ）,便得到
nnnn XSSnV=),(
+?+= ab aSnVbSnV nn ),1(),1( )],1(),1([11 1 nn aSnbVbSnaVabR +?+?+
),1())1((),1()1[(11 1 nn aSnVRbbSnVaRabR ++?++?+?+=
)],1(),1()1[(1 1 1*1* ++ +++?+= nn aSnVpbSnVpR,
即函数 ),( xnV 满足以下 的 后 向差分方程,
=),( xnV )],1(),1()1[(1 1 ** axnVpbxnVpR +++?+=,(13,43)
并且由 )(),( NN SfSNV = 得到终端条件
)(),( xfxNV =,(13,44)
用数学归纳法便 可 得到 （ １３,４３ ） 满足 （ １３,４４ ） 的 解为
)()1()1( 1),( )()(**
0
xbafppCRxnV knNkknNkk nN
nN
k
nN
=
+= ∑ )( Nn <,(13,45)
于是未定权益的贴水为
),0( 0SV )()1()1( 1 0)**
0
SbafppCR kNkkNkkN
N
k
N
=
+= ∑,
在实际计算中,可以用二叉树的后向传递法 使用上述公式,并 通过树上操作 反向地逐步 求出 欧式 未定权益在各个时刻的价格,
２,２ Black-Scholes 模型的二叉近似
设 风险 证券的价格 tS,)( Tt ≤ 由 Black-Scholes 模型描述,对 于 ],0[ T 作 m 等分,令
m
nT
m
n SS
=)(,
)(~ m
nS )()1(
1 m
nn SR+=
,(13,46)
(这时应该要求
)(~~ m
mT SS =,即要求 TtmTrT SRSe )1(
1
+=
,从而要求
m
rT
Re )1(
1
+=
,
由此可由 mr,求出对应的 R ),记
386
=
nT
~
)(
1
)(
)(
1
~
)(~
1
1
m
n
m
n
m
n
m
n
S
S
RS
S
+
=,(13,47)
再 假定 )(
1
)(
m
n
m
n
S
S
服从风险中性的概率分布
** 1 pp
ba (其中
ab
Rbp
+?= )1(* ),于是
){log ~ nT 独立同分布,且
++
**
~
1
1log1log~log
pp
R
b
R
a
T n,
我们 取
m
T
R
a s?=
+1log,m
T
R
b s=
+1log,(13,48)
当 m 很大时有
m
T
m
T
m
T
ee
e
R
a
R
b
R
b
ab
Rbp
ss
s
=
+?+
+
=?+?= 1
11
11)1(
*
m
T
m
T
m
T
s
ss
2
2
1 2+
≈ = )4121( mTs+= (13,49)
于是 `
R
bp
R
apTE
n +?++= 1log)1(1log)(log **
~
))(4121( mTmT ss?+≈ )(),1(2))(4121(
2
∞→=?=?+ momTmTmT sss,
从而有
2~~ )(log)(log
nn TETVar ≈
2*2* )
1)(log1()1(log R
bp
R
ap
+?++=
m
T
m
T 2)
4
1
2
1( ss+≈
m
T
m
T
m
T 22)
4
1
2
1( sss =?+,
再则,对于 Tt ≤,由中心极限定理,当 m 大时得到 n
mT
t
n
m
mT
t TS
~]/[
0
)(
]/[
~ loglog ∑
=
= 的分布与正态分布 ])/[],/[2( 2
2
mT
t
m
T
mT
t
m
TN ss? 相近似,即与正态分布 ),
2(
2
2
ttN ss? 相近似,
387
用 更精细的讨论 (用多维的中心极限定理 )可以得到,随机过程 )(,log
)(
]/[
~
TtS
m
mT
t ≤ 的有限维分布与漂移 Brown 运动 tBt 2
2s
s? 有相同的有限维分布,也就是说,在 *p 所对应的概率
)(*?P 下,证券的折现价格 )(,
)(
]/[
~
TtS
m
mT
t ≤ 作为随机过程的有限维分布与几何 Brown 运动
tBte 2
2s
s?
的有限维分布相同,而后者正是风险中性的 Black-Scholes 模型,这说明了离散 二叉模型正是 Black-Scholes 模型的近似,
总之,对于给定的波动率 s 和利率 r 及充分大的 m,求出对应的离散利率 R,及二叉模型的 ba,和公平概 率 *p,就可以用二叉模型
)(
]/[
~ m
mT
tS 来近似 Black-Scholes 模型,而前者的计算 是 很简单,可以用二叉树的后向传递法,通过树上操作求出未定权益在各个时刻的近似价格,
3,二叉模型的美式未定权益简述
３,１ 美式未定权益
我们不妨假定,标的证券在开始时刻的价格 0S 是常数,
定义 １３,１４ 如果容许证券的 未定权益的持有人在 ],1[ N 中的任意时 刻 n 都可以 执行 ( 但 不在时刻 0 执行 ),将 持有人在时刻 n 执行此权益的所得记为 nX,它是一个随机变量,
一般是 1,,SSn L 的一个函数 ( 即 nX 是 )( nS 可知的 ),与这种金融产品相系的权益 序列
}:{ NnX n ≤ 称为 美式未定权益,
注意欧式未定权益就是 NX,只是一个随机变量,而美式未定权益是一个随机变量序列,又 因为 美式未定权益 可以在 ],1[ N 中 的 任意时刻执行,所以 它的定价显然应该比欧式未定权益 NX 的定价要高,在本节中,我们将对于二叉模型,给出美式未定权益的合理定价,
而对于 Black - Scholes 模型,则可以与欧式未定权益一样,用二叉模型得到近似,
如果 +?= )( KSX nn,则此未定权益称为 美式看涨期权,同样地,如果
+?= )(
nn SKX,则此未定权益称为 美式看跌期权,
对于二叉模型,
n
n
S
S 1+ 在风险中性的概率 *P 下的分布为
** qp
ba,
ab
Rbp
+?= )1(*,( ** 1 pq?= ),(13,50)
388
记 nS 的折现为
n
nn
R
SS
)1(
~
+=,
其中 R 为 单位时间的 银行利率,我们 将 美式未定权益 },{ NnX n ≤ 在时刻 n 的定价记为
nU ( 它也是随机变量 ),显见,在时刻 N 应 有
NN XU =,(13,51)
而 )}(,{ NnX n ≤ 在时刻 1?N 的定价 1?NU,则决定于当时执行的收益与在下一个时刻执行的预期收益中的较大者,由于 它在下一时刻执行的预期收益应该是在时刻 N 到期的欧式未 定权益在时刻 1?N 的定价的折现为 ),,|)1(( 11* SSRUE NNN L?+,于是
1
11 )1(,max(
+=
N
NN RXU )),,|)1(( 11
* SS
R
UE
NN
N L
+,(13,52)
又因为 NN XU =,上式即 为
1
11 )1(,max(
+=
N
NN RXU )),,|)1(( 11
* SS
R
XE
NN
N L
+,(13,52) ’
它可以改写为
),,|)1((max)1( 11*111 SSRXERU mmmNmNN L≥ ++=,(13,52),
一般地,美式未定权益在时刻 n 的定价,应该决定于当时执行的收益与把下一个时刻定价 1+nU 作为时刻 1+n 到期的欧式未定权益的定价中的较大者,由于 在下一时刻到期的欧式未定权益 1+nU 的定价的折现应为 ),,|)1(( 111* SSRUE nnn L+++,于是我们有
n
nn RXU )1(,max( += )),,|)1(( 11
1* SS
R
UE
nn
n L
+
+
+,(13,53)
利用条件期望的性质 及 nn XU ≥,用 归纳 法 不难证明
(max)1( nmnn RU ≥+= )),,|)1(( 1* SSRXE nmm L+,(13,54)
389
00 max ≥= mU ))1((
*
m
m
R
XE
+ (13,54) ’
命题 １３,１４ 美式未定权益的 折现定价 nU~ ))(,)1((
~
NnRUU nnn ≤+= 是 )( nS 上鞅列,而且 它 是满足 nn XU ≥ 条件的上鞅列中的最小的一个,所以 nU~ 称为 控制 nX~ 的最小上鞅列,也称为 nX~ 的 Snell 包络,其中 nnn RXX )1(
~
+= 为未定权益的折现,
证明 前一个结论直接得自 (13,53),又若 nY 是另一个控制 nX~ 的上鞅列,我们用后向归纳法来证明 nn UY ~≥,对于 Nn =,我们有 NNN UXY ~~ =≥,假定 mn = 时有
mm UY
~≥
,那么
),,|( 11*1 SSYEY mmm L ≥ ),,|( 11~* SSUE mm L?≥,
再利用 (13,53) 便得 1
~
1 ≥ mm UY,由归纳法推出结论成立,】
更一般地,对于任意一个取值于 ],[ Nn 的 )( kS 停时 t,对它 的不同可能 取值用全期望公式 还 可以得到
],[max)1( Mn
n
n RU ∈+= t一切停时 ],,|)1([ 1
* SS
R
XE
n Lt
t
+,(13,55)
所以,美式未定权益在初始时刻的贴水 ( 保证金 ) 又可以表 示 为
],[00 max MU ∈= t一切停时 ])1([
*
t
t
R
XE
+,(13,56)
等式 (13,55) 与 (13,56) 并不能用 于 实算,但是,我们可以用它来讨论未定权益的持有人在理论上于 什么时刻执行最有利,这种有利时刻称为 最佳执行时刻,
定义 １３,１６ （ 未定权益的最佳执行时刻 ） 任意一个 )( kS 停时 *t,只要满足
=0U ]
)1(
[ *** tt
R
XE
+ ],[0
max( M∈= t一切停时 ]))1([* ttRXE +,
就 称 *t 为 美式未定权益的一个最佳执行时刻,其中 最后一个等号正说明了它的最佳性质,
由 此 定义可以看到,最佳执行时刻并不一定唯一,
在 一般时刻 n,(13,53) 指出了定价 ≥nU ( 该时刻执行的所得权益 ) nX,直观地,再对未定权益的持有人有利的时刻执行所得也 不应 超过定价,但是在定价随机变量与执行所
390
得的权益随机变量相等的那些时刻 ( 一般都 是随机时刻 ) 上,执行所得收益就达到了它的上界,因此,这些随机时刻就应是最佳执行时刻,于是我们有 下面的定理,
定理 １３,１７ 把定价与未定权益首次相等的时刻 ( 是一个停时 ) 记为 0t,即
}:0min{0 nn XUn =>=t,
那么,它也是美式未定权益的一个最佳执行时刻,
( 此定理在直观上是显然的,但是其证明则需要用鞅列在停时上的停止定理,本书从略 ),
[ 注 ] 定价的折现 nU~ 是 )( nS 上鞅列,这就是说,由预期美式未定权益的收益而作出 的定价平均地是下降的,它的直观意义很清楚,时间越早对持有人有更大的选择余地,定价当然就应该高一些,所以,美式未定权益的定价作为随机变量 ( 按上鞅的规律发展 ),其平均值是时间的下降序列,这一点正体现了定价在平均的意义上,对于买方与卖方的公平性,
再则,即使持有人在最佳执行时刻执行,所得到收益的折现也不过 就 是当时的定价,那么,购买这种未定权益能有那么好处呢? 事实上,虽然定价在平均意义上不过是一种公 平的博采,但是正如许多公平的博采一样,人们还是抱着试试运气的心理参加投资,希望在个别的情形中,得到的报酬会远高于平均所得,显然,在别的一些情形,投资人也可能得到 远低于平均的报酬,那么,为什么这种金融工具 会广泛流行 呢? 事实上,对于 全 社会 而言,
这样的 金融工具是一种融资的手段,能 分担社会的金融风险,促进资本有效流动,当然,这并不包括黑户操纵与违规操作,而对投资人来说,在健全的金融体制下,虽然有人会得利,
也有人会 受到 损失,只要局限在经济力量容许的范围内,利用闲散资金投资,也是对金融的某种参与,况且在正常的情形,标的证券还可以得到分红,当然,任何金融创新都是一把双刃剑,在起正面作用的时候,又常常被利用作 为 投机 手段,这可能带来另一种新的风险,这是人类社会的 普遍的 客观规律,
需要特别注意的是,实际市场的炒作与风险,远比数学模型复杂,数学模型只是平均行为的一个非常粗放的参考,哪种模型近似得较为合理一些,应该以实证数据为根据,
3,2 二叉模型美式未定权益 }),({ NnSf n ≤ 的定价与定价函数组
本段我们讨论 二叉模型美式 未定权益 的 一种常见的特殊情形,即 存在 )(xf 使对于任意
Nn ≤,都有
)( nn SfX =
的情形 ( 典型情形出现于美式看涨期权和美式看跌期权,它们分别对应于 +?= )()( Kxxf
和 +?= )()( xKxf ),此时,由 (13,51),(13,52) 和 (13,53),可以直接推出
)()( NNNN SUSfU?==,( 其中 )()( xfxU N = ),(13,57 ）
1?NU )),,|)((1
1),(max(
11
*
1 SSSfERSf NNN L +=
)()])()([1 1),(max( 111*1*1 =++= NNNNN SUbSfqaSfpRSf 记为,
391
其中
)])()([1 1),(max()( **1 bxfqaxfpRxfxU N ++=?,
对于一般 Nn <,用后向归纳法可得
),(max( nn SfU = )()])()([1 1 1*1* nnnnnn SUbSUqaSUpR 记为 =++ ++,
其中
),(max()( xfxUn = )])()([1 1 1*1* bxUqaxUpR nn ++ ++,(13,58)
由此我们归纳 出 下面的定理
定理 １３,１８ 只要后向地逐个从以下的终端已知的极值函数方程组,
)()( xfxU N =,
),(max()( xfxUn = )])()([1 1 1*1* bxUqaxUpR nn ++ ++,)( Nn < (13.59)
解出 }:)({ NnxUn ≤,便得到美式未定权益的定价 )( nnn SUU =,
定义 １３,１９ （ 美式未定权益的定价函数组 ） 由定理 １３,１８ 所确定的
}:)({ NnxUn ≤,称 为 美式未定权益 )()}({ NnSf n ≤ 的定价函数组,
于是对于二叉模型,美式未定权益的定价可以由极值函数方程组的数值求解得到,即为了达到最佳执行,只须用下述算法,
(1) 对于 )(xf,计算出定价函数组 }:)({ NnxUn ≤ ;
(2) 对于证券 的 实时市场价 L,,10 SS,实时地计算 L),(),( 21 SfSf 与
L),(),( 2211 SUSU,并实时地依次比较对应的值 ;
(3) 在计算 (2) 的过程中,一旦发现它们在某个时刻相等,则此时刻就是最佳执行时刻,即,若样本列 L),(),( 21 SfSf 与定价列 L),(),( 2211 SUSU 第一次相等出现于 m,则未定权益的持有人就在此时刻 m 执 行,
美式未定权益的套期与消费过程
由于 折 现价格序列 nU~ 是上鞅列,于是按如下定义的随机变量列 nC~ 为非负的,
0),,|( 11~*~~ ≥?= + SSUEUC nnnn L,(13,60)
又因为美式未定权益在任意时刻都可以执行,我们只能仿照欧式未定权益的套期公式来套期,也就是说,在时刻 n 的套期标的证券的数目取为
n
nnnn
n Sab
aSUbSU
)(
)()( 11
=? ++,(13,61)
392
此处 与欧式未定权益的情形唯一的不同 之 处 是,用了美式未定权益的定价 }{ nU 代替了欧式未定权益的定价 }{ nV,令 nnn CRC ~)1( +=,于是
),,|(1 1 11* SSUERUC nnnn L++?=,(13,62)
由于
)()(),,|( 1*1*11* nnnnnn bSUqaSUpSSUE +++ +=L,
我们有
)()()]()([)( 1*1*11*1 nnnnnnnnnn bSUqaSUpbSUaSUqaSU +++++ ++?=
),,|(])1[( 11* SSUESaR nnnn L+++?=
))(1()1( nnnnnn UCRaSSR?++?+?=,
完全类似地 还 可以证明
)(1 nn bSU + ))(1()1( nnnnnn UCRbSSR?++?+?=,
把 nn aSS =+1 与 nn bSS =+1 两种可能的情形合起来,就得到
))(1(11 nnnnnnn SCURSU++?= ++,
把它 改写为更有金融含义的 如下 等式
nnnnnnn CRSURSU )1())(1()( 11 ++= ++,(13,63)
这公式具有比较清楚 的 金融含义,它说明在美式未定权益情形,即使用合适的套期 n?,也不能使余下的资产 nnn SU 为无风险资产,只有 在时刻 n 的套期余额中消耗了 nC 以 后的资产,到下一个时刻 1+n 的价值才是时刻 1+n 的套期后的余额,这个随机序列 }{ nC 称为美式未定权益的消费过程,一般地,不管是什么模型,美式未定权益的套期总需要有一个消费过程去补充,在理论上知道美式未定权益的定价需要补充一个消费过程,是对美式未定权益定价模型认识的一个实质性的进展,
4,随机利率与债券利率的期限结构
4,1?s 零息债券
定义 １３,２０ 不付红利且在时刻 s 到期的债券称为?s 零息 (Zero - Coupon) 债券,
s 零息债券进入市场后,在市场操作下,相当于按某个随机利率增值,记时刻 )( st <
的 1 元钱按市场发展在债券到期时刻 s 的价值 (,本利和,) 为 ),( stR,把时刻 s 的 1 元钱
393
在时刻 )( st < 的定价记为 ),( stP,显见
1),(,),(1),( == ssPstRstP,(13,64 )
一般 地,),( stP 是随机过程,注意,由于?s 零息债券与?t 零息债券在市场的表现是不一样的,所以即使在无套利的假定下,一般地
)(),,(),0(),0( ststPtPsP <≠,(13,65 )
事实上,这是因为 (13,65 ) 的 左边是由初始时刻的市场信息所确定,而右边是由直至时刻 t
为止的信息所确定的,因此一般不会相等,
但是 如果 定价 )}0),,({ ststP ≤≤ 不是随机过程而是确定性函数时,对于债券而言,在时刻 t 与在初始时刻有相同的信息,此时在无套利假定下就有
)(),,(),0(),0( ststPtPsP <=,
4,2 零息债券导出的各种的随机利率概念
定义 １３,２１ （ 平均远期利率 ( 到期收益率 ) ） 记
)(,),(log),( stts stPstf <=,(13,66 )
即
)(,),( ))(,( stestP tsstf <=,(13,66 ) ’
),( stf 称为?s 零息债券的 平均远期利率,此处 的,远,的含义 是指 参考时间 0>t,即不是初始时刻的利率,它是在将来的时刻 )( st <,展望?s 债券的 平均 利率,由
)(,),(1 ))(,( stestP tsstf <=? 说明平均远期利率 就是在时刻 t 把?s 债券换为比它早到期的
t 债券所需付的利率,
在 时刻 )( st < 固定时,平均远期利率作为 ts? 的函数的图形变化,称为 利率的期限结构,
更一般地,有 下面的定义,
定义 １ ３,２２ 对于涉及不同的到期时刻的两种零息债券,定义
12
12
21
),(log),(log),,(
ss
stPstPsstf
=,)0(
21 sst <<<,(13,67 )
即
))(,,(
21
1221),(),( sssstfestPstP?=,
这说明 ),,( 21 sstf 就是在时刻 t 把?2s 债券换为比它早到期的?1s 债券所需付的利率,
394
按定义有
),,(),( sttfstf =,(13,68 )
定义 13.23 ( 平均即期利率,Spot Rate) ),0( sf 称为 平均即期利率,
（ 于是我们有 ),0()0,0(),0( sfsePsP?=,此即 (13.66) ’ 的特殊情形 ）,
定义 13.24 （ 远期利率,Instantaneous Forward Rate) 若 ),( stP 对 s 可微分,则
)),,(lim(),(log),( 0 ssstfs stPstf s?+== → (13,6 9 )
称为 远期利率,于是有
∫=?
s
t
duutf
estP
),(
),(,（ 13,70 ）
duutftsstf
s
t
),(1),( ∫?=,(13,7 1 )
（ ( 13,71) 式也可证明如下 ),(),(log)],()[( stfds stPdstftsdsd =?=? ）,由 (13.70)
式与 (13.71) 式 可以看出,给出定价随机过程 )}0),,({ ststP ≤≤ 与给出远期 利率随机过程
)}0),,({ ststf ≤≤ 是等效的,
定义 13.25 （ 短期利率 Short Rate ) ),()( ttftr?= 称为 短期利率,
它 就是 普通 习惯上所称的利率,不过它是随机的,我们有
),(),()( ttfttftr ==,(13,7 2 )
( 证明 ),( ttf 与 ),( ttf 按定义都是 ts tsttPts+?↓ ))(,(loglim ),
例 １３,２６ （ 非随机情形 ） 此时 )}0),,({ ststP ≤≤ 是确定性函数,因而所涉及的各种利率也都是确定性的函数,在不十分剧烈炒作的场合下,可以用 此 看法 对 实际市场作 近似,此时各种利率可以有如下的一些换算公式,对于 st ≤≤0 有
(1) )(),,(),0(),0( ststPtPsP <=,
(2) ),(),0( stfsf =,即 ),( stf 不依赖 t,从而 )(),(),( srssfstf ==,
(3) duurtsstf
s
t
)(1),( ∫?=,从而有
∫=?
s
t
duur
estP
)(
),(,
395
(4) ts tftsfsstf= ),0(),0(),(,(13.73)
一般从交易所 的 挂牌数据,可以得到的平均即期利率 ),0(),,0( sftf,再用 (13.73) 式算出平均远期利率 ),( stf,而在实际交易中,人们用的正是平均远期利率,由 (13.73) 式还可以得到
),0(),(),0(),0( sfstftfsf ≥?≥
(5) ),0(),0()( tfdtdttftr +=,
( 证明 将 (4) 改写 为 ts ttfsfsfstf+= )),0(),0((),0(),(,令 ts ↓,便得 (5) ),
4,3 资产定价基本定理与利率衍生证券
假定时刻 t 的短期利率 )(tr 可由市场在 t 以前的信息,例如 ):( * tuBt ≤,所完全确定,
其中 *tB 是 Brown 运动,此时我们有 下面的定理,
定理 １３,２７ （ 资产定价基本定理 ）
市场无套利性等价于具有风险中心概率 *P,使 得 在此概率下,折现值
duur
t t
e
stPP
)(
~
0
),(
∫
=? 为
)( *tB 鞅,其中 ),( stP 是 1 元的?s 零息债券在时刻 )( st < 的价格,于是
):|(),( *~*
)(
0 tuBPEestP
us
duur
t
≤∫=,
即?s 零息债券的无套利定价为
|(),(
)(
*
duur
s
teEstP
∫=? ):* tuB
u ≤,(13,74 )
反之,(13,７４ ) 也保证了
duur
t t
e
stPP
)(
~
0
),(
∫
=? 是 )( *tB 鞅,
由此看出,只要给定了短期利率 )(tr 的风险中性模型,就可以得到?s 零息债券的无套利定价,
定义 １３,２８ 一个金融合约的权益,如果依赖于未来的利率,或债券的价格,则此合约就称为 利率未定权益,或 利率衍生证券,
随机利率模型的研究,是要给出?s 债券的定价,远期利率及利率未定权益的定价,
4,4,利率的风险中性模型
396
一般地,只要给定 )(tr,由 (13,74 ) 定义的 ),( stP 就保证了
duur
t t
e
stPP
)(
~
0
),(
∫
=? 为 )( *tB 鞅,
从而 ),( stP 就是无套利定价,此时用以 确定 )(tr 的随机微分方程的模型,就 是 风险中性模型,所以短期利率的风险中性模型可以任意给定,不带什么约束条件 ( 事实上,从 (13,74 )
求出的远期利率为 ):|)((),( *
)(
* tuBesrEstf
u
duur
s
t ≤
∫=?
,得到的 ),( ttf 正好等于 )(tr ),
与此相反的是,如果直接给出价格 ),( stP 满足随机微分方程,或者等价地,直接给出远期利率 ),( stf 满足的随机微分方程,由此确定的 )(tr,就未必满足 (13,74 ),这 时,(13,74 )
就变为 约束条件,只有满足了这个约束条件的 ),( stP 才是无套利定价,所 对应的 ),( stP 或
),( stf 的随机微分方程模型才是风险中性模型,
远期利率的 Heath - Jarrow - Morton 模型及其风险中性情形
由资产定价基本定理 可以 知道,为了使模型成为风险中性,充要条件是
duur
t t
e
stPP
)(
~
0
),(
∫
=?
是 鞅,由此利用 (13,70) 及 Girsanov 定理,就能推出以下的定理,
定理 １２,２９ （ Heath - Jarrow - Morton 定 理 ） 对于 固定的 s,如果 远期利率
),( stf 是以下的 Ito 过程
tdBstdtstbstdf ),(),(),( s+=,(13,75)
其中 ),(),,( ststb s 在 s 固定下是 )( tB 可知的随机过程,那么,此模型是无套利 ( 即风险中性的 ) 的 充要条件为,存在 一个满足 条件
1
2
00
)(21)(
=∫∫
dttdBt
s
t
s
Ee
qq
的 )( tB 可知的随机过程 )(tq,使
)](),()[,(),( tduutststb
s
t
qss += ∫,
在条件成立时,由 Girsanov 定理可知,duuBB
t
tt )(
0
* q∫+=? 也 是 Brown 运动,且
dtduutststdf
s
t
]),()[,(),( ss ∫= *),( tdBsts+,(13,76)
397
再对
∫=?
s
t
duutf
estP
),(
),( 用 Ito 公式 可 得
])),(()()[,(),( *t
s
t
dBduutdttrstPstdP s∫?=,(13,77)
可见在此情形下,?s 零息债券的价格 ),( stP 的收益率为 )(tr,波动率为 duut
s
t
),(s∫ ( 而
),(/),( stfsts 为远期利率的波动率 ),
直接给出 短期利率风险中性模型 的有
(1) Vasicek 模型
假定短期利率 )(tr 满足 如下的 Ornstein - Uhlenbeck 随机微分方程,
*))(()(
tdBdttrbatdr?+?= s,(13,78)
这个随机微分方程具有显式解,
*
0
)1()0()( sas
t
atatat dBeeebertr ∫+?+= s,(13,79)
容易证明它是 Gauss 过程,而作为 Gauss 过程的积分的 duur
t
)(
0
∫ 也是 Gauss 过程,于是
可 以仿照风险中性概率推导 Black - Scholes 公式的计算 过程 算出 (13,74) 中的条 件期望,经
过仔细 而并不复杂的 推导 计算,便 可 得到
)(),(),(),( trstCstAestP=,(13,80)
其中
a
stCbastCts
astA 4
),()
2))(,((
1),( 2222
2
ss +=,
a
estC tsa )(1),(=,
于是远期利率为
ts
stAtrstCstf
+= ),()(),(),(,
它是短期利率 的 线性函数,
(2) Hull - White 模型
Hull - White 模型是 Vasicek 模型 在 时变系数 情形的 推广,即模型参数 s,,ba 分别被推广为确定性的函数 )(),(),( ttbta s
*)())()()(()(
tdBtdttrtbtatdr?+?= s,(13,78) ’
与常数情形完全类似地可以算出定价过程仍是 )(tr 的如下函数
398
)(),(),(),( trstCstAestP=,(13,80) ’
只 需要对 ),(),,( stCstA 作一些相应的变更,
(13.80) ＇ 说明,此时?s 零息债券的 价格 )(),,( ststP ≤ 是 )(tr 的函数,由于 )(tr 是
Ito 过程,,用 Ito 公式 就 得 到
]),()()()[,(),( *tdBstCtdttrstPstdP s?=,(13,81)
这就是说,),( stP 的收益率是 )(tr,波动率是 ),()( stCts,(13,80) ’ 还可以用以从实证数据校正模型参数函数组 )(),(),( ttbta s,Hull - White 模型的缺点是,短期利率服从正态分布,因而可以取负值,这是不合理的,
Hull - White 模型下的债券看涨期权
对于时刻 )( sT < 到期的,以?s 零息债券为标的证券的,且执行价格为 K 的欧式看涨期权,其未定权益为 +? ]),([( KsTP,于是它 在时刻 t 的价格应该为
):|]),([( *
)(
* tuBKsTPeEV
u
duur
t
s
t ≤?
∫= +
,(13,81)
利用 ))(),((
0
duurtr
t
∫ 是 Gauss 过程,就可以计算出这种期权的贴水 0V 的明显公式,
（ 3 ） CIR (Cox - Ingersoll - Ross) 模型
Cox - Ingersoll - Ross 假定短期利率 )(tr 满足 下述 随机微分方程
*)())(()(
tdBtrdttrbatdr?+?= s,(13,82)
( 如果有 )2(≥d 个彼此独立的 Brown 运动 )()1(,,dtt BB L,又对于 任意 di ≤ 有
)()()(
2
i
t
i
t
i
t dBdtX
adX?+?= s,
那么对于 2)(2)1( )()()( dtt XXtr ++=
L,可以证明存在 Brown 运动 *tB 使
*
2
)())(4()( tdBtrdttradtdr?+= ss,
这正是 CIR 模型 ),这时 )(tr 是扩散过程,求解 不变密度 的 方程
0))(()2(
2
2
2
= jjs rbadrdrdrd
399
就得到 不变密度
)0(,)( 22
2 22
>=?
reCrr r
aab
ss
s
j,(13,83)
其中
Γ
=
2
2
2 2
12 2
s
s
s
ab
aC
ab
,
CIR 模型的债券 的定价
此时 }:{ * tuBu ≤ 与 }:)({ tuur ≤ 具有相同的信息,所以
):|(),( *
)(
* tuBeEstP
u
duur
s
t ≤
∫=? ):)(|( )(* tuureE duur
s
t ≤
∫=?
,
由 )(tr 的 Markov 性可知上式右边的量只依赖于 )(tr,即存在一个数值函数 ),,( srtF 使
)),(,(),( strtFstP =,(13,84)
假定 ),,( srtF 对 r 二阶 连续 可微,对 t 连 续 可微,那么 )),(,(
)(
0 strtFe
duur
t
∫
是一个 Ito 过程,
利用推广的 Ito 公式可算出
*
2
22)(
)(])())((2 )([))),(,(( 0 t
duur
dBrFtrdtFtrrFtrbarFtrtFstrtFed
t
+?
+
+
=∫ ss
另一方面,由定义 =∫ )),(,(
)(
0 strtFe
duur
t
):|( *
)(
* 0 tuBeE
u
duur
s
≤∫
是一个 )( *tB 鞅,两者比较可知 F 必须满足偏微分方程,
0)(2 2
22
=++ rFrFrbarFrtF s,(13,85)
及终端条件
1),,( =srsF,(13,86)
我们 通过待定 ),(),,( stCstA,探 求方程的以下形式的解 的可能性
rstCstAesrtF ),(),(),,(=,(13,87)
将 (13.87) 代入 (13.85),就 得到 ),(),,( stCstA 关于 t 的二阶常微分方程,求 解 得到
))((2))((
))((),(
tsshatsch
tsshstC
+
=
ggg
g,
400
))((2))((
log2),(
)(2
2
tsshatsch
eabstA ts
a
+
=?
ggg
g
s,
其中
22 2
2
1 sg += a,
而 )(),( xshxch 分别是双曲余弦与双曲正弦,
2)(
xx ee
xch
+
=,2)(
xx ee
xsh
=,
CIR 模型的债券看涨期权 的定价
对于时刻 )( sT < 到期的,以?s 零息债券为标的证券的,且执行价格为 K 的欧式看涨期权,其未定权益为 +? ]),([( KsTP,于是它在时刻 t 的价格应该为
):|]),([( *
)(
* tuBKsTPeEV
u
duur
t
s
t ≤?
∫= +
):|])),(,([( *
)(
* tuBKsTrTFeE
u
duur
s
t ≤?
∫= +?
,(13,88)
与债券的定价类似地,可 假定 存在数值函数 ),,,( sTrtG 使 债券看涨期权 的价格
)(),,),(,( sTtsTtrtGVt <≤=,再利用
=∫ ),),(,(
)(
0 sTtrtGe
duur
t
):|)),((( *
)(
* 0 tuBKsTPeE
u
duur
s
≤?∫ +
是一个 )( *tB 鞅,就得到
),,,( sTrtG 满足的偏微分方程
)(,0)(2 2
22
TtrGrGrbarGrtG ≤=++ s,(13,89)
及终端条件
+?= )),,((),,,( KsrTFsTrTG,(13,90)
* 5,基于证券的随机利率的债券为币值单位折现 的证券的未定权益的定价
设证券 价格 tS 与债券价格 tb 分别 满足随机微分方程
tttt dBStdtStdS ),(),( sm +=,
401
dtbStrdb ttt ),(=,
其中 tB 为 Brown 运动,而债券 tb 的市价是以依赖 于 证券值 tS 的短期的连续随机利率 ),( tStrr = 而增值的,与 Black - Scholes 模型类似地,将 ),(
),(),(),(
t
tt
t St
StrStStv
s
m?=
称为证券 tS 的 风险的市场价格,
与 Black - Scholes 模型不同处是,这里不是用按非随机的利率增值的银行存款作为证券币制单位,而是按用与证券密切相关的随机利率增值的债券 tb 作为该证券的币值单位,
于是,与 Black - Scholes 模型类似地,如下确定的新的概率
)()(
2
00
),)21),(
*
A
dsStvdBStv
IeEAP
t
T
st
T
∫∫=
称为风险中性概率,在此概率下证券按债券的折现价格
t
tt
b
SS?=~
是 )( tS 鞅,
对此模型的 未定权益 )( TSf 在时刻 t 的定价为
],,|)([),( 1* SSbbSfEStF t
T
t
Tt L=,
同样,与 Black - Scholes 模型类似 地,价格函数 ),( xTF 应满足 如下的 带终端条件的偏微分方程,
0),(),(2 ),( 2
2
=?++ FxtrxFxtrFxxtF xxxt s,
)(),( xfxTF =,
在 群体保险 中的应用
设 年龄 x 参加保险的 一个 群体共有 n 人,假定各人的 余寿 是 独立同分布的随机变量 )(,niT xi ≤,又设个体 在年龄 tx + 时的 死亡 率为 tx+m,即
∫=≥= +
t
sx dsx
i etTPtG
0)()(
m
,
令 tN 为此群体中在时刻 t 以前死亡的人数 ( 死亡计数过程 ),即
}{
1
tT
n
i
t xtIN ≤
=
∑=,
于是有
)]([ tG1nENt?=,
402
)]()([))](1())(1[()][(
1
ttGtGntGttGNNE
n
i
ttt?+?=+?=? ∑
=
+
))(()()( totENne1ne txt
dsds sx
tt
t
t
0
sx
+=∫?∫?= +
+
+
+
m
mm
,
注意到 各 人的生死是彼此独立的,故而 有
)]([)]([)(]:|)[( tottotNntsNNNE ttxtsttt?+?=?+=≤+?+ lm,
其中
t
1Nn
0ttxtt?=?= →?+ lim)( ml ]:|)[( tsNNNE sttt ≤+
是一个随 机过程,它代表此 群体在时刻 t 的死亡强度,也称为在 时刻 t 的集体 死亡 风险率,这时
dsNN s
t
tt l∫?=
0
~
是 )( tN 鞅,随机过程 dss
t
l∫
0
称为 计数过程 tN 的补偿过程,
这种模型的典型是养老保险合约 (Pure Endowment),按照这种合约,如果投保人在保险到期时刻 T
还未死亡,则可以从保险公司领到金额 )( TSf,于是公司对此项保险的群体应付金额 在起始时刻 的折现值为
1
}{
1
~
)(?>
=
∑= TTTT
n
i
bSfIH
i
1)()(= TTT bSfNn,
于是,这个折现了的未定权益在时刻 t 的折现定价 为
):,|( ~*~ tuNSHEV uut ≤=,
其中 *P 为风险中 性 概率,要计算这个条件期望,或者要得到它所满足的决定性的方程,需要用更多的随机分析知识,包括一般的所谓半鞅的积分及 更为 一般的 Ito 公式,
习题 13
１,证明直接求解随机微分方程 ttt dBSSd ~~ s= 可以归结为对于 tS~log 用 Ito 公式,
２,对于风险中性随机利率按方程 dtbradBdr ttt )(?+= s 发展的金融债券,在时刻 T 的单位币值
在时刻 )( Tt ≤ 的折现为 ):|(),( tsreETtV s
dsrs
T
t ≤
∫=
,证明
dsrs
t
eTtVTtV ∫=
0),(),(
~
是 )( tr
鞅,再 证明存在函数 );,( TxtF,使 );,(),( TrtFTtV t=,
403
３,若上题中的 ),( xtF 分别对 xt,为一阶与二阶连续可微,证明它满足
0)(2
2
=++ xFFxbaFF xxxt s,
1):,( =TxTF,
再 令
),(),();,( TtxBTtAeTxtF?=,
并 待定地确定
))(4)(){2(),(,1),( 2
2
2
2)(
tBatBTtabTtAaeTtB
tTa ss
+=?=
,
４,对于在时刻 )( TLL ≤ 到期的,执行价格为 K 的欧式利率看涨期权 +? ));,(( KTrLF L,在时刻
)( Lt ≤ 的折现为 ):|));,((()( tsrKTrLFeEtC sL
dsrs
L
t ≤?
∫= +
,证明
dsrs
t
etCtC ∫=
0)()(
~
是 )( tr 鞅,证明存在函 数 ),;,( TLxtH,使 ),;,()( TLrtHtC t=,假定 ),;,( TLxtH 分别
对 xt,为一阶与二阶连续可微,则它满足
0)(2
2
=++ xHHxbaHH xxxt s,
+?= ));,((),;,( KTxLFTLxLH,
５,记 )|(),( 00 xreExtL
durr u
t
t
=∫=
l
,假定它分别对 xt,为一阶与二阶连续可微,利用鞅
):|( 0 tureEM u
durr
t
u
L
L
≤∫=
l
得到
xLLxbaLL xxxt+= )(2
2s
,xexL l=),0(
(可以得到这个方程的解
)2();,()2();,(),;,( 00 ss?Φ?+Φ= hLxtKFhTxtFTLxtH,
其中
a
eTLB tLa
2
1),( )(2
0
= ss,);,( );,(log1
0 LxtKF
TxtFh
s= ）,
404
６,对于随机利率按方程 dtbradBdr ttt )(?+= s 发展的金融债券,在时刻 T 的单位币值在时刻
)( Tt ≤ 的折现为 ):|(),( tsreETtV s
dsrs
T
t ≤
∫=
,证明
dsrs
t
eTtVTtV ∫=
0),(),(
~
是 )( tr 鞅,
７,对于随机微分方程 dtbradBrdr tttt )(?+= s,令 )(),( 0
durr
x
u
t
t
eExtG ∫=
ml
,假定它分
别对 xt,为一阶与二阶连续可微,利用 ):|( 0 tureEM u
durr
t
u
T
T
≤∫=
ml
是鞅,证明
0)(2
2
=+= xGGxbaxGG xxxt ms,xexG l?=),0(,
龚光鲁,钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用
清华大学出版社,2003
第 13 章 金融证券未定权益的定价
1 Black-Scholes 模型 的 欧式未定权益的定价
1,1 术语与基本假定
概念 １３,１ （ 可行市场 ） 研究金融市场有一个基本的假定,就是 无套利原则,也称 套利原则,这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会,（ 套利的粗略含义是,在开始时无资本,经过资本的市场运作后,变成有非负的 （ 随机 ） 资金,而且有正资金的概率为正 ）,因为在出现套利机会时,大量的投机者就 会涌向市场进行套利,于是经过一个相对短的时期的,混乱,后,市场就会重返,正常,,即回复到无套利状态,在金融衍生证券的定价理论中 并不讨论这段短混乱时期,因此,在研究中,普遍 地 设置无套利假定,这样的市场也称为 可行市场,
概念 １３,２ （ 套期 ） 粗略地说,以持有某些有价证券组合来抵销某种金融衍生证券所带来的风险,称为 套期,这种套期事实上是 完全套期,如果只抵销了部分风险,则称为 部分套期,
定义 １３,３ （ 欧式 期权,欧式 未定权益 ） 设某种 风险 金融证券每 份 在 t 时刻的价格为 tS,并设 它满足以下的 Black - Scholes 模型,
)( ttt dBdtSdS sm +=,(13,1)
其中 )0(,>sm 分别为证券的 收益率 与 波动率,假定当前的银行利率为 r,而且不随时间变化,以这种证券为 标的变量 (Underlying Variable) 的欧式 看涨期权 （ European c all
option ）,是指在 0=t 时甲方 ( 一般为证券公司 ) 与乙方的一个合约,按此合约规定乙方有一个权利,能在时刻 T 以价格 K ( 它称为 敲定价格,striking price ) 从甲方买进一批 ( 一般为 100 份 ) 这种证券,如果时间 T 时的市场价格 TS 低于 K,乙方可以不买,而只要时间 T 时的市场价格 TS 高于 K,乙方就得利,综合起来,乙方在时刻 T 净得 随机收益 为
+?= )( KSX
TT,这种合约 ( 它的数学表示就是
+?= )( KSX
TT ) 称为 期权,又因为乙方只能在最终时刻 T 作出选择,称为 欧式期 权,此外,乙方希望 TS 尽量大,以便有更多的获利,也就是有选择权的乙方盼望股票上涨,所以称为 看涨期权,或者 买权,由于这个合约能给乙方带来 TX 的 随机 收益,就需要乙方在 0=t 时刻用钱从甲方购买,这个合约在 0=t
时刻的价格,称为它的 贴水 或 保证金 (premium ),问题是如何确定这个合约在时刻 Tt < 的价格 ( 包括 贴水 ),
另一种相反的情况是,如果 0=t 时甲方 (一般为证券公司 )卖给乙方如下的合约,此合约规定乙方有一个权利,即 能在时刻 T 以价格为 K 卖给甲方一批 (一般也为 100份 )这种证券,
如果时刻 T 时的市场价格 TS 高于 K,乙方可以不卖,只要时 间 T 时的市场价格 TS 低于 K,
374
卖 方就得利,综合起来,乙方在时刻 T 净得为 随机收益 +?= )( TT SKX,这也是一种欧式期权,此时乙方盼望 TS 尽量小,以便有更多的获利,也就是,乙方盼望股票下跌,所以称为看跌期权,或者 卖权 (put option),同样由于这 个合约也能给乙方带来 TX 的收益,也就需要乙方在 0=t 时刻用钱从甲方购买,这个合约在 0=t 时刻的价格,也称为它的 贴水 或 保证金,
比看涨期权与看跌期权更为一般的欧式期权是,甲方卖给 乙方一个由证券组合组成的一个合约,此合约能在 T 时刻给乙方带来 随机收 益 )( TSf (称为 欧式未定权益 ),同样要给出这个合约 在时刻 Tt < 的价格 (贴水 ),
基本假定 为了讨论简单,通常假定市场是 无摩擦的,即无税收,无交易费,可以卖空,
银行的存贷利率是一样的,又假定此未定权益的持有人是小投资者,并且是 自融资的,即在整个过程中,持有人既没有添入资金,也没有抽走资金,
再则,存银行的钱是无风险的,由银行利率为 r (在时变情形为 )(tr,这在数学处理上并未增加任何困难 ),时刻 0=t 的 存款 00S 元到时刻 t 的价值应为
rt
t eSS
0
0
0 =,即 dtrSdS
tt
00 =,(13,2)
无套利下的看涨与看跌平权关系
定义 １３,４ （ 远期合约 ） 未定权益为 TS 的欧式权益,称为在时刻 T 成熟的 远期合约,
显见远期合约在时刻 )( Tt < 的价格就应该为证券的即时价格 tS,
命题 １３,５ （ 平权关系 ） 将 把看涨期权,看跌期权,远期合约在时刻 )( Tt < 的价格分别记为 ttt FPC,,,于是在无套利假定下有
rt
ttt KeFPC
=?,(13,3)
这个关系式称为 欧式 看涨 - 看跌 期权 的平权关系 (Call-Put parity),有了这个关系,欧式看涨期权与看跌期权中只要知道一个的价格,就立刻可以得到另一个的价格,
(平权关系的得到,是基于未定权益有如下的等式,
KSSKKS TTT?= ++ )()(,
这说明买进一张 (在金融中称为 多头 一张 )在 T 到期的执行价格为 K 的看涨期权与卖出一张
(在金融中称为 空头 一张 )相应的看跌期权,就相当于买进一张远期合约与卖出一张在时刻 T
到期的额度为 K 的银行存款,
1,2 定价的 套期方法
１,Black-Scholes 偏微分方程的推导
满足 Black -Scholes 模型 （ １３,１ ） 的 风险 标的资产 tS 是 随机微分方程 的解,因此 是
375
Markov 过程,从而,欧式 未定权益 )( TSf 在时刻 Tt < 的价格只依赖 tS,于 是 可以 将 此 价格 随机过程 记 为 ),( tStV,下面我们将按 Black -Scholes 在 1973 年的经典论文 中 的套期思想,
来推导 价格函数 ),( xtVVt?= 满足的微分方程,首先,由 Ito 公式有
tSxttttt dtx
VS
x
VS
t
VdBS
x
VStdV
=?
+
+
+?
= ])
2
1([),(
2
2
22sms,
假定在时刻 t 甲方为了保护卖出未定权益的风险,虚拟地待定购进?份标的证券,那么,
将 卖出的未定权益合约得到的价格 tV 与购进的标的证券化费的 tS 合起来考虑,甲方共计得 资产
ttt SVN=
,
由自融资原则,到了时刻 dtt +,这个获利就变为 dttdttdtt SVN ++?+=,即
tt dSdVdN= tSxtttt dtx
VS
x
VS
t
VdBS
x
V
=?
+
+
+
= ])
2
1)(()[(
2
2
22sms,
我们只要 取
),( tStxV=?,(13,4)
便得 到
=tdN dtxVStV
tSxt =?
+
)
2
1(
2
2
22s,(13,5)
再由无套利假定可知,tN 必须是无风险资产,即
dtrNdN tt =,(13,6)
(事实上,如果 dtrNdN tt >,则甲可以在时刻 t 从银行借贷 并 投资于上述组合 tN,在 dtt + 时刻得
tdN 后立刻偿 还银行 dtrN t,从而 净得 dtrNdN tt?,在另一种情形,如果 dtrNdN tt <,则甲可以在时刻 t 卖空上述组合 tN,将钱存入 银行,到 dtt + 时刻得 dtrN t,还去购回卖空的组合,由此 也 净得
tt dNdtrN?,所以,这两种情形都发生了套利,与无套利假定矛盾,可见只能有 dtrNdN tt = ),把
(13,5)式 中的 tN 的表达式代入 (13,6)式,就得到 ),( xtV 应满足的 Black - Scholes 偏微分方程,
376
021 2
2
22 =?
+
+
rV
x
Vrx
x
VS
t
V
ts,(13,7)
外加终端条件
)(),( xfxTV =,（ 因为 )(),( TT SfSTV = ）,(13,8)
只要求 得此方程的解 ),( xtV,就得到了未定权益 )( TSf 在时刻 Tt < 的价格 ),( tStV,
而在时刻 0=t 贴水为 ),0( 0SV,
２,Black-Scholes 微分方程的求解
先 令 tTt?=' 将 终值问题 化 成初值问题,再令 xx log'=,),()','(~ xtVxtV =,并 利用
xxxxxxxxxx xVVxxVxxVVxVV +====
2
'''
~
'
~ )()(,
,tt VV?='~,
把 方程 （ １３,７ ） 化为
0)2(21
~
'
~2
''
~2~
' =++? VrVrVV xxxt
ss,(13,9)
)())(),(()',0( '~ xefxfxTVxV ===,(13,10)
此 方程的系数不依赖 'x,是常系数偏微分方程,然 后 作变换
)','()','( ''~ xtUextV tx?+= ba,(13,11)
只要 在此变换中 选取 合适的 常数 ba,,就可以消灭方程中含 U 和含 'xU 的项,即
（ １ ） 置 'xU 的系数为 0,得到
22
2
2
12
ss
s
a r
r
=
=,(13,12)
（ ２ ） 再置 U 的系数为 0,得到
)21( 22 r+?= asb,(13,13)
这时 （ １３,９ ），（ １３,１０ ） 就简化为 传热 方程的 初值问题
''
2
' 2 xxt UU
s= (13,14)
)()',0( '' xx efexU a?=,(13,15)
由此可以用 初等偏微分方程中的经典方法,即 用 Gauss 核 (Brown 运动的转移密度函数 也称为 Gauss 核 ) 的积分给出其解 )','( xtU
377
dyeyUtxtU t
xy
2
2
'2
)'(
),0('2 1)','( ssp
∫?=
dyeefet t
xy
yy 2
2
'2
)'(
)('2 1 sasp
∫
=,
再 作变换 '' yxy =?,便得
)','( xtU ')('2 1 )''('2
'
'' 2
2
dyeeeft yxt
y
xy ++∫
=
as
sp ')('2
2
22
'2
''2'
'
'
dyexefte t
yty
y
x
s
asa
sp
+
∫?=,
注意积分号内指数项的分子为 24222 ')''( asas tty?+,作变换 ztty =+ '''
2
s
as,就得
dzeexefextU
tz
tzt
x
2
'
2''
' 222
2 )(
2)','(
as
ass
a
p
∫=
dzexefee
z
tTztT
rttx
2)(
)''(' 2
2 )(
2
+ ∫= assba
p,
最后 用 )','()','(),( ''~ xtUextVxtV tx?+== ba,得到 ),( xtV 的明显表达式如下 面定理所述,
定理 １３,６
dzexefextV
zrtTztTtTr
2)2()(
)( 222
)(2),(
∫=
sss
p,(13,16)
于是欧式未定权益 )( NSf 在时刻 )( Tt < 的价格为 ),( tStV,而在 合约 开始时刻的贴水为
dzeeSfeSV
zrTzTrT
2)2(00
22
2
)(2),0(
∫=
sss
p,(13,17)
而 用以 套期标的证券的数量,则由 (13,4)式 给出,
定义 １３,７ （ Black-Scholes 中性模型 ） 从 (13,16)可以看出,欧式 未定权益的定价不依赖 风险证券 的收益率 m,而代替它的则是银行利率 r,这就启示我们,在利用
Black-Scholes 模型求未定权益的定价时,风险证券的 价格模型应该改用
)( ttt dBrdtSdS +=,(13,18)
这样的模型称为 Black - Scholes 风险 中性模型,由于它与收益率为 m 时的模型不一样,我们把对应于这个风险中性模型所取的概率记为 *P (相应的期望记为 *E ),称为 风险中性概率,
在金融中,sm r? 称为 风险的市场价格,
１,３ 风险中性概率 方 法
设 在风险中性模型下,风险证券 在 t 时刻的价格记为 tS,它 对于 银行利率 r 的折现价
378
记 为 trtt SeS=~ (在初始时刻的等价价格,相当于将一切资产都折合到初始时刻考虑 ),用
Ito 公式得
tttt
rt
t
rt
t
rtt dBSdBrdtSedtSreSedSd ~~ )()( ss =++?==,(13,19)
由此可见对风险中性概率 *P 而言,风险证券 的折现价 tS~ 是 随机微分方程 （ １３,１９ ） 的解,由 例 １２,５７,此方程的唯一解是
tBt
t eSS
ss +?= 2
0
~~ 2
,(13,20)
这正是 tB 的 一个 指数鞅,因为 鞅在时间进行中体现了公平的发展,在时刻 T 的未定权益
)( TSf 在初始时刻的折现价为 )( ~~ TrTrT Sefef=,并且 鞅性质体现为,时刻 t 的 价格在初始时刻的 折现价 trtt VeV=~ 应该是 ),|( ~* tsBfE s ≤,即
=~tV ),|( ~* tsBfE s ≤,(13,21)
于是
),|)(( ~* tsBSefeEeV sTrTrTrtt ≤=?
],|)([ ))(2()(*)(
2
tsBeSfEe stTrBBttTr tt ≤=+
ss
,(13,22)
再利用条件期望的公式,并令 tT BB tT=
h,则对应于概率 *P 有 )1,0(~ Nh,故而
)])(2exp[(
)(*)(
2)](([
tTrSx
BBtTr
t
t
tTxefEeV
=
=
s
s
)])(2exp[(
)*)(
2)](([
tTrSx
tTtTr
t
xefEe
=
=
s
hs
dueeSfe
uutTtTr
t
tTr 2))(2()(
22
)(21+ ∫= s
s
p ),( tStV
记为 =
,
其中
),( xtV duexefe
uutTtTr
tTr 2))(2()(
22
)(21+ ∫= s
s
p,
它 正好是带终端条件的 Black-Scholes 偏微分方程的解 (13,16),
推论 １３,７ 对于远期合约 x)x(f =,由 Black-Scholes 公式得到它在时刻 )( Ttt <
的价格为 tt S)S,t(F =,恰好就是标的 风险 证券的市价,
推论 １３,８ 对于欧式看涨期权 （ 对应于 +?= )()( Kxxf ）,它在时刻 )( Ttt < 的
379
价格的公式可以简化为
))(())((),( 2)(1 xdKexdxStF tTrt Φ?Φ=,
其中
t-T
tTrKx
xd s
s ))(
2()log()(
2
1
++
=,t-T
t-T-rKx
xd 2 s
s ))(
2()log()(
2
+
=,
due21(x) 2
u-x
-
2
∫
∞
=Φ p (在通常的金融文献中记为 )x(N ) 是 为标准正态分布的分布函数,
此时应该套期的风险证券的数量为
tt Sx
xd
tTr
xd
Sxt xdeKexdxexdx
F
=
=?+Φ=?
=? )](')('))(([|
2
2
)(
)(
1
2
)(
1
2221
))(( 1 tSdΦ=,
推论 １３,９ 由 平权关系便得到欧式看跌期权 （ 对应于 +?= )()( xKxf ） 在时刻
)( Ttt < 的价格
))(())((),( 12)( xdxxdKeStF tTrt?ΦΦ=,
此时应该套期的风险证券的数量为
tSxt x
F
=?
=? | ))((
1 tSd?Φ?== L,
[注 ] 如果不用风险中性的 Black-Scholes 模型,而是用带收益率 m 的 Black-Scholes 模型,那么类似地用 Ito 公式,可得证券的折现价格
~
tS 满足的方程为,
)(~~ dtrdBSSd ttt sms?+=,
作 Girsanov 变换 trBB t sm?+=*,则 对于 F 中的任意事件 A,只要它的信息完全可由 ):{ tsBs ≤
确定,就定义它的 一个 新概率 *P 为
)()(
2
2
1
* t
rBr
A
teIEAP
= s
m
s
m
,
于是 由 Girsanov 定理 （ 定理 １２,６９ ）,在新概率 *P 下,*B 是一个 Brown 运动,从而重新 得到
*~~
ttt dBSSd?= s,这正好是风险中性的 Black-Scholes 模型,而概率
*P 就是风险中性概率,这是从另一个 角 度 得到同样的结果,
* 1．,4 币值单位与随机折现因子方法
定义 １３,１０ 设某个 风险 证券在时刻 t 的价格为 tS,又 若 存在另一个 正值 随机过程 tM 使得
380
t
tt
M
SS?=~
是一个鞅,则称 tM 为证券 tS 的 币值单位 ( 更 一般 一些,在理论上 只要 tS~ 是一个 局部鞅,也就是存在一个停时 ）（ tS
~
序列 ∞↑nt,使对于固定的 n,}0:{~ ≥∧ tS nt t 是鞅,这里,鞅和局部鞅都代表在统计 平均 意义下不随时间增值的资金流 ),
从 直观看,资本的价值是随着时间 增值的,币值单位 tM 就体现了 该 证券 的 价格的时间增值,即在
0=t 时的 1 元钱,经过单个证券 tS 的市场因素的作用,在时刻 t 的实际价值相当于 tM 元,又因为市场是随机的,所以币值单位也是随机的量 (随机过程 ),这就体现了一元钱的时间价值,
定义 １３,１１
t
t MN
1?= (13,23)
称 为 随机折现因子,因为 tN 是 1 除以币值单位,所以它就相当于把随机因素考虑进去以后的,随机折现因子,,
对于 Black-Scholes 模型的币值单位,我们有 下面的命题,
命题 １３,１２ 假定证券在时刻 t 的价格 tS 满足 Black-Scholes 模型
)( ttt dBdtSdS sm +=,(13,24)
那么
t
rt
t LeM =,(13,25)
就 是 tS 的币值单位,其中 r 是银行利率,而
),(
)(
2
1
2
2
tt BtG
trBr
t eeL
+
== s
m
s
m
,(13,26)
证明 对于 tL 用 Ito 公式得到
2),(),( )),((
2
1),(
t
BtG
t
BtG
t BtdGeBtdGedL
tt +=
])([ 2),( dtrdBre tBtG smsm?+?=,
于是 tM 及
t
t MN
1?= 满足的随机微分就分别为
])([ 2 dtrdBrMdtrMdLedtLredM ttttrttrtt smsm?+?+=+=
)])(([ 2 tt dBrdtrrM smsm?+?+=,
381
2
32 )(
11
t
t
t
t
t dMMdMMdN +?=
dtrMMdBrdtrrM t
t
t
t
22
3
2 )(1)])(([1
s
m
s
m
s
m?+?+?+?=
)( tt dBrrdtN sm?+?=,
即 tN 所满足的随机微分方程为,
)( ttt dBrrdtNdN sm=,(11,27)
再用 Ito 公式得到
tttttttt dNdSdSNdNSNSd ++=)(
dtrNSdBdtSNdBrrdtNS tttttttt )()()( smssmsm+++=
ttt dB
rNS )(
s
ms=,
由例 １２,５７ 可知,tt
t
t NS
M
S =
是一个 指数鞅,命题 得证,
既然
t
t
t M
SS?=~
随时间的发展体现了一个,公平博弈,,由此 可 得到,一般的欧式未定权益 TX 在
)( Tt < 的合理定价 tV,即对于折现价格
t
t
t M
VV?=~
,
T
T
T M
XX?=~
,应该 有
):|( ~~ tsBXEV sTt ≤=,
从而 得到一般的定价公式
),|( tsBMXEMV s
T
T
tt ≤= ),|
1( tsB
LeXELe sT
rT
Tt
rt ≤=?,(13,28)
1,5 倒向随机微分方程方法
设风险证券的价格过程为 tS,将 由它衍生的欧式 未定权益 )( TSf 在 t 时刻的价格 记 为 tx,利用套期的想法,在 t 时刻,虚拟,地待定卖出 tn 张标的 风险证券 ( 这里 tn 可以负,此时表示买进 ),使余下的部分不再有风险,在,卖出,了 tn 张 风险证券 后的投资组合为 ttt Sn?x,由 自融资假定,在时刻 dtt + 这个投资组合的价值变为 dtttdtt Sn ++?x,又 因为要求它是无风险的,所以它应该相当于时刻 t 的资产
ttt Sn?x 存进银行中到时刻 dtt + 的资产,即
382
dtttdtt Sn ++?x ))(1( ttt Snrdt?+= x,(13,29)
用 tt dSd,x 分别代替 tdtt xx?+,tdtt SS?+ 后,上式成为
dtSnrdSnd tttttt )(?=? xx,(13,30)
再用 )( ttt dBdtSdS sm += 代入,并把总的套期的价值记为
ttt SnV =,(13,31)
那么,我们 就 得到下述的倒向随机微分方程,
ttttt dBVdtVrrd?+?+= smxx ))((,(13,32)
)( TT Sf=x,(13,33)
注意,这里是一个方程,一个终端条件,两个未知 的随机过程 ),( tt Vx,这是倒向随机微分方程所特有的,
这一点是与普通 ( 正向的 ) 随机微分方程是绝然不同的,正向的随机微分方程对一个初始条件,在 一个未知随机过程时有唯一解,而 倒向随机微分方程 对一个终端条件,只有在两个未知过程时,才可能存在唯一解
),( tt Vx,这里,tx 是证券在时刻 t 的价格,而 tV 则是在时刻 t 的套期 数量,
在数学上,倒向随机微分方程 与经典的情形的不同 的是,要求解 ),( tt Vx 是 )( tB 可知的,彭实戈等人的一般理论指出,只要满足 ∞<2)( TSEf,方程 (13,32 )在 (13,33)条件下存在唯一 的 解 ),( tt Vx,于是这时 0x (它 将 是常数,不再随机 ) 是 欧式 未定权益 )( TSf 在开始时刻 0=t 时的贴水,倒向随机微分方程的有效而快速的数值解法,目前是研究的关心点之一,
1,6 时变 的 Black-Scholes 模型
设 风险 证券在 t 时刻的价格 tS 满足
))()(( ttt dBtdttSdS sm +=,(13,34)
其中 )0)((),( >tt sm 是非随机的函数,分别 代表 证券的时变收益率与波动率,基于这种模型的证券的 欧式 未定权益的定价,在 用上述 4 种方法 中的任意一种后,都可以最后得到
),( xtV dzexefe
zzdss
tTds
ssr
tTr
T
t
T
t 2
)(1)2)()(()( 2
2
)(21+ ∫∫= ∫ s
s
p,(13,35)
从而,贴水为
),0( 0SV dzeeSfe
zzdss
Tds
ssr
rT
TT
2
)(1)2)()((
0
2
0
2
0 )(
2
1+ ∫∫= ∫ ss
p,
383
2,二叉模型与 Black - Scholes 模型的二叉近似
２,１ 二叉模型
二叉 模型 (Cox-Ross-Rubinstein 模型 –相当于离散的 Black-Scholes 模型 )与风险中性概率,
二叉模型 考虑的是时间离散情形,它比 Black-Scholes 模型 更适合于实际拟合与模拟计算,设银行利率为 R (注意离散时间的利率与连续实际的利率之间有一个折合关系 ),即存在银行的资金的增长为
00
1 )1( nn SRS +=+,(13,36)
假定风险 证券价格的增长为
nnn SS )1(1 h+=+,
其中 }{ nh 是独立同分布的随机变量列,且
)10,0(,1~1 <<<<
+ pbapp
ba
nh,
即
+
pp
ba
S
S
n
n
1~
1,(13,37)
此时,证券在时刻 0=t 的折现价格为
nnn SRS )1(
1~
+=
,(13,38)
由 Black-Scholes 模型启示,无套利相当于对于
n
n
S
S 1+ 存在一个风险中性的概率分布
** 1 pp
ba
( *p 称为公平概率,对应于 事件类 F 上定义的 风险中性概率 )(*?P ),它使 风险 证券的折现价格
~
nS 关于
*P 是鞅列,即
nnn SSSSE
~
0
~~
1
~* ),,|( =
+ L,
定理 １３,１３ 当且仅当在 bRa <+<1 时,公平概率 *p 存在唯一,在条件成立时有
ab
Rbp
+?= )1(* 。 (13,39)
384
证明 由于 }{ 1
n
n
S
S + 的独立同分布性 推出
n
n
n
n
S
S
RS
S 1
~
1
~
1
1 ++
+= 与 },,{ 0
~~ SS
n L 是 相互独立的,于是
== + ),,|( 0~~1~*~ SSSES nnn L )(),,|( ~ 1
~
*~0~~~
~
1
~
*
n
n
nnn
n
n
S
SESSSS
S
SE ++ =L,
从而有
)1(11)(1 **~ 1
~
* p
R
bp
R
a
S
SE
n
n?
+++==
+,
解出 ab Rbp?+?= )1(*,所以,为了使 10 * << p 必须满足 bRa <+<1,】
二叉模型下的 欧式未定权益的定价
由处理 Black-Scholes 模型的经验,我们 可 以 假定未定权益 )( NSf 在时刻 )( Nn < 的价格为 ),( nn SnVV?=,我们 沿 用套期方法计算它,设在时刻 n 卖空此未定权益,并待定买进
n? 张标的证券,并把此投资组合的价值记为 nX,则
nnnn VSX=,
在 nS 已知的条件下,要用此投资组合来抵销在时 刻 1+n 由
n
n
S
S 1+ 带来的随机性,由自融资假定,此投资组合在时刻 1+n 的价格应为
111 +++= nnnn VSX ),1(
11
n
n
n
n
n
nn S
SSnV
S
SS ++ +=,(13,40)
为了 使后者不再随机,就是要使它 的取值 不 再 依赖于 ba,,也就 应 该 有
),1( nnn aSnVaS + ),1( nnn bSnVbS +=,
为了保证这个等式成立,我们只需把待定的 n? 取为
n
nn
n Sab
aSnVbSnV
)(
),1(),1(
+?+=?,(13,41)
利用无套利假定,这个 消失了随机性的投资组合 的时间发展 应该按银行利率 进行,
nn XRX )1(1 +=+ (13,42)
(如果取不等号就会如 Black-Scholes 模型 时 的推导那样出现套利 ),于是我们有
),1((1 11 1 1 nnnnn aSnVaSRXRX ++=+= +
385
)),1()],1(),1([(1 1 nnn aSnVaSnVbSnVab aR +?+?+?+=
)],1(),1([11 1 nn aSnbVbSnaVabR +?+?+=,
利用 （ １３,４１ ），（ １３,４２ ）,便得到
nnnn XSSnV=),(
+?+= ab aSnVbSnV nn ),1(),1( )],1(),1([11 1 nn aSnbVbSnaVabR +?+?+
),1())1((),1()1[(11 1 nn aSnVRbbSnVaRabR ++?++?+?+=
)],1(),1()1[(1 1 1*1* ++ +++?+= nn aSnVpbSnVpR,
即函数 ),( xnV 满足以下 的 后 向差分方程,
=),( xnV )],1(),1()1[(1 1 ** axnVpbxnVpR +++?+=,(13,43)
并且由 )(),( NN SfSNV = 得到终端条件
)(),( xfxNV =,(13,44)
用数学归纳法便 可 得到 （ １３,４３ ） 满足 （ １３,４４ ） 的 解为
)()1()1( 1),( )()(**
0
xbafppCRxnV knNkknNkk nN
nN
k
nN
=
+= ∑ )( Nn <,(13,45)
于是未定权益的贴水为
),0( 0SV )()1()1( 1 0)**
0
SbafppCR kNkkNkkN
N
k
N
=
+= ∑,
在实际计算中,可以用二叉树的后向传递法 使用上述公式,并 通过树上操作 反向地逐步 求出 欧式 未定权益在各个时刻的价格,
２,２ Black-Scholes 模型的二叉近似
设 风险 证券的价格 tS,)( Tt ≤ 由 Black-Scholes 模型描述,对 于 ],0[ T 作 m 等分,令
m
nT
m
n SS
=)(,
)(~ m
nS )()1(
1 m
nn SR+=
,(13,46)
(这时应该要求
)(~~ m
mT SS =,即要求 TtmTrT SRSe )1(
1
+=
,从而要求
m
rT
Re )1(
1
+=
,
由此可由 mr,求出对应的 R ),记
386
=
nT
~
)(
1
)(
)(
1
~
)(~
1
1
m
n
m
n
m
n
m
n
S
S
RS
S
+
=,(13,47)
再 假定 )(
1
)(
m
n
m
n
S
S
服从风险中性的概率分布
** 1 pp
ba (其中
ab
Rbp
+?= )1(* ),于是
){log ~ nT 独立同分布,且
++
**
~
1
1log1log~log
pp
R
b
R
a
T n,
我们 取
m
T
R
a s?=
+1log,m
T
R
b s=
+1log,(13,48)
当 m 很大时有
m
T
m
T
m
T
ee
e
R
a
R
b
R
b
ab
Rbp
ss
s
=
+?+
+
=?+?= 1
11
11)1(
*
m
T
m
T
m
T
s
ss
2
2
1 2+
≈ = )4121( mTs+= (13,49)
于是 `
R
bp
R
apTE
n +?++= 1log)1(1log)(log **
~
))(4121( mTmT ss?+≈ )(),1(2))(4121(
2
∞→=?=?+ momTmTmT sss,
从而有
2~~ )(log)(log
nn TETVar ≈
2*2* )
1)(log1()1(log R
bp
R
ap
+?++=
m
T
m
T 2)
4
1
2
1( ss+≈
m
T
m
T
m
T 22)
4
1
2
1( sss =?+,
再则,对于 Tt ≤,由中心极限定理,当 m 大时得到 n
mT
t
n
m
mT
t TS
~]/[
0
)(
]/[
~ loglog ∑
=
= 的分布与正态分布 ])/[],/[2( 2
2
mT
t
m
T
mT
t
m
TN ss? 相近似,即与正态分布 ),
2(
2
2
ttN ss? 相近似,
387
用 更精细的讨论 (用多维的中心极限定理 )可以得到,随机过程 )(,log
)(
]/[
~
TtS
m
mT
t ≤ 的有限维分布与漂移 Brown 运动 tBt 2
2s
s? 有相同的有限维分布,也就是说,在 *p 所对应的概率
)(*?P 下,证券的折现价格 )(,
)(
]/[
~
TtS
m
mT
t ≤ 作为随机过程的有限维分布与几何 Brown 运动
tBte 2
2s
s?
的有限维分布相同,而后者正是风险中性的 Black-Scholes 模型,这说明了离散 二叉模型正是 Black-Scholes 模型的近似,
总之,对于给定的波动率 s 和利率 r 及充分大的 m,求出对应的离散利率 R,及二叉模型的 ba,和公平概 率 *p,就可以用二叉模型
)(
]/[
~ m
mT
tS 来近似 Black-Scholes 模型,而前者的计算 是 很简单,可以用二叉树的后向传递法,通过树上操作求出未定权益在各个时刻的近似价格,
3,二叉模型的美式未定权益简述
３,１ 美式未定权益
我们不妨假定,标的证券在开始时刻的价格 0S 是常数,
定义 １３,１４ 如果容许证券的 未定权益的持有人在 ],1[ N 中的任意时 刻 n 都可以 执行 ( 但 不在时刻 0 执行 ),将 持有人在时刻 n 执行此权益的所得记为 nX,它是一个随机变量,
一般是 1,,SSn L 的一个函数 ( 即 nX 是 )( nS 可知的 ),与这种金融产品相系的权益 序列
}:{ NnX n ≤ 称为 美式未定权益,
注意欧式未定权益就是 NX,只是一个随机变量,而美式未定权益是一个随机变量序列,又 因为 美式未定权益 可以在 ],1[ N 中 的 任意时刻执行,所以 它的定价显然应该比欧式未定权益 NX 的定价要高,在本节中,我们将对于二叉模型,给出美式未定权益的合理定价,
而对于 Black - Scholes 模型,则可以与欧式未定权益一样,用二叉模型得到近似,
如果 +?= )( KSX nn,则此未定权益称为 美式看涨期权,同样地,如果
+?= )(
nn SKX,则此未定权益称为 美式看跌期权,
对于二叉模型,
n
n
S
S 1+ 在风险中性的概率 *P 下的分布为
** qp
ba,
ab
Rbp
+?= )1(*,( ** 1 pq?= ),(13,50)
388
记 nS 的折现为
n
nn
R
SS
)1(
~
+=,
其中 R 为 单位时间的 银行利率,我们 将 美式未定权益 },{ NnX n ≤ 在时刻 n 的定价记为
nU ( 它也是随机变量 ),显见,在时刻 N 应 有
NN XU =,(13,51)
而 )}(,{ NnX n ≤ 在时刻 1?N 的定价 1?NU,则决定于当时执行的收益与在下一个时刻执行的预期收益中的较大者,由于 它在下一时刻执行的预期收益应该是在时刻 N 到期的欧式未 定权益在时刻 1?N 的定价的折现为 ),,|)1(( 11* SSRUE NNN L?+,于是
1
11 )1(,max(
+=
N
NN RXU )),,|)1(( 11
* SS
R
UE
NN
N L
+,(13,52)
又因为 NN XU =,上式即 为
1
11 )1(,max(
+=
N
NN RXU )),,|)1(( 11
* SS
R
XE
NN
N L
+,(13,52) ’
它可以改写为
),,|)1((max)1( 11*111 SSRXERU mmmNmNN L≥ ++=,(13,52),
一般地,美式未定权益在时刻 n 的定价,应该决定于当时执行的收益与把下一个时刻定价 1+nU 作为时刻 1+n 到期的欧式未定权益的定价中的较大者,由于 在下一时刻到期的欧式未定权益 1+nU 的定价的折现应为 ),,|)1(( 111* SSRUE nnn L+++,于是我们有
n
nn RXU )1(,max( += )),,|)1(( 11
1* SS
R
UE
nn
n L
+
+
+,(13,53)
利用条件期望的性质 及 nn XU ≥,用 归纳 法 不难证明
(max)1( nmnn RU ≥+= )),,|)1(( 1* SSRXE nmm L+,(13,54)
389
00 max ≥= mU ))1((
*
m
m
R
XE
+ (13,54) ’
命题 １３,１４ 美式未定权益的 折现定价 nU~ ))(,)1((
~
NnRUU nnn ≤+= 是 )( nS 上鞅列,而且 它 是满足 nn XU ≥ 条件的上鞅列中的最小的一个,所以 nU~ 称为 控制 nX~ 的最小上鞅列,也称为 nX~ 的 Snell 包络,其中 nnn RXX )1(
~
+= 为未定权益的折现,
证明 前一个结论直接得自 (13,53),又若 nY 是另一个控制 nX~ 的上鞅列,我们用后向归纳法来证明 nn UY ~≥,对于 Nn =,我们有 NNN UXY ~~ =≥,假定 mn = 时有
mm UY
~≥
,那么
),,|( 11*1 SSYEY mmm L ≥ ),,|( 11~* SSUE mm L?≥,
再利用 (13,53) 便得 1
~
1 ≥ mm UY,由归纳法推出结论成立,】
更一般地,对于任意一个取值于 ],[ Nn 的 )( kS 停时 t,对它 的不同可能 取值用全期望公式 还 可以得到
],[max)1( Mn
n
n RU ∈+= t一切停时 ],,|)1([ 1
* SS
R
XE
n Lt
t
+,(13,55)
所以,美式未定权益在初始时刻的贴水 ( 保证金 ) 又可以表 示 为
],[00 max MU ∈= t一切停时 ])1([
*
t
t
R
XE
+,(13,56)
等式 (13,55) 与 (13,56) 并不能用 于 实算,但是,我们可以用它来讨论未定权益的持有人在理论上于 什么时刻执行最有利,这种有利时刻称为 最佳执行时刻,
定义 １３,１６ （ 未定权益的最佳执行时刻 ） 任意一个 )( kS 停时 *t,只要满足
=0U ]
)1(
[ *** tt
R
XE
+ ],[0
max( M∈= t一切停时 ]))1([* ttRXE +,
就 称 *t 为 美式未定权益的一个最佳执行时刻,其中 最后一个等号正说明了它的最佳性质,
由 此 定义可以看到,最佳执行时刻并不一定唯一,
在 一般时刻 n,(13,53) 指出了定价 ≥nU ( 该时刻执行的所得权益 ) nX,直观地,再对未定权益的持有人有利的时刻执行所得也 不应 超过定价,但是在定价随机变量与执行所
390
得的权益随机变量相等的那些时刻 ( 一般都 是随机时刻 ) 上,执行所得收益就达到了它的上界,因此,这些随机时刻就应是最佳执行时刻,于是我们有 下面的定理,
定理 １３,１７ 把定价与未定权益首次相等的时刻 ( 是一个停时 ) 记为 0t,即
}:0min{0 nn XUn =>=t,
那么,它也是美式未定权益的一个最佳执行时刻,
( 此定理在直观上是显然的,但是其证明则需要用鞅列在停时上的停止定理,本书从略 ),
[ 注 ] 定价的折现 nU~ 是 )( nS 上鞅列,这就是说,由预期美式未定权益的收益而作出 的定价平均地是下降的,它的直观意义很清楚,时间越早对持有人有更大的选择余地,定价当然就应该高一些,所以,美式未定权益的定价作为随机变量 ( 按上鞅的规律发展 ),其平均值是时间的下降序列,这一点正体现了定价在平均的意义上,对于买方与卖方的公平性,
再则,即使持有人在最佳执行时刻执行,所得到收益的折现也不过 就 是当时的定价,那么,购买这种未定权益能有那么好处呢? 事实上,虽然定价在平均意义上不过是一种公 平的博采,但是正如许多公平的博采一样,人们还是抱着试试运气的心理参加投资,希望在个别的情形中,得到的报酬会远高于平均所得,显然,在别的一些情形,投资人也可能得到 远低于平均的报酬,那么,为什么这种金融工具 会广泛流行 呢? 事实上,对于 全 社会 而言,
这样的 金融工具是一种融资的手段,能 分担社会的金融风险,促进资本有效流动,当然,这并不包括黑户操纵与违规操作,而对投资人来说,在健全的金融体制下,虽然有人会得利,
也有人会 受到 损失,只要局限在经济力量容许的范围内,利用闲散资金投资,也是对金融的某种参与,况且在正常的情形,标的证券还可以得到分红,当然,任何金融创新都是一把双刃剑,在起正面作用的时候,又常常被利用作 为 投机 手段,这可能带来另一种新的风险,这是人类社会的 普遍的 客观规律,
需要特别注意的是,实际市场的炒作与风险,远比数学模型复杂,数学模型只是平均行为的一个非常粗放的参考,哪种模型近似得较为合理一些,应该以实证数据为根据,
3,2 二叉模型美式未定权益 }),({ NnSf n ≤ 的定价与定价函数组
本段我们讨论 二叉模型美式 未定权益 的 一种常见的特殊情形,即 存在 )(xf 使对于任意
Nn ≤,都有
)( nn SfX =
的情形 ( 典型情形出现于美式看涨期权和美式看跌期权,它们分别对应于 +?= )()( Kxxf
和 +?= )()( xKxf ),此时,由 (13,51),(13,52) 和 (13,53),可以直接推出
)()( NNNN SUSfU?==,( 其中 )()( xfxU N = ),(13,57 ）
1?NU )),,|)((1
1),(max(
11
*
1 SSSfERSf NNN L +=
)()])()([1 1),(max( 111*1*1 =++= NNNNN SUbSfqaSfpRSf 记为,
391
其中
)])()([1 1),(max()( **1 bxfqaxfpRxfxU N ++=?,
对于一般 Nn <,用后向归纳法可得
),(max( nn SfU = )()])()([1 1 1*1* nnnnnn SUbSUqaSUpR 记为 =++ ++,
其中
),(max()( xfxUn = )])()([1 1 1*1* bxUqaxUpR nn ++ ++,(13,58)
由此我们归纳 出 下面的定理
定理 １３,１８ 只要后向地逐个从以下的终端已知的极值函数方程组,
)()( xfxU N =,
),(max()( xfxUn = )])()([1 1 1*1* bxUqaxUpR nn ++ ++,)( Nn < (13.59)
解出 }:)({ NnxUn ≤,便得到美式未定权益的定价 )( nnn SUU =,
定义 １３,１９ （ 美式未定权益的定价函数组 ） 由定理 １３,１８ 所确定的
}:)({ NnxUn ≤,称 为 美式未定权益 )()}({ NnSf n ≤ 的定价函数组,
于是对于二叉模型,美式未定权益的定价可以由极值函数方程组的数值求解得到,即为了达到最佳执行,只须用下述算法,
(1) 对于 )(xf,计算出定价函数组 }:)({ NnxUn ≤ ;
(2) 对于证券 的 实时市场价 L,,10 SS,实时地计算 L),(),( 21 SfSf 与
L),(),( 2211 SUSU,并实时地依次比较对应的值 ;
(3) 在计算 (2) 的过程中,一旦发现它们在某个时刻相等,则此时刻就是最佳执行时刻,即,若样本列 L),(),( 21 SfSf 与定价列 L),(),( 2211 SUSU 第一次相等出现于 m,则未定权益的持有人就在此时刻 m 执 行,
美式未定权益的套期与消费过程
由于 折 现价格序列 nU~ 是上鞅列,于是按如下定义的随机变量列 nC~ 为非负的,
0),,|( 11~*~~ ≥?= + SSUEUC nnnn L,(13,60)
又因为美式未定权益在任意时刻都可以执行,我们只能仿照欧式未定权益的套期公式来套期,也就是说,在时刻 n 的套期标的证券的数目取为
n
nnnn
n Sab
aSUbSU
)(
)()( 11
=? ++,(13,61)
392
此处 与欧式未定权益的情形唯一的不同 之 处 是,用了美式未定权益的定价 }{ nU 代替了欧式未定权益的定价 }{ nV,令 nnn CRC ~)1( +=,于是
),,|(1 1 11* SSUERUC nnnn L++?=,(13,62)
由于
)()(),,|( 1*1*11* nnnnnn bSUqaSUpSSUE +++ +=L,
我们有
)()()]()([)( 1*1*11*1 nnnnnnnnnn bSUqaSUpbSUaSUqaSU +++++ ++?=
),,|(])1[( 11* SSUESaR nnnn L+++?=
))(1()1( nnnnnn UCRaSSR?++?+?=,
完全类似地 还 可以证明
)(1 nn bSU + ))(1()1( nnnnnn UCRbSSR?++?+?=,
把 nn aSS =+1 与 nn bSS =+1 两种可能的情形合起来,就得到
))(1(11 nnnnnnn SCURSU++?= ++,
把它 改写为更有金融含义的 如下 等式
nnnnnnn CRSURSU )1())(1()( 11 ++= ++,(13,63)
这公式具有比较清楚 的 金融含义,它说明在美式未定权益情形,即使用合适的套期 n?,也不能使余下的资产 nnn SU 为无风险资产,只有 在时刻 n 的套期余额中消耗了 nC 以 后的资产,到下一个时刻 1+n 的价值才是时刻 1+n 的套期后的余额,这个随机序列 }{ nC 称为美式未定权益的消费过程,一般地,不管是什么模型,美式未定权益的套期总需要有一个消费过程去补充,在理论上知道美式未定权益的定价需要补充一个消费过程,是对美式未定权益定价模型认识的一个实质性的进展,
4,随机利率与债券利率的期限结构
4,1?s 零息债券
定义 １３,２０ 不付红利且在时刻 s 到期的债券称为?s 零息 (Zero - Coupon) 债券,
s 零息债券进入市场后,在市场操作下,相当于按某个随机利率增值,记时刻 )( st <
的 1 元钱按市场发展在债券到期时刻 s 的价值 (,本利和,) 为 ),( stR,把时刻 s 的 1 元钱
393
在时刻 )( st < 的定价记为 ),( stP,显见
1),(,),(1),( == ssPstRstP,(13,64 )
一般 地,),( stP 是随机过程,注意,由于?s 零息债券与?t 零息债券在市场的表现是不一样的,所以即使在无套利的假定下,一般地
)(),,(),0(),0( ststPtPsP <≠,(13,65 )
事实上,这是因为 (13,65 ) 的 左边是由初始时刻的市场信息所确定,而右边是由直至时刻 t
为止的信息所确定的,因此一般不会相等,
但是 如果 定价 )}0),,({ ststP ≤≤ 不是随机过程而是确定性函数时,对于债券而言,在时刻 t 与在初始时刻有相同的信息,此时在无套利假定下就有
)(),,(),0(),0( ststPtPsP <=,
4,2 零息债券导出的各种的随机利率概念
定义 １３,２１ （ 平均远期利率 ( 到期收益率 ) ） 记
)(,),(log),( stts stPstf <=,(13,66 )
即
)(,),( ))(,( stestP tsstf <=,(13,66 ) ’
),( stf 称为?s 零息债券的 平均远期利率,此处 的,远,的含义 是指 参考时间 0>t,即不是初始时刻的利率,它是在将来的时刻 )( st <,展望?s 债券的 平均 利率,由
)(,),(1 ))(,( stestP tsstf <=? 说明平均远期利率 就是在时刻 t 把?s 债券换为比它早到期的
t 债券所需付的利率,
在 时刻 )( st < 固定时,平均远期利率作为 ts? 的函数的图形变化,称为 利率的期限结构,
更一般地,有 下面的定义,
定义 １ ３,２２ 对于涉及不同的到期时刻的两种零息债券,定义
12
12
21
),(log),(log),,(
ss
stPstPsstf
=,)0(
21 sst <<<,(13,67 )
即
))(,,(
21
1221),(),( sssstfestPstP?=,
这说明 ),,( 21 sstf 就是在时刻 t 把?2s 债券换为比它早到期的?1s 债券所需付的利率,
394
按定义有
),,(),( sttfstf =,(13,68 )
定义 13.23 ( 平均即期利率,Spot Rate) ),0( sf 称为 平均即期利率,
（ 于是我们有 ),0()0,0(),0( sfsePsP?=,此即 (13.66) ’ 的特殊情形 ）,
定义 13.24 （ 远期利率,Instantaneous Forward Rate) 若 ),( stP 对 s 可微分,则
)),,(lim(),(log),( 0 ssstfs stPstf s?+== → (13,6 9 )
称为 远期利率,于是有
∫=?
s
t
duutf
estP
),(
),(,（ 13,70 ）
duutftsstf
s
t
),(1),( ∫?=,(13,7 1 )
（ ( 13,71) 式也可证明如下 ),(),(log)],()[( stfds stPdstftsdsd =?=? ）,由 (13.70)
式与 (13.71) 式 可以看出,给出定价随机过程 )}0),,({ ststP ≤≤ 与给出远期 利率随机过程
)}0),,({ ststf ≤≤ 是等效的,
定义 13.25 （ 短期利率 Short Rate ) ),()( ttftr?= 称为 短期利率,
它 就是 普通 习惯上所称的利率,不过它是随机的,我们有
),(),()( ttfttftr ==,(13,7 2 )
( 证明 ),( ttf 与 ),( ttf 按定义都是 ts tsttPts+?↓ ))(,(loglim ),
例 １３,２６ （ 非随机情形 ） 此时 )}0),,({ ststP ≤≤ 是确定性函数,因而所涉及的各种利率也都是确定性的函数,在不十分剧烈炒作的场合下,可以用 此 看法 对 实际市场作 近似,此时各种利率可以有如下的一些换算公式,对于 st ≤≤0 有
(1) )(),,(),0(),0( ststPtPsP <=,
(2) ),(),0( stfsf =,即 ),( stf 不依赖 t,从而 )(),(),( srssfstf ==,
(3) duurtsstf
s
t
)(1),( ∫?=,从而有
∫=?
s
t
duur
estP
)(
),(,
395
(4) ts tftsfsstf= ),0(),0(),(,(13.73)
一般从交易所 的 挂牌数据,可以得到的平均即期利率 ),0(),,0( sftf,再用 (13.73) 式算出平均远期利率 ),( stf,而在实际交易中,人们用的正是平均远期利率,由 (13.73) 式还可以得到
),0(),(),0(),0( sfstftfsf ≥?≥
(5) ),0(),0()( tfdtdttftr +=,
( 证明 将 (4) 改写 为 ts ttfsfsfstf+= )),0(),0((),0(),(,令 ts ↓,便得 (5) ),
4,3 资产定价基本定理与利率衍生证券
假定时刻 t 的短期利率 )(tr 可由市场在 t 以前的信息,例如 ):( * tuBt ≤,所完全确定,
其中 *tB 是 Brown 运动,此时我们有 下面的定理,
定理 １３,２７ （ 资产定价基本定理 ）
市场无套利性等价于具有风险中心概率 *P,使 得 在此概率下,折现值
duur
t t
e
stPP
)(
~
0
),(
∫
=? 为
)( *tB 鞅,其中 ),( stP 是 1 元的?s 零息债券在时刻 )( st < 的价格,于是
):|(),( *~*
)(
0 tuBPEestP
us
duur
t
≤∫=,
即?s 零息债券的无套利定价为
|(),(
)(
*
duur
s
teEstP
∫=? ):* tuB
u ≤,(13,74 )
反之,(13,７４ ) 也保证了
duur
t t
e
stPP
)(
~
0
),(
∫
=? 是 )( *tB 鞅,
由此看出,只要给定了短期利率 )(tr 的风险中性模型,就可以得到?s 零息债券的无套利定价,
定义 １３,２８ 一个金融合约的权益,如果依赖于未来的利率,或债券的价格,则此合约就称为 利率未定权益,或 利率衍生证券,
随机利率模型的研究,是要给出?s 债券的定价,远期利率及利率未定权益的定价,
4,4,利率的风险中性模型
396
一般地,只要给定 )(tr,由 (13,74 ) 定义的 ),( stP 就保证了
duur
t t
e
stPP
)(
~
0
),(
∫
=? 为 )( *tB 鞅,
从而 ),( stP 就是无套利定价,此时用以 确定 )(tr 的随机微分方程的模型,就 是 风险中性模型,所以短期利率的风险中性模型可以任意给定,不带什么约束条件 ( 事实上,从 (13,74 )
求出的远期利率为 ):|)((),( *
)(
* tuBesrEstf
u
duur
s
t ≤
∫=?
,得到的 ),( ttf 正好等于 )(tr ),
与此相反的是,如果直接给出价格 ),( stP 满足随机微分方程,或者等价地,直接给出远期利率 ),( stf 满足的随机微分方程,由此确定的 )(tr,就未必满足 (13,74 ),这 时,(13,74 )
就变为 约束条件,只有满足了这个约束条件的 ),( stP 才是无套利定价,所 对应的 ),( stP 或
),( stf 的随机微分方程模型才是风险中性模型,
远期利率的 Heath - Jarrow - Morton 模型及其风险中性情形
由资产定价基本定理 可以 知道,为了使模型成为风险中性,充要条件是
duur
t t
e
stPP
)(
~
0
),(
∫
=?
是 鞅,由此利用 (13,70) 及 Girsanov 定理,就能推出以下的定理,
定理 １２,２９ （ Heath - Jarrow - Morton 定 理 ） 对于 固定的 s,如果 远期利率
),( stf 是以下的 Ito 过程
tdBstdtstbstdf ),(),(),( s+=,(13,75)
其中 ),(),,( ststb s 在 s 固定下是 )( tB 可知的随机过程,那么,此模型是无套利 ( 即风险中性的 ) 的 充要条件为,存在 一个满足 条件
1
2
00
)(21)(
=∫∫
dttdBt
s
t
s
Ee
的 )( tB 可知的随机过程 )(tq,使
)](),()[,(),( tduutststb
s
t
qss += ∫,
在条件成立时,由 Girsanov 定理可知,duuBB
t
tt )(
0
* q∫+=? 也 是 Brown 运动,且
dtduutststdf
s
t
]),()[,(),( ss ∫= *),( tdBsts+,(13,76)
397
再对
∫=?
s
t
duutf
estP
),(
),( 用 Ito 公式 可 得
])),(()()[,(),( *t
s
t
dBduutdttrstPstdP s∫?=,(13,77)
可见在此情形下,?s 零息债券的价格 ),( stP 的收益率为 )(tr,波动率为 duut
s
t
),(s∫ ( 而
),(/),( stfsts 为远期利率的波动率 ),
直接给出 短期利率风险中性模型 的有
(1) Vasicek 模型
假定短期利率 )(tr 满足 如下的 Ornstein - Uhlenbeck 随机微分方程,
*))(()(
tdBdttrbatdr?+?= s,(13,78)
这个随机微分方程具有显式解,
*
0
)1()0()( sas
t
atatat dBeeebertr ∫+?+= s,(13,79)
容易证明它是 Gauss 过程,而作为 Gauss 过程的积分的 duur
t
)(
0
∫ 也是 Gauss 过程,于是
可 以仿照风险中性概率推导 Black - Scholes 公式的计算 过程 算出 (13,74) 中的条 件期望,经
过仔细 而并不复杂的 推导 计算,便 可 得到
)(),(),(),( trstCstAestP=,(13,80)
其中
a
stCbastCts
astA 4
),()
2))(,((
1),( 2222
2
ss +=,
a
estC tsa )(1),(=,
于是远期利率为
ts
stAtrstCstf
+= ),()(),(),(,
它是短期利率 的 线性函数,
(2) Hull - White 模型
Hull - White 模型是 Vasicek 模型 在 时变系数 情形的 推广,即模型参数 s,,ba 分别被推广为确定性的函数 )(),(),( ttbta s
*)())()()(()(
tdBtdttrtbtatdr?+?= s,(13,78) ’
与常数情形完全类似地可以算出定价过程仍是 )(tr 的如下函数
398
)(),(),(),( trstCstAestP=,(13,80) ’
只 需要对 ),(),,( stCstA 作一些相应的变更,
(13.80) ＇ 说明,此时?s 零息债券的 价格 )(),,( ststP ≤ 是 )(tr 的函数,由于 )(tr 是
Ito 过程,,用 Ito 公式 就 得 到
]),()()()[,(),( *tdBstCtdttrstPstdP s?=,(13,81)
这就是说,),( stP 的收益率是 )(tr,波动率是 ),()( stCts,(13,80) ’ 还可以用以从实证数据校正模型参数函数组 )(),(),( ttbta s,Hull - White 模型的缺点是,短期利率服从正态分布,因而可以取负值,这是不合理的,
Hull - White 模型下的债券看涨期权
对于时刻 )( sT < 到期的,以?s 零息债券为标的证券的,且执行价格为 K 的欧式看涨期权,其未定权益为 +? ]),([( KsTP,于是它 在时刻 t 的价格应该为
):|]),([( *
)(
* tuBKsTPeEV
u
duur
t
s
t ≤?
∫= +
,(13,81)
利用 ))(),((
0
duurtr
t
∫ 是 Gauss 过程,就可以计算出这种期权的贴水 0V 的明显公式,
（ 3 ） CIR (Cox - Ingersoll - Ross) 模型
Cox - Ingersoll - Ross 假定短期利率 )(tr 满足 下述 随机微分方程
*)())(()(
tdBtrdttrbatdr?+?= s,(13,82)
( 如果有 )2(≥d 个彼此独立的 Brown 运动 )()1(,,dtt BB L,又对于 任意 di ≤ 有
)()()(
2
i
t
i
t
i
t dBdtX
adX?+?= s,
那么对于 2)(2)1( )()()( dtt XXtr ++=
L,可以证明存在 Brown 运动 *tB 使
*
2
)())(4()( tdBtrdttradtdr?+= ss,
这正是 CIR 模型 ),这时 )(tr 是扩散过程,求解 不变密度 的 方程
0))(()2(
2
2
2
= jjs rbadrdrdrd
399
就得到 不变密度
)0(,)( 22
2 22
>=?
reCrr r
aab
ss
s
j,(13,83)
其中
Γ
=
2
2
2 2
12 2
s
s
s
ab
aC
ab
,
CIR 模型的债券 的定价
此时 }:{ * tuBu ≤ 与 }:)({ tuur ≤ 具有相同的信息,所以
):|(),( *
)(
* tuBeEstP
u
duur
s
t ≤
∫=? ):)(|( )(* tuureE duur
s
t ≤
∫=?
,
由 )(tr 的 Markov 性可知上式右边的量只依赖于 )(tr,即存在一个数值函数 ),,( srtF 使
)),(,(),( strtFstP =,(13,84)
假定 ),,( srtF 对 r 二阶 连续 可微,对 t 连 续 可微,那么 )),(,(
)(
0 strtFe
duur
t
∫
是一个 Ito 过程,
利用推广的 Ito 公式可算出
*
2
22)(
)(])())((2 )([))),(,(( 0 t
duur
dBrFtrdtFtrrFtrbarFtrtFstrtFed
t
+?
+
+
=∫ ss
另一方面,由定义 =∫ )),(,(
)(
0 strtFe
duur
t
):|( *
)(
* 0 tuBeE
u
duur
s
≤∫
是一个 )( *tB 鞅,两者比较可知 F 必须满足偏微分方程,
0)(2 2
22
=++ rFrFrbarFrtF s,(13,85)
及终端条件
1),,( =srsF,(13,86)
我们 通过待定 ),(),,( stCstA,探 求方程的以下形式的解 的可能性
rstCstAesrtF ),(),(),,(=,(13,87)
将 (13.87) 代入 (13.85),就 得到 ),(),,( stCstA 关于 t 的二阶常微分方程,求 解 得到
))((2))((
))((),(
tsshatsch
tsshstC
+
=
ggg
g,
400
))((2))((
log2),(
)(2
2
tsshatsch
eabstA ts
a
+
=?
ggg
g
s,
其中
22 2
2
1 sg += a,
而 )(),( xshxch 分别是双曲余弦与双曲正弦,
2)(
xx ee
xch
+
=,2)(
xx ee
xsh
=,
CIR 模型的债券看涨期权 的定价
对于时刻 )( sT < 到期的,以?s 零息债券为标的证券的,且执行价格为 K 的欧式看涨期权,其未定权益为 +? ]),([( KsTP,于是它在时刻 t 的价格应该为
):|]),([( *
)(
* tuBKsTPeEV
u
duur
t
s
t ≤?
∫= +
):|])),(,([( *
)(
* tuBKsTrTFeE
u
duur
s
t ≤?
∫= +?
,(13,88)
与债券的定价类似地,可 假定 存在数值函数 ),,,( sTrtG 使 债券看涨期权 的价格
)(),,),(,( sTtsTtrtGVt <≤=,再利用
=∫ ),),(,(
)(
0 sTtrtGe
duur
t
):|)),((( *
)(
* 0 tuBKsTPeE
u
duur
s
≤?∫ +
是一个 )( *tB 鞅,就得到
),,,( sTrtG 满足的偏微分方程
)(,0)(2 2
22
TtrGrGrbarGrtG ≤=++ s,(13,89)
及终端条件
+?= )),,((),,,( KsrTFsTrTG,(13,90)
* 5,基于证券的随机利率的债券为币值单位折现 的证券的未定权益的定价
设证券 价格 tS 与债券价格 tb 分别 满足随机微分方程
tttt dBStdtStdS ),(),( sm +=,
401
dtbStrdb ttt ),(=,
其中 tB 为 Brown 运动,而债券 tb 的市价是以依赖 于 证券值 tS 的短期的连续随机利率 ),( tStrr = 而增值的,与 Black - Scholes 模型类似地,将 ),(
),(),(),(
t
tt
t St
StrStStv
s
m?=
称为证券 tS 的 风险的市场价格,
与 Black - Scholes 模型不同处是,这里不是用按非随机的利率增值的银行存款作为证券币制单位,而是按用与证券密切相关的随机利率增值的债券 tb 作为该证券的币值单位,
于是,与 Black - Scholes 模型类似地,如下确定的新的概率
)()(
2
00
),)21),(
*
A
dsStvdBStv
IeEAP
t
T
st
T
∫∫=
称为风险中性概率,在此概率下证券按债券的折现价格
t
tt
b
SS?=~
是 )( tS 鞅,
对此模型的 未定权益 )( TSf 在时刻 t 的定价为
],,|)([),( 1* SSbbSfEStF t
T
t
Tt L=,
同样,与 Black - Scholes 模型类似 地,价格函数 ),( xTF 应满足 如下的 带终端条件的偏微分方程,
0),(),(2 ),( 2
2
=?++ FxtrxFxtrFxxtF xxxt s,
)(),( xfxTF =,
在 群体保险 中的应用
设 年龄 x 参加保险的 一个 群体共有 n 人,假定各人的 余寿 是 独立同分布的随机变量 )(,niT xi ≤,又设个体 在年龄 tx + 时的 死亡 率为 tx+m,即
∫=≥= +
t
sx dsx
i etTPtG
0)()(
m
,
令 tN 为此群体中在时刻 t 以前死亡的人数 ( 死亡计数过程 ),即
}{
1
tT
n
i
t xtIN ≤
=
∑=,
于是有
)]([ tG1nENt?=,
402
)]()([))](1())(1[()][(
1
ttGtGntGttGNNE
n
i
ttt?+?=+?=? ∑
=
+
))(()()( totENne1ne txt
dsds sx
tt
t
t
0
sx
+=∫?∫?= +
+
+
+
m
mm
,
注意到 各 人的生死是彼此独立的,故而 有
)]([)]([)(]:|)[( tottotNntsNNNE ttxtsttt?+?=?+=≤+?+ lm,
其中
t
1Nn
0ttxtt?=?= →?+ lim)( ml ]:|)[( tsNNNE sttt ≤+
是一个随 机过程,它代表此 群体在时刻 t 的死亡强度,也称为在 时刻 t 的集体 死亡 风险率,这时
dsNN s
t
tt l∫?=
0
~
是 )( tN 鞅,随机过程 dss
t
l∫
0
称为 计数过程 tN 的补偿过程,
这种模型的典型是养老保险合约 (Pure Endowment),按照这种合约,如果投保人在保险到期时刻 T
还未死亡,则可以从保险公司领到金额 )( TSf,于是公司对此项保险的群体应付金额 在起始时刻 的折现值为
1
}{
1
~
)(?>
=
∑= TTTT
n
i
bSfIH
i
1)()(= TTT bSfNn,
于是,这个折现了的未定权益在时刻 t 的折现定价 为
):,|( ~*~ tuNSHEV uut ≤=,
其中 *P 为风险中 性 概率,要计算这个条件期望,或者要得到它所满足的决定性的方程,需要用更多的随机分析知识,包括一般的所谓半鞅的积分及 更为 一般的 Ito 公式,
习题 13
１,证明直接求解随机微分方程 ttt dBSSd ~~ s= 可以归结为对于 tS~log 用 Ito 公式,
２,对于风险中性随机利率按方程 dtbradBdr ttt )(?+= s 发展的金融债券,在时刻 T 的单位币值
在时刻 )( Tt ≤ 的折现为 ):|(),( tsreETtV s
dsrs
T
t ≤
∫=
,证明
dsrs
t
eTtVTtV ∫=
0),(),(
~
是 )( tr
鞅,再 证明存在函数 );,( TxtF,使 );,(),( TrtFTtV t=,
403
３,若上题中的 ),( xtF 分别对 xt,为一阶与二阶连续可微,证明它满足
0)(2
2
=++ xFFxbaFF xxxt s,
1):,( =TxTF,
再 令
),(),();,( TtxBTtAeTxtF?=,
并 待定地确定
))(4)(){2(),(,1),( 2
2
2
2)(
tBatBTtabTtAaeTtB
tTa ss
+=?=
,
４,对于在时刻 )( TLL ≤ 到期的,执行价格为 K 的欧式利率看涨期权 +? ));,(( KTrLF L,在时刻
)( Lt ≤ 的折现为 ):|));,((()( tsrKTrLFeEtC sL
dsrs
L
t ≤?
∫= +
,证明
dsrs
t
etCtC ∫=
0)()(
~
是 )( tr 鞅,证明存在函 数 ),;,( TLxtH,使 ),;,()( TLrtHtC t=,假定 ),;,( TLxtH 分别
对 xt,为一阶与二阶连续可微,则它满足
0)(2
2
=++ xHHxbaHH xxxt s,
+?= ));,((),;,( KTxLFTLxLH,
５,记 )|(),( 00 xreExtL
durr u
t
t
=∫=
l
,假定它分别对 xt,为一阶与二阶连续可微,利用鞅
):|( 0 tureEM u
durr
t
u
L
L
≤∫=
l
得到
xLLxbaLL xxxt+= )(2
2s
,xexL l=),0(
(可以得到这个方程的解
)2();,()2();,(),;,( 00 ss?Φ?+Φ= hLxtKFhTxtFTLxtH,
其中
a
eTLB tLa
2
1),( )(2
0
= ss,);,( );,(log1
0 LxtKF
TxtFh
s= ）,
404
６,对于随机利率按方程 dtbradBdr ttt )(?+= s 发展的金融债券,在时刻 T 的单位币值在时刻
)( Tt ≤ 的折现为 ):|(),( tsreETtV s
dsrs
T
t ≤
∫=
,证明
dsrs
t
eTtVTtV ∫=
0),(),(
~
是 )( tr 鞅,
７,对于随机微分方程 dtbradBrdr tttt )(?+= s,令 )(),( 0
durr
x
u
t
t
eExtG ∫=
ml
,假定它分
别对 xt,为一阶与二阶连续可微,利用 ):|( 0 tureEM u
durr
t
u
T
T
≤∫=
ml
是鞅,证明
0)(2
2
=+= xGGxbaxGG xxxt ms,xexG l?=),0(,
