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龚光鲁,钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用
清华大学出版社,2003
第 17 章 Poisson 随机分析简介 与典型的点过程
1,非时齐的 Poisson 过程与 非时齐 的 复合 Poisson 过程 与 特征泛函
１,１ 数值函数 对 Poisson 过程的积分
定义 17,1 设 tN 是一个强度为 l 的 Poisson 过程,对应 的 更新流为 }{ nt,
ltt ExpT nnn ~1=,定义 ),0[ ∞ 上的函数 )(tf 关于 tN 的积分为
=
≥= ∑∫
=
)0(0
))1()()(
1
0 t
tn
N
ns
t
N
NfdNsf
t
t,(17,1)
在 t 给定时,它是一个随机变量,其含义为 )(sf 在到时刻 t 为止的指数流上的函数值之 和,
如果把 )(sf 看成在时刻 s 发生事故的代价,那么这个积分就表示到时刻 t 为止,由指数流描述的事故流所付出的总代价,由定义显见有 ts
t
NdN =∫１
0
,
１,２ Poisson 过程的 特征泛函
定义 17.2 对于 Poisson 过程 tN 及定义 在 ],0[ T 上的函数 )(tf,我们把 s
T
dNsf )(
0
∫ 的特征函数在 1 处的值 记为 )f(NΦ,即
s
T
dNsfi
N Eef(
)(
0)
∫=Φ
,
于是对于 给定一个函数 f,就有一个 数 )f(NΦ 与之对应,这种 从函数 f 到 )( fF 的 映射称为 泛函,又因为此泛函是通过 Poisson 过程的积分生成 的,所以称为 Poisson 过程的 特征泛函,
例 17,3 当 )()( ],0[ sIsf t?≡ J 时,Poisson 过程的 特征泛函就 简 化为 Poisson 过程在时刻 t 的特征函数 tNiEe?q,而当 )()()( ](02],0[1
21
tItItf tt?+?≡ JJ 时,特征泛函就简化为
Poisson 过程在时刻 1t 与时刻 2t 的联合特征函数 )( 2211 tt NNiEe Jq +?,
设 Ttt ≤< 21,那么利用 Poisson 过程的独立增量性与时齐性,对于
450
)()()( ],(2],0[1
211
tItItf ttt?+?= JJ,我们 得到
=Φ f)( =?+? )( ],(2],0[1
211 ttt
II JJF )(( 12211 ttt NNNiEe?+? qq 22211 ttt NiNi EeEe= qq
)1( 11?= Jl iete )1)(( 212 Jl iette `
dte tttIttI1[i
T
e
)1( )](]2,1(2)(]1,0[
0
+∫
=
qql dte tif
T
e
)1( )(
0
∫
=
l
,
再复杂一些,对于 Tttt0 n0 ≤<<<= L1,及 )()( ],(
1
0
1
tIctf
kk ttk
n
k
+∑
=
=,我们 类似地 可以得到
t
T
dNtfi
Ee
)(
0
∫ dte
N
tif
T
ef
)1( )(
0)(
∫
=Φ=
l
,
这个公式对于任意连续函数,甚至更为一般的函数,可以利用函数逼近的方法证明它 仍然正确,于是我们得到 如下的定理,
定理 17,4 Poisson 过程的特征泛函的表达 公 式为
t
T
dNtfi
Ee
)(
0
∫ dte
N
tif
T
ef
)1( )(
0)(
∫
=Φ=
l
,(17,2)
此定理是 Poisson 随机变量的特征函数的自然推广,
１,３ 非时齐 Poisson 过程的统计性质
我们回忆非时齐的 Poisson 过程 tN,它是非时齐的独立增量过程,它与时齐的 Poisson
过程的不同 之 处仅仅在于其强度不再是一个常数 l,而是一个依赖 于 时间的函数 )(tl,称为 非时齐的 P oisson 过程的强度函数,即对于 ts <,随机增量 st NN? 服从参数为
duu
t
s
)(l∫ 的 Poisson 分布,据此可以通过 Poisson 分布,对非时齐的 Poisson 过程作随机模拟,
设 tN 是一个强度为 )(tl 的非时齐的 Poisson 过程,它是一种 记录,事故,的 计数 过程,
将这 个过程的各个计数 (事故 )发生的随机时刻 记为 LL <<<<= n100 ttt,它们间仍由等式
}{}{ tnN nt ≤=≥ t
相联系,与时齐的 Poisson 过程相比,}{ nt 不 再 是更新流 (稍后将证明它是 Markov 链 ),
定理 17,５ 前 n 个发生时刻 ),,( 1 ntt L 的联合分布密度 ),,( 1,,
1 n
ssg
n
LL tt 的表达式为
451
}0{
)(
11,,1
0
1 )()(),,( n
ns
n ss
duu
nn Iessssg <<≤
∫
= LL LL
l
tt ll,（ １７,３ ）
证明 仿照时齐的 Poisson 过程的情形便得,
推论 1 7,６ 发生时刻列 }{ nt 是状态连续的非时齐的 Markov 链,
证明 在已知 ),,(),,( 11 nn ss LL =tt 的条件下,随机变量 1+nt 的条件分布密度 为
),,|( 11,,|
11 nn
sssg
nn
LL +
+ ttt
= 1
1
)(
1)( +
+
<+
∫
nn
ns
nS
ss
duu
n Ies
l
l,
它只与 nt 的取值 ns 有关,
推论 17,７ 在已知 ),,(),,( 11 nn ss LL =tt 的条件下,第 1+n 个随机间隔
nnnT tt?= ++ 11 的条件分布密度为
),,|( 1,,|
11 nT
sstg
nn
LL tt
+ 1
)(
1)( +
<+
∫
=
nn
tns
nS
ss
duu
n Ies
l
l,（ １７,４ ）
定理 17,８ 时刻 t 时的计数 tN 与发生时刻的联合分布 (注意这是混 合型的随机向量 )
),,,( 11 nnt ssnNP ≤≤= tt L 关于 ),,( 1 nss L 的密度 （ 称 为 Poisson 过程的 样本分布 ） 为
),,,( 1,,,
1 nN ssnp tNt LLtt
duu
nnssn
t
n eIIss
)(
}0{}0,0{1
0
1 ])()([
l
ll ∫+=
=><<≤ LL,（ １７,５ ）
证明 利用 条件概率
),,|( 11 nnt ssnNP === tt L
duu
st
t
ns
n
eNNP
)(
)0(
l∫
==?=
及定理 17,５ 即得,】
非时齐的 Poisson 过程的时齐 随机 分流定理仍然成立,即如果 将 强度函数为 )(tl 的非时齐的 Poisson 过程 tN 的发生 的各个事故 以概率 p 和 p?1 与 tN 独立地分别归入第 1 类和第
2 类,那么,第 1 类发生时刻列是一个强度函数为 )(tpl 的非时齐 Poisson 过程 )1(tN 的 事件 发生时刻列,
同样,非时齐的 Poisson 过程的非时齐分流定理也是成立的,
定理 17,９ 设 nhh,,1 L 是独立同分布的随机变量,其分布密度为
452
)(
)(
)
),0[
0
tI
duu
t(
t ∞
∫ l
l,（ １７,６ ）
那么,在 nNt = 的条件下,发生时刻 ),,( 1 ntt L 的条件分布与 ),,**1 n( hh L 同分布,其中
**
1,,nhh L 是 nhh,,1 L 按由小到大排列后的次序随机变量列,
**
1 nhh << L,
证明 仿照时齐的 Poisson 过程的相应定理的证明,】
定理 １７,９ 可以用以对给定强度的非时齐的 Poisson 过程作计算机模拟,
例 １７,１０ 放射元发射的光子数目可以用强度为
)0,(),,( >?= baabal b tet
的非时齐的 Poisson 过程来建模,它模拟了 放射强度的衰变情况,而在核医疗中使用的光脉冲序列通常用强度为
)0,,),,,,,,,(
1
11 >+=
=
∑ gbaagbbaagl b kk
t
i
n
k
nn (et
iLL
的非时齐的 Poisson 过程来模拟并建模,而调幅,调相与调频为 mf 的脉冲光源则 可以 分别用强度为
2|)(|),,,( tSt abgbagl +=,
2|)(|),,,( bagbagl?+= tSt
与
)1|(|]))(2cos[1(),,,,( <+++= mtfmmt m bpagbagl
的非时齐的 Poisson 过程模拟,
１,４ 数值函数对 非时齐 Poisson 过程的积分及 非时齐的 Poisson 过程的 特 征泛函
我们仍可以 定义 ),0[ ∞ 上的 数值 函数 )(tf 关于 非时齐 Poisson 过程 tN 的积分为
=
≥= ∑∫
=
)0(0
))1()()(
1
0 t
tn
N
ns
t
N
NfdNsf
t
t,（ １７,７ ）
同样,在 t 给定时它是一个随机变量,如果 把 )(sf 看成在时刻 s 发生事故 所付出 的代价,那么这个 随机 积分 仍 表 达 到时刻 t 为止,由 此非时齐的 Poisson 过程 所 描述 的 事故流所付出的总代价,
定义 17,１１ 非时齐的 Poisson 过程 的特征泛函仍定义为
)(fNΦ
t
T
dNtfi
Ee
)(
0
∫=
,
453
特征泛函是有限 个时刻的联合 特征函数在 一个区间上的所有时刻 情形 的自然推广,由于在 ts < 时 有
)1()(
)(
∫=
ql
q
i
t
sst
eduu
NNi eEe,
于是 对于 (t)ItItf ttt ],(2],0[1
211
)()(?+?= JJ 就有
=?+?Φ=Φ )II(f ttt ],(2],0[1
211
)( JJ )(( 12211 ttt NNNiEe?+? qq )( 12211 ttt NNiNi EeEe= qq
)1()( 1
1
0
∫
=
Jl i
t
eduu
e
)1()( 2
2
1
∫ Jl i
t
t
eduu
e `
dtet )tttIttI1(i
T
e
)1)(( )(]2,1(2)(]1,0[
0
+∫
=
qql dtet tif
T
e
)1)(( )(
0
∫
=
l
,
我们 可以归纳为 如下的定理
定理 １７,１２ 对于连续函数 )(tf (或 更为一般的 有界 Borel 函数 f ),非时齐的
Poisson 过程的特征泛函在 f 处的值为
t
T
dNtfi
Ee
)(
0
∫ dtet
N
tif
T
ef
)1)(( )(
0)(
∫
=Φ=
l
,（ １７,８ ）
在一些统计问题中常常用到在强度函数 )(tl 中带有未知参数的非时齐的 Poisson 过
程 (参见例 17.10),这时需要用实测数据来估计这些未知参数,例如用最大似然估计,于是需 将 观测到的样本置入定理 17,８ 的分布中去,为 此,我们要对定理 １７,８ 作如下的变形
定理 17,８ ’ 对于非时齐的 Poisson 过程,我们有 ( 由过程的一个样本给出的似然函数 ),在 0=tN 时
duu
ntN
t
tNt
eNp
)(
1,,,
0
1
),,,(
l
tt tt
∫=?L
L,
而 在 0>tN 时
u
tt
k
tN
k
t
tNt
dNuduuduu
ntN eeNp
)(ln)()(ln)(
1,,,
0010
1
),,,(
lltll
tt tt
∫∫=∑∫= +?+?
=L
L,（ １７,９ ）
［ 注 ］ 在用例 １７,１０ 的参数模型建模时,需要用过程的一段 观测 轨道估计未知参数,而 使 （ １７,９ ） 取得最大值的参数作为估计,就是 最大似然估计,
推论 １７,１３
))((
0
s
t
dNsfE ∫ = dsssf
t
)()(
0
l∫,（ １７,１０ ）
=∫ ))((
0
s
t
dNsfVar dsssf
t
)()( 2
0
l∫,（ １７,１１ ）
证明 由定理 １７,９,利用对称性,我们得到
454
)())(())((]|)([
11
*
11
k
n
k
k
n
k
k
n
k
tk
n
k
EffEfEnNfE hhht ∑∑∑∑
====
====
du
dss
uufn
t
t
)(
)()(
0
0 l
l
∫
∫=,（ １７,１２ ）
于是
))((
0
s
t
dNsfE ∫ )(]|)([
10
nNPnNfE ttk
n
kn
=== ∑∑
=
∞
=
t
du
dss
uufEN
t
t
t
)(
)()(
0
0 l
l
∫
∫= = duuuf
t
)()(
0
l∫,
此即 （ １７,１０ ）,（ １７,１１ ） 的证明 是 类似 的,
注 也可以 用 特征泛函 )( fN?Φ J 对 J 求一阶微商和二阶微商得到,
命题 １７,１４ （ 非时齐的 Poisson 过程的 补偿 函数 ） 设 tN 是以 )(tl 为强度函数的非时齐 的 Poisson 过程,那么 dssNN
t
tt )(
0
~
l∫?=
是鞅,dss
t
t )(
0
l∫
=Λ 称为 非时齐的
Poisson 过程的补偿 函数,
定义 １７,１ ５ （ 对非时齐的 Poisson 过程的随机积分 ） 对于有界的 )tN（ 可知的随机过程 tΨ,用与 Ito 积分类似地用积分和的极限,可以定义 tΨ 关于鞅 tN~ 的 随机 积分,
以及关于 tN 的 随机 积分,
=
≥Ψ=Ψ ∑∫
=
)0(0
))1(
1
0 t
t
N
nss
t
N
NdN
n
t
t,
关于鞅 tN~ 的随机积分 是 Ito 积分的非时齐的 Poisson 版本,而且有
dssNddN s
t
ss
t
ss
t
)(
0
~
00
lΨ+Ψ=Ψ ∫∫∫
关于 时齐的 Poisson 过程的随机积分有许多与 Ito 积分相仿的性质,
命题 １７,１ ６ 鞅 tN~ 的特征 泛函为
455
dsssifeNdsfi
N
sif
T
s
T
eEef
)()](1[)( )(
0
~
0
~ )(
l ∫
=∫=Φ,（ １７,１３ ）
推论 １７,１ ７
（ １ ） duuNNCovNNE
ts
tsts )(),()(
0
~~
l∫
∧
==,
（ ２ ） duuNNNE
ttt
ttt )()(
321
321
0
~~~
l∫
∧∧
=,
（ ３ ） += ∫
∧∧∧
duuNNNNE
tttt
tttt )()(
4321
4321
0
~~~~
l ),(
21 tt
NNCov +),(
43 tt
NNCov
),(
31 tt
NNCov+ +),(
42 tt
NNCov ),(
41 tt
NNCov ),(
32 tt
NNCov,
证明 取 )()( ],0[
4
1
tItf
kti
k
J∑
=
=,将 )(~ f
N
Φ 记为 ),,( 41 JJj L,求
),0,0,0,0(
41
4
JJ
j
L,就得到 （ ３ ）,其它类似,
［ 注 ］ 对于 一般 未必可微的递增函数 tΛ,还可以推广定义以 tΛ 为补偿函数的非时齐的 Poisson
过程 tN,非时齐的独立增量过程,且 对于任意 ts <,有
st
PoissonNN st Λ?Λ? ~,此时仍有与 （ １ ７,８ ），（ １ ７,１０ ），（ １ ７,１ １ ） 与 （ １ ７,１ ２ ） 相应的结论,
１,５ 非时齐的 复合 Poisson 过程 及其 特征泛函
定义 １７,１ ８ 设 tN 为 非时齐的 Poisson 过程,}{ nX 为与之独立的独立同分布随机变量序列,k
N
k
t XY
t∑
=
=
1
称为 非时齐的 复合 Poisson 过程,}{ nX 称为 赋值随机变量序列 （ 或标值序列 ）,
可以证明 非时齐的复合 Poisson 过程 是非时齐的独立增量过程,
命题 １７,１ ９ 非时齐的 复合 Poisson 过程 tY 在区间 ],0[ T 上的特征泛函 定义 为
t
T
dYtfi
Y Eef
)(
0)(
∫=Φ?
,（ １７,１ ４ ）
于是有
=Φ )( fY
duuuf
T
e
)(])1)(([
0
lj?∫
,（ １７,１ ５ ）
456
其中 )(Jj 是 1X 的特征函数,1)( XiEe JJj =,
证明 与 （ １７,１２ ） 类似地有
)|[
)(
1 nNeE
T
Xfi kk
TN
k =
∑
=
t kk
n
k
Xfi
Ee
)(
1
h∑
= = )](([
1
k
n
k
fE hj∏
=
=
n
T
n
T duuuf
duu
])())(([
))((
1
0
0
lj
l
∫
∫
=,
于是 由全期望公式得到
kk
TN
k
k XfiI
Y Eef
)(
1
}1{)( t∑=Φ
==
≥
)()|()0(
)(
1
1 nNPnNeENP
TT
Xfi
n
T
kk
n
k ==
∑+==
=∑
∞
=
t
∑∞
=
+∫=
1
)(
1[0
n
duu
T
e
l
n
T
n
T duuuf
duu
])())(([
))((
1
0
0
lj
l
∫
∫
]!
))((
0
n
duu n
T
l∫
duuufduu
TT
ee
)())(()(
00
ljl ∫∫
=
duuuf
T
e
)(])1)(([
0
lj?∫
=,】
因为具有相同的特征 泛 函的两个随机过程的统计性质是一样的,所以命题 １７,１ ９ 常用于由特征泛函的形式来确定一个随机过程是否是非时齐的复合 Poisson 过程,
例 １７,２０ （ 非时齐的广义 Poisson 过程 ）
如果赋值随机变量具有离散分布
LL
LL
k
n pp
kX
1
~ １,则非时齐的复 合 Poisson
过程 称为 非时齐的广义 Poisson 过程,此时的特征泛函为
=Φ )( fY
duuep kuifk
k
T
e
)(])1[ )(
10
l?∑∫
∞
=
,（ １７,１ ６ ）
２,与非时齐的复合 Poisson 过程相系的 Poisson 点过程
２,１ 将非时齐复合 Poisson 过程表为 非时齐 Poisson 过程的积分 （ 用 时间积分表示 ）
利用对于非时齐的 Poisson 过程的 随机积分的定义,立 得 下述命题,
命题 １７,２１ （ 非时齐的复合 Poisson 过程 的非时齐 Poisson 积分表示 ）
设 tN 为非时齐的 Poisson 过程,}{ nX 为与之独立的独立同分布随机变量序列,而
457
k
N
k
t XY
t∑
=
=
1
是非时齐的复合 Poisson 过程,则 它 有 以下的积分表示式
ss
t
t dNXY
~
0
∫=,（ １７,１ ７ ）
其中
==
)
)(~
（ 其它０
nn
s
sXX t,于是非时齐的复合 Poisson 过程的特征泛函也可以写为
tt
T
dNXi
Ee
~
0
∫ = duuuf
T
e
)(])1)(([
0
lj?∫
,（ １７,１５ ）＇
２,２ 将非时齐复合 Poisson 过程表为 Poisson 点过程的积分 （ 用 空间积分表示 ）
我们先讨论简单的情形,对于离散赋值的非时齐的复合 Poisson 过程 k
N
k
t XY
t∑
=
=
1
,
设
LL
LL
k
k
n pp
vvX
1
1~,将过程 在时刻 t 以前取值 v 的累计次数 记为
=})({vNt 集合 }:{ tsvYs ≤= 中的元素个数,(17,18 ）
对于 固定的 值 v,})({vNt 可以看成对于非时齐的 Poisson 过程 tN 的分流,由 随机 分流定理可知,})({ kt vN 是强度函数为 )(tpk l 的非时齐 Poisson 过程,
由非时齐的复合 Poisson 过程的定义,直 观地可以看出,对于 LL,,,1 kvvv =,
})}({{ vNt 是一系列相互独立的非时齐的 Poisson 过程,而且有
})({ ktk
k
t vNvY ∑=,（ １７,１９ ）
又因为 Poisson 过程序列 })}({{ vNt （ LL,,,1 kvvv = ） 与空间的取值点列 },,,{ 1 LL kvv
相系,所以称 })}({{ vNt 为 Poisson 点 过程,Poisson 点过程的概念要比 Poisson 过程更复杂,它 包含 时空两个参数 ),( vt,而且对于不同的 v,作为时间 t 的随机过程是相互独立的,
表达式 （ １７,１９ ） 的直观含义是,如果把非时齐的复合 Poisson 过程 tY 看成在时刻 t 的总 的随机 积累,那么它 是 时刻 t 前取大小 不同的 固定值的 随机积累的 总 和,
这个思想可以拓广到一般的非时齐的复合 Poisson 过程 tY,即随机变量 kX 不必局限于取离散值,而是 可以取任意值 ( 甚至可取负值 ) 的情形,这时 tY 也 可以取任何的值,它 在时刻 t 前取值 于 区间 ],( ba 的次数,是一个随机过程,记 之 为 ]),(( baNt （ 因为 tY 当且仅当在
458
此非时齐的 Poisson 过程 tN 的事件列 nt 上跳跃,所以这个次数是一个有限的 （ 但是随机 的 ）
数 ）,它们满足
（ P,１ ） 由 随机 分流定理,]),(( baNt 是强度为 )(]),(( tbaXP l∈ 的非时齐的
Poisson 过程,
（ P,２ ） 由 随机 分流定理,若 区间 ),,1(],( miba ii L= 两两补交,则 随机过程
),,1()],(( mibaN iit L= 是相互独立的,
（ P,３ ） 对 于 cba << 有可加性,]),((]),((]),(( caNcbNbaN ttt =+,
再 记
]),(()( vNvN tt?∞=?,（ １７,２０ ）
注意 这里的记号 )(vNt 与前面定义的记号 })({vNt 的含义是不同的,
我们 将它叙述为如下的 略广 一 些 （ 不仅仅限于非时齐的复合 Poisson 过程 ） 的定 义,
定义 １７,２２ 依赖于实数值 v 的,正整值随机过程族 },0:)({ ∞<<?∞≥ vtvNt,
称 为 Poisson 点过程,如果对于 )()(]),(( aNbNbaN ttt?=? 满足 以上的 条件 （ P.2 ）,（ P.3 ）,
以及如下的 (P.1) ’,
（ P.1 ） ＇ 存在单调递增函数 )(vF,使 0)( =?∞F 且 ]),(( baNt 是强度为
)()]()([ taFbF l? 的非时齐的 Poisson 过程,
此时 )()( tvF l 称为 Poisson 点过程的补偿函数,
例 １７,２３ 由非时齐的 复合 Poisson 过程所定义的随机过程族
},0:)({ ∞<<?∞≥ vtvNt,是 Poisson 点过程,其中 )(vNt 表示此非时齐的 复合 Poisson
过程在时刻 t 前 取值于区间 ],( v?∞ 的次数,
易见 此 Poisson 点过程 的补偿函数是 )()( tvFX l,其中 XF 是 nX 的分布函数,即
)()()()(~ tvFvNvN Xtt l?= 是 )( tN 鞅,
一般地,若 Poisson 点过程的补偿函数 )()( tvF l 满足 ∞<=?∞?∞ CFF )()(,则存在以 )(tCl 为强度函数的非时齐的 P o isson 过程,及对应于 赋值随机变量 nX 的分布函数为
)(1)( vFCvF
def
X n = 的非时齐的复合 Poisson 过程,使此 Poisson 点过程 由此非时齐的复合
459
Poisson 过程生成,
特别地,对于非时齐的 Poisson 过程 tN,则有
}1(
1
}{ })({)(,})({ 1 +<≤
≥
<≤ ∑== + kvkt
k
ttt IkNvNIkN kk tt,
直观地,非时齐的复合 Poisson 过程 tY 看成在时刻 t 的总的随机积累,是 大小 不同的 随机积累的 总 和,即 对于如下的分点,nvnvvvv nmnnmnini nn =?=<<<< + )()(0)()( 1)(,,LL,
)(0)(max )()( 1 ∞→→?+ nvv ninii,)( 1)()( ' ninini vvv +≤<,有
∑ +≈
i
n
i
n
it
n
it vvNvY ]),(('
)(
1
)()( ∑?=
+
i
n
it
n
it
n
i vNvNv )]()(['
)()(
1
)(,
当 ∞→n 时,可以证明上式右方按概率收敛,将此概率收敛的极限随机变量记为
)(dvvNt∫,于是就得到 下面的命题,
命题 １７,２ ４ （ 用 Poisson 点过程表达非时 齐复合 Poisson 过程 tY 的分解式 ）
=tY )(dvvNt∫,（ １７,２１ ）
２,３ 将非时齐复合 Poisson 过程表为 时空 Poisson 过程的积分 （ 用 时 空 积分表示 ）
对于非时齐的复合 Poisson 过程 tY,还可以从另一种角度考虑,改记
)(),( vNvt t=m
这是一个时空双参数 的 正整值随机变量族,简称为 时空过 程,对于 bats <<≤,0,定义
),(),(),(),(]),(],(( asbsatbtbats mmmmm +=×?,（ １７,２２ ）
容易验证,
（ S,１ ） Poisson 性,))()())(()((~]),(],(( aFbFst
XX
Poissonbats× llm,
其中 )(xFX 是此非时齐复合 Poisson 过程相系的赋值随机变量 kX 们的公共分布函数,
（ S,２ ） 独立性,若 ],(],( iiiii batsA ×= ),,1( mi L=,且 iA 们两两不相交,则
)(,),( 1 mAA mm L 彼此独立,
（ S,３ ） 可加性,若 ],(],( iiiii batsA ×= ),,1( ３L=i,且 iA 们两两不相交,
U 321 AAA =,则
)()()( 321 AAA mmm +=,
460
我们 也 给出 一个一般的 （ 不仅仅限于非时齐的复合 Poisson 过程 ） 定义
定义 １７,２ ５ 正整值随机过程 族 },0:),({ ∞<<?∞≥ vtvtm,称为 时空 Poisson
点过程,如果条件 （ S,１ ） ＇,(S.2),（ S,3 ） 满足,其中 ]),(],(( bats ×m 由 （ ７,２３ ）
定义,且,
（ S,１ ）＇ Poisson 性,))()())(()((~]),(],(( aFbFstPoissonbats× llm,F 单调递增,0)( =?∞F,
注 这里只要求 F 递增,并未假定 ∞<∞)(F,
例 １７,２ ６ 由非时齐的复合 Poisson 过程所定义的随机过程族
},0:),({ ∞<<?∞≥ vtvtm
是 时空 Poisson 点过程,其中 )(),( vNvt t=m 表示此非时齐的复合 Poisson 过程在时刻 t 前取值于区间 ],( v?∞ 的次数,
类似地,若时空 Poisson 点过程的补偿函数 )()( tvF l 满足 ∞<=?∞?∞ CFF )()(,
则存在以 )(tCl 为强度函数的非时齐的 P o isson 过程,及对应于 赋值随机变量 nX 的分布函数为 )(1)( vFCvF
nX
= 的非时齐的复合 Poisson 过程,使此时空 Poisson 点过程是由此非时齐的复合 Poisson 过程 生成,
特别地,对于非时齐的 Poisson 过程 tN,则有
}{ 1]),(],(( +<≤<
≤<
∑=× kk ts
bka
Ibats ttm,
}:sup{)),0(],(( }{ tkItN kt
k
t k ≤==∞×?∞= ≤∑ tm t,
对于如下 的分点,nvnvvvv nmnnmnini nn =?=<<<< + )()(0)()( 1)(,,LL,
tssss nnnjnjn =<<<<<= + )()( 1)()(00 LL,)(0),(max )()( 1)()( 1,∞→→ ++ nssvv njnjniniji,
)(
1
)()( ' n
i
n
i
n
i vvv +≤<,粗略地 有
≈tY ]),(],(()],(),([' )( 1)()( 1)()(
,
)()(
1
)( n
j
n
j
n
i
n
i
n
i
jii
n
i
n
i
n
i vvssvvtvtv +++ ×=? ∑∑ mmm,
当 ∞→n 时,可以证明上式右方按概率收敛,将此概率收敛的极限随机变量记为
),(
0
dvdsv
t
m∫ ∫
∞
∞?
,于是就得到 下面的命题,
461
命题 １７,２ ７ （ 用 时空 Poisson 点过程表达非时齐复合 Poisson 过程 tY 的分解式 ）
=tY ),(
0
dvdsv
t
m∫ ∫
∞
∞?
,（ １７,２１ ）＇
３ 过滤 的 Poisson 过程
定义 １７,２８ 设 tN 是强度为 )(tl 的非时齐的 Poisson 过程,}( nX 是与之独立的独立同分布随机变量序列,又设 tN 在 t 前 第 n 个事件发生时刻 nt 的 赋值 ( 或理解成 能量 ),
不是 像 非时齐复合 Poisson 那样 由 nX 直接 给出,而是通过 某 个 有界的 响应函数 ),,( xsth
)( ts ≤ 给出的 ),,( nn Xth t,于是累计 能量 为
ss
t
t dNXsthZ ),,(
~
0
∫= （ == 其它 ）(0 )(~ nns sXX t ）,
称 之 为 过滤 的 Poisson 过程,特别地,当 ),,( nn Xth t nX＝ 时,过滤 的 Poisson 过程就是非时齐的复合 Poisson 过程,（ 所以 过滤的 Poisson 过程 相当于 ＂ 扭曲了的非时齐的复合
Poisson 过程 ＂）,
与命题 １７,１９ 类似地可以证明
定义 １７,２９ 过滤 的 Poisson 过程 tZ 在区间 ],0[ T 上的特征泛函为,对于任意连续的增函数 )(tF,定义
)(
0)(
tdFZi
Z
t
T
EeF ∫=Φ?,（ １７,２２ ）
（ 用 ∫ )(tdFZt 形式的积分定义特征泛函要比用 ∫ tdZtf )( 形式的积分更为灵活,使用面更广 ）,类似地 还 可以证明
命题 １７,３０ 过滤的 Poisson 过程 tZ 在区间 ],0[ T 上的特征泛函有如下的表达式,
duuEe
Z
T vdFXuvh
T
u
i
eF
)(])1[
0
)(),,(
)(
l?∫
∫
=Φ,（ １７,２３ ）
并由此得到
462
duuXuthEEZ
t
t )()],,([
0
l∫=,duuXuthXushEZZCov
ts
ts )()],,(),,([),(
0
l∫
∧
=,
用特征函数方法 还 不难证明下 述 类似于中心 极限 定 理 的近似定理,
定理 １７,３１ （ 过滤的 时齐的 Poisson 过程的 泛函型 的 Gauss 过程近似 定理 ）
假定 生成过滤的 Poisson 过程的 Poisson 过程是时齐的,其强度为 l,那么,当 ∞→l 时,在
],0( T 上
)( t
tt
ZVar
EZZ? 按分布 收敛到
tx,其中 tx 是期望函数为 ０ 的 Gauss 过程,其协方差函数为
ts ZZts
Cov,),( rxx = （ 指 sZ 与 tZ 的相关系数 ）,
使用这个定理,可以将高强度的过滤的时齐 的 Poisson 过程的近似计算大大地简化,
４ Poisson 随机 微积分简介
４,１ 关于时空 Poisson 点过程的随机积分
设 },0:),({ ∞<<?∞≥ vtvtm 是时空 Poisson 点过程,满足,对于任意
bats <<,))()())(()((~]),(],(( aFbFstPoissonbats× llm （ F 单调递增 ）,假定
∞<=?∞?∞= CFF )()(,0)0(l,那么,由 （ S,1 ） 可知,计数过程 ),( dvtNt m∫?= 是强度为 )(tCl 的非时齐的 Poisson 过程,我们不妨假定 1=C,
１,关于 非时齐的 Poisson 过程 tN 的随机积分
利用 非时齐的 Poisson 过程 在长度为 t? 的区间上的增量大于 1 的概率为 )( to?,可以得到如下 的引理,
引理 １７,３２ 对于非时齐的 Poisson 过程 tN 及 ],0( t 的一个划分,
ttttt nnnjnjn =<<<<<= + )()( 1)()(00 LL,)(0)(max )()( 1 ∞→→?+ ntt njnjj,我们 有
ttt
n
k
n NNN n
k
n
k
=?
∑
=
∞→
2
1
)(lim )(
1
)(,(17,24)
与 Brown 运动相比,这里是 tN,而在 Brown 运动情形是 t,直观地就是
tt dNdN =
2)(,(17,25)
证明 仿照 Brown 运动的 相应的结论 证明,细节留作习题,
定义 １７,３３ 对于 )( tN 可知的,且轨道具 有左极限的 随机过程 tΨ,可以仿照 Ito
积分定义 关于非时齐 Poisson 过程的随机积分如下,
463
)(lim )(
1
)()(
110
n
k
n
k
n
k ttt
n
k
nss
t
NNdN
Ψ=Ψ ∑∫
=
∞→?,(17,26 ）
注意这里被积函数用的是左极限,原因在于积分和中被积函数取的是区间左端点的值,
例 １７,３ ４
ttss
t
NNdNN 2121 2
0
=?∫,
证明 仿照 Brown 运动情形,由定义直接算 得,
关于非时齐 Poisson 过程的 随机积分有类似于 Ito 积分的许多性质,如 可加性,以及
（ １ ） dssdN s
t
ss
t
)(
00
lΨ?Ψ ∫∫? 是鞅,
（ 2 ） dssdN s
t
ss
t
)()( 2
0
2
0
lΨ?Ψ ∫∫? 也是鞅,
更一般地,我们可以定义
２,关于 时空 Poisson 点过程 ),( vtm 的随机积分
对于带有参数 v 的 ):),(( vvt?m 可知的,且 对 t 有左极限的 随机过程 )(vtΨ 及如下的划分,nvnvvvv nmnnmnini nn =?=<<<< + )()(0)()( 1)(,,LL,
tssss nnnjnjn =<<<<<= + )()( 1)()(00 LL,)(0),(max )()( 1)()( 1,∞→→ ++ nssvv njnjniniji,
)(
1
)()( ' n
i
n
i
n
i vvv +≤<,定义 关于 时空 Poisson 点过程的随机积分为
]),(],(()(lim),()( )( 1)()( 1)()(
,0
)(
1
n
j
n
j
n
i
n
i
n
is
ji
ns
t
vvssvdvdsv n
j ++∞→?
×Ψ=Ψ
∑∫∫
mm,(17.27)
类似地,还 有
),()),(( 2 dvdtdvdt mm = （ 17,25 ） ’
这种随机积分有类似于 Ito 积分的许多性质,如可加性,以及
（ １ ） )()()(),()(
0
vdsdFsvdvdsv s
t
s
t
lm ΨΨ ∫∫∫∫?
０
－ 是鞅,
（ ２ ） )()()()],()([ 22
0
vdsdFsvdvdsv s
t
s
t
lm ΨΨ ∫∫∫∫?
０
－ 也是鞅,
设 对应于 ),( dvtNt m∫?= 的 事件 发生时刻列为 }{ nt,由 于 F 是分布函数,此时 空
Poisson 点过程由非时齐的复合 Poisson 过程生成,设此非时齐的复合 Poisson 过程在 nt 的
464
赋值为 nX,于是 我们 有
)(),()(
1
}1{
0
n
N
n
Ns
t
XIdvdsv n
t
t tm Ψ=Ψ ∑∫∫
=
≥?,
４,２ 以 Poisson 过程 或 以时空 Poisson 点过程驱动的随机微分方程 与 Poisson
随机微积分的复合函数的 Ito 公式
时空 Poisson 过程驱动的随机积分方程
),(),,(),(
00
0 dvdsvsgdssb s
t
s
t
t mxxxx?∫∫∫ ++= （ １７,２８ ）
也称为时空 Poi sson 过程驱动的随机微分方程,其中 ),,(),,( vxtgxtb 是 ),( xt 的连续函数,
（ １７,２８ ） 也常常简记为 如下的 微分形式
),(),,(),( dvdtvtgdttbd ttt mxxx?∫+=,（ １７,２８ ）＇
而由非时齐的 Poisson 过程驱动的随机微分方程
ss
t
s
t
t dNvsgdssb ),,(),(
00
0?∫∫ ++= xxxx （ １７,２９ ）
就 正 是 如下的特殊形式
),(),,(),(
00
0 dvdsvsgdssb s
t
s
t
t mxxxx?∫∫∫ ++=,
即 （ １７,２９ ） 是 （ １７,２８ ） 的特 例,如果一个随机过程 tx 满足 （ １７,２８ ）,就称为方程 （ １７,２８ ） 的解,这时有
)},({),,( dvtvtg ttt mxxx ∫=?,
未必一定等于 0,所以 （ １７,２８ ） 的解的轨道与 Ito 方程的解的轨道很不同,Ito 方程的解是连续的,而是 （ １７,２８ ） 的解是可以间断的,此外,与 Ito 方程完全类似地,可以证明时空 Poisson 过程驱动的随机微分方程的解也是 Markov 过程,于是时空 Poisson 过程驱动的随机微分方程就成为一类轨道可以有间断的 Markov 过程的建模的有力工具,例如,
可以用 它改进风险证券的 Black - Scholes 模型,使之可以包容市场的突然变化,
定义 １７ 。 ３５ （ Poisson 型 Ito － Skorohod 过程 ）
形如
),()( dvdtvdtd ttt mx?Ψ+Φ= ∫ （ １７,３０ ）
的随机过程 tx 称为 P oisson 型 的 Ito - Skorohod 过程 ( 只对 v 作积分 ),
与 Ito 过程类似,Poisson 型 的 Ito - Skorohod 过程对于连续可微的复合运算 也 是封闭的,这就是下面 的链法则,
定理 １７,３６ （ 时空 Poisson 过程驱动的随机微分方程的解的复合函数 － Ito 公式 ）
若 ),( xtF 连续可微,tx 是 用 （ １７,３０ ） 表示的 Poisson 型 的 Ito - Skorohod 过程,
465
则 ),( ttF x 也是 Poisson 型 Ito - Skorohod 过程,且 其表示为
),()],())(,([)''(),( dvdttFvtFdtFFtdF tttxttt mxxxΨ++Φ+= ∫,
特别,如果 tx 是随机微分方程 （ １７,２８ ） 的解,则有
),()],()),,(,([)'),('(),( dvdttFvtgtFdtFtbFtdF tttxttt mxxxxx+++= ∫,
（ １７,３１ ）
直观证明 要点是 在将 ],0( t 细分后,在 区间集 ]},{( )()( 1 njnj tt? 中有的包含一个 kt 的区间,我们将它 改记为 ],( )(,)(,1 nkjn kj tt?,而 有的 区间 不包含 }{ kt 中的任一个,对于这类区间我们有
0),()(
)(
)(
1
=Ψ?∫
dvdsvs
t
t
n
j
n
j
m,所以,当 n 充分大时 有
)],()),()(,([ )(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
n
j
n
j
n
j
n
j t
n
js
t
t
t
n
ij
n
j
tFdvdsvtF
=
Ψ+ ∫∑ xmx
≈ }1{ ≥
tN
I )],()),()(,([ )(
,1
)(
,
)(
,1
)(
,1
)(
,1
)(
,
1
n
kj
n
kj
n
kj
n
kj
t
t
n
kjs
t
t
t
n
kij
N
k
tFdvdsvtF
=
Ψ+ ∫∑ xmx
}1{ ≥
∞→ →?
tN
n I )],()),()(,([
1
kkk
t
kk
N
k
FdvdsvF ttt xtmxt?Ψ+∑
=
),()],())(,([
0
dvdttFvtF ttt
t
mxxΨ+= ∫∫,
例 １７,３７ 若 tx 是 如下的 Poisson 型 的 Ito - Skorohod 过程,
),()( dvdtvdtd ttt mx?Ψ+Φ= ∫,
则有
（ １ ） 幂,
),(]))([(1 dvdtvdtmd mtmtttmtmt mxxxx?Ψ++Φ= ∫,（ １７,３２ ）
（ ２ ） 指数,令 tet xh =,则
),()1( )( dvdtedtd vtttt t mhhh?+Φ=?Ψ∫,
即 th 满足如下的随机微分方程,
),()1)(( )( dvdtvedd tvtttt t mhxhh?Ψ?+=?Ψ?∫,(17,32)
466
（ ３ ） 对数,如果 还有 0>tx,记 tt xV ln=,则
),())(1ln( dvdtvdtd
t
t
t
t
t mxxV
Ψ++Φ= ∫,（ １７,３４ ）
对于 d 维的情形,即 tx 取值于 dR 的情形 类似的结论 仍然正确,
再 则,时空 Poisson 点过程也可以是多维的,例如,是由多维的非时齐的复合 Poisson 过程
n
N
n
t XY
t∑
=
=
1
所导出的,
例 １７,３８ （ 乘积 的 Ito 公式与分 部 积分 ） 对于随机微分方程
),(),,( vddtvtgd tt mxx?∫=
及 ),( xtF 有
),()],()),,(,([),( vddttFvtgtFtdF tttt mxxxx+= ∫,
特别地,对于
)2,1(),(),,( )()( == ∫ ivddtvtgd itiit mxx －
有乘积公式
++=∫ ),,(),,([)( )1(1)2()2(2)1()2()1( vtgvtgd tttttt xxxxxx
),()],,(),,( )2(2)1(1 dvdtvtgvtg tt mxx+,
即
)( )2()1( ttd xx ),(),,(),,( )2(2)1(1)1()2()2()1( dvdtvtgvtgdd tttttt mxxxxxx∫++=,(17.35)
（ １７,３５ ） 可以推广到 一般情形,即
),(),,(),( vddtvtgdttbd ttt mxxx?∫+=
的情形仍然正确,从而 得到 一般的 分 部积分公式,请读者自己写下这个公式,
下面的存在唯一性的证明,可以在 随机微分方程的书的有关带跳的随机微分方程的章节中找到,我们略去其证明,
定理 １７ 。 ３９ （ 时空 Poisson 过程驱动的随机微分方程解的存在唯一性 ）
若 )(tl 有界,),,( vxtg 连续,且 在 ],0[ T 上满足
)1(),,(),( 222 xCvxtgxtb +≤+,（ １７,３６ ）
22 |||),,(),,(||),(),(| yxCvytgvxtgytbxtb?≤?+?,（ １７,３ ７ ）
那么随机微分方程 （ １７,２８ ） 存在唯一的解 tx,而且它是 Markov 过程,
467
例 １７,４０ 设 )(tf 是数值函数,tN 是非时齐的 Poisson 过程,考虑随机微分方程
1,)( 0 == VVV ttt dNtfd,
它有唯一解,可以用 Ito 公式验证此解正 是 （ 利用 例 １７,３７ （ ２ ））
s
t
dNsf
t e
))(1ln(
0
+∫
=V ))(1(
1
n
N
n
f
t
t+= ∏
=
,（ １７,３８ ）
４,３ 由 Brown 运动和时空 Poisson 过程联合驱动的随机微分方程
设 Brown 运动 }0:{ ≥tBt 与时空 Poisson 点过程 },0:),({ vtvt 一切≥m 相互独立,则由 Brown 运动和时空 Poisson 过程 联合 驱动的随机微分方程
),(),,(),(),(
00
0 dvdsvsgdBsdssb s
t
ss
t
s
t
t mxxsxxx?∫∫∫∫ +++=
０
,(17,39)
即方程
),(),,(),(),( dvdtvtgdBtdttbd ttttt mxxsxx?∫++=
的解是 Markov 过程,我们给出如下的两个定理,而略去其证明,
定理 １７ 。 ４ １ （ 解的存在唯一性 ） 若 )(tl 有界,),,( vxtg 连续,且在 ],0[ T 上满足
)1(),(),,(),( 2222 xCxtvxtgxtb +≤++ s,(17,40)
222 |||),,(),,(||),(),(||),(),(| yxCvytgvxtgytxtytbxtb?≤?+?+? ss,
(17,41)
那么随机微分方程 （ １７,３ ９ ） 存在唯一的解 tx,而且它是 Markov 过程,
定理 １７,４ ２ （ 一般的 Ito 公式 ）
若 ),( xtF 对 t 连续可微,对 x 二阶连续可微,tx 是 （ １７,３ ９ ） 的解,则
txtxxtxttt dBFtdtFtFtbFtdF '),(]''),('),('[),( xsxsxx ++=?
２
２
１＋
),()],()),,(,([ dvdttFvtgtF ttt mxxx++ ∫,
同样,在 多维情形也有对应的定理,
例 １７,４ ３ 随机微分方程
1),)()(( 0 =+= VVV tttt dNtfdBtgd
的唯一解是
dssgBsg
t
t
s
t
e
2
00
)(21)( ∫∫
=
V ))(1(
1
n
N
n
f
t
t+∏
=
,（ １７,４２ ）
468
５ 自激点过程
５,１ 自激点过程的强度过程与条件计数强度
定义 １７,４４ 如果计数过程 tN 满 足,00 =N,且当 0→h 时
)()0,()0|1( hohtNNNP ttht +===?+ l,
)(),,;,(),,,|1( 111 hohssNtsskNNNP ktkkttht +=====?+ LL ltt
（ 1≥k ）,
)(),,,|2( 11 hosskNNNP kkttht ====≥?+ tt L （ 1≥k ）．（ １７,４３ ）
则称为 自激点过程,而随机过程
<≤
<=
+
}(),,;,(
)()0,(
11
1
ttt NNNt
t tNt
tt
ttttl
tll
L,（ １７,４４ ）
称为其 强度 (随机 )过程,
最简单的是 tl ),( tNtl= 的情形,
定义 １７,４５
)|(),( ttt NENt ll =∧ （ １７,４５ ）
称为自激点过程的 条件计数强度,
于是 我们有
)(),()|1( ^ hohNtNNNP tttht +==?+ l,)()|2( hoNNNP ttht +=≥?+
（ １７,４６ ）
例 １７,４ ６ 在第 １３ 章第 ５ 节中,年龄 x 的 n 个人的群体在时刻 t 以前的死亡人数
（ 死亡计数过程 ） tN 是自激点过程,其强度过程为 txtt NnNt +?= ml )(),(,其中 tx+m 是年龄为 tx + 的死亡率,
５,２ 自 激点过程的绝对概率
仿照非时齐的 Poisson 过程的绝 对 概率的推导,我们 可以 得到
duu
st
t
seNNP
)0,(
)0|0(
l∫
===
,
duNu
Nsst
sNs
t
s
s eNNNP
),,;,(
1
1
),,,|0(
ttl
tt
L
L ∫==?
,)1( ≥sN,
(17,47)
令
)()( nNPtp tn ==,(17,48)
469
同样地仿照非时齐的 Poisson 过程的绝对概率的推导,利用 （ １７,４６ ） 我们得到
定理 １７,４７ 自激点过程的绝对概率满足如下的无穷个常微分方程
)()0,()(' 0^0 tpttp l?=,
)()1,()(),()(' 1^^ tpnttpnttp nnn+?= ll )1( ≥n,
这是一个非时齐的单侧纯生过程,可以 用 归纳 法 求 得 其解为
duu
t
etp
)0,(
0
^
0)(
l∫
=
duu
t
se
)0,(l∫
=
,
dsespnstp
dunu
n
t
n
t
s
),(
1
^
0
^
)()1,()(
l
l ∫?=
∫ )1( ≥n,(17,49）
５,３ 自激点过程的事件到达时刻的联合分布
我们求自激点过程 tN 的前 n 个事件到达时刻 ),,( 1 ntt L 的联合分布,注意
=+ )(),,;,( 1 hohssnt nLl ),,,|1( 11 nnttht ssnNNNP ====?+ tt L
),,|(
),,|,(
11
111
nnt
nntn
ssnNP
ssnNhttP
===
===+≤<= +
tt
ttt
L
L
),,|(
),,|(
111
111
nnn
nnn
sstP
sshttP
==>
==+≤<=
+
+
ttt
ttt
L
L,
这正说明了下述结论,
定理 １７,４８ ),,;,( 1 nssnt Ll 是在 nn ss == tt,,11 L 的条件下,1+nt 的故障率,因此,在 nn ss == tt,,11 L 的条件下,1+nt 的条件密度为
dussnu
nn
n
ns
ns
nn
esssp
),,;,(
11,,|
1
1
11
),,|(
L
L L
l
ttt
∫
=
+
+
+,（ １７,５０ ）
从而 ),,( 1 ntt L 的联合分布为
dusskun
k
n
k
ks
ks
n essp
),,;1,(
1
1,,
11
1
1 ),,(
=
∫
= ∏
L
L L
l
tt,（ １７,５１ ）
其中 )0,();0,(,0 00 tsts ll ==,
我们可以进一步由 （ １７,５１ ）,求得自激点过程在时刻 t 时的计数 tN 与事件发生时刻的联合分布 ),,,( 11 nnt ssnNP ≤≤= tt L 关于 ),,( 1 nss L 的密度 （ 称 之 为 自激 点 过程
470
的 样本分布 ）
),,,( 1,,,
1 nN ssnp tNt LLtt ),,|( 11 nnt ssnNP ==== tt L
),,( 1,,
1 n
ssp
n
LLtt
),,|0( 11 nnst ssNNP
n
===?= tt L
dusskun
k
k
ks
kse
),,;1,(
1
11
1
=
∫∏ Ll
dusskun
k
dussnu k
ks
ks
n
t
ns ee
),,;1,(
1
),,;,( 11
1
1?
=
∫∫
= ∏
LL ll
,
此即 下面的定理,
定理 １７,４９ 自激点过程计数 tN 与事件发生时刻的联合分布 （ 即 自激点过程 的样本分布 ） ),,,( 11 nnt ssnNP ≤≤= tt L 关于 ),,( 1 nss L 的密度为 （ 1≥n ）
),,,( 1,,,
1 nN ssnp tNt LLtt
dusskun
k
dussnu k
ks
ks
n
t
ns ee
),,;1,(
1
),,;,( 11
1
1?
=
∫∫
= ∏
LL ll
．（ １７,５２ ）
例 １７,５０ 伽 玛 光子检测器用以检测按强度函数为 )(tn 的非时齐的 Poisson
过程到达的伽 玛 光子,但是,这种装置在检测到一个光子后有一 个随机的失效时间,假定检测到第 n 个光子后的失效时间为
n
V,且 }{ nV 独立同分布,并 与此非时齐的 Poisson 过程独立,其共同分布函数是 )(tFV,将至时刻 t 为止检测到的光子数记为 tN,再 记各个检测到光子的时刻 分别 依次 为 LL,,,1 ntt,
假定开 始时检测装置是有效的,我们说明 tN 是自激点过程,事实上,此时有
)()0,( tt nl =,又因为在时刻 nt 检测到光子后,在其后的时刻 t 检测装置不失效的概率是
)0( ntF tV （ 此处 ＂ 0? ＂ 表示左极限 ）,于是对于 1≥= nNt 有
)0()(),,;,( 1= nn tFtssnt tnl VL （ )0()(),,;,( 1=
tt NNt
tFtNt tnttl VL ）,
特别当 =nV 常数的时候,各个检测到光子的时刻 ),,( 1 ntt L 的联合分布可以容易地由 （ １７,５１ ） 计算 得到,
５,４ 具有限记忆的自激点过程
定义 １７,５１ （ ０ － 记忆自激点过程 ） 自激点过程 tN 称为 ０ － 记忆的,如果
),(),,;,( 1 tNt NtNt
t
lttl =L
471
（ 即 与
tN
tt,,1 L 无关 ）,
例 １７,４６ 中的自激点过程就是 ０ － 记忆的,
命题 １７,５２ 自激点过程 tN 是 Markov 链,当且仅当 它 是 ０ － 记忆的,
证明 必要性只需验证,对于 1sss m >>> L 而言,)|( iNjNP sts ==+ 与
),,,|( 1
1
iNiNiNjNP smssts
m
====+ L 满足同样的方程,】
定义 １７,５３ （ m － 记忆自激点过程 ） 自激点过程 tN 称为 m － 记忆的,如果
=),,;,( 1
tNt
Nt ttl L ),,;,( 1
tt NmNt
Nt ttl L+?
（ 即 与 mN
t?
tt,,1 L 无关 ）,
命题 １７,５ ４ 自激点过程 tN 是 m － 记忆的,当且仅当 }{ nt 是 m 阶 Markov 链,
即
=
+
+?
mn
n
n
t
t
x
1
是 Markov 链,
证明 由 （ １７,５０ ） 即得,
定义 １７,５５ （ 时齐的 １ － 记忆自激点过程 ） １ － 记忆自激点过程 tN 称为 时齐的,如果存在一个函数 ),( yxh 使
),();,(
tt NtNt
tNhNt ttl?=,
由 （ １７,５０ ） 立刻得到下面的定理
定理 １７,５６ 设 １ － 记忆自激点过程 tN,其事件发生的时刻 分别 依次 为 }{ nt,那么
（ １ ） tN 是时齐的充要条件是 }{ nt 是独立随机变量序列的部分和,
（ ２ ） }{ nt 是延迟更新流的充要条件是,存在一个函数 )( yg 使
)();,(
tt NNt
tgNt ttl?=,
（ ３ ） }{ nt 是更新流的充要条件是,存在一个函数 )(th 使
)()0,( tht =l,且 )();,(
tt NNt
thNt ttl?=,
其中 )(th 可以解释为待更新的 部件 的故障率,
472
５,５ 对于自激点过程的随机积分
设 tN 是自激点过程,又随机过程 tΨ 是 )( tN 可知的,有界的,轨道为分段连续的随机过程,那么可以 如 关于 非时齐的 Poisson 的随机积分类似地定义
≥Ψ
=
=Ψ ∑∫
=
)1(
)0(0
1
t
N
n
t
uu
t
N
N
dN
n
t
t０
,
此时有
=Ψ?∫ ][ uu
t
dNE
０
duE uu
t
][ lΨ∫
０
,
对于这种随机积分,同样可以讨论随机微分方程及 Ito 公式,其形式是一样的,
例 １７,５７ 设
tttt dNdtd llx ln+?=,
那么由 （ １７,９ ） 可知其指数函数 tet xh = 可以看成自激点过程 tN 的似然函数,由 Ito
公式得到,它的 n 次 幂 满足
t
n
t
n
tt
n
t
n
t dNdtnd )1(?+?= lhlhh,
［ 注 ］ 还可以抽象出更为一般的时空点过程及其 随机 微积分,
５,６ 二重 Poisson 过程
定义 １７,５８ 设 tx 是一个随机过程,一般地称为 被调制的信息过程,而当 tx 的
轨道给定时,计数过程 tN 是一个强度函数为 ),( tt xl 的非时齐的 Poisson 过程,那 么 tN 称为 二重 Poisson 过程,),( tt xl 称为 二重 Poisson 过程的强度,
在实用问题中,常常是通过接收到的点过程 tN 的一段样本轨道,来估计被调制的信息过程,例如,信号为函数 )(tS,它在被均值为 ０ 的背景 Gauss 过程噪声的干扰下,成为代表信息的 Gauss 过程 tx,而由此生成的二重 Poisson 过程 tN 则是光子流,最简单的情形是强度为 )(),( tgt t xxl = （ 随机变量乘以常函数 ）,2),( tt ct xxl =,
这时 有
]!
]),([
[)()( 0
),(
0
n
dss
eEnNPtp
n
s
t
dss
tn
s
t xl
xl ∫∫
===
,
定理 １７,５９ 假定二重 Poisson 过程 tN 的强度 ),( tt xl 的数学期望有限,记 tN 的
473
事件列 分别依次 为 LL <<<< ntt 10,令
≥
==≤=
)1(),,,|),((
)0()|),(():|),((
1 tNtt
ttt
utt NNtE
NNtEtuNtE
tttxl
xlxll
L,
那么,tN 是强度随机过程为 tl 的自激点过程,
证明 当 0→h 时
):|1([ tsNNNPE stht ≤=?+ ):|),:|1([ tsNtsNNNPE ststht ≤≤=?= + x，
)(]:|):|),(([ hotsNtsNhtEE sst +≤≤= xl )(hoht += l,
同样证明
)():|( hotsNNNP stht =≤≥?+ ２,】
于是二重 Poisson 过程的一些统计量的计算就直接化归自激点过程的计算,定理 １７,４７,
定理 １７,４８,定理 １７,４９ 也都成立,
［ 注 ］ 一般 由于 ),(^ ntl 不易计算,所以 )(tpn 也不易计算,下面 的 定理 可用于 近似算法,它 可以用特征函数方法证明
定理 １７,６０ （ 二重 Poisson 过程绝对概率的近似计算 ） 对二重 Poisson 过程 tN,记
dss s
t
t ),(
0
xl∫=Λ,
)(,)(
**
t
tt
t
t
tt
t Var
E
NVar
ENNN
Λ
Λ?Λ=Λ?=,
假定 ∞→t 时,∞→ΛtE,那么
（ １ ） 若还有 0)( )( 2 >→ΛΛ cEVar
t
t,则只要 *
tΛ 按 分布 收敛于随机变量 h,
*
tN 就 按 分布 收敛到
c
c 111 +
+
+
hx
,其中 x 与 h 独立,且 )1,0(~ Nx,
（ ２ ） 若还有 0)( )( 2 →ΛΛ
t
t
E
Var
,则 *tN 按 分布 收敛 x,其中 )1,0(~ Nx,
（ ３ ） 若还有 ∞→ΛΛ 2)( )(
t
t
E
Var
,则只要 *tΛ 按 分布 收敛于随机变量 h,*tN 也 按 分布 收敛于 h,
定义 １７,６１ 设 tx 是一个随机过程 （ 可以是多维的 ）,一般地称为 被调制的信息
过程,而当 tx 的轨道给定时,计数过程 ),,( )()1( dttt NNN L= 的各个分量彼此独立,且 )(ktN
474
是一个强度函数为 ),()( tk t xl 的非时齐的 Poisson 过程,那么 tN 称为 多 道 二重 Poisson 过程,)),(,),,((),( )()1( tdtttt ttt xlxlxl L= 称为 多道 二重 Poisson 过程的强度,
在应用中,如核医疗中多探针的检测系统,伽 玛 射线照相机等,常用 d 道二重 Poisson
过程 建模,更多地出现的是 tx 是 Markov 过程,或 Markov 链的情形,用 tN 的观测样本去估计信息过程 tx 就需要滤波,
习题 17
1,证明 非时齐的 复合 Poisson 过程是非时齐的独立增量过程,再求它的 数学期望函数与协方差函数,
2,如果赋值随机变量具有分布
ppX n 1~
１０
,问这时的非时齐的复合 Poisson 过程 是什么？ 解释其概率含义,
3,求 )(lim )(
1
)()(
1
n
k
n
k
n
k ttt
n
k
n NNN
∑
=
∞→,
4,若 ),()( dvdtvdtd ttt mx?Ψ+Φ= ∫,对于复指数 tit e xh =,求 tdh,
5,设 )(tf 是数值函数,tN 是非时齐的 Poisson 过程,tV 满足随机微分方程
1,)( 0 == VVV ttt dNtfd,
（ １ ） 证明
dsssf
t
t
eE
)()(
0
l
V ∫=,
（ ２ ） 证明 ttt dNtftfd )()](2[22 += VV,
（ ３ ） 求 )( tVar V,)( 2tVar V,
6,即用定理 １７,４７,证明自激点过程 tN 的数学期望和方差分别为
duEEN u
t
t )(
0
l∫=,
=)( tNVar duE u
t
)(
0
l∫ duNE uu
t
)(2
0
l∫+ 2
0
])([ duE u
t
l∫?,
其中随机过程 tl 是 tN 的随机强度过程 （ 见 （ １７,４４ ）,
475
7,设 tN 是非时齐的生灭过程,即 ０ － 记忆自激点过程,其 ),( tNtl 满足 ∞=
≤
∑ ),(sup 1 ns
tsn l
,
证明 1)( =∞<tNP,（ 提示 应用定理 １７,４７ ）,
8,设 ０ － 记忆自激点过程 tN 满足,]1)[0,(),( += tt NtNt ll,证明 nn tptptp )](1)(()( 00?=,
9,设二重 Poisson 过程 tN 的 xxl )(),( tgt t =,其中 )(tg 非随机,x 有分布密度 )()( ),0[ tItp ∞x,
证明
)( nNP t = dttpetn
dssg dssgt
n
nt
t
t
)(!
])([ )(
0
0 0
x
∫=?∞∫∫
,
再证明
]|):|),(([)|(),( tstttt NtsNtEENENt ≤==∧ xlll
]|),([ tt NtE xl=
dsspes
dsspestg
duugs
N
duugs
N
t
t
t
t
)(
)()(
)(
0
)(
1
0
0
0
x
x
∫
∫
=
∞
+
∞
∫
∫
,
最后,如果 ~x Gamma 分布 ),( laΓ,那么
)( nNP t = nt
t
t
dssg
dssg
dssgn
n ]
)(
)(
[]
)(
[)(! )(
0
0
0
∫
∫
∫ ++Γ
+Γ=
ll
l
a
a a
,
tN 称为 非时齐的 Polya 过程,证明若 lx exp~,则 （ １７,９ ） 的似然函数为
s
t
t
tNt
dNs
N
t
tntN edssgNNp
)(ln
)1(
0
1,,,
0
1 ])([)!(),,,(
l
tt lltt
∫+= +?∫L
L,
并证明建模参数 l 的最大似然估计是
dssgN
t
t
)(1
0
∫=∧l,
10,对于二重 Poisso n 过程 tN,记 dss s
t
t ),(
0
xl∫=Λ,证明
tststs ECovNNCov ∧Λ+ΛΛ= ),(),(,
476
11,对于非时齐的 Poisson 过程 tN 及 ],0( t 的一个划分,
ttttt nnnjnjn =<<<<<= + )()( 1)()(00 LL,)(0)(max )()( 1 ∞→→?+ ntt njnjj,
证明 ttt
n
k
n NNN n
k
n
k
=?
∑
=
∞→
2
1
)(lim )(
1
)(,
龚光鲁,钱敏平著 应用随机过程教程 – 与在算法和智能计算中的应用
清华大学出版社,2003
第 17 章 Poisson 随机分析简介 与典型的点过程
1,非时齐的 Poisson 过程与 非时齐 的 复合 Poisson 过程 与 特征泛函
１,１ 数值函数 对 Poisson 过程的积分
定义 17,1 设 tN 是一个强度为 l 的 Poisson 过程,对应 的 更新流为 }{ nt,
ltt ExpT nnn ~1=,定义 ),0[ ∞ 上的函数 )(tf 关于 tN 的积分为
=
≥= ∑∫
=
)0(0
))1()()(
1
0 t
tn
N
ns
t
N
NfdNsf
t
t,(17,1)
在 t 给定时,它是一个随机变量,其含义为 )(sf 在到时刻 t 为止的指数流上的函数值之 和,
如果把 )(sf 看成在时刻 s 发生事故的代价,那么这个积分就表示到时刻 t 为止,由指数流描述的事故流所付出的总代价,由定义显见有 ts
t
NdN =∫１
0
,
１,２ Poisson 过程的 特征泛函
定义 17.2 对于 Poisson 过程 tN 及定义 在 ],0[ T 上的函数 )(tf,我们把 s
T
dNsf )(
0
∫ 的特征函数在 1 处的值 记为 )f(NΦ,即
s
T
dNsfi
N Eef(
)(
0)
∫=Φ
,
于是对于 给定一个函数 f,就有一个 数 )f(NΦ 与之对应,这种 从函数 f 到 )( fF 的 映射称为 泛函,又因为此泛函是通过 Poisson 过程的积分生成 的,所以称为 Poisson 过程的 特征泛函,
例 17,3 当 )()( ],0[ sIsf t?≡ J 时,Poisson 过程的 特征泛函就 简 化为 Poisson 过程在时刻 t 的特征函数 tNiEe?q,而当 )()()( ](02],0[1
21
tItItf tt?+?≡ JJ 时,特征泛函就简化为
Poisson 过程在时刻 1t 与时刻 2t 的联合特征函数 )( 2211 tt NNiEe Jq +?,
设 Ttt ≤< 21,那么利用 Poisson 过程的独立增量性与时齐性,对于
450
)()()( ],(2],0[1
211
tItItf ttt?+?= JJ,我们 得到
=Φ f)( =?+? )( ],(2],0[1
211 ttt
II JJF )(( 12211 ttt NNNiEe?+? qq 22211 ttt NiNi EeEe= qq
)1( 11?= Jl iete )1)(( 212 Jl iette `
dte tttIttI1[i
T
e
)1( )](]2,1(2)(]1,0[
0
+∫
=
qql dte tif
T
e
)1( )(
0
∫
=
l
,
再复杂一些,对于 Tttt0 n0 ≤<<<= L1,及 )()( ],(
1
0
1
tIctf
kk ttk
n
k
+∑
=
=,我们 类似地 可以得到
t
T
dNtfi
Ee
)(
0
∫ dte
N
tif
T
ef
)1( )(
0)(
∫
=Φ=
l
,
这个公式对于任意连续函数,甚至更为一般的函数,可以利用函数逼近的方法证明它 仍然正确,于是我们得到 如下的定理,
定理 17,4 Poisson 过程的特征泛函的表达 公 式为
t
T
dNtfi
Ee
)(
0
∫ dte
N
tif
T
ef
)1( )(
0)(
∫
=Φ=
l
,(17,2)
此定理是 Poisson 随机变量的特征函数的自然推广,
１,３ 非时齐 Poisson 过程的统计性质
我们回忆非时齐的 Poisson 过程 tN,它是非时齐的独立增量过程,它与时齐的 Poisson
过程的不同 之 处仅仅在于其强度不再是一个常数 l,而是一个依赖 于 时间的函数 )(tl,称为 非时齐的 P oisson 过程的强度函数,即对于 ts <,随机增量 st NN? 服从参数为
duu
t
s
)(l∫ 的 Poisson 分布,据此可以通过 Poisson 分布,对非时齐的 Poisson 过程作随机模拟,
设 tN 是一个强度为 )(tl 的非时齐的 Poisson 过程,它是一种 记录,事故,的 计数 过程,
将这 个过程的各个计数 (事故 )发生的随机时刻 记为 LL <<<<= n100 ttt,它们间仍由等式
}{}{ tnN nt ≤=≥ t
相联系,与时齐的 Poisson 过程相比,}{ nt 不 再 是更新流 (稍后将证明它是 Markov 链 ),
定理 17,５ 前 n 个发生时刻 ),,( 1 ntt L 的联合分布密度 ),,( 1,,
1 n
ssg
n
LL tt 的表达式为
451
}0{
)(
11,,1
0
1 )()(),,( n
ns
n ss
duu
nn Iessssg <<≤
∫
= LL LL
l
tt ll,（ １７,３ ）
证明 仿照时齐的 Poisson 过程的情形便得,
推论 1 7,６ 发生时刻列 }{ nt 是状态连续的非时齐的 Markov 链,
证明 在已知 ),,(),,( 11 nn ss LL =tt 的条件下,随机变量 1+nt 的条件分布密度 为
),,|( 11,,|
11 nn
sssg
nn
LL +
+ ttt
= 1
1
)(
1)( +
+
<+
∫
nn
ns
nS
ss
duu
n Ies
l
l,
它只与 nt 的取值 ns 有关,
推论 17,７ 在已知 ),,(),,( 11 nn ss LL =tt 的条件下,第 1+n 个随机间隔
nnnT tt?= ++ 11 的条件分布密度为
),,|( 1,,|
11 nT
sstg
nn
LL tt
+ 1
)(
1)( +
<+
∫
=
nn
tns
nS
ss
duu
n Ies
l
l,（ １７,４ ）
定理 17,８ 时刻 t 时的计数 tN 与发生时刻的联合分布 (注意这是混 合型的随机向量 )
),,,( 11 nnt ssnNP ≤≤= tt L 关于 ),,( 1 nss L 的密度 （ 称 为 Poisson 过程的 样本分布 ） 为
),,,( 1,,,
1 nN ssnp tNt LLtt
duu
nnssn
t
n eIIss
)(
}0{}0,0{1
0
1 ])()([
l
ll ∫+=
=><<≤ LL,（ １７,５ ）
证明 利用 条件概率
),,|( 11 nnt ssnNP === tt L
duu
st
t
ns
n
eNNP
)(
)0(
l∫
==?=
及定理 17,５ 即得,】
非时齐的 Poisson 过程的时齐 随机 分流定理仍然成立,即如果 将 强度函数为 )(tl 的非时齐的 Poisson 过程 tN 的发生 的各个事故 以概率 p 和 p?1 与 tN 独立地分别归入第 1 类和第
2 类,那么,第 1 类发生时刻列是一个强度函数为 )(tpl 的非时齐 Poisson 过程 )1(tN 的 事件 发生时刻列,
同样,非时齐的 Poisson 过程的非时齐分流定理也是成立的,
定理 17,９ 设 nhh,,1 L 是独立同分布的随机变量,其分布密度为
452
)(
)(
)
),0[
0
tI
duu
t(
t ∞
∫ l
l,（ １７,６ ）
那么,在 nNt = 的条件下,发生时刻 ),,( 1 ntt L 的条件分布与 ),,**1 n( hh L 同分布,其中
**
1,,nhh L 是 nhh,,1 L 按由小到大排列后的次序随机变量列,
**
1 nhh << L,
证明 仿照时齐的 Poisson 过程的相应定理的证明,】
定理 １７,９ 可以用以对给定强度的非时齐的 Poisson 过程作计算机模拟,
例 １７,１０ 放射元发射的光子数目可以用强度为
)0,(),,( >?= baabal b tet
的非时齐的 Poisson 过程来建模,它模拟了 放射强度的衰变情况,而在核医疗中使用的光脉冲序列通常用强度为
)0,,),,,,,,,(
1
11 >+=
=
∑ gbaagbbaagl b kk
t
i
n
k
nn (et
iLL
的非时齐的 Poisson 过程来模拟并建模,而调幅,调相与调频为 mf 的脉冲光源则 可以 分别用强度为
2|)(|),,,( tSt abgbagl +=,
2|)(|),,,( bagbagl?+= tSt
与
)1|(|]))(2cos[1(),,,,( <+++= mtfmmt m bpagbagl
的非时齐的 Poisson 过程模拟,
１,４ 数值函数对 非时齐 Poisson 过程的积分及 非时齐的 Poisson 过程的 特 征泛函
我们仍可以 定义 ),0[ ∞ 上的 数值 函数 )(tf 关于 非时齐 Poisson 过程 tN 的积分为
=
≥= ∑∫
=
)0(0
))1()()(
1
0 t
tn
N
ns
t
N
NfdNsf
t
t,（ １７,７ ）
同样,在 t 给定时它是一个随机变量,如果 把 )(sf 看成在时刻 s 发生事故 所付出 的代价,那么这个 随机 积分 仍 表 达 到时刻 t 为止,由 此非时齐的 Poisson 过程 所 描述 的 事故流所付出的总代价,
定义 17,１１ 非时齐的 Poisson 过程 的特征泛函仍定义为
)(fNΦ
t
T
dNtfi
Ee
)(
0
∫=
,
453
特征泛函是有限 个时刻的联合 特征函数在 一个区间上的所有时刻 情形 的自然推广,由于在 ts < 时 有
)1()(
)(
∫=
ql
q
i
t
sst
eduu
NNi eEe,
于是 对于 (t)ItItf ttt ],(2],0[1
211
)()(?+?= JJ 就有
=?+?Φ=Φ )II(f ttt ],(2],0[1
211
)( JJ )(( 12211 ttt NNNiEe?+? qq )( 12211 ttt NNiNi EeEe= qq
)1()( 1
1
0
∫
=
Jl i
t
eduu
e
)1()( 2
2
1
∫ Jl i
t
t
eduu
e `
dtet )tttIttI1(i
T
e
)1)(( )(]2,1(2)(]1,0[
0
+∫
=
qql dtet tif
T
e
)1)(( )(
0
∫
=
l
,
我们 可以归纳为 如下的定理
定理 １７,１２ 对于连续函数 )(tf (或 更为一般的 有界 Borel 函数 f ),非时齐的
Poisson 过程的特征泛函在 f 处的值为
t
T
dNtfi
Ee
)(
0
∫ dtet
N
tif
T
ef
)1)(( )(
0)(
∫
=Φ=
l
,（ １７,８ ）
在一些统计问题中常常用到在强度函数 )(tl 中带有未知参数的非时齐的 Poisson 过
程 (参见例 17.10),这时需要用实测数据来估计这些未知参数,例如用最大似然估计,于是需 将 观测到的样本置入定理 17,８ 的分布中去,为 此,我们要对定理 １７,８ 作如下的变形
定理 17,８ ’ 对于非时齐的 Poisson 过程,我们有 ( 由过程的一个样本给出的似然函数 ),在 0=tN 时
duu
ntN
t
tNt
eNp
)(
1,,,
0
1
),,,(
l
tt tt
∫=?L
L,
而 在 0>tN 时
u
tt
k
tN
k
t
tNt
dNuduuduu
ntN eeNp
)(ln)()(ln)(
1,,,
0010
1
),,,(
lltll
tt tt
∫∫=∑∫= +?+?
=L
L,（ １７,９ ）
［ 注 ］ 在用例 １７,１０ 的参数模型建模时,需要用过程的一段 观测 轨道估计未知参数,而 使 （ １７,９ ） 取得最大值的参数作为估计,就是 最大似然估计,
推论 １７,１３
))((
0
s
t
dNsfE ∫ = dsssf
t
)()(
0
l∫,（ １７,１０ ）
=∫ ))((
0
s
t
dNsfVar dsssf
t
)()( 2
0
l∫,（ １７,１１ ）
证明 由定理 １７,９,利用对称性,我们得到
454
)())(())((]|)([
11
*
11
k
n
k
k
n
k
k
n
k
tk
n
k
EffEfEnNfE hhht ∑∑∑∑
====
====
du
dss
uufn
t
t
)(
)()(
0
0 l
l
∫
∫=,（ １７,１２ ）
于是
))((
0
s
t
dNsfE ∫ )(]|)([
10
nNPnNfE ttk
n
kn
=== ∑∑
=
∞
=
t
du
dss
uufEN
t
t
t
)(
)()(
0
0 l
l
∫
∫= = duuuf
t
)()(
0
l∫,
此即 （ １７,１０ ）,（ １７,１１ ） 的证明 是 类似 的,
注 也可以 用 特征泛函 )( fN?Φ J 对 J 求一阶微商和二阶微商得到,
命题 １７,１４ （ 非时齐的 Poisson 过程的 补偿 函数 ） 设 tN 是以 )(tl 为强度函数的非时齐 的 Poisson 过程,那么 dssNN
t
tt )(
0
~
l∫?=
是鞅,dss
t
t )(
0
l∫
=Λ 称为 非时齐的
Poisson 过程的补偿 函数,
定义 １７,１ ５ （ 对非时齐的 Poisson 过程的随机积分 ） 对于有界的 )tN（ 可知的随机过程 tΨ,用与 Ito 积分类似地用积分和的极限,可以定义 tΨ 关于鞅 tN~ 的 随机 积分,
以及关于 tN 的 随机 积分,
=
≥Ψ=Ψ ∑∫
=
)0(0
))1(
1
0 t
t
N
nss
t
N
NdN
n
t
t,
关于鞅 tN~ 的随机积分 是 Ito 积分的非时齐的 Poisson 版本,而且有
dssNddN s
t
ss
t
ss
t
)(
0
~
00
lΨ+Ψ=Ψ ∫∫∫
关于 时齐的 Poisson 过程的随机积分有许多与 Ito 积分相仿的性质,
命题 １７,１ ６ 鞅 tN~ 的特征 泛函为
455
dsssifeNdsfi
N
sif
T
s
T
eEef
)()](1[)( )(
0
~
0
~ )(
l ∫
=∫=Φ,（ １７,１３ ）
推论 １７,１ ７
（ １ ） duuNNCovNNE
ts
tsts )(),()(
0
~~
l∫
∧
==,
（ ２ ） duuNNNE
ttt
ttt )()(
321
321
0
~~~
l∫
∧∧
=,
（ ３ ） += ∫
∧∧∧
duuNNNNE
tttt
tttt )()(
4321
4321
0
~~~~
l ),(
21 tt
NNCov +),(
43 tt
NNCov
),(
31 tt
NNCov+ +),(
42 tt
NNCov ),(
41 tt
NNCov ),(
32 tt
NNCov,
证明 取 )()( ],0[
4
1
tItf
kti
k
J∑
=
=,将 )(~ f
N
Φ 记为 ),,( 41 JJj L,求
),0,0,0,0(
41
4
JJ
j
L,就得到 （ ３ ）,其它类似,
［ 注 ］ 对于 一般 未必可微的递增函数 tΛ,还可以推广定义以 tΛ 为补偿函数的非时齐的 Poisson
过程 tN,非时齐的独立增量过程,且 对于任意 ts <,有
st
PoissonNN st Λ?Λ? ~,此时仍有与 （ １ ７,８ ），（ １ ７,１０ ），（ １ ７,１ １ ） 与 （ １ ７,１ ２ ） 相应的结论,
１,５ 非时齐的 复合 Poisson 过程 及其 特征泛函
定义 １７,１ ８ 设 tN 为 非时齐的 Poisson 过程,}{ nX 为与之独立的独立同分布随机变量序列,k
N
k
t XY
t∑
=
=
1
称为 非时齐的 复合 Poisson 过程,}{ nX 称为 赋值随机变量序列 （ 或标值序列 ）,
可以证明 非时齐的复合 Poisson 过程 是非时齐的独立增量过程,
命题 １７,１ ９ 非时齐的 复合 Poisson 过程 tY 在区间 ],0[ T 上的特征泛函 定义 为
t
T
dYtfi
Y Eef
)(
0)(
∫=Φ?
,（ １７,１ ４ ）
于是有
=Φ )( fY
duuuf
T
e
)(])1)(([
0
lj?∫
,（ １７,１ ５ ）
456
其中 )(Jj 是 1X 的特征函数,1)( XiEe JJj =,
证明 与 （ １７,１２ ） 类似地有
)|[
)(
1 nNeE
T
Xfi kk
TN
k =
∑
=
t kk
n
k
Xfi
Ee
)(
1
h∑
= = )](([
1
k
n
k
fE hj∏
=
=
n
T
n
T duuuf
duu
])())(([
))((
1
0
0
lj
l
∫
∫
=,
于是 由全期望公式得到
kk
TN
k
k XfiI
Y Eef
)(
1
}1{)( t∑=Φ
==
≥
)()|()0(
)(
1
1 nNPnNeENP
TT
Xfi
n
T
kk
n
k ==
∑+==
=∑
∞
=
t
∑∞
=
+∫=
1
)(
1[0
n
duu
T
e
l
n
T
n
T duuuf
duu
])())(([
))((
1
0
0
lj
l
∫
∫
]!
))((
0
n
duu n
T
l∫
duuufduu
TT
ee
)())(()(
00
ljl ∫∫
=
duuuf
T
e
)(])1)(([
0
lj?∫
=,】
因为具有相同的特征 泛 函的两个随机过程的统计性质是一样的,所以命题 １７,１ ９ 常用于由特征泛函的形式来确定一个随机过程是否是非时齐的复合 Poisson 过程,
例 １７,２０ （ 非时齐的广义 Poisson 过程 ）
如果赋值随机变量具有离散分布
LL
LL
k
n pp
kX
1
~ １,则非时齐的复 合 Poisson
过程 称为 非时齐的广义 Poisson 过程,此时的特征泛函为
=Φ )( fY
duuep kuifk
k
T
e
)(])1[ )(
10
l?∑∫
∞
=
,（ １７,１ ６ ）
２,与非时齐的复合 Poisson 过程相系的 Poisson 点过程
２,１ 将非时齐复合 Poisson 过程表为 非时齐 Poisson 过程的积分 （ 用 时间积分表示 ）
利用对于非时齐的 Poisson 过程的 随机积分的定义,立 得 下述命题,
命题 １７,２１ （ 非时齐的复合 Poisson 过程 的非时齐 Poisson 积分表示 ）
设 tN 为非时齐的 Poisson 过程,}{ nX 为与之独立的独立同分布随机变量序列,而
457
k
N
k
t XY
t∑
=
=
1
是非时齐的复合 Poisson 过程,则 它 有 以下的积分表示式
ss
t
t dNXY
~
0
∫=,（ １７,１ ７ ）
其中
==
)
)(~
（ 其它０
nn
s
sXX t,于是非时齐的复合 Poisson 过程的特征泛函也可以写为
tt
T
dNXi
Ee
~
0
∫ = duuuf
T
e
)(])1)(([
0
lj?∫
,（ １７,１５ ）＇
２,２ 将非时齐复合 Poisson 过程表为 Poisson 点过程的积分 （ 用 空间积分表示 ）
我们先讨论简单的情形,对于离散赋值的非时齐的复合 Poisson 过程 k
N
k
t XY
t∑
=
=
1
,
设
LL
LL
k
k
n pp
vvX
1
1~,将过程 在时刻 t 以前取值 v 的累计次数 记为
=})({vNt 集合 }:{ tsvYs ≤= 中的元素个数,(17,18 ）
对于 固定的 值 v,})({vNt 可以看成对于非时齐的 Poisson 过程 tN 的分流,由 随机 分流定理可知,})({ kt vN 是强度函数为 )(tpk l 的非时齐 Poisson 过程,
由非时齐的复合 Poisson 过程的定义,直 观地可以看出,对于 LL,,,1 kvvv =,
})}({{ vNt 是一系列相互独立的非时齐的 Poisson 过程,而且有
})({ ktk
k
t vNvY ∑=,（ １７,１９ ）
又因为 Poisson 过程序列 })}({{ vNt （ LL,,,1 kvvv = ） 与空间的取值点列 },,,{ 1 LL kvv
相系,所以称 })}({{ vNt 为 Poisson 点 过程,Poisson 点过程的概念要比 Poisson 过程更复杂,它 包含 时空两个参数 ),( vt,而且对于不同的 v,作为时间 t 的随机过程是相互独立的,
表达式 （ １７,１９ ） 的直观含义是,如果把非时齐的复合 Poisson 过程 tY 看成在时刻 t 的总 的随机 积累,那么它 是 时刻 t 前取大小 不同的 固定值的 随机积累的 总 和,
这个思想可以拓广到一般的非时齐的复合 Poisson 过程 tY,即随机变量 kX 不必局限于取离散值,而是 可以取任意值 ( 甚至可取负值 ) 的情形,这时 tY 也 可以取任何的值,它 在时刻 t 前取值 于 区间 ],( ba 的次数,是一个随机过程,记 之 为 ]),(( baNt （ 因为 tY 当且仅当在
458
此非时齐的 Poisson 过程 tN 的事件列 nt 上跳跃,所以这个次数是一个有限的 （ 但是随机 的 ）
数 ）,它们满足
（ P,１ ） 由 随机 分流定理,]),(( baNt 是强度为 )(]),(( tbaXP l∈ 的非时齐的
Poisson 过程,
（ P,２ ） 由 随机 分流定理,若 区间 ),,1(],( miba ii L= 两两补交,则 随机过程
),,1()],(( mibaN iit L= 是相互独立的,
（ P,３ ） 对 于 cba << 有可加性,]),((]),((]),(( caNcbNbaN ttt =+,
再 记
]),(()( vNvN tt?∞=?,（ １７,２０ ）
注意 这里的记号 )(vNt 与前面定义的记号 })({vNt 的含义是不同的,
我们 将它叙述为如下的 略广 一 些 （ 不仅仅限于非时齐的复合 Poisson 过程 ） 的定 义,
定义 １７,２２ 依赖于实数值 v 的,正整值随机过程族 },0:)({ ∞<<?∞≥ vtvNt,
称 为 Poisson 点过程,如果对于 )()(]),(( aNbNbaN ttt?=? 满足 以上的 条件 （ P.2 ）,（ P.3 ）,
以及如下的 (P.1) ’,
（ P.1 ） ＇ 存在单调递增函数 )(vF,使 0)( =?∞F 且 ]),(( baNt 是强度为
)()]()([ taFbF l? 的非时齐的 Poisson 过程,
此时 )()( tvF l 称为 Poisson 点过程的补偿函数,
例 １７,２３ 由非时齐的 复合 Poisson 过程所定义的随机过程族
},0:)({ ∞<<?∞≥ vtvNt,是 Poisson 点过程,其中 )(vNt 表示此非时齐的 复合 Poisson
过程在时刻 t 前 取值于区间 ],( v?∞ 的次数,
易见 此 Poisson 点过程 的补偿函数是 )()( tvFX l,其中 XF 是 nX 的分布函数,即
)()()()(~ tvFvNvN Xtt l?= 是 )( tN 鞅,
一般地,若 Poisson 点过程的补偿函数 )()( tvF l 满足 ∞<=?∞?∞ CFF )()(,则存在以 )(tCl 为强度函数的非时齐的 P o isson 过程,及对应于 赋值随机变量 nX 的分布函数为
)(1)( vFCvF
def
X n = 的非时齐的复合 Poisson 过程,使此 Poisson 点过程 由此非时齐的复合
459
Poisson 过程生成,
特别地,对于非时齐的 Poisson 过程 tN,则有
}1(
1
}{ })({)(,})({ 1 +<≤
≥
<≤ ∑== + kvkt
k
ttt IkNvNIkN kk tt,
直观地,非时齐的复合 Poisson 过程 tY 看成在时刻 t 的总的随机积累,是 大小 不同的 随机积累的 总 和,即 对于如下的分点,nvnvvvv nmnnmnini nn =?=<<<< + )()(0)()( 1)(,,LL,
)(0)(max )()( 1 ∞→→?+ nvv ninii,)( 1)()( ' ninini vvv +≤<,有
∑ +≈
i
n
i
n
it
n
it vvNvY ]),(('
)(
1
)()( ∑?=
+
i
n
it
n
it
n
i vNvNv )]()(['
)()(
1
)(,
当 ∞→n 时,可以证明上式右方按概率收敛,将此概率收敛的极限随机变量记为
)(dvvNt∫,于是就得到 下面的命题,
命题 １７,２ ４ （ 用 Poisson 点过程表达非时 齐复合 Poisson 过程 tY 的分解式 ）
=tY )(dvvNt∫,（ １７,２１ ）
２,３ 将非时齐复合 Poisson 过程表为 时空 Poisson 过程的积分 （ 用 时 空 积分表示 ）
对于非时齐的复合 Poisson 过程 tY,还可以从另一种角度考虑,改记
)(),( vNvt t=m
这是一个时空双参数 的 正整值随机变量族,简称为 时空过 程,对于 bats <<≤,0,定义
),(),(),(),(]),(],(( asbsatbtbats mmmmm +=×?,（ １７,２２ ）
容易验证,
（ S,１ ） Poisson 性,))()())(()((~]),(],(( aFbFst
XX
Poissonbats× llm,
其中 )(xFX 是此非时齐复合 Poisson 过程相系的赋值随机变量 kX 们的公共分布函数,
（ S,２ ） 独立性,若 ],(],( iiiii batsA ×= ),,1( mi L=,且 iA 们两两不相交,则
)(,),( 1 mAA mm L 彼此独立,
（ S,３ ） 可加性,若 ],(],( iiiii batsA ×= ),,1( ３L=i,且 iA 们两两不相交,
U 321 AAA =,则
)()()( 321 AAA mmm +=,
460
我们 也 给出 一个一般的 （ 不仅仅限于非时齐的复合 Poisson 过程 ） 定义
定义 １７,２ ５ 正整值随机过程 族 },0:),({ ∞<<?∞≥ vtvtm,称为 时空 Poisson
点过程,如果条件 （ S,１ ） ＇,(S.2),（ S,3 ） 满足,其中 ]),(],(( bats ×m 由 （ ７,２３ ）
定义,且,
（ S,１ ）＇ Poisson 性,))()())(()((~]),(],(( aFbFstPoissonbats× llm,F 单调递增,0)( =?∞F,
注 这里只要求 F 递增,并未假定 ∞<∞)(F,
例 １７,２ ６ 由非时齐的复合 Poisson 过程所定义的随机过程族
},0:),({ ∞<<?∞≥ vtvtm
是 时空 Poisson 点过程,其中 )(),( vNvt t=m 表示此非时齐的复合 Poisson 过程在时刻 t 前取值于区间 ],( v?∞ 的次数,
类似地,若时空 Poisson 点过程的补偿函数 )()( tvF l 满足 ∞<=?∞?∞ CFF )()(,
则存在以 )(tCl 为强度函数的非时齐的 P o isson 过程,及对应于 赋值随机变量 nX 的分布函数为 )(1)( vFCvF
nX
= 的非时齐的复合 Poisson 过程,使此时空 Poisson 点过程是由此非时齐的复合 Poisson 过程 生成,
特别地,对于非时齐的 Poisson 过程 tN,则有
}{ 1]),(],(( +<≤<
≤<
∑=× kk ts
bka
Ibats ttm,
}:sup{)),0(],(( }{ tkItN kt
k
t k ≤==∞×?∞= ≤∑ tm t,
对于如下 的分点,nvnvvvv nmnnmnini nn =?=<<<< + )()(0)()( 1)(,,LL,
tssss nnnjnjn =<<<<<= + )()( 1)()(00 LL,)(0),(max )()( 1)()( 1,∞→→ ++ nssvv njnjniniji,
)(
1
)()( ' n
i
n
i
n
i vvv +≤<,粗略地 有
≈tY ]),(],(()],(),([' )( 1)()( 1)()(
,
)()(
1
)( n
j
n
j
n
i
n
i
n
i
jii
n
i
n
i
n
i vvssvvtvtv +++ ×=? ∑∑ mmm,
当 ∞→n 时,可以证明上式右方按概率收敛,将此概率收敛的极限随机变量记为
),(
0
dvdsv
t
m∫ ∫
∞
∞?
,于是就得到 下面的命题,
461
命题 １７,２ ７ （ 用 时空 Poisson 点过程表达非时齐复合 Poisson 过程 tY 的分解式 ）
=tY ),(
0
dvdsv
t
m∫ ∫
∞
∞?
,（ １７,２１ ）＇
３ 过滤 的 Poisson 过程
定义 １７,２８ 设 tN 是强度为 )(tl 的非时齐的 Poisson 过程,}( nX 是与之独立的独立同分布随机变量序列,又设 tN 在 t 前 第 n 个事件发生时刻 nt 的 赋值 ( 或理解成 能量 ),
不是 像 非时齐复合 Poisson 那样 由 nX 直接 给出,而是通过 某 个 有界的 响应函数 ),,( xsth
)( ts ≤ 给出的 ),,( nn Xth t,于是累计 能量 为
ss
t
t dNXsthZ ),,(
~
0
∫= （ == 其它 ）(0 )(~ nns sXX t ）,
称 之 为 过滤 的 Poisson 过程,特别地,当 ),,( nn Xth t nX＝ 时,过滤 的 Poisson 过程就是非时齐的复合 Poisson 过程,（ 所以 过滤的 Poisson 过程 相当于 ＂ 扭曲了的非时齐的复合
Poisson 过程 ＂）,
与命题 １７,１９ 类似地可以证明
定义 １７,２９ 过滤 的 Poisson 过程 tZ 在区间 ],0[ T 上的特征泛函为,对于任意连续的增函数 )(tF,定义
)(
0)(
tdFZi
Z
t
T
EeF ∫=Φ?,（ １７,２２ ）
（ 用 ∫ )(tdFZt 形式的积分定义特征泛函要比用 ∫ tdZtf )( 形式的积分更为灵活,使用面更广 ）,类似地 还 可以证明
命题 １７,３０ 过滤的 Poisson 过程 tZ 在区间 ],0[ T 上的特征泛函有如下的表达式,
duuEe
Z
T vdFXuvh
T
u
i
eF
)(])1[
0
)(),,(
)(
l?∫
∫
=Φ,（ １７,２３ ）
并由此得到
462
duuXuthEEZ
t
t )()],,([
0
l∫=,duuXuthXushEZZCov
ts
ts )()],,(),,([),(
0
l∫
∧
=,
用特征函数方法 还 不难证明下 述 类似于中心 极限 定 理 的近似定理,
定理 １７,３１ （ 过滤的 时齐的 Poisson 过程的 泛函型 的 Gauss 过程近似 定理 ）
假定 生成过滤的 Poisson 过程的 Poisson 过程是时齐的,其强度为 l,那么,当 ∞→l 时,在
],0( T 上
)( t
tt
ZVar
EZZ? 按分布 收敛到
tx,其中 tx 是期望函数为 ０ 的 Gauss 过程,其协方差函数为
ts ZZts
Cov,),( rxx = （ 指 sZ 与 tZ 的相关系数 ）,
使用这个定理,可以将高强度的过滤的时齐 的 Poisson 过程的近似计算大大地简化,
４ Poisson 随机 微积分简介
４,１ 关于时空 Poisson 点过程的随机积分
设 },0:),({ ∞<<?∞≥ vtvtm 是时空 Poisson 点过程,满足,对于任意
bats <<,))()())(()((~]),(],(( aFbFstPoissonbats× llm （ F 单调递增 ）,假定
∞<=?∞?∞= CFF )()(,0)0(l,那么,由 （ S,1 ） 可知,计数过程 ),( dvtNt m∫?= 是强度为 )(tCl 的非时齐的 Poisson 过程,我们不妨假定 1=C,
１,关于 非时齐的 Poisson 过程 tN 的随机积分
利用 非时齐的 Poisson 过程 在长度为 t? 的区间上的增量大于 1 的概率为 )( to?,可以得到如下 的引理,
引理 １７,３２ 对于非时齐的 Poisson 过程 tN 及 ],0( t 的一个划分,
ttttt nnnjnjn =<<<<<= + )()( 1)()(00 LL,)(0)(max )()( 1 ∞→→?+ ntt njnjj,我们 有
ttt
n
k
n NNN n
k
n
k
=?
∑
=
∞→
2
1
)(lim )(
1
)(,(17,24)
与 Brown 运动相比,这里是 tN,而在 Brown 运动情形是 t,直观地就是
tt dNdN =
2)(,(17,25)
证明 仿照 Brown 运动的 相应的结论 证明,细节留作习题,
定义 １７,３３ 对于 )( tN 可知的,且轨道具 有左极限的 随机过程 tΨ,可以仿照 Ito
积分定义 关于非时齐 Poisson 过程的随机积分如下,
463
)(lim )(
1
)()(
110
n
k
n
k
n
k ttt
n
k
nss
t
NNdN
Ψ=Ψ ∑∫
=
∞→?,(17,26 ）
注意这里被积函数用的是左极限,原因在于积分和中被积函数取的是区间左端点的值,
例 １７,３ ４
ttss
t
NNdNN 2121 2
0
=?∫,
证明 仿照 Brown 运动情形,由定义直接算 得,
关于非时齐 Poisson 过程的 随机积分有类似于 Ito 积分的许多性质,如 可加性,以及
（ １ ） dssdN s
t
ss
t
)(
00
lΨ?Ψ ∫∫? 是鞅,
（ 2 ） dssdN s
t
ss
t
)()( 2
0
2
0
lΨ?Ψ ∫∫? 也是鞅,
更一般地,我们可以定义
２,关于 时空 Poisson 点过程 ),( vtm 的随机积分
对于带有参数 v 的 ):),(( vvt?m 可知的,且 对 t 有左极限的 随机过程 )(vtΨ 及如下的划分,nvnvvvv nmnnmnini nn =?=<<<< + )()(0)()( 1)(,,LL,
tssss nnnjnjn =<<<<<= + )()( 1)()(00 LL,)(0),(max )()( 1)()( 1,∞→→ ++ nssvv njnjniniji,
)(
1
)()( ' n
i
n
i
n
i vvv +≤<,定义 关于 时空 Poisson 点过程的随机积分为
]),(],(()(lim),()( )( 1)()( 1)()(
,0
)(
1
n
j
n
j
n
i
n
i
n
is
ji
ns
t
vvssvdvdsv n
j ++∞→?
×Ψ=Ψ
∑∫∫
mm,(17.27)
类似地,还 有
),()),(( 2 dvdtdvdt mm = （ 17,25 ） ’
这种随机积分有类似于 Ito 积分的许多性质,如可加性,以及
（ １ ） )()()(),()(
0
vdsdFsvdvdsv s
t
s
t
lm ΨΨ ∫∫∫∫?
０
－ 是鞅,
（ ２ ） )()()()],()([ 22
0
vdsdFsvdvdsv s
t
s
t
lm ΨΨ ∫∫∫∫?
０
－ 也是鞅,
设 对应于 ),( dvtNt m∫?= 的 事件 发生时刻列为 }{ nt,由 于 F 是分布函数,此时 空
Poisson 点过程由非时齐的复合 Poisson 过程生成,设此非时齐的复合 Poisson 过程在 nt 的
464
赋值为 nX,于是 我们 有
)(),()(
1
}1{
0
n
N
n
Ns
t
XIdvdsv n
t
t tm Ψ=Ψ ∑∫∫
=
≥?,
４,２ 以 Poisson 过程 或 以时空 Poisson 点过程驱动的随机微分方程 与 Poisson
随机微积分的复合函数的 Ito 公式
时空 Poisson 过程驱动的随机积分方程
),(),,(),(
00
0 dvdsvsgdssb s
t
s
t
t mxxxx?∫∫∫ ++= （ １７,２８ ）
也称为时空 Poi sson 过程驱动的随机微分方程,其中 ),,(),,( vxtgxtb 是 ),( xt 的连续函数,
（ １７,２８ ） 也常常简记为 如下的 微分形式
),(),,(),( dvdtvtgdttbd ttt mxxx?∫+=,（ １７,２８ ）＇
而由非时齐的 Poisson 过程驱动的随机微分方程
ss
t
s
t
t dNvsgdssb ),,(),(
00
0?∫∫ ++= xxxx （ １７,２９ ）
就 正 是 如下的特殊形式
),(),,(),(
00
0 dvdsvsgdssb s
t
s
t
t mxxxx?∫∫∫ ++=,
即 （ １７,２９ ） 是 （ １７,２８ ） 的特 例,如果一个随机过程 tx 满足 （ １７,２８ ）,就称为方程 （ １７,２８ ） 的解,这时有
)},({),,( dvtvtg ttt mxxx ∫=?,
未必一定等于 0,所以 （ １７,２８ ） 的解的轨道与 Ito 方程的解的轨道很不同,Ito 方程的解是连续的,而是 （ １７,２８ ） 的解是可以间断的,此外,与 Ito 方程完全类似地,可以证明时空 Poisson 过程驱动的随机微分方程的解也是 Markov 过程,于是时空 Poisson 过程驱动的随机微分方程就成为一类轨道可以有间断的 Markov 过程的建模的有力工具,例如,
可以用 它改进风险证券的 Black - Scholes 模型,使之可以包容市场的突然变化,
定义 １７ 。 ３５ （ Poisson 型 Ito － Skorohod 过程 ）
形如
),()( dvdtvdtd ttt mx?Ψ+Φ= ∫ （ １７,３０ ）
的随机过程 tx 称为 P oisson 型 的 Ito - Skorohod 过程 ( 只对 v 作积分 ),
与 Ito 过程类似,Poisson 型 的 Ito - Skorohod 过程对于连续可微的复合运算 也 是封闭的,这就是下面 的链法则,
定理 １７,３６ （ 时空 Poisson 过程驱动的随机微分方程的解的复合函数 － Ito 公式 ）
若 ),( xtF 连续可微,tx 是 用 （ １７,３０ ） 表示的 Poisson 型 的 Ito - Skorohod 过程,
465
则 ),( ttF x 也是 Poisson 型 Ito - Skorohod 过程,且 其表示为
),()],())(,([)''(),( dvdttFvtFdtFFtdF tttxttt mxxxΨ++Φ+= ∫,
特别,如果 tx 是随机微分方程 （ １７,２８ ） 的解,则有
),()],()),,(,([)'),('(),( dvdttFvtgtFdtFtbFtdF tttxttt mxxxxx+++= ∫,
（ １７,３１ ）
直观证明 要点是 在将 ],0( t 细分后,在 区间集 ]},{( )()( 1 njnj tt? 中有的包含一个 kt 的区间,我们将它 改记为 ],( )(,)(,1 nkjn kj tt?,而 有的 区间 不包含 }{ kt 中的任一个,对于这类区间我们有
0),()(
)(
)(
1
=Ψ?∫
dvdsvs
t
t
n
j
n
j
m,所以,当 n 充分大时 有
)],()),()(,([ )(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
n
j
n
j
n
j
n
j t
n
js
t
t
t
n
ij
n
j
tFdvdsvtF
=
Ψ+ ∫∑ xmx
≈ }1{ ≥
tN
I )],()),()(,([ )(
,1
)(
,
)(
,1
)(
,1
)(
,1
)(
,
1
n
kj
n
kj
n
kj
n
kj
t
t
n
kjs
t
t
t
n
kij
N
k
tFdvdsvtF
=
Ψ+ ∫∑ xmx
}1{ ≥
∞→ →?
tN
n I )],()),()(,([
1
kkk
t
kk
N
k
FdvdsvF ttt xtmxt?Ψ+∑
=
),()],())(,([
0
dvdttFvtF ttt
t
mxxΨ+= ∫∫,
例 １７,３７ 若 tx 是 如下的 Poisson 型 的 Ito - Skorohod 过程,
),()( dvdtvdtd ttt mx?Ψ+Φ= ∫,
则有
（ １ ） 幂,
),(]))([(1 dvdtvdtmd mtmtttmtmt mxxxx?Ψ++Φ= ∫,（ １７,３２ ）
（ ２ ） 指数,令 tet xh =,则
),()1( )( dvdtedtd vtttt t mhhh?+Φ=?Ψ∫,
即 th 满足如下的随机微分方程,
),()1)(( )( dvdtvedd tvtttt t mhxhh?Ψ?+=?Ψ?∫,(17,32)
466
（ ３ ） 对数,如果 还有 0>tx,记 tt xV ln=,则
),())(1ln( dvdtvdtd
t
t
t
t
t mxxV
Ψ++Φ= ∫,（ １７,３４ ）
对于 d 维的情形,即 tx 取值于 dR 的情形 类似的结论 仍然正确,
再 则,时空 Poisson 点过程也可以是多维的,例如,是由多维的非时齐的复合 Poisson 过程
n
N
n
t XY
t∑
=
=
1
所导出的,
例 １７,３８ （ 乘积 的 Ito 公式与分 部 积分 ） 对于随机微分方程
),(),,( vddtvtgd tt mxx?∫=
及 ),( xtF 有
),()],()),,(,([),( vddttFvtgtFtdF tttt mxxxx+= ∫,
特别地,对于
)2,1(),(),,( )()( == ∫ ivddtvtgd itiit mxx －
有乘积公式
++=∫ ),,(),,([)( )1(1)2()2(2)1()2()1( vtgvtgd tttttt xxxxxx
),()],,(),,( )2(2)1(1 dvdtvtgvtg tt mxx+,
即
)( )2()1( ttd xx ),(),,(),,( )2(2)1(1)1()2()2()1( dvdtvtgvtgdd tttttt mxxxxxx∫++=,(17.35)
（ １７,３５ ） 可以推广到 一般情形,即
),(),,(),( vddtvtgdttbd ttt mxxx?∫+=
的情形仍然正确,从而 得到 一般的 分 部积分公式,请读者自己写下这个公式,
下面的存在唯一性的证明,可以在 随机微分方程的书的有关带跳的随机微分方程的章节中找到,我们略去其证明,
定理 １７ 。 ３９ （ 时空 Poisson 过程驱动的随机微分方程解的存在唯一性 ）
若 )(tl 有界,),,( vxtg 连续,且 在 ],0[ T 上满足
)1(),,(),( 222 xCvxtgxtb +≤+,（ １７,３６ ）
22 |||),,(),,(||),(),(| yxCvytgvxtgytbxtb?≤?+?,（ １７,３ ７ ）
那么随机微分方程 （ １７,２８ ） 存在唯一的解 tx,而且它是 Markov 过程,
467
例 １７,４０ 设 )(tf 是数值函数,tN 是非时齐的 Poisson 过程,考虑随机微分方程
1,)( 0 == VVV ttt dNtfd,
它有唯一解,可以用 Ito 公式验证此解正 是 （ 利用 例 １７,３７ （ ２ ））
s
t
dNsf
t e
))(1ln(
0
+∫
=V ))(1(
1
n
N
n
f
t
t+= ∏
=
,（ １７,３８ ）
４,３ 由 Brown 运动和时空 Poisson 过程联合驱动的随机微分方程
设 Brown 运动 }0:{ ≥tBt 与时空 Poisson 点过程 },0:),({ vtvt 一切≥m 相互独立,则由 Brown 运动和时空 Poisson 过程 联合 驱动的随机微分方程
),(),,(),(),(
00
0 dvdsvsgdBsdssb s
t
ss
t
s
t
t mxxsxxx?∫∫∫∫ +++=
０
,(17,39)
即方程
),(),,(),(),( dvdtvtgdBtdttbd ttttt mxxsxx?∫++=
的解是 Markov 过程,我们给出如下的两个定理,而略去其证明,
定理 １７ 。 ４ １ （ 解的存在唯一性 ） 若 )(tl 有界,),,( vxtg 连续,且在 ],0[ T 上满足
)1(),(),,(),( 2222 xCxtvxtgxtb +≤++ s,(17,40)
222 |||),,(),,(||),(),(||),(),(| yxCvytgvxtgytxtytbxtb?≤?+?+? ss,
(17,41)
那么随机微分方程 （ １７,３ ９ ） 存在唯一的解 tx,而且它是 Markov 过程,
定理 １７,４ ２ （ 一般的 Ito 公式 ）
若 ),( xtF 对 t 连续可微,对 x 二阶连续可微,tx 是 （ １７,３ ９ ） 的解,则
txtxxtxttt dBFtdtFtFtbFtdF '),(]''),('),('[),( xsxsxx ++=?
２
２
１＋
),()],()),,(,([ dvdttFvtgtF ttt mxxx++ ∫,
同样,在 多维情形也有对应的定理,
例 １７,４ ３ 随机微分方程
1),)()(( 0 =+= VVV tttt dNtfdBtgd
的唯一解是
dssgBsg
t
t
s
t
e
2
00
)(21)( ∫∫
=
V ))(1(
1
n
N
n
f
t
t+∏
=
,（ １７,４２ ）
468
５ 自激点过程
５,１ 自激点过程的强度过程与条件计数强度
定义 １７,４４ 如果计数过程 tN 满 足,00 =N,且当 0→h 时
)()0,()0|1( hohtNNNP ttht +===?+ l,
)(),,;,(),,,|1( 111 hohssNtsskNNNP ktkkttht +=====?+ LL ltt
（ 1≥k ）,
)(),,,|2( 11 hosskNNNP kkttht ====≥?+ tt L （ 1≥k ）．（ １７,４３ ）
则称为 自激点过程,而随机过程
<≤
<=
+
}(),,;,(
)()0,(
11
1
ttt NNNt
t tNt
tt
ttttl
tll
L,（ １７,４４ ）
称为其 强度 (随机 )过程,
最简单的是 tl ),( tNtl= 的情形,
定义 １７,４５
)|(),( ttt NENt ll =∧ （ １７,４５ ）
称为自激点过程的 条件计数强度,
于是 我们有
)(),()|1( ^ hohNtNNNP tttht +==?+ l,)()|2( hoNNNP ttht +=≥?+
（ １７,４６ ）
例 １７,４ ６ 在第 １３ 章第 ５ 节中,年龄 x 的 n 个人的群体在时刻 t 以前的死亡人数
（ 死亡计数过程 ） tN 是自激点过程,其强度过程为 txtt NnNt +?= ml )(),(,其中 tx+m 是年龄为 tx + 的死亡率,
５,２ 自 激点过程的绝对概率
仿照非时齐的 Poisson 过程的绝 对 概率的推导,我们 可以 得到
duu
st
t
seNNP
)0,(
)0|0(
l∫
===
,
duNu
Nsst
sNs
t
s
s eNNNP
),,;,(
1
1
),,,|0(
ttl
tt
L
L ∫==?
,)1( ≥sN,
(17,47)
令
)()( nNPtp tn ==,(17,48)
469
同样地仿照非时齐的 Poisson 过程的绝对概率的推导,利用 （ １７,４６ ） 我们得到
定理 １７,４７ 自激点过程的绝对概率满足如下的无穷个常微分方程
)()0,()(' 0^0 tpttp l?=,
)()1,()(),()(' 1^^ tpnttpnttp nnn+?= ll )1( ≥n,
这是一个非时齐的单侧纯生过程,可以 用 归纳 法 求 得 其解为
duu
t
etp
)0,(
0
^
0)(
l∫
=
duu
t
se
)0,(l∫
=
,
dsespnstp
dunu
n
t
n
t
s
),(
1
^
0
^
)()1,()(
l
l ∫?=
∫ )1( ≥n,(17,49）
５,３ 自激点过程的事件到达时刻的联合分布
我们求自激点过程 tN 的前 n 个事件到达时刻 ),,( 1 ntt L 的联合分布,注意
=+ )(),,;,( 1 hohssnt nLl ),,,|1( 11 nnttht ssnNNNP ====?+ tt L
),,|(
),,|,(
11
111
nnt
nntn
ssnNP
ssnNhttP
===
===+≤<= +
tt
ttt
L
L
),,|(
),,|(
111
111
nnn
nnn
sstP
sshttP
==>
==+≤<=
+
+
ttt
ttt
L
L,
这正说明了下述结论,
定理 １７,４８ ),,;,( 1 nssnt Ll 是在 nn ss == tt,,11 L 的条件下,1+nt 的故障率,因此,在 nn ss == tt,,11 L 的条件下,1+nt 的条件密度为
dussnu
nn
n
ns
ns
nn
esssp
),,;,(
11,,|
1
1
11
),,|(
L
L L
l
ttt
∫
=
+
+
+,（ １７,５０ ）
从而 ),,( 1 ntt L 的联合分布为
dusskun
k
n
k
ks
ks
n essp
),,;1,(
1
1,,
11
1
1 ),,(
=
∫
= ∏
L
L L
l
tt,（ １７,５１ ）
其中 )0,();0,(,0 00 tsts ll ==,
我们可以进一步由 （ １７,５１ ）,求得自激点过程在时刻 t 时的计数 tN 与事件发生时刻的联合分布 ),,,( 11 nnt ssnNP ≤≤= tt L 关于 ),,( 1 nss L 的密度 （ 称 之 为 自激 点 过程
470
的 样本分布 ）
),,,( 1,,,
1 nN ssnp tNt LLtt ),,|( 11 nnt ssnNP ==== tt L
),,( 1,,
1 n
ssp
n
LLtt
),,|0( 11 nnst ssNNP
n
===?= tt L
dusskun
k
k
ks
kse
),,;1,(
1
11
1
=
∫∏ Ll
dusskun
k
dussnu k
ks
ks
n
t
ns ee
),,;1,(
1
),,;,( 11
1
1?
=
∫∫
= ∏
LL ll
,
此即 下面的定理,
定理 １７,４９ 自激点过程计数 tN 与事件发生时刻的联合分布 （ 即 自激点过程 的样本分布 ） ),,,( 11 nnt ssnNP ≤≤= tt L 关于 ),,( 1 nss L 的密度为 （ 1≥n ）
),,,( 1,,,
1 nN ssnp tNt LLtt
dusskun
k
dussnu k
ks
ks
n
t
ns ee
),,;1,(
1
),,;,( 11
1
1?
=
∫∫
= ∏
LL ll
．（ １７,５２ ）
例 １７,５０ 伽 玛 光子检测器用以检测按强度函数为 )(tn 的非时齐的 Poisson
过程到达的伽 玛 光子,但是,这种装置在检测到一个光子后有一 个随机的失效时间,假定检测到第 n 个光子后的失效时间为
n
V,且 }{ nV 独立同分布,并 与此非时齐的 Poisson 过程独立,其共同分布函数是 )(tFV,将至时刻 t 为止检测到的光子数记为 tN,再 记各个检测到光子的时刻 分别 依次 为 LL,,,1 ntt,
假定开 始时检测装置是有效的,我们说明 tN 是自激点过程,事实上,此时有
)()0,( tt nl =,又因为在时刻 nt 检测到光子后,在其后的时刻 t 检测装置不失效的概率是
)0( ntF tV （ 此处 ＂ 0? ＂ 表示左极限 ）,于是对于 1≥= nNt 有
)0()(),,;,( 1= nn tFtssnt tnl VL （ )0()(),,;,( 1=
tt NNt
tFtNt tnttl VL ）,
特别当 =nV 常数的时候,各个检测到光子的时刻 ),,( 1 ntt L 的联合分布可以容易地由 （ １７,５１ ） 计算 得到,
５,４ 具有限记忆的自激点过程
定义 １７,５１ （ ０ － 记忆自激点过程 ） 自激点过程 tN 称为 ０ － 记忆的,如果
),(),,;,( 1 tNt NtNt
t
lttl =L
471
（ 即 与
tN
tt,,1 L 无关 ）,
例 １７,４６ 中的自激点过程就是 ０ － 记忆的,
命题 １７,５２ 自激点过程 tN 是 Markov 链,当且仅当 它 是 ０ － 记忆的,
证明 必要性只需验证,对于 1sss m >>> L 而言,)|( iNjNP sts ==+ 与
),,,|( 1
1
iNiNiNjNP smssts
m
====+ L 满足同样的方程,】
定义 １７,５３ （ m － 记忆自激点过程 ） 自激点过程 tN 称为 m － 记忆的,如果
=),,;,( 1
tNt
Nt ttl L ),,;,( 1
tt NmNt
Nt ttl L+?
（ 即 与 mN
t?
tt,,1 L 无关 ）,
命题 １７,５ ４ 自激点过程 tN 是 m － 记忆的,当且仅当 }{ nt 是 m 阶 Markov 链,
即
=
+
+?
mn
n
n
t
t
x
1
是 Markov 链,
证明 由 （ １７,５０ ） 即得,
定义 １７,５５ （ 时齐的 １ － 记忆自激点过程 ） １ － 记忆自激点过程 tN 称为 时齐的,如果存在一个函数 ),( yxh 使
),();,(
tt NtNt
tNhNt ttl?=,
由 （ １７,５０ ） 立刻得到下面的定理
定理 １７,５６ 设 １ － 记忆自激点过程 tN,其事件发生的时刻 分别 依次 为 }{ nt,那么
（ １ ） tN 是时齐的充要条件是 }{ nt 是独立随机变量序列的部分和,
（ ２ ） }{ nt 是延迟更新流的充要条件是,存在一个函数 )( yg 使
)();,(
tt NNt
tgNt ttl?=,
（ ３ ） }{ nt 是更新流的充要条件是,存在一个函数 )(th 使
)()0,( tht =l,且 )();,(
tt NNt
thNt ttl?=,
其中 )(th 可以解释为待更新的 部件 的故障率,
472
５,５ 对于自激点过程的随机积分
设 tN 是自激点过程,又随机过程 tΨ 是 )( tN 可知的,有界的,轨道为分段连续的随机过程,那么可以 如 关于 非时齐的 Poisson 的随机积分类似地定义
≥Ψ
=
=Ψ ∑∫
=
)1(
)0(0
1
t
N
n
t
uu
t
N
N
dN
n
t
t０
,
此时有
=Ψ?∫ ][ uu
t
dNE
０
duE uu
t
][ lΨ∫
０
,
对于这种随机积分,同样可以讨论随机微分方程及 Ito 公式,其形式是一样的,
例 １７,５７ 设
tttt dNdtd llx ln+?=,
那么由 （ １７,９ ） 可知其指数函数 tet xh = 可以看成自激点过程 tN 的似然函数,由 Ito
公式得到,它的 n 次 幂 满足
t
n
t
n
tt
n
t
n
t dNdtnd )1(?+?= lhlhh,
［ 注 ］ 还可以抽象出更为一般的时空点过程及其 随机 微积分,
５,６ 二重 Poisson 过程
定义 １７,５８ 设 tx 是一个随机过程,一般地称为 被调制的信息过程,而当 tx 的
轨道给定时,计数过程 tN 是一个强度函数为 ),( tt xl 的非时齐的 Poisson 过程,那 么 tN 称为 二重 Poisson 过程,),( tt xl 称为 二重 Poisson 过程的强度,
在实用问题中,常常是通过接收到的点过程 tN 的一段样本轨道,来估计被调制的信息过程,例如,信号为函数 )(tS,它在被均值为 ０ 的背景 Gauss 过程噪声的干扰下,成为代表信息的 Gauss 过程 tx,而由此生成的二重 Poisson 过程 tN 则是光子流,最简单的情形是强度为 )(),( tgt t xxl = （ 随机变量乘以常函数 ）,2),( tt ct xxl =,
这时 有
]!
]),([
[)()( 0
),(
0
n
dss
eEnNPtp
n
s
t
dss
tn
s
t xl
xl ∫∫
===
,
定理 １７,５９ 假定二重 Poisson 过程 tN 的强度 ),( tt xl 的数学期望有限,记 tN 的
473
事件列 分别依次 为 LL <<<< ntt 10,令
≥
==≤=
)1(),,,|),((
)0()|),(():|),((
1 tNtt
ttt
utt NNtE
NNtEtuNtE
tttxl
xlxll
L,
那么,tN 是强度随机过程为 tl 的自激点过程,
证明 当 0→h 时
):|1([ tsNNNPE stht ≤=?+ ):|),:|1([ tsNtsNNNPE ststht ≤≤=?= + x，
)(]:|):|),(([ hotsNtsNhtEE sst +≤≤= xl )(hoht += l,
同样证明
)():|( hotsNNNP stht =≤≥?+ ２,】
于是二重 Poisson 过程的一些统计量的计算就直接化归自激点过程的计算,定理 １７,４７,
定理 １７,４８,定理 １７,４９ 也都成立,
［ 注 ］ 一般 由于 ),(^ ntl 不易计算,所以 )(tpn 也不易计算,下面 的 定理 可用于 近似算法,它 可以用特征函数方法证明
定理 １７,６０ （ 二重 Poisson 过程绝对概率的近似计算 ） 对二重 Poisson 过程 tN,记
dss s
t
t ),(
0
xl∫=Λ,
)(,)(
**
t
tt
t
t
tt
t Var
E
NVar
ENNN
Λ
Λ?Λ=Λ?=,
假定 ∞→t 时,∞→ΛtE,那么
（ １ ） 若还有 0)( )( 2 >→ΛΛ cEVar
t
t,则只要 *
tΛ 按 分布 收敛于随机变量 h,
*
tN 就 按 分布 收敛到
c
c 111 +
+
+
hx
,其中 x 与 h 独立,且 )1,0(~ Nx,
（ ２ ） 若还有 0)( )( 2 →ΛΛ
t
t
E
Var
,则 *tN 按 分布 收敛 x,其中 )1,0(~ Nx,
（ ３ ） 若还有 ∞→ΛΛ 2)( )(
t
t
E
Var
,则只要 *tΛ 按 分布 收敛于随机变量 h,*tN 也 按 分布 收敛于 h,
定义 １７,６１ 设 tx 是一个随机过程 （ 可以是多维的 ）,一般地称为 被调制的信息
过程,而当 tx 的轨道给定时,计数过程 ),,( )()1( dttt NNN L= 的各个分量彼此独立,且 )(ktN
474
是一个强度函数为 ),()( tk t xl 的非时齐的 Poisson 过程,那么 tN 称为 多 道 二重 Poisson 过程,)),(,),,((),( )()1( tdtttt ttt xlxlxl L= 称为 多道 二重 Poisson 过程的强度,
在应用中,如核医疗中多探针的检测系统,伽 玛 射线照相机等,常用 d 道二重 Poisson
过程 建模,更多地出现的是 tx 是 Markov 过程,或 Markov 链的情形,用 tN 的观测样本去估计信息过程 tx 就需要滤波,
习题 17
1,证明 非时齐的 复合 Poisson 过程是非时齐的独立增量过程,再求它的 数学期望函数与协方差函数,
2,如果赋值随机变量具有分布
ppX n 1~
１０
,问这时的非时齐的复合 Poisson 过程 是什么？ 解释其概率含义,
3,求 )(lim )(
1
)()(
1
n
k
n
k
n
k ttt
n
k
n NNN
∑
=
∞→,
4,若 ),()( dvdtvdtd ttt mx?Ψ+Φ= ∫,对于复指数 tit e xh =,求 tdh,
5,设 )(tf 是数值函数,tN 是非时齐的 Poisson 过程,tV 满足随机微分方程
1,)( 0 == VVV ttt dNtfd,
（ １ ） 证明
dsssf
t
t
eE
)()(
0
l
V ∫=,
（ ２ ） 证明 ttt dNtftfd )()](2[22 += VV,
（ ３ ） 求 )( tVar V,)( 2tVar V,
6,即用定理 １７,４７,证明自激点过程 tN 的数学期望和方差分别为
duEEN u
t
t )(
0
l∫=,
=)( tNVar duE u
t
)(
0
l∫ duNE uu
t
)(2
0
l∫+ 2
0
])([ duE u
t
l∫?,
其中随机过程 tl 是 tN 的随机强度过程 （ 见 （ １７,４４ ）,
475
7,设 tN 是非时齐的生灭过程,即 ０ － 记忆自激点过程,其 ),( tNtl 满足 ∞=
≤
∑ ),(sup 1 ns
tsn l
,
证明 1)( =∞<tNP,（ 提示 应用定理 １７,４７ ）,
8,设 ０ － 记忆自激点过程 tN 满足,]1)[0,(),( += tt NtNt ll,证明 nn tptptp )](1)(()( 00?=,
9,设二重 Poisson 过程 tN 的 xxl )(),( tgt t =,其中 )(tg 非随机,x 有分布密度 )()( ),0[ tItp ∞x,
证明
)( nNP t = dttpetn
dssg dssgt
n
nt
t
t
)(!
])([ )(
0
0 0
x
∫=?∞∫∫
,
再证明
]|):|),(([)|(),( tstttt NtsNtEENENt ≤==∧ xlll
]|),([ tt NtE xl=
dsspes
dsspestg
duugs
N
duugs
N
t
t
t
t
)(
)()(
)(
0
)(
1
0
0
0
x
x
∫
∫
=
∞
+
∞
∫
∫
,
最后,如果 ~x Gamma 分布 ),( laΓ,那么
)( nNP t = nt
t
t
dssg
dssg
dssgn
n ]
)(
)(
[]
)(
[)(! )(
0
0
0
∫
∫
∫ ++Γ
+Γ=
ll
l
a
a a
,
tN 称为 非时齐的 Polya 过程,证明若 lx exp~,则 （ １７,９ ） 的似然函数为
s
t
t
tNt
dNs
N
t
tntN edssgNNp
)(ln
)1(
0
1,,,
0
1 ])([)!(),,,(
l
tt lltt
∫+= +?∫L
L,
并证明建模参数 l 的最大似然估计是
dssgN
t
t
)(1
0
∫=∧l,
10,对于二重 Poisso n 过程 tN,记 dss s
t
t ),(
0
xl∫=Λ,证明
tststs ECovNNCov ∧Λ+ΛΛ= ),(),(,
476
11,对于非时齐的 Poisson 过程 tN 及 ],0( t 的一个划分,
ttttt nnnjnjn =<<<<<= + )()( 1)()(00 LL,)(0)(max )()( 1 ∞→→?+ ntt njnjj,
证明 ttt
n
k
n NNN n
k
n
k
=?
∑
=
∞→
2
1
)(lim )(
1
)(,
