1
第五章数字滤波器
(Digital Filter)
2
§1,概述
h(n)
y(n
)
x(n)
一、定义数字滤波器：用有限精度算法实现的时域离散线性非移变系统，用于完成对信号的滤波处理。
二、分类
:
)
(
)
(
.
1
分列长的时宽据单位取样响应
n
h
IIR,Infinite Impulse Response,
无限长单位脉冲响应滤波器
FIR,Finite Impulse Response,
有限长单位脉冲响应滤波器
2.
根据实现的方法分：
递归型
(
带反馈
)
，
IIR
一般为递归型。
非递归型，一般
FIR
，除频率取样设计法外。
3
:
.
特点三稳定、灵活、精度高设计过程四
.
.
.
1
确定滤波器的指标多项式有理函数稳定、因果）
求满足指标的
1
1
:
:
(
)
(
.
2
z
FIR
z
IIR
z
H
.
.
4
满足指标验证所逼近的系统是否
系数量化选结构设计的系统用有限精度运算实现所
.
3
4
§
2
模拟滤波器设计
(Analog Filter)
)
:
(
)
(
B
LPF
filter
pass
Low
BW
utterworth
低通滤波器一、
幅度响应
.
1
频率截止频率
dB
j
H
c
N
c
a
3
,
,
)
(
1
1
)
(
2
2
+
=
2
2
2
2
1
1
)
(
,
,
1
1
)
(
,
,
:
1
)
(
0
:
λ
ε
+
=
=
+
=
=
=
=
j
H
j
H
j
H
a
s
a
p
a
阻带边界频率当通带边界频率当指标
，
当显然
5
2
)
(
j
H
a
2
1
1
ε
+
2
1
1
λ
+
s
p
通带过渡带阻带
.
,
,
0
,
3
,
3
,
,
,
1
则趋于理想情况当频率亦称此时通带衰耗截止频率当
p
s
c
p
c
p
dB
dB
A
→
∞
→
=
=
=
=
λ
εε
6
N
n
c
c
j
H
2
2
1
1
)
(
.
/
,
1
,
1
.
2
+
=
=
=
为归一化频率归一化
ε
设计过程
.
3
s
s
p
p
A
A
N
时衰耗为时衰耗为设当确定阶数
=
=
,
)
1
(
)
1
lg(
10
1
1
lg
10
)
(
lg
10
)
1
lg(
10
1
1
lg
10
)
(
lg
10
2
2
2
2
2
2
λ
λ
ε
ε
ρ
+
=
+
=
=
+
=
+
=
=
s
a
s
a
p
j
H
A
j
H
A
而
7
1
10
1
10
1
.
0
1
.
0
=
=
s
A
A
λ
ε
ρ
∴
)
1
,
(
=
=
ε
时当
c
p
N
cs
N
cs
N
c
p
N
c
p
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
1
1
1
1
,
)
(
)
(
1
1
1
1
=
+
=
+
=
+
=
+
λ
λ
ε
ε
又∵
)
(
)
(
)
(
2
22
两边取对数
N
sp
N
sp
=
=
∴
λε
λ
ε
8
)
/
lg(
)
/
lg(
)
/
lg(
)
/
lg(
p
s
s
p
N
N
≥
≥
∴
ε
λ
λ
ε
或
)
(
)
(
)
2
(
s
H
s
H
a
a
的极点及求
N
c
a
a
j
s
s
H
s
H
j
s
2
)
(
1
1
)
(
).
(
+
=
=
令
:
,
2
求法如下个极点共有
N
9
π
)
1
2
(
2
2
1
)
(
0
)
(
1
+
=
=
=
+
k
j
N
c
k
N
c
k
e
j
s
j
s
)
1
2
,...,
2
,
1
,
0
(
2
1
2
)
2
1
2
2
(
2
1
2
2
2
1
.
.
)
1
.(
=
+
+
+
+
+
=
=
=
=
∴
N
k
N
N
k
j
c
N
k
j
c
N
k
j
c
j
N
c
k
e
e
e
e
j
s
π
π
π
π
π
2
2
,
)
(
2
N
N
s
N
c
π
π
=
角度间隔为上巴特沃思圆的圆平面半径为个极点分布在即
)
2
2
2
1
2
2
1
)
1
(
2
(
N
N
N
k
N
N
k
π
π
π
=
+
+
+
+
+
10
3
6
14
54
3
6
2
6
10
3
32
3
4
2
1
32
0
π
π
π
π
π
π
π
π
j
c
j
cc
j
c
j
c
j
c
j
c
j
c
c
j
c
e
e
ss
e
e
e
s
e
e
ss
e
s
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
σ
j
×
×
×
×
×
×
0
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
s
的圆
c
3
π
个极点有如
6
,
3
:
=
N
11
N
N
N
N
N
π
π
π
其余间隔为处第一个极点出现在实轴上无极点为偶数时当且相邻间隔为实轴上有极点为奇数时当
,
2
,
,
2
,
,
1
:
极点分布规律
4
:
=
N
如
σ
j
×
×
×
×
×
×
4
π
×
×
12
∏
=
=?
1
0
1
1
0
2
)
(
...
)
1
(
)
(
:
,
,
)
(
N
k
k
N
N
a
a
S
S
s
s
s
s
H
s
j
H
的传输函数为可写出巴特沃斯滤波器左平面上的极点则由其的极点后求出的要求时是为了满足分子
1
)
0
(
0
...
)
1
(
2
1
1
0
=
=
=
H
s
s
s
s
N
N
c
s
s
n
a
n
n
c
s
H
s
H
s
H
s
H
=
=
=
/
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
,
求非归一化而由归一化可得令归一化
13
)
(
35
,
/
10
4
),
(
3
,
/
10
,
/
10
~
0
,
:
5
5
5
阻带最小衰耗阻带通带最大通带型低通滤波器的设计一个满足下述指标例
dB
A
s
rad
dB
A
s
rad
s
rad
BW
s
s
p
c
=
×
=
=
=
N
,
,
)
1
(
:
λ
ε
求解
)
3
(
9
.
2
4
lg
2
.
56
lg
)
/
lg(
)
/
lg(
2
.
56
1
10
1
10
,
1
3
35
1
.
0
1
.
0
=
=
=
≥
∴
=
=
=
=
∴
=
×
N
N
dB
A
p
sA
p
s
取
ε
λ
λ
ε
Q
14
.
)
2
(
平面左半平面的极点确定
s
π
π
π
π
32
34
2
1
32
0
,
,
j
c
j
c
c
j
c
j
c
e
e
s
e
s
e
s
=
=
=
=
=
3
2
2
3
3
2
1
0
2
1
0
2
2
)
)(
)(
(
)
(
)
(
)
3
(
c
c
c
c
a
a
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
s
H
+
+
+
=
=
写出
15
为归一化极点此型低通滤波器函数阶得归一化取
i
N
i
i
n
c
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
BW
c
)
(
1
1
2
2
1
)
)(
)(
(
)
(
:
3
,
1
1
0
2
3
1
2
1
0
2
1
0
∏
=
=
=
+
+
+
=
=
=
通带具有最平特性特点
:
.
4
16
)
(
)
(
.
型低通滤波器切比雪夫二
CB
Chebyshev
)
3
(
.
,
,
/
.
,
1
0
,
)
/
(
1
1
)
(
.
1
2
2
2
带宽此处不是也是滤波器的通带宽度为截止频率的归一化频率对频率为大幅度大程度表示通带内振幅波动的幅度特性
dB
c
j
H
c
c
c
c
N
a
<
<
+
=
ε
ε
ε
ε
17
=
)
(
x
C
N
:
)
(
阶切比雪夫多项式是
N
x
C
N
2
,
2
cos
,
x
x
jx
jx
e
e
chx
e
e
x
+
=
+
=
其中
1
),
(
1
),
cos
cos(
1
1
>
≤
x
x
Nch
ch
x
x
N
2
)
(
j
H
a
s
c
2
1
1
ε
+
2
1
1
λ
+
1
18
设计过程
.
2
1
10
,
1
10
:
)
1
(
1
.
0
1
.
0
=
=
s
p
A
A
N
λ
ε
据指标求
)
lg,
:
(
)
/
(
cosh
)
/
(
cosh
)
1
/
(
)
(
cosh
cosh
)
(
1
1
)
/
(
1
1
,
1
1
1
1
2
2
2
≥
∴
>
=
=
∴
+
=
+
=
ch
CB
BW
N
N
c
c
c
s
c
s
cs
cs
N
c
s
N
s
型是而型是注处在
ε
λ
ελ
λ
ε
Q
19
)
(
)
2
(
s
H
a
从模方函数求系统函数
N
k
N
k
ch
N
k
sh
j
s
s
H
j
s
c
j
s
c
k
c
k
k
k
k
a
c
N
,...,
2
,
1
)
2
1
2
cos(
),
2
1
2
sin(
)
(
,
)
(
0
)
(
1
:
,
:
2
2
=
=
=
+
=
=
+
=
π
ξ
π
ξ
σ
σ
ε
见网络综合可以证明的极点为设则有令先求极点
)
1
(
1
,
1
ε
ξ
=
sh
N
其中
20
.
)
(
)
(
,
1
2
2
2
2
2
2
的椭圆方程实轴和短半轴为虚轴是长半轴为
ξ
ξ
ξ
ξ
σ
sh
ch
ch
sh
c
c
c
k
c
k
=
+
Q
)
(
,
)
(
s
H
s
s
H
a
i
a
即可写出传输函数后的极点求得
[
]
)
2
cos(
)
0
(
1
,
cos
cos
)
(
1
N
c
x
x
N
x
c
NN
π
=
∴
≤
=
Q
21
)
)...(
)(
(
...
)
1
(
)
(
1
)
0
(
,
0
)
0
(
2
1
3
2
1
N
N
N
a
N
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
H
C
N
=
=
=
∴
为奇数时当为偶数而当
N
2
1
1
2
1
)
)...(
(
...
)
1
(
)
(
)
(
1
1
1
)
0
(
,
1
)
0
(
ε
ε
+
=
∴
≠
+
=
=
N
N
N
a
N
s
s
s
s
s
s
s
H
H
c
通带内最小值
)
(
,
1
s
H
n
c
可得若取
=
22
dB
A
dB
A
s
s
p
40
,
4
,
1
,
:
≥
≥
=
=
δ
耗已知通带内波动最大衰一化切比雪夫滤波器设计满足下列指标的归例
2
4
1
.
0
1
.
0
1
.
0
10
1
10
1
10
5088
.
0
1
10
1
10
)
1
(
:
=
=
=
=
=
=
s
A
λ
ε
δ
解
)
1
(
3
86
.
2
4
cosh
)
5088
.
0
/
10
(
cosh
)
(
cosh
)
/
(
cosh
1
2
1
1
1
=
=
=
=
=
c
s
N
N
注归一化指标取
ε
λ
23
3
,
2
,
1
)
6
1
2
cos(
),
6
1
2
sin(
4760
.
0
588
.
0
1
sinh
31
)
1
(
1
)
2
(
1
1
=
=
=
∴
=
=
=
i
i
ch
i
sh
sh
N
i
i
π
ξ
π
ξ
σ
ε
ξ
由求极点
9660
.
0
2471
.
0
4942
.
0
9660
.
0
2471
.
0
*
1
32
1
j
s
s
sh
s
j
s
=
=
=
=
+
=
ξ
可求左半平面的
3
个极点：
24
传输函数实际的可求得非归一化令若已知可得归一化传输函数
)
(
,
)
(
)
(
,
)
)(
)(
(
)
1
(
)
(
:
/
3
2
1
3
2
1
3
c
s
s
n
a
c
n
s
H
s
H
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
=
=
=
3
、特点：等波纹滤波的幅度逼近，最窄带过渡带三、椭圆滤波器通带和阻带内都具有
“
等波纹
”
振幅特性，其振幅特性是由雅可比椭圆函数决定，故称
“
椭圆滤波器
”
。在此不讨论。
25
§
3 IIR
数字滤波器的设计一、概述
∑
∑
=
=
=
N
k
k
k
M
r
r
r
z
a
z
b
z
H
1
0
1
)
(
:
为数字滤波器的系统函数一般地，一个
IIR
.
.
.
)
(
)
(
)
(
:
10
r
k
N
k
M
r
r
k
b
a
z
F
D
IIR
r
n
x
b
k
n
y
a
n
y
、
域上求解系数即为在设计差分方程
∑∑
==
+
=
26
:
常用方法共有三种
.
,
.
1
然后将其数字化先设计一个模拟滤波器
z
s
→
双线性变换法脉冲响应不变变换法
:
频域设计
.
.
.
2
F
D
IIR
z
平面上直接设计在帕德逼近法时域设计
幅度平方函数法零极点累试法线性规划设计法最小平方逆设计法误差法最小最小均方误差法
p
逼近所希望的响应在某种最优准则意义上计算机辅助设计利用最优化技术
)
(
.
.
3
27
数字滤波器由模拟滤波器直接设计二
.
（一）
脉冲响应不变法进行取样即对原理
)
(
)
(
)
(
:
.
1
t
h
t
h
n
h
nT
t
=
=
)
(
)
(
.
.
2
z
H
s
H
a
→
方法
∑
=
=
N
k
k
k
a
a
s
s
A
s
H
s
H
1
)
(
),
(
)
1
(
根据指标求
[]
∑
=
=
=
N
k
t
s
k
a
a
t
U
e
A
s
H
L
t
h
k
1
1
)
(
)
(
)
(
)
2
(
∑
=
=
=
=
N
k
nT
s
k
nT
t
n
u
e
A
t
h
n
h
k
1
)
(
)
(
)
(
)
3
(
28
T
s
k
nn
N
k
T
s
k
N
k
n
nT
s
k
n
k
k
k
e
z
z
e
A
z
e
A
z
n
h
z
H
=
=
=
=
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
==
=
极点
00
1
1
1
1
)
(
)
(
)
4
(
∑∑
==
=
→
=
N
i
N
i
T
s
i
i
i
z
e
A
z
H
s
s
A
s
H
i
11
1
1
)
(
)
(
:
即对应关系
1
1
1
1
→
z
e
s
s
T
s
i
i
)
1
1
(
)
(
)!
1
(
)
(
,
)
(
)
(
:
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
=
=
=
=
∑
∑
z
e
dz
d
z
k
T
A
z
H
r
s
s
s
A
s
H
T
s
k
k
k
r
k
k
k
r
k
k
k
a
则阶极点处有一即在若注
29
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
)!
1
(
)
1
(
)
(
1
)!
1
(
1
1
→
z
e
ds
d
k
s
s
A
k
T
dz
d
z
z
e
T
s
k
k
k
k
k
k
k
T
s
或然后相加及再乘以作即对
)
(
)
(
)
(
:
2
2
z
H
b
a
s
a
s
s
H
试用脉冲响应不变法求已知例
+
+
+
=
2
2
1
1
1
)
(
1
)
(
2
2
)
cos
2
(
1
)
cos
(
1
1
2
/
1
1
2
/
1
)
(
2
/
1
2
/
1
)
(
)
(
:
+
+
=
+
=
∴
+
+
+
+
=
+
+
+
=
z
e
z
bT
e
z
bT
e
z
e
z
e
z
H
jb
a
s
jb
a
s
b
a
s
a
s
s
H
aT
aT
aT
T
jb
a
T
jb
a
解
30
特点
.
3
)
(
.
,
)
3
(
)
(
)
2
(
)
1
(
ω
ω
ω
j
T
j
sT
T
s
k
e
e
e
z
T
e
z
k
=
=
=
=
由成线性关系
。
取样造成存在频谱混叠
，零点不满足。
极点变换关系
31
双线性变换法二
).
(
设计思想
.
1
.
,
)
(
)
~
(
)
(
到无混叠效应数字化后的频响可以做缩在数字化前进行频带压带宽有限的带宽无限给定
∴
→
→
Q
z
H
s
H
s
H
如下图所示问题的关键是找变换使
,
~ s
s
→
Im(s)
Re(s)
s平面
)
~
Im(
s
)
~
Re(
s
2
/
s
2
/
s
Im(z)
Re(z)
32
2.变换关系
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
ee
c
e
e
e
e
c
T
s
c
s
s
s
s
~~
2
/
~
2
/
~
2
/
~
2
/
~
11
)
2
~
(tanh
,
~
)
1
(
+?
=
+?
=
=→
s
存在下列关系设
0
0
~;
0
0
~
>
>
<
<
s
s
s
s
时，
当时，
则显然当
→
~
考虑频率特性
，则有
，
令
=
=
~
~
j
s
j
s
,
2
~
2
~
cos
2
2
~
sin
2
2
~
2
~
2
~
2
~
T
tg
c
j
T
T
j
c
e
e
e
e
c
j
T
j
T
j
T
j
T
j
=
=
+?
=
33
2
~
T
tg
c
=
∴
.
2
~
2
~
,
)
2
(
,
2
~
,
2
2
~
,
为边界的水平窄区内平面内以平面映射成即将时时当
s
s
s
s
s
s
T
T
T
T
±
∴
=
→
+∞
→
=
=
→
∴
→?
∞
→
π
π
π
π
平面平面将
z
s
→
~
)
2
(
11
11
11
:
11
~~
~
+?
=
+?
=
+?
=
∴
=
zz
c
zz
c
ee
c
s
e
z
T
s
T
s
T
s
常规转换
34
+
+
=
+
=
j
c
j
c
s
c
s
c
z
σσ
而
,
)
(
)
(
2
2
2
2
+
+
+
=
σσ
cc
z
1
),
(
0
,
1
,
0
,
1
,
0
:
=
=
>
>
<
<
z
z
z
虚轴显然
σ
σ
σ
∴由
s
到
z
为一一对应，且单值对应
35
特点
.
3
(1)
无混叠误差
∝
=
≈
<
=
→
~
2
~
2
~
2
~
~
)
3
.
0
(
~
2
~
~
T
c
T
T
tg
T
T
tg
c
s
s
，此时而成线性。
与时，
很小只有在性。
变换中频率关系不是线
π
Q
11
11
2
11
2
~
2
+?
=
+?
=
∴
=
=
zz
T
zz
T
s
T
c
此时变换式可写成时，
当
(2)
频率产生失真：
36
4
、频率预畸若只关心滤波器的幅频特性，为了补偿频率的畸变，
让变换后的位置不产生变化。取
c=1
，对特定频率
(
Ω
p
，
Ω
s
，
Ω
c
)
先进行预畸。
2
T
tg
D
D
=
，则预畸后为某一给定指标的频率设
2
~
~
T
tg
s
s
=
→
平面平面从再将
D
=
~
则有
37
变化。
平坦且单调
，并要求在通带内特性取样频率
，
，最小阻带衰耗阻带边界频率带宽截频其指标为：
一个数字低通滤波器，
试用双线性变换法设计例
s
rad
dB
As
rad
rad
dB
sa
s
/
20
10
4
.
0
)
2
(
2
.
0
)
3
(
)
1
(
.
1
c
π
π
ω
π
ω
=
=
=
=
型滤波器解：按题意选
BW
7265
.
0
2
.
0
2
2
3249
.
0
1
.
0
2
2
''
=
=
=
=
=
=
=
=
π
ω
π
ω
tg
tg
T
tg
tg
tg
T
tg
s
s
s
c
c
c
s
c
预畸
，
先将
38
2
366
.
1
236
.
2
lg
3
lg
)
lg(
)
lg(
3
9
1
10
1
'
'
1
.
0
=
=
=
≥
∴
=
=
=
=
N
N
c
s
A
s
取
ε
λ
λε
1
2
1
)
(
)
)(
(
1
)
(
2
2
1
+
+
=
=
s
s
s
H
s
s
s
s
s
H
n
n
查表归一化：
2
'
'
2
2
'
'
2
)
(
c
c
c
c
s
s
s
H
s
s
+
+
=
=
代入，
以
39
+
+?
+
+?
=
=
=
+?
=
+?
=
2
2
2
2
2
11
2
'
3249
.
0
11
3249
.
0
2
11
2
)
3249
.
0
(
2
)
(
)
(
2
2
),
(
11
2
zz
zz
T
T
s
H
z
H
T
tg
T
s
H
zz
T
s
zz
T
s
c
c
则得同时代入将
4218
.
0
1433
.
1
)
1
(
674
.
0
1055
.
0
)
11
(
4594
.
0
)
11
(
1055
.
0
2
2
2
+
+
=
+
+?
+
+?
=
z
z
z
zz
zz
40
表示低通预畸截频。
注：
即低通即得代入直接将后，
一般地求出归一化的变换。
时是最简单的一种映射无关，
与可看出
2
2
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
11
1
)
(
1
)
(
'
11
1
'
'
c
c
c
zz
s
n
n
c
n
tg
T
tg
s
H
z
H
z
H
s
H
zz
s
s
H
c
c
z
H
c
ω
=
=
=
+?
=
=
+?
=
41
:
,
,
.
2
其指标为滤波器设计一个切比雪夫数字利用双线性变换法例
π
ω
π
π
ω
ω
ω
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
26
.
0
2
.
0
)
(
2
.
0
0
1
)
(
8
.
0
j
j
e
H
e
H
预畸转折频率解
:
dB
A
dB
e
H
A
N
s
j
p
9794
.
13
2
.
0
lg
20
9382
.
1
10
8
lg
20
)
(
lg
20
:
=
=
=
=
=
ω
Q
求
4327
.
0
2
26
.
0
2
3249
.
0
22
.
0
2
''
=
=
=
=
=
=
π
ω
π
ω
tg
tg
tg
tg
s
s
c
c
42
994
.
4
1
10
,
75
.
0
1
10
9794
.
13
1
.
0
9382
.
1
1
.
0
=
=
=
=
∴
×
×
λ
ε
4
238
.
3
)
/
(
cosh
)
/
(
cosh
'
'
1
1
=
=
≥
N
N
c
s
，取
ε
λ
i
i
i
i
i
i
jch
sh
j
s
i
N
i
N
β
ξ
β
ξ
σ
π
β
π
β
π
β
π
β
π
β
ε
ξ
cos
sin
87
,
85
,
83
,
81
,
)
8
1
2
(
2
1
2
2746
.
0
75
.
0
1
sinh
41
1
sinh
1
:
4
3
2
1
1
1
+
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
求极点
43
2
4
3
2
1
4
3
2
1
1
)
)(
)(
)(
(
)
(
ε
+
=
∴
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
n
归一化
*
*
3971
.
0
2568
.
0
9589
.
0
1063
.
0
1
4
2
32
1
s
s
s
s
j
s
j
s
=
=
+
=
+
=
∴
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
'
7195
.
0
6401
.
1
1
)
1
(
0362
.
0
)
(
,
8815
.
0
5448
.
1
1
)
1
(
03692
.
0
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
,
11
1
+
+
=
+
+
=
=
+?
=
z
z
z
z
H
z
z
z
z
H
z
H
z
H
z
H
s
H
zz
s
n
c
代入以
44
11
2
)
(
)
(
)
(
),
(
)
1
(
+?
=
=
zz
T
s
a
a
s
H
z
H
z
H
s
H
直接用公式求若已知
:
总结
.
,
2
2
)
(
)
(
),
(
)
2
(
'
11
1
'
表示低通预畸截频其中则若已知
c
c
c
zz
s
n
n
tg
T
tg
s
H
z
H
s
H
c
ω
=
=
=
+?
=
45
的优化设计三、
DF
IIR
最小均方误差法
.
1
的系统函数：
已知级联型
DF
IIR
)
(
1
1
)
(
1
2
1
2
1
z
cG
z
d
z
c
z
b
z
a
c
z
H
K
k
k
k
k
k
=
+
+
+
+
=
∏
=
.
)
1
(
,
,
,
,
是待定系数式中
K
k
b
a
d
c
c
k
k
k
k
≤
≤
(1)
上是已知的。
它在一组离散频率设所需求的频率响应为
)
...
2
,
1
(
),
(
M
i
e
H
i
j
d
=
ω
ω
46
:
),
(
方误差可表示为则在给定的频率点处均实际所求的频率响
ω
j
e
H
[]
2
1
)
(
)
(
∑
=
=
M
i
j
d
j
i
i
e
H
e
H
E
ω
ω
(2)
:
思想最小均方误差法的设计
)
(
min
:
)
(
)
(
1
i
M
i
i
j
d
j
E
E
e
H
e
H
ω
ω
ω
ω
ω
≤
≤
=
最小方误差各值时的均在与所求的频率响应器的频率响是使实际所求出的滤波个未知量的函数是共有的函数及是式可看出由
)
1
4
(
1
,
,
,
,
:
)
1
(
+
∴
≤
≤
K
E
K
k
c
d
c
b
a
E
k
k
k
k
Q
47
[]
2
1
1
1
1
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
,
...,
,
,
,
(
1
∑
=
Φ
=
Φ
=
=
Φ
Φ
M
i
j
d
j
T
K
K
K
K
i
i
e
H
e
cG
c
E
E
d
c
b
a
d
c
b
a
ω
ω
则为若令矢量
K
n
A
E
c
c
EK
E
E
n
4
...,
2
,
1
,
0
)
,
(
0
)
,
(
:
1
4
,
,
,
=
=
Φ
Φ
=
Φ
+
方程可得到并令这些导数为零对每一参数的偏导数取最小为使
)
(
,
1
4
z
H
K
n
n
然后可得个未知数可用计算机求解这个分量的第是其中
+
Φ
Φ
48
最小平方逆设计法
.
2
内给出对系统的要求。
方逆是在时域内给出要求，而最小平最小均方差法是在频域
∑
∑
∞
=
=
=
=
0
1
0
)
(
1
)
(
,
n
n
N
k
k
k
z
n
h
z
a
b
z
H
IIR
设如下图示传递系统中送到一则如将对应的单位取样响应为统函数为所要求的滤波器的系设
,
)
(
1
)
(
),
(
,
)
(
z
H
n
h
n
h
z
H
d
d
d
)
(
1
z
H
)
(
n
h
d
)
(
n
V
49
=
∴
=
=
∑
∑
=
=
N
k
d
k
d
N
k
k
k
d
d
k
n
h
a
n
h
b
n
V
b
z
a
z
H
z
H
z
H
z
V
z
n
V
1
0
0
1
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
1
).
(
)
(
:
)
(
变换为的则输出序列
)
(
)
(
)
(
)
(
z
H
z
H
n
n
V
d
接近时，表示显然当
δ
→
)
0
(
)
(
)
0
(
1
)
(
0
0
,
0
)
(
),
(
)
(
0
1
0
d
N
k
d
k
d
d
d
h
b
k
h
a
h
b
n
V
n
n
n
h
n
h
z
H
=
∴
=
∴
=
=
<
=
∑
=
，
则：当满足定的为因果系统，即指标给设
50
.
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
越好越接近但希望有误差与
，但
，要求当
n
V
n
V
n
V
n
→
>
[]
[]
+
=
=
=
∑∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
==
∞
==
∞
=
∞
=
11
1
1
2
1
2
2
0
1
2
1
)
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
0
)
(
nn
N
kn
N
k
d
k
d
k
d
d
n
n
k
n
h
a
k
n
h
a
n
h
n
h
b
n
V
n
V
E
即使
：
∑∑
∑
∑∑
∑
=
∞
=
∞
=
∞
==
∞
=
=
∴
=
+
=
=
N
kn
n
d
d
d
d
k
n
N
k
d
d
k
n
d
d
i
i
n
h
n
h
i
n
h
k
n
h
a
i
n
h
k
n
h
a
i
n
h
n
h
N
i
a
E
11
1
11
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
:
,...
2
,
1
,
0
/
则令
51
N
N
k
k
i
n
d
d
a
a
a
N
i
i
k
i
a
a
i
n
h
k
n
h
k
i
,...
,
,...
2
,
1
)
0
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
2
1
11
即可求出满足则系数定义
∑∑
=
∞
=
=
Φ
=
Φ
=
Φ
)
(
)
(
,
)
(
)
(
...
,
,
2
1
0
n
n
V
n
e
H
z
H
a
a
a
b
j
N
δ
ω
越逼近取得越大或可求则由
52
法时域均方误差最小化方
.
3
∑∑
==
+
=
M
k
N
k
k
k
k
n
y
a
k
n
x
b
n
y
DF
IIR
01
)
(
)
(
)
(
设
{
}
[
]
下面介绍一种近似法。
相当烦琐的要严格求解这个问题是最小则要求逼近所需的要使
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2
∑
=
n
h
n
h
E
n
h
n
h
d
d
∑
∞
=
=
<
=
0
)
(
)
(
0
,
0
)
(
:
n
n
z
n
h
z
H
n
n
h
即设系统是因果的
∑
∑
=
=
=
N
k
k
k
M
k
k
k
z
a
z
b
z
H
DF
1
0
1
)
(
:
的转移函数另一方面递归
∑
∑
∑
=
=
∞
=
=
N
k
k
k
M
k
k
k
n
n
z
a
z
b
z
n
h
1
0
0
1
)
(
:
令两式相等有
53
1
24
0
3
k
...
k
a
0
n=0
h(-k)
...
1
n=1
h(1-k)
0
...
∑∑
∑
∑
∞
==
=
∞
=
=
00
1
0
)
(
)
(
n
M
k
k
k
N
k
k
k
n
n
n
z
b
z
a
z
n
h
z
n
h
该项是
h(n)
、
a
n(n=1,…N)
卷积的
Z
变换卷积与
n
n
h
a
∑
=
n
k
k
a
k
n
h
1
)
(
54
∑
∑∑
∑
=
∞
=
=
∞
=
=
∴
M
k
k
k
n
a
n
h
n
k
n
k
n
n
z
b
z
a
k
n
h
z
n
h
n
0
0
)
(
1
0
)
(
)
(
4
3
4
42
1
比较两边同幂次系数
∑∑
==
>
=
≤
≤
=
n
k
k
n
k
n
k
M
n
k
n
h
a
n
h
M
n
b
k
n
h
a
n
h
11
,
0
)
(
)
(
0
,
)
(
)
(
∑
∑
=
=
>
=
≤
≤
+
=
n
k
k
n
k
k
n
M
n
k
n
h
a
n
h
M
n
k
n
h
a
b
n
h
1
1
)
(
)
(
0
)
(
)
(
or
55
非线性函数是但可递推即
k
k
b
a
n
h
b
a
b
a
b
a
b
h
h
a
b
h
b
h
,
)
(
...
)
2
(
)
0
(
)
1
(
)
0
(
:
0
2
0
1
2
1
1
2
1
1
0
+
+
+
=
+
=
=
∑
=
≤
≤
+
=
∴
n
k
d
k
n
d
M
n
k
n
h
a
b
n
h
1
0
),
(
)
(
有
∑
=
>
=
n
k
d
k
d
M
n
k
n
h
a
n
h
1
),
(
)
(
{}
{
}
)
(
)
(
,
)
(
)
(
n
h
n
h
n
h
n
h
d
d
=
令充分接近与考虑到
① ②
.
,
2
,
,
1
k
k
k
a
a
b
M
只涉及系数个方程组含无穷个方程第涉及系数个方程个方程组含第
56
{
}
{
}
∑
=
≤
<
=
n
k
d
k
d
k
k
L
n
M
k
n
h
a
n
h
L
b
a
1
),
(
)
(
.
,
,
2
可选一个大正数对无穷多个方程则可由①
求得个方程组中求得如能从第
)
1
,
(
)
(
)
(
,
.
,
个有个有数的总和和的系数的长度等于但此时个未知数则上式刚好有若选
+
+
=
M
b
N
a
b
a
z
H
n
h
a
N
M
N
L
k
k
k
k
d
k
Q
:
,
,
,
,
,
,
,
1
)
(
,
,
,
)
(
,
)
(
即要求二乘法求解可用最小通常没有精确的解对于这样的方程组于未知数的个数即方程个数大程组于是得到一所谓超定方一般选合理的是不的长度为因此限制有较少系数的优点性不降在选择这样就失去了的阶数必很高则较长如
N
M
L
N
M
n
h
DF
IIR
z
H
n
h
d
d
+
>
+
+
∴
57
最小
=
=
∑∑
+
==
L
M
n
n
k
d
k
d
k
n
h
a
n
h
E
1
2
1
)
(
)
(
[]
∑
∑∑
∑∑
∑
∑∑
+
=
+
==
+
==
+
=
+
==
≤
≤
=
=
=
L
M
n
d
d
k
L
M
n
n
k
d
d
L
M
n
n
k
L
M
n
d
d
k
d
d
d
L
M
n
n
k
d
k
d
l
l
N
l
l
n
h
n
h
a
l
n
h
k
n
h
l
n
h
k
n
h
a
l
n
h
n
h
l
n
h
k
n
h
a
n
h
a
E
a
E
1
11
11
1
11
1
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
2
0
/
/
即并令求
{}
{}
{
}
.
,
)
1
(
,
,
,
辅助进行上述方法一般用计算机式即可求出代入求出可求从而个未知数个方程共此时
k
k
k
b
a
a
N
N
第五章数字滤波器
(Digital Filter)
2
§1,概述
h(n)
y(n
)
x(n)
一、定义数字滤波器：用有限精度算法实现的时域离散线性非移变系统，用于完成对信号的滤波处理。
二、分类
:
)
(
)
(
.
1
分列长的时宽据单位取样响应
n
h
IIR,Infinite Impulse Response,
无限长单位脉冲响应滤波器
FIR,Finite Impulse Response,
有限长单位脉冲响应滤波器
2.
根据实现的方法分：
递归型
(
带反馈
)
，
IIR
一般为递归型。
非递归型，一般
FIR
，除频率取样设计法外。
3
:
.
特点三稳定、灵活、精度高设计过程四
.
.
.
1
确定滤波器的指标多项式有理函数稳定、因果）
求满足指标的
1
1
:
:
(
)
(
.
2
z
FIR
z
IIR
z
H
.
.
4
满足指标验证所逼近的系统是否
系数量化选结构设计的系统用有限精度运算实现所
.
3
4
§
2
模拟滤波器设计
(Analog Filter)
)
:
(
)
(
B
LPF
filter
pass
Low
BW
utterworth
低通滤波器一、
幅度响应
.
1
频率截止频率
dB
j
H
c
N
c
a
3
,
,
)
(
1
1
)
(
2
2
+
=
2
2
2
2
1
1
)
(
,
,
1
1
)
(
,
,
:
1
)
(
0
:
λ
ε
+
=
=
+
=
=
=
=
j
H
j
H
j
H
a
s
a
p
a
阻带边界频率当通带边界频率当指标
，
当显然
5
2
)
(
j
H
a
2
1
1
ε
+
2
1
1
λ
+
s
p
通带过渡带阻带
.
,
,
0
,
3
,
3
,
,
,
1
则趋于理想情况当频率亦称此时通带衰耗截止频率当
p
s
c
p
c
p
dB
dB
A
→
∞
→
=
=
=
=
λ
εε
6
N
n
c
c
j
H
2
2
1
1
)
(
.
/
,
1
,
1
.
2
+
=
=
=
为归一化频率归一化
ε
设计过程
.
3
s
s
p
p
A
A
N
时衰耗为时衰耗为设当确定阶数
=
=
,
)
1
(
)
1
lg(
10
1
1
lg
10
)
(
lg
10
)
1
lg(
10
1
1
lg
10
)
(
lg
10
2
2
2
2
2
2
λ
λ
ε
ε
ρ
+
=
+
=
=
+
=
+
=
=
s
a
s
a
p
j
H
A
j
H
A
而
7
1
10
1
10
1
.
0
1
.
0
=
=
s
A
A
λ
ε
ρ
∴
)
1
,
(
=
=
ε
时当
c
p
N
cs
N
cs
N
c
p
N
c
p
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
1
1
1
1
,
)
(
)
(
1
1
1
1
=
+
=
+
=
+
=
+
λ
λ
ε
ε
又∵
)
(
)
(
)
(
2
22
两边取对数
N
sp
N
sp
=
=
∴
λε
λ
ε
8
)
/
lg(
)
/
lg(
)
/
lg(
)
/
lg(
p
s
s
p
N
N
≥
≥
∴
ε
λ
λ
ε
或
)
(
)
(
)
2
(
s
H
s
H
a
a
的极点及求
N
c
a
a
j
s
s
H
s
H
j
s
2
)
(
1
1
)
(
).
(
+
=
=
令
:
,
2
求法如下个极点共有
N
9
π
)
1
2
(
2
2
1
)
(
0
)
(
1
+
=
=
=
+
k
j
N
c
k
N
c
k
e
j
s
j
s
)
1
2
,...,
2
,
1
,
0
(
2
1
2
)
2
1
2
2
(
2
1
2
2
2
1
.
.
)
1
.(
=
+
+
+
+
+
=
=
=
=
∴
N
k
N
N
k
j
c
N
k
j
c
N
k
j
c
j
N
c
k
e
e
e
e
j
s
π
π
π
π
π
2
2
,
)
(
2
N
N
s
N
c
π
π
=
角度间隔为上巴特沃思圆的圆平面半径为个极点分布在即
)
2
2
2
1
2
2
1
)
1
(
2
(
N
N
N
k
N
N
k
π
π
π
=
+
+
+
+
+
10
3
6
14
54
3
6
2
6
10
3
32
3
4
2
1
32
0
π
π
π
π
π
π
π
π
j
c
j
cc
j
c
j
c
j
c
j
c
j
c
c
j
c
e
e
ss
e
e
e
s
e
e
ss
e
s
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
σ
j
×
×
×
×
×
×
0
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
s
的圆
c
3
π
个极点有如
6
,
3
:
=
N
11
N
N
N
N
N
π
π
π
其余间隔为处第一个极点出现在实轴上无极点为偶数时当且相邻间隔为实轴上有极点为奇数时当
,
2
,
,
2
,
,
1
:
极点分布规律
4
:
=
N
如
σ
j
×
×
×
×
×
×
4
π
×
×
12
∏
=
=?
1
0
1
1
0
2
)
(
...
)
1
(
)
(
:
,
,
)
(
N
k
k
N
N
a
a
S
S
s
s
s
s
H
s
j
H
的传输函数为可写出巴特沃斯滤波器左平面上的极点则由其的极点后求出的要求时是为了满足分子
1
)
0
(
0
...
)
1
(
2
1
1
0
=
=
=
H
s
s
s
s
N
N
c
s
s
n
a
n
n
c
s
H
s
H
s
H
s
H
=
=
=
/
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1
,
求非归一化而由归一化可得令归一化
13
)
(
35
,
/
10
4
),
(
3
,
/
10
,
/
10
~
0
,
:
5
5
5
阻带最小衰耗阻带通带最大通带型低通滤波器的设计一个满足下述指标例
dB
A
s
rad
dB
A
s
rad
s
rad
BW
s
s
p
c
=
×
=
=
=
N
,
,
)
1
(
:
λ
ε
求解
)
3
(
9
.
2
4
lg
2
.
56
lg
)
/
lg(
)
/
lg(
2
.
56
1
10
1
10
,
1
3
35
1
.
0
1
.
0
=
=
=
≥
∴
=
=
=
=
∴
=
×
N
N
dB
A
p
sA
p
s
取
ε
λ
λ
ε
Q
14
.
)
2
(
平面左半平面的极点确定
s
π
π
π
π
32
34
2
1
32
0
,
,
j
c
j
c
c
j
c
j
c
e
e
s
e
s
e
s
=
=
=
=
=
3
2
2
3
3
2
1
0
2
1
0
2
2
)
)(
)(
(
)
(
)
(
)
3
(
c
c
c
c
a
a
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
s
H
+
+
+
=
=
写出
15
为归一化极点此型低通滤波器函数阶得归一化取
i
N
i
i
n
c
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
BW
c
)
(
1
1
2
2
1
)
)(
)(
(
)
(
:
3
,
1
1
0
2
3
1
2
1
0
2
1
0
∏
=
=
=
+
+
+
=
=
=
通带具有最平特性特点
:
.
4
16
)
(
)
(
.
型低通滤波器切比雪夫二
CB
Chebyshev
)
3
(
.
,
,
/
.
,
1
0
,
)
/
(
1
1
)
(
.
1
2
2
2
带宽此处不是也是滤波器的通带宽度为截止频率的归一化频率对频率为大幅度大程度表示通带内振幅波动的幅度特性
dB
c
j
H
c
c
c
c
N
a
<
<
+
=
ε
ε
ε
ε
17
=
)
(
x
C
N
:
)
(
阶切比雪夫多项式是
N
x
C
N
2
,
2
cos
,
x
x
jx
jx
e
e
chx
e
e
x
+
=
+
=
其中
1
),
(
1
),
cos
cos(
1
1
>
≤
x
x
Nch
ch
x
x
N
2
)
(
j
H
a
s
c
2
1
1
ε
+
2
1
1
λ
+
1
18
设计过程
.
2
1
10
,
1
10
:
)
1
(
1
.
0
1
.
0
=
=
s
p
A
A
N
λ
ε
据指标求
)
lg,
:
(
)
/
(
cosh
)
/
(
cosh
)
1
/
(
)
(
cosh
cosh
)
(
1
1
)
/
(
1
1
,
1
1
1
1
2
2
2
≥
∴
>
=
=
∴
+
=
+
=
ch
CB
BW
N
N
c
c
c
s
c
s
cs
cs
N
c
s
N
s
型是而型是注处在
ε
λ
ελ
λ
ε
Q
19
)
(
)
2
(
s
H
a
从模方函数求系统函数
N
k
N
k
ch
N
k
sh
j
s
s
H
j
s
c
j
s
c
k
c
k
k
k
k
a
c
N
,...,
2
,
1
)
2
1
2
cos(
),
2
1
2
sin(
)
(
,
)
(
0
)
(
1
:
,
:
2
2
=
=
=
+
=
=
+
=
π
ξ
π
ξ
σ
σ
ε
见网络综合可以证明的极点为设则有令先求极点
)
1
(
1
,
1
ε
ξ
=
sh
N
其中
20
.
)
(
)
(
,
1
2
2
2
2
2
2
的椭圆方程实轴和短半轴为虚轴是长半轴为
ξ
ξ
ξ
ξ
σ
sh
ch
ch
sh
c
c
c
k
c
k
=
+
Q
)
(
,
)
(
s
H
s
s
H
a
i
a
即可写出传输函数后的极点求得
[
]
)
2
cos(
)
0
(
1
,
cos
cos
)
(
1
N
c
x
x
N
x
c
NN
π
=
∴
≤
=
Q
21
)
)...(
)(
(
...
)
1
(
)
(
1
)
0
(
,
0
)
0
(
2
1
3
2
1
N
N
N
a
N
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
H
C
N
=
=
=
∴
为奇数时当为偶数而当
N
2
1
1
2
1
)
)...(
(
...
)
1
(
)
(
)
(
1
1
1
)
0
(
,
1
)
0
(
ε
ε
+
=
∴
≠
+
=
=
N
N
N
a
N
s
s
s
s
s
s
s
H
H
c
通带内最小值
)
(
,
1
s
H
n
c
可得若取
=
22
dB
A
dB
A
s
s
p
40
,
4
,
1
,
:
≥
≥
=
=
δ
耗已知通带内波动最大衰一化切比雪夫滤波器设计满足下列指标的归例
2
4
1
.
0
1
.
0
1
.
0
10
1
10
1
10
5088
.
0
1
10
1
10
)
1
(
:
=
=
=
=
=
=
s
A
λ
ε
δ
解
)
1
(
3
86
.
2
4
cosh
)
5088
.
0
/
10
(
cosh
)
(
cosh
)
/
(
cosh
1
2
1
1
1
=
=
=
=
=
c
s
N
N
注归一化指标取
ε
λ
23
3
,
2
,
1
)
6
1
2
cos(
),
6
1
2
sin(
4760
.
0
588
.
0
1
sinh
31
)
1
(
1
)
2
(
1
1
=
=
=
∴
=
=
=
i
i
ch
i
sh
sh
N
i
i
π
ξ
π
ξ
σ
ε
ξ
由求极点
9660
.
0
2471
.
0
4942
.
0
9660
.
0
2471
.
0
*
1
32
1
j
s
s
sh
s
j
s
=
=
=
=
+
=
ξ
可求左半平面的
3
个极点：
24
传输函数实际的可求得非归一化令若已知可得归一化传输函数
)
(
,
)
(
)
(
,
)
)(
)(
(
)
1
(
)
(
:
/
3
2
1
3
2
1
3
c
s
s
n
a
c
n
s
H
s
H
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
=
=
=
3
、特点：等波纹滤波的幅度逼近，最窄带过渡带三、椭圆滤波器通带和阻带内都具有
“
等波纹
”
振幅特性，其振幅特性是由雅可比椭圆函数决定，故称
“
椭圆滤波器
”
。在此不讨论。
25
§
3 IIR
数字滤波器的设计一、概述
∑
∑
=
=
=
N
k
k
k
M
r
r
r
z
a
z
b
z
H
1
0
1
)
(
:
为数字滤波器的系统函数一般地，一个
IIR
.
.
.
)
(
)
(
)
(
:
10
r
k
N
k
M
r
r
k
b
a
z
F
D
IIR
r
n
x
b
k
n
y
a
n
y
、
域上求解系数即为在设计差分方程
∑∑
==
+
=
26
:
常用方法共有三种
.
,
.
1
然后将其数字化先设计一个模拟滤波器
z
s
→
双线性变换法脉冲响应不变变换法
:
频域设计
.
.
.
2
F
D
IIR
z
平面上直接设计在帕德逼近法时域设计
幅度平方函数法零极点累试法线性规划设计法最小平方逆设计法误差法最小最小均方误差法
p
逼近所希望的响应在某种最优准则意义上计算机辅助设计利用最优化技术
)
(
.
.
3
27
数字滤波器由模拟滤波器直接设计二
.
（一）
脉冲响应不变法进行取样即对原理
)
(
)
(
)
(
:
.
1
t
h
t
h
n
h
nT
t
=
=
)
(
)
(
.
.
2
z
H
s
H
a
→
方法
∑
=
=
N
k
k
k
a
a
s
s
A
s
H
s
H
1
)
(
),
(
)
1
(
根据指标求
[]
∑
=
=
=
N
k
t
s
k
a
a
t
U
e
A
s
H
L
t
h
k
1
1
)
(
)
(
)
(
)
2
(
∑
=
=
=
=
N
k
nT
s
k
nT
t
n
u
e
A
t
h
n
h
k
1
)
(
)
(
)
(
)
3
(
28
T
s
k
nn
N
k
T
s
k
N
k
n
nT
s
k
n
k
k
k
e
z
z
e
A
z
e
A
z
n
h
z
H
=
=
=
=
∑∑
∑
∑
∞
=
∞
==
=
极点
00
1
1
1
1
)
(
)
(
)
4
(
∑∑
==
=
→
=
N
i
N
i
T
s
i
i
i
z
e
A
z
H
s
s
A
s
H
i
11
1
1
)
(
)
(
:
即对应关系
1
1
1
1
→
z
e
s
s
T
s
i
i
)
1
1
(
)
(
)!
1
(
)
(
,
)
(
)
(
:
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
=
=
=
=
∑
∑
z
e
dz
d
z
k
T
A
z
H
r
s
s
s
A
s
H
T
s
k
k
k
r
k
k
k
r
k
k
k
a
则阶极点处有一即在若注
29
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
)!
1
(
)
1
(
)
(
1
)!
1
(
1
1
→
z
e
ds
d
k
s
s
A
k
T
dz
d
z
z
e
T
s
k
k
k
k
k
k
k
T
s
或然后相加及再乘以作即对
)
(
)
(
)
(
:
2
2
z
H
b
a
s
a
s
s
H
试用脉冲响应不变法求已知例
+
+
+
=
2
2
1
1
1
)
(
1
)
(
2
2
)
cos
2
(
1
)
cos
(
1
1
2
/
1
1
2
/
1
)
(
2
/
1
2
/
1
)
(
)
(
:
+
+
=
+
=
∴
+
+
+
+
=
+
+
+
=
z
e
z
bT
e
z
bT
e
z
e
z
e
z
H
jb
a
s
jb
a
s
b
a
s
a
s
s
H
aT
aT
aT
T
jb
a
T
jb
a
解
30
特点
.
3
)
(
.
,
)
3
(
)
(
)
2
(
)
1
(
ω
ω
ω
j
T
j
sT
T
s
k
e
e
e
z
T
e
z
k
=
=
=
=
由成线性关系
。
取样造成存在频谱混叠
，零点不满足。
极点变换关系
31
双线性变换法二
).
(
设计思想
.
1
.
,
)
(
)
~
(
)
(
到无混叠效应数字化后的频响可以做缩在数字化前进行频带压带宽有限的带宽无限给定
∴
→
→
Q
z
H
s
H
s
H
如下图所示问题的关键是找变换使
,
~ s
s
→
Im(s)
Re(s)
s平面
)
~
Im(
s
)
~
Re(
s
2
/
s
2
/
s
Im(z)
Re(z)
32
2.变换关系
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
ee
c
e
e
e
e
c
T
s
c
s
s
s
s
~~
2
/
~
2
/
~
2
/
~
2
/
~
11
)
2
~
(tanh
,
~
)
1
(
+?
=
+?
=
=→
s
存在下列关系设
0
0
~;
0
0
~
>
>
<
<
s
s
s
s
时，
当时，
则显然当
→
~
考虑频率特性
，则有
，
令
=
=
~
~
j
s
j
s
,
2
~
2
~
cos
2
2
~
sin
2
2
~
2
~
2
~
2
~
T
tg
c
j
T
T
j
c
e
e
e
e
c
j
T
j
T
j
T
j
T
j
=
=
+?
=
33
2
~
T
tg
c
=
∴
.
2
~
2
~
,
)
2
(
,
2
~
,
2
2
~
,
为边界的水平窄区内平面内以平面映射成即将时时当
s
s
s
s
s
s
T
T
T
T
±
∴
=
→
+∞
→
=
=
→
∴
→?
∞
→
π
π
π
π
平面平面将
z
s
→
~
)
2
(
11
11
11
:
11
~~
~
+?
=
+?
=
+?
=
∴
=
zz
c
zz
c
ee
c
s
e
z
T
s
T
s
T
s
常规转换
34
+
+
=
+
=
j
c
j
c
s
c
s
c
z
σσ
而
,
)
(
)
(
2
2
2
2
+
+
+
=
σσ
cc
z
1
),
(
0
,
1
,
0
,
1
,
0
:
=
=
>
>
<
<
z
z
z
虚轴显然
σ
σ
σ
∴由
s
到
z
为一一对应，且单值对应
35
特点
.
3
(1)
无混叠误差
∝
=
≈
<
=
→
~
2
~
2
~
2
~
~
)
3
.
0
(
~
2
~
~
T
c
T
T
tg
T
T
tg
c
s
s
，此时而成线性。
与时，
很小只有在性。
变换中频率关系不是线
π
Q
11
11
2
11
2
~
2
+?
=
+?
=
∴
=
=
zz
T
zz
T
s
T
c
此时变换式可写成时，
当
(2)
频率产生失真：
36
4
、频率预畸若只关心滤波器的幅频特性，为了补偿频率的畸变，
让变换后的位置不产生变化。取
c=1
，对特定频率
(
Ω
p
，
Ω
s
，
Ω
c
)
先进行预畸。
2
T
tg
D
D
=
，则预畸后为某一给定指标的频率设
2
~
~
T
tg
s
s
=
→
平面平面从再将
D
=
~
则有
37
变化。
平坦且单调
，并要求在通带内特性取样频率
，
，最小阻带衰耗阻带边界频率带宽截频其指标为：
一个数字低通滤波器，
试用双线性变换法设计例
s
rad
dB
As
rad
rad
dB
sa
s
/
20
10
4
.
0
)
2
(
2
.
0
)
3
(
)
1
(
.
1
c
π
π
ω
π
ω
=
=
=
=
型滤波器解：按题意选
BW
7265
.
0
2
.
0
2
2
3249
.
0
1
.
0
2
2
''
=
=
=
=
=
=
=
=
π
ω
π
ω
tg
tg
T
tg
tg
tg
T
tg
s
s
s
c
c
c
s
c
预畸
，
先将
38
2
366
.
1
236
.
2
lg
3
lg
)
lg(
)
lg(
3
9
1
10
1
'
'
1
.
0
=
=
=
≥
∴
=
=
=
=
N
N
c
s
A
s
取
ε
λ
λε
1
2
1
)
(
)
)(
(
1
)
(
2
2
1
+
+
=
=
s
s
s
H
s
s
s
s
s
H
n
n
查表归一化：
2
'
'
2
2
'
'
2
)
(
c
c
c
c
s
s
s
H
s
s
+
+
=
=
代入，
以
39
+
+?
+
+?
=
=
=
+?
=
+?
=
2
2
2
2
2
11
2
'
3249
.
0
11
3249
.
0
2
11
2
)
3249
.
0
(
2
)
(
)
(
2
2
),
(
11
2
zz
zz
T
T
s
H
z
H
T
tg
T
s
H
zz
T
s
zz
T
s
c
c
则得同时代入将
4218
.
0
1433
.
1
)
1
(
674
.
0
1055
.
0
)
11
(
4594
.
0
)
11
(
1055
.
0
2
2
2
+
+
=
+
+?
+
+?
=
z
z
z
zz
zz
40
表示低通预畸截频。
注：
即低通即得代入直接将后，
一般地求出归一化的变换。
时是最简单的一种映射无关，
与可看出
2
2
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
11
1
)
(
1
)
(
'
11
1
'
'
c
c
c
zz
s
n
n
c
n
tg
T
tg
s
H
z
H
z
H
s
H
zz
s
s
H
c
c
z
H
c
ω
=
=
=
+?
=
=
+?
=
41
:
,
,
.
2
其指标为滤波器设计一个切比雪夫数字利用双线性变换法例
π
ω
π
π
ω
ω
ω
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
26
.
0
2
.
0
)
(
2
.
0
0
1
)
(
8
.
0
j
j
e
H
e
H
预畸转折频率解
:
dB
A
dB
e
H
A
N
s
j
p
9794
.
13
2
.
0
lg
20
9382
.
1
10
8
lg
20
)
(
lg
20
:
=
=
=
=
=
ω
Q
求
4327
.
0
2
26
.
0
2
3249
.
0
22
.
0
2
''
=
=
=
=
=
=
π
ω
π
ω
tg
tg
tg
tg
s
s
c
c
42
994
.
4
1
10
,
75
.
0
1
10
9794
.
13
1
.
0
9382
.
1
1
.
0
=
=
=
=
∴
×
×
λ
ε
4
238
.
3
)
/
(
cosh
)
/
(
cosh
'
'
1
1
=
=
≥
N
N
c
s
，取
ε
λ
i
i
i
i
i
i
jch
sh
j
s
i
N
i
N
β
ξ
β
ξ
σ
π
β
π
β
π
β
π
β
π
β
ε
ξ
cos
sin
87
,
85
,
83
,
81
,
)
8
1
2
(
2
1
2
2746
.
0
75
.
0
1
sinh
41
1
sinh
1
:
4
3
2
1
1
1
+
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
求极点
43
2
4
3
2
1
4
3
2
1
1
)
)(
)(
)(
(
)
(
ε
+
=
∴
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
n
归一化
*
*
3971
.
0
2568
.
0
9589
.
0
1063
.
0
1
4
2
32
1
s
s
s
s
j
s
j
s
=
=
+
=
+
=
∴
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
'
7195
.
0
6401
.
1
1
)
1
(
0362
.
0
)
(
,
8815
.
0
5448
.
1
1
)
1
(
03692
.
0
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
,
11
1
+
+
=
+
+
=
=
+?
=
z
z
z
z
H
z
z
z
z
H
z
H
z
H
z
H
s
H
zz
s
n
c
代入以
44
11
2
)
(
)
(
)
(
),
(
)
1
(
+?
=
=
zz
T
s
a
a
s
H
z
H
z
H
s
H
直接用公式求若已知
:
总结
.
,
2
2
)
(
)
(
),
(
)
2
(
'
11
1
'
表示低通预畸截频其中则若已知
c
c
c
zz
s
n
n
tg
T
tg
s
H
z
H
s
H
c
ω
=
=
=
+?
=
45
的优化设计三、
DF
IIR
最小均方误差法
.
1
的系统函数：
已知级联型
DF
IIR
)
(
1
1
)
(
1
2
1
2
1
z
cG
z
d
z
c
z
b
z
a
c
z
H
K
k
k
k
k
k
=
+
+
+
+
=
∏
=
.
)
1
(
,
,
,
,
是待定系数式中
K
k
b
a
d
c
c
k
k
k
k
≤
≤
(1)
上是已知的。
它在一组离散频率设所需求的频率响应为
)
...
2
,
1
(
),
(
M
i
e
H
i
j
d
=
ω
ω
46
:
),
(
方误差可表示为则在给定的频率点处均实际所求的频率响
ω
j
e
H
[]
2
1
)
(
)
(
∑
=
=
M
i
j
d
j
i
i
e
H
e
H
E
ω
ω
(2)
:
思想最小均方误差法的设计
)
(
min
:
)
(
)
(
1
i
M
i
i
j
d
j
E
E
e
H
e
H
ω
ω
ω
ω
ω
≤
≤
=
最小方误差各值时的均在与所求的频率响应器的频率响是使实际所求出的滤波个未知量的函数是共有的函数及是式可看出由
)
1
4
(
1
,
,
,
,
:
)
1
(
+
∴
≤
≤
K
E
K
k
c
d
c
b
a
E
k
k
k
k
Q
47
[]
2
1
1
1
1
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
,
...,
,
,
,
(
1
∑
=
Φ
=
Φ
=
=
Φ
Φ
M
i
j
d
j
T
K
K
K
K
i
i
e
H
e
cG
c
E
E
d
c
b
a
d
c
b
a
ω
ω
则为若令矢量
K
n
A
E
c
c
EK
E
E
n
4
...,
2
,
1
,
0
)
,
(
0
)
,
(
:
1
4
,
,
,
=
=
Φ
Φ
=
Φ
+
方程可得到并令这些导数为零对每一参数的偏导数取最小为使
)
(
,
1
4
z
H
K
n
n
然后可得个未知数可用计算机求解这个分量的第是其中
+
Φ
Φ
48
最小平方逆设计法
.
2
内给出对系统的要求。
方逆是在时域内给出要求，而最小平最小均方差法是在频域
∑
∑
∞
=
=
=
=
0
1
0
)
(
1
)
(
,
n
n
N
k
k
k
z
n
h
z
a
b
z
H
IIR
设如下图示传递系统中送到一则如将对应的单位取样响应为统函数为所要求的滤波器的系设
,
)
(
1
)
(
),
(
,
)
(
z
H
n
h
n
h
z
H
d
d
d
)
(
1
z
H
)
(
n
h
d
)
(
n
V
49
=
∴
=
=
∑
∑
=
=
N
k
d
k
d
N
k
k
k
d
d
k
n
h
a
n
h
b
n
V
b
z
a
z
H
z
H
z
H
z
V
z
n
V
1
0
0
1
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
1
).
(
)
(
:
)
(
变换为的则输出序列
)
(
)
(
)
(
)
(
z
H
z
H
n
n
V
d
接近时，表示显然当
δ
→
)
0
(
)
(
)
0
(
1
)
(
0
0
,
0
)
(
),
(
)
(
0
1
0
d
N
k
d
k
d
d
d
h
b
k
h
a
h
b
n
V
n
n
n
h
n
h
z
H
=
∴
=
∴
=
=
<
=
∑
=
，
则：当满足定的为因果系统，即指标给设
50
.
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
越好越接近但希望有误差与
，但
，要求当
n
V
n
V
n
V
n
→
>
[]
[]
+
=
=
=
∑∑
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
==
∞
==
∞
=
∞
=
11
1
1
2
1
2
2
0
1
2
1
)
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
0
)
(
nn
N
kn
N
k
d
k
d
k
d
d
n
n
k
n
h
a
k
n
h
a
n
h
n
h
b
n
V
n
V
E
即使
：
∑∑
∑
∑∑
∑
=
∞
=
∞
=
∞
==
∞
=
=
∴
=
+
=
=
N
kn
n
d
d
d
d
k
n
N
k
d
d
k
n
d
d
i
i
n
h
n
h
i
n
h
k
n
h
a
i
n
h
k
n
h
a
i
n
h
n
h
N
i
a
E
11
1
11
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
2
)
(
)
(
2
:
,...
2
,
1
,
0
/
则令
51
N
N
k
k
i
n
d
d
a
a
a
N
i
i
k
i
a
a
i
n
h
k
n
h
k
i
,...
,
,...
2
,
1
)
0
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
2
1
11
即可求出满足则系数定义
∑∑
=
∞
=
=
Φ
=
Φ
=
Φ
)
(
)
(
,
)
(
)
(
...
,
,
2
1
0
n
n
V
n
e
H
z
H
a
a
a
b
j
N
δ
ω
越逼近取得越大或可求则由
52
法时域均方误差最小化方
.
3
∑∑
==
+
=
M
k
N
k
k
k
k
n
y
a
k
n
x
b
n
y
DF
IIR
01
)
(
)
(
)
(
设
{
}
[
]
下面介绍一种近似法。
相当烦琐的要严格求解这个问题是最小则要求逼近所需的要使
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2
∑
=
n
h
n
h
E
n
h
n
h
d
d
∑
∞
=
=
<
=
0
)
(
)
(
0
,
0
)
(
:
n
n
z
n
h
z
H
n
n
h
即设系统是因果的
∑
∑
=
=
=
N
k
k
k
M
k
k
k
z
a
z
b
z
H
DF
1
0
1
)
(
:
的转移函数另一方面递归
∑
∑
∑
=
=
∞
=
=
N
k
k
k
M
k
k
k
n
n
z
a
z
b
z
n
h
1
0
0
1
)
(
:
令两式相等有
53
1
24
0
3
k
...
k
a
0
n=0
h(-k)
...
1
n=1
h(1-k)
0
...
∑∑
∑
∑
∞
==
=
∞
=
=
00
1
0
)
(
)
(
n
M
k
k
k
N
k
k
k
n
n
n
z
b
z
a
z
n
h
z
n
h
该项是
h(n)
、
a
n(n=1,…N)
卷积的
Z
变换卷积与
n
n
h
a
∑
=
n
k
k
a
k
n
h
1
)
(
54
∑
∑∑
∑
=
∞
=
=
∞
=
=
∴
M
k
k
k
n
a
n
h
n
k
n
k
n
n
z
b
z
a
k
n
h
z
n
h
n
0
0
)
(
1
0
)
(
)
(
4
3
4
42
1
比较两边同幂次系数
∑∑
==
>
=
≤
≤
=
n
k
k
n
k
n
k
M
n
k
n
h
a
n
h
M
n
b
k
n
h
a
n
h
11
,
0
)
(
)
(
0
,
)
(
)
(
∑
∑
=
=
>
=
≤
≤
+
=
n
k
k
n
k
k
n
M
n
k
n
h
a
n
h
M
n
k
n
h
a
b
n
h
1
1
)
(
)
(
0
)
(
)
(
or
55
非线性函数是但可递推即
k
k
b
a
n
h
b
a
b
a
b
a
b
h
h
a
b
h
b
h
,
)
(
...
)
2
(
)
0
(
)
1
(
)
0
(
:
0
2
0
1
2
1
1
2
1
1
0
+
+
+
=
+
=
=
∑
=
≤
≤
+
=
∴
n
k
d
k
n
d
M
n
k
n
h
a
b
n
h
1
0
),
(
)
(
有
∑
=
>
=
n
k
d
k
d
M
n
k
n
h
a
n
h
1
),
(
)
(
{}
{
}
)
(
)
(
,
)
(
)
(
n
h
n
h
n
h
n
h
d
d
=
令充分接近与考虑到
① ②
.
,
2
,
,
1
k
k
k
a
a
b
M
只涉及系数个方程组含无穷个方程第涉及系数个方程个方程组含第
56
{
}
{
}
∑
=
≤
<
=
n
k
d
k
d
k
k
L
n
M
k
n
h
a
n
h
L
b
a
1
),
(
)
(
.
,
,
2
可选一个大正数对无穷多个方程则可由①
求得个方程组中求得如能从第
)
1
,
(
)
(
)
(
,
.
,
个有个有数的总和和的系数的长度等于但此时个未知数则上式刚好有若选
+
+
=
M
b
N
a
b
a
z
H
n
h
a
N
M
N
L
k
k
k
k
d
k
Q
:
,
,
,
,
,
,
,
1
)
(
,
,
,
)
(
,
)
(
即要求二乘法求解可用最小通常没有精确的解对于这样的方程组于未知数的个数即方程个数大程组于是得到一所谓超定方一般选合理的是不的长度为因此限制有较少系数的优点性不降在选择这样就失去了的阶数必很高则较长如
N
M
L
N
M
n
h
DF
IIR
z
H
n
h
d
d
+
>
+
+
∴
57
最小
=
=
∑∑
+
==
L
M
n
n
k
d
k
d
k
n
h
a
n
h
E
1
2
1
)
(
)
(
[]
∑
∑∑
∑∑
∑
∑∑
+
=
+
==
+
==
+
=
+
==
≤
≤
=
=
=
L
M
n
d
d
k
L
M
n
n
k
d
d
L
M
n
n
k
L
M
n
d
d
k
d
d
d
L
M
n
n
k
d
k
d
l
l
N
l
l
n
h
n
h
a
l
n
h
k
n
h
l
n
h
k
n
h
a
l
n
h
n
h
l
n
h
k
n
h
a
n
h
a
E
a
E
1
11
11
1
11
1
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
2
0
/
/
即并令求
{}
{}
{
}
.
,
)
1
(
,
,
,
辅助进行上述方法一般用计算机式即可求出代入求出可求从而个未知数个方程共此时
k
k
k
b
a
a
N
N
