1
§
4 FIR
数字滤波器的设计一、线性相位
FIR
滤波器的特点
τω
ω
θ
ω
ω
θ
ω
θ
ω
ω
=
=
)
(
,
)
(
,
)
(
)
(
.
1
)
(
的线性函数是线性相位
j
j
j
e
e
H
e
H
)
cos
1
(
21
)
2
(
41
41
21
41
)
(
)
2
(
41
)
1
(
21
)
(
41
)
(
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
j
j
j
j
j
j
j
e
e
e
e
e
e
e
H
n
x
n
x
n
x
n
y
如
2
ω
ω
θ
ω
ω
=
+
=
)
(
)
cos
1
(
21
)
(
j
e
H
∴
ωτ
ωτ
ω
ω
τω
cos
sin
cos
)
(
sin
)
(
1
0
1
0
=
=
∑
∑
=
=
N
nN
n
n
n
h
n
n
h
tg
2.
线性相位的充要条件
τω
ω
ω
ω
θ
=
=
∑
∑
=
=
1
0
1
0
1
cos
)
(
sin
)
(
N
n
N
n
n
n
h
n
h(n)
tg
∑
=
1
0
)
(
N
n
n
j
j
e
n
h
)
H(e
FIR
ω
ω
＝
一般地
3
[]
∑
∑∑
=
=
=
=
=
∴
1
0
1
0
1
0
0
)
(
sin
)
(
0
cos
sin
)
(
sin
cos
)
(
N
nN
n
N
n
n
n
h
n
n
h
n
n
h
ω
τ
ωτ
ω
ωτ
ω
1
0
),
1
(
)
(
,
2
1
,...),
2
,
1
(
:
,
,
,
≤
≤
=
=
=
N
n
n
N
h
n
h
N
N
τ
可证得利用数学归纳法此解必为唯一若有解据付氏级数的性质
)
1
(
)
(
,
n
N
h
n
h
±
=
线性相位的充要条件一般情况
)
1
(
)
(
n
N
h
n
h
=
分四种情况奇对称偶奇对称奇偶对称偶偶对称奇
,,,,
NNNN
)
1
(
)
(
n
N
h
n
h
=
4
幅频特性
.
3
纯实数设
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
θ
ω
ω
ω
j
j
j
e
H
H
e
H
e
H
±
=
=
为奇数为偶对称
N
n
h
,
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
n
N
h
n
h
=
∑∑
=
=
+
+
=
2
3
0
2
3
0
)
1
(
2
1
)
1
(
)
2
1
(
)
(
N
n
N
n
n
N
j
N
j
n
j
e
n
N
h
e
N
h
e
n
h
ω
ω
ω
∑∑
=
+
=
+
+
=
1
2
1
0
1
1
2
1
2
1
)
(
)
2
1
(
)
(
)
(
N
n
N
N
n
n
j
N
j
n
j
j
e
n
h
e
N
h
e
n
h
e
H
ω
ω
ω
ω
5
+
+
=
∑
=
)
2
1
(
)
(
2
3
0
)
2
1
(
)
2
1
(
2
1
N
h
e
e
n
h
e
N
n
n
N
j
n
N
j
N
j
ω
ω
ω
+
=
∑
=
2
3
0
2
1
)
2
1
(
)
2
1
(
cos
)
(
2
N
n
N
j
N
h
n
N
n
h
e
ω
ω
+
=
=
∑
=
2
1 1
2
1
)
2
1
(
cos
)
2
1
(
2
)
(
2
1
N m
N
j
j
N
h
m
m
N
h
e
e
H
n
N
m
ω
ω
ω
令
6
2
1
,...,
2
,
1
)
2
1
(
2
)
(
),
2
1
(
)
0
(
=
=
=
N
n
n
N
h
n
a
N
h
a
再令
∑
∑
=
=
=
=
2
1
0
2
1
0
2
1
cos
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
N
n
N
n
N
j
j
n
n
a
H
n
n
a
e
e
H
ω
ω
ω
ω
ω
此时则滤波器。
适合逼近低通、带阻等对这些频率呈偶对称性皆为偶对称
、
、
对
)
(
.
2
0
cos
ω
π
π
ω
ω
H
n
∴
=
Q
π
π
2
7
为偶数为偶对称
N
n
h
,
)
(
)
2
(
∑∑
=
=
+
=
=
1
2
0
1
2
/
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
N
n
N
N
n
n
j
n
j
j
e
n
h
e
n
h
e
H
n
N
h
n
h
ω
ω
ω
=
∑
=
1
2
0
2
1
)
21
2
(
cos
)
(
2
)
(
N
n
N
j
j
n
N
n
h
e
e
H
ω
ω
ω
最后可得：
2
,...,
2
,
1
)
2
(
2
)
(
,
2
N
n
n
N
h
n
b
n
N
m
=
=
=
令
=
∑
=
2
/
1
2
1
)
21
(
cos
)
(
)
(
N
n
N
j
j
n
n
b
e
e
H
ω
ω
ω
则
8
∑
=
=
2
/
1
)
21
(
cos
)
(
)
(
N
n
n
n
b
H
ω
ω
呈奇对称对故呈奇对称对
π
ω
ω
π
ω
ω
=
=
)
(
,
)
21
(
cos
H
n
Q
π
π
2
不适合逼近高通
9
为奇数奇对称
N
n
h
,
)
(
)
3
(
0
)
2
1
(
)
2
1
(
)
2
1
1
(
)
2
1
(
=
∴
=
=
N
h
N
h
N
N
h
N
h
=
=
+
=
∑∑
∑∑
=
=
=
+
=
2
3
0
)
2
1
2
(
2
3
0
2
1
1
2
1
0
1
2
1
)
2
1
(
sin
)
(
2
)
2
1
(
sin
)
(
2
)
(
)
(
)
(
N
n
N
j
N
n
N
j
N
n
N
N
n
n
j
n
j
j
n
N
n
h
e
n
N
n
h
j
e
e
n
h
e
n
h
e
H
ωω
ω
π
ω
ω
ω
ω
10
=
∑
=
2
1 1
)
2
1
2
(
sin
)
2
1
(
2
)
(
N m
N
j
j
m
m
N
h
e
e
H
ω
ω
π
ω
∑
∑
=
=
=
∴
=
∴
=
=
2
1
1
2
1
1
2
2
1
)
sin(
)
(
)
(
)
sin(
)
(
)
(
2
1
-
N
1,2,...,
n
)
2
1
(
2
)
(
N
n
N
n
j
N
j
j
n
n
c
H
n
n
c
e
e
e
H
n
N
h
n
c
ω
ω
ω
π
ω
ω
令
n
N
m
=
2
1
令
π
π
2
)
(
ω
H
11
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
2
/
1
2
/
1
)
2
1
2
(
)
21
(
sin
)
(
)
(
)
21
(
sin
)
(
)
(
2
N
1,2,...,
n
)
2
(
2
)
(
,
2
N
n
N
n
N
j
j
n
n
d
H
n
n
d
e
e
H
n
N
h
n
d
n
N
m
ω
ω
ω
ω
π
ω
令
=
+
=
∑
∑∑
=
=
=
1
2
0
)
2
1
2
(
1
2
0
1
2
)
21
2
(
sin
)
(
2
)
(
)
(
)
(
N
n
N
j
N
n
N
N
n
n
j
n
j
j
n
N
n
h
e
e
n
h
e
n
h
e
H
ω
ω
π
ω
ω
ω
(4) h(n)
奇对称，
N
为偶数
12
π
2
π
)
(
ω
H
奇对称
、
偶对称
、
注：
h(n)
N
h(n)
N
2
2
1
)
(
)
4
(
)
3
(
2
1
)
(
)
2
(
)
1
(
π
ω
ω
θ
ω
ω
θ
+
=
=
2
1
)
(
=
=
N
d
d
ω
ω
θ
τ
群延时
13
、零点位置
4
∑
∑
=
=
=
=
=
1
0
1
0
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
N
n
n
N
n
n
z
n
N
h
z
n
h
z
H
n
N
h
n
h
设
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
)
1
(
1 0
1 0
)
1
(
)
1
(
=
=
=
=
=
=
∑
∑
z
H
z
z
m
h
z
z
m
h
z
H
n
N
m
N
N m
m
N m
N
m
N
令的零点也是则的零点是当
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
1
(
)
(
1
1
)
1
(
1
)
1
(
z
H
z
z
H
z
z
H
z
z
H
z
H
z
z
H
n
N
h
n
h
i
i
N
N
∴
±
=
∴
=
=
14
:
,
)
(
)
(
,
)
(
1
*
1
*
如下图示零点均是
、
、
、
的零点共轭出现实数若
z
H
z
z
z
z
z
H
n
h
i
i
i
i
∴
)
(
z
jI
m
)
(
z
R
e
1
=
z
i
z
*
i
z
i
z
1
*
1
i
z
[]
[]
均为零点即则若实数
、
*
*
*
*
*
*
,
0
)
(
,
0
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
i
i
i
i
n
n
z
z
z
H
z
H
z
H
z
n
h
z
n
h
z
H
n
h
=
=
∴
=
=
=
∑
∑
Q
15
)
(
傅立叶级数法二、窗函数设计法
、设计原理
1
)
(
)
(
)
(
)
(
n
h
n
h
e
H
e
H
d
j
d
j
去逼近理想的
，即用去逼近理想的用
ω
ω
n
n
d
e
n
h
c
n
j
d
c
c
π
ω
ω
π
ω
ω
ω
sin
2
1
)
(
=
=
∫
则
π
ω
ω
ω
ω
≤
<
≤
c
c
0
1
＝
设
)
(
ω
j
d
e
H
)
(
n
h
d
n
16
,
,
)
(
)
(
:
,
,
)
(
项来逼近在均方意义下可用有限依傅立叶级数理论知为了满足设计要求是无限长的非因果的显然
∑
∞
∞
=
=
n
n
j
d
j
d
d
e
n
h
e
H
n
h
ω
ω
∑
∑
∞
∞
=
=
→
n
n
j
d
N
N
n
n
j
d
e
n
h
e
n
h
ω
ω
)
(
)
(
:
)
(
,
2
1
2
1
即：
相当于加窗最优逼近
)
(
)
2
1
(
)
(
:
.
,
2
1
)
(
n
R
N
n
h
n
h
N
n
h
N
d
d
=
即使系统因果化移位然后再将截短后的
17
)
(
)
(
)
(
,
)
(
n
R
n
h
n
h
n
h
N
d
d
=
则响应表示移位后的理想取样若记
=
)
(
n
R
N
else
N
n
0
1
0
1
≤
≤ =
)
(
,
ω
j
d
e
H
此时
otherwis
e
e
c
N
j
0
2
1
ω
ω
ω
≤
∑∑
=
=
=
=
=
1
0
1
0
1
1
)
(
)
(
N
n
N
n
j
N
j
n
j
n
j
N
j
R
e
e
e
e
n
R
e
W
ω
ω
ω
ω
ω
、矩形窗截断的影响
2
18
[]
[]
2
sin
2
sin
2
1
2
/
2
/
2
/
2
/
2
/
2
/
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
N
e
e
e
e
e
e
e
N
j
j
j
j
N
j
N
j
N
j
=
=
形成许多副瓣。
展开然后向两侧呈衰减振荡之内有一主瓣在
,
,
2
,
2
sin
2
sin
)
(
N
N
W
R
π
ω
ω
ω
ω
±
=
=
2
1
)
(
)
(
=
N
j
d
j
d
e
H
e
H
ω
ω
ω
而
π
ω
ω
ω
ω
≤
<
≤
c
c
0
1
=
)
(
ω
d
H
19
∫
=
∴
=
π
π
θ
ω
θ
ω
θ
θ
ω
θ
π
d
e
W
e
H
e
H
n
R
n
h
n
h
N
j
R
N
j
d
j
N
d
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
:
)
(
)
(
)
(
频域卷积
Q
∫
∫
=
=
=
π
πω
π
π
ω
θ
θ
ω
θ
π
ω
ω
θ
θ
ω
θ
π
d
W
H
H
e
H
d
W
H
e
R
d
N
j
R
d
N
j
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
相乘再作积分。
然后与开始向右移位，
＝
从卷积过程：将
)
(
)
(
ω
π
ω
θ
ω
d
R
H
W
20
:
0
开始分析卷积过程现只从
=
ω
1 0
π
π
c
ω
c
ω
θ
)
(
θ
d
H
。
且归一化为记为阴影部分的全部面积间到可近似为一般下的面积到就是从相乘积分
、当
1
),
0
(
)
(
)
(
2
)
(
,
,
0
1
H
W
N
W
R
c
R
c
c
θ
π
π
π
ω
θ
ω
ω
ω
∴
>>
+
=
Q
)
(
)
(
θ
θ
R
R
W
W
=
θ
N
π
2
N
π
2
21
N
c
π
ω
ω
2
=
c
ω
c
ω
正肩峰。
出现瓣移出，此时通带内，有一半副全在
，主瓣刚好
、当
)
2
(
)
(
2
2
N
H
H
N
c
d
c
π
ω
θ
π
ω
ω
=
c
ω
ω
=
c
ω
5
.
0
)
0
(
/
)
(
)
(
)
(
,
3
=
∴
=
H
H
W
H
c
R
d
c
ω
θ
ω
θ
ω
ω
重叠一半与
、当
22
.
)
2
(
,
,
)
(
,
2
4
出现负肩峰积大于正的面积而通带内副瓣负的面通带主瓣刚好移出
、当
N
H
H
N
c
d
c
π
ω
θ
π
ω
ω
+
∴
+
=
.
,
)
(
,
2
5 绕零波动因此此时将围副瓣将扫过通带左尾
、
θ
ω
π
ω
ω
+
>
R
c
W
N
c
ω
N
c
π
ω
ω
2
+
=
c
ω
c
ω
N
c
π
ω
ω
2
=
N
c
π
ω
ω
2
+
=
)
(
ω
H
ω
1
0.5
23
:
,
的影响如下加矩形窗后对理想特性综上所述
.
4
.
1
N
π
的主瓣宽度过渡带带宽等于窗函数产生过渡带
.
,
,
,
,
,
,
2
2
余振也越多副瓣越多肩峰越强副瓣相对值越大肩峰两侧形成余振出现最大肩峰值在过渡带两旁
N
c
π
ω
±
.
,
)
0
2
(
sin
2
/
2
/
sin
2
/
sin
2
/
sin
)
(
.
)
(
.
,
3
主瓣及副瓣皆增加增加附近在
，
效应这种现象称为吉布斯值但不能改变肩峰的相对只能减小过渡带宽增加
N
N
x
x
x
N
N
N
W
Gibbs
N
R
∴
=
=
≈
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Q
24
.
3
、窗函数的选择
.
,
.
,
.
:
减小过冲及波动副瓣尽可能小以获得较陡的过渡带主瓣宽度小原则
b
a
105
:
P
Blackman
达式可见书其性能指标及窗函数表三角窗、凯塞窗。
窗、
窗、
矩形窗、海宁窗、哈明常用的窗函数有
25
:
4
、设计步骤
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
j
n
W
d
j
d
e
H
n
h
n
h
e
H
→
→
→
×
类型。
据阻带衰减，查表选窗
1
)
(
3
n
W
求
)
(
/
2
主瓣宽度有关与窗口函数有关过渡带宽
，
，
求
A
A
N
N
c
s
ω
ω
ω
ω
=
=
=
∫
=
π
π
ω
ω
ω
π
d
e
e
H
n
h
n
j
j
d
d
)
(
2
1
)
(
4
求
)
(
)
(
)
(
5
n
W
n
h
n
h
d
=
求
)
(
)
(
6
ω
j
e
H
z
H
或求
26
dB
A
dB
A
FIR
s
s
p
c
70
4
.
0
3
2
.
0
,
:
≥
=
≤
=
，
，
，
低通滤波器性相位利用窗函数法设计一线例
π
ω
π
ω
）
可选布拉克曼窗（见解：
238
70
P
dB
A
s
∴
≥
Q
60
2
.
0
4
.
0
12
=
∴
=
=
N
N
π
π
π
ω
n
60
4
0.08cos
n
60
2
0.5cos
0.42
n
1
N
4
0.08cos
n
1
N
2
0.5cos
0.42
W(n)
61
N
π
π
π
π
+
=
+
=
=
取
60
0
),
(
)
(
)
(
≤
≤
=
n
n
W
n
h
n
h
d
)
30
(
2
.
0
)
30
(
)
30
(
)
30
(
2
.
0
sin
=
=
≠
n
n
n
n
c
π
ω
π
π
=
=
)
2
1
(
)
2
1
(
sin
)
(
N
n
N
n
n
h
c
d
π
ω
27
三、频率取样设计方法
、设计思想
1
:
,
)
2
0
(
,
)
(
则得点均匀取样对其作若在一周内为所需的频率响应设
N
e
H
j
d
π
ω
1
0
)
(
)
(
)
(
/
2
2
≤
≤
=
=
=
N
k
e
H
e
H
k
H
N
k
j
d
k
N
j
d
π
π
ω
ω
∑
=
=
1
0
)
(
)
(
N
n
n
j
j
e
n
h
e
H
ω
ω
实际滤波器的频率响应
1
0
)
(
1
)
(
1
0
2
≤
≤
=
∑
=
N
n
e
k
H
N
n
h
N
k
nk
N
j
π
即
、设计过程
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
ω
π
ω
ω
j
DTFT
IDFT
k
N
j
d
e
H
n
h
k
H
e
H
k
→
→
→
=
28
式
、系统函数的一般表达
3
∑
∑∑
=
=
=
=
=
1
0
2
1
0
1
0
)
(
1
)
(
)
(
N
k
n
N
kn
j
N
n
N
n
n
z
e
k
H
N
z
n
h
z
H
π
[]
=
=
=
=
=
∑
∑∑
1
/
2
2
1
0
1
0
1
0
1
/
2
1
1
)
(
)
(
z
e
z
e
N
k
H
z
e
N
k
H
N
k
j
N
k
j
N
k
N
k
N
n
n
N
k
j
π
π
π
∑
=
=
1
0
1
/
2
1
)
(
)
1
(
N
k
N
k
j
N
z
e
k
H
N
z
π
)
(
)
(
)
(
2
1
z
H
z
H
z
H
=
令个零点的梳状滤波器是具有
N
N
z
z
H
N
=
1
)
(
1
.
1
)
(
)
(
1
0
1
/
2
2
而成个单极点滤波器组并联是由
N
z
e
k
H
z
H
N
k
N
k
j
∑
=
=
π
29
滤波器的优化设计四、
FIR
四种形式的统一表示
、线性相位
DF
FIR
1
∑
∑
=
=
=
=
2
1
0
2
1
0
)
,
(
cos
)
(
~
cos
)
(
)
(
.
1
N
n
N
n
N
n
n
a
n
n
a
H
偶对称奇情况
ω
ω
ω
∑
∑
=
=
=
=
1
2
0
2
/
1
)
,
(
)
cos(
)
(
~
2
cos
)
21
(
cos
)
(
)
(
.
2
N
n
N
n
N
n
n
b
n
n
b
H
偶对称偶情况
ω
ω
ω
ω
)
,
(
cos
)
(
~
sin
)
sin(
)
(
)
(
.
3
2
1
1
2
3
0
奇对称奇情况
∑∑
=
=
=
=
N
n
N
n
N
n
n
c
n
n
c
H
ω
ω
ω
ω
∑
∑
=
=
=
=
1
2
0
2
/
1
)
(
cos
)
(
~
2
sin
)
21
(
sin
)
(
)
(
.
4
N
n
N
n
N
n
n
d
n
n
d
H
偶，偶对称情况
ω
ω
ω
ω
30
2
1
,...,
1
,
0
)
(
~
)
(
=
=
N
n
n
a
n
a
情况１：
[]
)
1
2
(
~
21
)
2
(
1
2
,...,
3
,
2
)
(
~
)
1
(
~
21
)
(
)
1
(
~
21
)
0
(
~
)
1
(
=
=
+
=
+
=
N
b
N
b
N
n
n
b
n
b
n
b
b
b
b
：
情况
2
:
其中
：
情况
3
[]
)
2
3
(
~
21
)
2
1
(
)
2
2
1
(
~
21
)
2
3
(
)
2
2
1
(
,...,
3
,
2
)
1
(
~
)
1
(
~
21
)
(
)
2
(
~
21
)
0
(
~
)
1
(
=
=
=
+
=
=
N
c
N
c
N
c
N
c
N
n
n
c
n
c
n
c
c
c
c
31
[]
)
1
2
(
~
21
)
2
(
)
1
2
...,
3
,
2
(
)
(
~
)
1
(
~
21
)
(
)
1
(
~
21
)
0
(
~
)
1
(
=
=
=
=
N
d
N
d
N
n
n
d
n
d
n
d
d
d
d
:
4
情况
ω
ω
)
21
cos(
)
(
~
21
)
21
(
cos
)
1
(
~
21
1
2
0
2
/
1
∑
∑
=
=
+
=
N
n
N
n
n
n
b
n
n
b
[]
)
cos(
)
cos(
21
cos
cos
:
B
A
B
A
B
A
+
+
=
据下面证第三种情况
∑
∑
=
=
+
+
=
1
2
0
1
2
0
)
21
cos(
)
21
cos(
)
(
~
21
cos
2
cos
)
(
~
N
n
N
n
n
n
n
b
n
n
b
ω
ω
ω
ω
32
[]
+
+
+
=
∑
=
ω
ω
ω
)
21
2
(
cos
)
1
2
(
~
21
)
21
(
cos
)
1
(
~
)
(
~
21
2
cos
)
0
(
~
21
1
2
1
N
N
b
n
n
b
n
b
b
N
n
[]
)
1
2
(
~
21
)
2
(
.
1
2
,...
3
,
2
)
(
~
)
1
(
~
21
)
(
)
1
(
~
21
)
0
(
~
)
1
(
=
=
+
=
+
=
N
b
N
b
N
n
n
b
n
b
n
b
b
b
b
令可证
33
∑
=
=
=
1 0
cos
)
(
~
)
(
)
(
).
(
)
(
)
(
,
r
n
n
n
Q
P
Q
H
H
ω
α
ω
ω
ω
ω
ω
可写成统一形式此时
:
四种情况
)
(
ω
Q
ω
sin
22
1
22
1
N
N
N
N
+
∑∑∑∑
=? =? =? =
1 01 01 01 0
cos
)
(
~
cos
)
(
~
cos
)
(
~
cos
)
(
~
r
n
r
n
r
n
r
n
n
n
d
n
n
c
n
n
b
n
n
a
ω
ωωω
)
(
ω
P
r
2
cos
ω
1
2
sin
ω
1 2 3 4
34
2
、切比雪夫逼近定理近误差函数定义为：
作逼近函数，
则加权逼的的四种情况之一
，用线性相位误差加权函数
，逼近频率响应为实际器设给定的所需要的滤波
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
H
DF
FIR
W
H
d
[
]
[]
=
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
Q
H
Q
W
Q
P
H
W
H
H
W
E
d
d
d
[]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
H
W
E
Q
H
H
Q
W
W
d
d
d
=
=
=
令
35
{}
。
的最大绝对值达到最小频带上
，
使其在实现逼近的各个或描述为求一组系数雪夫等波纹问题，即可滤波器的切比函数后，线性相位有了加权函数逼近误差
)
(
)
(
~
)
(
~
),
(
~
),
(
~
ω
E
n
d
n
c
n
b
n
a
FIR
[
]
)
(
max
min
)
(
ω
ω
ω
E
E
A
∈
=
极小值各系数
A
包括各通带和止带交替定理：
∑
=
=
1 0
cos
)
(
)
(
)
(
r
n
n
n
a
P
r
P
ω
ω
ω
个余弦函数的线性组合是若上的连续函数是中一个闭子集，
是
A
H
A
d
)
(
)
,
0
(
ω
π
36
:
)
(
)
(
充要条件是切比雪夫逼近的的唯一的和最优加权的是则
ω
ω
d
H
P
[]
)
(
max
)
(
,...
2
,
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
...
1
)
(
1
1
3
2
1
ω
ω
ω
ω
δ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
E
E
r
i
E
E
P
H
E
r
A
E
A
i
i
i
i
i
i
d
i
r
r
i
∈
+
+
=
=
=
=
=
<
<
<
<
<
+
且即使得且个极值点中至少有在加权逼近误差函数
37
:
.
低通滤波器例
[]
.
,
2
)
(
.
)
(
1
,
0
条件满足切比雪夫最佳逼近个极值点共有
，
个极值点两界频率也是误差函数的再加上过渡带边数为的最大极值多项式阶
，
由于在
+
∴
r
r
P
r
s
c
p
ω
ω
ω
ω
π
1
1
δ
+
1
1
δ
2
δ
2
δ
1
ω
2
ω
c
ω
s
ω
3
ω
4
ω
5
ω
6
ω
)
(
ω
j
e
H
ω
π
).
(
)
(
,
,
1
n
h
FIR
n
a
r
的便可确定及求出个极值点频率只要求出
δ
+
38
3
、
Remez
算法四种情况的任一种。
为线性相位
。
为
，实际逼近的幅度特性的幅度特性为设希望设计的
DF
FIR
H
H
H
DF
d
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
∑
=
=
=
1 0
)
cos(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
r
n
n
n
a
P
Q
P
H
H
ω
ω
ω
ω
ω
ω
可表示为：
则加权误差
)]
(
)
(
)[
(
)]
(
)
(
)[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
)[
(
)]
(
)
(
)[
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
D
W
P
H
W
P
Q
H
Q
W
Q
P
H
W
H
H
W
E
d
d
d
d
=
=
=
=
=
39
:
,
.
...,
,
1
)
(
.
1
0
下式据最佳逼近定理可得到式将这些极值频率代入上个极点频率的上已知逼近频带设
r
r
E
A
ω
ω
ω
ω
+
∑
=
∈
=
=
=
=
1 0
cos
)
(
)
(
)
(
max
...
2
,
1
,
0
)
1
(
)]
(
)
(
)[
(
r
n
i
i
A
i
i
i
i
n
n
a
P
E
r
i
P
D
W
ω
ω
ω
δ
δ
ω
ω
ω
ω
将上式写成矩阵形式
)
(
)
1
(
)
1
cos(
...
2
cos
cos
1
)
(
)
1
(
)
1
cos(
...
2
cos
cos
1
...
...
...
...
...
...
)
(
1
)
1
cos(
...
2
cos
cos
1
)
(
1
)
1
cos(
...
2
cos
cos
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
W
r
W
r
W
r
W
r
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
)
(
)
(
...
)
(
)
(
...
1
10
1
10
rr
r
DDDD
a
aa
ωωωω
δ
40
.
,
,...
,
.
1
,
,...,
,
1
1
0
1
1
0
最佳滤波器设计完毕滤波器的单位取样响应可进一步求出
。由及解此方程可得唯一解共及加权误差最大绝对值上式需求未知量
n
r
r
a
a
a
a
r
a
a
a
δ
δ
+
采用迭代算法。
题键就变为求极值频率问因此求解上述方程的关求解是不知道的，因此无法但实际上这些极值频率
mez
Re
,
.
41
:
Re
算法的计算步骤
mez
.
,
...
,
,
1
,
1
)
1
(
2
1
0
δ
ω
ω
ω
ω
由上方程解出初始估计值一般以等间隔取个极值频率的估计值首先给出
r
r
r
+
+
∑
∑
=
=
=
r
i
i
i
i
r
i
i
i
W
b
D
b
0
0
)
(
)
1
(
)
(
ω
ω
δ
)
...
2
,
1
,
0
(
0
cos
cos
1
r
i
r
i
nn
n
i
i
b
=
≠=
∏
=
ω
ω
式中也不是最优估计误差。
因此并不是最佳极值频率，
一般初始估计值
δ
ω
i
42
r
i
W
D
P
r
i
i
i
i
i
,...
2
,
1
,
0
)
(
)
1
(
)
(
)
(
:
,
1
)
2
(
=
+
=
+
ω
δ
ω
ω
ω
δ
代入下式极值频率值和将
)
(
)
(
),
(
,
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
P
E
P
P
i
i
i
进行插值，得到对利用拉格朗日插值公式为了求出处的采样值连续函数在是
∏
∑∑
≠=
=
=
=
= r
i
nn
n
i
i
r
i
r i
i
i
i
i
i
d
d
d
P
P
0
0
1
0
cos
cos
1
cos
cos
cos
cos
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
43
代。
计值
，从而完成一次迭得到一组新的极值点估部极值点。于是后在这些点附近搜索局的极值频率是假的
，然
，说明初始估计值些频率处有恰是极值频率。若在某值是最佳极值。初始估计
，说明都有
，如果所有频率上计算式得到代入误差将
δ
ω
ω
δ
δ
ω
ω
ω
ω
>
=
≤
)
(
)
,...
2
,
1
,
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
E
r
i
E
E
E
P
i
.
)
(
,
)
2
(
)
3
(
的极值估计值到一组新率的估计值。从而又得极值点作为新的极值频的局部把在各频率处使相同的方法利用和
δ
ω
<
E
44
.
)
(
),
(
)
(
,
.
,
)
(
)
(
)
(
,
的单位取样响应系数求出最后由个系数的求出按照新的最佳极值频率迭代结束值的峰值也不会超过最佳
。如果再迭代下去最佳一致逼近最佳极值，此时到都是递增的，最后收敛每次迭代后的重复上述步骤
DF
FIR
P
n
a
r
P
E
D
P
ω
ω
δ
ω
ω
ω
δ
45
滤波器设计的比较与五、
FIR
IIR
.
,
,
.
1
成本高高的选择性需较高的阶数才能获得线性相位但相位是非线性的
，所需存储单元少，
较低阶数实现高选择性
、
DF
FIR
DF
IIR
.
,
,
2
要考虑稳定问题而振荡有限精度计算不会产生可用非递归方法实现
、
IIR
DF
FIR
.
,
3
快在相同阶数下运算速度算法可用
、
FFT
FIR
.
,
,
4
助设计一般只能借助计算机辅而计算工作量小可用模拟滤波器的成果
、
FIR
DF
IIR
.
5
等如构成微分器或积分器的滤波器。
可实现一些有特殊应用
、
FIR
46
§
5
数字滤波器的结构
DF
可用差分方程、单位取样响应及系统函数表示一、
IIR
数字滤波器的结构递归型
1
、直接型
（
1
）直接
I
型
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
1
1
0
z
W
z
Y
z
X
z
W
z
H
z
H
z
a
z
b
z
H
N
k
k
k
M
r
r
r
=
=
+
=
∑
∑
=
=
∑
∑
=
=
+
=
=
N
k
k
k
M
r
r
r
z
a
z
H
z
b
z
H
1
2
0
1
1
1
)
(
,
)
(
47
∑
∑
=
=
=
=
N
i
i
M
i
i
i
n
y
a
n
w
n
y
i
n
x
b
n
w
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
:
对应差分方程据此差分方程，可画出
I
型的结构
x(n)
W(n)
y(n)
0
b
1
z
1
b
1
M
b
M
b
1
a
1
N
a
N
a
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
48
信流图：
0
b
1
z
1
b
1
M
b
M
b
1
a
1
N
a
N
a
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
2
b
x(n)
W(n)
y(n)
2
a
(2)
直接Ⅱ型（标准型、正准型）
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
+
=
=
=
M
r
r
M
r
r
r
N
k
k
N
k
k
k
r
n
w
b
n
y
z
b
z
W
z
Y
z
H
k
n
w
a
n
x
n
w
z
a
z
X
z
W
z
H
z
H
z
H
z
H
0
0
2
1
1
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
49
显然可将两部分延时单元合并
)
(
n
x
)
(
n
y
)
(
n
W
0
b
1
a
2
a
N
a
1
b
2
b
N
b
…
…
…
1
z
1
z
1
z
(3)
特点
.
.
,
将影响全部零点将影响全部极点，调调调整不便。
非常敏感，且零、极点参数对系统的工作状态直观结构简单
r
k
b
a
50
2
、间接型
(1)
级联形式
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
11
)
(
,
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
+
+
+
+
++
=
=
=
∏
z
a
z
a
z
b
z
b
or
z
a
z
b
z
H
z
z
H
z
H
b
z
X
z
Y
z
H
i
i
i
i
ii
ii
k
i
i
即多项式的简单比的一阶或二阶它们是表示子系统的系统函数
51
)
(
z
H
i
利用直接Ⅱ型实现
→
)
(
z
X
)
(
z
H
)
(
z
Y
≡
→
)
(
z
X
)
(
z
Y
)
(
1
z
H
)
(
2
z
H
)
(
z
H
k
0
b
)
(
n
x
k
)
(
n
y
k
)
(
n
W
1
k
a
2
k
a
1
k
b
2
k
b
1
z
1
z
特点：存储单元少，便于单独调整系统的零、极点
.
结构排列灵活。
(k
级子系统共有
k!
种形式
)
52
2
2
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
=
+
+
+
=
+
=
+
=
∑
z
a
z
a
z
b
b
z
H
or
z
a
b
z
H
z
H
c
z
H
i
i
i
i
i
i
i
i
k
i
i
(2)
并联形式
⊕
)
(
z
X
c
)
(
1
z
H
)
(
z
H
k
)
(
z
Y
…
特点：运算速度快，可单独调整极点位置
(
零点不能单独调整
)
53
联形式予以实现。
试分别用级联形式和并系统的函数为
、已知一个四阶例
81
43
47
2
1
21
1
)
(
1
4
3
2
1
1
+
+
+
=
z
z
z
z
z
z
H
IIR
4
1
2
1
2
2
1
1
4
1
2
2
1
1
81
)
1
(
21
)
1
(
41
)
1
(
21
1
81
)
1
(
43
)
1
(
21
1
)
(
+
+
+
+
=
+
+
+
=
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
H
解：
(a)
级联
54
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
21
1
1
41
1
21
1
)
21
1
)(
41
1
(
21
1
+
+
+
=
+
+
+
=
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
)
(
n
y
)
(
n
x
1
z
1
z
1
z
1
z
21
21
41
55
2
1
1
2
1
1
21
1
41
1
)
(
+
+
+
+
+
=
z
z
Dz
C
z
z
Bz
A
z
H
3
,
4
,
23
,
5
=
=
=
=
D
C
B
A
2
1
1
2
1
1
21
1
3
4
41
1
23
5
)
(
+
+
+
+
=
∴
z
z
z
z
z
z
z
H
(b)
并联形式
:
)
(
n
x
)
(
n
y
1
z
1
z
1
z
1
z
5
41
4
3
21
23
56
二、
FIR
滤波器结构
∑
∑
=
=
=
=
1
0
1
0
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
N
k
N
n
n
k
n
x
k
h
n
y
z
n
h
z
H
1
、直接型
…
⊕
⊕
⊕
1
z
)
0
(
h
)
1
(
h
)
2
(
h
)
1
(
N
h
)
(
n
x
)
(
n
y
…
1
z
1
z
1
z
:
2
/
)
1
(
,
2
/
)
1
(
)
(
。具体如下减到将从为奇数时当
，
减到为偶数时将从则乘法单元数，当系统具有线性相位，据若
+
±
=
N
N
N
N
N
N
n
N
h
n
h
FIR
57
2
1
1
0
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
+
+
=
=
=
∑
z
z
z
H
z
H
z
H
z
H
z
n
h
z
H
i
i
i
i
N
n
k
n
γ
β
α
2,
级联形式
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
)
(
n
x
)
0
(
h
)
1
(
h
)
2
(
h
)
2
3
(
N
h
)
2
1
(
N
h
1
z
)
(
n
y
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
…
… …
N
为奇数
⊕
⊕
1
z
i
α
i
β
i
γ
)
(
n
x
i
)
(
n
y
i
1
z
58
联形式结构图试画出线性相位型与级系统函数已知例
3
2
1
21
41
41
21
)
(
.
3
+
+
+
=
z
z
z
z
H
FIR
⊕
⊕
⊕
)
(
n
x
)
(
n
y
21
41
1
z
1
z
1
z
)
(
)
(
)
21
41
21
)(
1
(
)
1
(
41
)
1
)(
1
(
21
)
1
(
41
)
1
(
21
)
(
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
3
z
H
z
H
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
H
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
级联：
59
⊕
⊕
⊕
)
(
n
x
)
(
n
y
1
z
1
z
1
z
21
41
3,
频率取样型
.
)
(
1
)
(
1
)
1
(
)
(
1
)
(
)
(
1
0
1
1
0
1
0
1
0
频率采样
k
H
z
W
k
H
N
z
z
W
k
H
N
z
n
h
z
H
N
k
k
N
N
N
n
N
n
N
k
n
nk
N
n
∑
∑∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
60
)
(
n
x
)
(
n
y
N
1
1
z
1
z
1
z
)
0
(
H
)
1
(
H
)
1
(
N
H
N
z
0
N
W
1
+
N
N
W
1
N
W
…
…
.
.
的递归实现形式即
DF
FIR
61
复习重点
)
(
))
((
),
(
~
),
(
n
R
n
x
n
x
n
x
N
N
1
、画信号波形
)
(
)
(
),
(
*
)
(
2
1
2
1
n
x
n
x
n
x
n
x
2
、求
)
(
)
(
),
(
)
(
n
x
e
X
e
X
n
x
j
j
→
→
ω
ω
3
、
4
、系统稳定性、因果性、线性、非时变性
5
、
z
变换、逆
z
变换
6
、
DFT
定义、性质
7
、
FFT(DIT,DIF),IFFT(DIT,DIF)
算法流图及运算量
62
8
、
IIR
数字滤波器设计
---
脉冲响应不变、双线性变换
9
、
FIR
线性相位滤波器的四种情况，
窗函数设计法的基本原理
10
、
IIR
及
FIR
数字滤波器的结构
§
4 FIR
数字滤波器的设计一、线性相位
FIR
滤波器的特点
τω
ω
θ
ω
ω
θ
ω
θ
ω
ω
=
=
)
(
,
)
(
,
)
(
)
(
.
1
)
(
的线性函数是线性相位
j
j
j
e
e
H
e
H
)
cos
1
(
21
)
2
(
41
41
21
41
)
(
)
2
(
41
)
1
(
21
)
(
41
)
(
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
j
j
j
j
j
j
j
e
e
e
e
e
e
e
H
n
x
n
x
n
x
n
y
如
2
ω
ω
θ
ω
ω
=
+
=
)
(
)
cos
1
(
21
)
(
j
e
H
∴
ωτ
ωτ
ω
ω
τω
cos
sin
cos
)
(
sin
)
(
1
0
1
0
=
=
∑
∑
=
=
N
nN
n
n
n
h
n
n
h
tg
2.
线性相位的充要条件
τω
ω
ω
ω
θ
=
=
∑
∑
=
=
1
0
1
0
1
cos
)
(
sin
)
(
N
n
N
n
n
n
h
n
h(n)
tg
∑
=
1
0
)
(
N
n
n
j
j
e
n
h
)
H(e
FIR
ω
ω
＝
一般地
3
[]
∑
∑∑
=
=
=
=
=
∴
1
0
1
0
1
0
0
)
(
sin
)
(
0
cos
sin
)
(
sin
cos
)
(
N
nN
n
N
n
n
n
h
n
n
h
n
n
h
ω
τ
ωτ
ω
ωτ
ω
1
0
),
1
(
)
(
,
2
1
,...),
2
,
1
(
:
,
,
,
≤
≤
=
=
=
N
n
n
N
h
n
h
N
N
τ
可证得利用数学归纳法此解必为唯一若有解据付氏级数的性质
)
1
(
)
(
,
n
N
h
n
h
±
=
线性相位的充要条件一般情况
)
1
(
)
(
n
N
h
n
h
=
分四种情况奇对称偶奇对称奇偶对称偶偶对称奇
,,,,
NNNN
)
1
(
)
(
n
N
h
n
h
=
4
幅频特性
.
3
纯实数设
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
θ
ω
ω
ω
j
j
j
e
H
H
e
H
e
H
±
=
=
为奇数为偶对称
N
n
h
,
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
n
N
h
n
h
=
∑∑
=
=
+
+
=
2
3
0
2
3
0
)
1
(
2
1
)
1
(
)
2
1
(
)
(
N
n
N
n
n
N
j
N
j
n
j
e
n
N
h
e
N
h
e
n
h
ω
ω
ω
∑∑
=
+
=
+
+
=
1
2
1
0
1
1
2
1
2
1
)
(
)
2
1
(
)
(
)
(
N
n
N
N
n
n
j
N
j
n
j
j
e
n
h
e
N
h
e
n
h
e
H
ω
ω
ω
ω
5
+
+
=
∑
=
)
2
1
(
)
(
2
3
0
)
2
1
(
)
2
1
(
2
1
N
h
e
e
n
h
e
N
n
n
N
j
n
N
j
N
j
ω
ω
ω
+
=
∑
=
2
3
0
2
1
)
2
1
(
)
2
1
(
cos
)
(
2
N
n
N
j
N
h
n
N
n
h
e
ω
ω
+
=
=
∑
=
2
1 1
2
1
)
2
1
(
cos
)
2
1
(
2
)
(
2
1
N m
N
j
j
N
h
m
m
N
h
e
e
H
n
N
m
ω
ω
ω
令
6
2
1
,...,
2
,
1
)
2
1
(
2
)
(
),
2
1
(
)
0
(
=
=
=
N
n
n
N
h
n
a
N
h
a
再令
∑
∑
=
=
=
=
2
1
0
2
1
0
2
1
cos
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
N
n
N
n
N
j
j
n
n
a
H
n
n
a
e
e
H
ω
ω
ω
ω
ω
此时则滤波器。
适合逼近低通、带阻等对这些频率呈偶对称性皆为偶对称
、
、
对
)
(
.
2
0
cos
ω
π
π
ω
ω
H
n
∴
=
Q
π
π
2
7
为偶数为偶对称
N
n
h
,
)
(
)
2
(
∑∑
=
=
+
=
=
1
2
0
1
2
/
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
N
n
N
N
n
n
j
n
j
j
e
n
h
e
n
h
e
H
n
N
h
n
h
ω
ω
ω
=
∑
=
1
2
0
2
1
)
21
2
(
cos
)
(
2
)
(
N
n
N
j
j
n
N
n
h
e
e
H
ω
ω
ω
最后可得：
2
,...,
2
,
1
)
2
(
2
)
(
,
2
N
n
n
N
h
n
b
n
N
m
=
=
=
令
=
∑
=
2
/
1
2
1
)
21
(
cos
)
(
)
(
N
n
N
j
j
n
n
b
e
e
H
ω
ω
ω
则
8
∑
=
=
2
/
1
)
21
(
cos
)
(
)
(
N
n
n
n
b
H
ω
ω
呈奇对称对故呈奇对称对
π
ω
ω
π
ω
ω
=
=
)
(
,
)
21
(
cos
H
n
Q
π
π
2
不适合逼近高通
9
为奇数奇对称
N
n
h
,
)
(
)
3
(
0
)
2
1
(
)
2
1
(
)
2
1
1
(
)
2
1
(
=
∴
=
=
N
h
N
h
N
N
h
N
h
=
=
+
=
∑∑
∑∑
=
=
=
+
=
2
3
0
)
2
1
2
(
2
3
0
2
1
1
2
1
0
1
2
1
)
2
1
(
sin
)
(
2
)
2
1
(
sin
)
(
2
)
(
)
(
)
(
N
n
N
j
N
n
N
j
N
n
N
N
n
n
j
n
j
j
n
N
n
h
e
n
N
n
h
j
e
e
n
h
e
n
h
e
H
ωω
ω
π
ω
ω
ω
ω
10
=
∑
=
2
1 1
)
2
1
2
(
sin
)
2
1
(
2
)
(
N m
N
j
j
m
m
N
h
e
e
H
ω
ω
π
ω
∑
∑
=
=
=
∴
=
∴
=
=
2
1
1
2
1
1
2
2
1
)
sin(
)
(
)
(
)
sin(
)
(
)
(
2
1
-
N
1,2,...,
n
)
2
1
(
2
)
(
N
n
N
n
j
N
j
j
n
n
c
H
n
n
c
e
e
e
H
n
N
h
n
c
ω
ω
ω
π
ω
ω
令
n
N
m
=
2
1
令
π
π
2
)
(
ω
H
11
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
2
/
1
2
/
1
)
2
1
2
(
)
21
(
sin
)
(
)
(
)
21
(
sin
)
(
)
(
2
N
1,2,...,
n
)
2
(
2
)
(
,
2
N
n
N
n
N
j
j
n
n
d
H
n
n
d
e
e
H
n
N
h
n
d
n
N
m
ω
ω
ω
ω
π
ω
令
=
+
=
∑
∑∑
=
=
=
1
2
0
)
2
1
2
(
1
2
0
1
2
)
21
2
(
sin
)
(
2
)
(
)
(
)
(
N
n
N
j
N
n
N
N
n
n
j
n
j
j
n
N
n
h
e
e
n
h
e
n
h
e
H
ω
ω
π
ω
ω
ω
(4) h(n)
奇对称，
N
为偶数
12
π
2
π
)
(
ω
H
奇对称
、
偶对称
、
注：
h(n)
N
h(n)
N
2
2
1
)
(
)
4
(
)
3
(
2
1
)
(
)
2
(
)
1
(
π
ω
ω
θ
ω
ω
θ
+
=
=
2
1
)
(
=
=
N
d
d
ω
ω
θ
τ
群延时
13
、零点位置
4
∑
∑
=
=
=
=
=
1
0
1
0
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
N
n
n
N
n
n
z
n
N
h
z
n
h
z
H
n
N
h
n
h
设
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
)
1
(
1 0
1 0
)
1
(
)
1
(
=
=
=
=
=
=
∑
∑
z
H
z
z
m
h
z
z
m
h
z
H
n
N
m
N
N m
m
N m
N
m
N
令的零点也是则的零点是当
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
1
(
)
(
1
1
)
1
(
1
)
1
(
z
H
z
z
H
z
z
H
z
z
H
z
H
z
z
H
n
N
h
n
h
i
i
N
N
∴
±
=
∴
=
=
14
:
,
)
(
)
(
,
)
(
1
*
1
*
如下图示零点均是
、
、
、
的零点共轭出现实数若
z
H
z
z
z
z
z
H
n
h
i
i
i
i
∴
)
(
z
jI
m
)
(
z
R
e
1
=
z
i
z
*
i
z
i
z
1
*
1
i
z
[]
[]
均为零点即则若实数
、
*
*
*
*
*
*
,
0
)
(
,
0
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
i
i
i
i
n
n
z
z
z
H
z
H
z
H
z
n
h
z
n
h
z
H
n
h
=
=
∴
=
=
=
∑
∑
Q
15
)
(
傅立叶级数法二、窗函数设计法
、设计原理
1
)
(
)
(
)
(
)
(
n
h
n
h
e
H
e
H
d
j
d
j
去逼近理想的
，即用去逼近理想的用
ω
ω
n
n
d
e
n
h
c
n
j
d
c
c
π
ω
ω
π
ω
ω
ω
sin
2
1
)
(
=
=
∫
则
π
ω
ω
ω
ω
≤
<
≤
c
c
0
1
＝
设
)
(
ω
j
d
e
H
)
(
n
h
d
n
16
,
,
)
(
)
(
:
,
,
)
(
项来逼近在均方意义下可用有限依傅立叶级数理论知为了满足设计要求是无限长的非因果的显然
∑
∞
∞
=
=
n
n
j
d
j
d
d
e
n
h
e
H
n
h
ω
ω
∑
∑
∞
∞
=
=
→
n
n
j
d
N
N
n
n
j
d
e
n
h
e
n
h
ω
ω
)
(
)
(
:
)
(
,
2
1
2
1
即：
相当于加窗最优逼近
)
(
)
2
1
(
)
(
:
.
,
2
1
)
(
n
R
N
n
h
n
h
N
n
h
N
d
d
=
即使系统因果化移位然后再将截短后的
17
)
(
)
(
)
(
,
)
(
n
R
n
h
n
h
n
h
N
d
d
=
则响应表示移位后的理想取样若记
=
)
(
n
R
N
else
N
n
0
1
0
1
≤
≤ =
)
(
,
ω
j
d
e
H
此时
otherwis
e
e
c
N
j
0
2
1
ω
ω
ω
≤
∑∑
=
=
=
=
=
1
0
1
0
1
1
)
(
)
(
N
n
N
n
j
N
j
n
j
n
j
N
j
R
e
e
e
e
n
R
e
W
ω
ω
ω
ω
ω
、矩形窗截断的影响
2
18
[]
[]
2
sin
2
sin
2
1
2
/
2
/
2
/
2
/
2
/
2
/
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
N
e
e
e
e
e
e
e
N
j
j
j
j
N
j
N
j
N
j
=
=
形成许多副瓣。
展开然后向两侧呈衰减振荡之内有一主瓣在
,
,
2
,
2
sin
2
sin
)
(
N
N
W
R
π
ω
ω
ω
ω
±
=
=
2
1
)
(
)
(
=
N
j
d
j
d
e
H
e
H
ω
ω
ω
而
π
ω
ω
ω
ω
≤
<
≤
c
c
0
1
=
)
(
ω
d
H
19
∫
=
∴
=
π
π
θ
ω
θ
ω
θ
θ
ω
θ
π
d
e
W
e
H
e
H
n
R
n
h
n
h
N
j
R
N
j
d
j
N
d
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
:
)
(
)
(
)
(
频域卷积
Q
∫
∫
=
=
=
π
πω
π
π
ω
θ
θ
ω
θ
π
ω
ω
θ
θ
ω
θ
π
d
W
H
H
e
H
d
W
H
e
R
d
N
j
R
d
N
j
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
相乘再作积分。
然后与开始向右移位，
＝
从卷积过程：将
)
(
)
(
ω
π
ω
θ
ω
d
R
H
W
20
:
0
开始分析卷积过程现只从
=
ω
1 0
π
π
c
ω
c
ω
θ
)
(
θ
d
H
。
且归一化为记为阴影部分的全部面积间到可近似为一般下的面积到就是从相乘积分
、当
1
),
0
(
)
(
)
(
2
)
(
,
,
0
1
H
W
N
W
R
c
R
c
c
θ
π
π
π
ω
θ
ω
ω
ω
∴
>>
+
=
Q
)
(
)
(
θ
θ
R
R
W
W
=
θ
N
π
2
N
π
2
21
N
c
π
ω
ω
2
=
c
ω
c
ω
正肩峰。
出现瓣移出，此时通带内，有一半副全在
，主瓣刚好
、当
)
2
(
)
(
2
2
N
H
H
N
c
d
c
π
ω
θ
π
ω
ω
=
c
ω
ω
=
c
ω
5
.
0
)
0
(
/
)
(
)
(
)
(
,
3
=
∴
=
H
H
W
H
c
R
d
c
ω
θ
ω
θ
ω
ω
重叠一半与
、当
22
.
)
2
(
,
,
)
(
,
2
4
出现负肩峰积大于正的面积而通带内副瓣负的面通带主瓣刚好移出
、当
N
H
H
N
c
d
c
π
ω
θ
π
ω
ω
+
∴
+
=
.
,
)
(
,
2
5 绕零波动因此此时将围副瓣将扫过通带左尾
、
θ
ω
π
ω
ω
+
>
R
c
W
N
c
ω
N
c
π
ω
ω
2
+
=
c
ω
c
ω
N
c
π
ω
ω
2
=
N
c
π
ω
ω
2
+
=
)
(
ω
H
ω
1
0.5
23
:
,
的影响如下加矩形窗后对理想特性综上所述
.
4
.
1
N
π
的主瓣宽度过渡带带宽等于窗函数产生过渡带
.
,
,
,
,
,
,
2
2
余振也越多副瓣越多肩峰越强副瓣相对值越大肩峰两侧形成余振出现最大肩峰值在过渡带两旁
N
c
π
ω
±
.
,
)
0
2
(
sin
2
/
2
/
sin
2
/
sin
2
/
sin
)
(
.
)
(
.
,
3
主瓣及副瓣皆增加增加附近在
，
效应这种现象称为吉布斯值但不能改变肩峰的相对只能减小过渡带宽增加
N
N
x
x
x
N
N
N
W
Gibbs
N
R
∴
=
=
≈
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Q
24
.
3
、窗函数的选择
.
,
.
,
.
:
减小过冲及波动副瓣尽可能小以获得较陡的过渡带主瓣宽度小原则
b
a
105
:
P
Blackman
达式可见书其性能指标及窗函数表三角窗、凯塞窗。
窗、
窗、
矩形窗、海宁窗、哈明常用的窗函数有
25
:
4
、设计步骤
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
j
n
W
d
j
d
e
H
n
h
n
h
e
H
→
→
→
×
类型。
据阻带衰减，查表选窗
1
)
(
3
n
W
求
)
(
/
2
主瓣宽度有关与窗口函数有关过渡带宽
，
，
求
A
A
N
N
c
s
ω
ω
ω
ω
=
=
=
∫
=
π
π
ω
ω
ω
π
d
e
e
H
n
h
n
j
j
d
d
)
(
2
1
)
(
4
求
)
(
)
(
)
(
5
n
W
n
h
n
h
d
=
求
)
(
)
(
6
ω
j
e
H
z
H
或求
26
dB
A
dB
A
FIR
s
s
p
c
70
4
.
0
3
2
.
0
,
:
≥
=
≤
=
，
，
，
低通滤波器性相位利用窗函数法设计一线例
π
ω
π
ω
）
可选布拉克曼窗（见解：
238
70
P
dB
A
s
∴
≥
Q
60
2
.
0
4
.
0
12
=
∴
=
=
N
N
π
π
π
ω
n
60
4
0.08cos
n
60
2
0.5cos
0.42
n
1
N
4
0.08cos
n
1
N
2
0.5cos
0.42
W(n)
61
N
π
π
π
π
+
=
+
=
=
取
60
0
),
(
)
(
)
(
≤
≤
=
n
n
W
n
h
n
h
d
)
30
(
2
.
0
)
30
(
)
30
(
)
30
(
2
.
0
sin
=
=
≠
n
n
n
n
c
π
ω
π
π
=
=
)
2
1
(
)
2
1
(
sin
)
(
N
n
N
n
n
h
c
d
π
ω
27
三、频率取样设计方法
、设计思想
1
:
,
)
2
0
(
,
)
(
则得点均匀取样对其作若在一周内为所需的频率响应设
N
e
H
j
d
π
ω
1
0
)
(
)
(
)
(
/
2
2
≤
≤
=
=
=
N
k
e
H
e
H
k
H
N
k
j
d
k
N
j
d
π
π
ω
ω
∑
=
=
1
0
)
(
)
(
N
n
n
j
j
e
n
h
e
H
ω
ω
实际滤波器的频率响应
1
0
)
(
1
)
(
1
0
2
≤
≤
=
∑
=
N
n
e
k
H
N
n
h
N
k
nk
N
j
π
即
、设计过程
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
ω
π
ω
ω
j
DTFT
IDFT
k
N
j
d
e
H
n
h
k
H
e
H
k
→
→
→
=
28
式
、系统函数的一般表达
3
∑
∑∑
=
=
=
=
=
1
0
2
1
0
1
0
)
(
1
)
(
)
(
N
k
n
N
kn
j
N
n
N
n
n
z
e
k
H
N
z
n
h
z
H
π
[]
=
=
=
=
=
∑
∑∑
1
/
2
2
1
0
1
0
1
0
1
/
2
1
1
)
(
)
(
z
e
z
e
N
k
H
z
e
N
k
H
N
k
j
N
k
j
N
k
N
k
N
n
n
N
k
j
π
π
π
∑
=
=
1
0
1
/
2
1
)
(
)
1
(
N
k
N
k
j
N
z
e
k
H
N
z
π
)
(
)
(
)
(
2
1
z
H
z
H
z
H
=
令个零点的梳状滤波器是具有
N
N
z
z
H
N
=
1
)
(
1
.
1
)
(
)
(
1
0
1
/
2
2
而成个单极点滤波器组并联是由
N
z
e
k
H
z
H
N
k
N
k
j
∑
=
=
π
29
滤波器的优化设计四、
FIR
四种形式的统一表示
、线性相位
DF
FIR
1
∑
∑
=
=
=
=
2
1
0
2
1
0
)
,
(
cos
)
(
~
cos
)
(
)
(
.
1
N
n
N
n
N
n
n
a
n
n
a
H
偶对称奇情况
ω
ω
ω
∑
∑
=
=
=
=
1
2
0
2
/
1
)
,
(
)
cos(
)
(
~
2
cos
)
21
(
cos
)
(
)
(
.
2
N
n
N
n
N
n
n
b
n
n
b
H
偶对称偶情况
ω
ω
ω
ω
)
,
(
cos
)
(
~
sin
)
sin(
)
(
)
(
.
3
2
1
1
2
3
0
奇对称奇情况
∑∑
=
=
=
=
N
n
N
n
N
n
n
c
n
n
c
H
ω
ω
ω
ω
∑
∑
=
=
=
=
1
2
0
2
/
1
)
(
cos
)
(
~
2
sin
)
21
(
sin
)
(
)
(
.
4
N
n
N
n
N
n
n
d
n
n
d
H
偶，偶对称情况
ω
ω
ω
ω
30
2
1
,...,
1
,
0
)
(
~
)
(
=
=
N
n
n
a
n
a
情况１：
[]
)
1
2
(
~
21
)
2
(
1
2
,...,
3
,
2
)
(
~
)
1
(
~
21
)
(
)
1
(
~
21
)
0
(
~
)
1
(
=
=
+
=
+
=
N
b
N
b
N
n
n
b
n
b
n
b
b
b
b
：
情况
2
:
其中
：
情况
3
[]
)
2
3
(
~
21
)
2
1
(
)
2
2
1
(
~
21
)
2
3
(
)
2
2
1
(
,...,
3
,
2
)
1
(
~
)
1
(
~
21
)
(
)
2
(
~
21
)
0
(
~
)
1
(
=
=
=
+
=
=
N
c
N
c
N
c
N
c
N
n
n
c
n
c
n
c
c
c
c
31
[]
)
1
2
(
~
21
)
2
(
)
1
2
...,
3
,
2
(
)
(
~
)
1
(
~
21
)
(
)
1
(
~
21
)
0
(
~
)
1
(
=
=
=
=
N
d
N
d
N
n
n
d
n
d
n
d
d
d
d
:
4
情况
ω
ω
)
21
cos(
)
(
~
21
)
21
(
cos
)
1
(
~
21
1
2
0
2
/
1
∑
∑
=
=
+
=
N
n
N
n
n
n
b
n
n
b
[]
)
cos(
)
cos(
21
cos
cos
:
B
A
B
A
B
A
+
+
=
据下面证第三种情况
∑
∑
=
=
+
+
=
1
2
0
1
2
0
)
21
cos(
)
21
cos(
)
(
~
21
cos
2
cos
)
(
~
N
n
N
n
n
n
n
b
n
n
b
ω
ω
ω
ω
32
[]
+
+
+
=
∑
=
ω
ω
ω
)
21
2
(
cos
)
1
2
(
~
21
)
21
(
cos
)
1
(
~
)
(
~
21
2
cos
)
0
(
~
21
1
2
1
N
N
b
n
n
b
n
b
b
N
n
[]
)
1
2
(
~
21
)
2
(
.
1
2
,...
3
,
2
)
(
~
)
1
(
~
21
)
(
)
1
(
~
21
)
0
(
~
)
1
(
=
=
+
=
+
=
N
b
N
b
N
n
n
b
n
b
n
b
b
b
b
令可证
33
∑
=
=
=
1 0
cos
)
(
~
)
(
)
(
).
(
)
(
)
(
,
r
n
n
n
Q
P
Q
H
H
ω
α
ω
ω
ω
ω
ω
可写成统一形式此时
:
四种情况
)
(
ω
Q
ω
sin
22
1
22
1
N
N
N
N
+
∑∑∑∑
=? =? =? =
1 01 01 01 0
cos
)
(
~
cos
)
(
~
cos
)
(
~
cos
)
(
~
r
n
r
n
r
n
r
n
n
n
d
n
n
c
n
n
b
n
n
a
ω
ωωω
)
(
ω
P
r
2
cos
ω
1
2
sin
ω
1 2 3 4
34
2
、切比雪夫逼近定理近误差函数定义为：
作逼近函数，
则加权逼的的四种情况之一
，用线性相位误差加权函数
，逼近频率响应为实际器设给定的所需要的滤波
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
H
DF
FIR
W
H
d
[
]
[]
=
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
Q
H
Q
W
Q
P
H
W
H
H
W
E
d
d
d
[]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
H
W
E
Q
H
H
Q
W
W
d
d
d
=
=
=
令
35
{}
。
的最大绝对值达到最小频带上
，
使其在实现逼近的各个或描述为求一组系数雪夫等波纹问题，即可滤波器的切比函数后，线性相位有了加权函数逼近误差
)
(
)
(
~
)
(
~
),
(
~
),
(
~
ω
E
n
d
n
c
n
b
n
a
FIR
[
]
)
(
max
min
)
(
ω
ω
ω
E
E
A
∈
=
极小值各系数
A
包括各通带和止带交替定理：
∑
=
=
1 0
cos
)
(
)
(
)
(
r
n
n
n
a
P
r
P
ω
ω
ω
个余弦函数的线性组合是若上的连续函数是中一个闭子集，
是
A
H
A
d
)
(
)
,
0
(
ω
π
36
:
)
(
)
(
充要条件是切比雪夫逼近的的唯一的和最优加权的是则
ω
ω
d
H
P
[]
)
(
max
)
(
,...
2
,
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
...
1
)
(
1
1
3
2
1
ω
ω
ω
ω
δ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
E
E
r
i
E
E
P
H
E
r
A
E
A
i
i
i
i
i
i
d
i
r
r
i
∈
+
+
=
=
=
=
=
<
<
<
<
<
+
且即使得且个极值点中至少有在加权逼近误差函数
37
:
.
低通滤波器例
[]
.
,
2
)
(
.
)
(
1
,
0
条件满足切比雪夫最佳逼近个极值点共有
，
个极值点两界频率也是误差函数的再加上过渡带边数为的最大极值多项式阶
，
由于在
+
∴
r
r
P
r
s
c
p
ω
ω
ω
ω
π
1
1
δ
+
1
1
δ
2
δ
2
δ
1
ω
2
ω
c
ω
s
ω
3
ω
4
ω
5
ω
6
ω
)
(
ω
j
e
H
ω
π
).
(
)
(
,
,
1
n
h
FIR
n
a
r
的便可确定及求出个极值点频率只要求出
δ
+
38
3
、
Remez
算法四种情况的任一种。
为线性相位
。
为
，实际逼近的幅度特性的幅度特性为设希望设计的
DF
FIR
H
H
H
DF
d
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
∑
=
=
=
1 0
)
cos(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
r
n
n
n
a
P
Q
P
H
H
ω
ω
ω
ω
ω
ω
可表示为：
则加权误差
)]
(
)
(
)[
(
)]
(
)
(
)[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
)[
(
)]
(
)
(
)[
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
D
W
P
H
W
P
Q
H
Q
W
Q
P
H
W
H
H
W
E
d
d
d
d
=
=
=
=
=
39
:
,
.
...,
,
1
)
(
.
1
0
下式据最佳逼近定理可得到式将这些极值频率代入上个极点频率的上已知逼近频带设
r
r
E
A
ω
ω
ω
ω
+
∑
=
∈
=
=
=
=
1 0
cos
)
(
)
(
)
(
max
...
2
,
1
,
0
)
1
(
)]
(
)
(
)[
(
r
n
i
i
A
i
i
i
i
n
n
a
P
E
r
i
P
D
W
ω
ω
ω
δ
δ
ω
ω
ω
ω
将上式写成矩阵形式
)
(
)
1
(
)
1
cos(
...
2
cos
cos
1
)
(
)
1
(
)
1
cos(
...
2
cos
cos
1
...
...
...
...
...
...
)
(
1
)
1
cos(
...
2
cos
cos
1
)
(
1
)
1
cos(
...
2
cos
cos
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
W
r
W
r
W
r
W
r
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
)
(
)
(
...
)
(
)
(
...
1
10
1
10
rr
r
DDDD
a
aa
ωωωω
δ
40
.
,
,...
,
.
1
,
,...,
,
1
1
0
1
1
0
最佳滤波器设计完毕滤波器的单位取样响应可进一步求出
。由及解此方程可得唯一解共及加权误差最大绝对值上式需求未知量
n
r
r
a
a
a
a
r
a
a
a
δ
δ
+
采用迭代算法。
题键就变为求极值频率问因此求解上述方程的关求解是不知道的，因此无法但实际上这些极值频率
mez
Re
,
.
41
:
Re
算法的计算步骤
mez
.
,
...
,
,
1
,
1
)
1
(
2
1
0
δ
ω
ω
ω
ω
由上方程解出初始估计值一般以等间隔取个极值频率的估计值首先给出
r
r
r
+
+
∑
∑
=
=
=
r
i
i
i
i
r
i
i
i
W
b
D
b
0
0
)
(
)
1
(
)
(
ω
ω
δ
)
...
2
,
1
,
0
(
0
cos
cos
1
r
i
r
i
nn
n
i
i
b
=
≠=
∏
=
ω
ω
式中也不是最优估计误差。
因此并不是最佳极值频率，
一般初始估计值
δ
ω
i
42
r
i
W
D
P
r
i
i
i
i
i
,...
2
,
1
,
0
)
(
)
1
(
)
(
)
(
:
,
1
)
2
(
=
+
=
+
ω
δ
ω
ω
ω
δ
代入下式极值频率值和将
)
(
)
(
),
(
,
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
P
P
E
P
P
i
i
i
进行插值，得到对利用拉格朗日插值公式为了求出处的采样值连续函数在是
∏
∑∑
≠=
=
=
=
= r
i
nn
n
i
i
r
i
r i
i
i
i
i
i
d
d
d
P
P
0
0
1
0
cos
cos
1
cos
cos
cos
cos
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
43
代。
计值
，从而完成一次迭得到一组新的极值点估部极值点。于是后在这些点附近搜索局的极值频率是假的
，然
，说明初始估计值些频率处有恰是极值频率。若在某值是最佳极值。初始估计
，说明都有
，如果所有频率上计算式得到代入误差将
δ
ω
ω
δ
δ
ω
ω
ω
ω
>
=
≤
)
(
)
,...
2
,
1
,
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
E
r
i
E
E
E
P
i
.
)
(
,
)
2
(
)
3
(
的极值估计值到一组新率的估计值。从而又得极值点作为新的极值频的局部把在各频率处使相同的方法利用和
δ
ω
<
E
44
.
)
(
),
(
)
(
,
.
,
)
(
)
(
)
(
,
的单位取样响应系数求出最后由个系数的求出按照新的最佳极值频率迭代结束值的峰值也不会超过最佳
。如果再迭代下去最佳一致逼近最佳极值，此时到都是递增的，最后收敛每次迭代后的重复上述步骤
DF
FIR
P
n
a
r
P
E
D
P
ω
ω
δ
ω
ω
ω
δ
45
滤波器设计的比较与五、
FIR
IIR
.
,
,
.
1
成本高高的选择性需较高的阶数才能获得线性相位但相位是非线性的
，所需存储单元少，
较低阶数实现高选择性
、
DF
FIR
DF
IIR
.
,
,
2
要考虑稳定问题而振荡有限精度计算不会产生可用非递归方法实现
、
IIR
DF
FIR
.
,
3
快在相同阶数下运算速度算法可用
、
FFT
FIR
.
,
,
4
助设计一般只能借助计算机辅而计算工作量小可用模拟滤波器的成果
、
FIR
DF
IIR
.
5
等如构成微分器或积分器的滤波器。
可实现一些有特殊应用
、
FIR
46
§
5
数字滤波器的结构
DF
可用差分方程、单位取样响应及系统函数表示一、
IIR
数字滤波器的结构递归型
1
、直接型
（
1
）直接
I
型
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
1
1
0
z
W
z
Y
z
X
z
W
z
H
z
H
z
a
z
b
z
H
N
k
k
k
M
r
r
r
=
=
+
=
∑
∑
=
=
∑
∑
=
=
+
=
=
N
k
k
k
M
r
r
r
z
a
z
H
z
b
z
H
1
2
0
1
1
1
)
(
,
)
(
47
∑
∑
=
=
=
=
N
i
i
M
i
i
i
n
y
a
n
w
n
y
i
n
x
b
n
w
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
:
对应差分方程据此差分方程，可画出
I
型的结构
x(n)
W(n)
y(n)
0
b
1
z
1
b
1
M
b
M
b
1
a
1
N
a
N
a
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
48
信流图：
0
b
1
z
1
b
1
M
b
M
b
1
a
1
N
a
N
a
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
2
b
x(n)
W(n)
y(n)
2
a
(2)
直接Ⅱ型（标准型、正准型）
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
+
=
=
=
M
r
r
M
r
r
r
N
k
k
N
k
k
k
r
n
w
b
n
y
z
b
z
W
z
Y
z
H
k
n
w
a
n
x
n
w
z
a
z
X
z
W
z
H
z
H
z
H
z
H
0
0
2
1
1
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
49
显然可将两部分延时单元合并
)
(
n
x
)
(
n
y
)
(
n
W
0
b
1
a
2
a
N
a
1
b
2
b
N
b
…
…
…
1
z
1
z
1
z
(3)
特点
.
.
,
将影响全部零点将影响全部极点，调调调整不便。
非常敏感，且零、极点参数对系统的工作状态直观结构简单
r
k
b
a
50
2
、间接型
(1)
级联形式
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
11
)
(
,
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
+
+
+
+
++
=
=
=
∏
z
a
z
a
z
b
z
b
or
z
a
z
b
z
H
z
z
H
z
H
b
z
X
z
Y
z
H
i
i
i
i
ii
ii
k
i
i
即多项式的简单比的一阶或二阶它们是表示子系统的系统函数
51
)
(
z
H
i
利用直接Ⅱ型实现
→
)
(
z
X
)
(
z
H
)
(
z
Y
≡
→
)
(
z
X
)
(
z
Y
)
(
1
z
H
)
(
2
z
H
)
(
z
H
k
0
b
)
(
n
x
k
)
(
n
y
k
)
(
n
W
1
k
a
2
k
a
1
k
b
2
k
b
1
z
1
z
特点：存储单元少，便于单独调整系统的零、极点
.
结构排列灵活。
(k
级子系统共有
k!
种形式
)
52
2
2
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
=
+
+
+
=
+
=
+
=
∑
z
a
z
a
z
b
b
z
H
or
z
a
b
z
H
z
H
c
z
H
i
i
i
i
i
i
i
i
k
i
i
(2)
并联形式
⊕
)
(
z
X
c
)
(
1
z
H
)
(
z
H
k
)
(
z
Y
…
特点：运算速度快，可单独调整极点位置
(
零点不能单独调整
)
53
联形式予以实现。
试分别用级联形式和并系统的函数为
、已知一个四阶例
81
43
47
2
1
21
1
)
(
1
4
3
2
1
1
+
+
+
=
z
z
z
z
z
z
H
IIR
4
1
2
1
2
2
1
1
4
1
2
2
1
1
81
)
1
(
21
)
1
(
41
)
1
(
21
1
81
)
1
(
43
)
1
(
21
1
)
(
+
+
+
+
=
+
+
+
=
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
H
解：
(a)
级联
54
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
21
1
1
41
1
21
1
)
21
1
)(
41
1
(
21
1
+
+
+
=
+
+
+
=
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
)
(
n
y
)
(
n
x
1
z
1
z
1
z
1
z
21
21
41
55
2
1
1
2
1
1
21
1
41
1
)
(
+
+
+
+
+
=
z
z
Dz
C
z
z
Bz
A
z
H
3
,
4
,
23
,
5
=
=
=
=
D
C
B
A
2
1
1
2
1
1
21
1
3
4
41
1
23
5
)
(
+
+
+
+
=
∴
z
z
z
z
z
z
z
H
(b)
并联形式
:
)
(
n
x
)
(
n
y
1
z
1
z
1
z
1
z
5
41
4
3
21
23
56
二、
FIR
滤波器结构
∑
∑
=
=
=
=
1
0
1
0
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
N
k
N
n
n
k
n
x
k
h
n
y
z
n
h
z
H
1
、直接型
…
⊕
⊕
⊕
1
z
)
0
(
h
)
1
(
h
)
2
(
h
)
1
(
N
h
)
(
n
x
)
(
n
y
…
1
z
1
z
1
z
:
2
/
)
1
(
,
2
/
)
1
(
)
(
。具体如下减到将从为奇数时当
，
减到为偶数时将从则乘法单元数，当系统具有线性相位，据若
+
±
=
N
N
N
N
N
N
n
N
h
n
h
FIR
57
2
1
1
0
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
=
+
+
=
=
=
∑
z
z
z
H
z
H
z
H
z
H
z
n
h
z
H
i
i
i
i
N
n
k
n
γ
β
α
2,
级联形式
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
)
(
n
x
)
0
(
h
)
1
(
h
)
2
(
h
)
2
3
(
N
h
)
2
1
(
N
h
1
z
)
(
n
y
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
…
… …
N
为奇数
⊕
⊕
1
z
i
α
i
β
i
γ
)
(
n
x
i
)
(
n
y
i
1
z
58
联形式结构图试画出线性相位型与级系统函数已知例
3
2
1
21
41
41
21
)
(
.
3
+
+
+
=
z
z
z
z
H
FIR
⊕
⊕
⊕
)
(
n
x
)
(
n
y
21
41
1
z
1
z
1
z
)
(
)
(
)
21
41
21
)(
1
(
)
1
(
41
)
1
)(
1
(
21
)
1
(
41
)
1
(
21
)
(
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
3
z
H
z
H
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
H
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
级联：
59
⊕
⊕
⊕
)
(
n
x
)
(
n
y
1
z
1
z
1
z
21
41
3,
频率取样型
.
)
(
1
)
(
1
)
1
(
)
(
1
)
(
)
(
1
0
1
1
0
1
0
1
0
频率采样
k
H
z
W
k
H
N
z
z
W
k
H
N
z
n
h
z
H
N
k
k
N
N
N
n
N
n
N
k
n
nk
N
n
∑
∑∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
60
)
(
n
x
)
(
n
y
N
1
1
z
1
z
1
z
)
0
(
H
)
1
(
H
)
1
(
N
H
N
z
0
N
W
1
+
N
N
W
1
N
W
…
…
.
.
的递归实现形式即
DF
FIR
61
复习重点
)
(
))
((
),
(
~
),
(
n
R
n
x
n
x
n
x
N
N
1
、画信号波形
)
(
)
(
),
(
*
)
(
2
1
2
1
n
x
n
x
n
x
n
x
2
、求
)
(
)
(
),
(
)
(
n
x
e
X
e
X
n
x
j
j
→
→
ω
ω
3
、
4
、系统稳定性、因果性、线性、非时变性
5
、
z
变换、逆
z
变换
6
、
DFT
定义、性质
7
、
FFT(DIT,DIF),IFFT(DIT,DIF)
算法流图及运算量
62
8
、
IIR
数字滤波器设计
---
脉冲响应不变、双线性变换
9
、
FIR
线性相位滤波器的四种情况，
窗函数设计法的基本原理
10
、
IIR
及
FIR
数字滤波器的结构
