1
大学物理 A(1)
第一册 力学
2
第 1章 质点运动学
Kinematics of particles
2005年春季学期 陈信义编
3
演示实验
1单摆
2混沌摆
§ 1.7 平面极坐标 (补充 ) 圆周运动
§ 1.1 质点的运动函数
§ 1.2 位移和速度
§ 1.3 加速度
§ 1.4 匀加速运动 (自学 )
§ 1.5 匀加速直线运动 (自学 )
§ 1.6 抛体运动 (自学 )
§ 1.8 相对运动
§ 1.9 科里奥利加速度 (补充 )
?
?
?
§ 1.10 相图 (补充 )
目 录
4
?运动学 (kinematics)
?动力学 (dynamics)
?静力学 (statics)
只描述物体的运动, 不涉及引起运动和改
变运动的原因 。
研究运动与相互作用之间的关系。
研究物体在相互作用下的平衡问题。
牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动
? 是整个物理学的基础
? 广泛应用于工程技术
5
矢量 （ vector） 及其运算,
1,加法, 平行四边形法则
交换律 ABBA ???? ???
结合律 CBACBA ?????? ????? )()(
2,数乘, 矢量乘标量结果仍为矢量
结合律 AA ?? )()( ???? ?
分配律
AAA
BABA
???
????
????
???
???
???
)(
)(
矢量, 有大小、方向，并有下述运算规则
6
交换律 ABBA ???? ???
分配律 CABACBA ??????? ?????? ???? )(
3,标量积,,c o s?ABBA ?? ??
4,矢量积,
BA ???
A B ?
zyx
zyx
BBB
AAA
zyx
BA
???
??
??
? ?
? ?
? ?xyyx
zxxz
yzzy
BABAz
BABAy
BABAx
??
??
??
?
?
?
)0(
s i n
??
?
??
?? ABBA
??
AAA ?? ??2
7
CABACBA ??????? ?????? ???? )(
0?? AA ??
ABBA ???? ???? 不交换！ BA
???
A B ?
【 思考 】 下列运算“合法”吗？
DCBA ???? ln,,,1 ??
)()()( BACCABCBA ????????? ??????
一个要用到的公式,
（ 验证上式的分量式成立即可 ）
8
§ 1.1 质点的运动函数
参考系 坐标系
太阳系
z
x
y
地心系
地面系
质点模型
运动具有相对性,物体 运动形式随不同的参
考系而不同 ─,刻舟求剑, 的启示
（ 实际物体 ）
9
时间 t, 用同步钟指示
空间,直角坐标系
?运动函数,描述质点的位置随时间的变化
x?
y?
z?
zyx ?,?,?,单位矢量
y(t)
x(t)
P( t ) z(t)
ztzytyxtxtr ?)(?)(?)()( ????
位置矢量（位矢）,
r(t)
— 轨道方程
x
z
y 0 )(
)(
)(
tzz
tyy
txx
?
?
?
运动函数,
10
?运动函数描述了质点的状态
状态,体系的全部物理量的取值情况
ztzytyxtxtr ?)(?)(?)()( ????
由 运动函数（ 轨道方程 ）
t
trtv
d
d )()( ?? ?可得到粒子的速度,动量 vmp ???
2
2 )(
)( t trta dd
??
?，加速度 等全部物理量的取值。
【 思考 】 一定体积气体分子的状态如何描述？
因此,质点的状态可用 轨道来描述。
11
§ 1.2 位移和速度
位移 （ displacement）,
)()( trttrr ??? ?????
路程 （ path）,s?
平均速度 （ av,velocity）,
t
rv
?
?? ??
t
sv
?
??
平均速率 （ av,speed）,
? r
?s
0 r(t+?t)
r(t)
12
zvyvxvztzytyxtxv zyx ?????? ?????? dddddd?
t
rv
t ?
?
?
??
0
lim
?
?
瞬时速度,
? r
? s
0 r(t+?t)
r(t)
t
r
t
trttr
t d
d ??? ?
?
????
??
)()(lim
0
注意,
,rs ????
rrrr dd,???? ??
d d rs ??
13
t
s
t
sv
t d
d?
?
??
?? 0
l i m
瞬时速率,
222
zyx vvvvv ????
?
—切向单位矢量
srt dd ??e?
? r ? s
0 r(t+?t)
r(t)
te?
t
rv
d
d ?? ?
瞬时速度 和 瞬时速率的关系,
tv e??s
r
t
s
d
d
d
d ???
14
§ 1.3 加速度
t
va
d
d ?? ?
zayaxaa zyx ??? ????
x
r(t+Δ t )
r(t)
y
z
0
v (t )
v (t+Δ t )
Δ v
v (t )
v (t+Δ t )
2
2
t
r
d
d ??
t
va
t
va
t
va z
z
y
y
x
x d
d
d
d
d
d ???,,
222
zyx aaaa ???
15
通过积分求位移和速度,
???
???
t
t
dtavtv
dtvrtr
0
0
0
0
)(
)(
???
???
【 思考 】 把上面两式写成分量形式
tvv e??
?因,则有
t
va
d
d ?? ?
速率变化引起
速度方向变化引起
tvt
v t
t d
d
d
d ee ?? ??
16
【 例 】
2sm20.4
d
d ??
t
va
sm)20.4(
d
d t
t
xv ??
2, 8 0 mm)10.2( 2 ?? tx
17
【 例 】 按图中速度～
时间的关系曲线,画出
路程～时间的关系曲
线 。
解,
18
§ 1.7 平面极坐标 （补充） 圆周运动
一,平面极坐标
O
?
极轴
r
),( ?rP
r??? r?
单位矢量,
??
单位矢量,
r增加的方向。
?增加的方向。
????r
r? ?? 和 都不是常矢量,
1,定义
有心力 问题常 在平面极坐标系中处理 。 rrff ?)(??
虽然
长度都为 1,但方向都随
P点的位置变化而变化 。
19
x
y r=常数 ? =常数
直角坐标和平面极坐标的等坐标线
20
r? ?? 2,和 对时间的导数
O
?
??
??
)(? ttr ?? r??
)(? tr
?? ?????? rr ??
???? ??
?? ??
??? ttrr dddd
?? )(? tt ???
???
)(? t?
rrtt ??
??
???? ?? ????? dddd
)(? tr
)(? t?
)(? ttr ??)(? tt ???
21
3,平面极坐标中的位矢 速度 加速度
（ 1） 位矢 )(?)()( trtrtr ??
rrr ???
t
rr
t
rv
d
)?(d
d
d ?? ??
?? ?? ???r
?? ?? ?? rrr ??rrrr ?? ?? ??
（ 2） 速度
?vvv r
??? ??
rrv r ??? ?径向速度,
??? ??? rv ?
横向速度,
【 思考 】 圆周运
动质点的径向速
度和横向速度如
何表示？
22
t
vv
t
va r
d
)(d
d
d ????? ???
?? ????
d
)?d( ????????? rrrrrrr
t
rr ????
rrrr
t
r ???
d
)?d( 2
?????
?? ??????
???
r
r
??
??
??
??
??
??
??
?
???? ?)2(?)( 2 ???????? rrrrra ????
t
r
t
rr
d
)?d(
d
)?d( ????
??
（ 3） 加速度
23
?aaa r
??? ??
rrra r ?)( 2????? ??
径向加速度,
???? ?)2( ????? rra ??
横向加速度,
【 思考 】 圆周运动的质点的径向加速度和横
向加速度如何表示？
24
?
??
o
r
?S
v
?
r
v
??
?S
二、圆周运动
25
1,角量和线量
??角位移,
线位移,s?
角加速度,
td
d?? ?? ?
线加速度,
t
va
d
d ???
?
r
v
??
?S
ω?
??? ?2
2
td
d??，若 方向不变 ??
角速度,
,???? tdd??
线速度,
rtrtsv ?? ??? dddd
与 成右手螺旋。 ?? v?
??? rs ＝,
rv ??? ??＝,
26
2,加速度按法向和切向的分解
nntt aaa ee ?? ??
?
v
r o ne?
te?
— 切向加速度,— 法向加速度
nata
at
an a
切向 （横向）
法向 （与径向相反） r
n ?? ??e
θt ?? ?e
27
法向（向心）加速度,
由速度方向的改变引起的速度的变化率
沿半径指向圆心
rrra r ?)( 2????? ??
r
vvra
n
22
??? ??
)?(2 rr ?? ??
nr e?
2??? nna e??
0?r?
28
???? ?)2( ????? rra ??
切向加速度,
?? rrtva t ??? ?dd
?? ???r?
t
ra
t d
)(d ???
t
v
d
d?
由速度大小的改变引起的速度的变化率
沿切线指向速度增大的方向
0?r?
tr e???? tta e?? v
r o
at
an a
29
【 思考 】 质点能否按图示的加速度沿圆周运
动？ 如果能, 分别表示什么情形？
a4
a2
a3
a1
0
30
3,平面曲线运动 （ plane curvilinear motion）
?, 曲率圆 的曲率半径
分解成一系列圆周运动
nt
v
t
va e?? 2
??? ed
d?
?
te?
ne?
31
牛顿对绝对空间和时间的定义,
绝对空间, 就其本性而言, 与外界任何事
物无关, 而永远是相似的和不可移动的 ‥‥
Absolut space,in its own nature,without
relation to anything external,remains always
similar and immovable‥ ‥ ‥
一、牛顿的绝对时空观
§ 1.8 相对运动
32
绝对, 真实与数学的时间本身, 由于它的
本性而均匀流逝, 与外界任何事物无关 ‥‥
Absolut,true and mathmatical time of itself
and from it own nature,flows equally without
relation to anything external‥ ‥ ‥
在弱引力, 低速 （ 远低于真空光速 ） 运动情
况下, 绝对时空观符合实验结果 。
绝对时空观,对于不同的参考系, 长度和
时间的测量结果是相同的 。
33
二,伽利略变换 Galilean transformation
x
x?
);,,( tzyxP
);,,( tzyx ????
y y?
z z?
O O?
S S?
u?
ut
x
x?
t t?
设参考系 S 相对 S作 匀速直线运动 （平动）
0 ? ? t t O O 重合时 和 规定,
时空变换,同一时空点的坐标和时间, 相对
S系和 S 系的变换关系 。
34
ttzzyyutxx ?????????,,,
当 u<<c时，由绝对时空观得 伽利略变换,
对于不同参考系, 长度间隔, 时间间隔都相
同, 矢量可按平行四边形法则叠加 。
x
x?
);,,( tzyxP
);,,( tzyx ????
y y?
z z?
O O?
S S?
u?
ut
x
x?
t t?
1,伽利略变换
35
伽利略变换只适用于低速情况 。 高速情况
（ u ~ c） 必须用 洛仑兹 （ Lorentz） 变换,
?时间的测量依赖于参考系
?长度的测量也依赖于参考系
不同参考系中的矢量不能再按平行四边形
法则叠加 ！
【 思考 】 高速情况下, 同一参考系中的两个矢
量还能按平行四边形法则叠加吗？
ttzzyyutxx ?????????,,,
伽利略变换是线性的 －时空的性质
36
2,速度的变换
OOrr ???? ??
v?
v??
u?
u
S S
o o
r r
x x
p t t
t
r
t
rv
d
d
d
d ??
?
??? ???
绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。
uvv ??? ???
uv ????
t
OO
t
r
d
d
d
d ??? ?
37
【 例 】 河水向东流速为 10km/h,船相对河水向
北偏西 30o航行, 航速为 20km/h。 此时向西刮
风, 风速为 10km/h。 求在船上观察烟囱冒出
的烟的飘向 （ 即风相对船的速度方向 ） 。
东 西
北
南
v船水
30?
20 v风船
v水地 10 v风地 10
v船地
30?
烟的飘向, 向 南偏西 30o
v风船 = v风地 － v船地
v风地 = v风船 + v船地
v船地 = v船水 + v水地
38
t
va
d
d ???
3,加速度的变换
在相对作匀速直线运动的参考系中, 同一质
点的加速度相同 。
aa ?? ??
0aa ?? ???tutv dddd
??
???
0aaa
??? ???
绝对加速度 ＝ 相对加速度 ＋ 牵连加速度
如果参考系相对作匀速直线运动,则
若 S 系 相对 S系转动，速度和加速度如何变换？
39
§ 1.9 科里奥利加速度 (补充 )
Coriolis acceleration
设盘 S 相对 S 系（惯性系）均速转动。
求在 S系和 S系中, 同一质点 P的速度, 加
速度的变换关系 。
O
?
r
S 系
S 系
v
（常矢量）
P
40
G? （任意矢量）
ztGyt
G
xtGtG zyx
*
?dd?dd?dddd ???
?
)???(dddd zGyGxGttG zyx ???
?
??
??
z?
x?
y?
??
S系（固定） S 系（转动）
t
G
d
d?
t
G
d
d*?
tG dd ? tG dd * ?和 之间的关系？ 求
yωtx ?d ?d ?
xωty ?d ?d ??
41
Gω
t
G
t
G * ??
??
???
d
d
d
d
一个数学定理,
z??? ??
ztGyt
G
xtGtG zyx
*
?dd?dd?dddd ???
?
)???(dddd zGyGxGttG zyx ???
?
固定系 转动系 转动角速度
其中
42
zGyGxGG zyx ??? ????
证明,
z
t
GxGy
t
G
yGx
t
G z
y
y
x
x ?
d
d??
d
d??
d
d ????? ??
z
t
G
t
yGy
t
G
t
xGx
t
G
t
G z
y
y
x
x ?
d
d
d
?d?
d
d
d
?d?
d
d
d
d ?????
?
yω
t
x ?
d
?d ?
xω
t
y ?
d
?d,??
xGyGz
t
Gy
t
G
x
t
G
yx
zyx ???
d
d?
d
d?
d
d ?? ?????
xGyG
t
G
yx ??d
d * ?? ???
?
43
zyx
GGG
ω
zyx
Gω 00
???
??
??
Gω
t
G
t
G * ??
??
???
d
d
d
d
xGyG
t
G
t
G
yx ??d
d
d
d * ?? ???
??
xωGyωG yx ?? ??
即得
44
rvv ???? ???? ?
绝对 速度 ＝ 相对速度 ＋ 牵连速度
1、速度的变换
O
?
r
S 系
S 系
（常矢量）
v
v=?
(相对 S系 ) (相对 S 系 ) (S 系转动引起）
rG ??? r
t
r
t
r ???? ??? ?
d
d
d
d,*
45
O
?
r
S 系
S 系
（常矢量）
v a
raa ??? 2???? v?? ??? ?2
绝对加速度 ＝
＋ 科里奥利加速度
a=? 2、加速度的变换
设相对圆盘,质点速度为, 加速度为,
v?? a??
＋ 向心加速度 相对加速度
46
vω
t
v
t
v * ???? ???
d
d
d
d
vG ?? ?
vω
t
r
t
v ** ????? ??????
d
d
d
d ?
vωrv
t
* ?????
?????? )(
d
d ?
vωva ????? ??????? ?
)( rvωva ??????? ?????????? ??
vrωa ?????? ???? ?22
vrωa ???????? ?????? ?? 2)(
)()()( BACCABCBA ????????? ??????
証,
47 va c
??? ??? ?2 ― 科里奥利加速度
考虑到方向，有
o
A
B
B?
A?
??
t 时刻
??
v??
C
t+?t
时刻
ca
?
弧AA ?弧BC ?沿 比沿 速度大
2
2
1 ta c??
?????? BABB 弧
va c ?? ?2
2tv ??? ?
ttv ??????? ?
对科里奥利加速度的一个定性解释,
设质点沿径
向匀速运动
48
【 例 】 在极坐标系中，证明上述结论。
?? ?? ??? rrrv ??
t
va
d
d ?? ? ???? ???? ??? rrrr ???
rrrr ??? 2????? ??? ??
科里奥利加速度,由盘的转动 和质点相对
盘的运动 共同引起 ！
?
v?
0,,?? r??? ??
rv
r
r
?
?
?
??
??
?
??
??
??
??
??? ?2?2 rrr ????
??? ?2?2 vrr ????
49
速度和加速度 的性质 总结
相对性,必须指明参考系
矢量性,有大小和方向, 可进行合成与分解,
合成与分解遵守平行四边形法则 。
瞬时性,大小和方向可以随时间改变
当 u << c时有伽利略速度变换和加速度变换。
50
§ 1.10 相图 (补充 )
以摆的相图为例简单介绍。
【 演示实验 】 单摆 混沌摆
相图比运动函数提供更多的
信息, 可包括完整的运动学内
容 。
相图也可用来描述运动状态。
?
0 刚性轻杆
位移与速度，或角位移与角速度的关系图称
为 相图
?? ~?
51
t??? c o s0?
1、小幅摆动
?
0 刚性轻杆
相图,
12
0
2
2
2
0
2
??
??
?
?
? ? （椭圆）
t???? s i n0???
?
??
???
运动函数,
52
2,给足够的冲击速度, 让
摆绕 轴 通过最高点 按决定论
的方式自由旋转 。
?
0
顺时针旋转
逆时针旋转
?
??
??? 0
相图,
53
0
都可能
到达最高点后，顺时针转？
逆时针转？还是静止不动？
最高点为临界态 非决定论
?
??
???
3,初始冲击使小球到达最高点
时速度恰好为零
逆时针
顺时针
逆时针转 临界态
逆时针
顺时针
54
?
??
???
1
2
3
单摆三种运动模式,
?
0
1.摆动态
决定论
?
0
2.自由态
决定论
0
3.临界态
非决定论
摆的相图
自由落体和弹
簧振子的相图
55
§ 1.4 匀加速运动
a? 为常矢量
2
2
1
)(
)(
00
0
0
0
0
0
tatvrdtvrtr
tavdtavtv
t
t
??????
?????
????
?
??
????
【 思考 】 写出上面积分的分量形式
以下是自学内容,
56
§ 1.5 匀加速直线运动
a?
0v
?为常矢量，并与
在一条直线上
atvv ?? 0
2
00 2
1
attvxx ???
57
§ 1.6 抛体运动
gaa
vvvv
yx
yx
yx
???
??
??
0
s i nc o s
0
0000
00
??
?
y
x
v0
0
58
2
0
0
2
1
)s i n(
)c o s(
gttvy
tvx
??
?
?
?
gtvv
vv
y
x
??
?
?
?
s i n
c os
0
0
如果空气阻力很大, 或虽然空气阻力可以
忽略, 但在抛体运动范围内重力加速度变化
较大, 上述理论都要修正 。
?
? 2
0
2
2
c o s2
t a n
v
gxxy ??
抛体的轨道函数,
大学物理 A(1)
第一册 力学
2
第 1章 质点运动学
Kinematics of particles
2005年春季学期 陈信义编
3
演示实验
1单摆
2混沌摆
§ 1.7 平面极坐标 (补充 ) 圆周运动
§ 1.1 质点的运动函数
§ 1.2 位移和速度
§ 1.3 加速度
§ 1.4 匀加速运动 (自学 )
§ 1.5 匀加速直线运动 (自学 )
§ 1.6 抛体运动 (自学 )
§ 1.8 相对运动
§ 1.9 科里奥利加速度 (补充 )
?
?
?
§ 1.10 相图 (补充 )
目 录
4
?运动学 (kinematics)
?动力学 (dynamics)
?静力学 (statics)
只描述物体的运动, 不涉及引起运动和改
变运动的原因 。
研究运动与相互作用之间的关系。
研究物体在相互作用下的平衡问题。
牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动
? 是整个物理学的基础
? 广泛应用于工程技术
5
矢量 （ vector） 及其运算,
1,加法, 平行四边形法则
交换律 ABBA ???? ???
结合律 CBACBA ?????? ????? )()(
2,数乘, 矢量乘标量结果仍为矢量
结合律 AA ?? )()( ???? ?
分配律
AAA
BABA
???
????
????
???
???
???
)(
)(
矢量, 有大小、方向，并有下述运算规则
6
交换律 ABBA ???? ???
分配律 CABACBA ??????? ?????? ???? )(
3,标量积,,c o s?ABBA ?? ??
4,矢量积,
BA ???
A B ?
zyx
zyx
BBB
AAA
zyx
BA
???
??
??
? ?
? ?
? ?xyyx
zxxz
yzzy
BABAz
BABAy
BABAx
??
??
??
?
?
?
)0(
s i n
??
?
??
?? ABBA
??
AAA ?? ??2
7
CABACBA ??????? ?????? ???? )(
0?? AA ??
ABBA ???? ???? 不交换！ BA
???
A B ?
【 思考 】 下列运算“合法”吗？
DCBA ???? ln,,,1 ??
)()()( BACCABCBA ????????? ??????
一个要用到的公式,
（ 验证上式的分量式成立即可 ）
8
§ 1.1 质点的运动函数
参考系 坐标系
太阳系
z
x
y
地心系
地面系
质点模型
运动具有相对性,物体 运动形式随不同的参
考系而不同 ─,刻舟求剑, 的启示
（ 实际物体 ）
9
时间 t, 用同步钟指示
空间,直角坐标系
?运动函数,描述质点的位置随时间的变化
x?
y?
z?
zyx ?,?,?,单位矢量
y(t)
x(t)
P( t ) z(t)
ztzytyxtxtr ?)(?)(?)()( ????
位置矢量（位矢）,
r(t)
— 轨道方程
x
z
y 0 )(
)(
)(
tzz
tyy
txx
?
?
?
运动函数,
10
?运动函数描述了质点的状态
状态,体系的全部物理量的取值情况
ztzytyxtxtr ?)(?)(?)()( ????
由 运动函数（ 轨道方程 ）
t
trtv
d
d )()( ?? ?可得到粒子的速度,动量 vmp ???
2
2 )(
)( t trta dd
??
?，加速度 等全部物理量的取值。
【 思考 】 一定体积气体分子的状态如何描述？
因此,质点的状态可用 轨道来描述。
11
§ 1.2 位移和速度
位移 （ displacement）,
)()( trttrr ??? ?????
路程 （ path）,s?
平均速度 （ av,velocity）,
t
rv
?
?? ??
t
sv
?
??
平均速率 （ av,speed）,
? r
?s
0 r(t+?t)
r(t)
12
zvyvxvztzytyxtxv zyx ?????? ?????? dddddd?
t
rv
t ?
?
?
??
0
lim
?
?
瞬时速度,
? r
? s
0 r(t+?t)
r(t)
t
r
t
trttr
t d
d ??? ?
?
????
??
)()(lim
0
注意,
,rs ????
rrrr dd,???? ??
d d rs ??
13
t
s
t
sv
t d
d?
?
??
?? 0
l i m
瞬时速率,
222
zyx vvvvv ????
?
—切向单位矢量
srt dd ??e?
? r ? s
0 r(t+?t)
r(t)
te?
t
rv
d
d ?? ?
瞬时速度 和 瞬时速率的关系,
tv e??s
r
t
s
d
d
d
d ???
14
§ 1.3 加速度
t
va
d
d ?? ?
zayaxaa zyx ??? ????
x
r(t+Δ t )
r(t)
y
z
0
v (t )
v (t+Δ t )
Δ v
v (t )
v (t+Δ t )
2
2
t
r
d
d ??
t
va
t
va
t
va z
z
y
y
x
x d
d
d
d
d
d ???,,
222
zyx aaaa ???
15
通过积分求位移和速度,
???
???
t
t
dtavtv
dtvrtr
0
0
0
0
)(
)(
???
???
【 思考 】 把上面两式写成分量形式
tvv e??
?因,则有
t
va
d
d ?? ?
速率变化引起
速度方向变化引起
tvt
v t
t d
d
d
d ee ?? ??
16
【 例 】
2sm20.4
d
d ??
t
va
sm)20.4(
d
d t
t
xv ??
2, 8 0 mm)10.2( 2 ?? tx
17
【 例 】 按图中速度～
时间的关系曲线,画出
路程～时间的关系曲
线 。
解,
18
§ 1.7 平面极坐标 （补充） 圆周运动
一,平面极坐标
O
?
极轴
r
),( ?rP
r??? r?
单位矢量,
??
单位矢量,
r增加的方向。
?增加的方向。
????r
r? ?? 和 都不是常矢量,
1,定义
有心力 问题常 在平面极坐标系中处理 。 rrff ?)(??
虽然
长度都为 1,但方向都随
P点的位置变化而变化 。
19
x
y r=常数 ? =常数
直角坐标和平面极坐标的等坐标线
20
r? ?? 2,和 对时间的导数
O
?
??
??
)(? ttr ?? r??
)(? tr
?? ?????? rr ??
???? ??
?? ??
??? ttrr dddd
?? )(? tt ???
???
)(? t?
rrtt ??
??
???? ?? ????? dddd
)(? tr
)(? t?
)(? ttr ??)(? tt ???
21
3,平面极坐标中的位矢 速度 加速度
（ 1） 位矢 )(?)()( trtrtr ??
rrr ???
t
rr
t
rv
d
)?(d
d
d ?? ??
?? ?? ???r
?? ?? ?? rrr ??rrrr ?? ?? ??
（ 2） 速度
?vvv r
??? ??
rrv r ??? ?径向速度,
??? ??? rv ?
横向速度,
【 思考 】 圆周运
动质点的径向速
度和横向速度如
何表示？
22
t
vv
t
va r
d
)(d
d
d ????? ???
?? ????
d
)?d( ????????? rrrrrrr
t
rr ????
rrrr
t
r ???
d
)?d( 2
?????
?? ??????
???
r
r
??
??
??
??
??
??
??
?
???? ?)2(?)( 2 ???????? rrrrra ????
t
r
t
rr
d
)?d(
d
)?d( ????
??
（ 3） 加速度
23
?aaa r
??? ??
rrra r ?)( 2????? ??
径向加速度,
???? ?)2( ????? rra ??
横向加速度,
【 思考 】 圆周运动的质点的径向加速度和横
向加速度如何表示？
24
?
??
o
r
?S
v
?
r
v
??
?S
二、圆周运动
25
1,角量和线量
??角位移,
线位移,s?
角加速度,
td
d?? ?? ?
线加速度,
t
va
d
d ???
?
r
v
??
?S
ω?
??? ?2
2
td
d??，若 方向不变 ??
角速度,
,???? tdd??
线速度,
rtrtsv ?? ??? dddd
与 成右手螺旋。 ?? v?
??? rs ＝,
rv ??? ??＝,
26
2,加速度按法向和切向的分解
nntt aaa ee ?? ??
?
v
r o ne?
te?
— 切向加速度,— 法向加速度
nata
at
an a
切向 （横向）
法向 （与径向相反） r
n ?? ??e
θt ?? ?e
27
法向（向心）加速度,
由速度方向的改变引起的速度的变化率
沿半径指向圆心
rrra r ?)( 2????? ??
r
vvra
n
22
??? ??
)?(2 rr ?? ??
nr e?
2??? nna e??
0?r?
28
???? ?)2( ????? rra ??
切向加速度,
?? rrtva t ??? ?dd
?? ???r?
t
ra
t d
)(d ???
t
v
d
d?
由速度大小的改变引起的速度的变化率
沿切线指向速度增大的方向
0?r?
tr e???? tta e?? v
r o
at
an a
29
【 思考 】 质点能否按图示的加速度沿圆周运
动？ 如果能, 分别表示什么情形？
a4
a2
a3
a1
0
30
3,平面曲线运动 （ plane curvilinear motion）
?, 曲率圆 的曲率半径
分解成一系列圆周运动
nt
v
t
va e?? 2
??? ed
d?
?
te?
ne?
31
牛顿对绝对空间和时间的定义,
绝对空间, 就其本性而言, 与外界任何事
物无关, 而永远是相似的和不可移动的 ‥‥
Absolut space,in its own nature,without
relation to anything external,remains always
similar and immovable‥ ‥ ‥
一、牛顿的绝对时空观
§ 1.8 相对运动
32
绝对, 真实与数学的时间本身, 由于它的
本性而均匀流逝, 与外界任何事物无关 ‥‥
Absolut,true and mathmatical time of itself
and from it own nature,flows equally without
relation to anything external‥ ‥ ‥
在弱引力, 低速 （ 远低于真空光速 ） 运动情
况下, 绝对时空观符合实验结果 。
绝对时空观,对于不同的参考系, 长度和
时间的测量结果是相同的 。
33
二,伽利略变换 Galilean transformation
x
x?
);,,( tzyxP
);,,( tzyx ????
y y?
z z?
O O?
S S?
u?
ut
x
x?
t t?
设参考系 S 相对 S作 匀速直线运动 （平动）
0 ? ? t t O O 重合时 和 规定,
时空变换,同一时空点的坐标和时间, 相对
S系和 S 系的变换关系 。
34
ttzzyyutxx ?????????,,,
当 u<<c时，由绝对时空观得 伽利略变换,
对于不同参考系, 长度间隔, 时间间隔都相
同, 矢量可按平行四边形法则叠加 。
x
x?
);,,( tzyxP
);,,( tzyx ????
y y?
z z?
O O?
S S?
u?
ut
x
x?
t t?
1,伽利略变换
35
伽利略变换只适用于低速情况 。 高速情况
（ u ~ c） 必须用 洛仑兹 （ Lorentz） 变换,
?时间的测量依赖于参考系
?长度的测量也依赖于参考系
不同参考系中的矢量不能再按平行四边形
法则叠加 ！
【 思考 】 高速情况下, 同一参考系中的两个矢
量还能按平行四边形法则叠加吗？
ttzzyyutxx ?????????,,,
伽利略变换是线性的 －时空的性质
36
2,速度的变换
OOrr ???? ??
v?
v??
u?
u
S S
o o
r r
x x
p t t
t
r
t
rv
d
d
d
d ??
?
??? ???
绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。
uvv ??? ???
uv ????
t
OO
t
r
d
d
d
d ??? ?
37
【 例 】 河水向东流速为 10km/h,船相对河水向
北偏西 30o航行, 航速为 20km/h。 此时向西刮
风, 风速为 10km/h。 求在船上观察烟囱冒出
的烟的飘向 （ 即风相对船的速度方向 ） 。
东 西
北
南
v船水
30?
20 v风船
v水地 10 v风地 10
v船地
30?
烟的飘向, 向 南偏西 30o
v风船 = v风地 － v船地
v风地 = v风船 + v船地
v船地 = v船水 + v水地
38
t
va
d
d ???
3,加速度的变换
在相对作匀速直线运动的参考系中, 同一质
点的加速度相同 。
aa ?? ??
0aa ?? ???tutv dddd
??
???
0aaa
??? ???
绝对加速度 ＝ 相对加速度 ＋ 牵连加速度
如果参考系相对作匀速直线运动,则
若 S 系 相对 S系转动，速度和加速度如何变换？
39
§ 1.9 科里奥利加速度 (补充 )
Coriolis acceleration
设盘 S 相对 S 系（惯性系）均速转动。
求在 S系和 S系中, 同一质点 P的速度, 加
速度的变换关系 。
O
?
r
S 系
S 系
v
（常矢量）
P
40
G? （任意矢量）
ztGyt
G
xtGtG zyx
*
?dd?dd?dddd ???
?
)???(dddd zGyGxGttG zyx ???
?
??
??
z?
x?
y?
??
S系（固定） S 系（转动）
t
G
d
d?
t
G
d
d*?
tG dd ? tG dd * ?和 之间的关系？ 求
yωtx ?d ?d ?
xωty ?d ?d ??
41
Gω
t
G
t
G * ??
??
???
d
d
d
d
一个数学定理,
z??? ??
ztGyt
G
xtGtG zyx
*
?dd?dd?dddd ???
?
)???(dddd zGyGxGttG zyx ???
?
固定系 转动系 转动角速度
其中
42
zGyGxGG zyx ??? ????
证明,
z
t
GxGy
t
G
yGx
t
G z
y
y
x
x ?
d
d??
d
d??
d
d ????? ??
z
t
G
t
yGy
t
G
t
xGx
t
G
t
G z
y
y
x
x ?
d
d
d
?d?
d
d
d
?d?
d
d
d
d ?????
?
yω
t
x ?
d
?d ?
xω
t
y ?
d
?d,??
xGyGz
t
Gy
t
G
x
t
G
yx
zyx ???
d
d?
d
d?
d
d ?? ?????
xGyG
t
G
yx ??d
d * ?? ???
?
43
zyx
GGG
ω
zyx
Gω 00
???
??
??
Gω
t
G
t
G * ??
??
???
d
d
d
d
xGyG
t
G
t
G
yx ??d
d
d
d * ?? ???
??
xωGyωG yx ?? ??
即得
44
rvv ???? ???? ?
绝对 速度 ＝ 相对速度 ＋ 牵连速度
1、速度的变换
O
?
r
S 系
S 系
（常矢量）
v
v=?
(相对 S系 ) (相对 S 系 ) (S 系转动引起）
rG ??? r
t
r
t
r ???? ??? ?
d
d
d
d,*
45
O
?
r
S 系
S 系
（常矢量）
v a
raa ??? 2???? v?? ??? ?2
绝对加速度 ＝
＋ 科里奥利加速度
a=? 2、加速度的变换
设相对圆盘,质点速度为, 加速度为,
v?? a??
＋ 向心加速度 相对加速度
46
vω
t
v
t
v * ???? ???
d
d
d
d
vG ?? ?
vω
t
r
t
v ** ????? ??????
d
d
d
d ?
vωrv
t
* ?????
?????? )(
d
d ?
vωva ????? ??????? ?
)( rvωva ??????? ?????????? ??
vrωa ?????? ???? ?22
vrωa ???????? ?????? ?? 2)(
)()()( BACCABCBA ????????? ??????
証,
47 va c
??? ??? ?2 ― 科里奥利加速度
考虑到方向，有
o
A
B
B?
A?
??
t 时刻
??
v??
C
t+?t
时刻
ca
?
弧AA ?弧BC ?沿 比沿 速度大
2
2
1 ta c??
?????? BABB 弧
va c ?? ?2
2tv ??? ?
ttv ??????? ?
对科里奥利加速度的一个定性解释,
设质点沿径
向匀速运动
48
【 例 】 在极坐标系中，证明上述结论。
?? ?? ??? rrrv ??
t
va
d
d ?? ? ???? ???? ??? rrrr ???
rrrr ??? 2????? ??? ??
科里奥利加速度,由盘的转动 和质点相对
盘的运动 共同引起 ！
?
v?
0,,?? r??? ??
rv
r
r
?
?
?
??
??
?
??
??
??
??
??? ?2?2 rrr ????
??? ?2?2 vrr ????
49
速度和加速度 的性质 总结
相对性,必须指明参考系
矢量性,有大小和方向, 可进行合成与分解,
合成与分解遵守平行四边形法则 。
瞬时性,大小和方向可以随时间改变
当 u << c时有伽利略速度变换和加速度变换。
50
§ 1.10 相图 (补充 )
以摆的相图为例简单介绍。
【 演示实验 】 单摆 混沌摆
相图比运动函数提供更多的
信息, 可包括完整的运动学内
容 。
相图也可用来描述运动状态。
?
0 刚性轻杆
位移与速度，或角位移与角速度的关系图称
为 相图
?? ~?
51
t??? c o s0?
1、小幅摆动
?
0 刚性轻杆
相图,
12
0
2
2
2
0
2
??
??
?
?
? ? （椭圆）
t???? s i n0???
?
??
???
运动函数,
52
2,给足够的冲击速度, 让
摆绕 轴 通过最高点 按决定论
的方式自由旋转 。
?
0
顺时针旋转
逆时针旋转
?
??
??? 0
相图,
53
0
都可能
到达最高点后，顺时针转？
逆时针转？还是静止不动？
最高点为临界态 非决定论
?
??
???
3,初始冲击使小球到达最高点
时速度恰好为零
逆时针
顺时针
逆时针转 临界态
逆时针
顺时针
54
?
??
???
1
2
3
单摆三种运动模式,
?
0
1.摆动态
决定论
?
0
2.自由态
决定论
0
3.临界态
非决定论
摆的相图
自由落体和弹
簧振子的相图
55
§ 1.4 匀加速运动
a? 为常矢量
2
2
1
)(
)(
00
0
0
0
0
0
tatvrdtvrtr
tavdtavtv
t
t
??????
?????
????
?
??
????
【 思考 】 写出上面积分的分量形式
以下是自学内容,
56
§ 1.5 匀加速直线运动
a?
0v
?为常矢量，并与
在一条直线上
atvv ?? 0
2
00 2
1
attvxx ???
57
§ 1.6 抛体运动
gaa
vvvv
yx
yx
yx
???
??
??
0
s i nc o s
0
0000
00
??
?
y
x
v0
0
58
2
0
0
2
1
)s i n(
)c o s(
gttvy
tvx
??
?
?
?
gtvv
vv
y
x
??
?
?
?
s i n
c os
0
0
如果空气阻力很大, 或虽然空气阻力可以
忽略, 但在抛体运动范围内重力加速度变化
较大, 上述理论都要修正 。
?
? 2
0
2
2
c o s2
t a n
v
gxxy ??
抛体的轨道函数,
