第 3章 动量与角动量
Momentum and
Angular Momentum
2005年春季学期 陈信义编
2
演示实验
1逆风行舟
2载摆小车演示动
量守恒
3质心运动 （ 杠杆 ）
4锥体上滚
5有心力作用质点
角动量守恒
§ 3.6 质心运动定理 质心参考系
§ 3.1 冲量 动量定理
§ 3.2 质点系的动量定理
§ 3.3 动量守恒定律
§ 3.5 质心
§ 3.7 质点的角动量
§ 3.8 角动量守恒定律
§ 3.9 质点系的角动量定理
§ 3.10质心参考系中的角动量定理
§ 3.4 火箭飞行原理 ?
目 录
3
本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的
定义, 推导这两个守恒定律, 并讨论它们在
牛顿力学中的应用 。 下一章讨论能量 。
能量, 动量和角动量是最基本的物理量 。
它们的守恒定律是自然界中的基本规律, 适
用范围远远超出了牛顿力学 。
动量描述平动, 角动量描述转动 。
力的时间积累 （ 冲量 ） 引起动量的变化；
力矩的时间积累引起角动量的变化 。
4
§ 3.1 冲量与动量定理
ptFI ??? ddd ??
牛顿第二定律 ?质点的动量定理,
力的时间积累称为冲量 （ impulse）,
tFI dd ?? ?
? ??? tt ttFI 0 )( d??
0
0
)( ppttFI t
t
???? ????? ? d
动量定理常用于碰撞过程。
5
碰撞过程的平均冲击力,
0
0
00
0
tt
pp
tt
tF
tt
IF
t
t
?
??
?
?
?
?
? ??
??
? d
y
v0 v
t0 0 t
Fm
F
I
F
t
6
【 例 】 质量 m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿
水平方向飞向击球手, 被击后以相同速率沿
仰角 60o飞出 。 求棒对垒球的平均打击力 。 设
棒和球的接触时间为 ?t =1.2 ms。
60o
v2
v1
7
因打击力很大, 所以由碰撞引起的质点的动
量改变, 基本上由打击力的冲量决定 。
mv1
60o
mv2
mg ?t
打击力冲量
12 vmvmtF
??? ???
重力, 阻
力的冲量可以忽略 。
F ?t ?
8
)(101.8
102.1
30co s4014.02
30co s2
3
3
N??
?
???
?
?
?
?
?
?
t
mv
F
平均打击力约为垒球自重的 5900倍 ！ 在碰撞过
程中, 物体之间的碰撞冲力是很大的 。
12 vmvmtF
??? ??? F ?t
mv1
60o
mv2
30o
m=140g
vvv ?? 12
9
【 演示实验 】 逆风行舟
1p
?
2p
?
p??
帆
V?
1v
?
2v
?
横F
?
纵F
?F?
m?
龙骨 横
F?阻F?
水
显示动量定理的矢量性。
【 思考 】 在 逆风行舟实验中，能否顶风前进？
10
2005年 7月 4日, 美国发射的, 深度撞击, 号
（ Deep Impact） 探测器携带的重 372千克的铜头, 炮
弹,, 将以每小时 3.7万公里的速度与坦普尔一号彗
星 （ TEMPEL1） 的彗核相撞 。
“炮轰,彗星
据推算, 撞击的强度相当于 4.5吨 TNT炸药造成的
巨大爆炸, 它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
小和 14层楼深的凹洞 。 而撞击溅射出的大量彗星尘埃
和气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉, 人们有可能
通过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象 。
11
科学家认为, 彗星含有太阳系形成早期的冰冻残留
物 。 他们希望深入彗星内部的研究将使他们能够了解
太阳系形成早期 40多亿年前的情况, 并加深对太阳系
起源的进一步了解 。
天文学家们将组织一场国际规模的观测, 以期尽可
能多地收集这次撞击的情况 。 美国宇航局还计划调整
哈勃, 斯皮策和钱德拉太空望远镜, 在撞击时和撞击
后锁定, 坦普尔一号, 进行观测 。
美国科学家一再强调, 这次撞击不会摧毁彗星或使
彗星偏离其运行轨道进而撞击地球 。
12
§ 3.2 质点系的动量定理
一,质点系
jiij ff
?? ??内力,
由 N个质点构成的系统
2,过程中包括的质点不变
Nji,,2,1,??
外力, ji ff,?
im
jm
1,内力和外力
jr
?
o 惯性系
ir
?
ijf
?
jif
?
jf
?
if
?
【 思考 】 为什么有上述要求？
13
二、质点系的动量定理
?
i
ipP
??＝, 总动量
?
i
ifF
??
＝
,合外力
ijf
?
jif
?
im
jm
ir
?
jr
?
o 惯性系 jf?
if
?
ip
?
jp
?
应用质点系动量定理不必
考虑内力 。
t
PF
d
d
??
＝
质点系总动量的时间变化率等于所受合外力
内力可改变各质点的动量,
但合内力为零, 对总动量无影
响 。
14
? ?
ii
ij
ij ptff
???
d
d???
?
对第 i 个质点
?
?
?
)(,
0
iji
ijf
?
证明,
? ? ?
???
?
?
???
? ???
? i
i
i
i
ij
ij ptff
???
d
d
,
)(,
???? ?
? i
i
iji i
iij ptff
???
d
d
,???
i
i
i
i ptf
??
d
d
im
jm
ijf
?
jif
?
ir
?
jr
?
o 惯性系
jf
?
if
?
ip
?
jp
?对质点求和
（ 合内力为零 ）
（惯性系）
t
PF
d
d
??
＝即
15
§ 3.3 动量守恒定律
3、外力 <<内力时，动量近似守恒。例如碰撞
和爆炸。
1、只适用于惯性系。
2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量
守恒。
如果合外力为零, 则质点系的总动量不随时
间改变
?? ?
i
ipP
?? 常矢量
【 演示实验 】 载摆小车演示动量守恒
16
5,物理学家对动量守恒定律具有充分信心 。
每当出现违反动量守恒的反常现象时, 总
是提出新的假设来补救, 结果也总是以有
所新发现而胜利告终 。
实验表明,只要系统不受外界影响,这
些过程的动量守恒 。
4,对那些不能用力的概念描述的过程, 例如
光子与电子的碰撞, 衰变, 核反应等过程,
【 例 】 在 ? 衰变中，反中微子的发现
???? ? -eX Y1AZAZ
17
?§ 3.4 火箭飞行原理
,神州, 号飞船升空
18
质点系选,(M+dM,dm)
设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒,
))(()( vvMMuvmMv ddd ?????
))(()( vvMMuvM ddd ??????
M md
)(u
v
MM d?
vv d?
t 时刻 )( tt d? 时刻
,dm相对火箭体喷射速度，定值。 u
Mm dd ??
19
,dd MMuv ??
f
i
if M
Muvv ln??
?? ??
ff
i
M
iM
M
Mu
v
v
v dd
提高速度的途径,
1、提高气体 喷射速度 u；
2,增大 Mi /Mf （ 受限制 ）, 采用多级火箭,
终速度为
设火箭质量比
fi MMN ?
,火箭增加的速度为
Nuvv if ln??
????? 332211 lnlnln NuNuNuv
20
火箭体对喷射的气体的推力,
td
d
d
d mu
t
vuvm ???? ])[(
【 思考 】 自由空间火箭质量随时间变化, 应用
牛顿定律, 求出
0ddddd )(d ??? tmvtvmtmv
f
i
if m
mvv ?错在哪里？
喷射的气体对火箭体的推力,
td
d muF ?
21
§ 3.5 质心 （ center of mass）
质点系的质心, 是一个以质量为权重取平均
的特殊点 。
m
rm
m
rm
r
N
i
ii
N
i
i
N
i
ii
c
?
?
?
?
?
?
??
1
1
1
??
?
1、质心的位置
im
c质心
质点系
【 思考 】 写出上式的分量形式
ir
?
cr
?
o
22
对连续分布的物质，分成 N 个小质元计算
mdmrmmrr
N
i
iic ?? ???
?
???
1
t
rv c
C d
d?? ?2、质心的速度
mvmN
i ii
??
? 1
?
cc vmP
?? ?3、质心的动量 PpvmN
i
N
i iii
??? ?? ???
? ?1 1
在任何参考系中, 质心的动量都等于质点系
的总动量 。
mamtva N
i
ii
c
c ??? ? 1
???
d
d4、质心的加速度
23
§ 3.6 质心运动定理和质心参考系
1f
? 外
1p
?
2f
? 外
3f
? 外
2p
?
3p
?
3m
2m
1m
（惯性系）
一、质心运动定理
camt
PF ?
??
?? dd
和内力为零！
m
P?
质心
321 mmmm ???
321 pppP c
???? ???
321 fffF
???? ??? 外 外 外
F?
24
【 例 】 已知 1/4 圆 M,m
由静止下滑, 求 t1→ t2 过
程 M 移动的距离 S,
解,选（ M+m）为体系
水平方向合外力 =0，水平方向质心静止。
质心运动定理描述了物体质心的运动 。 体系
的内力不影响质心的运动 。
【 演示实验 】 质心运动 （ 杠杆 ）,锥体上滚
25
O
M
m
-R
t1
x
mM
mRMxX
?
??
1
体系质心
O
M m
x-S
t2
-S
体系质心
? ?
mM
mSSxMX
?
???
2
21 XX ?
质心静止
RmM mS ??M 移动的距离
t1时刻 t2时刻
26
二、质心参考系（质心系）
质心静止的平动参考系称为质心系 。 通常总
是选质心为坐标原点 。
im
ir
?
cr
?
o
c质心
ir
??
分析力学问题时，利用质心系是方便的。
?
?
??
N
i
ii vm
1
0??
?
??
N
i
ii rm
1
0?
相对质心系, 质点系的总动量为零 。 质心系
是, 零动量系, 。
在质心参考系中
27
【 例 】 在光滑平面上, m1 和 m2以 v1 和 v2 碰
撞后合为一体 （ 完全非弹性碰撞 ） 。 求碰撞
后二者的共同速度 v。 在质心参考系观察, 碰
撞前后二者的运动如何？
m1
m2
v1
v2
v
质心系和惯性系是两个不同的概念。 质心系
可能是, 也可能不是惯性系 ！
28
1、在惯性系中观察
碰撞前质心速度
21
2111
mm
vmvmv
c ?
?? ???
无 外力，质心速度不变。碰撞后二者共同
速度为质心速度
21
2111
mm
vmvmvv
c ?
??? ????
0
m1
m2 C
vC
v1
v2
v
r2
r1 碰撞前
碰撞后
29
2、在质心系中观察
碰后二者相对静止,
C
质心系是零动量系 。
碰前二者速度共线反向,
2211 vmvm ????
??
C
11vm ??
22vm ??
30
§ 3.7 质点的角动量 （ Angular Momentum）
?? ??0,
prL ??? ??
)(?
)(?
)(?
xy
zx
yz
ypxpz
xpzpy
zpypx
??
??
??
zyx ppp
zyx
zyx ???
?
?s i nprprL ????? ???
说一个角动量时, 必须指明是对哪个固定点
而言的 。
质点 m对 O点的角动量,
prL ??? ??
31
prL ??? ??
【 例 】 圆周运动的质点关于圆心 O的角动量
SI,kg?m2/s,或 J? s
?2mrm r vrpL ???
微观体系的角动量是明显量子化的，其取值
只能是普朗克常数
的整数或半奇数倍。
sJ100512 34 ???? ?./h ??
但因宏观物体的角动量比 大得多, 所以宏
观物体的角动量可以看作是连续变化的 。
?
o r
L
v m ??
32
FrM ??? ??合外力矩,prL ??? ??,角动量,
M 和 L都是相对 惯性系中同一定点 定义的 。
? 21tt tM d? —冲量矩, 力矩的时间积累 。
质点的角动量定理,
质点所受的合外力矩, 等于质点角动量对时
间的变化率
t
LM
d
d
??
?
积分形式,
12
2
1
LLtMt
t
???
???? d
33
牛顿定律 ? 角动量定理,
)( prttL ??
?
?? dddd ptrtpr ?
???
???? dddd
0?? ptr ?
?
d
d
Ftp ?
?
?dd
MFrtL
????
???? dd
因是牛顿定律的推论, 则只适用于惯性系 。
（共线）
34
§ 3.8 角动量守恒定律
【 例 】 证明开普勒第二定律,行星相对太阳的矢
径在相等的时间内扫过相等的面积 。
和动量守恒定律一样, 角动量守恒定律也是
自然界的一条最基本的定律 。
【 演示实验 】 有心力作用下的质点角动量守恒
若对惯性系某一固定点, 质点所受的合外力
矩为零, 则此质点对该固定点的角动量矢量保
持不变, 即角动量的大小和方向都保持不变 。
35
?L?
常数
?s i ntrrmL ???
??
,s i ntrrm ??? ?
?
???? tSm2
常数
?s i n21 rrS ????
行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相
等的面积 。
m
v?r??
r?
?S
?sinr??
?
L?
太阳
行星
在近日点转得快, 在远日点转得慢 。
?角动量为常矢量
?tS??
常数 。 所以, 面速度
角动量方向不变,行星轨道平面方位不变
角动量大小不变,
?力矩为零 有心力 rrff ?)(??
36
§ 3.9 质点系的角动量定理
ii ii i frMM
???? ?
????
合外力矩,
iii ii i vmrLL
???? ?????
总角动量,
一个质点系所受的合外力矩, 等于该质点系
的总角动量对时间的变化率
t
LM
d
d
??
?
【 思考 】 为什么不考虑内力矩？
jf
?jm
im
if
?
O
ir
?
jr
?
iv
?
jv
?
它们都对惯性系中同一定点定义 。
37
? ? t
L
ffr i
ij
ijii d
d
???
?
???
?
?
?
?
?
?
???
?
? ?
??? ? ??? ?
? i
i
i ij
iji
i
ii Ltfrfr
?????
d
d
质点的角动量定理 ?质点系的角动量定理,
? ?
? ?? ????? ? ?
?? )(,2
1
jiji
jijiji
i ij
iji frfrfr
??????
? ? 0
2
1
)(,
??? ??
?
ij
jiji
ji frr
???
jf
?jm
im
if
?
O
ijf
?
jif
?
ir
?
jr
?
即证 。
ji rr ???
合内力矩为零
38
当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外
力矩为零时, 该质点系相对于该定点的角动量
将不随时间改变
孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒 。
宇宙中的天体可以认为是孤立体系 。 它们具
有旋转盘状结构, 成因是角动量守恒 。
内力矩可影响质点系中某质点的角动量, 但
合内力矩等于零, 对总角动量无影响 。
—质点系的 角动量守恒定律
39 盘 状 星 系
40
球形原始气云具有初始角动量 L,
L
在垂直于 L方向,
引力使气云收缩,
但在与 L平行的方向无此限制, 所
以形成了 旋转盘状结构 。
角动量守恒，粒子的旋转速度 ?，
惯性离心力 ?,离心力与引力达到平衡,维持一
定的半径。
41
? ??
i iii
vmrL ???
质点系对定点的角动量,
CvmrPr cc
???? ???质心对定点的角动量,
iii i vrmL ??????
???质点系对质心的角动量,
LPrL c ???? ????
质点系对定点的角动量, 等于质心对该定点
的角动量 （ 轨道角动量 ） 加上质点系对质心的
角动量 （, 自旋, 角动量 ）
【 证明提示 】
,ici rrr ??? ???,ici vvv ??? ??? ? ??
i
ii vm 0
?
,0? ??
i ii
rm ?
42
质心系合外力矩,
? ????
i ii
frM ???
质心系总角动量,
iii i vrmL ??????
???
无论质心参考系是否是惯性系, 在质心参考
系中, 质点系 的角动量定理 与惯性参考系中的
形式相同
t
LM
d
d ??
??
＝
§ 3.10 质心参考系中的角动量定理
只需证明,当质心系是非惯性系时, 相对质
心系, 惯性力矩为零 。
43
? ?? ?????
i
cii amrM
???
惯
0?
即证。
设质心系相对惯性系的加速度为
ca
?
证明,
0?? ?
i ii
rm ?
c
i
ii arm
?? ?
?????? ? ???
Momentum and
Angular Momentum
2005年春季学期 陈信义编
2
演示实验
1逆风行舟
2载摆小车演示动
量守恒
3质心运动 （ 杠杆 ）
4锥体上滚
5有心力作用质点
角动量守恒
§ 3.6 质心运动定理 质心参考系
§ 3.1 冲量 动量定理
§ 3.2 质点系的动量定理
§ 3.3 动量守恒定律
§ 3.5 质心
§ 3.7 质点的角动量
§ 3.8 角动量守恒定律
§ 3.9 质点系的角动量定理
§ 3.10质心参考系中的角动量定理
§ 3.4 火箭飞行原理 ?
目 录
3
本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的
定义, 推导这两个守恒定律, 并讨论它们在
牛顿力学中的应用 。 下一章讨论能量 。
能量, 动量和角动量是最基本的物理量 。
它们的守恒定律是自然界中的基本规律, 适
用范围远远超出了牛顿力学 。
动量描述平动, 角动量描述转动 。
力的时间积累 （ 冲量 ） 引起动量的变化；
力矩的时间积累引起角动量的变化 。
4
§ 3.1 冲量与动量定理
ptFI ??? ddd ??
牛顿第二定律 ?质点的动量定理,
力的时间积累称为冲量 （ impulse）,
tFI dd ?? ?
? ??? tt ttFI 0 )( d??
0
0
)( ppttFI t
t
???? ????? ? d
动量定理常用于碰撞过程。
5
碰撞过程的平均冲击力,
0
0
00
0
tt
pp
tt
tF
tt
IF
t
t
?
??
?
?
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??
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y
v0 v
t0 0 t
Fm
F
I
F
t
6
【 例 】 质量 m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿
水平方向飞向击球手, 被击后以相同速率沿
仰角 60o飞出 。 求棒对垒球的平均打击力 。 设
棒和球的接触时间为 ?t =1.2 ms。
60o
v2
v1
7
因打击力很大, 所以由碰撞引起的质点的动
量改变, 基本上由打击力的冲量决定 。
mv1
60o
mv2
mg ?t
打击力冲量
12 vmvmtF
??? ???
重力, 阻
力的冲量可以忽略 。
F ?t ?
8
)(101.8
102.1
30co s4014.02
30co s2
3
3
N??
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平均打击力约为垒球自重的 5900倍 ！ 在碰撞过
程中, 物体之间的碰撞冲力是很大的 。
12 vmvmtF
??? ??? F ?t
mv1
60o
mv2
30o
m=140g
vvv ?? 12
9
【 演示实验 】 逆风行舟
1p
?
2p
?
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帆
V?
1v
?
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横F
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纵F
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龙骨 横
F?阻F?
水
显示动量定理的矢量性。
【 思考 】 在 逆风行舟实验中，能否顶风前进？
10
2005年 7月 4日, 美国发射的, 深度撞击, 号
（ Deep Impact） 探测器携带的重 372千克的铜头, 炮
弹,, 将以每小时 3.7万公里的速度与坦普尔一号彗
星 （ TEMPEL1） 的彗核相撞 。
“炮轰,彗星
据推算, 撞击的强度相当于 4.5吨 TNT炸药造成的
巨大爆炸, 它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
小和 14层楼深的凹洞 。 而撞击溅射出的大量彗星尘埃
和气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉, 人们有可能
通过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象 。
11
科学家认为, 彗星含有太阳系形成早期的冰冻残留
物 。 他们希望深入彗星内部的研究将使他们能够了解
太阳系形成早期 40多亿年前的情况, 并加深对太阳系
起源的进一步了解 。
天文学家们将组织一场国际规模的观测, 以期尽可
能多地收集这次撞击的情况 。 美国宇航局还计划调整
哈勃, 斯皮策和钱德拉太空望远镜, 在撞击时和撞击
后锁定, 坦普尔一号, 进行观测 。
美国科学家一再强调, 这次撞击不会摧毁彗星或使
彗星偏离其运行轨道进而撞击地球 。
12
§ 3.2 质点系的动量定理
一,质点系
jiij ff
?? ??内力,
由 N个质点构成的系统
2,过程中包括的质点不变
Nji,,2,1,??
外力, ji ff,?
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jm
1,内力和外力
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?
【 思考 】 为什么有上述要求？
13
二、质点系的动量定理
?
i
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??＝, 总动量
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,合外力
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应用质点系动量定理不必
考虑内力 。
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质点系总动量的时间变化率等于所受合外力
内力可改变各质点的动量,
但合内力为零, 对总动量无影
响 。
14
? ?
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ij ptff
???
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d???
?
对第 i 个质点
?
?
?
)(,
0
iji
ijf
?
证明,
? ? ?
???
?
?
???
? ???
? i
i
i
i
ij
ij ptff
???
d
d
,
)(,
???? ?
? i
i
iji i
iij ptff
???
d
d
,???
i
i
i
i ptf
??
d
d
im
jm
ijf
?
jif
?
ir
?
jr
?
o 惯性系
jf
?
if
?
ip
?
jp
?对质点求和
（ 合内力为零 ）
（惯性系）
t
PF
d
d
??
＝即
15
§ 3.3 动量守恒定律
3、外力 <<内力时，动量近似守恒。例如碰撞
和爆炸。
1、只适用于惯性系。
2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量
守恒。
如果合外力为零, 则质点系的总动量不随时
间改变
?? ?
i
ipP
?? 常矢量
【 演示实验 】 载摆小车演示动量守恒
16
5,物理学家对动量守恒定律具有充分信心 。
每当出现违反动量守恒的反常现象时, 总
是提出新的假设来补救, 结果也总是以有
所新发现而胜利告终 。
实验表明,只要系统不受外界影响,这
些过程的动量守恒 。
4,对那些不能用力的概念描述的过程, 例如
光子与电子的碰撞, 衰变, 核反应等过程,
【 例 】 在 ? 衰变中，反中微子的发现
???? ? -eX Y1AZAZ
17
?§ 3.4 火箭飞行原理
,神州, 号飞船升空
18
质点系选,(M+dM,dm)
设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒,
))(()( vvMMuvmMv ddd ?????
))(()( vvMMuvM ddd ??????
M md
)(u
v
MM d?
vv d?
t 时刻 )( tt d? 时刻
,dm相对火箭体喷射速度，定值。 u
Mm dd ??
19
,dd MMuv ??
f
i
if M
Muvv ln??
?? ??
ff
i
M
iM
M
Mu
v
v
v dd
提高速度的途径,
1、提高气体 喷射速度 u；
2,增大 Mi /Mf （ 受限制 ）, 采用多级火箭,
终速度为
设火箭质量比
fi MMN ?
,火箭增加的速度为
Nuvv if ln??
????? 332211 lnlnln NuNuNuv
20
火箭体对喷射的气体的推力,
td
d
d
d mu
t
vuvm ???? ])[(
【 思考 】 自由空间火箭质量随时间变化, 应用
牛顿定律, 求出
0ddddd )(d ??? tmvtvmtmv
f
i
if m
mvv ?错在哪里？
喷射的气体对火箭体的推力,
td
d muF ?
21
§ 3.5 质心 （ center of mass）
质点系的质心, 是一个以质量为权重取平均
的特殊点 。
m
rm
m
rm
r
N
i
ii
N
i
i
N
i
ii
c
?
?
?
?
?
?
??
1
1
1
??
?
1、质心的位置
im
c质心
质点系
【 思考 】 写出上式的分量形式
ir
?
cr
?
o
22
对连续分布的物质，分成 N 个小质元计算
mdmrmmrr
N
i
iic ?? ???
?
???
1
t
rv c
C d
d?? ?2、质心的速度
mvmN
i ii
??
? 1
?
cc vmP
?? ?3、质心的动量 PpvmN
i
N
i iii
??? ?? ???
? ?1 1
在任何参考系中, 质心的动量都等于质点系
的总动量 。
mamtva N
i
ii
c
c ??? ? 1
???
d
d4、质心的加速度
23
§ 3.6 质心运动定理和质心参考系
1f
? 外
1p
?
2f
? 外
3f
? 外
2p
?
3p
?
3m
2m
1m
（惯性系）
一、质心运动定理
camt
PF ?
??
?? dd
和内力为零！
m
P?
质心
321 mmmm ???
321 pppP c
???? ???
321 fffF
???? ??? 外 外 外
F?
24
【 例 】 已知 1/4 圆 M,m
由静止下滑, 求 t1→ t2 过
程 M 移动的距离 S,
解,选（ M+m）为体系
水平方向合外力 =0，水平方向质心静止。
质心运动定理描述了物体质心的运动 。 体系
的内力不影响质心的运动 。
【 演示实验 】 质心运动 （ 杠杆 ）,锥体上滚
25
O
M
m
-R
t1
x
mM
mRMxX
?
??
1
体系质心
O
M m
x-S
t2
-S
体系质心
? ?
mM
mSSxMX
?
???
2
21 XX ?
质心静止
RmM mS ??M 移动的距离
t1时刻 t2时刻
26
二、质心参考系（质心系）
质心静止的平动参考系称为质心系 。 通常总
是选质心为坐标原点 。
im
ir
?
cr
?
o
c质心
ir
??
分析力学问题时，利用质心系是方便的。
?
?
??
N
i
ii vm
1
0??
?
??
N
i
ii rm
1
0?
相对质心系, 质点系的总动量为零 。 质心系
是, 零动量系, 。
在质心参考系中
27
【 例 】 在光滑平面上, m1 和 m2以 v1 和 v2 碰
撞后合为一体 （ 完全非弹性碰撞 ） 。 求碰撞
后二者的共同速度 v。 在质心参考系观察, 碰
撞前后二者的运动如何？
m1
m2
v1
v2
v
质心系和惯性系是两个不同的概念。 质心系
可能是, 也可能不是惯性系 ！
28
1、在惯性系中观察
碰撞前质心速度
21
2111
mm
vmvmv
c ?
?? ???
无 外力，质心速度不变。碰撞后二者共同
速度为质心速度
21
2111
mm
vmvmvv
c ?
??? ????
0
m1
m2 C
vC
v1
v2
v
r2
r1 碰撞前
碰撞后
29
2、在质心系中观察
碰后二者相对静止,
C
质心系是零动量系 。
碰前二者速度共线反向,
2211 vmvm ????
??
C
11vm ??
22vm ??
30
§ 3.7 质点的角动量 （ Angular Momentum）
?? ??0,
prL ??? ??
)(?
)(?
)(?
xy
zx
yz
ypxpz
xpzpy
zpypx
??
??
??
zyx ppp
zyx
zyx ???
?
?s i nprprL ????? ???
说一个角动量时, 必须指明是对哪个固定点
而言的 。
质点 m对 O点的角动量,
prL ??? ??
31
prL ??? ??
【 例 】 圆周运动的质点关于圆心 O的角动量
SI,kg?m2/s,或 J? s
?2mrm r vrpL ???
微观体系的角动量是明显量子化的，其取值
只能是普朗克常数
的整数或半奇数倍。
sJ100512 34 ???? ?./h ??
但因宏观物体的角动量比 大得多, 所以宏
观物体的角动量可以看作是连续变化的 。
?
o r
L
v m ??
32
FrM ??? ??合外力矩,prL ??? ??,角动量,
M 和 L都是相对 惯性系中同一定点 定义的 。
? 21tt tM d? —冲量矩, 力矩的时间积累 。
质点的角动量定理,
质点所受的合外力矩, 等于质点角动量对时
间的变化率
t
LM
d
d
??
?
积分形式,
12
2
1
LLtMt
t
???
???? d
33
牛顿定律 ? 角动量定理,
)( prttL ??
?
?? dddd ptrtpr ?
???
???? dddd
0?? ptr ?
?
d
d
Ftp ?
?
?dd
MFrtL
????
???? dd
因是牛顿定律的推论, 则只适用于惯性系 。
（共线）
34
§ 3.8 角动量守恒定律
【 例 】 证明开普勒第二定律,行星相对太阳的矢
径在相等的时间内扫过相等的面积 。
和动量守恒定律一样, 角动量守恒定律也是
自然界的一条最基本的定律 。
【 演示实验 】 有心力作用下的质点角动量守恒
若对惯性系某一固定点, 质点所受的合外力
矩为零, 则此质点对该固定点的角动量矢量保
持不变, 即角动量的大小和方向都保持不变 。
35
?L?
常数
?s i ntrrmL ???
??
,s i ntrrm ??? ?
?
???? tSm2
常数
?s i n21 rrS ????
行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相
等的面积 。
m
v?r??
r?
?S
?sinr??
?
L?
太阳
行星
在近日点转得快, 在远日点转得慢 。
?角动量为常矢量
?tS??
常数 。 所以, 面速度
角动量方向不变,行星轨道平面方位不变
角动量大小不变,
?力矩为零 有心力 rrff ?)(??
36
§ 3.9 质点系的角动量定理
ii ii i frMM
???? ?
????
合外力矩,
iii ii i vmrLL
???? ?????
总角动量,
一个质点系所受的合外力矩, 等于该质点系
的总角动量对时间的变化率
t
LM
d
d
??
?
【 思考 】 为什么不考虑内力矩？
jf
?jm
im
if
?
O
ir
?
jr
?
iv
?
jv
?
它们都对惯性系中同一定点定义 。
37
? ? t
L
ffr i
ij
ijii d
d
???
?
???
?
?
?
?
?
?
???
?
? ?
??? ? ??? ?
? i
i
i ij
iji
i
ii Ltfrfr
?????
d
d
质点的角动量定理 ?质点系的角动量定理,
? ?
? ?? ????? ? ?
?? )(,2
1
jiji
jijiji
i ij
iji frfrfr
??????
? ? 0
2
1
)(,
??? ??
?
ij
jiji
ji frr
???
jf
?jm
im
if
?
O
ijf
?
jif
?
ir
?
jr
?
即证 。
ji rr ???
合内力矩为零
38
当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外
力矩为零时, 该质点系相对于该定点的角动量
将不随时间改变
孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒 。
宇宙中的天体可以认为是孤立体系 。 它们具
有旋转盘状结构, 成因是角动量守恒 。
内力矩可影响质点系中某质点的角动量, 但
合内力矩等于零, 对总角动量无影响 。
—质点系的 角动量守恒定律
39 盘 状 星 系
40
球形原始气云具有初始角动量 L,
L
在垂直于 L方向,
引力使气云收缩,
但在与 L平行的方向无此限制, 所
以形成了 旋转盘状结构 。
角动量守恒，粒子的旋转速度 ?，
惯性离心力 ?,离心力与引力达到平衡,维持一
定的半径。
41
? ??
i iii
vmrL ???
质点系对定点的角动量,
CvmrPr cc
???? ???质心对定点的角动量,
iii i vrmL ??????
???质点系对质心的角动量,
LPrL c ???? ????
质点系对定点的角动量, 等于质心对该定点
的角动量 （ 轨道角动量 ） 加上质点系对质心的
角动量 （, 自旋, 角动量 ）
【 证明提示 】
,ici rrr ??? ???,ici vvv ??? ??? ? ??
i
ii vm 0
?
,0? ??
i ii
rm ?
42
质心系合外力矩,
? ????
i ii
frM ???
质心系总角动量,
iii i vrmL ??????
???
无论质心参考系是否是惯性系, 在质心参考
系中, 质点系 的角动量定理 与惯性参考系中的
形式相同
t
LM
d
d ??
??
＝
§ 3.10 质心参考系中的角动量定理
只需证明,当质心系是非惯性系时, 相对质
心系, 惯性力矩为零 。
43
? ?? ?????
i
cii amrM
???
惯
0?
即证。
设质心系相对惯性系的加速度为
ca
?
证明,
0?? ?
i ii
rm ?
c
i
ii arm
?? ?
?????? ? ???
