1,传动比恒定；
2,适用圆周速度和功率范围广；
3,效率高；
4,结构紧凑, 工作可靠且寿命长 。
5,制造安装精度高, 成本高；
6,不适宜传递远距离的运动 。
齿轮传动
§ 1 概述
一、优缺点
应用最广的传动机构之一，用来传递空间任意两
轴的运动和动力。
二 分类,按传动时两轮轴的相对位置分
1.平面齿轮机构
（ 平行轴）
直齿圆柱齿轮传动 外啮合齿轮传动内啮合齿轮传动
齿轮与齿条传动斜齿圆柱齿轮传动
人字齿轮传动
2.空间齿轮传动 交错轴斜齿传动
圆锥齿轮传动 (直、斜、曲齿 )(两轴相交 )
蜗杆传动, }(两轴相错 )
3 按齿轮工作情况分：
1）开式传动 2）闭式传动
4 按齿的园周速度分,高，低，中三类
K
O1
O2
?1
?2
n
n
v1
v2
Z
P
不卡不离,
处处相切接触,
法线上没有相对运动,
KOV 111 ?? KOV 222 ??
a
b
c
KO
KZ
KO
KO
V
V
222
11
2
1 ??
?
?
PO
PO
KO
KZ
1
2
12
1 ??
?
?瞬时传动比 i12 =
对齿廓曲线的要求,
§ 2 齿廓啮合基本定律
一、齿轮传动的瞬时角速比 (传动比 )
因为 ?Kab 与 ?KO2Z相似，则
节点 （公法线与连心线的交点）
节圆
二、齿廓啮合的基本定律
PO
POi
1
2
2
1
12 ?? ?
?
K
O1
O2
?1
?2
n
n
v1
v2
Z
P
a
b
c
不论两齿廓在何位置接触，
过其接触点所作两齿廓的公法线
均须与连心线交于一 定点 P 。
常用的齿廓曲线有, 摆线,渐开线,圆弧
瞬时传动比等于齿廓接触点的公法
线将连心线截为两段线段的反比。
传动比恒定的条件：
§ 3 渐开线及渐开线齿轮
一、渐开线的形成
当一直线在一圆周上作纯滚动时，此直线上任一点的轨迹
称该圆的渐开线。
该圆称基圆；该直线称为发生线。
发生线
K
基圆半径 rb
A
B
基圆
K
二、渐开线的性质
1,NK = AN,
2,法线切于基圆 ( NK = rK).
3,渐开线形状取决于 rb,
4,基圆内 渐开线,无
N A
?K
aK
aK
K
rK
rb
O
N A
cosaK = ——,r
K
rb r
K ?? aK ?
a
F
渐开线的极坐标参数方程
kkk
kbk
tg
rr
aa?
a
??
? c os/
?k
aK的渐开线函数（表 8-1）
三,渐开线齿廓的啮合特性
1,能保证恒定传动比
法线必同时切于两基圆
传动中 两基圆大小和位置均不变、
且同一方向的内公切线 N1N2只有一条
故 接触点法线与连心线的交点 P位置不变 ?
传动比恒定
1
2
'
1
'
2
'
1
'
2
1
2
2
1
c o s/
c o s/
b
b
b
b
r
r
r
r
r
r
po
poi ?????
a
a
?
?
P
a?
2,力作用线方向不变
3,具有中心距可分性
F
rb
§ 4 渐开线标准齿轮各部分名称和几何尺寸
一、名称和符号 (外齿轮 )
z
dπp r
r
?? zpd r
r ??
或 分度圆
（ d,p,s,e, a= 20o ）
zpd ?? mp ?? 模数 有标准系列（表 8-2）
分度圆（定义） —— 模数和压力角均为标准值的圆,
令 mzd ?
mp ??
齿数 Z
df da
Sk
ek
齿顶圆 da
齿根圆 df
任意圆齿厚
sk任意圆齿槽宽 ek
任意圆齿距 Pk= sk + ek d
二、基本参数和计算 (基本参数为 m,Z,a 和 h, c* )*a
1.分度圆直径
2.基圆直径
4.齿顶高
5.齿根高
顶隙系数
齿顶高系数
正常齿制
3.齿全高
mzd ?
aco sdd b ?
mhh aa ??
8.0 1 ?? ?? aa hh 或
mcmhchh aaf ?? ????
3.0 25.0 ?? ?? cc 或
fa hhh ??
基准
6,齿顶圆直径
7,齿根圆直径
8,齿距
aa hdd 2??
ff hdd 2??
9,齿厚
10.齿槽宽
mp ??
2
ms ??
2
me ??
标准齿轮：
m,a（ 15?或 20?）, h*a,c* 为标准值且 e = s 的齿轮
d
ha
hf h
df d
a
e s
模数
几何尺寸计算
（ P142表 8-3）
ha
hf
C
d
三、标准齿条
特点,
2）与分度线平行的任一条直线上齿距 p相等 p=?m 。
1）齿廓为一直线,压力角 α 不变,也称为齿形角,
§ 5 渐开线直齿圆柱齿轮传动
一、渐开线齿轮的啮合过程
理论啮合线段 N1N2
实际啮合线段 B1B2
齿廓工作段
二、正确啮合的条件
保证前后两对轮齿有可能同
时在啮合线上相切接触。
条件：
21 bb pp ?
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
'
'
z
z
d
d
d
d
d
d
n
ni
b
b ??????
?
?
22
2
12
2
2
2
11
1
11
1
1
1
c o s
c o s
c o s
c o s
a?
a??
a?
a??
???
??
?
?
?
???
??
?
?
?
m
z
d
z
d
p
m
z
d
z
d
p
b
b
b
b
传动比
m1 = m2 = m
a1 = a2 = a
正确啮合条件
三、齿轮传动的中心距（ 无侧隙、顶隙为标准值 ）
a
1,节圆 d',啮合角 a'
2.具有标准顶隙的中心距
a' = r1' + r2'
= r1 –(h*+c*) m +c* m + r2 + h*m
= rf1 +c+ ra2 rf1
ra2
= r1 + r2 标准中心距
3,无侧隙啮合中心距
条件, S1' = e2' ; e1' = S2',
4,标准中心距
标准齿轮, S = e = ?m/2
且 m1 = m2,
▲ 当两标准直齿轮按分度圆相切来安装,为正确安装。
a'
四、啮合角 a' 与压力角 a
O1
O2
a'
a'
r1'
r2'
P
rb1
rb2
① ∵ rb = rcosa = r'cosa'
∴ —— = ———r'r cosacosa'
② ∵ rb1 + rb2 = r1cosa + r2cosa
? r1'cosa' + r2'cosa'
∴ a'cosa' = a cosa
五、齿轮与齿条啮合传动
特点 啮合线切于齿轮基圆并垂直于齿条齿廓
标准安装或非标准安装 ? d? = d a? = a
标准安装 (a?= a) ? d? = d a? = a
标准顶隙 c*m
无 侧隙 传动
分度圆、节圆、压力角、啮合角
nPBB ?21
重合度
分析,1） ? =1 表示在啮合过程中，始终只有一对齿工作；
2） 1? ? ? 2 表示在啮合过程中，有时是一对齿啮合，
有时是两对齿同时啮合。
重合度 ??传动平稳性 ??承载能力 ?。
五、连续传动条件
121 ??
bp
BB?
a?
a?
'1aa
'2aa
o1
rb1
rb2
ra1
ra2
o2
N1
N2
B1B
2
bb P
PBPB
P
BB 2121 ???
a?
)]'()'([2 1 2211 aaaa?? a tgtgztgtgz aa ????
重合度的计算
重合度与 Z1,Z2及 a?有关
齿数愈多 ? 重合度愈大
啮合角愈大 ? 重合度愈小
??
???
aa
b
a hz
z
r
r
2
co sco s aa
121 ??
bp
BB?
§ 6 渐开线齿廓的切制原理、根切和最少齿数
一、切削原理
刀号 1 2 3 4 5 6 7 8
加工齿
数范围
12 ?13 14 ?16 17 ?20 21
?25
26
?34
35
?54
55
?134
?135
每把刀的刀刃形状,按它加工范围的 最少齿数 齿轮的齿形
来设计。
刀具的选择与 m,a,z有关
1.仿型法（成型法）
精度低、生产率低
刀具,1,指形铣刀
2,圆盘铣刀
2.范成法
切削 （沿轮坯轴向）
进刀和让刀 （沿轮坯径向）
范成运动 （模拟齿轮啮合传动）
刀具与轮坯以 i12=?1/?2=Z2 /Z1回转
用同一把刀具,通过调节 i12
,就可以 加工相同模数、相同
压力角,不同齿数 的齿轮。
齿轮插刀
齿条插刀
齿轮滚刀
二、根切现象、不根切的最少齿数和变位修正法
1.根切现象
用范成法切削标准齿轮时,如果齿轮
的齿数过少，刀具的齿顶就会切去轮齿根
部的一部分，这种现象称为 根切 。
2.根切原因
.
P
N1
a
B2
2,避免发生根切的方法不产生根切的最少齿数
PN1≥ PB2
ha
r
rsina≥ ahasina
mZ
2 sina≥
m
sina
*ha
得, Z≥ sin2a*ha2
当 a= 200,*ha = 1,Zmin = 17
不根切条件
3.避免发生根切的措施
?限制小齿轮的最小齿数；
?减少齿顶高系数 (重合度减少、非标准刀具 )；
?增大分度圆压力角 (正压力径向力增大、非标准刀具 )；
B
P
N1
a xm
（ x —变位 系数,m — 模数）
通过改变刀具与轮坯的相互位置
以避免根切，从而达到可以制造较少
齿数的齿轮。这样制造出来的齿轮称
为 变位齿轮 。切齿刀具所移动的距离
xm 称为 移距 。
? 采用变位修正法：
●
ham
Xm
*
N1
P
B2
a
a rb
xm 变位量（移距）
x 变位系数
x>0 正变位齿轮
x<0 负变位齿轮
12 PNPB ?
aa tgrxmmh ba ??
?
s i n
)(
m i n
m i n
z
zzhx
a
?? ?
4,最小变位系数
§ 7 斜齿圆柱齿轮传动
1.齿廓曲面的形成
直齿轮,AA是直线 。
斜齿轮,AA是螺旋线 。
斜齿轮齿廓曲面为,
螺旋渐开面
一、斜齿圆柱齿轮的形成原理
2.特点
（与直齿圆柱齿轮比较）
1,传动较为平稳，适用
于高速传动。
二,斜齿轮主要参数各部分名称和 几何尺寸
1.主要参数 (端面参数 )
进刀方向
其它几何尺寸计算（见表 8-6）
螺旋角 ?(左旋右旋）
齿 距 Pn=Ptcos?
模 数 mn=mtcos?
齿 宽 b=B/cos?
法向参数规定为标准
值。
为什么？
（ mn,an,han*,cn*）
Pt
πd
b B
β
(法向参数 )
2.几何尺寸
分度圆直径 d = mtz= mnz/cos?
中心距 a = mn（ z1+z2） /2 cos?
2、改变螺旋角可调整中心距
螺旋方向的判别
手自然伸开,拇指指向为轴线方向,如果左手的四指指向与其螺旋
线方向相同则为左旋齿轮 ;如果右手的四指指向与其螺旋线方向相
同则为右旋齿轮,
求,旋向
左旋
右旋
四、重合度
3、承载能力高，传动平稳。
n
t
m
B
p
tgB
e
?
?
?
?
???
a
aa?
s i n
??
????
三、正确啮
合条件
21
21
21
??
aaa
??
??
?? mmm
??
模数和压力角分别相等且
螺旋角的大小相等、旋向相反
（一个左旋，另一个右旋）。
B2B1
?
B
V
e
五、当量齿数
不产生根切的最少齿数为
?? 2
2
c o s2
d
b
a ??
?
??
3co s
2 z
pz nv ??
?3m i nm i n co svzz ?
当量齿轮 齿形与斜齿轮的法向齿形接近的, 直齿轮
”
当量齿数, 直齿轮, 的齿数
计算当量齿数的意义：
仿形法加工轮齿 选刀具
弯曲强度计算 查齿形系数
齿厚测量、变位系数选择 ?
椭圆在节点的曲率半径为当量齿
轮的 分度圆 半径：
§ 8 齿轮的材料及热处理
基本要求,齿面硬 齿芯韧
常用材料：（见表 8-7、表 8-8)
1）钢 （ 含碳量为 0.1％～ 0.6％） → 常用
锻钢 － 钢材经锻造,性能提高 → 最常用
45,35SiMn,42SiMn,40Cr,35CrMo
铸钢 － 齿轮较大 (d≥400～ 600)时采用
ZG310-570,ZG340-640
2）铸铁 － 用于开式、低速传动的齿轮 → 强度差,易成型
灰口铸铁－ HT200,HT300
球墨铸铁－ QT500-7
3）非金属材料 → 用于小功率、速度高 → 低噪音
常用 热处理
正火、调质 ? 齿面硬度 ? 350 HBS ?软 齿面
低碳钢－渗碳＋淬火
中碳钢－表面淬火 ? 齿面硬度 ? 350 HBS ?
硬齿面
大小齿轮齿面硬度差为 25?50 HBS
钢制齿轮加工 工艺 过程：
软 齿面：坯料 → 热 (正、调 )→ 切齿 (7级 ?8级精度 )
硬 齿面：热 (正 )→ 切齿 → 表面处理 (淬火,氰化、氮
化 ) → 精加工
硬齿面的齿轮
和铸铁 齿轮受到过
载或冲击时,易引起
轮齿的 突然折断 。
轮齿受的弯曲应力是循
环变化的，齿根处的弯曲应
力最大，且在齿根的过渡圆
角处有应力集中。当应力和
N超过材料的弯曲疲劳极限
时 ?裂纹 ?裂纹扩展 ?疲劳
折断。
§ 9 轮齿的失效形式及计算准则
一、失效形式
1.轮齿折断 疲劳折断
过载折断
3.齿面磨料磨损
2.齿面 疲劳点蚀
开式齿轮传动易磨
料磨损破坏。
闭式齿轮传动的
主要破坏形式。
发生部位,一般
出现在齿根表面靠
近节线处。
4.齿面胶合
当齿面所受的压力很大
且润滑效果差，或压力很大
而速度很高时，由于发热大，
瞬时温度高，相啮合的齿面
发生粘联现象，此时两齿面
有相对滑动，粘接的地方被
撕裂。这叫 热胶合 。
低速重载的齿轮，油膜遭破坏
也发生胶合现象。这时齿面无
明显赠高，这种胶合叫 冷胶合。
二、计算准则
闭式 传动
软 齿面 (点蚀 ):1）按齿面接触疲劳强度设计 (先求 a)
2）然后 校核齿根弯曲 疲劳强度
硬 齿面 (断齿 ):1）按 齿根 弯曲疲劳强度设计 (先求 m )
2）然后 校核齿面 接触疲劳强度
开式 传动 (磨损 )
1）按 齿根 弯曲疲劳强度设计 (求 m )
2）然后将 ｍ增大 10％～ 15％ (磨损补偿 )
闭式高速重载 传动（ 胶合）
措施：提高 齿面硬度和光洁度；采用粘度较大的润滑
油（低速）或采用含有添加剂抗胶合性能强的润滑
油（高速）；采取散热 措施。
§ 10 圆柱齿轮传动的强度计算
1
12
d
TF
t ?
大 小
径向力 Fn
Ft
Fr
?
方 向
圆周力
主动轮与运动方向相反，
从动轮与运动方向相同。
径向力
指向各自轮心。
atgFF tr ??
一、直齿圆柱齿轮传动的受力分析
圆周力
二
斜
齿
圆
柱
齿
轮
传
动
作
用
力
分
析
法
向
力
可
分
解
为
三
个
分
力
圆
周
力
、
径
向
力
、
轴
向
力
an
?
Fn
Fa
Fr
Ft
圆周力
径向力
轴向力
112 dTF t ?
?rF
?tgFF ta ?
轴向力的判断方法
主动轮左右手方法
主动轮为右旋,握紧右手,四指弯曲方向表示主动轮的回转
方向,拇指的指向即为作用在主动轮上轴向力的方向,若主
动轮为左旋,用左手。 被动齿轮的 轴向力与 主动齿轮 的轴
向力 方向相反,
tgan
Fn
Ft
Fr
Fa
β
αn
?cos
tF
Fn
Ft
Fr
?
三、齿面接触疲劳强度计算
轮齿齿面的接触疲劳强度计算近
似以节点为准。应用弹性力
学赫兹公式并整理得：
设计公式：
验算公式：
aH
V
EHH MPu
u
bd
KKTZZZ ][12
2
1
1 ?? ?
? ?
???
mm
u
uKTKd
Hd
d
3
2
1
1
1
][
??
??
?
说明,
① 当一对齿轮的材料、传动比、齿宽系数一时，轮齿的
表面接触强度仅取决于小轮分度圆直径 d1。
② σ H1=σ H2 ; [σ H]1 ? [σ H]2→ 以较小 [σ H]值代入计算。
四、齿根 弯曲疲劳强度计算
1,力的分析
2
1
2
1
c o s6
6
bs
lF
bs
lF
W
M FnH
F
???? a?
YF为齿形系数，与压力角、齿顶
高系数、齿数有关，而与模数无关。
见 P173图 8-44。a
a
c o s)(
c o s)(6
21
m
s
m
l
Y
F
F ?
弯曲应力
2,强度计算
FH
Fnl FVs
1
Fn
aF
法向力 Fn FH = FncosaF（ 弯曲）
Fv = FnsinaF（ 压缩）
忽略
F
t Y
bm
F?
aF
d
V
FF MPmd
KKT
Y ][
2
2
1
1 ?
?
? ? ??
设计公式：
验算公式：
mmY
z
KT
Km
F
F
d
mn
3
2
1
1
][ ??
??
说明：
1） 接触应力 ?H1= ?H2,弯曲应力 ?F1??F2 （两轮分别校核）
2） 材料不同,通常 [?H1]?[?H2],[?F1]?[?F2]
计算时以 [?H]的小值及 YF/[?F]的大值代入
3） Z1??传动平稳性 ?,m? ?弯曲强度 ?
设计时：软齿面 Z1取稍大值为好 Z1=24?40
硬齿面 要求 m?，则取 Z1?17
4）齿宽系数 ?a? ? 中心距 a??结构紧凑
? b??载荷分布不均 ?易产生载荷集中 ?断齿
§ 11 圆锥齿轮传动
一、概述
用于空间两相交轴的传动,轮齿分布在一个截锥体上。
柱 ? 锥 节圆锥 基圆锥 分度圆锥 齿顶圆锥 …
以大端参数为是标准
几何尺寸计算
参见 图 8-49 及 表 8-13
二圆锥齿轮的形成
三作用力的分析
园周力
径向力
atgFF tr ? cos?1
轴向力
Fr
FtFa
1
12
m
t d
T
F ?
1s i n ?atgFF ta ?
方向,园周力方向在 主动轮 与 运动方向 相反,在
从动轮 上与 运动方向 相同 ;径向力方向垂直指向
齿轮轴线 ;轴向力方向背着锥顶 (或指向大端）
但方向相反。
小齿轮的径向力方向为大齿轮的轴向力方向；
而小齿轮的轴向力方向为大齿轮的径向力方向,
Fa1= -Fr2
Fr1= -Fa2
Ft1= -Ft2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
c o s
)90s i n (
s i n2
s i n2
?
?
?
?
?
?
tg
c t g
op
op
z
z
d
d
n
n
i
??
?
?
????
?
四,背锥及当量齿数
传动比
以 OO?为轴线,O?P为母线作
一圆锥 O?PP（称为 背锥 ）
背锥 ?展开成 扇形齿轮 ?补
足为完整后得 圆柱齿轮 （称为 当
量齿轮 ）其齿数称为 当量齿数 ZV
锥齿轮的最少齿数：
2
c o s2c o s2
1
1
1
1
1
1
1
V
V
V
mz
R
mzd
R
?
??
??
2
2
2
1
1
1
c o s
c o s
?
?
Z
Z
Z
Z
V
V
?
?
?c o sm i nm i n VZZ ?
五、直齿圆锥齿轮传动的疲劳强度计算（略）
蜗杆传动：用于传递 交错轴 之间的回转运动和动力 。
§ 12 蜗杆传动一形成原理和特点
缺点,传动效率低、成本高、发热大。
优点,传动比大、机构紧凑、传动平稳,噪声较小等。
圆柱蜗杆按其螺旋面形状分：
阿基米德蜗杆（普通）、渐开线蜗杆和延伸渐开线蜗杆
1 圆柱蜗杆 (点、线接触 )
2 环面蜗杆 (面接触 )
蜗杆：左、右旋。 常用的为右旋。
3 锥蜗杆传动
aaa ??
??
21
21
tx
tx mmm
?? ?
二蜗杆蜗轮的正确啮合条件：
主平面,通过蜗杆轴线并垂直与蜗轮轴线的平面
蜗杆齿形是 标准齿条 齿形
蜗轮齿形是渐开线 齿轮 齿
形,啮合传动类似于 齿轮
齿条啮合。
旋向相同
三蜗杆传动的主要参数和几何尺寸
1模数 m和压力角 α：
2蜗杆的分度圆直径 d和直径系数 q:
模数 m 与蜗杆分度
圆直径 d1 的 搭配
见表 8-14。
m
dq 1?
为限制蜗轮滚刀的数目,国家标准中规定一个 m
值,只对应 1?2个 (最多 4个 )标准蜗杆分度圆直径值。
a=20°, a=15°, a=12°
3.蜗杆导程角 ?
q
z
d
mz
d
mztg 1
1
1
1
1 ???
?
??
px1
?d1d1
?px1?
头数 z1 ? ?导程 角 ? ?? ??
)(1 Vtg
tg
??
??
?? V?? ? 自锁条件
通常 z1=1,2,4 与 i的荐用值见表 8-15
z2 取值范围 32 ? z2 ? 80
1
2
1
2
2
1
d
d
z
z
n
ni ???
4 传动比 i、蜗杆头数 z1和蜗轮齿数 z2
传动比大
V1
V2
Vs
5.齿面间滑动速度 Vs （ v ? 12 m/s）
smndvv s ??? co s6 0 0 0 0co s 111 ??
?c o s
12
2
2
1
VVVV
S ???
V1：蜗杆的园周速度
6、几何尺寸计算
见 P186表 8-16
V2：蜗轮的园周速度
?
?
四,蜗杆传动的失效形式、材料和结构
1.失效形式和计算准则
失效形式：胶合、点蚀、磨损 …… (发生在蜗轮齿面 )
闭式蜗杆传动
1) 齿面接触疲劳强度设计
? ?HVEH
dd
KKT
Z ??? ? ?? c o s
47.9
2
21
2
校核公式
设计公式
? ?
2
2
21
2 )(co s47.9
H
E
z
Z
Tdm
?
??
2.材料和结构
1)材料：采用 青铜或铸铁 做蜗轮齿圈与 淬硬的钢制 蜗杆
相配。 蜗杆 一般采用 碳素钢 或 合金钢 制成，要求齿面光
滑硬度较高。 蜗轮齿圈根据相对滑动 速度选择，有 锡青
铜 ZCuSn10Pb1、锡锌青铜 ZCuSn5Pb5Zn5,铸铁青
铜 ZCuAl9Mn2、铸铁等。
3) 热平衡计算 (从略）
开式蜗杆传动 齿根弯曲强度设计
2) 齿根弯曲强度校核
校核公式
设计公式
? ?FVFF zdm KKTYY ?? ?? ??
21
2
253.1
? ?F
V
F z
KKTYYdm
?
?
?
2
2
1
2 53.1?
蜗轮结构
2)结构
蜗杆轴
整体式、组合式
组合式的联接方法有,1）轮箍结构
2）螺栓联接结构
五 蜗杆传动的强度计算
一 受力分析：
蜗杆三个分力,Fr1,Ft1,Fa1
蜗轮三个分力,Fr2,Ft2,Fa2
atgFFF trr 221 ???
1121 2 dTFF at ???
2221 2 dTFF ta ???
mmNnPTiT ????? 3
2
112 109 5 5 0 ??
Ft2 Fa2
Fr2
Fa1
Ft1
Fr1
二方向的判定 径向力 的判断方法,指向各自圆心。
圆周力 的判断方法,蜗杆的园周力与运动方向相反；
蜗轮的园周力与运动方向相同。
轴向力 的判断方法,蜗杆左、右手 方法
主动轮为 右旋,握紧 右手,四指弯曲方向表示主动轮的回转方
向，拇指的指向即为作用在主动轮上 轴向力 的方向；（ 蜗轮的
转向与拇指的指向相反 ） 若主动轮为左旋，用左手。
Fa
Fa
§ 13 轮 系
一、概 述 1450 rpm
53.7 rpm1,一对齿轮传动
i12 =—— n1n2 =—— Z2Z
1
= ——d2d
1
= ———145053.7 = 27
设 d1 = 53.7mm 则 d2 = i12d1 = 27× 53.7 = 1450mm
2,多对齿轮传动 1450rpm
53.7rpm
1
2
3
4
5
6
1
2
i16= —— n1n
6
= ———— n1 n
6
n3
n2
n5
n4 = i12 i34 i56
分步传动
设,i12 = i34 = i56 = 3
则, i16 = i12 i34 i56 = 3× 3× 3 = 27
搪杆
设令 d1 = d3 = d5 = 50mm
则,d2 =i12d1= 3× 50=150mm d4=i34d3= 3× 50=150mm
3轮系 由一系列齿轮组成的传动系统,d6 =i56d5= 3× 50=150mm
3,复合轮系 (混合轮系 )
至少有一个齿轮的轴线不固
定的轮系,
二,轮系的分类
1.定轴轮系 (普通轮系 ) 2,动轴轮系 (周转轮系 )
1
2
3
4
1
2
3
41
2 3
4
1
2
3 4
2’
H
所有齿轮轴线均固定的轮系,
由定轴 — 动轴或多个动轴轮系组成的轮系,
三、轮系的应用
1,可获得大的传动比 2,可连接相距较远的两轴
3,可获得多种传动比 4,可改变从动轴转向
四、定轴轮系传动比的计算
1,i17 = —— n1n
7
= ————— n1 n
7
n3
n2
n4
n4
n6
n5 = i12 i34 i45 i67
(- )Z2Z
1
(- — )Z4Z
3
(- — )Z5Z
4
( — )Z7Z
6
=(-1)3 ——— Z2Z5Z7Z
1Z3Z6
= —
各主动轮齿数的乘积
各从动轮齿数的乘积m
k
k n
ni )1(1
1 ????
1
2
3
4
5
6
71.定轴轮系的传动比
=各对齿轮传动比的乘积 =(-1)m
各主动齿轮齿数的乘积
各从动齿轮齿数的乘积
2.首末两轮的 转向取决于外啮合的对数 (+号表示同向,-
号表示异向 )（若 首末两轮轴线不平行只能用箭头表示）
3.齿轮 4(惰轮 )不影响 i的大小,但改变了从动轮的 转向
。
(m外啮合齿轮的对数）
1
2
3
5
6
7
1
2
3
4 5
6
7
8
转向如图示
1
2
3
4
5
6
7
7531
8642
8
1
18 zzzz
zzzz
n
ni
???
?????
6
7
4
5
3
4
1
2
7
1
17
))()((
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
n
n
i
????
?
五、周转轮系的传动比计算
1.名称：
1
2 3
4
H
行星轮 —既有自转又有公转的齿轮。
系杆 H(转臂或行架 —用以支持行星轮并使其公转的支架
中心轮 (太阳轮 )--与行星轮啮合并与系杆同轴线的齿轮
2.平面周转轮系的传动比计算
n1
n2
n3
nH
-nH
n1 -nH
n2 -nH
n3 -nH
1
2 3
H
HH
1
2 3
0??? HHHH nnn
HH nnn ?? 11
HH nnn ?? 22
HH nnn ?? 33
转化轮系 ——假定系杆固定时
所得到的“定轴轮系”
给整个周转轮系加上一公共转速
,– nH”,周转轮系 ?“定 轴轮系,
1
3
21
32
3
1
3
1
13 z
z
zz
zz
nn
nn
n
ni
H
H
H
H
H ????
?
???
11
211
1,,,,,
.,,,,,
)1(
?
??
?
?
??
n
nm
Hn
H
H
n
H
H
n zz
zz
nn
nn
n
n
i
推广到一般式：
BA
BCB
CA nn
nni
?
??
AB
ACA
CB nn
nni
?
??+ =
BA
BC
nn
nn
?
?
AB
AC
nn
nn
?
?+
=
BA
BA
BA
CABC
nn
nn
nn
nnnn
?
??
?
??? =1
1?? ACBBCA ii
周转轮系传动比的 普遍公式
BA
BCB
CA nn
nni
?
??
AB
ACA
CB nn
nni
?
??
A
CB
B
CA ii ?? 1
1?? ACBBCA ii
C
B
C
AC
AB n
ni ?
C
BA
C
AB ii
1
?
11
211
1,,,,,
.,,,,,
)1(
?
??
?
?
??
n
nm
Hn
H
H
n
H
H
n zz
zz
nn
nn
n
n
i
倒数关系
角标对换和为 1
C
BA
C
A
C
B i
n
n
11
??
C
BA
i
1
?
+
F=3n-2PL-PH
=3?4–2?4-2
=2
F=3n-2PL-PH
=3?3–2?3-2
=1
这种轮系叫差动轮系 这种轮系叫行星轮系
两个中心轮都在转动 一个中心轮在转动
1
2
H
3
1
2
H
3
周传轮系的类型
a b
c d
H
已知,Za=100,Zb=101,Zc=99
Zd=100
求,iHa=？
解,iHanb=0 iHab =
?
b
aHi
1
da
cb
ZZ
ZZ
?
?
1
1
=10000
H
abi?1
1
1 0 01 0 0
991 0 1
1
1
?
?
?
?
a b
c d 若为定轴轮系
9 9 9 9.0
1 0 01 0 0
1 0 199 ?
?
??
?
??
da
bc
ab zz
zzi
0 0 0 1.11 ??? ?
ab
ba ii
η= 0.25%只能用于减速
周转轮系可获得大
传动比
已知,ｎ 1=200r/min
ｎ 3=50r/min 转向如图示
Ｚ １ =15,Ｚ ２ ＝ 25,Ｚ ２ '=20，
Ｚ ３ ＝ 60。
求,行星架Ｈ的转速 nH=？
解：如果ｎ 1为正,则 n3为负
H
H
n
n
??
?
50
2 0 0
nH=-833r/min
nH
? ?
21
3211
?
??
ZZ
ZZ
H
HH
nn
nn
I
?
?
?
3
1
13
2015
6025
?
???
方向如图示
已知：如图示的手动葫芦
中 Z1=12,Z2=28，
Z2’=14,Z3=54。
求,iSH=？
n3=0 i
1H3
=1- i13H= 1-（ -
)
21
32
??
?
ZZ
ZZ
=1-（ -
1412
5428
?
? ） =1-（ -9）
=10
解,iSH= i1H
所以手动葫芦省力，但不省功。
已知,Za=18,Zb=90,Zc=36，
Zd=33,Ze=87
求,iae =？
解,iaeab
c d
e
H
b
eHi
1
nb=0
=
H
eb
H
ab
i
i
?
?
1
1 =
3687
9033
1
18
90
1
?
?
?
? =116
iaeb iaHb。 iHeb
=
ce
bd
a
b
ZZ
ZZ
Z
Z
?
??
1
)(1
搭桥
=（ 1-iabH）
H
ebi?1
1=（ 1-iab
H）
已知,Z1为输入齿轮转向如图示，为使 ll轴上的轴
向力尽可能小
求：（ 1）齿轮 3与 4的旋向和转向？
（ 2）在图上标明齿轮 2与齿轮 4的受力方向。
Fa2
Fa3
Ft2 Fr2
Fa2
Ft4
Fr4
Fa4
l
Z1
Z2
Z3
Z4
ll
lll
已知：一对锥齿轮与蜗轮蜗杆传动,Z1的转向如图示，
求：（ 1）定出蜗杆和蜗轮的合理旋向及蜗轮的转向。
（ 2）绘出主动锥齿轮和蜗轮的受力方向
Fa2
Fa3Ft1Z1 Fr1
Fa1
Z2
n4
Ft4
Fr4
Fa4
1
2
3
4
2
3
4
1
一对斜齿轮与蜗杆传动关系如图
所示,已知主动斜齿轮 1为 左旋齿
轮 转动方向如图示,画出齿轮 1、
齿轮 2、蜗杆 3(要求中间轴轴向
力较小 )、蜗轮 4的螺旋方向,以
及齿轮 2、蜗杆 3、蜗轮 4的转动
方向 ;画出各轮接触点处的圆周
力 Ft、轴向力 Fa和径向力 Fr。
Fa1
Fa2
Fa3Fa
4
Fr1
Fr2
Fr3
Fr4
Ft1
Ft2
Ft3
Ft4
已知：一对斜齿轮和蜗轮、蜗杆传动。 Z1的转
向如图示转向为左旋。画出 1）若使中间轴受力
最小，蜗轮的转向和蜗杆、蜗轮旋向 。 2）画
出 Z2和蜗杆传动的受力图。
Z1
Z2
Fa2
Fa3Ft2
Fr2
Fa2
Ft4
Fa4
Fr4
Ft3Fa3
Fa1
2,适用圆周速度和功率范围广；
3,效率高；
4,结构紧凑, 工作可靠且寿命长 。
5,制造安装精度高, 成本高；
6,不适宜传递远距离的运动 。
齿轮传动
§ 1 概述
一、优缺点
应用最广的传动机构之一，用来传递空间任意两
轴的运动和动力。
二 分类,按传动时两轮轴的相对位置分
1.平面齿轮机构
（ 平行轴）
直齿圆柱齿轮传动 外啮合齿轮传动内啮合齿轮传动
齿轮与齿条传动斜齿圆柱齿轮传动
人字齿轮传动
2.空间齿轮传动 交错轴斜齿传动
圆锥齿轮传动 (直、斜、曲齿 )(两轴相交 )
蜗杆传动, }(两轴相错 )
3 按齿轮工作情况分：
1）开式传动 2）闭式传动
4 按齿的园周速度分,高，低，中三类
K
O1
O2
?1
?2
n
n
v1
v2
Z
P
不卡不离,
处处相切接触,
法线上没有相对运动,
KOV 111 ?? KOV 222 ??
a
b
c
KO
KZ
KO
KO
V
V
222
11
2
1 ??
?
?
PO
PO
KO
KZ
1
2
12
1 ??
?
?瞬时传动比 i12 =
对齿廓曲线的要求,
§ 2 齿廓啮合基本定律
一、齿轮传动的瞬时角速比 (传动比 )
因为 ?Kab 与 ?KO2Z相似，则
节点 （公法线与连心线的交点）
节圆
二、齿廓啮合的基本定律
PO
POi
1
2
2
1
12 ?? ?
?
K
O1
O2
?1
?2
n
n
v1
v2
Z
P
a
b
c
不论两齿廓在何位置接触，
过其接触点所作两齿廓的公法线
均须与连心线交于一 定点 P 。
常用的齿廓曲线有, 摆线,渐开线,圆弧
瞬时传动比等于齿廓接触点的公法
线将连心线截为两段线段的反比。
传动比恒定的条件：
§ 3 渐开线及渐开线齿轮
一、渐开线的形成
当一直线在一圆周上作纯滚动时，此直线上任一点的轨迹
称该圆的渐开线。
该圆称基圆；该直线称为发生线。
发生线
K
基圆半径 rb
A
B
基圆
K
二、渐开线的性质
1,NK = AN,
2,法线切于基圆 ( NK = rK).
3,渐开线形状取决于 rb,
4,基圆内 渐开线,无
N A
?K
aK
aK
K
rK
rb
O
N A
cosaK = ——,r
K
rb r
K ?? aK ?
a
F
渐开线的极坐标参数方程
kkk
kbk
tg
rr
aa?
a
??
? c os/
?k
aK的渐开线函数（表 8-1）
三,渐开线齿廓的啮合特性
1,能保证恒定传动比
法线必同时切于两基圆
传动中 两基圆大小和位置均不变、
且同一方向的内公切线 N1N2只有一条
故 接触点法线与连心线的交点 P位置不变 ?
传动比恒定
1
2
'
1
'
2
'
1
'
2
1
2
2
1
c o s/
c o s/
b
b
b
b
r
r
r
r
r
r
po
poi ?????
a
a
?
?
P
a?
2,力作用线方向不变
3,具有中心距可分性
F
rb
§ 4 渐开线标准齿轮各部分名称和几何尺寸
一、名称和符号 (外齿轮 )
z
dπp r
r
?? zpd r
r ??
或 分度圆
（ d,p,s,e, a= 20o ）
zpd ?? mp ?? 模数 有标准系列（表 8-2）
分度圆（定义） —— 模数和压力角均为标准值的圆,
令 mzd ?
mp ??
齿数 Z
df da
Sk
ek
齿顶圆 da
齿根圆 df
任意圆齿厚
sk任意圆齿槽宽 ek
任意圆齿距 Pk= sk + ek d
二、基本参数和计算 (基本参数为 m,Z,a 和 h, c* )*a
1.分度圆直径
2.基圆直径
4.齿顶高
5.齿根高
顶隙系数
齿顶高系数
正常齿制
3.齿全高
mzd ?
aco sdd b ?
mhh aa ??
8.0 1 ?? ?? aa hh 或
mcmhchh aaf ?? ????
3.0 25.0 ?? ?? cc 或
fa hhh ??
基准
6,齿顶圆直径
7,齿根圆直径
8,齿距
aa hdd 2??
ff hdd 2??
9,齿厚
10.齿槽宽
mp ??
2
ms ??
2
me ??
标准齿轮：
m,a（ 15?或 20?）, h*a,c* 为标准值且 e = s 的齿轮
d
ha
hf h
df d
a
e s
模数
几何尺寸计算
（ P142表 8-3）
ha
hf
C
d
三、标准齿条
特点,
2）与分度线平行的任一条直线上齿距 p相等 p=?m 。
1）齿廓为一直线,压力角 α 不变,也称为齿形角,
§ 5 渐开线直齿圆柱齿轮传动
一、渐开线齿轮的啮合过程
理论啮合线段 N1N2
实际啮合线段 B1B2
齿廓工作段
二、正确啮合的条件
保证前后两对轮齿有可能同
时在啮合线上相切接触。
条件：
21 bb pp ?
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
'
'
z
z
d
d
d
d
d
d
n
ni
b
b ??????
?
?
22
2
12
2
2
2
11
1
11
1
1
1
c o s
c o s
c o s
c o s
a?
a??
a?
a??
???
??
?
?
?
???
??
?
?
?
m
z
d
z
d
p
m
z
d
z
d
p
b
b
b
b
传动比
m1 = m2 = m
a1 = a2 = a
正确啮合条件
三、齿轮传动的中心距（ 无侧隙、顶隙为标准值 ）
a
1,节圆 d',啮合角 a'
2.具有标准顶隙的中心距
a' = r1' + r2'
= r1 –(h*+c*) m +c* m + r2 + h*m
= rf1 +c+ ra2 rf1
ra2
= r1 + r2 标准中心距
3,无侧隙啮合中心距
条件, S1' = e2' ; e1' = S2',
4,标准中心距
标准齿轮, S = e = ?m/2
且 m1 = m2,
▲ 当两标准直齿轮按分度圆相切来安装,为正确安装。
a'
四、啮合角 a' 与压力角 a
O1
O2
a'
a'
r1'
r2'
P
rb1
rb2
① ∵ rb = rcosa = r'cosa'
∴ —— = ———r'r cosacosa'
② ∵ rb1 + rb2 = r1cosa + r2cosa
? r1'cosa' + r2'cosa'
∴ a'cosa' = a cosa
五、齿轮与齿条啮合传动
特点 啮合线切于齿轮基圆并垂直于齿条齿廓
标准安装或非标准安装 ? d? = d a? = a
标准安装 (a?= a) ? d? = d a? = a
标准顶隙 c*m
无 侧隙 传动
分度圆、节圆、压力角、啮合角
nPBB ?21
重合度
分析,1） ? =1 表示在啮合过程中，始终只有一对齿工作；
2） 1? ? ? 2 表示在啮合过程中，有时是一对齿啮合，
有时是两对齿同时啮合。
重合度 ??传动平稳性 ??承载能力 ?。
五、连续传动条件
121 ??
bp
BB?
a?
a?
'1aa
'2aa
o1
rb1
rb2
ra1
ra2
o2
N1
N2
B1B
2
bb P
PBPB
P
BB 2121 ???
a?
)]'()'([2 1 2211 aaaa?? a tgtgztgtgz aa ????
重合度的计算
重合度与 Z1,Z2及 a?有关
齿数愈多 ? 重合度愈大
啮合角愈大 ? 重合度愈小
??
???
aa
b
a hz
z
r
r
2
co sco s aa
121 ??
bp
BB?
§ 6 渐开线齿廓的切制原理、根切和最少齿数
一、切削原理
刀号 1 2 3 4 5 6 7 8
加工齿
数范围
12 ?13 14 ?16 17 ?20 21
?25
26
?34
35
?54
55
?134
?135
每把刀的刀刃形状,按它加工范围的 最少齿数 齿轮的齿形
来设计。
刀具的选择与 m,a,z有关
1.仿型法（成型法）
精度低、生产率低
刀具,1,指形铣刀
2,圆盘铣刀
2.范成法
切削 （沿轮坯轴向）
进刀和让刀 （沿轮坯径向）
范成运动 （模拟齿轮啮合传动）
刀具与轮坯以 i12=?1/?2=Z2 /Z1回转
用同一把刀具,通过调节 i12
,就可以 加工相同模数、相同
压力角,不同齿数 的齿轮。
齿轮插刀
齿条插刀
齿轮滚刀
二、根切现象、不根切的最少齿数和变位修正法
1.根切现象
用范成法切削标准齿轮时,如果齿轮
的齿数过少，刀具的齿顶就会切去轮齿根
部的一部分，这种现象称为 根切 。
2.根切原因
.
P
N1
a
B2
2,避免发生根切的方法不产生根切的最少齿数
PN1≥ PB2
ha
r
rsina≥ ahasina
mZ
2 sina≥
m
sina
*ha
得, Z≥ sin2a*ha2
当 a= 200,*ha = 1,Zmin = 17
不根切条件
3.避免发生根切的措施
?限制小齿轮的最小齿数；
?减少齿顶高系数 (重合度减少、非标准刀具 )；
?增大分度圆压力角 (正压力径向力增大、非标准刀具 )；
B
P
N1
a xm
（ x —变位 系数,m — 模数）
通过改变刀具与轮坯的相互位置
以避免根切，从而达到可以制造较少
齿数的齿轮。这样制造出来的齿轮称
为 变位齿轮 。切齿刀具所移动的距离
xm 称为 移距 。
? 采用变位修正法：
●
ham
Xm
*
N1
P
B2
a
a rb
xm 变位量（移距）
x 变位系数
x>0 正变位齿轮
x<0 负变位齿轮
12 PNPB ?
aa tgrxmmh ba ??
?
s i n
)(
m i n
m i n
z
zzhx
a
?? ?
4,最小变位系数
§ 7 斜齿圆柱齿轮传动
1.齿廓曲面的形成
直齿轮,AA是直线 。
斜齿轮,AA是螺旋线 。
斜齿轮齿廓曲面为,
螺旋渐开面
一、斜齿圆柱齿轮的形成原理
2.特点
（与直齿圆柱齿轮比较）
1,传动较为平稳，适用
于高速传动。
二,斜齿轮主要参数各部分名称和 几何尺寸
1.主要参数 (端面参数 )
进刀方向
其它几何尺寸计算（见表 8-6）
螺旋角 ?(左旋右旋）
齿 距 Pn=Ptcos?
模 数 mn=mtcos?
齿 宽 b=B/cos?
法向参数规定为标准
值。
为什么？
（ mn,an,han*,cn*）
Pt
πd
b B
β
(法向参数 )
2.几何尺寸
分度圆直径 d = mtz= mnz/cos?
中心距 a = mn（ z1+z2） /2 cos?
2、改变螺旋角可调整中心距
螺旋方向的判别
手自然伸开,拇指指向为轴线方向,如果左手的四指指向与其螺旋
线方向相同则为左旋齿轮 ;如果右手的四指指向与其螺旋线方向相
同则为右旋齿轮,
求,旋向
左旋
右旋
四、重合度
3、承载能力高，传动平稳。
n
t
m
B
p
tgB
e
?
?
?
?
???
a
aa?
s i n
??
????
三、正确啮
合条件
21
21
21
??
aaa
??
??
?? mmm
??
模数和压力角分别相等且
螺旋角的大小相等、旋向相反
（一个左旋，另一个右旋）。
B2B1
?
B
V
e
五、当量齿数
不产生根切的最少齿数为
?? 2
2
c o s2
d
b
a ??
?
??
3co s
2 z
pz nv ??
?3m i nm i n co svzz ?
当量齿轮 齿形与斜齿轮的法向齿形接近的, 直齿轮
”
当量齿数, 直齿轮, 的齿数
计算当量齿数的意义：
仿形法加工轮齿 选刀具
弯曲强度计算 查齿形系数
齿厚测量、变位系数选择 ?
椭圆在节点的曲率半径为当量齿
轮的 分度圆 半径：
§ 8 齿轮的材料及热处理
基本要求,齿面硬 齿芯韧
常用材料：（见表 8-7、表 8-8)
1）钢 （ 含碳量为 0.1％～ 0.6％） → 常用
锻钢 － 钢材经锻造,性能提高 → 最常用
45,35SiMn,42SiMn,40Cr,35CrMo
铸钢 － 齿轮较大 (d≥400～ 600)时采用
ZG310-570,ZG340-640
2）铸铁 － 用于开式、低速传动的齿轮 → 强度差,易成型
灰口铸铁－ HT200,HT300
球墨铸铁－ QT500-7
3）非金属材料 → 用于小功率、速度高 → 低噪音
常用 热处理
正火、调质 ? 齿面硬度 ? 350 HBS ?软 齿面
低碳钢－渗碳＋淬火
中碳钢－表面淬火 ? 齿面硬度 ? 350 HBS ?
硬齿面
大小齿轮齿面硬度差为 25?50 HBS
钢制齿轮加工 工艺 过程：
软 齿面：坯料 → 热 (正、调 )→ 切齿 (7级 ?8级精度 )
硬 齿面：热 (正 )→ 切齿 → 表面处理 (淬火,氰化、氮
化 ) → 精加工
硬齿面的齿轮
和铸铁 齿轮受到过
载或冲击时,易引起
轮齿的 突然折断 。
轮齿受的弯曲应力是循
环变化的，齿根处的弯曲应
力最大，且在齿根的过渡圆
角处有应力集中。当应力和
N超过材料的弯曲疲劳极限
时 ?裂纹 ?裂纹扩展 ?疲劳
折断。
§ 9 轮齿的失效形式及计算准则
一、失效形式
1.轮齿折断 疲劳折断
过载折断
3.齿面磨料磨损
2.齿面 疲劳点蚀
开式齿轮传动易磨
料磨损破坏。
闭式齿轮传动的
主要破坏形式。
发生部位,一般
出现在齿根表面靠
近节线处。
4.齿面胶合
当齿面所受的压力很大
且润滑效果差，或压力很大
而速度很高时，由于发热大，
瞬时温度高，相啮合的齿面
发生粘联现象，此时两齿面
有相对滑动，粘接的地方被
撕裂。这叫 热胶合 。
低速重载的齿轮，油膜遭破坏
也发生胶合现象。这时齿面无
明显赠高，这种胶合叫 冷胶合。
二、计算准则
闭式 传动
软 齿面 (点蚀 ):1）按齿面接触疲劳强度设计 (先求 a)
2）然后 校核齿根弯曲 疲劳强度
硬 齿面 (断齿 ):1）按 齿根 弯曲疲劳强度设计 (先求 m )
2）然后 校核齿面 接触疲劳强度
开式 传动 (磨损 )
1）按 齿根 弯曲疲劳强度设计 (求 m )
2）然后将 ｍ增大 10％～ 15％ (磨损补偿 )
闭式高速重载 传动（ 胶合）
措施：提高 齿面硬度和光洁度；采用粘度较大的润滑
油（低速）或采用含有添加剂抗胶合性能强的润滑
油（高速）；采取散热 措施。
§ 10 圆柱齿轮传动的强度计算
1
12
d
TF
t ?
大 小
径向力 Fn
Ft
Fr
?
方 向
圆周力
主动轮与运动方向相反，
从动轮与运动方向相同。
径向力
指向各自轮心。
atgFF tr ??
一、直齿圆柱齿轮传动的受力分析
圆周力
二
斜
齿
圆
柱
齿
轮
传
动
作
用
力
分
析
法
向
力
可
分
解
为
三
个
分
力
圆
周
力
、
径
向
力
、
轴
向
力
an
?
Fn
Fa
Fr
Ft
圆周力
径向力
轴向力
112 dTF t ?
?rF
?tgFF ta ?
轴向力的判断方法
主动轮左右手方法
主动轮为右旋,握紧右手,四指弯曲方向表示主动轮的回转
方向,拇指的指向即为作用在主动轮上轴向力的方向,若主
动轮为左旋,用左手。 被动齿轮的 轴向力与 主动齿轮 的轴
向力 方向相反,
tgan
Fn
Ft
Fr
Fa
β
αn
?cos
tF
Fn
Ft
Fr
?
三、齿面接触疲劳强度计算
轮齿齿面的接触疲劳强度计算近
似以节点为准。应用弹性力
学赫兹公式并整理得：
设计公式：
验算公式：
aH
V
EHH MPu
u
bd
KKTZZZ ][12
2
1
1 ?? ?
? ?
???
mm
u
uKTKd
Hd
d
3
2
1
1
1
][
??
??
?
说明,
① 当一对齿轮的材料、传动比、齿宽系数一时，轮齿的
表面接触强度仅取决于小轮分度圆直径 d1。
② σ H1=σ H2 ; [σ H]1 ? [σ H]2→ 以较小 [σ H]值代入计算。
四、齿根 弯曲疲劳强度计算
1,力的分析
2
1
2
1
c o s6
6
bs
lF
bs
lF
W
M FnH
F
???? a?
YF为齿形系数，与压力角、齿顶
高系数、齿数有关，而与模数无关。
见 P173图 8-44。a
a
c o s)(
c o s)(6
21
m
s
m
l
Y
F
F ?
弯曲应力
2,强度计算
FH
Fnl FVs
1
Fn
aF
法向力 Fn FH = FncosaF（ 弯曲）
Fv = FnsinaF（ 压缩）
忽略
F
t Y
bm
F?
aF
d
V
FF MPmd
KKT
Y ][
2
2
1
1 ?
?
? ? ??
设计公式：
验算公式：
mmY
z
KT
Km
F
F
d
mn
3
2
1
1
][ ??
??
说明：
1） 接触应力 ?H1= ?H2,弯曲应力 ?F1??F2 （两轮分别校核）
2） 材料不同,通常 [?H1]?[?H2],[?F1]?[?F2]
计算时以 [?H]的小值及 YF/[?F]的大值代入
3） Z1??传动平稳性 ?,m? ?弯曲强度 ?
设计时：软齿面 Z1取稍大值为好 Z1=24?40
硬齿面 要求 m?，则取 Z1?17
4）齿宽系数 ?a? ? 中心距 a??结构紧凑
? b??载荷分布不均 ?易产生载荷集中 ?断齿
§ 11 圆锥齿轮传动
一、概述
用于空间两相交轴的传动,轮齿分布在一个截锥体上。
柱 ? 锥 节圆锥 基圆锥 分度圆锥 齿顶圆锥 …
以大端参数为是标准
几何尺寸计算
参见 图 8-49 及 表 8-13
二圆锥齿轮的形成
三作用力的分析
园周力
径向力
atgFF tr ? cos?1
轴向力
Fr
FtFa
1
12
m
t d
T
F ?
1s i n ?atgFF ta ?
方向,园周力方向在 主动轮 与 运动方向 相反,在
从动轮 上与 运动方向 相同 ;径向力方向垂直指向
齿轮轴线 ;轴向力方向背着锥顶 (或指向大端）
但方向相反。
小齿轮的径向力方向为大齿轮的轴向力方向；
而小齿轮的轴向力方向为大齿轮的径向力方向,
Fa1= -Fr2
Fr1= -Fa2
Ft1= -Ft2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
c o s
)90s i n (
s i n2
s i n2
?
?
?
?
?
?
tg
c t g
op
op
z
z
d
d
n
n
i
??
?
?
????
?
四,背锥及当量齿数
传动比
以 OO?为轴线,O?P为母线作
一圆锥 O?PP（称为 背锥 ）
背锥 ?展开成 扇形齿轮 ?补
足为完整后得 圆柱齿轮 （称为 当
量齿轮 ）其齿数称为 当量齿数 ZV
锥齿轮的最少齿数：
2
c o s2c o s2
1
1
1
1
1
1
1
V
V
V
mz
R
mzd
R
?
??
??
2
2
2
1
1
1
c o s
c o s
?
?
Z
Z
Z
Z
V
V
?
?
?c o sm i nm i n VZZ ?
五、直齿圆锥齿轮传动的疲劳强度计算（略）
蜗杆传动：用于传递 交错轴 之间的回转运动和动力 。
§ 12 蜗杆传动一形成原理和特点
缺点,传动效率低、成本高、发热大。
优点,传动比大、机构紧凑、传动平稳,噪声较小等。
圆柱蜗杆按其螺旋面形状分：
阿基米德蜗杆（普通）、渐开线蜗杆和延伸渐开线蜗杆
1 圆柱蜗杆 (点、线接触 )
2 环面蜗杆 (面接触 )
蜗杆：左、右旋。 常用的为右旋。
3 锥蜗杆传动
aaa ??
??
21
21
tx
tx mmm
?? ?
二蜗杆蜗轮的正确啮合条件：
主平面,通过蜗杆轴线并垂直与蜗轮轴线的平面
蜗杆齿形是 标准齿条 齿形
蜗轮齿形是渐开线 齿轮 齿
形,啮合传动类似于 齿轮
齿条啮合。
旋向相同
三蜗杆传动的主要参数和几何尺寸
1模数 m和压力角 α：
2蜗杆的分度圆直径 d和直径系数 q:
模数 m 与蜗杆分度
圆直径 d1 的 搭配
见表 8-14。
m
dq 1?
为限制蜗轮滚刀的数目,国家标准中规定一个 m
值,只对应 1?2个 (最多 4个 )标准蜗杆分度圆直径值。
a=20°, a=15°, a=12°
3.蜗杆导程角 ?
q
z
d
mz
d
mztg 1
1
1
1
1 ???
?
??
px1
?d1d1
?px1?
头数 z1 ? ?导程 角 ? ?? ??
)(1 Vtg
tg
??
??
?? V?? ? 自锁条件
通常 z1=1,2,4 与 i的荐用值见表 8-15
z2 取值范围 32 ? z2 ? 80
1
2
1
2
2
1
d
d
z
z
n
ni ???
4 传动比 i、蜗杆头数 z1和蜗轮齿数 z2
传动比大
V1
V2
Vs
5.齿面间滑动速度 Vs （ v ? 12 m/s）
smndvv s ??? co s6 0 0 0 0co s 111 ??
?c o s
12
2
2
1
VVVV
S ???
V1：蜗杆的园周速度
6、几何尺寸计算
见 P186表 8-16
V2：蜗轮的园周速度
?
?
四,蜗杆传动的失效形式、材料和结构
1.失效形式和计算准则
失效形式：胶合、点蚀、磨损 …… (发生在蜗轮齿面 )
闭式蜗杆传动
1) 齿面接触疲劳强度设计
? ?HVEH
dd
KKT
Z ??? ? ?? c o s
47.9
2
21
2
校核公式
设计公式
? ?
2
2
21
2 )(co s47.9
H
E
z
Z
Tdm
?
??
2.材料和结构
1)材料：采用 青铜或铸铁 做蜗轮齿圈与 淬硬的钢制 蜗杆
相配。 蜗杆 一般采用 碳素钢 或 合金钢 制成，要求齿面光
滑硬度较高。 蜗轮齿圈根据相对滑动 速度选择，有 锡青
铜 ZCuSn10Pb1、锡锌青铜 ZCuSn5Pb5Zn5,铸铁青
铜 ZCuAl9Mn2、铸铁等。
3) 热平衡计算 (从略）
开式蜗杆传动 齿根弯曲强度设计
2) 齿根弯曲强度校核
校核公式
设计公式
? ?FVFF zdm KKTYY ?? ?? ??
21
2
253.1
? ?F
V
F z
KKTYYdm
?
?
?
2
2
1
2 53.1?
蜗轮结构
2)结构
蜗杆轴
整体式、组合式
组合式的联接方法有,1）轮箍结构
2）螺栓联接结构
五 蜗杆传动的强度计算
一 受力分析：
蜗杆三个分力,Fr1,Ft1,Fa1
蜗轮三个分力,Fr2,Ft2,Fa2
atgFFF trr 221 ???
1121 2 dTFF at ???
2221 2 dTFF ta ???
mmNnPTiT ????? 3
2
112 109 5 5 0 ??
Ft2 Fa2
Fr2
Fa1
Ft1
Fr1
二方向的判定 径向力 的判断方法,指向各自圆心。
圆周力 的判断方法,蜗杆的园周力与运动方向相反；
蜗轮的园周力与运动方向相同。
轴向力 的判断方法,蜗杆左、右手 方法
主动轮为 右旋,握紧 右手,四指弯曲方向表示主动轮的回转方
向，拇指的指向即为作用在主动轮上 轴向力 的方向；（ 蜗轮的
转向与拇指的指向相反 ） 若主动轮为左旋，用左手。
Fa
Fa
§ 13 轮 系
一、概 述 1450 rpm
53.7 rpm1,一对齿轮传动
i12 =—— n1n2 =—— Z2Z
1
= ——d2d
1
= ———145053.7 = 27
设 d1 = 53.7mm 则 d2 = i12d1 = 27× 53.7 = 1450mm
2,多对齿轮传动 1450rpm
53.7rpm
1
2
3
4
5
6
1
2
i16= —— n1n
6
= ———— n1 n
6
n3
n2
n5
n4 = i12 i34 i56
分步传动
设,i12 = i34 = i56 = 3
则, i16 = i12 i34 i56 = 3× 3× 3 = 27
搪杆
设令 d1 = d3 = d5 = 50mm
则,d2 =i12d1= 3× 50=150mm d4=i34d3= 3× 50=150mm
3轮系 由一系列齿轮组成的传动系统,d6 =i56d5= 3× 50=150mm
3,复合轮系 (混合轮系 )
至少有一个齿轮的轴线不固
定的轮系,
二,轮系的分类
1.定轴轮系 (普通轮系 ) 2,动轴轮系 (周转轮系 )
1
2
3
4
1
2
3
41
2 3
4
1
2
3 4
2’
H
所有齿轮轴线均固定的轮系,
由定轴 — 动轴或多个动轴轮系组成的轮系,
三、轮系的应用
1,可获得大的传动比 2,可连接相距较远的两轴
3,可获得多种传动比 4,可改变从动轴转向
四、定轴轮系传动比的计算
1,i17 = —— n1n
7
= ————— n1 n
7
n3
n2
n4
n4
n6
n5 = i12 i34 i45 i67
(- )Z2Z
1
(- — )Z4Z
3
(- — )Z5Z
4
( — )Z7Z
6
=(-1)3 ——— Z2Z5Z7Z
1Z3Z6
= —
各主动轮齿数的乘积
各从动轮齿数的乘积m
k
k n
ni )1(1
1 ????
1
2
3
4
5
6
71.定轴轮系的传动比
=各对齿轮传动比的乘积 =(-1)m
各主动齿轮齿数的乘积
各从动齿轮齿数的乘积
2.首末两轮的 转向取决于外啮合的对数 (+号表示同向,-
号表示异向 )（若 首末两轮轴线不平行只能用箭头表示）
3.齿轮 4(惰轮 )不影响 i的大小,但改变了从动轮的 转向
。
(m外啮合齿轮的对数）
1
2
3
5
6
7
1
2
3
4 5
6
7
8
转向如图示
1
2
3
4
5
6
7
7531
8642
8
1
18 zzzz
zzzz
n
ni
???
?????
6
7
4
5
3
4
1
2
7
1
17
))()((
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
n
n
i
????
?
五、周转轮系的传动比计算
1.名称：
1
2 3
4
H
行星轮 —既有自转又有公转的齿轮。
系杆 H(转臂或行架 —用以支持行星轮并使其公转的支架
中心轮 (太阳轮 )--与行星轮啮合并与系杆同轴线的齿轮
2.平面周转轮系的传动比计算
n1
n2
n3
nH
-nH
n1 -nH
n2 -nH
n3 -nH
1
2 3
H
HH
1
2 3
0??? HHHH nnn
HH nnn ?? 11
HH nnn ?? 22
HH nnn ?? 33
转化轮系 ——假定系杆固定时
所得到的“定轴轮系”
给整个周转轮系加上一公共转速
,– nH”,周转轮系 ?“定 轴轮系,
1
3
21
32
3
1
3
1
13 z
z
zz
zz
nn
nn
n
ni
H
H
H
H
H ????
?
???
11
211
1,,,,,
.,,,,,
)1(
?
??
?
?
??
n
nm
Hn
H
H
n
H
H
n zz
zz
nn
nn
n
n
i
推广到一般式：
BA
BCB
CA nn
nni
?
??
AB
ACA
CB nn
nni
?
??+ =
BA
BC
nn
nn
?
?
AB
AC
nn
nn
?
?+
=
BA
BA
BA
CABC
nn
nn
nn
nnnn
?
??
?
??? =1
1?? ACBBCA ii
周转轮系传动比的 普遍公式
BA
BCB
CA nn
nni
?
??
AB
ACA
CB nn
nni
?
??
A
CB
B
CA ii ?? 1
1?? ACBBCA ii
C
B
C
AC
AB n
ni ?
C
BA
C
AB ii
1
?
11
211
1,,,,,
.,,,,,
)1(
?
??
?
?
??
n
nm
Hn
H
H
n
H
H
n zz
zz
nn
nn
n
n
i
倒数关系
角标对换和为 1
C
BA
C
A
C
B i
n
n
11
??
C
BA
i
1
?
+
F=3n-2PL-PH
=3?4–2?4-2
=2
F=3n-2PL-PH
=3?3–2?3-2
=1
这种轮系叫差动轮系 这种轮系叫行星轮系
两个中心轮都在转动 一个中心轮在转动
1
2
H
3
1
2
H
3
周传轮系的类型
a b
c d
H
已知,Za=100,Zb=101,Zc=99
Zd=100
求,iHa=？
解,iHanb=0 iHab =
?
b
aHi
1
da
cb
ZZ
ZZ
?
?
1
1
=10000
H
abi?1
1
1 0 01 0 0
991 0 1
1
1
?
?
?
?
a b
c d 若为定轴轮系
9 9 9 9.0
1 0 01 0 0
1 0 199 ?
?
??
?
??
da
bc
ab zz
zzi
0 0 0 1.11 ??? ?
ab
ba ii
η= 0.25%只能用于减速
周转轮系可获得大
传动比
已知,ｎ 1=200r/min
ｎ 3=50r/min 转向如图示
Ｚ １ =15,Ｚ ２ ＝ 25,Ｚ ２ '=20，
Ｚ ３ ＝ 60。
求,行星架Ｈ的转速 nH=？
解：如果ｎ 1为正,则 n3为负
H
H
n
n
??
?
50
2 0 0
nH=-833r/min
nH
? ?
21
3211
?
??
ZZ
ZZ
H
HH
nn
nn
I
?
?
?
3
1
13
2015
6025
?
???
方向如图示
已知：如图示的手动葫芦
中 Z1=12,Z2=28，
Z2’=14,Z3=54。
求,iSH=？
n3=0 i
1H3
=1- i13H= 1-（ -
)
21
32
??
?
ZZ
ZZ
=1-（ -
1412
5428
?
? ） =1-（ -9）
=10
解,iSH= i1H
所以手动葫芦省力，但不省功。
已知,Za=18,Zb=90,Zc=36，
Zd=33,Ze=87
求,iae =？
解,iaeab
c d
e
H
b
eHi
1
nb=0
=
H
eb
H
ab
i
i
?
?
1
1 =
3687
9033
1
18
90
1
?
?
?
? =116
iaeb iaHb。 iHeb
=
ce
bd
a
b
ZZ
ZZ
Z
Z
?
??
1
)(1
搭桥
=（ 1-iabH）
H
ebi?1
1=（ 1-iab
H）
已知,Z1为输入齿轮转向如图示，为使 ll轴上的轴
向力尽可能小
求：（ 1）齿轮 3与 4的旋向和转向？
（ 2）在图上标明齿轮 2与齿轮 4的受力方向。
Fa2
Fa3
Ft2 Fr2
Fa2
Ft4
Fr4
Fa4
l
Z1
Z2
Z3
Z4
ll
lll
已知：一对锥齿轮与蜗轮蜗杆传动,Z1的转向如图示，
求：（ 1）定出蜗杆和蜗轮的合理旋向及蜗轮的转向。
（ 2）绘出主动锥齿轮和蜗轮的受力方向
Fa2
Fa3Ft1Z1 Fr1
Fa1
Z2
n4
Ft4
Fr4
Fa4
1
2
3
4
2
3
4
1
一对斜齿轮与蜗杆传动关系如图
所示,已知主动斜齿轮 1为 左旋齿
轮 转动方向如图示,画出齿轮 1、
齿轮 2、蜗杆 3(要求中间轴轴向
力较小 )、蜗轮 4的螺旋方向,以
及齿轮 2、蜗杆 3、蜗轮 4的转动
方向 ;画出各轮接触点处的圆周
力 Ft、轴向力 Fa和径向力 Fr。
Fa1
Fa2
Fa3Fa
4
Fr1
Fr2
Fr3
Fr4
Ft1
Ft2
Ft3
Ft4
已知：一对斜齿轮和蜗轮、蜗杆传动。 Z1的转
向如图示转向为左旋。画出 1）若使中间轴受力
最小，蜗轮的转向和蜗杆、蜗轮旋向 。 2）画
出 Z2和蜗杆传动的受力图。
Z1
Z2
Fa2
Fa3Ft2
Fr2
Fa2
Ft4
Fa4
Fr4
Ft3Fa3
Fa1
