第四章 时间序列分析第一节 时间序列的对比分析第二节 时间序列的趋势分析第三节 季节变动分析第四节 循环波动分析第一节 时间序列的对比分析一,时间序列及其分类二,时间序列的水平分析三,时间序列的速度分析时间序列及其分类时间序列
(概念要点 )
1.同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列
2.形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成
3.排列的时间可以是年份,季度,月份或其他任何时间形式时间序列
（算例）
表 4- 1 国内生产总值等时间序列年 份 国内生产总值 (亿元 ) 年末总人口 (万人 ) 人口自然增长率 (‰) 居民消费水平 (元 )
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
18547.9
21617.8
26638.1
34634.4
46759.4
58478.1
67884.6
74772.4
79552.8
114333
115823
117171
118517
119850
121121
122389
123626
124810
14.39
12.98
11.60
11.45
11.21
10.55
10.42
10.06
9.53
803
896
1070
1331
1781
2311
2726
2944
3094
时间序列的分类时间序列平均数序列绝对数序列 相对数序列时期序列 时点序列时间序列的分类
1,绝对数时间序列
一系列绝对数按时间顺序排列而成
时间序列中最基本的表现形式
反映现象在不同时间上所达到的绝对水平
分为 时期序列 和 时点序列
时期序列：现象在一段时期内总量的排序
时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的排序
2,相对数时间序列一系列相对数按时间顺序排列而成
3,平均数时间序列一系列平均数按时间顺序排列而成时间序列的编制原则
(概念要点 )
1,时间长短要一致
2,总体范围要一致
3,指标内容 要 一致
4,计算方法和口径 要 一致
,一致性,
时间序列的水平分析发展水平平均发展水平增长量平均增长量发展水平与平均发展水平
（概念要点）
1,发展水平
现象在不同时间上的观察值
说明现象在某一时间上所达到的水平
表示为 Y1,Y2,…,Yn 或 Y0,Y1,Y2,…,Yn
2,平均发展水平
现象在不同时间上取值的平均数，又称 序时平均数
说明 现象在一段时期内所达到的一般水平
不同类型的时间序列有不同的计算方法绝对数序列的序时平均数
（计算步骤）
首先，判断所要计算的绝对数序列的类型。
其次，根据不同序列的类型选择不同的计算方法。
绝对数序列时期序列时点序列连续时点序列间隔不等的时点序列间隔相等的时点序列绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
计算公式：
【 例 4.1】 根据表 4.1中的国内生产总值序列,计算各年度的平均国内生产总值
时期序列
n
Y
n
YYY
Y
n
i
i
n
121?
（亿元）94.4 7 6 5 3
9
5.4 2 8 8 8 51
n
Y
Y
n
i
i
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
连续时点序列通常将逐日排列的时点数据视为连续时点序列，
可采用简单算术平均数法，计算公式：
n
Y
n
YYY
Y
n
i
i
n
121?
例如：已知某企业一个月内每天的工人人数，要计算该月内每天平均工人人数，可将每天的工人人数相加，除以该月的日历日数即可。
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
间隔不等的时点序列
Y1 Y2 Y3 YnY4 Yn-1
T1 T2 T3 Tn-1
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
计算步骤
1,计算出两个点值之间的平均数
2,用相隔的时间长度 (Ti ) 加权计算总的平均数
1
1
1
1
2
32
1
21
222
n
i
i
n
nn
T
T
YY
T
YY
T
YY
Y
222
1
1
32
2
21
1
nn
n
YYYYYYYYY
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
当 间隔相等 (T1 = T2= … = Tn-1)时，有
间隔相等的时点序列
1
22 12
1
n
Y
YY
Y
Y
n
n?
Y1 Y2 Y3 YnYn-1
时间间隔不等的时点序列的序时平均数的计算 （实例）
表 4- 2 某种股票 2004年各统计时点的收盘价统计时点 1月 1日 3月 1日 7月 1日 10月 1日 12月 31日收盘价 (元 ) 15.2 14.2 17.6 16.3 15.8
（元）0.16
3342
3
2
8.153.16
3
2
3.166.17
4
2
6.172.14
2
2
2.142.15
Y
【 例 4.1】 设某种股票 2004年各统计时点的收盘价如表 4-2,计算该股票 2004年的年平均价格时间间隔相等的时点序列的序时平均数 （实例）
【 例 4.2】 根据表 4-1中年末总人口数序列
，计算 1991～ 1998年间的年平均人口数
（万人）56.119758
19
2
124810
123626115823
2
114333
Y
相对数序列的序时平均数
（计算方法）
1,先分别求出构成相对数或平均数的分子 ai
和分母 bi 的平均数
2,再进行对比，即得相对数或平均数序列的序时平均数
3,基本公式为：
b
aY?
相对数序列的序时平均数
（计算方法与实例）
【 例 4.3】 已知 1994~1998年我国的国内生产总值及构成数据如表 4-3。 计算 1994~1998年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重表 4- 3 我国国内生产总值及其构成数据年 份 1994 1995 1996 1997 1998
国内生产总值 (亿元 )
其中 ∶ 第三产业 (亿元 )
比重 (%)
46759.4
14930.0
31.9
58478.1
17947.2
30.7
67884.6
20427.5
30.1
74772.4
24033.3
32.1
79552.8
26104.3
32.8
相对数序列的序时平均数
（计算结果）
解,1）第三产业国内生产总值的平均数
2）全部国内生产总值的平均数
3）第三产业国内生产总值所占平均比重
（亿元）46.20688
5
3.1034421
n
a
a
n
i
i
（亿元）46.65489
5
3.3274471
n
b
b
n
i
i
%59.31%10046.65489 46.20688 baY
增长量
（概念要点）
1,报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察期内增长的绝对数量
2,分为逐期增长量与累积增长量
逐期增长量
报告期水平与前一期水平之差
计算公式为,Δi=Yi-Yi-1 (i =1,2,…,n)
累积增长量
报告期水平与某一固定时期水平之差
计算公式为,Δi=Yi-Y0 (i=1,2,…,n)
3,各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量平均增长量
（概念要点）
1,观察期内各逐期增长量的平均数
2,描述现象在观察期内平均增长的数量
3,计算公式为
1?
观察值个数累积增长量逐期增长量个数逐期增长量之和平均增长量时间序列的速度分析发展速度平均发展速度增长速度平均增长速度发展速度
（概念要点）
1,报告期水平与基期水平之比
2,说明现象在观察期内相对的发展变化程度
3,有环比发展速度与定期发展速度之分环比发展速度与定基发展速度
（概念要点）
1,环比发展速度
报告期水平与前一期水平之比
),,2,1(
1
niY YR
i
i
i
),,2,1(
0
ni
Y
YR i
i
2,定基发展速度
报告期水平与某一固定时期水平之比环比发展速度与定基发展速度
（关系）
1,观察期内各环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度
2,两个相邻的定基发展速度,用后者除以前者,
等于相应的环比发展速度
10
in
i
YY
YY?
10
1
0?
i
iii
Y
Y
Y
Y
Y
Y
增长速度
（概念要点）
1,增长量与基期水平之比
2,又称增长率
3,说明现象的相对增长程度
4,有环比增长速度与定基增长速度之分
5,计算公式为
1
发展速度基期水平基期水平报告期水平基期水平增长量增长速度环比增长速度与定基增长速度
（概念要点）
环比增长速度
报告期水平与前一时期水平之比
),,2,1(1
11
1 ni
Y
Y
Y
YYG
i
i
i
ii
i
),,2,1(1
00
0 ni
Y
Y
Y
YYG ii
i
定基增长速度
报告期水平与某一固定时期水平之比发展速度与增长速度的计算
（算例）
表 4- 4 第三产业国内生产总值速度计算表年 份 1994 1995 1996 1997 1998
国内生产总值 (亿元 ) 14930.0 17947.2 20427.5 24033.3 26104,3
发展速度
(%)
环比定基
—
100
120.2
120.2
113.8
136.8
117.7
161.0
108.6
174.8
增长速度
(%)
环比定基
—
0
20.2
20.2
13.8
36.8
17.7
61.0
8.6
74.8
【 例 4.4】 根据表 4-1中第三产业国内生产总值序列,
计算各年的环比发展速度和增长速度,及以 1994年为基期的定基发展速度和增长速度平均发展速度
（概念要点）
1,观察期内各环比发展速度的平均数
2,说明现象在整个观察期内平均发展变化的程度
3,通常采用几何法 (水平法 )计算
4,计算公式为：
),,2,1(
0
111
2
0
1
ni
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
R
n
n
n
i
i
n
n
n
平均发展速度与平均增长速度
（算例）
平均发展速度
平均增长率
【 例 4.5】 根据表 4.4中的有关数据,计算 1994～ 1998
年间我国第三产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增长率
%99.114
0.14930
3.26104
%6.108%7.117%8.113%2.120
4
4
1
n
i
i
Y
Y
R
%99.141%99.1 1 41 RG
1,从最初水平 Y0出发,每期按平均发展速度发展,经过 n期后将达到最末期水平 Yn,；按平均发展速度推算的最后一期的数值与最后一期的实际观察值一致 。
2,只与序列的最初观察值 Y0和最末观察值 Yn有关 。
3,如果关心现象在最后一期应达到的水平,采用水平法计算平均发展速度比较合适 。
平均发展速度 — 几何平均法平均发展速度 — 几何平均法
10
2
2 1 0
3
30
a a R
a a R a R
a a R
：,,
：,,
0
0
nn n
nn
a
a a R R
a
公式推导：
10
2
2 1 0
3
30
a a R
a a R a R
a a R
：,,
：,,
00
0
nn
i
n i
a a R a R
a
R
a
平均发展速度 — 累计法公式推导：
几何平均法与累计法计算平均发展速度的应用
两中方法的数理依据、计算方法和应用条件不同
几何平均法侧重从最末水平出发进行研究，按其所确定的平均发展速度推算的最末一年发展水平，与实际资料最末一年的发展水平相同
累计法侧重从各年发展水平的累计总和出发进行研究，
按其所确定的平均发展速度推算的全期各年发展水平的总和，与全期各年的实际发展水平的总和相同。
我国指定国民经济发展长期计划，也有两种规定指标数值的方法：
1、以长期计划的最后一年应达水平规定的指标，如人口数,GDP,工业主要产品产量、社会消费品零售总额等，其计算平均发展速度时采用几何平均法。
2、以整个计划期应达累计数来规定的指标，如固定资产投资等，计算平均发展速度时采用累计发。
速度指标的分析与应用
（需要注意的问题）
1,当时间序列中的观察值出现 0或负数时,不宜计算速度例如：假定某企业连续五年的利润额分别为 5、
2,0,-3,2万元,对这一序列计算速度,在这种情况下,适宜直接用绝对数指标进行分析
1,在有些情况下,不能单纯就速度论速度,要注意速度与水平指标的结合分析速度指标的分析与应用
（算例）
表 4- 5 甲、乙两个企业的有关资料年 份 甲 企 业 乙 企 业利润额 (万元 ) 增长率 (%) 利润额 (万元 ) 增长率 (%)
2003 500 — 60 —
2004 600 20 84 40
【 例 4.6】 假定有两个生产条件基本相同的企业，
各年的利润额及有关的速度值如表 4-5
速度高可能掩盖低水平，低速度可能隐藏着高水平，因此要结合基期水平进行分析 。
增长 1%绝对值一个既考察速度又兼顾水平的指标
1,速度每增长一个百分点而增加的绝对量
2,用于弥补速度分析中的局限性
3,计算公式为甲企业增长 1%绝对值＝ 500/100＝ 5万元乙企业增长 1%绝对值＝ 60/100＝ 0.6万元
100100%1
前期水平环比增长速度逐期增长量绝对值＝增长?
11
1
100( 1 ) 1 0 0
i i i
i
i
a a a
a
a
第二节 时间序列的趋势分析一,时间序列的构成要素与模型二,线性趋势三,非线性趋势四,趋势线的选择时间序列的构成要素与模型
（构成要素与测定方法）
线性趋势时间序列的构成要素循环波动季节 变动长期趋势剩余法移动平均法移动中位数法线性模型法不规则波动非线性趋势趋势剔出法按月 (季 )平均法
Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线
Logistic曲线时间序列的构成要素与模型
（要点）
构成因素
长期趋势 (Secular trend )
季节变动 (Seasonal Fluctuation )
循环波动 (Cyclical Movement )
不规则波动 (Irregular Variations )
模型
乘法模型,Yi = Ti × Si × Ci × Ii
加法模型,Yi = Ti + Si + Ci + Ii
长期趋势
（概念要点）
1,现象在一段相当长的时期内所表现的沿着某一方向的持续发展变化 。
2,长期趋势可能呈现出不断向上增长的状态,也可能为不断降低的趋势 。
3,长期趋势是受某种固定的起根本性作用的因素影响的结果 。
4,长期趋势有线性趋势和非线性趋势 。
线性趋势线性趋势
1,现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律
2,测定方法有
时距扩大法
移动平均法
移动中位数法
线性模型法移动平均法
(Moving Average Method)
1,测定长期趋势的一种较简单的常用方法
通过扩大原时间序列的时间间隔,并按一定的间隔长度逐期移动,计算出一系列移动平均数
由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用,从而呈现出现象发展的变动趋势
2,移动步长为 K(1<K<n)的移动平均序列为
K
YYYY iKii
i
11
移动平均法
(实例 )
表 4- 6 1981～ 1998年我国汽车产量数据年 份 产量 (万辆 ) 年份 产量 (万辆 )
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
【 例 4.7】 已知 1981
～ 1998年我汽车产量数据如表 4 -6。
分别计算三年和五年移动平均趋势值
,以及三项和五项移动中位数,并作图与原序列比较
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
---
20.39
25.08
33.11
37.45
42.63
49.54
56.67
58.07
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
60.39
76.50
102.65
124.4
137.27
143.16
150.35
156.26
---
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
---
移动平均趋势值 年 份
---
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
移动中位数产量
（万辆）
移动平均趋势值移动中位数年 份产量
（万辆）
表 4- 7 汽车产量三项移动趋势值移动平均法
(实例 )
移动平均法
(趋势图 )
0
50
100
150
200
1981 1985 1989 1993 1997
产量五项移动平均趋势值五项移动中位数汽车产量
（万辆）
图 4-1 汽车产量移动平均趋势图
（年份）
移动平均法
(应注意的问题 )
1,移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置
对于偶数项移动平均需要进行,正位,
2,移动间隔的长度应长短适中
如果现象的发展具有一定的周期性,应以周期长度作为移动间隔的长度
若时间序列是季度资料,应采用 4项移动平均
若为月份资料,应采用 12项移动平均线性模型法
（概念要点与基本形式）
1,现象的发展按线性趋势变化时,可用线性模型表示
2,线性模型的形式为
btaY t
— 时间序列的趋势值
t —时间标号
a—趋势线在 Y轴上的截距
b—趋势线的斜率,表示时间 t 变动一个单位时观察值的平均变动数量
tY?
线性模型法
（ a 和 b 的最小二乘估计）
1,趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二乘法 (Least-square Method） 求得
根据回归分析中的最小二乘法原理
使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小
最小二乘法既可以配合趋势直线,也可用于配合趋势曲线
2,根据趋势线计算出各个时期的趋势值线性模型法
（ a和 b的最小二乘估计）
1,根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为
2,取时间序列的中间时期为原点时有?t=0，
上式可化简为
2tbtatY
tbnaY 解得,
tbYa
ttn
YttYn
b
22
2tbtY
naY 解得：
2t
tY
b
Ya
线性模型法
(实例及计算过程 )
【 例 4.8】 利用表
4-6中的数据,根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程,计算出 1981～ 1998
年各年汽车产量的趋势值,并预测 2000年的汽车产量,作图与原序列比较表 4- 8 汽车产量直线趋势计算表年份 时间标号 t 产量 (万辆 ) Yi t× Yt t2 趋势值
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
17.56
39.26
71.94
126.56
218.60
221.88
330.26
515.76
525.15
514.00
785.62
1280.04
1688.05
1913.66
2179.05
2360.32
2690.25
2934.00
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
0.00
9.50
19.00
28.50
38.00
47.50
57.00
66.50
76.00
85.50
95.00
104.51
114.01
123.51
133.01
142.51
152.01
161.51
合计 171 1453.58 18411.96 2109 1453.58
线性模型法 （计算结果）
根据上表得 a 和 b 结果如下汽车产量的直线趋势方程为
$Yt = -9.4995 + 9.5004 t
$Y2000= -9.4995 + 9.5004 × 20 = 180.51 ( 万辆 )
Y2001= -9.4995 + 9.5004 × 21 = 190.01 ( 万辆 )
Y2002= -9.4995 + 9.5004 × 22 = 199.51 ( 万辆 )
2000,2001,2002年汽车产量的预测值为：
49 9 5.9
18
171
50 0 4.9
18
58.14 5 3
50 0 4.9
17121 0 918
58.14 5 317196.18 4 1118
2
a
b
线性模型法
(趋势图 )
0
50
100
150
200
1981 1985 1989 1993 1997
汽车产量趋势值图 4-2 汽车产量直线趋势
（年份）
汽车产量
（万辆）
非线性趋势
1,现象的发展趋势为抛物线形态
2,一般形式为二次曲线
(Second Degree Curve)
a,b,c 为未知常数
根据最小二乘法求得
2? ctbtaY
t
二次曲线
(Second Degree Curve)
2,取时间序列的中间时期为原点时有
4322
32
2
tctbtaYt
tctbtatY
tctbnaY
422
2
2
tctaYt
tbtY
tcnaY
1,根据最小二乘法得到求解 a,b,c 的标准方程为二次曲线
(实例 )
【 例 4.9】 已知我国 1978～ 1992年针织内衣零售量数据如表 11-9。
试配合二次曲线,
计 算出 1 9 7 8 ～
1992年零售量的趋势值,并预测
1993年的零售量,
作图与原序列比较表 4- 9 1978～ 1992年针织内衣零售量年 份 零售量 (亿件 ) 年 份 零售量 (亿件 )
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
7.0
9.1
9.7
10.8
11.7
12.1
13.1
14.3
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
14.4
14.8
15.0
12.3
11.2
9.4
8.9
二次曲线
(计算过程 )
表 4-10 针织内衣零售量二次曲线计算表年份 时间标号 t 零售量 (亿件 ) Yt t× Yt t 2 t 2Y t t4 趋势值
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
7.0
9.1
9.7
10.8
11.7
12.1
13.1
14.3
14.4
14.8
15.0
12.3
11.2
9.4
8.9
-49.0
-54.6
-48.5
-43.2
-35.1
-24.2
-13.1
0
14.4
29.6
45.0
49.2
56.0
56.4
62.3
49
36
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
36
49
343.0
327.6
242.5
172.8
105.3
48.4
13.1
0
14.4
59.2
135.0
196.8
280.0
338.4
436.1
2401
1296
625
256
81
16
1
0
1
16
81
256
625
1296
2401
6.5
8.4
10.0
11.3
12.3
13.2
13.7
14.0
14.0
13.8
13.3
12.6
11.6
10.3
8.8
合计 0 173.8 45.2 280 2712.6 9352 173.8
二次曲线
（计算结果）
根据计算表得 a,b,c 的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为
$Yt = 13.9924 + 0.16143 t – 0.128878 t2
$Y1993= 13.9924 + 0.16143 × 8 – 0.128878 × 82
= 7.03 ( 亿件 )
1993年零售量的预测值为
1 2 8 8 7 8.0
1 6 1 4 3.0
9 9 2 4.13
9 3 5 22806.2 7 1 2
2802.45
280158.173
c
b
a
ca
b
ca
二次曲线
(趋势图 )
0
4
8
12
16
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
零售量趋势值零售量
（亿件）
图 4-3 针织内衣零售量二次曲线趋势
（年份）
1,用于描述以几何级数递增或递减的现象
2,一般形式为指数曲线
(Exponential curve)
a,b为未知常数
若 b>1,增长率随着时间 t的增加而增加
若 b<1,增长率随着时间 t的增加而降低
若 a>0,b<1,趋势值逐渐降低到以 0为极限
tt abY
指数曲线
(a,b 的求解方法 )
3,取时间序列的中间时期为原点,上式可化简为
2lglglg
lglglg
tbtaYt
tbanY
2lglg
lglg
tbYt
anY
1,采取,线性化,手段将其化为对数直线形式
2,根据最小二乘法,得到求解 lga,lgb 的标准方程为指数曲线
(实例及计算结果 )
【 例 4.10】 根据表 4-6中的资料,确定 1981～ 1998年我国汽车产量的指数曲线方程,求出各年汽车产量的趋势值,并预测 2000年的汽车产量,作图与原序列比较
1 4 6 9 8.1
2 8 0 5.17
lg2 1 0 9lg1712 2 3 2 8 6.337
lg171lg184 5 9 8 9 6.32
b
a
ba
ba
汽车产量的指数曲线方程为
2000年汽车产量的预测值为
ttY )14698.1(2805.17
（万辆）33.268)14698.1(2805.17? 202000Y
指数曲线
(趋势图 )
0
50
100
150
200
250
1981 1985 1989 1993 1997
汽车产量趋势值图 4-4 汽车产量指数曲线趋势 （年份）
汽车产量
（万辆）
指数曲线与直线的比较
1,比一般的趋势直线有着更广泛的应用
2,可以反应出现象的相对发展变化程度
上例中,b=1.14698表示 1981～ 1998年汽车产量趋势值的平均发展速度
3,不同序列的指数曲线可以进行比较
比较分析相对增长程度
1,在一般指数曲线的基础上增加一个常数 K
2,一般形式为修正指数曲线
(Modified exponential curve)
K,a,b为未知常数
K > 0,a≠ 0,0 < b ≠ 1
3,修正指数曲线用于描述的现象：初期增长迅速,随后增长率逐渐降低,最终则以 K为增长极限
tt abKY
修正指数曲线
(求解 k,a,b 的三和法 )
1,趋势值 K无法事先确定时采用
2,将时间序列观察值等分为三个部分,每部分有 m个时期
3,令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和修正指数曲线
(求解 k,a,b 的三和法 )
2,根据三和法求得
1,设观察值的三个局部总和分别为 S1,S2,S3
m
mt
t
m
mt
t
m
t
t YSYSYS
3
12
3
2
1
2
1
1,,
1
11
1
1
1
212
1
12
23
b
bab
S
m
K
bb
b
SSa
SS
SS
b
m
m
m
修正指数曲线
(实例 )
【 例 4.11】 已 知
1978~1995年我国小麦单位面积产量的数据如表 11-
12。 试确定小麦单位面积产量的修正指数曲线方程,求出各年单位面积产量的趋势值,并预测
2000年的小麦单位面积产量,作图与原序列比较表 4- 11 1978～ 1995年小麦单位面积产量数据年 份 单位面积产量 (公斤 /公顷 ) 年 份 单位面积产量 (公斤 /公顷 )
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1845
2145
1890
2115
2445
2805
2970
2940
3045
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
2985
2970
3045
3195
3105
3331
3519
3426
3542
修正指数曲线
（计算结果）
解得 K,a,b 如下
149.3659
187 83 6.0
187 83 6.087 83 6.0531.2230
13 24 5
6
1
531.2230
187 83 6.087 83 6.0
187 83 6.0
13 24 517 95 5
87 83 6.0
13 24 517 95 5
17 95 520 11 8
6
2
6
6
1
K
a
b
修正指数曲线
（计算结果）
小麦单位面积产量的修正指数曲线方程为
$Yt = 3659.149 – 2230.531?( 0.87836 ) t
2000年小麦单位面积产量的预测值为
$Y2000 = 3659.149 – 2230.531?( 0.87836 ) 23
= 3546.20 (kg)
修正指数曲线
(趋势图 )
0
1000
2000
3000
4000
1978 1982 1986 1990 1994
单位面积产量趋势值K
图 4-5 小麦单位面积产量修正指数曲线趋势
（年份）
产单位面积量 （
公斤
/
公顷 ）
K=3659.149
1,以英国统计学家和数学家 B·Gompertz 而命名
2,一般形式为
K,a,b为未知常数
K > 0,0 < a ≠ 1,0 < b ≠ 1
龚铂茨曲线
(Gompertz curve)
3,所描述的现象：初期增长缓慢,以后逐渐加快,当达到一定程度后,增长率又逐渐下降,最后接近一条水平线
4,两端都有渐近线,上渐近线为 Y?K,下渐近线为 Y=?
0
tb
t KaY
1,将其改写为对数形式
Gompertz曲线
(求解 k,a,b 的三和法 )
2,仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出 lg a,lg K,b
3,取 lg a,lg K 的反对数求得 a 和 K
令：
则 有：
a
b
bb
S
m
K
bb
b
SSa
SS
SS
b
m
m
m
lg
1
11
lg
1
1
lg
1
212
1
12
23
m
mt
t
m
mt
t
m
t
t YSYSYS
3
12
3
2
1
2
1
1 lg,lg,lg
tt baKY )( lglg?lg
Gompertz曲线
(实例 )
【 例 4.12】 根据表 4-11的数据
,试确定小麦单位面积产量的
Gompertz曲线方程,求出各年单位面积产量的趋势值,并预测 2000年的小麦单位面积产量
,作图与原序列比较
Gompertz曲线
（计算结果）
04.3566
371750.0
1842563.0
1842563.0842563.0
035408.20
6
1
l og
427864.0
1842563.0842563.0
1842563.0
035408.20855979.20l og
842563.0
035408.20855979.20
855979.20149562.21
6
2
6
6
1
K
K
a
a
b
Gompertz曲线
（计算结果）
小麦单位面积产量的 Gompertz 曲线方程为
2000年小麦单位面积产量的预测值为
t
tY 8 4 2 5 6 3.0)4 2 7 8 6 4.0(04.3 5 6 6
)kg(3507)427864.0(04.3566? 23842563.02000 tY
Gompertz曲线
(趋势图 )
0
1000
2000
3000
4000
1978 1982 1986 1990 1994
单位面积产量趋势值K
K=3566.04
图 4-6 小麦单位面积产量 Gompertz曲线趋势
（年份）
（
公斤
/
公顷 ）
罗吉斯蒂曲线
(Logistic Curve)
K,a,b为未知常数
K > 0,a > 0,0 < b ≠1
1,1838年比利时数学家 Verhulst所确定的名称
2,该曲线所描述的现象的特征与 Gompertz曲线类似
3,其曲线方程为
tt abKY
1?
Logistic 曲线
(求解 k,a,b 的三和法 )
1,取观察值 Yt的倒数 Yt-1
当 Yt-1 很小时,可乘以 10 的适当次方
2,a,b,K 的求解方程为
1
11
1
1
1
212
1
12
23
b
bab
S
m
K
bb
b
SSa
SS
SS
b
m
m
m
趋势线的选择
1,观察散点图
2,根据观察数据本身,按以下标准选择趋势线
一次差大体相同,配合直线
二次差大体相同,配合二次曲线
对数的一次差大体相同,配合指数曲线
一次差的环比值大体相同,配合修正指数曲线
对数一次差的环比值大体相同,配合 Gompertz 曲线
倒数一次差的环比值大体相同,配合 Logistic曲线
比较估计标准误差
mn
yyS ii
y?
2)(
第三节 季节变动分析
季节变动及其测定目的二,季节变动的分析方法与原理三,季节变动的调整季节变动及其测定目的
1,季节变动
现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动；
各年变化强度大体相同,且每年重现；
扩展概念：对一年内由于社会,政治,经济,自然因素影响,形成的以一定时期为周期的有规则的重复变动；
时间序列的又一个主要构成要素 。
2,测定目的
确定现象过去的季节变化规律
消除时间序列中的季节因素季节变动的分析原理
1,将季节变动规律归纳为一种典型的季节模型；
2,季节模型由季节指数所组成；
3,季节指数的平均数等于 100%；
4,根据季节指数与其平均数 (100%)的偏差程度测定季节变动的程度 。
如果现象没有季节变动,各期的季节指数等于 100%
如果某一月份或季度有明显的季节变化,各期的季节指数应大于或小于 100%
季节变动的分析原理 （ 季节模型）
季节模型
时间序列在各年中所呈现出的典型状态,这种状态年复一年以相同的形态出现
由季节指数组成,各指数刻划了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征
以各个指数的平均数等于 100%为条件而构成
如果分析的是月份数据,季节模型就由 12个指数组成；若为季度数据,则由 4个指数组成季节变动的分析原理 （ 季节指数）
季节指数
1,反映季节变动的相对数
2,以全年月或季资料的平均数为基础计算的
3,平均数等于 100%
月 (或季 )的指数之和等于 1200%(或 400%)
4,指数越远离其平均数 (100%)季节变动程度越大
5,计算方法有同期平均法和趋势剔出法同期平均法
(原理和步骤 )
1,根据原时间序列通过简单平均计算季节指数
2,假定时间序列没有明显的长期趋势和循环波动
3,计算季节指数的步骤
计算同期 （ 同月或同季 )的平均数
计算全部数据的总月 (总季 )平均数
计算季节指数 (S)
%100)( )()( 平均数季总月 平均数季同月季节指数 S
同期平均法
(实例 )
【 例 4,1 3】
已 知 我 国
1978～ 1983
年 各 季 度 的农 业 生 产 资料 零 售 额 数据如表 11.15
。 试 用 按 季平 均 法 计 算各 季 的 季 节指数表 4-12 1978～ 1983年各季度农业生产资料零售额数据年 份销售额 (亿元 )
一季度 二季度 三季度 四季度
1978
1979
1980
1981
1982
1983
62.6
71.5
74.8
75.9
85.2
86.5
88.0
95.3
106.3
106.0
117.6
131.1
79.1
88.5
96.4
95.7
107.3
115.4
64.0
68.7
68.5
69.9
78.4
90.3
按月 (季 )平均法
(计算表 )
表 4- 13 农业生产资料零售额季节指数计算表年 份销售额 (亿元 )
一季度 二季度 三季度 四季度 全年合计
1978
1979
1980
1981
1982
1983
62.6
71.5
74.8
75.9
85.2
86.5
88.0
95.3
106.3
106.0
117.6
131.1
79.1
88.5
96.4
95.7
107.3
115.4
64.0
68.7
68.5
69.9
78.4
90.3
293.7
324.0
346.0
347.5
388.5
423.3
合计 456.5 644.3 582.4 439.8 2123.0
同季平均 76.08 107.38 97.07 73.30 88.46
季节指数 (%) 86.01 121.39 109.73 82.86 100.00
趋势剔除法
(原理和步骤 )
1,先将时间序列中的长期趋势予以消除，再计算季节指数 。
2,计算季节指数的步骤：
1） 计算移动平均趋势值 (T)
2） 从序列中剔出趋势值 (Y/T)
3） 按前述方法计算季节指数 (S)
年 / 份
1978.1
1978.2
1978.3
1978.4
1979.1
1979.2
1979.3
1979.4
1980.1
1980.2
1980.3
1980.4
1981.1
1981.2
1981.3
1981.4
1982.1
1982.2
1982.3
1982.4
1983.1
1983.2
1983.3
1983.4
62.6
88.0
79.1
64.0
71.5
95.3
88.5
68.7
74.8
106.3
96.4
68.5
75.9
106.0
95.7
69.9
85.2
117.6
107.3
78.4
86.5
131.1
115.4
90.3
--
--
74.54
76.56
78.65
80.41
81.41
83.20
85.56
86.53
86.64
86.74
86.61
86.70
88.04
90.65
93.55
96.06
97.29
99.14
101.84
104.34
--
--
--
--
106.12
83.59
90.91
118.51
108.71
82.57
87.42
112.85
111.27
78.97
87.63
122.26
108.70
77.11
91.07
122.42
110.29
79.08
84.94
125.65
--
--
零售额 (万元 )Y 趋势值 (万元 )T Y/T (%)
表 4- 14 农业生产资料零售季节指数计算表 趋势剔除法
(
续前例
：
趋势剔除计算表)
趋势剔除法
(季节指数计算表 )
表 4- 15 农业生产资料零售额季节指数计算表年 份销售额 (亿元 )
一季度 二季度 三季度 四季度 全年合计
1978
1979
1980
1981
1982
1983
—
90.91
87.42
87.63
91.07
84.94
—
118.51
122.85
122.26
122.42
125.65
106.12
108.71
111.27
108.70
110.29
—
83.59
82.57
78.97
77.11
79.08
—
合计 441.98 611.70 545.09 401.33 2000.10
同季平均 88.40 122.34 109.02 80.27 100.005
季节指数 (%) 88.39 122.33 109.01 80.26 100.00
季节变动
0
50
100
150
1 2 3 4
图 4-7 农业生产资料零售额季节变动
（季度）
季节指数
（ %）
季节变动的调整
(要点和公式 )
1,将季节变动其从时间序列中予以剔除，以便观察和分析时间序列的其他特征
2,消除季节变动的方法是将原时间序列除以相应的季节指数，计算公式为
Y
S =
T× S × C× I
S = T× C× I
季节变动的调整
(趋势图 )
0
30
60
90
120
150
销售额（ Y）
调整后的销售额（ Y/S）
调整后的趋势值销售额
（亿元）
图 4-8 季节调整后的生产资料销售额趋势
（年份）
第四节 循环波动分析一,循环波动及其测定目的二,循环波动的分析方法循环波动
(概念和测定目的 )
1,近乎规律性的从低至高再从高至低的周而复始的变动
2,不同于趋势变动,它不是朝着单一方向的持续运动,而是涨落相间的交替波动
3,不同于季节变动,其变化无固定规律,变动周期多在一年以上,且周期长短不一
4,目的是探索现象活动的规律性循环波动
(测定方法 )
1,采用 剩余法
2,具体计算步骤为
先消去趋势值,求得无长期趋势数据资料
再 消去 季节变动,求得循环及不规则波动相对数
将结果进行移动平均 (MA),以消除不规则波动,即得循环波动值
C = MA ( C × I )
年 / 份
1978.1
1978.2
1978.3
1978.4
1979.1
1979.2
1979.3
1979.4
1980.1
1980.2
1980.3
1980.4
1981.1
1981.2
1981.3
1981.4
1982.1
1982.2
1982.3
1982.4
1983.1
1983.2
1983.3
1983.4
62.6
88.0
79.1
64.0
71.5
95.3
88.5
68.7
74.8
106.3
96.4
68.5
75.9
106.0
95.7
69.9
85.2
117.6
107.3
78.4
86.5
131.1
115.4
90.3
71.89
73.04
74.18
75.33
76.48
77.63
78.78
79.92
81.07
82.22
83.37
84.52
85.66
86.81
87.96
89.11
90.26
91.40
92.55
93.70
94.85
96.00
97.14
98.29
--
98.27
100.72
103.14
103.99
103.06
103.50
104.84
105.72
105.38
104.25
102.43
100.34
99.95
99.12
101.45
103.23
106.11
105.26
104.59
106.35
107.93
111.69
--
零售额 (万元 ) Y
（ 1）
趋势值 (万元 ) T
（ 2）
循环相对数
(%)
（ 6）
88.39
122.33
109.01
80.26
88.39
122.33
109.01
80.26
88.39
122.33
109.01
80.26
88.39
122.33
109.01
80.26
88.39
122.33
109.01
80.26
88.39
122.33
109.01
80.26
季节指数
(%) S
（ 3）
98.52
98..49
97.81
105.85
105.77
100.35
103.06
107.09
104.38
105.68
106.07
100.98
100.24
99.81
99.80
97.74
106.80
105.17
106.35
104.25
103.18
111.64
108.97
114.46
循环波动及不规则变动 C× I (%)
(4) = (1) /(2× 3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
t
表 4- 16 农业生产资料销售额循环波动计算表循环波动
(续前例：循环图 )
95
100
105
110
115
1978 1981
循环波动
（ %）
图 4-9 生产资料销售额的循环波动
（年份）
(概念要点 )
1.同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列
2.形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成
3.排列的时间可以是年份,季度,月份或其他任何时间形式时间序列
（算例）
表 4- 1 国内生产总值等时间序列年 份 国内生产总值 (亿元 ) 年末总人口 (万人 ) 人口自然增长率 (‰) 居民消费水平 (元 )
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
18547.9
21617.8
26638.1
34634.4
46759.4
58478.1
67884.6
74772.4
79552.8
114333
115823
117171
118517
119850
121121
122389
123626
124810
14.39
12.98
11.60
11.45
11.21
10.55
10.42
10.06
9.53
803
896
1070
1331
1781
2311
2726
2944
3094
时间序列的分类时间序列平均数序列绝对数序列 相对数序列时期序列 时点序列时间序列的分类
1,绝对数时间序列
一系列绝对数按时间顺序排列而成
时间序列中最基本的表现形式
反映现象在不同时间上所达到的绝对水平
分为 时期序列 和 时点序列
时期序列：现象在一段时期内总量的排序
时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的排序
2,相对数时间序列一系列相对数按时间顺序排列而成
3,平均数时间序列一系列平均数按时间顺序排列而成时间序列的编制原则
(概念要点 )
1,时间长短要一致
2,总体范围要一致
3,指标内容 要 一致
4,计算方法和口径 要 一致
,一致性,
时间序列的水平分析发展水平平均发展水平增长量平均增长量发展水平与平均发展水平
（概念要点）
1,发展水平
现象在不同时间上的观察值
说明现象在某一时间上所达到的水平
表示为 Y1,Y2,…,Yn 或 Y0,Y1,Y2,…,Yn
2,平均发展水平
现象在不同时间上取值的平均数，又称 序时平均数
说明 现象在一段时期内所达到的一般水平
不同类型的时间序列有不同的计算方法绝对数序列的序时平均数
（计算步骤）
首先，判断所要计算的绝对数序列的类型。
其次，根据不同序列的类型选择不同的计算方法。
绝对数序列时期序列时点序列连续时点序列间隔不等的时点序列间隔相等的时点序列绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
计算公式：
【 例 4.1】 根据表 4.1中的国内生产总值序列,计算各年度的平均国内生产总值
时期序列
n
Y
n
YYY
Y
n
i
i
n
121?
（亿元）94.4 7 6 5 3
9
5.4 2 8 8 8 51
n
Y
Y
n
i
i
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
连续时点序列通常将逐日排列的时点数据视为连续时点序列，
可采用简单算术平均数法，计算公式：
n
Y
n
YYY
Y
n
i
i
n
121?
例如：已知某企业一个月内每天的工人人数，要计算该月内每天平均工人人数，可将每天的工人人数相加，除以该月的日历日数即可。
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
间隔不等的时点序列
Y1 Y2 Y3 YnY4 Yn-1
T1 T2 T3 Tn-1
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
计算步骤
1,计算出两个点值之间的平均数
2,用相隔的时间长度 (Ti ) 加权计算总的平均数
1
1
1
1
2
32
1
21
222
n
i
i
n
nn
T
T
YY
T
YY
T
YY
Y
222
1
1
32
2
21
1
nn
n
YYYYYYYYY
绝对数序列的序时平均数
（计算方法）
当 间隔相等 (T1 = T2= … = Tn-1)时，有
间隔相等的时点序列
1
22 12
1
n
Y
YY
Y
Y
n
n?
Y1 Y2 Y3 YnYn-1
时间间隔不等的时点序列的序时平均数的计算 （实例）
表 4- 2 某种股票 2004年各统计时点的收盘价统计时点 1月 1日 3月 1日 7月 1日 10月 1日 12月 31日收盘价 (元 ) 15.2 14.2 17.6 16.3 15.8
（元）0.16
3342
3
2
8.153.16
3
2
3.166.17
4
2
6.172.14
2
2
2.142.15
Y
【 例 4.1】 设某种股票 2004年各统计时点的收盘价如表 4-2,计算该股票 2004年的年平均价格时间间隔相等的时点序列的序时平均数 （实例）
【 例 4.2】 根据表 4-1中年末总人口数序列
，计算 1991～ 1998年间的年平均人口数
（万人）56.119758
19
2
124810
123626115823
2
114333
Y
相对数序列的序时平均数
（计算方法）
1,先分别求出构成相对数或平均数的分子 ai
和分母 bi 的平均数
2,再进行对比，即得相对数或平均数序列的序时平均数
3,基本公式为：
b
aY?
相对数序列的序时平均数
（计算方法与实例）
【 例 4.3】 已知 1994~1998年我国的国内生产总值及构成数据如表 4-3。 计算 1994~1998年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重表 4- 3 我国国内生产总值及其构成数据年 份 1994 1995 1996 1997 1998
国内生产总值 (亿元 )
其中 ∶ 第三产业 (亿元 )
比重 (%)
46759.4
14930.0
31.9
58478.1
17947.2
30.7
67884.6
20427.5
30.1
74772.4
24033.3
32.1
79552.8
26104.3
32.8
相对数序列的序时平均数
（计算结果）
解,1）第三产业国内生产总值的平均数
2）全部国内生产总值的平均数
3）第三产业国内生产总值所占平均比重
（亿元）46.20688
5
3.1034421
n
a
a
n
i
i
（亿元）46.65489
5
3.3274471
n
b
b
n
i
i
%59.31%10046.65489 46.20688 baY
增长量
（概念要点）
1,报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察期内增长的绝对数量
2,分为逐期增长量与累积增长量
逐期增长量
报告期水平与前一期水平之差
计算公式为,Δi=Yi-Yi-1 (i =1,2,…,n)
累积增长量
报告期水平与某一固定时期水平之差
计算公式为,Δi=Yi-Y0 (i=1,2,…,n)
3,各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量平均增长量
（概念要点）
1,观察期内各逐期增长量的平均数
2,描述现象在观察期内平均增长的数量
3,计算公式为
1?
观察值个数累积增长量逐期增长量个数逐期增长量之和平均增长量时间序列的速度分析发展速度平均发展速度增长速度平均增长速度发展速度
（概念要点）
1,报告期水平与基期水平之比
2,说明现象在观察期内相对的发展变化程度
3,有环比发展速度与定期发展速度之分环比发展速度与定基发展速度
（概念要点）
1,环比发展速度
报告期水平与前一期水平之比
),,2,1(
1
niY YR
i
i
i
),,2,1(
0
ni
Y
YR i
i
2,定基发展速度
报告期水平与某一固定时期水平之比环比发展速度与定基发展速度
（关系）
1,观察期内各环比发展速度的连乘积等于最末期的定基发展速度
2,两个相邻的定基发展速度,用后者除以前者,
等于相应的环比发展速度
10
in
i
YY
YY?
10
1
0?
i
iii
Y
Y
Y
Y
Y
Y
增长速度
（概念要点）
1,增长量与基期水平之比
2,又称增长率
3,说明现象的相对增长程度
4,有环比增长速度与定基增长速度之分
5,计算公式为
1
发展速度基期水平基期水平报告期水平基期水平增长量增长速度环比增长速度与定基增长速度
（概念要点）
环比增长速度
报告期水平与前一时期水平之比
),,2,1(1
11
1 ni
Y
Y
Y
YYG
i
i
i
ii
i
),,2,1(1
00
0 ni
Y
Y
Y
YYG ii
i
定基增长速度
报告期水平与某一固定时期水平之比发展速度与增长速度的计算
（算例）
表 4- 4 第三产业国内生产总值速度计算表年 份 1994 1995 1996 1997 1998
国内生产总值 (亿元 ) 14930.0 17947.2 20427.5 24033.3 26104,3
发展速度
(%)
环比定基
—
100
120.2
120.2
113.8
136.8
117.7
161.0
108.6
174.8
增长速度
(%)
环比定基
—
0
20.2
20.2
13.8
36.8
17.7
61.0
8.6
74.8
【 例 4.4】 根据表 4-1中第三产业国内生产总值序列,
计算各年的环比发展速度和增长速度,及以 1994年为基期的定基发展速度和增长速度平均发展速度
（概念要点）
1,观察期内各环比发展速度的平均数
2,说明现象在整个观察期内平均发展变化的程度
3,通常采用几何法 (水平法 )计算
4,计算公式为：
),,2,1(
0
111
2
0
1
ni
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
R
n
n
n
i
i
n
n
n
平均发展速度与平均增长速度
（算例）
平均发展速度
平均增长率
【 例 4.5】 根据表 4.4中的有关数据,计算 1994～ 1998
年间我国第三产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增长率
%99.114
0.14930
3.26104
%6.108%7.117%8.113%2.120
4
4
1
n
i
i
Y
Y
R
%99.141%99.1 1 41 RG
1,从最初水平 Y0出发,每期按平均发展速度发展,经过 n期后将达到最末期水平 Yn,；按平均发展速度推算的最后一期的数值与最后一期的实际观察值一致 。
2,只与序列的最初观察值 Y0和最末观察值 Yn有关 。
3,如果关心现象在最后一期应达到的水平,采用水平法计算平均发展速度比较合适 。
平均发展速度 — 几何平均法平均发展速度 — 几何平均法
10
2
2 1 0
3
30
a a R
a a R a R
a a R
：,,
：,,
0
0
nn n
nn
a
a a R R
a
公式推导：
10
2
2 1 0
3
30
a a R
a a R a R
a a R
：,,
：,,
00
0
nn
i
n i
a a R a R
a
R
a
平均发展速度 — 累计法公式推导：
几何平均法与累计法计算平均发展速度的应用
两中方法的数理依据、计算方法和应用条件不同
几何平均法侧重从最末水平出发进行研究，按其所确定的平均发展速度推算的最末一年发展水平，与实际资料最末一年的发展水平相同
累计法侧重从各年发展水平的累计总和出发进行研究，
按其所确定的平均发展速度推算的全期各年发展水平的总和，与全期各年的实际发展水平的总和相同。
我国指定国民经济发展长期计划，也有两种规定指标数值的方法：
1、以长期计划的最后一年应达水平规定的指标，如人口数,GDP,工业主要产品产量、社会消费品零售总额等，其计算平均发展速度时采用几何平均法。
2、以整个计划期应达累计数来规定的指标，如固定资产投资等，计算平均发展速度时采用累计发。
速度指标的分析与应用
（需要注意的问题）
1,当时间序列中的观察值出现 0或负数时,不宜计算速度例如：假定某企业连续五年的利润额分别为 5、
2,0,-3,2万元,对这一序列计算速度,在这种情况下,适宜直接用绝对数指标进行分析
1,在有些情况下,不能单纯就速度论速度,要注意速度与水平指标的结合分析速度指标的分析与应用
（算例）
表 4- 5 甲、乙两个企业的有关资料年 份 甲 企 业 乙 企 业利润额 (万元 ) 增长率 (%) 利润额 (万元 ) 增长率 (%)
2003 500 — 60 —
2004 600 20 84 40
【 例 4.6】 假定有两个生产条件基本相同的企业，
各年的利润额及有关的速度值如表 4-5
速度高可能掩盖低水平，低速度可能隐藏着高水平，因此要结合基期水平进行分析 。
增长 1%绝对值一个既考察速度又兼顾水平的指标
1,速度每增长一个百分点而增加的绝对量
2,用于弥补速度分析中的局限性
3,计算公式为甲企业增长 1%绝对值＝ 500/100＝ 5万元乙企业增长 1%绝对值＝ 60/100＝ 0.6万元
100100%1
前期水平环比增长速度逐期增长量绝对值＝增长?
11
1
100( 1 ) 1 0 0
i i i
i
i
a a a
a
a
第二节 时间序列的趋势分析一,时间序列的构成要素与模型二,线性趋势三,非线性趋势四,趋势线的选择时间序列的构成要素与模型
（构成要素与测定方法）
线性趋势时间序列的构成要素循环波动季节 变动长期趋势剩余法移动平均法移动中位数法线性模型法不规则波动非线性趋势趋势剔出法按月 (季 )平均法
Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线
Logistic曲线时间序列的构成要素与模型
（要点）
构成因素
长期趋势 (Secular trend )
季节变动 (Seasonal Fluctuation )
循环波动 (Cyclical Movement )
不规则波动 (Irregular Variations )
模型
乘法模型,Yi = Ti × Si × Ci × Ii
加法模型,Yi = Ti + Si + Ci + Ii
长期趋势
（概念要点）
1,现象在一段相当长的时期内所表现的沿着某一方向的持续发展变化 。
2,长期趋势可能呈现出不断向上增长的状态,也可能为不断降低的趋势 。
3,长期趋势是受某种固定的起根本性作用的因素影响的结果 。
4,长期趋势有线性趋势和非线性趋势 。
线性趋势线性趋势
1,现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律
2,测定方法有
时距扩大法
移动平均法
移动中位数法
线性模型法移动平均法
(Moving Average Method)
1,测定长期趋势的一种较简单的常用方法
通过扩大原时间序列的时间间隔,并按一定的间隔长度逐期移动,计算出一系列移动平均数
由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用,从而呈现出现象发展的变动趋势
2,移动步长为 K(1<K<n)的移动平均序列为
K
YYYY iKii
i
11
移动平均法
(实例 )
表 4- 6 1981～ 1998年我国汽车产量数据年 份 产量 (万辆 ) 年份 产量 (万辆 )
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
【 例 4.7】 已知 1981
～ 1998年我汽车产量数据如表 4 -6。
分别计算三年和五年移动平均趋势值
,以及三项和五项移动中位数,并作图与原序列比较
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
---
20.39
25.08
33.11
37.45
42.63
49.54
56.67
58.07
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
60.39
76.50
102.65
124.4
137.27
143.16
150.35
156.26
---
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
---
移动平均趋势值 年 份
---
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
移动中位数产量
（万辆）
移动平均趋势值移动中位数年 份产量
（万辆）
表 4- 7 汽车产量三项移动趋势值移动平均法
(实例 )
移动平均法
(趋势图 )
0
50
100
150
200
1981 1985 1989 1993 1997
产量五项移动平均趋势值五项移动中位数汽车产量
（万辆）
图 4-1 汽车产量移动平均趋势图
（年份）
移动平均法
(应注意的问题 )
1,移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置
对于偶数项移动平均需要进行,正位,
2,移动间隔的长度应长短适中
如果现象的发展具有一定的周期性,应以周期长度作为移动间隔的长度
若时间序列是季度资料,应采用 4项移动平均
若为月份资料,应采用 12项移动平均线性模型法
（概念要点与基本形式）
1,现象的发展按线性趋势变化时,可用线性模型表示
2,线性模型的形式为
btaY t
— 时间序列的趋势值
t —时间标号
a—趋势线在 Y轴上的截距
b—趋势线的斜率,表示时间 t 变动一个单位时观察值的平均变动数量
tY?
线性模型法
（ a 和 b 的最小二乘估计）
1,趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二乘法 (Least-square Method） 求得
根据回归分析中的最小二乘法原理
使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小
最小二乘法既可以配合趋势直线,也可用于配合趋势曲线
2,根据趋势线计算出各个时期的趋势值线性模型法
（ a和 b的最小二乘估计）
1,根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为
2,取时间序列的中间时期为原点时有?t=0，
上式可化简为
2tbtatY
tbnaY 解得,
tbYa
ttn
YttYn
b
22
2tbtY
naY 解得：
2t
tY
b
Ya
线性模型法
(实例及计算过程 )
【 例 4.8】 利用表
4-6中的数据,根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程,计算出 1981～ 1998
年各年汽车产量的趋势值,并预测 2000年的汽车产量,作图与原序列比较表 4- 8 汽车产量直线趋势计算表年份 时间标号 t 产量 (万辆 ) Yi t× Yt t2 趋势值
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
17.56
39.26
71.94
126.56
218.60
221.88
330.26
515.76
525.15
514.00
785.62
1280.04
1688.05
1913.66
2179.05
2360.32
2690.25
2934.00
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
0.00
9.50
19.00
28.50
38.00
47.50
57.00
66.50
76.00
85.50
95.00
104.51
114.01
123.51
133.01
142.51
152.01
161.51
合计 171 1453.58 18411.96 2109 1453.58
线性模型法 （计算结果）
根据上表得 a 和 b 结果如下汽车产量的直线趋势方程为
$Yt = -9.4995 + 9.5004 t
$Y2000= -9.4995 + 9.5004 × 20 = 180.51 ( 万辆 )
Y2001= -9.4995 + 9.5004 × 21 = 190.01 ( 万辆 )
Y2002= -9.4995 + 9.5004 × 22 = 199.51 ( 万辆 )
2000,2001,2002年汽车产量的预测值为：
49 9 5.9
18
171
50 0 4.9
18
58.14 5 3
50 0 4.9
17121 0 918
58.14 5 317196.18 4 1118
2
a
b
线性模型法
(趋势图 )
0
50
100
150
200
1981 1985 1989 1993 1997
汽车产量趋势值图 4-2 汽车产量直线趋势
（年份）
汽车产量
（万辆）
非线性趋势
1,现象的发展趋势为抛物线形态
2,一般形式为二次曲线
(Second Degree Curve)
a,b,c 为未知常数
根据最小二乘法求得
2? ctbtaY
t
二次曲线
(Second Degree Curve)
2,取时间序列的中间时期为原点时有
4322
32
2
tctbtaYt
tctbtatY
tctbnaY
422
2
2
tctaYt
tbtY
tcnaY
1,根据最小二乘法得到求解 a,b,c 的标准方程为二次曲线
(实例 )
【 例 4.9】 已知我国 1978～ 1992年针织内衣零售量数据如表 11-9。
试配合二次曲线,
计 算出 1 9 7 8 ～
1992年零售量的趋势值,并预测
1993年的零售量,
作图与原序列比较表 4- 9 1978～ 1992年针织内衣零售量年 份 零售量 (亿件 ) 年 份 零售量 (亿件 )
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
7.0
9.1
9.7
10.8
11.7
12.1
13.1
14.3
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
14.4
14.8
15.0
12.3
11.2
9.4
8.9
二次曲线
(计算过程 )
表 4-10 针织内衣零售量二次曲线计算表年份 时间标号 t 零售量 (亿件 ) Yt t× Yt t 2 t 2Y t t4 趋势值
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
7.0
9.1
9.7
10.8
11.7
12.1
13.1
14.3
14.4
14.8
15.0
12.3
11.2
9.4
8.9
-49.0
-54.6
-48.5
-43.2
-35.1
-24.2
-13.1
0
14.4
29.6
45.0
49.2
56.0
56.4
62.3
49
36
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
36
49
343.0
327.6
242.5
172.8
105.3
48.4
13.1
0
14.4
59.2
135.0
196.8
280.0
338.4
436.1
2401
1296
625
256
81
16
1
0
1
16
81
256
625
1296
2401
6.5
8.4
10.0
11.3
12.3
13.2
13.7
14.0
14.0
13.8
13.3
12.6
11.6
10.3
8.8
合计 0 173.8 45.2 280 2712.6 9352 173.8
二次曲线
（计算结果）
根据计算表得 a,b,c 的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为
$Yt = 13.9924 + 0.16143 t – 0.128878 t2
$Y1993= 13.9924 + 0.16143 × 8 – 0.128878 × 82
= 7.03 ( 亿件 )
1993年零售量的预测值为
1 2 8 8 7 8.0
1 6 1 4 3.0
9 9 2 4.13
9 3 5 22806.2 7 1 2
2802.45
280158.173
c
b
a
ca
b
ca
二次曲线
(趋势图 )
0
4
8
12
16
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
零售量趋势值零售量
（亿件）
图 4-3 针织内衣零售量二次曲线趋势
（年份）
1,用于描述以几何级数递增或递减的现象
2,一般形式为指数曲线
(Exponential curve)
a,b为未知常数
若 b>1,增长率随着时间 t的增加而增加
若 b<1,增长率随着时间 t的增加而降低
若 a>0,b<1,趋势值逐渐降低到以 0为极限
tt abY
指数曲线
(a,b 的求解方法 )
3,取时间序列的中间时期为原点,上式可化简为
2lglglg
lglglg
tbtaYt
tbanY
2lglg
lglg
tbYt
anY
1,采取,线性化,手段将其化为对数直线形式
2,根据最小二乘法,得到求解 lga,lgb 的标准方程为指数曲线
(实例及计算结果 )
【 例 4.10】 根据表 4-6中的资料,确定 1981～ 1998年我国汽车产量的指数曲线方程,求出各年汽车产量的趋势值,并预测 2000年的汽车产量,作图与原序列比较
1 4 6 9 8.1
2 8 0 5.17
lg2 1 0 9lg1712 2 3 2 8 6.337
lg171lg184 5 9 8 9 6.32
b
a
ba
ba
汽车产量的指数曲线方程为
2000年汽车产量的预测值为
ttY )14698.1(2805.17
（万辆）33.268)14698.1(2805.17? 202000Y
指数曲线
(趋势图 )
0
50
100
150
200
250
1981 1985 1989 1993 1997
汽车产量趋势值图 4-4 汽车产量指数曲线趋势 （年份）
汽车产量
（万辆）
指数曲线与直线的比较
1,比一般的趋势直线有着更广泛的应用
2,可以反应出现象的相对发展变化程度
上例中,b=1.14698表示 1981～ 1998年汽车产量趋势值的平均发展速度
3,不同序列的指数曲线可以进行比较
比较分析相对增长程度
1,在一般指数曲线的基础上增加一个常数 K
2,一般形式为修正指数曲线
(Modified exponential curve)
K,a,b为未知常数
K > 0,a≠ 0,0 < b ≠ 1
3,修正指数曲线用于描述的现象：初期增长迅速,随后增长率逐渐降低,最终则以 K为增长极限
tt abKY
修正指数曲线
(求解 k,a,b 的三和法 )
1,趋势值 K无法事先确定时采用
2,将时间序列观察值等分为三个部分,每部分有 m个时期
3,令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和修正指数曲线
(求解 k,a,b 的三和法 )
2,根据三和法求得
1,设观察值的三个局部总和分别为 S1,S2,S3
m
mt
t
m
mt
t
m
t
t YSYSYS
3
12
3
2
1
2
1
1,,
1
11
1
1
1
212
1
12
23
b
bab
S
m
K
bb
b
SSa
SS
SS
b
m
m
m
修正指数曲线
(实例 )
【 例 4.11】 已 知
1978~1995年我国小麦单位面积产量的数据如表 11-
12。 试确定小麦单位面积产量的修正指数曲线方程,求出各年单位面积产量的趋势值,并预测
2000年的小麦单位面积产量,作图与原序列比较表 4- 11 1978～ 1995年小麦单位面积产量数据年 份 单位面积产量 (公斤 /公顷 ) 年 份 单位面积产量 (公斤 /公顷 )
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1845
2145
1890
2115
2445
2805
2970
2940
3045
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
2985
2970
3045
3195
3105
3331
3519
3426
3542
修正指数曲线
（计算结果）
解得 K,a,b 如下
149.3659
187 83 6.0
187 83 6.087 83 6.0531.2230
13 24 5
6
1
531.2230
187 83 6.087 83 6.0
187 83 6.0
13 24 517 95 5
87 83 6.0
13 24 517 95 5
17 95 520 11 8
6
2
6
6
1
K
a
b
修正指数曲线
（计算结果）
小麦单位面积产量的修正指数曲线方程为
$Yt = 3659.149 – 2230.531?( 0.87836 ) t
2000年小麦单位面积产量的预测值为
$Y2000 = 3659.149 – 2230.531?( 0.87836 ) 23
= 3546.20 (kg)
修正指数曲线
(趋势图 )
0
1000
2000
3000
4000
1978 1982 1986 1990 1994
单位面积产量趋势值K
图 4-5 小麦单位面积产量修正指数曲线趋势
（年份）
产单位面积量 （
公斤
/
公顷 ）
K=3659.149
1,以英国统计学家和数学家 B·Gompertz 而命名
2,一般形式为
K,a,b为未知常数
K > 0,0 < a ≠ 1,0 < b ≠ 1
龚铂茨曲线
(Gompertz curve)
3,所描述的现象：初期增长缓慢,以后逐渐加快,当达到一定程度后,增长率又逐渐下降,最后接近一条水平线
4,两端都有渐近线,上渐近线为 Y?K,下渐近线为 Y=?
0
tb
t KaY
1,将其改写为对数形式
Gompertz曲线
(求解 k,a,b 的三和法 )
2,仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出 lg a,lg K,b
3,取 lg a,lg K 的反对数求得 a 和 K
令：
则 有：
a
b
bb
S
m
K
bb
b
SSa
SS
SS
b
m
m
m
lg
1
11
lg
1
1
lg
1
212
1
12
23
m
mt
t
m
mt
t
m
t
t YSYSYS
3
12
3
2
1
2
1
1 lg,lg,lg
tt baKY )( lglg?lg
Gompertz曲线
(实例 )
【 例 4.12】 根据表 4-11的数据
,试确定小麦单位面积产量的
Gompertz曲线方程,求出各年单位面积产量的趋势值,并预测 2000年的小麦单位面积产量
,作图与原序列比较
Gompertz曲线
（计算结果）
04.3566
371750.0
1842563.0
1842563.0842563.0
035408.20
6
1
l og
427864.0
1842563.0842563.0
1842563.0
035408.20855979.20l og
842563.0
035408.20855979.20
855979.20149562.21
6
2
6
6
1
K
K
a
a
b
Gompertz曲线
（计算结果）
小麦单位面积产量的 Gompertz 曲线方程为
2000年小麦单位面积产量的预测值为
t
tY 8 4 2 5 6 3.0)4 2 7 8 6 4.0(04.3 5 6 6
)kg(3507)427864.0(04.3566? 23842563.02000 tY
Gompertz曲线
(趋势图 )
0
1000
2000
3000
4000
1978 1982 1986 1990 1994
单位面积产量趋势值K
K=3566.04
图 4-6 小麦单位面积产量 Gompertz曲线趋势
（年份）
（
公斤
/
公顷 ）
罗吉斯蒂曲线
(Logistic Curve)
K,a,b为未知常数
K > 0,a > 0,0 < b ≠1
1,1838年比利时数学家 Verhulst所确定的名称
2,该曲线所描述的现象的特征与 Gompertz曲线类似
3,其曲线方程为
tt abKY
1?
Logistic 曲线
(求解 k,a,b 的三和法 )
1,取观察值 Yt的倒数 Yt-1
当 Yt-1 很小时,可乘以 10 的适当次方
2,a,b,K 的求解方程为
1
11
1
1
1
212
1
12
23
b
bab
S
m
K
bb
b
SSa
SS
SS
b
m
m
m
趋势线的选择
1,观察散点图
2,根据观察数据本身,按以下标准选择趋势线
一次差大体相同,配合直线
二次差大体相同,配合二次曲线
对数的一次差大体相同,配合指数曲线
一次差的环比值大体相同,配合修正指数曲线
对数一次差的环比值大体相同,配合 Gompertz 曲线
倒数一次差的环比值大体相同,配合 Logistic曲线
比较估计标准误差
mn
yyS ii
y?
2)(
第三节 季节变动分析
季节变动及其测定目的二,季节变动的分析方法与原理三,季节变动的调整季节变动及其测定目的
1,季节变动
现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动；
各年变化强度大体相同,且每年重现；
扩展概念：对一年内由于社会,政治,经济,自然因素影响,形成的以一定时期为周期的有规则的重复变动；
时间序列的又一个主要构成要素 。
2,测定目的
确定现象过去的季节变化规律
消除时间序列中的季节因素季节变动的分析原理
1,将季节变动规律归纳为一种典型的季节模型；
2,季节模型由季节指数所组成；
3,季节指数的平均数等于 100%；
4,根据季节指数与其平均数 (100%)的偏差程度测定季节变动的程度 。
如果现象没有季节变动,各期的季节指数等于 100%
如果某一月份或季度有明显的季节变化,各期的季节指数应大于或小于 100%
季节变动的分析原理 （ 季节模型）
季节模型
时间序列在各年中所呈现出的典型状态,这种状态年复一年以相同的形态出现
由季节指数组成,各指数刻划了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征
以各个指数的平均数等于 100%为条件而构成
如果分析的是月份数据,季节模型就由 12个指数组成；若为季度数据,则由 4个指数组成季节变动的分析原理 （ 季节指数）
季节指数
1,反映季节变动的相对数
2,以全年月或季资料的平均数为基础计算的
3,平均数等于 100%
月 (或季 )的指数之和等于 1200%(或 400%)
4,指数越远离其平均数 (100%)季节变动程度越大
5,计算方法有同期平均法和趋势剔出法同期平均法
(原理和步骤 )
1,根据原时间序列通过简单平均计算季节指数
2,假定时间序列没有明显的长期趋势和循环波动
3,计算季节指数的步骤
计算同期 （ 同月或同季 )的平均数
计算全部数据的总月 (总季 )平均数
计算季节指数 (S)
%100)( )()( 平均数季总月 平均数季同月季节指数 S
同期平均法
(实例 )
【 例 4,1 3】
已 知 我 国
1978～ 1983
年 各 季 度 的农 业 生 产 资料 零 售 额 数据如表 11.15
。 试 用 按 季平 均 法 计 算各 季 的 季 节指数表 4-12 1978～ 1983年各季度农业生产资料零售额数据年 份销售额 (亿元 )
一季度 二季度 三季度 四季度
1978
1979
1980
1981
1982
1983
62.6
71.5
74.8
75.9
85.2
86.5
88.0
95.3
106.3
106.0
117.6
131.1
79.1
88.5
96.4
95.7
107.3
115.4
64.0
68.7
68.5
69.9
78.4
90.3
按月 (季 )平均法
(计算表 )
表 4- 13 农业生产资料零售额季节指数计算表年 份销售额 (亿元 )
一季度 二季度 三季度 四季度 全年合计
1978
1979
1980
1981
1982
1983
62.6
71.5
74.8
75.9
85.2
86.5
88.0
95.3
106.3
106.0
117.6
131.1
79.1
88.5
96.4
95.7
107.3
115.4
64.0
68.7
68.5
69.9
78.4
90.3
293.7
324.0
346.0
347.5
388.5
423.3
合计 456.5 644.3 582.4 439.8 2123.0
同季平均 76.08 107.38 97.07 73.30 88.46
季节指数 (%) 86.01 121.39 109.73 82.86 100.00
趋势剔除法
(原理和步骤 )
1,先将时间序列中的长期趋势予以消除，再计算季节指数 。
2,计算季节指数的步骤：
1） 计算移动平均趋势值 (T)
2） 从序列中剔出趋势值 (Y/T)
3） 按前述方法计算季节指数 (S)
年 / 份
1978.1
1978.2
1978.3
1978.4
1979.1
1979.2
1979.3
1979.4
1980.1
1980.2
1980.3
1980.4
1981.1
1981.2
1981.3
1981.4
1982.1
1982.2
1982.3
1982.4
1983.1
1983.2
1983.3
1983.4
62.6
88.0
79.1
64.0
71.5
95.3
88.5
68.7
74.8
106.3
96.4
68.5
75.9
106.0
95.7
69.9
85.2
117.6
107.3
78.4
86.5
131.1
115.4
90.3
--
--
74.54
76.56
78.65
80.41
81.41
83.20
85.56
86.53
86.64
86.74
86.61
86.70
88.04
90.65
93.55
96.06
97.29
99.14
101.84
104.34
--
--
--
--
106.12
83.59
90.91
118.51
108.71
82.57
87.42
112.85
111.27
78.97
87.63
122.26
108.70
77.11
91.07
122.42
110.29
79.08
84.94
125.65
--
--
零售额 (万元 )Y 趋势值 (万元 )T Y/T (%)
表 4- 14 农业生产资料零售季节指数计算表 趋势剔除法
(
续前例
：
趋势剔除计算表)
趋势剔除法
(季节指数计算表 )
表 4- 15 农业生产资料零售额季节指数计算表年 份销售额 (亿元 )
一季度 二季度 三季度 四季度 全年合计
1978
1979
1980
1981
1982
1983
—
90.91
87.42
87.63
91.07
84.94
—
118.51
122.85
122.26
122.42
125.65
106.12
108.71
111.27
108.70
110.29
—
83.59
82.57
78.97
77.11
79.08
—
合计 441.98 611.70 545.09 401.33 2000.10
同季平均 88.40 122.34 109.02 80.27 100.005
季节指数 (%) 88.39 122.33 109.01 80.26 100.00
季节变动
0
50
100
150
1 2 3 4
图 4-7 农业生产资料零售额季节变动
（季度）
季节指数
（ %）
季节变动的调整
(要点和公式 )
1,将季节变动其从时间序列中予以剔除，以便观察和分析时间序列的其他特征
2,消除季节变动的方法是将原时间序列除以相应的季节指数，计算公式为
Y
S =
T× S × C× I
S = T× C× I
季节变动的调整
(趋势图 )
0
30
60
90
120
150
销售额（ Y）
调整后的销售额（ Y/S）
调整后的趋势值销售额
（亿元）
图 4-8 季节调整后的生产资料销售额趋势
（年份）
第四节 循环波动分析一,循环波动及其测定目的二,循环波动的分析方法循环波动
(概念和测定目的 )
1,近乎规律性的从低至高再从高至低的周而复始的变动
2,不同于趋势变动,它不是朝着单一方向的持续运动,而是涨落相间的交替波动
3,不同于季节变动,其变化无固定规律,变动周期多在一年以上,且周期长短不一
4,目的是探索现象活动的规律性循环波动
(测定方法 )
1,采用 剩余法
2,具体计算步骤为
先消去趋势值,求得无长期趋势数据资料
再 消去 季节变动,求得循环及不规则波动相对数
将结果进行移动平均 (MA),以消除不规则波动,即得循环波动值
C = MA ( C × I )
年 / 份
1978.1
1978.2
1978.3
1978.4
1979.1
1979.2
1979.3
1979.4
1980.1
1980.2
1980.3
1980.4
1981.1
1981.2
1981.3
1981.4
1982.1
1982.2
1982.3
1982.4
1983.1
1983.2
1983.3
1983.4
62.6
88.0
79.1
64.0
71.5
95.3
88.5
68.7
74.8
106.3
96.4
68.5
75.9
106.0
95.7
69.9
85.2
117.6
107.3
78.4
86.5
131.1
115.4
90.3
71.89
73.04
74.18
75.33
76.48
77.63
78.78
79.92
81.07
82.22
83.37
84.52
85.66
86.81
87.96
89.11
90.26
91.40
92.55
93.70
94.85
96.00
97.14
98.29
--
98.27
100.72
103.14
103.99
103.06
103.50
104.84
105.72
105.38
104.25
102.43
100.34
99.95
99.12
101.45
103.23
106.11
105.26
104.59
106.35
107.93
111.69
--
零售额 (万元 ) Y
（ 1）
趋势值 (万元 ) T
（ 2）
循环相对数
(%)
（ 6）
88.39
122.33
109.01
80.26
88.39
122.33
109.01
80.26
88.39
122.33
109.01
80.26
88.39
122.33
109.01
80.26
88.39
122.33
109.01
80.26
88.39
122.33
109.01
80.26
季节指数
(%) S
（ 3）
98.52
98..49
97.81
105.85
105.77
100.35
103.06
107.09
104.38
105.68
106.07
100.98
100.24
99.81
99.80
97.74
106.80
105.17
106.35
104.25
103.18
111.64
108.97
114.46
循环波动及不规则变动 C× I (%)
(4) = (1) /(2× 3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
t
表 4- 16 农业生产资料销售额循环波动计算表循环波动
(续前例：循环图 )
95
100
105
110
115
1978 1981
循环波动
（ %）
图 4-9 生产资料销售额的循环波动
（年份）
