第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
一 参考系 质点
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模
型, 目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考
虑一些次要的因素,
为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系,
1 参考系
如果我 们研究某一物体的运动，而可以忽略其
大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转
动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量
的点（即 质点 ）来处理,
2 质点
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不
同，这就是运动描述的相对性,
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
二 位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量
r?
*P
x
y
z x
z
y
o
j?
i?
k?
kzjyixr ???? ???
2 2 2r r x y z? ? ? ?
位矢 的值为r?
确定质点 P某一时刻在
坐标系里的位置的物理量称
位置矢量,简称位矢,r?
式中,, 分别为 x,y,z
方向的单位矢量,
i? j? k?
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
rx??c o s
rz??c o s
ry??c o s
位矢 的方向余弦r?
P
P
r?
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x
z
y
o
x
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y
o
2 运动方程
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)(tyy ?
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分量式
从中消去参数 得轨迹方程
0),,( ?zyxf
t
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
3 位移
x
y
o
B
Br
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Ar
B
Br
A r??
x
y
o
BxAx
AB xx ?
By
Ay AB
yy ?
rrr AB ???? ??? AB rrr ??? ????
经过时间间隔 后,质点位置矢量发生变化,由
始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的
位移矢量, 位移矢量也简称位移,
t?
r??
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
222 zyxr ??????? ?
位移的大小为
Ar
B
Br
A r??
x
y
o
BxAx
AB xx ?
By
Ay AB
yy ?
jyixr AAA ??? ??
jyixr BBB ??? ??
jyyixxr ABAB ??? )()( ?????
AB rrr ??? ???
所以位移
若质点在 三维 空间中运动，
则在直角坐标系 中其位
移为
Oxyz
kzzjyyixxr ABABAB ???? )()()( ???????
4 路程（ ）, 质点实际运动轨迹的长度,s?
又
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
222 zyxr ??????? ?
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2
1
2
1
2
1 zyx ???
2
2
2
2
2
2 zyx ??
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位移的物理意义
A) 确切反映物体在空
间位置的变化,与路径无关，
只决定于质点的始末位置,
B） 反映 了运动的矢量
性和叠加性,
s?
),,( 1111 zyxP
),,( 2222 zyxP
)( 1tr?
1P
)( 2tr?
2Pr??
注意 位矢长度的变化
x
y
O
z
r?
kzjyixr ???? ???????
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
位移与路程
（ B） 一般情况,位移
大小不等于路程,
r s? ? ?
（ D）位移是矢量,路程是标量,
s?
)( 1tr?
1p
)( 2tr?
2pr??
x
y
O
z
's?
（ C）什么情况？sr ??? ?
不改变方向的直线运动 ; 当 时,0??t sr ??? ?
讨论
（ A） P1P2 两点间的路程
是 不唯一的,可以是 或
而位移 是唯一的,r??
s? 's?
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
三 速度
1 平均速度
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在 时间内,质点从点
A 运动到点 B,其位移为
t?
t? 时间内,质点的平均速度
平均速度 与 同方向,r??v
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平均速度大小 22 )()(
t
y
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ji yx ??? vvv ??或
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)( ttr ???
B
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A
x
y
o
s?
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
2 瞬时速度
当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向
就是沿该点曲线的切线方向,
当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度,
简称速度
0??t
jtyitx
tt
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
x
y
o
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2 2 2d d d( ) ( ) ( )
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瞬时速率：速度 的大小称为速率v
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若质点在 三维 空间中运动,
其速度为
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d
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s
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td
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
平均速率
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s
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B
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A
x
y
o
s?
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瞬时速率
讨论
一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点
处，其速度大小为
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t
r
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t
r
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d?（ A） （ B）（ ）（ ）
t
r
d
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d
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t
y
t
x ?（ C） （ D）
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
例 1 设质点的运动方程为
其中
（ 1）求 时的速度,（ 2） 作出质点的运动轨迹图,
( ) ( ) ( ),r t x t i y t j??
1( ) ( 1 m s ) 2 m,x t t?? ? ? 221
4( ) ( m s ) 2 m,y t t?? ? ?
3st ?
解 （ 1）由题意可得速度分量分别为
12d d 11 m s,( m s )
d d 2xy
xy t
tt
??? ? ? ? ? ?vv
11( 1 m s ) ( 1,5m s )ij??? ? ? ?v3st ?
时速度为
速度 与 轴之间的夹角v x
?3.56
1
5.1a r c t an ???
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
（ 2） 运动方程 1( ) ( 1 m s ) 2 mx t t?? ? ?
221
4( ) ( m s ) 2 my t t
?? ? ?
由运动方程消去参数 可得轨迹方程为t
/mx
/my
0
轨迹图
2 4 6- 6 - 4 - 2
2
4
6
0?t s2?ts2??t
s4??t s4?t
m3)m41( 21- ??? xxy
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
例 2 如图所示,A,B 两物体由一长为 的刚性
细杆相连,A,B 两物体可在光滑轨道上滑行,如物体
A以恒定的速率 向左滑行,当 时,物体 B的
速率为多少？
l
v 60? ?
解 建立坐标系如图,
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x
y
o
A
B
l
?
v?
物体 A 的速度
iitxixA ???? vvv ???? dd
物体 B 的速度
jtyiyB ??? dd?? vv
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
y?2 2 2x = l
x
y
o
A
B
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两边求导得
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即
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x
y
x
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Bv
沿 轴正向,当 时y 1,7 3?
Bvv
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
1） 平均加速度
Bv
B
Av
Bv
?v
与 同方向,?va
（反映速度变化快慢的物理量）
x
y
O
a
t
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v
单位时间内的速度增
量即平均加速度
2）（瞬时）加速度
0
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四 加速度
Av
A
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
x y za a i a j a k? ? ?
2
2
2
2
2
2
dd
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dd
dd
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x
x
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x y za a a a? ? ?
2
2
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加速度大小 22
0
lim yx
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质点作三维运动时加速度为
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
吗？
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a
b
c
讨论
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
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讨论
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因为
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所以
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而
例 匀速率圆周运动
所以
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
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求导 求导
积分 积分()tv
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一
时刻的位矢、速度和加速度；
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始
位置,可求质点速度及其运动方程,
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
1d ( 1, 0 s )
da t
?? ? ?v v
解：由加速度定义
例 3 有 一个球体在某液体中竖直下落,其初速度
为,它的加速度为
问 （ 1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,
10 ( 1 0 m s ) j???v 1( 1,0 s )aj ??? v
0v
y
o
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0
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（ 2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
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0
1e ??? vv
m]e1[10 )s0.1( 1 ty ????
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
0
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10
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0v
0 /st
9, 2 s,0,1 0mty? ? ?v
2, 3 4, 6 6, 9 9, 2
8, 9 9 7 4 9, 8 9 9 5 9, 9 8 9 9 9, 9 9 9 0
v 0/10v
/st
/my
0/100v 0 /1 0 0 0v 0 /10000v
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一 参考系 质点
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模
型, 目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考
虑一些次要的因素,
为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系,
1 参考系
如果我 们研究某一物体的运动，而可以忽略其
大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转
动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量
的点（即 质点 ）来处理,
2 质点
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不
同，这就是运动描述的相对性,
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
二 位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量
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x
y
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y
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位矢 的值为r?
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坐标系里的位置的物理量称
位置矢量,简称位矢,r?
式中,, 分别为 x,y,z
方向的单位矢量,
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
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位矢 的方向余弦r?
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
3 位移
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经过时间间隔 后,质点位置矢量发生变化,由
始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的
位移矢量, 位移矢量也简称位移,
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
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位移的大小为
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若质点在 三维 空间中运动，
则在直角坐标系 中其位
移为
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又
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
222 zyxr ??????? ?
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位移的物理意义
A) 确切反映物体在空
间位置的变化,与路径无关，
只决定于质点的始末位置,
B） 反映 了运动的矢量
性和叠加性,
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注意 位矢长度的变化
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
位移与路程
（ B） 一般情况,位移
大小不等于路程,
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（ D）位移是矢量,路程是标量,
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（ C）什么情况？sr ??? ?
不改变方向的直线运动 ; 当 时,0??t sr ??? ?
讨论
（ A） P1P2 两点间的路程
是 不唯一的,可以是 或
而位移 是唯一的,r??
s? 's?
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
三 速度
1 平均速度
)()( trttrr ??? ?????
在 时间内,质点从点
A 运动到点 B,其位移为
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t? 时间内,质点的平均速度
平均速度 与 同方向,r??v
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
2 瞬时速度
当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向
就是沿该点曲线的切线方向,
当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度,
简称速度
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
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一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点
处，其速度大小为
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
例 1 设质点的运动方程为
其中
（ 1）求 时的速度,（ 2） 作出质点的运动轨迹图,
( ) ( ) ( ),r t x t i y t j??
1( ) ( 1 m s ) 2 m,x t t?? ? ? 221
4( ) ( m s ) 2 m,y t t?? ? ?
3st ?
解 （ 1）由题意可得速度分量分别为
12d d 11 m s,( m s )
d d 2xy
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11( 1 m s ) ( 1,5m s )ij??? ? ? ?v3st ?
时速度为
速度 与 轴之间的夹角v x
?3.56
1
5.1a r c t an ???
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
（ 2） 运动方程 1( ) ( 1 m s ) 2 mx t t?? ? ?
221
4( ) ( m s ) 2 my t t
?? ? ?
由运动方程消去参数 可得轨迹方程为t
/mx
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0
轨迹图
2 4 6- 6 - 4 - 2
2
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s4??t s4?t
m3)m41( 21- ??? xxy
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
例 2 如图所示,A,B 两物体由一长为 的刚性
细杆相连,A,B 两物体可在光滑轨道上滑行,如物体
A以恒定的速率 向左滑行,当 时,物体 B的
速率为多少？
l
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解 建立坐标系如图,
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
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A
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物体 A 的速度
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物体 B 的速度
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
y?2 2 2x = l
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沿 轴正向,当 时y 1,7 3?
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
1） 平均加速度
Bv
B
Av
Bv
?v
与 同方向,?va
（反映速度变化快慢的物理量）
x
y
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单位时间内的速度增
量即平均加速度
2）（瞬时）加速度
0
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四 加速度
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
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因为
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例 匀速率圆周运动
所以
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
)(ta?)(tr?
求导 求导
积分 积分()tv
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一
时刻的位矢、速度和加速度；
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始
位置,可求质点速度及其运动方程,
第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
1d ( 1, 0 s )
da t
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解：由加速度定义
例 3 有 一个球体在某液体中竖直下落,其初速度
为,它的加速度为
问 （ 1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动,
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（ 2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？
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第一章质点运动学1 – 1 质点运动的描述
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