电工基础：09

相量法 序号 内　　　　　容 学　时  1 第一节　复数的概念 1  2 第二节　复数的四则运算 1  3 第三节　正弦量的复数表示法 1  4 第四节　复数形式的欧姆定律 2  5 第五节　复阻抗的连接 2  6 本章小结与习题 1  7 本章总学时 8   第一节 复数的概念 一、虚数单位 参见图9-1给出的直角坐标系复数平面。在这个 复数平面上定义虚数单位为
即 j2 = (1，j3 = ( j，j4 = 1 虚数单位j又叫做90(旋转因子。 二、复数的表达式 　　一个复数Z有以下四种表达式。 1．直角坐标式(代数式) Z = a + jb 式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。 在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数A = 3 + j2在复平面上的表示如图9-1所示。 2．三角函数式 在图9-1中，复数Z与x轴的夹角为 (，因此可以写成 Z = a + jb = |Z|(cos( ( jsin() 式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即
( 叫作复数Z的辐角，从图9-1中可以看出
复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。 3．指数式 利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即 Z =|Z|(cos( ( jsin() =|Z|ej( 4．极坐标式(相量式) 复数的指数式还可以改写成极坐标式，即 Z =|Z|/( 以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。 解：利用关系式Z = a + jb =|Z|/( ，|Z|=
，( = arctan
，计算如下： (1) Z1= 2 = 2/0( (2) Z2 = j5 = 5/90( (j代表90(旋转因子，即将“5”作反时针旋转90() 　 (3) Z3 = ( j9 = 9/(90( (－j代表－90(旋转因子，即将“9”作顺时针旋转90() 　　(4) Z4= (10 = 10/180(或10/(180( (“(”号代表 (180() (5) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1( (6) Z6 = 8 ( j6 = 10/(36.9( (7) Z7 = ( 6 + j8 = ( (6 ( j8) = ((10/( 53.1() = 10/180(( 53.1( = 10/126.9( (8) Z8 = ( 8 ( j6 = ( (8 + j6) = ( (10/36.9() = 10/(180( + 36.9( = 10/(143.1(。 解：利用关系式Z = |Z|/( =|Z|(cos( + jsin() = a + jb计算： Z1= 20/53.1( = 20(cos53.1( + jsin53.1() = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16 Z2 = 10/(36.9( = 10(cos36.9( ( jsin36.9() = 10(0.8 (j0.6) = 8 ( j6 Z3 = 50/120( = 50(cos120( + jsin120() = 50(( 0.5 + j0.866) = ( 25 + j43.3 Z4 = 8/( 120( = 8(cos120( ( jsin120() = 8(( 0.5 ( j0.866) = ( 4 ( j6.928　 第二节 复数的四则运算 设Z1= a + jb =|Z1|/( ，Z2 = c + jd = |Z2|/( ，复数的运算规则为 1．加减法 Z1 ( Z2 = (a ( c) + j(b ( d) 2．乘法 Z1 · Z2 = |Z1| · |Z2|/( + ( 3．除法
/( ( ( 4．乘方
/n( 　　 解：(1) Z1 + Z2 = (8 ( j6) + (3 + j4) = 11 ( j2 = 11.18/(10.3( 　　(2) Z1 ( Z2 = (8 ( j6) ( (3 ( j4) = 5 ( j10 = 11.18/( 63.4( 　　(3) Z1 · Z2 = (10/( 36.9() ( (5/53.1() = 50/16.2( (4) Z1 / Z2 = (10/( 36.9() ( (5/53.1() = 2/( 90(　 第三节　正弦量的复数表示法 正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。 正弦电流i = Imsin(( t ( (i)的相量表达式为
I/(i 正弦电压u = Umsin(( t ( (u)的相量表达式为
= U/(u 解：(1) 正弦电压u的有效值为U = 0.7071 ( 311 = 220 V，初相 (u = 30(，所以它的相量为
U/(u = 220/30( V 　 (2) 正弦电流i的有效值为I = 0.7071 ( 4.24 = 3 A，初相(i = (45(，所以它的相量为 I=I/(i = 3/(45( A 解: u =
sin(( t ( 37() V，i = 5
sin(( t + 60() A　。 解: 首先用复数相量表示正弦量i1、i2，即
3/30( A = 3(cos30( + jsin30() = 2.598 ( j1.5 A
4/(60( A = 4(cos60( ( jsin60() = 2 ( j3.464 A 然后作复数加法：
4.598 ( j1.964 = 5/(23.1( A 　　最后将结果还原成正弦量：i1 ( i2 =
sin(( t ( 23.1() A 第四节　复数形式的欧姆定律 一、复数形式的欧姆定律 定义复阻抗为
|Z|/( 其中
为阻抗大小，( = (u ( (i为阻抗角，即电压u与电流i的相位差。则复数形式的欧姆定律为
图9-2所示为复数形式的欧姆定律的示意图。 二、电阻、电感和电容的复阻抗 1．电阻R的复阻抗 ZR = R = R/ 0(
　2．电感L的复阻抗 ZL = XL/ 90( = jXL = j(L
　3．电容C的复阻抗 ZC = XC/(90( = (j XC =

第五节　复阻抗的连接 一、阻抗的串联 如图9-3所示阻抗串联电路。 n个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗 Z = Z1 ( Z2 ( … ( Zn 例如R-L-C串联电路可以等效一只阻抗Z，根据ZR = R， ZL = jXL，ZC = (jXC，则
即 Z =|Z|/( 其中电抗X = XL ( XC，阻抗大小为
( 为阻抗角，代表路端电压u与电流i的相位差，即
解:等效复阻抗Z = ZR + ZL = R + jXL = R + j(L = 3 + j4 = 5/53.1( (，其中XL = 4 (， 正弦交流电压u的相量为
220/30( V， 电路中电流相量为
/30(－53.1(= 44/(23.1( A 电阻上的电压相量和瞬时值分别为
132/(23.1( V，
sin(314t ( 23.1() V 电感上的电压相量和瞬时值分别为
176/90 ( 23.1( = 176/66.9( V，
sin(314t + 66.9() V 二、阻抗的并联 阻抗并联电路如图9-4所示。 n只阻抗Z1、Z2、…、Zn并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即
即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。 为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即
导纳Y的单位为西门子(S)。于是有 Y = Y1 + Y2 + … + Yn 即几只并联导纳的等效导纳Y等于所有导纳之和。 欧姆定律的相量形式为
解:由Z1= (10 + j20) ( 可得
由Z2 = (10 ( j10) ( 可得
即 Z1 = 10 + j20 = 22.36/63.4( (， Z2 = 10 ( j10 = 14.14/(45( ( 由
可得并联后的等效复阻抗为
于是总电流的相量
即I = 15.6 A。总电流瞬时值表达式为
本　章　小　结 本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。 一、复数及其运算法则 　　1．复数的表达式 (1) 直角坐标式(代数式)： Z = a + jb (2) 三角函数式：　
(3) 指数式：　 Z =|Z|ej( (4) 极坐标式(相量式)： Z =|Z|/( 2．复数的运算法则 设 Z1 = a + jb = |Z1|/( ，Z2 = c + jd =|Z1|/( (1) 加减法： Z1 ( Z2 = (a ( c) ( j(b ( d) (2) 乘法： Z1 · Z2 =|Z1|/( ·|Z2|/( = |Z1|·|Z2|/( ( ( (3) 除法：
/( ( ( (4) 乘方：
/n( 二、正弦量的复数表示法 正弦交流电流i = Imsin(( t ( (i)的相量表达式为
I/(i 正弦交流电压u = Umsin(( t ( (u)的相量表达式为
U/(u 三、欧姆定律与复阻抗 1．复数形式的欧姆定律
2. 电阻R的复阻抗 ZR = R = R/0( 　3. 电感L的复阻抗 ZL = XL/90( = j XL = j(L 　4. 电容C的复阻抗 ZC = XC/(90( = (j XC =
　　5. 阻抗的串联 n个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗 Z = Z1 + Z2 + … + Zn 6. 阻抗的并联 n只阻抗Z1、Z2、…、Zn并联可以等效为一只复阻抗Z
定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即
，于是 Y = Y1 + Y2 + … + Yn