习 题
1.列出下图所示电路的状态方程。
i ( t )
1 H
1 H
1 H
1 F1 Ω
解,选取两个独立电感中的电流及电容
的电压为状态变量 λ1λ2λ3 λ1 λ
2
λ3 +
-
i(t)-λ1
对回路 aecba及 bcdb列 KVL方程有：
a b c
d
e
1·λ1+1·λ2-1·[i(t)-λ1]=0
.,‘
1·λ2+λ3-1·[λ1-λ2]=0.
对节点 c列 KCL方程：
1·λ3=λ2+i(t)-λ1.
整理得：
λ2=λ1-λ2-λ3.
λ3=-λ1+λ2+i(t).
λ1=(-1/2)λ1+(1/2)λ2+(1/2)λ3+(1/2)i(t)
,‘
2.已知系统的信号流图如图所示，以积分器的输出作为状态变量
列出状态方程和输出方程。
F ( s ) 1 s - 1
- 1
s
- 1 s
- 1
1 11
2
4
3
2
Y(s)
解：选取积分器的输出端状态变量如图，则有
λ1 λ2 λ3
y(t)=2λ1+λ3
标准形式略
λ1=-λ1+2λ2+4λ3+f(t)
.
λ2=λ1
.
λ3=λ2+3λ3
.
3.已知离散系统的信号流图如下图所示，列出状态方程和输出方程
F ( z )
Y
1
( z )
Y
2
( z )
- 2
1
2
- 1
2
z
- 1
z
- 1
- 1
2
3
解,λ1
λ2
选取延时器的输出为状态变量如图：
λ1(n+1)=2λ1-λ2+2f(n)
λ2(n+1)=2λ1-λ2+3f(n)
输出方程：
y1(n)=2λ1
y2(n)=λ2
标准形式略
4.已知连续时间 LTI系统的信号流图，求 H(s)
- 1
F ( s )
s
- 1
s
- 1
s
- 1
1 0
1
- 1
1
1
Y ( s )
- 1
解,(1)求△。共有四条环路，分别用 L1,L2,L3,L4表示
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
L1=(λ1---λ2-----λ3----λ4---λ5----λ1)=-10s-3
L2=(λ1---λ2-----λ3----λ4---λ5----λ1)=-10s-2
L3=(λ2-----λ3----λ4---λ5----λ2)=-10s-2
L4=(λ3----λ4---λ3)=-s-1
没有不接触的环路，故
△ =1+10s-3+20s-2+s-1
(2)前向通路共有 2条，与所有的环路都接触故有：
∑gk△ k=10S-3+10S-2
图式及并联形式的信号流出其直接形式、串联形
分别画系统的系统函数已知连续时间,
1 8 s9ss
156sH ( s )L T I.5
23 ??
??
1020
)1(10
20101
10101
)(
23
123
23
???
?
?
???
?
??
?
? ?
???
??
sss
s
sss
ss
gsH
kk
F ( s )
s
- 1 s - 1 s - 1
Y ( s )
- 1 8
- 9
6
1
1 5
1
解, (1)直接形式
(2)串联形式：
6
52
3
13
189
156)(
23 ?
??
?????
??
s
s
sssss
ssH
6
6
7
3
3
1
6
5
189
156)(
23 ?
?
?????? ?? ssssss ssH
F ( s ) Y ( s )
13 s - 1 1 s - 1
- 3
1 s - 1
- 6
2
5
F ( s )
6
5
3
1
6
7
?
- 6
- 3
s
- 1
s
- 1
s
- 1
Y ( s )
1
1
1
(3)并联形式
离散系统分析
6.已知 LTI系统的差分方程为 y(n)+0.5y(n-1)=f(n)
(1)求系统的单位样值响应 h(n)。
(2)当输入信号为 f(n)=(-0.5)nU(n)求零状态响应 yf(n)，当
输入序列为 f(n)=δ(n)+0.5δ(n-1)时,yf(n)?
)()5.0)(1(
)()5.0()()5.0()]([)( 1
nUn
nUnUnzYZny
n
nn
ff
???
?????? ?
)()5.0()]([)( 1 nUzHZnh n???? ?5.0)(
)()(
???? z
z
zF
zYzH
解, (1)在零状态下对差分方程进行 Z变换，有：
Y(z)+0.5z-1Y(z)=F(z)
(2)当输入序列 f(n)=(-0.5)nU(n)时,F(z)=z/(z+0.5),有
5.0)5.0(
5.0
)5.0()()()( 22
2
???
??
???? z
z
z
z
z
zzFzHzY
f
当输入序列为 f(n)=δ(n)+0.5δ(n-1)时
Yf(n)=h(n)*f(n)=(-0.5)nU(n)+0.5(-0.5)n-1U(n-1)=δ(n)
写出系统的差分方程。
求系统的单位样值响应
应已知系统的单位阶跃响
( 2 )
h ( n )( 1 )
3 ] U ( n ))5.03(-)
3
1
[(g ( n ).7 nn ??
)(])31(2)21(3[)( nUnh nn ???
1)
3
1)(
2
1(13
2
13
3
1)(
2
??????????? z
z
zz
z
z
z
z
z
z
zzG
解, (1)对系统的单位阶跃响应取 Z变换有
2
1
3
3
1
2
)
3
1)(z
2
1-(z
zH ( z )
1z
zH ( z )G ( z ) 2
?
?
?
??
?
??
?
??
z
z
z
z再由
)()5.0(2)( nUny n??
5.0
1
1]5.01[2G ( z ) ???????? zz
z
z
z
z
z解：
5.0
1H ( z )
1z
zH ( z )G ( z )
?????? z再由
2)5.0(
5.02
5.05.0
1)()()(
????????? zzz
z
zzFzHzY f
1z5-z6
z6
6
1z
6
5-z
z
)
3
1)(z
2
1-(z
zH ( z )( 2 )
2
2
2
22
?
?
?
?
?
?系统函数
所以差分方程为,6y(n)-5y(n-1)+y(n-2)=6f(n)
8.已知 LTI系统单位阶跃响应 g(n)=2[1-(0.5)n]U(n)，求系统在激励
f(n)=0.5nU(n)时的零状态响应。
9.系统框图如图，求
(1)系统函数 H(z)
(2)求系统的单位样值响应 h(n)
(3)在激励 f(n)=3nU(n)，初始条件 y(0)=y(1)=0下，求系统的全响应。
∑ D Df ( n )
y ( n )
+
-
-
2
)()1)(1()()2( nUnnh n????
1)1()1(12)(
)()(
22
2
2
2
???
??
??????? z
z
z
z
z
z
zz
z
zF
zYzH
F ( z ))z2zY( z ) ( 1
Z)1(
2--1 ???
变换有方程取在零状态条件下对差分
解：由系统框图可得系统差分方程
y(n)+2y(n-1)+y(n-2)=f(n)
(3)对差分方程做单边 Z变换
2--1
-1
z2z1
y ( - 2 )-y ( - 1 )z-2 y ( - 1 )-F ( z )Y ( z )
???整理得
)()]2()1()([)]1()([2)( 121 zFyyzzYzyzYzzY ????????? ???
5y ( - 2 ),3y ( - 1 )0y ( 1 )y ( 0 ) ???? 代入差分方程求得将
)(]3
16
9)1(
16
9)1(
4
9[)( nUnny nnn ??????
3z
z
16
9
1z
z
16
9
-
1)(z
4
9
1)3 ) ( z-(z
z9
Y ( z )
3z
z
F ( z )
22
?
?
??
?
?
?
?
?
? 代入，整理得再将
。和单位样值响应求系统函数
系统的单位阶跃响应为已知离散时间
h ( n )H ( Z )
] U ( n ),)
2
3(-)
2
1(-[2g ( n )L T I.10 nn ??
)
2
3)(z
2
1-1 ) ( z-(z
)
2
1zz ( 2 z
]
2
3z
z
2
1-z
z
-
1-z
z
[2G ( z )Z
2
?
??
?
?
??变换：解：阶跃响应
] U ( n ))23(-35-)21[(( n )32-h ( n ) nn?? ?因此
2
33
5
2
13
2
)
2
3
)(
2
1
(
2
1
21
*)()(
)()()(
2
?
?
?
???
??
?
?
?
??
??
z
z
z
z
zz
z
z
z
zGzH
nUnhng?
h ( n )U ( n ))
3
1
(y ( n )
1 ),-U ( n)
2
1
(
4
1
-U ( n ))
2
1
(f ( n )L T I.11
n
-1nn
及单位样值响应，求该系统的差分方程所产生的响应为
系统对输入信号若一离散时间
?
?
3
1-z
zY ( z )U ( n ))
3
1(y ( n ) n ???解：零状态响应
2
1
4
1
4
14
2
1)()1(2
1
4
1)(
2
1)( 1
?
?
???
?
????
?
??
?
???
?
??
?
?? ?
z
z
z
z
z
zzFnUnUnf nn
4
1
3
3
1
2
12
1
12
7
2
1
4
1
2
1
3
1)(
)(
)(
2
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
z
z
z
z
zz
zz
z
z
z
z
zF
zY
zH
1)-f ( n21-f ( n )2)-y ( n12 11)-y ( n12 7-y ( n ) ??系统差分方程为：
] U ( n ))413()312([h ( n ) nn ????
连续时间系统
12.系统框图如图，求系统微分方程、系统函数 H(s)，单位冲激
响应 h(t)?
∑ ∫ ∫
- 1
f ( t ) y ( t )
F ( s )
s - 1 s - 1 11
- 1
Y ( s )
1s
1-
s
1
1)s ( s
1
s1
sH ( s )
1
2
?????? ?
?
由流图可得
f ( t )( t )y( t )y
H ( S )
''' ??
得微分方程为：由
)(]e-[1t)(h -t tU??
解：将系统化为信号流图：
11)(s
1s
2s
3
1]1)2 ) [ ( s(s
s3
4s6s4s
s3H ( s )
2223 ??
??
?
??
????????整理得：
32-1
2
s4s64s1
s3H ( s )
??
?
????则可得
] U ( t )e-c o s t3 [ eh ( t ) - 2 t-t?
(t)f34 y ( t )(t)6y(t)y4(t)y ''''''' ????微分方程为：
图所示：解：系统的流图形式如
13.系统框图如图，求 H(s)，系统微分方程及单位冲激响应 h(t)
∫ ∫ ∫∑
- 4
- 6
- 4
3
f ( t )
y ( t )
F ( s ) 1 s
- 1
s - 1 s - 1
- 4
- 6
- 4
3
Y ( s )
1s
2L [ f ( t ) ]F ( s )
???解：
h ( t ) ) U ( t )8e4e-( 2 ey ( t )
U ( t )2ef ( t )L T I.14
3t2t-t-
t
求系统的单位冲激响应
时，其零状态响应为系统在激励为某
??
? ?
)3)(2)(1(
16306
]
3
8
2
4
1
2
[)]([)(
2
???
??
?
?
?
?
?
?
??
sss
ss
sss
tyLsY
变换：零状态响应的拉普拉斯
3
16
2
23
)3)(2(
8153
)(
)()( 2
???????
????
ssss
ss
sF
sYsH
)(]162[)(3)]([Lh ( t ) 321 tUeetsH tt ????? ?? ?
1s
s
s
1
G ( s )
L [ U ( t ) ]
G ( s )
H ( s )
1s
1
L [ g ( t ) ]G ( s )
?
????
?
???解：
]21[)]2(2)2()2[()]2([)( 22 ssetUtUtLttULsF s ????????? ?
)2(]1[)]2()2([)( )2()2( ???????? ???? tUetUetUty ttf
]111[)1( 211)21()()()( 2222 ????????????? ??? ssess ses ss sesHsFsY sssf
(t)y2)-t U( tf(t)
U( t ),eg ( t )L T I.15
f
t
，该系统的零状态响应
若系统的输入系统的阶跃响应已知
?
? ?
f ( t ),U ( t )1 1 t ) e-(1( t )y
U ( t )e11-( t )h ( t ) L T I.16
- 1 0 t
f
- 1 0 t
，求系统的输入若零状态响应为
，冲激响应系统的单位已知
?
? ?
10s
1s
10s
11-1L [ h ( t ) ]H ( s )
?
??
???解：
10
1
)(
)()(
???? ssH
sYsF f
)()]([)( 101 tUesFLtf t?? ???
22 )10(
1
)10(
11
10
1)]([)(
?
??
?
?
?
??
s
s
ss
tyLsY ff
的值。，求
且的零、极点分布如图，如图所示电路，已知
R L C1H ( 0 )
H ( s ).17
?
5F2.0C2HL2R ?????,，
22ss
2H ( s )2k1H ( 0 )
2 ?????? 即由
RsLL R Cs
RH ( s )S
2 ???域模型，可得：画电路图的
11)(s
kH ( s )H ( s )
2 ???的零极点分布图可得：解：由
+
-
f ( t )
L
R
C
y ( t )
+
-
sL
sC
1
×
×
j
- j
- 1
0
?
?j
答案不唯一
系统的单位阶跃响应
的表达式系统函数
，求：，且的零、极点分布图如图因果系统已知
( 2 )
H ( s )( 1 )
1H ( 0 )H ( S )L T I.18 ?
)1)(2)(5(
)1()(,
)61 ) ( s-(s
)2(k( s )HH ( s ))1( 2
211 ???
??
?
??
sss
sksHs的零极点分布图可得：由解：
得由 s1H ( s )L [ U ( t ) ]H ( s )G ( s ))2( ????
6
1
7
2
1
1
7
91
)6)(1(
)2(3)(
1 ???????
???
ssssss
ssG
1)2 ) ( s5 ) ( s(s
)1-(s10( s )H
)6)(s1(s
2)(s3( s )H
21 ???
??
??
???即
10k,3k1H ( 0 ) 21 ?????,得再由
× ×
?
?j
1- 2- 6 ?
?j
1- 2- 5
× ××
- 1
0 0
a ) b )
5
1
2
5
1
51)(
2 ??????? sssssG
)()551()()()72791()( 52261 tUeeetgtUeetg ttttt ???? ????????
域模型如图：解：电路的 S
代入方程可得其中,2s 1( t) ]L [ u( s )U ss ???
01)(3)()(KVLa b c a ??? ssisisU s方程有：列对回路
)(]1636[)(4)( 23 tUeettu ttL ?? ????? ?
的零状态响应。，求如图所示电路，已知 )(U ( t )e( t )u.19 - 2 ts tU L?
+
-
u s ( t )
1 Ω
i 2 i
1 F 2 H
+
-
u L ( t )
2 s
1 / s
a
b
c
)2)(3(2
1
3)( ??????? ss
s
ss
ssi
3
36
2
164
)3)(2(
4)(22)( 2
????????
??????
ssss
ssissU
L
入输出方程有：对图中两个加法器写输解,( 1 )
)()(
1
1
)(
)(
3
1
)()(
11
1
sYsYk
s
sY
sY
s
sYsF
???
?
?
?
?
Y ( s )1)k3 ) ( s(s k-2s4sF ( s )
2
???
???整理得
kss
ksks
sF
sYsH
???
???????
24
)1(3)4(
)(
)()(
2
2
2)2( ?k
的取值范围使系统稳定的
系统函数
，求因果系统框图如图所示某
k( 2 )
H ( s )( 1 )
L T I.20 1
1
?s
3
1
?s
k∑ ∑
f ( t ) +
y ( t )
+
+
+
y 1 ( s )
频域分析
相位谱。，并画出单边幅度谱和数，求展开成三角型傅立叶级，将
系数是：，已知其非零复傅立叶基波周期，一连续周期信号
n
*
3-3
-11
Af ( t )4jFF
2FF8T f ( t ).21
??
???
得及解：由 nj-nn-n eA21F21F ?? ?? njn eA
4T
2
28A04A 03311
?????? ??????,另有，，，解得
)24c o s (84c o s4)c o s ()c o s ()( 303101 ??????? ???????? tttAtAtf
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
? jeAF
jeAF
eAF
eAF
j
j
j
j
4
2
1
4
2
1
2
2
1
2
2
1
3
3
1
1
33
33
11
11
?
?
?
?
!幅度谱和相位谱略
nn j-nn-j1n eA
2
1FeA
2
1F ?? ?? 及解：由
3),23
5c o s (4)0
3
2c o s (2)
3
5s i n (4)
3
2c o s (2)(
0
??????? ????????? tttttf
jFjeF
FeFAF
j
j
2,24
2
1
2
1
,
2
1
1
2
1
,2
5
2
5
2
0
200
??????
????????
?
?
?
?
)(2)(212)( 3
5
3
5
3
2
3
2
0
tjtjtjtjtjn
n eejeeeFtf
????? ??? ??????? ?
!幅度谱和相位谱略
)( j nF
t ),
3
54 s i n (t)
3
2c o s (2f ( t ).22
0n 位谱。并画出双边幅度谱和相信号形式，求
将其表示成复指数已知连续周期信号：
?
?? ???
。时的输出其中当输入为
。如图，其相频特性系统的频率响应已知
y ( t )1 r a d /s,eef(t)
0)()H ( jL T I.23
0
tjn
n
n
2
j-
0 ??
?
?
?
???
?
???
?
?
)n-(e2F [ f ( t ) ])F ( j
f ( t )
0
n
n
2
j-
?????
?
?
?
???
??
做傅立叶变换有：解：对
)(2)()()(
2
2
2 nejFjHjY
n
nj ???? ?
??
? ?????? ?
tteejYFty
n
j n tnj 2c o s2s i n21)]([)(
2
2
21 ?????? ?
??
?? ??
??
??
??
-n
n2j-
0 n)-(e2)F ( j1 r a d / s ?????
?
代入有：将
0 2, 5- 2, 5
H ( jω )
ω
1
的频谱，，试画出，为
的频谱入信号如图所示系统，已知输
y ( t )x ( t ))(G)(jH)F ( j
f(t).24
62 ??? ?
)()()( 11 ??? jFjHjX ?
3 ) ] }-[ j ()]3{ X [ j (21)(3c o s)()( 11 ??? XjXttxtx ??????
如图解,5 ) ] }-F [ j (5 ) ]{ F [ j (21)(jFf ( t ) c o s 5 t( t )f 11 ??? ?????
X
- 5 - 3 3 5
H 1 ( j ω )
1 X H
2 ( j ω )
c o s 3 tc o s 5 t
f ( t )
x ( t )f
1 ( t )
y ( t )x
1 ( t )
ω- 2 20
F ( jω )
1
ω- 7 - 3
F 1 ( j ω )
3 75- 5 0
1/21/2
ω- 3
X 1 ( j ω )
3 6- 8 0 8- 6
1/4 1/41/4 1/4
ω- 3
X ( j ω )
3 5- 5 0
1/2 1/2
:)()()( 12 如图??? jXjHjY ?
ω- 3
Y ( j ω )
30
1 / 41 / 4
如图)()( 62 ?? jGjH ?
1
- 3 3
ω
H 2 ( jω )
1.列出下图所示电路的状态方程。
i ( t )
1 H
1 H
1 H
1 F1 Ω
解,选取两个独立电感中的电流及电容
的电压为状态变量 λ1λ2λ3 λ1 λ
2
λ3 +
-
i(t)-λ1
对回路 aecba及 bcdb列 KVL方程有：
a b c
d
e
1·λ1+1·λ2-1·[i(t)-λ1]=0
.,‘
1·λ2+λ3-1·[λ1-λ2]=0.
对节点 c列 KCL方程：
1·λ3=λ2+i(t)-λ1.
整理得：
λ2=λ1-λ2-λ3.
λ3=-λ1+λ2+i(t).
λ1=(-1/2)λ1+(1/2)λ2+(1/2)λ3+(1/2)i(t)
,‘
2.已知系统的信号流图如图所示，以积分器的输出作为状态变量
列出状态方程和输出方程。
F ( s ) 1 s - 1
- 1
s
- 1 s
- 1
1 11
2
4
3
2
Y(s)
解：选取积分器的输出端状态变量如图，则有
λ1 λ2 λ3
y(t)=2λ1+λ3
标准形式略
λ1=-λ1+2λ2+4λ3+f(t)
.
λ2=λ1
.
λ3=λ2+3λ3
.
3.已知离散系统的信号流图如下图所示，列出状态方程和输出方程
F ( z )
Y
1
( z )
Y
2
( z )
- 2
1
2
- 1
2
z
- 1
z
- 1
- 1
2
3
解,λ1
λ2
选取延时器的输出为状态变量如图：
λ1(n+1)=2λ1-λ2+2f(n)
λ2(n+1)=2λ1-λ2+3f(n)
输出方程：
y1(n)=2λ1
y2(n)=λ2
标准形式略
4.已知连续时间 LTI系统的信号流图，求 H(s)
- 1
F ( s )
s
- 1
s
- 1
s
- 1
1 0
1
- 1
1
1
Y ( s )
- 1
解,(1)求△。共有四条环路，分别用 L1,L2,L3,L4表示
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
L1=(λ1---λ2-----λ3----λ4---λ5----λ1)=-10s-3
L2=(λ1---λ2-----λ3----λ4---λ5----λ1)=-10s-2
L3=(λ2-----λ3----λ4---λ5----λ2)=-10s-2
L4=(λ3----λ4---λ3)=-s-1
没有不接触的环路，故
△ =1+10s-3+20s-2+s-1
(2)前向通路共有 2条，与所有的环路都接触故有：
∑gk△ k=10S-3+10S-2
图式及并联形式的信号流出其直接形式、串联形
分别画系统的系统函数已知连续时间,
1 8 s9ss
156sH ( s )L T I.5
23 ??
??
1020
)1(10
20101
10101
)(
23
123
23
???
?
?
???
?
??
?
? ?
???
??
sss
s
sss
ss
gsH
kk
F ( s )
s
- 1 s - 1 s - 1
Y ( s )
- 1 8
- 9
6
1
1 5
1
解, (1)直接形式
(2)串联形式：
6
52
3
13
189
156)(
23 ?
??
?????
??
s
s
sssss
ssH
6
6
7
3
3
1
6
5
189
156)(
23 ?
?
?????? ?? ssssss ssH
F ( s ) Y ( s )
13 s - 1 1 s - 1
- 3
1 s - 1
- 6
2
5
F ( s )
6
5
3
1
6
7
?
- 6
- 3
s
- 1
s
- 1
s
- 1
Y ( s )
1
1
1
(3)并联形式
离散系统分析
6.已知 LTI系统的差分方程为 y(n)+0.5y(n-1)=f(n)
(1)求系统的单位样值响应 h(n)。
(2)当输入信号为 f(n)=(-0.5)nU(n)求零状态响应 yf(n)，当
输入序列为 f(n)=δ(n)+0.5δ(n-1)时,yf(n)?
)()5.0)(1(
)()5.0()()5.0()]([)( 1
nUn
nUnUnzYZny
n
nn
ff
???
?????? ?
)()5.0()]([)( 1 nUzHZnh n???? ?5.0)(
)()(
???? z
z
zF
zYzH
解, (1)在零状态下对差分方程进行 Z变换，有：
Y(z)+0.5z-1Y(z)=F(z)
(2)当输入序列 f(n)=(-0.5)nU(n)时,F(z)=z/(z+0.5),有
5.0)5.0(
5.0
)5.0()()()( 22
2
???
??
???? z
z
z
z
z
zzFzHzY
f
当输入序列为 f(n)=δ(n)+0.5δ(n-1)时
Yf(n)=h(n)*f(n)=(-0.5)nU(n)+0.5(-0.5)n-1U(n-1)=δ(n)
写出系统的差分方程。
求系统的单位样值响应
应已知系统的单位阶跃响
( 2 )
h ( n )( 1 )
3 ] U ( n ))5.03(-)
3
1
[(g ( n ).7 nn ??
)(])31(2)21(3[)( nUnh nn ???
1)
3
1)(
2
1(13
2
13
3
1)(
2
??????????? z
z
zz
z
z
z
z
z
z
zzG
解, (1)对系统的单位阶跃响应取 Z变换有
2
1
3
3
1
2
)
3
1)(z
2
1-(z
zH ( z )
1z
zH ( z )G ( z ) 2
?
?
?
??
?
??
?
??
z
z
z
z再由
)()5.0(2)( nUny n??
5.0
1
1]5.01[2G ( z ) ???????? zz
z
z
z
z
z解：
5.0
1H ( z )
1z
zH ( z )G ( z )
?????? z再由
2)5.0(
5.02
5.05.0
1)()()(
????????? zzz
z
zzFzHzY f
1z5-z6
z6
6
1z
6
5-z
z
)
3
1)(z
2
1-(z
zH ( z )( 2 )
2
2
2
22
?
?
?
?
?
?系统函数
所以差分方程为,6y(n)-5y(n-1)+y(n-2)=6f(n)
8.已知 LTI系统单位阶跃响应 g(n)=2[1-(0.5)n]U(n)，求系统在激励
f(n)=0.5nU(n)时的零状态响应。
9.系统框图如图，求
(1)系统函数 H(z)
(2)求系统的单位样值响应 h(n)
(3)在激励 f(n)=3nU(n)，初始条件 y(0)=y(1)=0下，求系统的全响应。
∑ D Df ( n )
y ( n )
+
-
-
2
)()1)(1()()2( nUnnh n????
1)1()1(12)(
)()(
22
2
2
2
???
??
??????? z
z
z
z
z
z
zz
z
zF
zYzH
F ( z ))z2zY( z ) ( 1
Z)1(
2--1 ???
变换有方程取在零状态条件下对差分
解：由系统框图可得系统差分方程
y(n)+2y(n-1)+y(n-2)=f(n)
(3)对差分方程做单边 Z变换
2--1
-1
z2z1
y ( - 2 )-y ( - 1 )z-2 y ( - 1 )-F ( z )Y ( z )
???整理得
)()]2()1()([)]1()([2)( 121 zFyyzzYzyzYzzY ????????? ???
5y ( - 2 ),3y ( - 1 )0y ( 1 )y ( 0 ) ???? 代入差分方程求得将
)(]3
16
9)1(
16
9)1(
4
9[)( nUnny nnn ??????
3z
z
16
9
1z
z
16
9
-
1)(z
4
9
1)3 ) ( z-(z
z9
Y ( z )
3z
z
F ( z )
22
?
?
??
?
?
?
?
?
? 代入，整理得再将
。和单位样值响应求系统函数
系统的单位阶跃响应为已知离散时间
h ( n )H ( Z )
] U ( n ),)
2
3(-)
2
1(-[2g ( n )L T I.10 nn ??
)
2
3)(z
2
1-1 ) ( z-(z
)
2
1zz ( 2 z
]
2
3z
z
2
1-z
z
-
1-z
z
[2G ( z )Z
2
?
??
?
?
??变换：解：阶跃响应
] U ( n ))23(-35-)21[(( n )32-h ( n ) nn?? ?因此
2
33
5
2
13
2
)
2
3
)(
2
1
(
2
1
21
*)()(
)()()(
2
?
?
?
???
??
?
?
?
??
??
z
z
z
z
zz
z
z
z
zGzH
nUnhng?
h ( n )U ( n ))
3
1
(y ( n )
1 ),-U ( n)
2
1
(
4
1
-U ( n ))
2
1
(f ( n )L T I.11
n
-1nn
及单位样值响应，求该系统的差分方程所产生的响应为
系统对输入信号若一离散时间
?
?
3
1-z
zY ( z )U ( n ))
3
1(y ( n ) n ???解：零状态响应
2
1
4
1
4
14
2
1)()1(2
1
4
1)(
2
1)( 1
?
?
???
?
????
?
??
?
???
?
??
?
?? ?
z
z
z
z
z
zzFnUnUnf nn
4
1
3
3
1
2
12
1
12
7
2
1
4
1
2
1
3
1)(
)(
)(
2
2
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
z
z
z
z
zz
zz
z
z
z
z
zF
zY
zH
1)-f ( n21-f ( n )2)-y ( n12 11)-y ( n12 7-y ( n ) ??系统差分方程为：
] U ( n ))413()312([h ( n ) nn ????
连续时间系统
12.系统框图如图，求系统微分方程、系统函数 H(s)，单位冲激
响应 h(t)?
∑ ∫ ∫
- 1
f ( t ) y ( t )
F ( s )
s - 1 s - 1 11
- 1
Y ( s )
1s
1-
s
1
1)s ( s
1
s1
sH ( s )
1
2
?????? ?
?
由流图可得
f ( t )( t )y( t )y
H ( S )
''' ??
得微分方程为：由
)(]e-[1t)(h -t tU??
解：将系统化为信号流图：
11)(s
1s
2s
3
1]1)2 ) [ ( s(s
s3
4s6s4s
s3H ( s )
2223 ??
??
?
??
????????整理得：
32-1
2
s4s64s1
s3H ( s )
??
?
????则可得
] U ( t )e-c o s t3 [ eh ( t ) - 2 t-t?
(t)f34 y ( t )(t)6y(t)y4(t)y ''''''' ????微分方程为：
图所示：解：系统的流图形式如
13.系统框图如图，求 H(s)，系统微分方程及单位冲激响应 h(t)
∫ ∫ ∫∑
- 4
- 6
- 4
3
f ( t )
y ( t )
F ( s ) 1 s
- 1
s - 1 s - 1
- 4
- 6
- 4
3
Y ( s )
1s
2L [ f ( t ) ]F ( s )
???解：
h ( t ) ) U ( t )8e4e-( 2 ey ( t )
U ( t )2ef ( t )L T I.14
3t2t-t-
t
求系统的单位冲激响应
时，其零状态响应为系统在激励为某
??
? ?
)3)(2)(1(
16306
]
3
8
2
4
1
2
[)]([)(
2
???
??
?
?
?
?
?
?
??
sss
ss
sss
tyLsY
变换：零状态响应的拉普拉斯
3
16
2
23
)3)(2(
8153
)(
)()( 2
???????
????
ssss
ss
sF
sYsH
)(]162[)(3)]([Lh ( t ) 321 tUeetsH tt ????? ?? ?
1s
s
s
1
G ( s )
L [ U ( t ) ]
G ( s )
H ( s )
1s
1
L [ g ( t ) ]G ( s )
?
????
?
???解：
]21[)]2(2)2()2[()]2([)( 22 ssetUtUtLttULsF s ????????? ?
)2(]1[)]2()2([)( )2()2( ???????? ???? tUetUetUty ttf
]111[)1( 211)21()()()( 2222 ????????????? ??? ssess ses ss sesHsFsY sssf
(t)y2)-t U( tf(t)
U( t ),eg ( t )L T I.15
f
t
，该系统的零状态响应
若系统的输入系统的阶跃响应已知
?
? ?
f ( t ),U ( t )1 1 t ) e-(1( t )y
U ( t )e11-( t )h ( t ) L T I.16
- 1 0 t
f
- 1 0 t
，求系统的输入若零状态响应为
，冲激响应系统的单位已知
?
? ?
10s
1s
10s
11-1L [ h ( t ) ]H ( s )
?
??
???解：
10
1
)(
)()(
???? ssH
sYsF f
)()]([)( 101 tUesFLtf t?? ???
22 )10(
1
)10(
11
10
1)]([)(
?
??
?
?
?
??
s
s
ss
tyLsY ff
的值。，求
且的零、极点分布如图，如图所示电路，已知
R L C1H ( 0 )
H ( s ).17
?
5F2.0C2HL2R ?????,，
22ss
2H ( s )2k1H ( 0 )
2 ?????? 即由
RsLL R Cs
RH ( s )S
2 ???域模型，可得：画电路图的
11)(s
kH ( s )H ( s )
2 ???的零极点分布图可得：解：由
+
-
f ( t )
L
R
C
y ( t )
+
-
sL
sC
1
×
×
j
- j
- 1
0
?
?j
答案不唯一
系统的单位阶跃响应
的表达式系统函数
，求：，且的零、极点分布图如图因果系统已知
( 2 )
H ( s )( 1 )
1H ( 0 )H ( S )L T I.18 ?
)1)(2)(5(
)1()(,
)61 ) ( s-(s
)2(k( s )HH ( s ))1( 2
211 ???
??
?
??
sss
sksHs的零极点分布图可得：由解：
得由 s1H ( s )L [ U ( t ) ]H ( s )G ( s ))2( ????
6
1
7
2
1
1
7
91
)6)(1(
)2(3)(
1 ???????
???
ssssss
ssG
1)2 ) ( s5 ) ( s(s
)1-(s10( s )H
)6)(s1(s
2)(s3( s )H
21 ???
??
??
???即
10k,3k1H ( 0 ) 21 ?????,得再由
× ×
?
?j
1- 2- 6 ?
?j
1- 2- 5
× ××
- 1
0 0
a ) b )
5
1
2
5
1
51)(
2 ??????? sssssG
)()551()()()72791()( 52261 tUeeetgtUeetg ttttt ???? ????????
域模型如图：解：电路的 S
代入方程可得其中,2s 1( t) ]L [ u( s )U ss ???
01)(3)()(KVLa b c a ??? ssisisU s方程有：列对回路
)(]1636[)(4)( 23 tUeettu ttL ?? ????? ?
的零状态响应。，求如图所示电路，已知 )(U ( t )e( t )u.19 - 2 ts tU L?
+
-
u s ( t )
1 Ω
i 2 i
1 F 2 H
+
-
u L ( t )
2 s
1 / s
a
b
c
)2)(3(2
1
3)( ??????? ss
s
ss
ssi
3
36
2
164
)3)(2(
4)(22)( 2
????????
??????
ssss
ssissU
L
入输出方程有：对图中两个加法器写输解,( 1 )
)()(
1
1
)(
)(
3
1
)()(
11
1
sYsYk
s
sY
sY
s
sYsF
???
?
?
?
?
Y ( s )1)k3 ) ( s(s k-2s4sF ( s )
2
???
???整理得
kss
ksks
sF
sYsH
???
???????
24
)1(3)4(
)(
)()(
2
2
2)2( ?k
的取值范围使系统稳定的
系统函数
，求因果系统框图如图所示某
k( 2 )
H ( s )( 1 )
L T I.20 1
1
?s
3
1
?s
k∑ ∑
f ( t ) +
y ( t )
+
+
+
y 1 ( s )
频域分析
相位谱。，并画出单边幅度谱和数，求展开成三角型傅立叶级，将
系数是：，已知其非零复傅立叶基波周期，一连续周期信号
n
*
3-3
-11
Af ( t )4jFF
2FF8T f ( t ).21
??
???
得及解：由 nj-nn-n eA21F21F ?? ?? njn eA
4T
2
28A04A 03311
?????? ??????,另有，，，解得
)24c o s (84c o s4)c o s ()c o s ()( 303101 ??????? ???????? tttAtAtf
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
? jeAF
jeAF
eAF
eAF
j
j
j
j
4
2
1
4
2
1
2
2
1
2
2
1
3
3
1
1
33
33
11
11
?
?
?
?
!幅度谱和相位谱略
nn j-nn-j1n eA
2
1FeA
2
1F ?? ?? 及解：由
3),23
5c o s (4)0
3
2c o s (2)
3
5s i n (4)
3
2c o s (2)(
0
??????? ????????? tttttf
jFjeF
FeFAF
j
j
2,24
2
1
2
1
,
2
1
1
2
1
,2
5
2
5
2
0
200
??????
????????
?
?
?
?
)(2)(212)( 3
5
3
5
3
2
3
2
0
tjtjtjtjtjn
n eejeeeFtf
????? ??? ??????? ?
!幅度谱和相位谱略
)( j nF
t ),
3
54 s i n (t)
3
2c o s (2f ( t ).22
0n 位谱。并画出双边幅度谱和相信号形式，求
将其表示成复指数已知连续周期信号：
?
?? ???
。时的输出其中当输入为
。如图，其相频特性系统的频率响应已知
y ( t )1 r a d /s,eef(t)
0)()H ( jL T I.23
0
tjn
n
n
2
j-
0 ??
?
?
?
???
?
???
?
?
)n-(e2F [ f ( t ) ])F ( j
f ( t )
0
n
n
2
j-
?????
?
?
?
???
??
做傅立叶变换有：解：对
)(2)()()(
2
2
2 nejFjHjY
n
nj ???? ?
??
? ?????? ?
tteejYFty
n
j n tnj 2c o s2s i n21)]([)(
2
2
21 ?????? ?
??
?? ??
??
??
??
-n
n2j-
0 n)-(e2)F ( j1 r a d / s ?????
?
代入有：将
0 2, 5- 2, 5
H ( jω )
ω
1
的频谱，，试画出，为
的频谱入信号如图所示系统，已知输
y ( t )x ( t ))(G)(jH)F ( j
f(t).24
62 ??? ?
)()()( 11 ??? jFjHjX ?
3 ) ] }-[ j ()]3{ X [ j (21)(3c o s)()( 11 ??? XjXttxtx ??????
如图解,5 ) ] }-F [ j (5 ) ]{ F [ j (21)(jFf ( t ) c o s 5 t( t )f 11 ??? ?????
X
- 5 - 3 3 5
H 1 ( j ω )
1 X H
2 ( j ω )
c o s 3 tc o s 5 t
f ( t )
x ( t )f
1 ( t )
y ( t )x
1 ( t )
ω- 2 20
F ( jω )
1
ω- 7 - 3
F 1 ( j ω )
3 75- 5 0
1/21/2
ω- 3
X 1 ( j ω )
3 6- 8 0 8- 6
1/4 1/41/4 1/4
ω- 3
X ( j ω )
3 5- 5 0
1/2 1/2
:)()()( 12 如图??? jXjHjY ?
ω- 3
Y ( j ω )
30
1 / 41 / 4
如图)()( 62 ?? jGjH ?
1
- 3 3
ω
H 2 ( jω )
