,信号与系统, CAI课件
通信与信息工程系
2004.03.28
第四章 (2)
§ 4.5 复频域分析
一、微分方程的变换解
复频域分析就是，在复频域中，已知输入信号和系统，如何
求解系统的输出响应问题。
LTI系统均可由微分方程来描述这，拉普拉斯变换可以将微分
方程变换成 S域 (复频域 )中的代数方程，便于运算求解。
)0()()(' ??? fssFtf ? ? ? ?? ?
)0()0()(
)0(0)(
2
''
??
??
????
????
fsfsFs
ffssFstf
我们采用 0-系统求解，简便起见，只要知道 起始状
态，就可以求解出响应 。
利用拉普拉斯变换的时域微分定理
).()( 5)(,1)0(1)0(
265
tytUC o s ttfyy
fyyyLTI
求全响应激励，
已知系统的微分方程为描述例
?????
??????
??
斯变换解：对方程进行拉普拉
)(2)(6)]y ( 0-s Y ( s ) [5)]0()0()([ -'2 sFsYysysYs ????? ??
F ( s )
65ss
2
65ss
)5 y ( 0)(0y)s y ( 0
Y ( s )
)(2)]0(5)0()0([]65)[(
22
--
'
-
'2
??
?
??
??
?
?????? ??? sFyysysssY
整理得：
零输入响应 零状态响应
代入方程将 -1)(0y1,)y ( 0,1s 5s)]L [ 5 c o s t U ( tF( s ) -'-2 ?????
))(3 ) ( s2 ) ( s(s
10s
)3)(2(s
4sY ( s )
jsjs ???????
??
1s
5s
65ss
2
65ss
4sY ( s )
222 ???????
??
)()]}
4
c os (234[)2{ [ ()(
2
1
2
1
2
3
2
4
)
3
1
2
2
()(
3232
44
tUteeeety
js
e
js
e
ssss
sY
tttt
jj
?
??
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
列 s域方程（可以从两方面入手）
? 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；
? 直接按电路的 s域模型建立代数方程。
求解 s域方程。
)()( tfsF ?,得到时域解答。
二,S域模型分析法
若系统以电路的形式给出，那么复频域分析就等效于复频域
电路分析的问题。可分为三个步骤：
① 电阻元件的 s域模型
)()( sRIsV RR ?
R
sVsI R
R
)()( ?或
R
? ?)( sV R
)( sI R
? ? ? ?tRitv RR ?
1.电路元件的 s域模型
② 电感元件的 s域模型
)0()()( ??? LLL LiLssIsV
利用电源转换可以得到电流源形式的 s域模型：
)0(1)()( ??? LLL isLs sVsI
??
? ?sV L
? ?sI L Ls ? ??0LLi
? ?? ?sI
L
Ls
? ?
?
0
1
L
i
s
? ?? ?sV
L
? ? ? ?t tiLtv LL dd?
③ 电容元件的 s域模
型
)0(11)()( ??? CCC vssCsIsV
电流源形式：
sC
1 ? ?
?0
1
Cv
s? ?
sI C
? ?? ?sV
C
? ?sI
C
sC
1
? ?
?
0
C
Cv
? ? ?sV
C
?
? ? ? ??
??
? t CC tiCtv d1 ?
)0()()( ??? CCC Cvss C VsI
? ? ?波形求电流电源
闭合，接入直流式开关，态为例下图所示电路起始状
tiE
t
,
S00 ?
S L C
RE ? ?ti
Ls
sC
1
R
s
E
? ?sI
(1) ? ? ? ? V00A,00 ???
?? CL vi起始状态为０
(2) 域等效模型的 st 0?
(3) 列方程 ? ? ? ? ? ?
s
EsI
CssRIsLs I ???
1
解：
极点
? ? ? ? ? ? sEsICssRIsL s I ??? 1
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
LC
s
L
R
s
L
E
sC
RLss
E
sI
1
1
1 2
：极点 2,1 pp
LCR
L
R
Lp 1
22
2
1 ???
??
?
????
LCR
L
R
Lp 1
22
2
2 ???
??
?
????
故 ? ? ? ?? ?
21
1
pspsL
EsI
???
? ? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
??
?
2121
111
pspsppL
E
逆变换
? ? ? ? ? ?tptpppL Eti 21 ee
21
???
设
LCωL
R 1,
2 0 ?＝?
则 20222021,ωααpωp ???????? ??
? ?回路无损耗的，第一种情况,LCα 0?
?????? ?? αωLCQRωα 2Q 00 回路，的较小，高即第二种情况：
0ωα ?第三种情况
? ?，不能振荡较大，低第四种情况 QRωα 0?
波形
? ?回路无损耗的,LCα 0?第一种情况：
01 jωp ? 02 jωp ??
? ? ? ?tωtωωLEti 00 jj
0
eej2 1 ???? ? ?t
L
CE
0s i n ???
阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。
第二种情况,?
?
??
?
? ??
α
ωLCQRωα
2Q
0
0 回路，的较小，高即
引入符号 2
0 αωω d ??
所以
dωωα j02 ??
dωαp j1 ??? dωαp j2 ???
? ? ? ? ? ?? ?tωαtωα
d
dd
ωL
Eti jj ee
j2
1 ???? ??? ? ?tωL ωE dtα
d
s i ne ???
就越小，衰减越慢越小，衰减振荡,αRLRα,2?
第三种情况：
0ωα ?
LCL
R 1
2 ?
αpp ??? 21
? ?表示式为这时有重根的情况,sI? ? ? ? 21
αsL
EsI
?
?
? ? tLRαt tLELEti 2ee ?? ????
生振荡，是临界情况越大，阻尼大，不能产R
第四种情况,? ?，不能振荡较大，低 QRωα
0?
? ? ?
?
??
?
? ?
?
?? ???? ttωααt ωα
ωαL
Eti 202202 eee
2
1
2
0
2
?????? ?
?
?? ? tωα
ωαL
E αt 2
0
2
2
0
2
s i n he1 双曲线
波形
O t
? ?ti
0??
0
?? ?
0
?? ?
0
?? ?
1.定义
一．系统函数
? ? ? ? ? ?sHsEsR ???
响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
)( th
? ?sH? ?te ? ?sE ? ?tr ? ?sR
)(
)()(
sE
sRsH ?所以
? ? ? ? ? ?thtetr ??
)]([)()],([)( teLsEtrLsR ??其中
系统的零状态响应时当,)()( tte ??
)()( thtr ?)()( sHsR ? )()]([ sHthL ?则
§ 4.6系统函数与稳定系统
2.H(s)的几种情况
策动点函数,激励与响应在同一端口时
策动点导纳
)(
)()(
1
1
sI
sVsH ?
策动点阻抗
单端口
网络
? ?sI 1
?
?
? ?sV 1
1
1 ?
双端口
网络
? ?sI 1
?
?
? ?sV 1
1
1 ?
? ?sI 2
?
?
? ?sV 2
2
2 ?
)(
)()(
1
2
sV
sIsH ?
转移导纳
)(
)()(
1
2
sI
sVsH ?
转移阻抗
)(
)()(
1
2
sV
sVsH ?
电压比
)(
)()(
1
2
sI
sIsH ?
电流比
转移函数,激励和响应 不 在同一端口
4.应用：求系统的响应
3．求 H(s)的方法
)()()()()( thtetrthsH ????方法一：
)()()()( trsEsHsR ??方法二：
? ? ? ?sHth ?
? ? ? ?? ?sE sRsH ?
? ? ? ?? ?sE sRsH ?利用网络的 s域元件模型图，列 s域方程 →
微分方程两端取拉氏变换 →
? ? ? ? ? ?ththth 21 ?? )()()( 21 sHsHsH ??
)()()(, 21 ththth ??时域
)()()(, 21 sHsHsH ??复频域
? ?sH
1
? ?sH
2
? ?sE ? ?sR
? ?sH 1 ? ?sH 2? ?sE ? ?sR
5,LTI系统的并联
6,LTI系统的级联
7,LTI系统的反馈连接
)()()( 21 sEsEsE ?? )()()( 22 sHsRsE ??
? ?)()()()( 21 sEsEsHsR ???
)()()()( 211 sEsHsEsH ??
)()()()()( 211 sRsHsHsEsH ???
)()(1
)(
)(
)()(
21
1
sHsH
sH
sE
sRsH
???所以
? ?sH
1
? ?sH
2
? ?sE ? ?sR? ?sE
1
? ?sE
2
?
?
二、系统稳定性
某连续时间系统的系统函数
? ? 20 0 1.011 ???? sssH
当输入为 u(t)时，系统的零状态响应的象函数为
? ? 20 0 5.0110 0 5.01zs ?????? ssssR
? ? ? ? ? ?tutr tt 2zs e005.0e1 ??? ?
1005.0 ??
但 t很大时，这个正指数项
超过其他项并随着 t 的增
大而不断增大
1、引言
稳定性是系统 自身的性质 之一, 系统是否稳定 与激
励信号的情况无关 。 冲激响应和 h(t),H(s)系统函数
从两方面表征了同一系统的本性, 所以能从两个方面确
定系统的稳定性 。
2、稳定性定义
一个系统, 如果对任意的有界输入, 其零状态响应
也是 有界 的, 则称该系统有界输入有界输出 （ BIBO）
稳定的系统, 简称 稳定系统 。
对所有的激励信号 e(t)
? ? eMte ?
? ? rMtr ?
其响应 r(t)满足
则称该系统是稳定的 。 式中,
稳定系统的充分必要条件是 （ 绝对可积条件 ）,
为有界正值。re,MM
? ? Mtth ?? ??? d 为有界正值。M
对任意有界输入 e(t)，系统的零状态响应为：
? ? ? ? ? ? ??? d?? ? ??? tehtr
? ? ? ? ? ? ??? d??? ? ??? tehtr
? ? 得，代入 eMte ?
? ? ? ? ?? de ? ???? hMtr
充分性
? ? 则，如果满足 Mdtth ?? ???
? ? MMtr e?充分性得证
? ? ? ?? ?
? ?
? ?
? ???
?
?
?
?
?
??
???
01
00
01
s g n
th
th
th
thte
? ?
。选择如下信号：的
产生无界界的有无界，则至少有一个如果
)(
)( d
tr
tetth?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ?trththte,则响应这表明 ??
? ? ? ? ? ? ??? dtehtr ?? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ? ????? dd0 ?? ?????? ??? hehr
? ? ? ? 0d 也无界无界，则若此式表明,rtth? ? ??
必要性
必要性得证。
)()())((
)()())((
)(
)()(
21
21
nk
mj
pspspsps
zszszszsK
sB
sAsH
??????????
????????????
K?
系统函数的零点
,21 nzzz ???
系统函数的极点
,21 nppp ???
?
?
?
m
j
jzs
1
)(
?
?
?
n
k
kps
1
)(
1．系统函数的零、极点
三．由 H(s)的极点位置判断系统稳定性
2．稳定系统
若 H(s)的全部极点位于 s平面的左半平面 （ 不包括虚
轴 ）, 则可满足
0)(lim ??? tht
系统是稳定的。
0,1 ?? pps
0,0 12 ???? qpqpss
例如 系统稳定；
系统稳定。
3．不稳定系统
???? )(lim tht
如果 H(s)的极点位于 s右半平面, 或在虚轴上有二
阶 （ 或以上 ） 极点
系统是不稳定系统。
4．临界稳定系统
如果 H(s)极点位于 s平面虚轴上，且只有一阶。
为非零数值或等幅振荡。 )(,tht ??
5．系统稳定性的判断
??? ??? tth d)(时域：
从频域看要求 H(s)的极点：
① 右半平面不能有极点 (稳定 )
② 虚轴上极点是单阶的 (临界稳定,实际不稳定 )。
一．序言
冲激响应 h(t)与系统函数 H(s) 从时域和变换域两方
面表征了同一系统的 本性 。
在 s域 分析中，借助系统函数在 s平面 零点与极点
分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多
规律。系统的 时域, 频域特性 集中地以其系统函数的
零、极点分布表现出来。
主要优点：
1．可以预言系统的时域特性；
2．便于划分系统的各个分量
（自由／强迫，瞬态／稳态）；
3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
§ 4.7系统零极点分布与系统时域特性关系
二,H(s)零、极点与 h(t)波形特征的对应
)()())((
)()())((
)(
)()(
21
21
nk
mj
pspspsps
zszszszsK
sB
sAsH
??????????
????????????
K? 系统函数的零点
,21 nzzz ???
系统函数的极点
,21 nppp ???
在 s平面上，画出 H(s)的零极点图：
极点：用 × 表示, 零点：用 ○ 表示
?
?
?
m
j
jzs
1
)(
?
?
?
n
k
kps
1
)(
1．系统函数的零、极点
2,H(s)极点分布与原函数的对应关系
?
?j
O
α? α
0jω
0jω?
几种典型情况
一阶极点
在原点，0,1)( 1 ?? pssH )()]([)( 1 tusHLth ?? ?
apassH ???? 1,1)(
,0),(e)(,,0
),(e)(,,0
指数增加在右实轴上
指数衰减在左实轴上
????
??
?
?
atutha
tutha
at
at
在虚轴上,j,)( 122 ωpωs ωsH ???
)(s i n)(,等幅振荡tωt uth ?
,)()( 22 ωαs ωsH ??? 共轭根,j,j 21 ??????? αpωαp
当,极点在左半平面，衰减振荡
当,极点在右半平面，增幅振荡
0?α
0?α
二阶极点
,,1)( 2 极点在原点ssH ? ????? )(,),()( thtttuth
极点在实轴上，,)( 1)( 2assH ??
0)(,,0),(e)( ????? ? thtαtutth t?
在虚轴上，,)( 2)( 222 ωs ssH ??
增幅振荡 )(,),(s i n)( thtttutth ???
,?t
)(sH
有实际物理意义的物理系统都是 因果系统,即随
,这表明的极点位于 左 半平面，由此可知，
收敛域 包括虚轴, 均存在，两者可通用，只
需 将即可。
? ? )(j ?FsF 和
?j?s
? ? 0?th
三,H(s), E(s)的极点分布与自由响应、
强迫响应特性的对应
激励,)()( sEte ?
?
?
?
?
?
?
?
v
k
k
u
l
l
Ps
zs
sE
1
1
)(
)(
)(
系统函数,)()( sHth ?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
j
j
Ps
zs
sH
1
1
)(
)(
)(
响应,)()( sRtr ?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
j
j
ps
zs
1
1
)(
)(
???
?
v
k k
k
ps
A
1
? ? ?? ? )()( 1 sRLtr
自由响应分量 ＋强制响应分量
?
?
?
?
?
?
v
k
k
u
l
l
Ps
zs
1
1
)(
)(
?)(sR ?
? ?
n
i i
i
ps
A
1
?)(sR
?
?
?
v
k
tp
k tuA
k
1
)(e?
?
n
i
tp
i tuA
i
1
)(e
X
几点认识
?自由响应 的极点只由系统 本身的特性 所决定，与激励
函数的形式无关，然而系数 都有关。 ? ? ? ?sEsHAA
ki,,与
?响应函数 r(t)由两部分组成：
系统函数 的极点 ?自由 响应分量；
激励函数 的极点 ?强迫 响应分量。
?定义 系统行列式（特征方程）的根为系统的 固有频率
（或称“自然频率”、“自由频率”）。
H(s)的极点都是系统的固有频率；
H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失 。
暂态响应和稳态响应
瞬态响应 是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现
的有关成分，随着 t增大，将消失。
稳态响应 ＝完全响应－瞬态响应
左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应 。
一．定义
所谓, 频响特性, 是指系统在正弦信号激励下稳态响
应随频率的变化情况。 ? ?ωH j
前提：稳定的因果系统。
有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
? ? 0lim ??? tht时域：
频域,H(s)的全部极点落在 s左半平面。
其收敛域包括虚轴：
拉氏变换 存在
傅里叶变换 存在
????
????
§ 4.8系统零 极点分布与系统 频响特性的关
系
? ? ? ? ? ?tωEtesH 0m s i n?，激励源设系统函数为
? ? ? ?000mmm s i n ??? tωHEtr
? ? ? ? 0j00
0
ej
j
?HωH
ωs
sH ??
?
其中
? ? ? ? ? ? ? ?ωωHωHωssH ?jejjj ???
? ?ωH j
? ?ω?
频响特性
系统的稳态响应
—— 幅频特性
—— 相 频特性（相移特性）
二．几种常见的滤波器
O
? ??jH
?
c
? O
? ??jH
?
c
?
O
? ??jH
?
1c
?
2c
? O
? ??jH
?
1c
?
低通滤波器 高通滤波器
带通滤波器 带阻滤波器
通带 阻带
截止频率
2c
?
三．根据 H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
i
i
m
j
j
ωsn
i
i
m
j
j
ωs
pω
zω
K
Ps
zs
KsHωH
1
1
j
1
1
j
j
j
j
jψjj Nzω jej ??
iθii MPω jej ??
平面内。
矢量图画于复都看作两矢量之差，将、将 -j j ij pω zω ?
? ? 有关。的特性与零极点的位置可见 ωH j
令分子中每一项
分母中每一项
画零极点图
σ
O
jz
ωj
jN
j?
σ
ωj
i
M
i
p
j
z
j
N
j
ψ
i
θ
O
发生变化。
都、和、则矢量变是滑动矢量,iijj θMψNωω,jj
iθi pMω i ?? jej,极点 j
ψ
j zNω j ??
jej,零点
? ?
n
m
θ
n
θθ
ψ
m
ψψ
MMM
NNNKωH
jj
2
j
1
jj
2
j
1
eee
eeej
21
21
?
??
? ?
? ?n
m
θθθ
n
ψψψ
m
MMM
NNNK
?
?
?
?
??
??
?
21
21
j
21
j
21
e
e
? ?
n
m
MMM
NNNKωH
?
?
21
21j ?
? ? ? ? ? ?nm θθθψψψω ?? ?????? 2121?
当 沿虚轴移动时, 各复数因子 (矢量 )的模和辐角都
随之改变, 于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线 。
?
由矢量图确定频率响应特性
例确定图示系统的频响特性。
sC
1
R
??
? ?
? ?sV 1 ? ?sV 2
? ?
sC
R
R
sV
sV
sH
1)(
)(
1
2
?
??
RC
s
s
sH
1
)(
?
?
? ?
1
1
j
1
j
1
e
e
1
j
j
j θ
ψ
M
N
RC
ω
ω
ωH ?
?
?
?
?
?
? ??
? O
?
RC
1
?
?j
1
M
1
N
1
?
1
?
01 ?z零点,RCp 11 ??极点：
频响特性分析
? ?ωH j 2
2 1
?
?
?
?
?
?
?
?
RC
ω
ω
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
???
??
??
1j
2
1
j
1
0j0
ωHω
ωH
RC
ω
ωHω
? ??ω? CR ωar c t a n
2
π ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
0
4
π1
2
π
0
ωω
ω
RC
ω
ωω
?
?
?
O
?
RC
1
?
?j
1
M
1
N
1
?
1
?
0 2 4 6 8 10
0
0, 5
1
0 2 4 6 8 10
0
0, 5
1
1, 5
2
X
通信与信息工程系
2004.03.28
第四章 (2)
§ 4.5 复频域分析
一、微分方程的变换解
复频域分析就是，在复频域中，已知输入信号和系统，如何
求解系统的输出响应问题。
LTI系统均可由微分方程来描述这，拉普拉斯变换可以将微分
方程变换成 S域 (复频域 )中的代数方程，便于运算求解。
)0()()(' ??? fssFtf ? ? ? ?? ?
)0()0()(
)0(0)(
2
''
??
??
????
????
fsfsFs
ffssFstf
我们采用 0-系统求解，简便起见，只要知道 起始状
态，就可以求解出响应 。
利用拉普拉斯变换的时域微分定理
).()( 5)(,1)0(1)0(
265
tytUC o s ttfyy
fyyyLTI
求全响应激励，
已知系统的微分方程为描述例
?????
??????
??
斯变换解：对方程进行拉普拉
)(2)(6)]y ( 0-s Y ( s ) [5)]0()0()([ -'2 sFsYysysYs ????? ??
F ( s )
65ss
2
65ss
)5 y ( 0)(0y)s y ( 0
Y ( s )
)(2)]0(5)0()0([]65)[(
22
--
'
-
'2
??
?
??
??
?
?????? ??? sFyysysssY
整理得：
零输入响应 零状态响应
代入方程将 -1)(0y1,)y ( 0,1s 5s)]L [ 5 c o s t U ( tF( s ) -'-2 ?????
))(3 ) ( s2 ) ( s(s
10s
)3)(2(s
4sY ( s )
jsjs ???????
??
1s
5s
65ss
2
65ss
4sY ( s )
222 ???????
??
)()]}
4
c os (234[)2{ [ ()(
2
1
2
1
2
3
2
4
)
3
1
2
2
()(
3232
44
tUteeeety
js
e
js
e
ssss
sY
tttt
jj
?
??
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
列 s域方程（可以从两方面入手）
? 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；
? 直接按电路的 s域模型建立代数方程。
求解 s域方程。
)()( tfsF ?,得到时域解答。
二,S域模型分析法
若系统以电路的形式给出，那么复频域分析就等效于复频域
电路分析的问题。可分为三个步骤：
① 电阻元件的 s域模型
)()( sRIsV RR ?
R
sVsI R
R
)()( ?或
R
? ?)( sV R
)( sI R
? ? ? ?tRitv RR ?
1.电路元件的 s域模型
② 电感元件的 s域模型
)0()()( ??? LLL LiLssIsV
利用电源转换可以得到电流源形式的 s域模型：
)0(1)()( ??? LLL isLs sVsI
??
? ?sV L
? ?sI L Ls ? ??0LLi
? ?? ?sI
L
Ls
? ?
?
0
1
L
i
s
? ?? ?sV
L
? ? ? ?t tiLtv LL dd?
③ 电容元件的 s域模
型
)0(11)()( ??? CCC vssCsIsV
电流源形式：
sC
1 ? ?
?0
1
Cv
s? ?
sI C
? ?? ?sV
C
? ?sI
C
sC
1
? ?
?
0
C
Cv
? ? ?sV
C
?
? ? ? ??
??
? t CC tiCtv d1 ?
)0()()( ??? CCC Cvss C VsI
? ? ?波形求电流电源
闭合，接入直流式开关，态为例下图所示电路起始状
tiE
t
,
S00 ?
S L C
RE ? ?ti
Ls
sC
1
R
s
E
? ?sI
(1) ? ? ? ? V00A,00 ???
?? CL vi起始状态为０
(2) 域等效模型的 st 0?
(3) 列方程 ? ? ? ? ? ?
s
EsI
CssRIsLs I ???
1
解：
极点
? ? ? ? ? ? sEsICssRIsL s I ??? 1
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
LC
s
L
R
s
L
E
sC
RLss
E
sI
1
1
1 2
：极点 2,1 pp
LCR
L
R
Lp 1
22
2
1 ???
??
?
????
LCR
L
R
Lp 1
22
2
2 ???
??
?
????
故 ? ? ? ?? ?
21
1
pspsL
EsI
???
? ? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
??
?
2121
111
pspsppL
E
逆变换
? ? ? ? ? ?tptpppL Eti 21 ee
21
???
设
LCωL
R 1,
2 0 ?＝?
则 20222021,ωααpωp ???????? ??
? ?回路无损耗的，第一种情况,LCα 0?
?????? ?? αωLCQRωα 2Q 00 回路，的较小，高即第二种情况：
0ωα ?第三种情况
? ?，不能振荡较大，低第四种情况 QRωα 0?
波形
? ?回路无损耗的,LCα 0?第一种情况：
01 jωp ? 02 jωp ??
? ? ? ?tωtωωLEti 00 jj
0
eej2 1 ???? ? ?t
L
CE
0s i n ???
阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。
第二种情况,?
?
??
?
? ??
α
ωLCQRωα
2Q
0
0 回路，的较小，高即
引入符号 2
0 αωω d ??
所以
dωωα j02 ??
dωαp j1 ??? dωαp j2 ???
? ? ? ? ? ?? ?tωαtωα
d
dd
ωL
Eti jj ee
j2
1 ???? ??? ? ?tωL ωE dtα
d
s i ne ???
就越小，衰减越慢越小，衰减振荡,αRLRα,2?
第三种情况：
0ωα ?
LCL
R 1
2 ?
αpp ??? 21
? ?表示式为这时有重根的情况,sI? ? ? ? 21
αsL
EsI
?
?
? ? tLRαt tLELEti 2ee ?? ????
生振荡，是临界情况越大，阻尼大，不能产R
第四种情况,? ?，不能振荡较大，低 QRωα
0?
? ? ?
?
??
?
? ?
?
?? ???? ttωααt ωα
ωαL
Eti 202202 eee
2
1
2
0
2
?????? ?
?
?? ? tωα
ωαL
E αt 2
0
2
2
0
2
s i n he1 双曲线
波形
O t
? ?ti
0??
0
?? ?
0
?? ?
0
?? ?
1.定义
一．系统函数
? ? ? ? ? ?sHsEsR ???
响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
)( th
? ?sH? ?te ? ?sE ? ?tr ? ?sR
)(
)()(
sE
sRsH ?所以
? ? ? ? ? ?thtetr ??
)]([)()],([)( teLsEtrLsR ??其中
系统的零状态响应时当,)()( tte ??
)()( thtr ?)()( sHsR ? )()]([ sHthL ?则
§ 4.6系统函数与稳定系统
2.H(s)的几种情况
策动点函数,激励与响应在同一端口时
策动点导纳
)(
)()(
1
1
sI
sVsH ?
策动点阻抗
单端口
网络
? ?sI 1
?
?
? ?sV 1
1
1 ?
双端口
网络
? ?sI 1
?
?
? ?sV 1
1
1 ?
? ?sI 2
?
?
? ?sV 2
2
2 ?
)(
)()(
1
2
sV
sIsH ?
转移导纳
)(
)()(
1
2
sI
sVsH ?
转移阻抗
)(
)()(
1
2
sV
sVsH ?
电压比
)(
)()(
1
2
sI
sIsH ?
电流比
转移函数,激励和响应 不 在同一端口
4.应用：求系统的响应
3．求 H(s)的方法
)()()()()( thtetrthsH ????方法一：
)()()()( trsEsHsR ??方法二：
? ? ? ?sHth ?
? ? ? ?? ?sE sRsH ?
? ? ? ?? ?sE sRsH ?利用网络的 s域元件模型图，列 s域方程 →
微分方程两端取拉氏变换 →
? ? ? ? ? ?ththth 21 ?? )()()( 21 sHsHsH ??
)()()(, 21 ththth ??时域
)()()(, 21 sHsHsH ??复频域
? ?sH
1
? ?sH
2
? ?sE ? ?sR
? ?sH 1 ? ?sH 2? ?sE ? ?sR
5,LTI系统的并联
6,LTI系统的级联
7,LTI系统的反馈连接
)()()( 21 sEsEsE ?? )()()( 22 sHsRsE ??
? ?)()()()( 21 sEsEsHsR ???
)()()()( 211 sEsHsEsH ??
)()()()()( 211 sRsHsHsEsH ???
)()(1
)(
)(
)()(
21
1
sHsH
sH
sE
sRsH
???所以
? ?sH
1
? ?sH
2
? ?sE ? ?sR? ?sE
1
? ?sE
2
?
?
二、系统稳定性
某连续时间系统的系统函数
? ? 20 0 1.011 ???? sssH
当输入为 u(t)时，系统的零状态响应的象函数为
? ? 20 0 5.0110 0 5.01zs ?????? ssssR
? ? ? ? ? ?tutr tt 2zs e005.0e1 ??? ?
1005.0 ??
但 t很大时，这个正指数项
超过其他项并随着 t 的增
大而不断增大
1、引言
稳定性是系统 自身的性质 之一, 系统是否稳定 与激
励信号的情况无关 。 冲激响应和 h(t),H(s)系统函数
从两方面表征了同一系统的本性, 所以能从两个方面确
定系统的稳定性 。
2、稳定性定义
一个系统, 如果对任意的有界输入, 其零状态响应
也是 有界 的, 则称该系统有界输入有界输出 （ BIBO）
稳定的系统, 简称 稳定系统 。
对所有的激励信号 e(t)
? ? eMte ?
? ? rMtr ?
其响应 r(t)满足
则称该系统是稳定的 。 式中,
稳定系统的充分必要条件是 （ 绝对可积条件 ）,
为有界正值。re,MM
? ? Mtth ?? ??? d 为有界正值。M
对任意有界输入 e(t)，系统的零状态响应为：
? ? ? ? ? ? ??? d?? ? ??? tehtr
? ? ? ? ? ? ??? d??? ? ??? tehtr
? ? 得，代入 eMte ?
? ? ? ? ?? de ? ???? hMtr
充分性
? ? 则，如果满足 Mdtth ?? ???
? ? MMtr e?充分性得证
? ? ? ?? ?
? ?
? ?
? ???
?
?
?
?
?
??
???
01
00
01
s g n
th
th
th
thte
? ?
。选择如下信号：的
产生无界界的有无界，则至少有一个如果
)(
)( d
tr
tetth?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ?trththte,则响应这表明 ??
? ? ? ? ? ? ??? dtehtr ?? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ? ????? dd0 ?? ?????? ??? hehr
? ? ? ? 0d 也无界无界，则若此式表明,rtth? ? ??
必要性
必要性得证。
)()())((
)()())((
)(
)()(
21
21
nk
mj
pspspsps
zszszszsK
sB
sAsH
??????????
????????????
K?
系统函数的零点
,21 nzzz ???
系统函数的极点
,21 nppp ???
?
?
?
m
j
jzs
1
)(
?
?
?
n
k
kps
1
)(
1．系统函数的零、极点
三．由 H(s)的极点位置判断系统稳定性
2．稳定系统
若 H(s)的全部极点位于 s平面的左半平面 （ 不包括虚
轴 ）, 则可满足
0)(lim ??? tht
系统是稳定的。
0,1 ?? pps
0,0 12 ???? qpqpss
例如 系统稳定；
系统稳定。
3．不稳定系统
???? )(lim tht
如果 H(s)的极点位于 s右半平面, 或在虚轴上有二
阶 （ 或以上 ） 极点
系统是不稳定系统。
4．临界稳定系统
如果 H(s)极点位于 s平面虚轴上，且只有一阶。
为非零数值或等幅振荡。 )(,tht ??
5．系统稳定性的判断
??? ??? tth d)(时域：
从频域看要求 H(s)的极点：
① 右半平面不能有极点 (稳定 )
② 虚轴上极点是单阶的 (临界稳定,实际不稳定 )。
一．序言
冲激响应 h(t)与系统函数 H(s) 从时域和变换域两方
面表征了同一系统的 本性 。
在 s域 分析中，借助系统函数在 s平面 零点与极点
分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多
规律。系统的 时域, 频域特性 集中地以其系统函数的
零、极点分布表现出来。
主要优点：
1．可以预言系统的时域特性；
2．便于划分系统的各个分量
（自由／强迫，瞬态／稳态）；
3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
§ 4.7系统零极点分布与系统时域特性关系
二,H(s)零、极点与 h(t)波形特征的对应
)()())((
)()())((
)(
)()(
21
21
nk
mj
pspspsps
zszszszsK
sB
sAsH
??????????
????????????
K? 系统函数的零点
,21 nzzz ???
系统函数的极点
,21 nppp ???
在 s平面上，画出 H(s)的零极点图：
极点：用 × 表示, 零点：用 ○ 表示
?
?
?
m
j
jzs
1
)(
?
?
?
n
k
kps
1
)(
1．系统函数的零、极点
2,H(s)极点分布与原函数的对应关系
?
?j
O
α? α
0jω
0jω?
几种典型情况
一阶极点
在原点，0,1)( 1 ?? pssH )()]([)( 1 tusHLth ?? ?
apassH ???? 1,1)(
,0),(e)(,,0
),(e)(,,0
指数增加在右实轴上
指数衰减在左实轴上
????
??
?
?
atutha
tutha
at
at
在虚轴上,j,)( 122 ωpωs ωsH ???
)(s i n)(,等幅振荡tωt uth ?
,)()( 22 ωαs ωsH ??? 共轭根,j,j 21 ??????? αpωαp
当,极点在左半平面，衰减振荡
当,极点在右半平面，增幅振荡
0?α
0?α
二阶极点
,,1)( 2 极点在原点ssH ? ????? )(,),()( thtttuth
极点在实轴上，,)( 1)( 2assH ??
0)(,,0),(e)( ????? ? thtαtutth t?
在虚轴上，,)( 2)( 222 ωs ssH ??
增幅振荡 )(,),(s i n)( thtttutth ???
,?t
)(sH
有实际物理意义的物理系统都是 因果系统,即随
,这表明的极点位于 左 半平面，由此可知，
收敛域 包括虚轴, 均存在，两者可通用，只
需 将即可。
? ? )(j ?FsF 和
?j?s
? ? 0?th
三,H(s), E(s)的极点分布与自由响应、
强迫响应特性的对应
激励,)()( sEte ?
?
?
?
?
?
?
?
v
k
k
u
l
l
Ps
zs
sE
1
1
)(
)(
)(
系统函数,)()( sHth ?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
j
j
Ps
zs
sH
1
1
)(
)(
)(
响应,)()( sRtr ?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
j
j
ps
zs
1
1
)(
)(
???
?
v
k k
k
ps
A
1
? ? ?? ? )()( 1 sRLtr
自由响应分量 ＋强制响应分量
?
?
?
?
?
?
v
k
k
u
l
l
Ps
zs
1
1
)(
)(
?)(sR ?
? ?
n
i i
i
ps
A
1
?)(sR
?
?
?
v
k
tp
k tuA
k
1
)(e?
?
n
i
tp
i tuA
i
1
)(e
X
几点认识
?自由响应 的极点只由系统 本身的特性 所决定，与激励
函数的形式无关，然而系数 都有关。 ? ? ? ?sEsHAA
ki,,与
?响应函数 r(t)由两部分组成：
系统函数 的极点 ?自由 响应分量；
激励函数 的极点 ?强迫 响应分量。
?定义 系统行列式（特征方程）的根为系统的 固有频率
（或称“自然频率”、“自由频率”）。
H(s)的极点都是系统的固有频率；
H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失 。
暂态响应和稳态响应
瞬态响应 是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现
的有关成分，随着 t增大，将消失。
稳态响应 ＝完全响应－瞬态响应
左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应 。
一．定义
所谓, 频响特性, 是指系统在正弦信号激励下稳态响
应随频率的变化情况。 ? ?ωH j
前提：稳定的因果系统。
有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
? ? 0lim ??? tht时域：
频域,H(s)的全部极点落在 s左半平面。
其收敛域包括虚轴：
拉氏变换 存在
傅里叶变换 存在
????
????
§ 4.8系统零 极点分布与系统 频响特性的关
系
? ? ? ? ? ?tωEtesH 0m s i n?，激励源设系统函数为
? ? ? ?000mmm s i n ??? tωHEtr
? ? ? ? 0j00
0
ej
j
?HωH
ωs
sH ??
?
其中
? ? ? ? ? ? ? ?ωωHωHωssH ?jejjj ???
? ?ωH j
? ?ω?
频响特性
系统的稳态响应
—— 幅频特性
—— 相 频特性（相移特性）
二．几种常见的滤波器
O
? ??jH
?
c
? O
? ??jH
?
c
?
O
? ??jH
?
1c
?
2c
? O
? ??jH
?
1c
?
低通滤波器 高通滤波器
带通滤波器 带阻滤波器
通带 阻带
截止频率
2c
?
三．根据 H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
i
i
m
j
j
ωsn
i
i
m
j
j
ωs
pω
zω
K
Ps
zs
KsHωH
1
1
j
1
1
j
j
j
j
jψjj Nzω jej ??
iθii MPω jej ??
平面内。
矢量图画于复都看作两矢量之差，将、将 -j j ij pω zω ?
? ? 有关。的特性与零极点的位置可见 ωH j
令分子中每一项
分母中每一项
画零极点图
σ
O
jz
ωj
jN
j?
σ
ωj
i
M
i
p
j
z
j
N
j
ψ
i
θ
O
发生变化。
都、和、则矢量变是滑动矢量,iijj θMψNωω,jj
iθi pMω i ?? jej,极点 j
ψ
j zNω j ??
jej,零点
? ?
n
m
θ
n
θθ
ψ
m
ψψ
MMM
NNNKωH
jj
2
j
1
jj
2
j
1
eee
eeej
21
21
?
??
? ?
? ?n
m
θθθ
n
ψψψ
m
MMM
NNNK
?
?
?
?
??
??
?
21
21
j
21
j
21
e
e
? ?
n
m
MMM
NNNKωH
?
?
21
21j ?
? ? ? ? ? ?nm θθθψψψω ?? ?????? 2121?
当 沿虚轴移动时, 各复数因子 (矢量 )的模和辐角都
随之改变, 于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线 。
?
由矢量图确定频率响应特性
例确定图示系统的频响特性。
sC
1
R
??
? ?
? ?sV 1 ? ?sV 2
? ?
sC
R
R
sV
sV
sH
1)(
)(
1
2
?
??
RC
s
s
sH
1
)(
?
?
? ?
1
1
j
1
j
1
e
e
1
j
j
j θ
ψ
M
N
RC
ω
ω
ωH ?
?
?
?
?
?
? ??
? O
?
RC
1
?
?j
1
M
1
N
1
?
1
?
01 ?z零点,RCp 11 ??极点：
频响特性分析
? ?ωH j 2
2 1
?
?
?
?
?
?
?
?
RC
ω
ω
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
???
??
??
1j
2
1
j
1
0j0
ωHω
ωH
RC
ω
ωHω
? ??ω? CR ωar c t a n
2
π ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
0
4
π1
2
π
0
ωω
ω
RC
ω
ωω
?
?
?
O
?
RC
1
?
?j
1
M
1
N
1
?
1
?
0 2 4 6 8 10
0
0, 5
1
0 2 4 6 8 10
0
0, 5
1
1, 5
2
X
