一,Z变换的定义
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
－
变换双边
变换单边
n
n
n
n
znxzXz
znxzXz
)()(
)()(
0
第 六 章 离散系统的 Z域分析
§ 6.1 Z变换
??
???
??
n
nznxzX )()(
?????? ??????? ??
??
??? ???? ??
?
的负幂
的正幂
z
n
z
znxzxzxzx
zxzx
?????
????
???
)()2()1()0(
)1()2(
210
12
? ? 的幂级数是 1?zzX
? ? 的位置指出中的幂 nxnn?
? ?nx 级数的系数是
二．对 z变换式的理解
说明
变换单边 zznxzX
n
n,)()(
0
?
?
?
??
列的负幂级数构成右边序zn 0 ???
列的正幂级数构成左边序zn 1?????
若双边序列取单边 z变换，或对因果信号（有起因序
列） 存在的序列取 z变换0?n
一．收敛域的定义
收敛的所有 z 值 之 集合 为收敛域。
?
?
???
??
n
nznxzX )()(
）的区域（即满足 R O C )( ?
?
???
? ??
n
nznx
对于任意给定的序列 x(n),能使
ROC,Region of convergence
不同的 x(n)的 z变换，由于收敛域不同，可能对应于相
同的 z 变换，故在确定 z 变换时,必须指明收敛域。
§ 6.1.2 Z变换的收敛域
二．总结
★ 有限长序列的 ROC为整个 z 平面
（可能除去 z = 0 和 z = ?）；
★ 右 边序列的 ROC为 的圆 外 ；1Rz ?
★ 左 边序列的 ROC为 的圆 内 ；2Rz ?
★ 双 边序列的 ROC为 的圆 环 。21 RzR ??
一．单位样值函数
??
?
?
??
0 0
01)(
n
nn?
1)()( ?? ?
?
???
?
n
nznzX ?
二．单位阶跃序列
?
?
?
?
??
00
01)(
n
nnu
1?z 11 11)( 1321 ????????? ???? z zzzzzzX ?
n
O
)( n?
1
n
O
)( nu
1
1 2 3
?
§ 6.1.3常用信号的 z变换
三．指数序列
)()( nuanx n?
az ?
? ? bbn z znuZ e)(e ??则,e,e bb za ?? 设当
,1,e 0j ?? za ω 设当 ? ?
0
0
j
j
e)( ω
nω
z
znueZ
??则
? ? ??
?
??
0n
nn zazX
az
z
az ???? ? 11
1
1．右边序列
? ? ? ?1 2 ???? nuanx n左边序列.
注意,z 变换相同时，左边序列的定义。
? ? az zzX ??
? ?1??? na n
az ?
§ 6.2 z变换的基本性质
1、线性特性 2、移位特性
3、尺度变换特性 4、时间翻转特性
5,Z域微分 6、卷积定理
7、初值定理与终值定理
一．线性特性
a,b为任意常数。
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?21
21
21
)()()()(
)()(
)()(
RzRzbYzaXnbynaxZ
RzRzYnyZ
RzRzXnxZ
yy
xx
?????
???
???
则
若
ROC,一般情况下，取二者的 重叠 部分
),m i n (),m a x ( 2211 yxyx RRzRR ??即
某些线性组合中某些 零点与极点相抵消,则收敛域可能扩
大。
(表现为叠加性和均匀性）
? ? ? ?nun0c o s ?
? ? 2 eec o s 00 jj0 nωnωnω ???解：因为
? ?? ? nnω z znuZ
0
0
j
j
ee ???1?z
例 6-2单边余弦序列
? ? ? ?? ? ? ? 1c o s2 c o see21c o s
0
2
0
jj0 00 ??
???
?
??
?
?
???? ? ωzz
ωzz
z
z
z
znunωZ
nωnω所以
同理
? ? ? ?? ? 1c o s2 s i neej2 1s i nZ
0
2
0
jj0 00 ?????
??
?
?
???? ? ωzz
ωz
z
z
z
znunω
nωnω
Z变换
?? )()( nuanx n az ?
??? )1()( nuany n az ?
? ? ??? nδnynx )()(
例 6-3
零极点相消，收敛域扩大为整个 z平面。
az
zzX
??)(
az
azY
??)(
1)()( ?? zYzX
二．移位移性
1.双边 z变换
2.单边 z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
nO
)( nx
4
nO
)2( ?nx
4
nO
)2( ?nx
4
11? 2 11? 2 11?2?
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
处收敛域：只会影响 ??? zz,0
? ? ? ?
? ? )()(
)()(
zXzmnxZz
zXnxZznx
m???
?
变换为的
，则其右移位后变换为的双边若序列
1．双边 z变换的位移性质
? ? )()( zXzmnxZz m??变换为：同理，左移位后的
2．单边 z变换的位移性质
nO
? ?nunx )(
4
n
)()2( nunx ?
4
n
)()2( nunx ?
4
11? O 11? O 11?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,的长度有所增减。较 nunxnumnxnumnx ??
若 x(n)为双边序列，其 单 边 z变换为 ? ?)()( nunxZ
(1)左移位性质
? ? )()()( zXnunxZ ?若
? ? ?
?
?
??
? ??? ? ?
?
?
1
0
)()()()(
m
k
km zkxzXznumnxZ则
为正整数其中 m
? ?? ? ? ? ? ?01 zxzzXnxZ ???
? ?? ? ? ? ? ? ? ?102 22 zxxzzXznxZ ????
(2)右移位性质
? ? )()()( zXnunxZ ?若
? ? ?
?
?
??
? ??? ??
??
??
1
)()()()(
mk
km zkxzXznumnxZ则
为正整数其中 m
? ?,则时，注意：对于因果序列 00 ?? nxn
? ? )()()( zXznumnxZ m???
而 左 移位序列的 单 边 z变换 不变 。
? ?? ? ? ? ? ?11 1 ???? ? xzXznxZ
? ?? ? ? ? ? ? ? ?212 12 ?????? ?? xxzzXznxZ
例 6-4求矩形序列 GN(n)的 z变换
解,因为 GN(n)=U(n)-U(n-N)
由 z变换的线性及移位特性
Z[GN(n)]=Z[U(n)]-Z[U(n-N)]
N
N
N
N
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
1
1
)1(
1
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
例 6-5求周期为 N的单边周期单位样值序列的 z变换
??
?
?????????
0
)()()()()()(
m
N mNnmNnNnnnUn ????? ??
解：因为 Z[δ(n)]=1
Z[δ(n-N)]=z-N
Z[δ(n-2N)]=z-2N
Z[δ(n-mN)]=z-mN
所以 Z[δN(n)U(n)]=1+z-N+z-2N+…+z -mN+…
= 1-z-N1
? ? ? ?
为非零常数
则
若
a
R
a
z
R
a
z
Xnxa
RzRzXnxZ
xx
n
xx
)(
)()(
21
21
??
?
?
??
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
同理 ? ? ? ?21 )( xxn RazRazXnxa ????
? ? ? ? ? ?21)(1 xxn RzRzXnx ?????
? ? ?
?
??
?
???
?
??
?
??? ?? ?
?
??
?
?
a
zX
a
znxznxanxaZ
n
n
n
nnn
00
)()()(
证明：
三,z域尺度变换
例 6-6求 anU(n)的 Z变换
a-z
z
1-
a
z
a
z
U ( n )a
1-z
z
U ( n )
n
??
?解：因为
四,时间翻转特性
)(X)(x
)(X)(x
1???
?
zn
zn
则
若
证明：
)X ( z)()k(x -1
k
k--1 ?? ?
?
???
z
??
?
???
?
???
? ????
k
k
n
n zkznnZ )(x)(x)](x[
1)1(
)1(
21 ???
?
?
?
?
?
?
?
zaaz
zaa
az
a
az
z
a n
)()1( nuanuaa nnn ???? ?解：
例 6-7 求 )1(z ?aa n 变换的
az
azFnua n
????? ?
??
1
1
1 )()1(
)()1()( 11 zFaz anuanf n ?????
az
znua n
??)(
五、序列线性加权
? ?
? ?
1
1
d
d
d
)(d
)(
)()(
?
????
?
z
zX
z
z
zX
znnx
zXnxZ
则
若
)(d d)( zXzznxn
m
m
??
?
??
? ??推广
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ?
?
? ????
??
?
??
? ? )(
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d zX
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
m
?表示
共 求导 m次
dz
d X ( z )
-zZ [ n x ( n ) ]n x( n ) z-zx( n ) ( - n ) z
z
dz
d
x( n )]x( n ) z[
dz
d
dz
d X ( z )
0n 0n
n--1-1n-
0n
n-
0n
n-
????
??
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
证明：
例 6-8 变换。的求 Z)( nnu
1
)(
?
?
z
znu解：
2)1(]1[)]([ ????? z
z
z
z
dz
dznnuZ
六．卷积定理
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? )()()(*)(
)()(
)()(
21
21
zHzXnhnxZ
RzRnhZzH
RzRnxZzX
hh
xx
?
???
???
则
已知
),m i n (),m a x ( 2211 hxhx RRzRR ??
收敛域,一般情况下，取二者的重叠部分
即
描述,两序列在 时 域中的 卷积 的 z变换等效于在 z域中
两序列 z变换的 乘积 。
注意,如果在某些 线性组合 中某些 零点与极点相抵消,
则收敛域 可能扩大 。
1.时域卷积定理
例 6-9.求?)()( ?? nunu
1)1()1(
)()( 22
2
?
?
?
?
?
??
z
z
z
z
z
znunu
)()1(]
1)1(
[)()( 21 nun
z
z
z
zZnunu ??
?
?
?
??? ?
2,z域卷积定理
? ? ? ??
?
??
?
??
1
d)(j2 1)()( 1
c
vvvHvzXπnhnxZ
? ? ? ?? ??
?
??
?
??
1
dj2 1)()( 1
c
vvvzHvXπnhnxZ或
ee jj 则若设 ?rzρv θ ??
? ? ? ? ? ? θρrHρXnhnxZ θθ deeπ2 1)()( π
π
jj?
?
? ?
?
?
??
?? ?
七．初值定理与终值定理
? ? ? ?? ? ? ?
)(lim)0(
)(
0
zXx
znxnxZzXnx
z
n
n
??
?
?
?
?
?? ?
则
，为因果序列，已知若
0)1()1( ??? nnxx因为
? ?)0()()1( xzXznx ???且
? ?)0()(lim)1( xzXzx z ?? ??所以
推理 x(1)＝？
理解
? ? ? ?的初值联系起来。足够大时的动态特性与在把 nxzzX
1、初值定理
2、终值定理 ? ? ? ?? ? ? ?
? ?)()1(lim)(lim
)(
1
0
zXznx
znxnxZzXnx
zz
n
n
??
??
???
?
?
?
?
则
为因果序列，已知若
。收敛，才可用终值定理注意：当 )(,nxn ??
n
n
znxnxnxnxZ ?
?
?
????? ? )]()1([)]()1([
0
证明：
)]()1([lim
1
nxnxZ
z
??
?
)0()()1(lim
1
xzXz
z
???
?
)()1()( l i m
1
zXzx
z
????
?
)]0()1([)]()1([l i m
1
xxnxnxZ
z
????
?
)0()()]1()2([ xxxx ??????? ?
终值存在的条件
(1) X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于 1，有终值 ;
例：,终值为 01),( ?anua n
(2)若极点位于单位圆上，只能位于,并且是一
阶极点。
1?z
例,u(n)，终值为 1
例 6-10 已知 1)( ?? z zzF )0(f )(?f求 与
解,11)()0( l i ml i m ????
???? z
zzFf
zz
0
1
)1(lim)()1lim ()(
11
?
?
?????
?? z
zzzFzf
zz
不存在！)( ?f
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
－
变换双边
变换单边
n
n
n
n
znxzXz
znxzXz
)()(
)()(
0
第 六 章 离散系统的 Z域分析
§ 6.1 Z变换
??
???
??
n
nznxzX )()(
?????? ??????? ??
??
??? ???? ??
?
的负幂
的正幂
z
n
z
znxzxzxzx
zxzx
?????
????
???
)()2()1()0(
)1()2(
210
12
? ? 的幂级数是 1?zzX
? ? 的位置指出中的幂 nxnn?
? ?nx 级数的系数是
二．对 z变换式的理解
说明
变换单边 zznxzX
n
n,)()(
0
?
?
?
??
列的负幂级数构成右边序zn 0 ???
列的正幂级数构成左边序zn 1?????
若双边序列取单边 z变换，或对因果信号（有起因序
列） 存在的序列取 z变换0?n
一．收敛域的定义
收敛的所有 z 值 之 集合 为收敛域。
?
?
???
??
n
nznxzX )()(
）的区域（即满足 R O C )( ?
?
???
? ??
n
nznx
对于任意给定的序列 x(n),能使
ROC,Region of convergence
不同的 x(n)的 z变换，由于收敛域不同，可能对应于相
同的 z 变换，故在确定 z 变换时,必须指明收敛域。
§ 6.1.2 Z变换的收敛域
二．总结
★ 有限长序列的 ROC为整个 z 平面
（可能除去 z = 0 和 z = ?）；
★ 右 边序列的 ROC为 的圆 外 ；1Rz ?
★ 左 边序列的 ROC为 的圆 内 ；2Rz ?
★ 双 边序列的 ROC为 的圆 环 。21 RzR ??
一．单位样值函数
??
?
?
??
0 0
01)(
n
nn?
1)()( ?? ?
?
???
?
n
nznzX ?
二．单位阶跃序列
?
?
?
?
??
00
01)(
n
nnu
1?z 11 11)( 1321 ????????? ???? z zzzzzzX ?
n
O
)( n?
1
n
O
)( nu
1
1 2 3
?
§ 6.1.3常用信号的 z变换
三．指数序列
)()( nuanx n?
az ?
? ? bbn z znuZ e)(e ??则,e,e bb za ?? 设当
,1,e 0j ?? za ω 设当 ? ?
0
0
j
j
e)( ω
nω
z
znueZ
??则
? ? ??
?
??
0n
nn zazX
az
z
az ???? ? 11
1
1．右边序列
? ? ? ?1 2 ???? nuanx n左边序列.
注意,z 变换相同时，左边序列的定义。
? ? az zzX ??
? ?1??? na n
az ?
§ 6.2 z变换的基本性质
1、线性特性 2、移位特性
3、尺度变换特性 4、时间翻转特性
5,Z域微分 6、卷积定理
7、初值定理与终值定理
一．线性特性
a,b为任意常数。
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?21
21
21
)()()()(
)()(
)()(
RzRzbYzaXnbynaxZ
RzRzYnyZ
RzRzXnxZ
yy
xx
?????
???
???
则
若
ROC,一般情况下，取二者的 重叠 部分
),m i n (),m a x ( 2211 yxyx RRzRR ??即
某些线性组合中某些 零点与极点相抵消,则收敛域可能扩
大。
(表现为叠加性和均匀性）
? ? ? ?nun0c o s ?
? ? 2 eec o s 00 jj0 nωnωnω ???解：因为
? ?? ? nnω z znuZ
0
0
j
j
ee ???1?z
例 6-2单边余弦序列
? ? ? ?? ? ? ? 1c o s2 c o see21c o s
0
2
0
jj0 00 ??
???
?
??
?
?
???? ? ωzz
ωzz
z
z
z
znunωZ
nωnω所以
同理
? ? ? ?? ? 1c o s2 s i neej2 1s i nZ
0
2
0
jj0 00 ?????
??
?
?
???? ? ωzz
ωz
z
z
z
znunω
nωnω
Z变换
?? )()( nuanx n az ?
??? )1()( nuany n az ?
? ? ??? nδnynx )()(
例 6-3
零极点相消，收敛域扩大为整个 z平面。
az
zzX
??)(
az
azY
??)(
1)()( ?? zYzX
二．移位移性
1.双边 z变换
2.单边 z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
nO
)( nx
4
nO
)2( ?nx
4
nO
)2( ?nx
4
11? 2 11? 2 11?2?
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
处收敛域：只会影响 ??? zz,0
? ? ? ?
? ? )()(
)()(
zXzmnxZz
zXnxZznx
m???
?
变换为的
，则其右移位后变换为的双边若序列
1．双边 z变换的位移性质
? ? )()( zXzmnxZz m??变换为：同理，左移位后的
2．单边 z变换的位移性质
nO
? ?nunx )(
4
n
)()2( nunx ?
4
n
)()2( nunx ?
4
11? O 11? O 11?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,的长度有所增减。较 nunxnumnxnumnx ??
若 x(n)为双边序列，其 单 边 z变换为 ? ?)()( nunxZ
(1)左移位性质
? ? )()()( zXnunxZ ?若
? ? ?
?
?
??
? ??? ? ?
?
?
1
0
)()()()(
m
k
km zkxzXznumnxZ则
为正整数其中 m
? ?? ? ? ? ? ?01 zxzzXnxZ ???
? ?? ? ? ? ? ? ? ?102 22 zxxzzXznxZ ????
(2)右移位性质
? ? )()()( zXnunxZ ?若
? ? ?
?
?
??
? ??? ??
??
??
1
)()()()(
mk
km zkxzXznumnxZ则
为正整数其中 m
? ?,则时，注意：对于因果序列 00 ?? nxn
? ? )()()( zXznumnxZ m???
而 左 移位序列的 单 边 z变换 不变 。
? ?? ? ? ? ? ?11 1 ???? ? xzXznxZ
? ?? ? ? ? ? ? ? ?212 12 ?????? ?? xxzzXznxZ
例 6-4求矩形序列 GN(n)的 z变换
解,因为 GN(n)=U(n)-U(n-N)
由 z变换的线性及移位特性
Z[GN(n)]=Z[U(n)]-Z[U(n-N)]
N
N
N
N
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
1
1
)1(
1
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?
?
?
?
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例 6-5求周期为 N的单边周期单位样值序列的 z变换
??
?
?????????
0
)()()()()()(
m
N mNnmNnNnnnUn ????? ??
解：因为 Z[δ(n)]=1
Z[δ(n-N)]=z-N
Z[δ(n-2N)]=z-2N
Z[δ(n-mN)]=z-mN
所以 Z[δN(n)U(n)]=1+z-N+z-2N+…+z -mN+…
= 1-z-N1
? ? ? ?
为非零常数
则
若
a
R
a
z
R
a
z
Xnxa
RzRzXnxZ
xx
n
xx
)(
)()(
21
21
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同理 ? ? ? ?21 )( xxn RazRazXnxa ????
? ? ? ? ? ?21)(1 xxn RzRzXnx ?????
? ? ?
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???
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a
zX
a
znxznxanxaZ
n
n
n
nnn
00
)()()(
证明：
三,z域尺度变换
例 6-6求 anU(n)的 Z变换
a-z
z
1-
a
z
a
z
U ( n )a
1-z
z
U ( n )
n
??
?解：因为
四,时间翻转特性
)(X)(x
)(X)(x
1???
?
zn
zn
则
若
证明：
)X ( z)()k(x -1
k
k--1 ?? ?
?
???
z
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?
???
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???
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k
k
n
n zkznnZ )(x)(x)](x[
1)1(
)1(
21 ???
?
?
?
?
?
?
?
zaaz
zaa
az
a
az
z
a n
)()1( nuanuaa nnn ???? ?解：
例 6-7 求 )1(z ?aa n 变换的
az
azFnua n
????? ?
??
1
1
1 )()1(
)()1()( 11 zFaz anuanf n ?????
az
znua n
??)(
五、序列线性加权
? ?
? ?
1
1
d
d
d
)(d
)(
)()(
?
????
?
z
zX
z
z
zX
znnx
zXnxZ
则
若
)(d d)( zXzznxn
m
m
??
?
??
? ??推广
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ?
?
? ????
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?
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? ? )(
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d zX
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
m
?表示
共 求导 m次
dz
d X ( z )
-zZ [ n x ( n ) ]n x( n ) z-zx( n ) ( - n ) z
z
dz
d
x( n )]x( n ) z[
dz
d
dz
d X ( z )
0n 0n
n--1-1n-
0n
n-
0n
n-
????
??
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
证明：
例 6-8 变换。的求 Z)( nnu
1
)(
?
?
z
znu解：
2)1(]1[)]([ ????? z
z
z
z
dz
dznnuZ
六．卷积定理
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? )()()(*)(
)()(
)()(
21
21
zHzXnhnxZ
RzRnhZzH
RzRnxZzX
hh
xx
?
???
???
则
已知
),m i n (),m a x ( 2211 hxhx RRzRR ??
收敛域,一般情况下，取二者的重叠部分
即
描述,两序列在 时 域中的 卷积 的 z变换等效于在 z域中
两序列 z变换的 乘积 。
注意,如果在某些 线性组合 中某些 零点与极点相抵消,
则收敛域 可能扩大 。
1.时域卷积定理
例 6-9.求?)()( ?? nunu
1)1()1(
)()( 22
2
?
?
?
?
?
??
z
z
z
z
z
znunu
)()1(]
1)1(
[)()( 21 nun
z
z
z
zZnunu ??
?
?
?
??? ?
2,z域卷积定理
? ? ? ??
?
??
?
??
1
d)(j2 1)()( 1
c
vvvHvzXπnhnxZ
? ? ? ?? ??
?
??
?
??
1
dj2 1)()( 1
c
vvvzHvXπnhnxZ或
ee jj 则若设 ?rzρv θ ??
? ? ? ? ? ? θρrHρXnhnxZ θθ deeπ2 1)()( π
π
jj?
?
? ?
?
?
??
?? ?
七．初值定理与终值定理
? ? ? ?? ? ? ?
)(lim)0(
)(
0
zXx
znxnxZzXnx
z
n
n
??
?
?
?
?
?? ?
则
，为因果序列，已知若
0)1()1( ??? nnxx因为
? ?)0()()1( xzXznx ???且
? ?)0()(lim)1( xzXzx z ?? ??所以
推理 x(1)＝？
理解
? ? ? ?的初值联系起来。足够大时的动态特性与在把 nxzzX
1、初值定理
2、终值定理 ? ? ? ?? ? ? ?
? ?)()1(lim)(lim
)(
1
0
zXznx
znxnxZzXnx
zz
n
n
??
??
???
?
?
?
?
则
为因果序列，已知若
。收敛，才可用终值定理注意：当 )(,nxn ??
n
n
znxnxnxnxZ ?
?
?
????? ? )]()1([)]()1([
0
证明：
)]()1([lim
1
nxnxZ
z
??
?
)0()()1(lim
1
xzXz
z
???
?
)()1()( l i m
1
zXzx
z
????
?
)]0()1([)]()1([l i m
1
xxnxnxZ
z
????
?
)0()()]1()2([ xxxx ??????? ?
终值存在的条件
(1) X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于 1，有终值 ;
例：,终值为 01),( ?anua n
(2)若极点位于单位圆上，只能位于,并且是一
阶极点。
1?z
例,u(n)，终值为 1
例 6-10 已知 1)( ?? z zzF )0(f )(?f求 与
解,11)()0( l i ml i m ????
???? z
zzFf
zz
0
1
)1(lim)()1lim ()(
11
?
?
?????
?? z
zzzFzf
zz
不存在！)( ?f
