第 5章 (2)
,信号与系统, CAI课件
通信与信息工程系
2004.03.28
§ 5.4离散系统的零状态响应
1.定义参见图 5.5-1
2.系统单位样值响应的求解
设 N阶系统为 )()()()( nfENnyED
f ?
)(
)(
)()(.,nf
ED
ENnyei
f ?
一,单位样值响应 h(n)
)()( )()( nED ENnh ??则
LTI
)(nf )(nyf“0”
图 5.5-1
)(nyf)(nf
)n? )(nh
)(
)(
)()( n
ED
ENnh ??
进行部分分式展开将 E E )(H
?
? ?
?
N
i i
i
E
A
E
E
1
)(H
?
01
1
1
01
)(
)()(
aEaEaE
EbEbEb
ED
ENEH
N
N
N
M
M
????
?????
?
? ?
?
其中 λi是 D(E)的特征单根,Ai是部分分式展开的系数。
?
? ?
?
N
i i
i
E
EA
1
( n )h ( n ) ??于是 ( n )
-E
EA( n )h
1
1
1 ???设
则有 h1(n+1)-λ1h1(n)=A1δ(n)
则有 h1(n+1)-λ1h1(n)=A1δ(n+1)
用迭代法解差分方程，注意到 n<0,h(n)=0； n≠-1,δ(n+1)=0
h1(0)=A1;
h1(1)=A1λ1
h1(2)=A1λ12
可得 h1(n)=A1λ1nU(n)
H(E)部分分式展开为其它形式时
)1(
1
)(
)(
)(
)(
1
1
2
??
?
?
?
?
?
??
?
?
nU
E
nUn
E
E
nUA
E
AE
mnE
n
n
n
m
?
?
?
?
?
?
?
h(n)H(E)
)()2()2)(1()!1( 1)( 1 nUknnnnkE E knk ????????? ?? ?
求单位样值响应的步骤：
(1)求得系统的传输算子 H(E)；
(2)将 H(E)除以 E得到 H(E)/E；
(3)将 H(E)/E展成部分分式的形式。
(4) 将展开的分式乘以 E，得到 H(E)的展
开式
(5)根据展开式求出系统的单位样值响应。
解：
)2231121( ????? EEE
)()1(2)(2)1(3)2( nfnfnynyny ???????
)()25.1121()( nE EE Enh ??????
)()2(5.1)()1()(5.0 nunun nn ????? ?
)()1(2)(2)1(3)2( nfnfnynyny ???????
例 5.4-1 求 )(nh 已知系统差分方程为：
23
12)(
2 ??
??
EE
EEH
)2)(1(
)12()(
??
??
EEE
E
E
EH
2
5.1
12
1)(
????? E
E
E
EEH
解：
2
1
1
1
)1(
1
)2()1(
142)(
22
2
????????
???
EEEEE
EE
E
EH
)())2()1()1(()( 2 nE EE EE Enh ????????
)(2)()( nUnUnnU n???
例 5.4-2 已知某系统的传输算子为：
)2()1(
42)(
2
23
??
???
EE
EEEEH
求 h(n)
21)1()( 2 ?????? E
E
E
E
E
EEH
例 5.4-3 如图 6.5-2所示系统，求 h(n)。
-2
7
E
1E
1
E
1
? )(ny)(nf
0.7-0.1
图 6.5-2
)2( ?ny )1( ?ny
解：由框图得
)2(1.0)1(7.0)1(2)(7)( ??????? nynynfnfny
)(])2.0(2)5.0(5[)( nunh nn ???
1.07.0
)27()(
2 ??
???
EE
EEEH
)2(1.0)1(7.0)1(2)(7)( ??????? nynynfnfny
)()27()()1.07.01(.,2 nfEnyEEei ????
)2.025.05( ???? EEE
二,零状态响应 — 卷积和
?
?
?
??
0
)()()(
i
inifnf ?? ? ?
? ?
? ?
?
)1()1(1)1(
)()0()0(
)(
???
?
?
nhfnf
nhfnf
nhn
?
?
?
LTI
)(nf )(nyf“0”
图 6.5-3
)(ny)(nf参见图 6.5-3
????? )1()1()()0( nfnf ??
? ? )()()( mnhmfmnmf ????
)()()()()()(
00
nyinhifinifnf f
ii
????? ??
?
?
?
?
?于是
?
?
???
???
i
inhifnhnf )()()()(记
称为 f(n)与 h(n)的卷积和
因此 …… (6.5-1) )()()( nhnfny f ??
)()()()()()(
00
nyinhifinifnf f
ii
????? ??
?
?
?
?
?于是
三,卷积和的性质
1.交换律
2.结合律
3.分配律
4.与 ?(n)的卷积 ??
???
?????
i
inifnfnnf )()()()()( ??
)()()()( nfnhnhnf ???
)]()([)(
)()()(
21
21
nhnhnf
nhnhnf
???
??
)()()()(
)]()([)(
21
21
nhnfnhnf
nhnhnf
????
??
)25.6.,,,,,()()()( ????? mnfmnnf ?
证明,)()()( mnnfmnf ???? ?
)( kmns ???
5.移不变性 )()()( nhnfns ??设
)()()( kmnsknhmnf ??????则
)()()( knnhknh ???? ?
)()( knhmnf ???
)]()([)]()([ knnhmnnf ?????? ??
)()()]()([ knmnnhnf ?????? ??
6.与 u(n)的卷积
)35.6..,.,,()()()( ??? ?
???
n
i
ifnunf
)()()()( inuifnunf
i
??? ?
?
???
证明：
esp,若 f(n)与 h(n)均为因果序列，则 )(])([)()(
0
nuifnunf n
i
?
?
??
)()( inuif
n
i
?? ?
???
?
???
?
n
i
if )(
四,卷积和的计算
1.图解法 2.竖乘法 3.利用性质 4.Z变换法
解,1）图解法
?
?
?? 2
0
)()()(
i
inhifny
例 6.5-4 已知 00 }2,1,0{)(,}1,1,1{)( ?? nhnf
求 )()( nhnf ?
如图 6.5-4 )(nf
n
0 1 2
10 2
)(nh
n
图 6.5-4
图 6.5-5(a) i10 2
)0( ih ? (if
0)(0 ?? nyn
1)1()0()1(1 ??? hfyn
312
)1()1()2()0()2(2
???
??? hfhfyn 图 6.5-5(c)0 1 2 i
)2( ih ? )(if
i10 2
)1( ih ? )(if
图 6.5-5(b)
如图 6.5-5(a)
如图 6.5-5(b)
如图 6.5-5(c)
0)(5 ?? nyn
0}2,3,3,1,0{)( ?ny
312)1()2(
)2()1()3(3
????
??
hf
hfyn
2)2()2()4(4 ??? hfyn
如图 6.5-5(d)
如图 6.5-5(e)
i
)3( ih ?)(if
0 1 2 3
图 6.5-5(d)
i
)4( ih ?)(if
图 6.5-5(e)
0 1 2 3
3）利用性质
)2()1()()( ????? nnnnf ???
2)竖乘法
1}2,3,3,1{)( ?? ny
0)111
1)21 222
111
110)2331 ??
)]2()1()([)]2(2)1([)( ?????????? nnnnnny ?????
)2(2)1()( ???? nnnh ??
)4(2)3(3)2(3)1( ???????? nnnn ????
结论,若 21:)( nnnnf ?? 43:)( nnnnh ??
1??? NML 4231:)( nnnnnny ????则
)( 21
21
1
2
1
1
21 aaaa
aaaa nnnn ?
?
??? ??
??
???
???
i
infifnfnf )()()()( 2121
?
?
??
n
i
ifnUnf
0
)()()(
图解法和竖乘法通常难以得到一个闭合表达式，因此对于可用解析
表达式表示的序列进行卷积求和时，可按定义进行计算，再根据序列
列的特征写成闭式。
常用的因果序列卷积结果表：
a
anUa nn
?
??? ?
1
1)( 1
)()()( nfnnf ?? ?
1)()( ??? nnUnU
2)1(
)1(
1 a
aa
a
nna nn
?
??
?
??
nnn anaa )1( ???
)1()1(
6
1 ???? nnnnn
021
2
2
2
1
1
20
1
1
201 c o s2
)c o s (])1(c o s [)c o s (
?
???????
aaaa
anaana nnnn
??
???????? ??
)]c o s/(s i n[ 20101 aaaa r c t g ?? ???
以上的结果，注意与卷积和的一些结果组合起来，灵活运用。
§ 5.5离散系统的时域分析
一,分析思路,
)(
)()(
ED
ENEH ?
)()(
1
nucny
N
i
n
iix ?
?
? ?
)(nh
)()()( nhnfny f ??
)()()( nynyny fx ??
-1
E
1
E
1 ?
)(ny)(nf ?
图 5.5-1
2
二,分析实例
例 5.5-1 求图 5.5-1示系统的 h(n)与 g(n)
解：关键在求 H(E),如图有 )1()()2( ???? nqnfnq
)(nq
)1( ?nq )2( ?nq
)()1(2)( nqnqny ???
算子表示即 )(1)( 2 nf
EEnq ??
)()12()( nqEny ??
)()12()( 2 nfEE Eny ????
)()12()( 2 nfEE Eny ????
1
11)12()(
2 ????
???
EEEE
EEH
)1()1()1()( 1 ????? ? nunnh n?
)1()1(21)1(23 ????? nunu n
)()()( nunhng ???
)()]1()1()1([ 1 nunun n ?????? ??
例 5.5-2 已知系统差分方程为
4)1(,0)2()()()1(5.2)2( ????????? yynunynyny
求全响应
10)2()1(5.2)0( ????? yyy1)求初始值
解,1.求 )(nyx
2)求 H(E)
15.2
1)(
2 ??? EEEH
2,5.0 21 ?? ??特征根
02)5.0()( 21 ???? nccny nnx
21)1()0(5.2)1( ???? yyy
代入初始条件，得 3
32,
3
2
21 ??? cc
)(]2332)5.0(32[)( nuny nnx ????
2.求 )(nyf
)(15.2 1)( 2 nEEnh ?????
02)5.0()( 21 ???? nccny nnx
)()2)(5.0( 1 nEE ????
)()()( nhnfny f ???
)]()2)(5.0( 1[)](1[ nEEnE E ?? ?????
)(])2)(5.0( 1[1 nEEE E ????? )(]14
1
2
2
1
5.0
4
3
[ n
E
E
E
E
E
E
?
?
?
?
?
?
?
)(]41)2(21)5.0(43[ nunn ???
)()()( nynyny fx ???
自然响应 强迫响应
暂态响应 稳态响应
)(]41)2(661)5.0(121[ nunn ???
解,1)求 )(nyx 23231
1)(
2
2
21 ?????? ?? EE
E
EEEH
特征根为 2,1 21 ???? ??
nnx ccny )2()1()( 21 ?????
1)0()2(2)1(3)0(
2)1()1(2)0(3)1(
??????
?????
fyyy
fyyy因
2
1)2(,0)1( ????? yy
例 5.5-3 已知系统差分方程为
)()2(2)1(3)( nfnynyny ?????
)(),(2)(,2)1(,0)0( nynunfyy n 求???
据此条件解得 2,1 21 ??? cc 0)2(2)1()( ?????? nny
nnx
2）求 )(nyf ?
?
?
??
?
???? )()2)(1()(2
2
nEE Enun ?
??
?
??
?
?????
?
??
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?? )()2)(1()(2
2
nEE EnE E ?? )()()( nhnfny f ??
)()()( nynyny fx ???
)(])2(31)2()1(32[ nunnn ?????
)(]
)2)(2)(1(
[
2
n
EEE
EE ?
???
?
)(])2( 31)2( 1)1( 31[ nEEEE ????????
)(])2(31)2()1(31[ nunnn ??????
例 5.5-4 已知某系统得阶跃响应 )(]10)5(3)2[()( nung
nn ???
(1)求系统的差分方程；
(2) 若激励 )()]10()([2)( nynununf
f，求???
解,1）求 H(E)
)(]10)5(3)2[()( nung nn ???
)1),.,.,,((]110532[ nE EE EE E ???????
)(1)]()([)()()( nE EnEHnunhng ?? ?????
)2()(]1)([ ??nE EEH ???
比较 (1),(2)式，应有
比较 (1),(2)式，应有
1
10
5
3
21)( ??????? E
E
E
E
E
E
E
EEH
)110532(1)( ???????? E EE EE EEEEH
)2(111)1(85)(
)2(10)1(7)(
?????
????
nfnfnf
nynyny
21
21
1071
1 1 18514
??
??
??
???
EE
EE
(2)根据 LTI系统的线性与移不变性可得
)]10()([2)( ??? ngngny f
)(]10)5(3)2[(2 nunn ???
)10(]10)5(3)2[(2 1010 ???? ?? nunn
,信号与系统, CAI课件
通信与信息工程系
2004.03.28
§ 5.4离散系统的零状态响应
1.定义参见图 5.5-1
2.系统单位样值响应的求解
设 N阶系统为 )()()()( nfENnyED
f ?
)(
)(
)()(.,nf
ED
ENnyei
f ?
一,单位样值响应 h(n)
)()( )()( nED ENnh ??则
LTI
)(nf )(nyf“0”
图 5.5-1
)(nyf)(nf
)n? )(nh
)(
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)()( n
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进行部分分式展开将 E E )(H
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( n )h ( n ) ??于是 ( n )
-E
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1
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则有 h1(n+1)-λ1h1(n)=A1δ(n)
则有 h1(n+1)-λ1h1(n)=A1δ(n+1)
用迭代法解差分方程，注意到 n<0,h(n)=0； n≠-1,δ(n+1)=0
h1(0)=A1;
h1(1)=A1λ1
h1(2)=A1λ12
可得 h1(n)=A1λ1nU(n)
H(E)部分分式展开为其它形式时
)1(
1
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h(n)H(E)
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求单位样值响应的步骤：
(1)求得系统的传输算子 H(E)；
(2)将 H(E)除以 E得到 H(E)/E；
(3)将 H(E)/E展成部分分式的形式。
(4) 将展开的分式乘以 E，得到 H(E)的展
开式
(5)根据展开式求出系统的单位样值响应。
解：
)2231121( ????? EEE
)()1(2)(2)1(3)2( nfnfnynyny ???????
)()25.1121()( nE EE Enh ??????
)()2(5.1)()1()(5.0 nunun nn ????? ?
)()1(2)(2)1(3)2( nfnfnynyny ???????
例 5.4-1 求 )(nh 已知系统差分方程为：
23
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EEH
)2)(1(
)12()(
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EEE
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解：
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)(2)()( nUnUnnU n???
例 5.4-2 已知某系统的传输算子为：
)2()1(
42)(
2
23
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???
EE
EEEEH
求 h(n)
21)1()( 2 ?????? E
E
E
E
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例 5.4-3 如图 6.5-2所示系统，求 h(n)。
-2
7
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0.7-0.1
图 6.5-2
)2( ?ny )1( ?ny
解：由框图得
)2(1.0)1(7.0)1(2)(7)( ??????? nynynfnfny
)(])2.0(2)5.0(5[)( nunh nn ???
1.07.0
)27()(
2 ??
???
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EEEH
)2(1.0)1(7.0)1(2)(7)( ??????? nynynfnfny
)()27()()1.07.01(.,2 nfEnyEEei ????
)2.025.05( ???? EEE
二,零状态响应 — 卷积和
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LTI
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图 6.5-3
)(ny)(nf参见图 6.5-3
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ii
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称为 f(n)与 h(n)的卷积和
因此 …… (6.5-1) )()()( nhnfny f ??
)()()()()()(
00
nyinhifinifnf f
ii
????? ??
?
?
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?
?于是
三,卷积和的性质
1.交换律
2.结合律
3.分配律
4.与 ?(n)的卷积 ??
???
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i
inifnfnnf )()()()()( ??
)()()()( nfnhnhnf ???
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)()()(
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nhnhnf
nhnhnf
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)]()([)(
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21
nhnfnhnf
nhnhnf
????
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)25.6.,,,,,()()()( ????? mnfmnnf ?
证明,)()()( mnnfmnf ???? ?
)( kmns ???
5.移不变性 )()()( nhnfns ??设
)()()( kmnsknhmnf ??????则
)()()( knnhknh ???? ?
)()( knhmnf ???
)]()([)]()([ knnhmnnf ?????? ??
)()()]()([ knmnnhnf ?????? ??
6.与 u(n)的卷积
)35.6..,.,,()()()( ??? ?
???
n
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证明：
esp,若 f(n)与 h(n)均为因果序列，则 )(])([)()(
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n
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???
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???
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四,卷积和的计算
1.图解法 2.竖乘法 3.利用性质 4.Z变换法
解,1）图解法
?
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0
)()()(
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例 6.5-4 已知 00 }2,1,0{)(,}1,1,1{)( ?? nhnf
求 )()( nhnf ?
如图 6.5-4 )(nf
n
0 1 2
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)(nh
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图 6.5-4
图 6.5-5(a) i10 2
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)2( ih ? )(if
i10 2
)1( ih ? )(if
图 6.5-5(b)
如图 6.5-5(a)
如图 6.5-5(b)
如图 6.5-5(c)
0)(5 ?? nyn
0}2,3,3,1,0{)( ?ny
312)1()2(
)2()1()3(3
????
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2)2()2()4(4 ??? hfyn
如图 6.5-5(d)
如图 6.5-5(e)
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0 1 2 3
图 6.5-5(d)
i
)4( ih ?)(if
图 6.5-5(e)
0 1 2 3
3）利用性质
)2()1()()( ????? nnnnf ???
2)竖乘法
1}2,3,3,1{)( ?? ny
0)111
1)21 222
111
110)2331 ??
)]2()1()([)]2(2)1([)( ?????????? nnnnnny ?????
)2(2)1()( ???? nnnh ??
)4(2)3(3)2(3)1( ???????? nnnn ????
结论,若 21:)( nnnnf ?? 43:)( nnnnh ??
1??? NML 4231:)( nnnnnny ????则
)( 21
21
1
2
1
1
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aaaa nnnn ?
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0
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图解法和竖乘法通常难以得到一个闭合表达式，因此对于可用解析
表达式表示的序列进行卷积求和时，可按定义进行计算，再根据序列
列的特征写成闭式。
常用的因果序列卷积结果表：
a
anUa nn
?
??? ?
1
1)( 1
)()()( nfnnf ?? ?
1)()( ??? nnUnU
2)1(
)1(
1 a
aa
a
nna nn
?
??
?
??
nnn anaa )1( ???
)1()1(
6
1 ???? nnnnn
021
2
2
2
1
1
20
1
1
201 c o s2
)c o s (])1(c o s [)c o s (
?
???????
aaaa
anaana nnnn
??
???????? ??
)]c o s/(s i n[ 20101 aaaa r c t g ?? ???
以上的结果，注意与卷积和的一些结果组合起来，灵活运用。
§ 5.5离散系统的时域分析
一,分析思路,
)(
)()(
ED
ENEH ?
)()(
1
nucny
N
i
n
iix ?
?
? ?
)(nh
)()()( nhnfny f ??
)()()( nynyny fx ??
-1
E
1
E
1 ?
)(ny)(nf ?
图 5.5-1
2
二,分析实例
例 5.5-1 求图 5.5-1示系统的 h(n)与 g(n)
解：关键在求 H(E),如图有 )1()()2( ???? nqnfnq
)(nq
)1( ?nq )2( ?nq
)()1(2)( nqnqny ???
算子表示即 )(1)( 2 nf
EEnq ??
)()12()( nqEny ??
)()12()( 2 nfEE Eny ????
)()12()( 2 nfEE Eny ????
1
11)12()(
2 ????
???
EEEE
EEH
)1()1()1()( 1 ????? ? nunnh n?
)1()1(21)1(23 ????? nunu n
)()()( nunhng ???
)()]1()1()1([ 1 nunun n ?????? ??
例 5.5-2 已知系统差分方程为
4)1(,0)2()()()1(5.2)2( ????????? yynunynyny
求全响应
10)2()1(5.2)0( ????? yyy1)求初始值
解,1.求 )(nyx
2)求 H(E)
15.2
1)(
2 ??? EEEH
2,5.0 21 ?? ??特征根
02)5.0()( 21 ???? nccny nnx
21)1()0(5.2)1( ???? yyy
代入初始条件，得 3
32,
3
2
21 ??? cc
)(]2332)5.0(32[)( nuny nnx ????
2.求 )(nyf
)(15.2 1)( 2 nEEnh ?????
02)5.0()( 21 ???? nccny nnx
)()2)(5.0( 1 nEE ????
)()()( nhnfny f ???
)]()2)(5.0( 1[)](1[ nEEnE E ?? ?????
)(])2)(5.0( 1[1 nEEE E ????? )(]14
1
2
2
1
5.0
4
3
[ n
E
E
E
E
E
E
?
?
?
?
?
?
?
)(]41)2(21)5.0(43[ nunn ???
)()()( nynyny fx ???
自然响应 强迫响应
暂态响应 稳态响应
)(]41)2(661)5.0(121[ nunn ???
解,1)求 )(nyx 23231
1)(
2
2
21 ?????? ?? EE
E
EEEH
特征根为 2,1 21 ???? ??
nnx ccny )2()1()( 21 ?????
1)0()2(2)1(3)0(
2)1()1(2)0(3)1(
??????
?????
fyyy
fyyy因
2
1)2(,0)1( ????? yy
例 5.5-3 已知系统差分方程为
)()2(2)1(3)( nfnynyny ?????
)(),(2)(,2)1(,0)0( nynunfyy n 求???
据此条件解得 2,1 21 ??? cc 0)2(2)1()( ?????? nny
nnx
2）求 )(nyf ?
?
?
??
?
???? )()2)(1()(2
2
nEE Enun ?
??
?
??
?
?????
?
??
?
?? )()2)(1()(2
2
nEE EnE E ?? )()()( nhnfny f ??
)()()( nynyny fx ???
)(])2(31)2()1(32[ nunnn ?????
)(]
)2)(2)(1(
[
2
n
EEE
EE ?
???
?
)(])2( 31)2( 1)1( 31[ nEEEE ????????
)(])2(31)2()1(31[ nunnn ??????
例 5.5-4 已知某系统得阶跃响应 )(]10)5(3)2[()( nung
nn ???
(1)求系统的差分方程；
(2) 若激励 )()]10()([2)( nynununf
f，求???
解,1）求 H(E)
)(]10)5(3)2[()( nung nn ???
)1),.,.,,((]110532[ nE EE EE E ???????
)(1)]()([)()()( nE EnEHnunhng ?? ?????
)2()(]1)([ ??nE EEH ???
比较 (1),(2)式，应有
比较 (1),(2)式，应有
1
10
5
3
21)( ??????? E
E
E
E
E
E
E
EEH
)110532(1)( ???????? E EE EE EEEEH
)2(111)1(85)(
)2(10)1(7)(
?????
????
nfnfnf
nynyny
21
21
1071
1 1 18514
??
??
??
???
EE
EE
(2)根据 LTI系统的线性与移不变性可得
)]10()([2)( ??? ngngny f
)(]10)5(3)2[(2 nunn ???
)10(]10)5(3)2[(2 1010 ???? ?? nunn
