第二章 (3)
,信号与系统, CAI课件
通信与信息工程系
制作
2004.02.28
§ 2,8 卷积的图解
?
?
??
??? ??? dtffff )()(
121
当 )(),(
21
tftf 为时限函
数时，如何借助图解来确定卷
积的有效积分限呢？
卷积的图解说明
用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求
出定 积分限 尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将
两种方法结合起来。
? ? ? ? ? ? ??? d21 ?? ? ??? tfftf
?? ),()(.1 11 积分变量改为ftf ?
)()()()(.2 2222 ??? ??? ????? ??? tffftf 时延倒置
)()(.3 21 ?? ?? tff相乘：
??? d)(.)(.4 21 ?? ??? tff乘积的积分：
?? ???? tt )(
t时延对 ?
的函数
积分结果为
t
? ? ? ? ? ? ? ?再移动倒置为的图形不动,???? ?? 2221,ffff
?0
1
) (2 ??f
图 2.8-1(b)
一,)(2 ??tf 的图解
如图 2.8-1(a)，设
)()(2 ?? ?Uef a??
折迭，有 )(2 ??f
如图 (b)
0 (t=0)
0
1
)(2 ?f
?
0
0
图 2.8-1(a)
可见，当 t 改变时 ( 如从 ???? ~ ),
)(2 ??tf 就是折迭后的 )(2 ?f 在整
个时间轴上由 ???? ~ 的平移。
若 t=t1<0，有 )( 1 ??tf 如图
t1
) ( 12 ??tf
?
1
0
0 1?t
2.8-2
图 2.8-2
二、图解示例
已知 )(1 tf 和 )(2 tf 如图 2.8-3所示，
用图解定积分限求 )()( 21 tftf ? 。
)(2 tf)(1 tf
1 1
0 03 4t t
图 2.8-3
(a) (b)
解：当 t 从 ???? 向 改变时,)(
2
??tf
自左向右平移，对应不同的 t 值范围，
)(
2
??tf 与 )(
1
?f 相乘、积分的结果
如下。 )(1 ?f
1
0 3 ?t
) (2 ??tf
0
0)()(
0
21
21
???
???
?
ff
tff
t
???
1)
如图 2.8-4(a)
图 2.8-4(a)
222
0
2
0
0
21
21
8
1
8
1
4
1
8
1
4
)(
4
1
1)()(
0)(0)(
ttt
t
dttftf
tff
tt
t
??????
?????
???
?
??
??
?? 就是非重迭部分不是
0
30 ?? t
2)
)(1 ?f
1
3 ?
如图 2.8-4(b)
图 2.8-4(b)
tt-4
3
8
9
4
3)(
4
1)()( 3
021
????? ? tdttftf ??
43 ?? t
3)
)(1 ?f
1
0 ?tt-4
如图 2.8-4(c)
图 2.8-4(c)
)76(
8
1
8
1
4
1
)(
4
1
)()(
2
3
4
23
4
3
4
21
???????
???
??
?
?
ttt
dttftf
tt
t
??
??
3t-4 t
4) 74 ?? t
)(1 ?f
1
0 ?
如图 2.8-4(d)
图 2.8-4(d)
21 ff ?
t0 3 4 7
8
15
8
9
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
21
ff
00 ?t
3081 2 ?? tt
438943 ??? tt
74)76(81 2 ????? ttt
70 ?t
相应波形如图 2.8-5所示
图 2.8-5
结论：
1.积分上下限是两函数重迭部分的边界
下限为两函数左边界的最大者
上限为两函数右边界的最小者
2.卷积的时限 =两函数时限之和。
例 2.8-1
)()()( 11 tGtGty ?? ??求
0
1
)(1 tG?
21?? 2
1?
t
)(1 tG?
如图 2.8-6所示
图 2.8-6
解：
0)( ?ty
0
1
21?? 2
1?
1 )1 ?????? t
21??t21??t
t ?
)(1 ??G
如图 2.8-7(a)
图 2.8-7(a)
21??
0 )2 1 ??? t?
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1)( ???
?
?
?
? ?????
?
?
?
??
tdty
tt
0
1
21?
?
)(1 ??G
如图 2.8-7(b)
图 2.8-7(b)
t
21??t21??t
0 )3 1??? t
tdty
t
???? ?
?
1
2
2
1
1
1)( ??
?
?
0
1
21?? 2
1? ?
)(1 ??G
t
21??t21??t
如图 2.8-7(c)
图 2.8-7(c)
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
?????
?
1
11
11
1
0
0
0
0
)(
?
??
??
?
t
tt
tt
t
ty
相应波形如图 2.8-8所示
t
1?1??
1?
)(ty
0
图 2.8-8
思考：
)()()(
21
tGtGty ?? ??
21 ?? ?
例 2.8-2
)()()(
)()(
)()(
21
2
2
1
tftfty
tUetf
tUetf
t
t
??
?
?
?
?
求
已知
)(1 tf )(2 tf
1
0
1
0t t
如图 2.8-9(a).(b)所示
图 2.8-9(a) (b)
解：
0)(
0 )1
?
?
ty
t
)(1 ?f
1
0 ?t
如图 2.8-10(a)所示
图 2.8-10(a)
0 )2 ?t
)()()()1(
)(][
)(][)(
2
0
0
)(2
tUeetUee
tUdee
tUdeety
tttt
t
t
t
t
????
??
???
????
?
?
?
?
?
?
?
??
)(1 ?f
1
0 ?t
如图 2.8-10(b)所示
图 2.8-10(b)
例 2.8-3
21
21
)(
)(),(
ffty
tftf
??求
如图已知
)(1 tf )(2 tf
0 0t t
1
2
2 2
-2
2
3
图 2.8-11
(a) (b)
解,)(1 tf )(2 tf
0 0t t
1
2
2 2
-2
2
3
?
4
3
-4
1
4
2 50 t
y(t)
图 2.8-11
(a) (b)
如图 2.8-12所示
图 2.8-12(a)
0 t
y(t)
4
1 2 3 4 5
(b)
例 2.8-4
)()()(
)()(
)()()(
ttfty
tGtf
kTttkTt
T
T
?
????
?
??
?
??????
求
???
…… ……
0 T-T
)(tT?
t
)(tG?
t
2
??
2
?0
如图 2.8-13(a), (b)所示
图 2.8-13(a) (b)
解：
?
?
?
?
???
?
???
?
???
??
???
????
n
n
n
T
nTtf
nTttf
nTttfttf
)(
)()(
)()()()(
?
??
)(ty
t0-T T
…… ……
相应波形如图
2.8-14所示
图 2.8-14
☆ 一、卷积积分上下限的确定
① f1(t),f2(t)均为因果信号
??? dtfftftfty )()()()()( 2121 ???? ?
② f1(t)为因果信号,f2(t)为一般的无时限信号
?
?
?
????
0
2121 )()()()()( ??? dtfftftfty
?
?
????
t
dtfftftfty
0
2121 )()()()()( ???
③ f1(t)为一般的无时限信号,f2(t)为因果信号
?
??
????
t
dtfftftfty ??? )()()()()( 2121
④ f1(t),f2(t)均为一般的无时限信号
?
??
??
???? ??? dtfftftfty )()()()()( 2121
⑤ 其它情况通常需用图解法确定
一般对于有时限信号的卷积
注意运用卷积的微分和积分特性，来简化卷积的运算
常用时间函数的卷积表 (1)
)(
1
tf )(
2
tf )()()(
21
tftfty ??
)( tf )( t? )( tf
)( tf )( t? ? )( tf ?
)( tf )( tU
?
??
t
df ?? )(
)( tUe
at
)( tU )()1(
1
tUe
a
at
?
?
常用时间函数的卷积表 (2)
)()(
)()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
2121
22
11
21
22
11
tttUttt
ttUtt
ttUttttU
tftfty
ttUtUtf
ttUtUtf
?????
???
????
??
???
???
常用时间函数的卷积表 (3)
)()(
1
)(
)()(
)()(
12
2
1
12
212
1
tUee
aa
ty
aatUetf
tUetf
tata
ta
ta
?
?
?
??
?
)()(
)()()( 21
tUtety
tUetftf
at
at
?
??
常用时间函数的卷积表 (4)
)()1(
1
)]()()[1(
1
)()()(
)()(
)()()(
1
1
21
2
11
1
ttUee
a
ttUtUe
a
tftfty
tUetf
ttUtUtf
atat
at
at
???
?????
??
?
???
?
§ 2,9 线性系统响应的时域求解
一、求解系统全响应的方法
1.经典解微分方程法
列出响应的微分方程 求出方程的通解 (自由响应 )
确定解中的待定系数求出方程的特解 (压迫响应 )
2.双零法
建立微分方程 求 H(p)
求特征根 yzi(t)
求 h(t) yzs(t)=f(t)※ h(t)
全响应 y(t)=yzi(t)+yzs(t)
已知系统及输入信号 f(t)，求全响应 y(t) y(0
+),y’(0+)
,…y (n)(0+)
y(0-)…y (n)(0-
)
例 2.9-1 电路如图 2.9-1(a)所示，已知
)()1()( 3 tUetf t??? 如图 (b)，
VuC 1)0( ?? 求 )(tuC
)(tf
?1
F1
+
_
uC
)(tf
0 t
1
2
图 2.9-1
(a) (b)
+
_
)(tf
?1
p
1 uC
相应的算子方程为：
解：画出算子模型如图 2.9-2
)()1( tfup C ??
)()1 zi tu C求
)( 1
1)0( )(0
)()(
1,0)(
1
11
tUeuC
uu
tUeCeCtu
PD
t
C z i
CC z i
tt
C z i
?
??
?
????
??
???
???
?
?
?有令
图 2.9-2
)()2 tu C zs求
)( )(tUeth t?? ?
1
1)( ppH ???
)()()( thtftu C z s ???
0
)()
2
1
2
1
1(
)(
2
1
)1(
)1(
)()()(
3
3
0
)(3
0
0
)(3
tUee
eeee
deedee
dee
thtftu
tt
tttt
t
t
t
t
t
t
C z s
??
???
????
???
???
????
??
??
??
??
?
??
?
???
??
)(?f
1
2
?t
如图 2.9-3所示
图 2.9-3
电容电压的全响应?
)()()( tututu C z sC z iC ??
)()
2
1
2
11()( 3 tUeetUe ttt ??? ????
)()
2
11()(
2
1 3 tUetUe tt ?? ???
)()()(
2
1 3 tUtUee tt ??? ??
零输入响应 零状态响应
自由响应 强迫响应
暂态响应 稳态响应
例 2.9-2 已知电路如图 2.9-4所示
)(
)(15)(
0)0(,0)0(
2
ti
tUetf
ui
L
t
CL
求
?
??
?
??
)(tf ?1
F2
?2
H1
iL
图 2.9-4
)(tf ?1
?2
p2
1
p
解,画出相应的算子模型如图 2.9-5
写出算子方程：
??
?
?
?
????
???
0)3(
)()1
2
1
(
21
21
ipi
tfii
p
有
)()()1)(
2
3(
2 tpftipp ???
i1 i2
图 2.9-5
1
2
3
)1)(
2
3
(
)( 21
?
?
?
?
??
??
p
K
p
K
pp
p
pH
1,
2
3
21 ???? ??
2)()1(
3)()
2
3
(
12
2
3
1
????
???
??
??
p
p
pHpK
pHpK
)()23()( 2
3
tUeeth tt ?? ???
)()306090(
de30dee45
)d2e( 3 ee15
)()()(
2
2
3
t
0
t
0
2
1
t
2
3
)-(t
)(t
2
3
-
2-
t
-0
tUeee
e
thtfti
tt
t
t
L
??
?
??
?
??
?
?
???
??
??
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
例 2.9-3 系统的单位冲激响应与激励分别为;
0
201
)(
?
?
? ???
其它
t
th )(s i n)( ttUtf ??
求系统的零状态
)(tf
t
-1
0
1
1 2
)(th
1
0 2
t
如图 2.9-6(a).(b)所示，
响应 yzs(t)并画出波型。
图 2.9-6
(a) (b)
解：
)()(
1
)()()(
)2()()(
)2()()(
thtf
p
thtfty
ttth
tUtUth
zs
???
??
????
???
??
?
)()c o s1(
1
s i n
)(s i n)(
1
0
tUtd
dUtf
p
t
t
?
?
???
????
???
?
?
?
?
??
)(1 tfp
t0 1 2 3 4
?
1
?
2
波形如图 2.9-7所示
图 2.9-7
)]2()()[c o s1(
1
)2()]2(c o s1[
1
)()c o s1(
1
)]2()([)()c o s1(
1
)(
????
??????
??????
tUtUt
tUttUt
tttUtty
zs
?
?
?
?
?
?
???
?
波形如图 2.9-8所示 )(tyf
?
2
t0 1 2
?
1
图 2.9-8
例 2.9-4 已知 LTI系统的模拟框图如图 2.9-9(a)
激励 f(t)=A[U(t)-U(t-T)]如图 2.9-9(b)
求 yzs(t)
)(tf
A
T0 t T
)(tf
? p/1
)(ty
延时器
)( Ttf ?
图 2.9-9
(a) (b)
解：由图可知
)()(
)]()([)(
TtUtU
dTtth
t
???
??? ?
??
????
)(th
1
T0 t
如图 2.9-10
图 2.9-10
?
?
?
?
?
???
??
?
???????
?????
?
其它0
2)2(
0
)]()()][()([
)()()()()(
0
TtTtTA
TtAt
dTtUtUTUUA
tfththtfty
t
zs
?????
相应波形如图 2.9-11
)(tyf
AT
T0 t2T
图 2.9-11
本章全部内容结束
,信号与系统, CAI课件
通信与信息工程系
制作
2004.02.28
§ 2,8 卷积的图解
?
?
??
??? ??? dtffff )()(
121
当 )(),(
21
tftf 为时限函
数时，如何借助图解来确定卷
积的有效积分限呢？
卷积的图解说明
用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求
出定 积分限 尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将
两种方法结合起来。
? ? ? ? ? ? ??? d21 ?? ? ??? tfftf
?? ),()(.1 11 积分变量改为ftf ?
)()()()(.2 2222 ??? ??? ????? ??? tffftf 时延倒置
)()(.3 21 ?? ?? tff相乘：
??? d)(.)(.4 21 ?? ??? tff乘积的积分：
?? ???? tt )(
t时延对 ?
的函数
积分结果为
t
? ? ? ? ? ? ? ?再移动倒置为的图形不动,???? ?? 2221,ffff
?0
1
) (2 ??f
图 2.8-1(b)
一,)(2 ??tf 的图解
如图 2.8-1(a)，设
)()(2 ?? ?Uef a??
折迭，有 )(2 ??f
如图 (b)
0 (t=0)
0
1
)(2 ?f
?
0
0
图 2.8-1(a)
可见，当 t 改变时 ( 如从 ???? ~ ),
)(2 ??tf 就是折迭后的 )(2 ?f 在整
个时间轴上由 ???? ~ 的平移。
若 t=t1<0，有 )( 1 ??tf 如图
t1
) ( 12 ??tf
?
1
0
0 1?t
2.8-2
图 2.8-2
二、图解示例
已知 )(1 tf 和 )(2 tf 如图 2.8-3所示，
用图解定积分限求 )()( 21 tftf ? 。
)(2 tf)(1 tf
1 1
0 03 4t t
图 2.8-3
(a) (b)
解：当 t 从 ???? 向 改变时,)(
2
??tf
自左向右平移，对应不同的 t 值范围，
)(
2
??tf 与 )(
1
?f 相乘、积分的结果
如下。 )(1 ?f
1
0 3 ?t
) (2 ??tf
0
0)()(
0
21
21
???
???
?
ff
tff
t
???
1)
如图 2.8-4(a)
图 2.8-4(a)
222
0
2
0
0
21
21
8
1
8
1
4
1
8
1
4
)(
4
1
1)()(
0)(0)(
ttt
t
dttftf
tff
tt
t
??????
?????
???
?
??
??
?? 就是非重迭部分不是
0
30 ?? t
2)
)(1 ?f
1
3 ?
如图 2.8-4(b)
图 2.8-4(b)
tt-4
3
8
9
4
3)(
4
1)()( 3
021
????? ? tdttftf ??
43 ?? t
3)
)(1 ?f
1
0 ?tt-4
如图 2.8-4(c)
图 2.8-4(c)
)76(
8
1
8
1
4
1
)(
4
1
)()(
2
3
4
23
4
3
4
21
???????
???
??
?
?
ttt
dttftf
tt
t
??
??
3t-4 t
4) 74 ?? t
)(1 ?f
1
0 ?
如图 2.8-4(d)
图 2.8-4(d)
21 ff ?
t0 3 4 7
8
15
8
9
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
21
ff
00 ?t
3081 2 ?? tt
438943 ??? tt
74)76(81 2 ????? ttt
70 ?t
相应波形如图 2.8-5所示
图 2.8-5
结论：
1.积分上下限是两函数重迭部分的边界
下限为两函数左边界的最大者
上限为两函数右边界的最小者
2.卷积的时限 =两函数时限之和。
例 2.8-1
)()()( 11 tGtGty ?? ??求
0
1
)(1 tG?
21?? 2
1?
t
)(1 tG?
如图 2.8-6所示
图 2.8-6
解：
0)( ?ty
0
1
21?? 2
1?
1 )1 ?????? t
21??t21??t
t ?
)(1 ??G
如图 2.8-7(a)
图 2.8-7(a)
21??
0 )2 1 ??? t?
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1)( ???
?
?
?
? ?????
?
?
?
??
tdty
tt
0
1
21?
?
)(1 ??G
如图 2.8-7(b)
图 2.8-7(b)
t
21??t21??t
0 )3 1??? t
tdty
t
???? ?
?
1
2
2
1
1
1)( ??
?
?
0
1
21?? 2
1? ?
)(1 ??G
t
21??t21??t
如图 2.8-7(c)
图 2.8-7(c)
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
?????
?
1
11
11
1
0
0
0
0
)(
?
??
??
?
t
tt
tt
t
ty
相应波形如图 2.8-8所示
t
1?1??
1?
)(ty
0
图 2.8-8
思考：
)()()(
21
tGtGty ?? ??
21 ?? ?
例 2.8-2
)()()(
)()(
)()(
21
2
2
1
tftfty
tUetf
tUetf
t
t
??
?
?
?
?
求
已知
)(1 tf )(2 tf
1
0
1
0t t
如图 2.8-9(a).(b)所示
图 2.8-9(a) (b)
解：
0)(
0 )1
?
?
ty
t
)(1 ?f
1
0 ?t
如图 2.8-10(a)所示
图 2.8-10(a)
0 )2 ?t
)()()()1(
)(][
)(][)(
2
0
0
)(2
tUeetUee
tUdee
tUdeety
tttt
t
t
t
t
????
??
???
????
?
?
?
?
?
?
?
??
)(1 ?f
1
0 ?t
如图 2.8-10(b)所示
图 2.8-10(b)
例 2.8-3
21
21
)(
)(),(
ffty
tftf
??求
如图已知
)(1 tf )(2 tf
0 0t t
1
2
2 2
-2
2
3
图 2.8-11
(a) (b)
解,)(1 tf )(2 tf
0 0t t
1
2
2 2
-2
2
3
?
4
3
-4
1
4
2 50 t
y(t)
图 2.8-11
(a) (b)
如图 2.8-12所示
图 2.8-12(a)
0 t
y(t)
4
1 2 3 4 5
(b)
例 2.8-4
)()()(
)()(
)()()(
ttfty
tGtf
kTttkTt
T
T
?
????
?
??
?
??????
求
???
…… ……
0 T-T
)(tT?
t
)(tG?
t
2
??
2
?0
如图 2.8-13(a), (b)所示
图 2.8-13(a) (b)
解：
?
?
?
?
???
?
???
?
???
??
???
????
n
n
n
T
nTtf
nTttf
nTttfttf
)(
)()(
)()()()(
?
??
)(ty
t0-T T
…… ……
相应波形如图
2.8-14所示
图 2.8-14
☆ 一、卷积积分上下限的确定
① f1(t),f2(t)均为因果信号
??? dtfftftfty )()()()()( 2121 ???? ?
② f1(t)为因果信号,f2(t)为一般的无时限信号
?
?
?
????
0
2121 )()()()()( ??? dtfftftfty
?
?
????
t
dtfftftfty
0
2121 )()()()()( ???
③ f1(t)为一般的无时限信号,f2(t)为因果信号
?
??
????
t
dtfftftfty ??? )()()()()( 2121
④ f1(t),f2(t)均为一般的无时限信号
?
??
??
???? ??? dtfftftfty )()()()()( 2121
⑤ 其它情况通常需用图解法确定
一般对于有时限信号的卷积
注意运用卷积的微分和积分特性，来简化卷积的运算
常用时间函数的卷积表 (1)
)(
1
tf )(
2
tf )()()(
21
tftfty ??
)( tf )( t? )( tf
)( tf )( t? ? )( tf ?
)( tf )( tU
?
??
t
df ?? )(
)( tUe
at
)( tU )()1(
1
tUe
a
at
?
?
常用时间函数的卷积表 (2)
)()(
)()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
2121
22
11
21
22
11
tttUttt
ttUtt
ttUttttU
tftfty
ttUtUtf
ttUtUtf
?????
???
????
??
???
???
常用时间函数的卷积表 (3)
)()(
1
)(
)()(
)()(
12
2
1
12
212
1
tUee
aa
ty
aatUetf
tUetf
tata
ta
ta
?
?
?
??
?
)()(
)()()( 21
tUtety
tUetftf
at
at
?
??
常用时间函数的卷积表 (4)
)()1(
1
)]()()[1(
1
)()()(
)()(
)()()(
1
1
21
2
11
1
ttUee
a
ttUtUe
a
tftfty
tUetf
ttUtUtf
atat
at
at
???
?????
??
?
???
?
§ 2,9 线性系统响应的时域求解
一、求解系统全响应的方法
1.经典解微分方程法
列出响应的微分方程 求出方程的通解 (自由响应 )
确定解中的待定系数求出方程的特解 (压迫响应 )
2.双零法
建立微分方程 求 H(p)
求特征根 yzi(t)
求 h(t) yzs(t)=f(t)※ h(t)
全响应 y(t)=yzi(t)+yzs(t)
已知系统及输入信号 f(t)，求全响应 y(t) y(0
+),y’(0+)
,…y (n)(0+)
y(0-)…y (n)(0-
)
例 2.9-1 电路如图 2.9-1(a)所示，已知
)()1()( 3 tUetf t??? 如图 (b)，
VuC 1)0( ?? 求 )(tuC
)(tf
?1
F1
+
_
uC
)(tf
0 t
1
2
图 2.9-1
(a) (b)
+
_
)(tf
?1
p
1 uC
相应的算子方程为：
解：画出算子模型如图 2.9-2
)()1( tfup C ??
)()1 zi tu C求
)( 1
1)0( )(0
)()(
1,0)(
1
11
tUeuC
uu
tUeCeCtu
PD
t
C z i
CC z i
tt
C z i
?
??
?
????
??
???
???
?
?
?有令
图 2.9-2
)()2 tu C zs求
)( )(tUeth t?? ?
1
1)( ppH ???
)()()( thtftu C z s ???
0
)()
2
1
2
1
1(
)(
2
1
)1(
)1(
)()()(
3
3
0
)(3
0
0
)(3
tUee
eeee
deedee
dee
thtftu
tt
tttt
t
t
t
t
t
t
C z s
??
???
????
???
???
????
??
??
??
??
?
??
?
???
??
)(?f
1
2
?t
如图 2.9-3所示
图 2.9-3
电容电压的全响应?
)()()( tututu C z sC z iC ??
)()
2
1
2
11()( 3 tUeetUe ttt ??? ????
)()
2
11()(
2
1 3 tUetUe tt ?? ???
)()()(
2
1 3 tUtUee tt ??? ??
零输入响应 零状态响应
自由响应 强迫响应
暂态响应 稳态响应
例 2.9-2 已知电路如图 2.9-4所示
)(
)(15)(
0)0(,0)0(
2
ti
tUetf
ui
L
t
CL
求
?
??
?
??
)(tf ?1
F2
?2
H1
iL
图 2.9-4
)(tf ?1
?2
p2
1
p
解,画出相应的算子模型如图 2.9-5
写出算子方程：
??
?
?
?
????
???
0)3(
)()1
2
1
(
21
21
ipi
tfii
p
有
)()()1)(
2
3(
2 tpftipp ???
i1 i2
图 2.9-5
1
2
3
)1)(
2
3
(
)( 21
?
?
?
?
??
??
p
K
p
K
pp
p
pH
1,
2
3
21 ???? ??
2)()1(
3)()
2
3
(
12
2
3
1
????
???
??
??
p
p
pHpK
pHpK
)()23()( 2
3
tUeeth tt ?? ???
)()306090(
de30dee45
)d2e( 3 ee15
)()()(
2
2
3
t
0
t
0
2
1
t
2
3
)-(t
)(t
2
3
-
2-
t
-0
tUeee
e
thtfti
tt
t
t
L
??
?
??
?
??
?
?
???
??
??
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
例 2.9-3 系统的单位冲激响应与激励分别为;
0
201
)(
?
?
? ???
其它
t
th )(s i n)( ttUtf ??
求系统的零状态
)(tf
t
-1
0
1
1 2
)(th
1
0 2
t
如图 2.9-6(a).(b)所示，
响应 yzs(t)并画出波型。
图 2.9-6
(a) (b)
解：
)()(
1
)()()(
)2()()(
)2()()(
thtf
p
thtfty
ttth
tUtUth
zs
???
??
????
???
??
?
)()c o s1(
1
s i n
)(s i n)(
1
0
tUtd
dUtf
p
t
t
?
?
???
????
???
?
?
?
?
??
)(1 tfp
t0 1 2 3 4
?
1
?
2
波形如图 2.9-7所示
图 2.9-7
)]2()()[c o s1(
1
)2()]2(c o s1[
1
)()c o s1(
1
)]2()([)()c o s1(
1
)(
????
??????
??????
tUtUt
tUttUt
tttUtty
zs
?
?
?
?
?
?
???
?
波形如图 2.9-8所示 )(tyf
?
2
t0 1 2
?
1
图 2.9-8
例 2.9-4 已知 LTI系统的模拟框图如图 2.9-9(a)
激励 f(t)=A[U(t)-U(t-T)]如图 2.9-9(b)
求 yzs(t)
)(tf
A
T0 t T
)(tf
? p/1
)(ty
延时器
)( Ttf ?
图 2.9-9
(a) (b)
解：由图可知
)()(
)]()([)(
TtUtU
dTtth
t
???
??? ?
??
????
)(th
1
T0 t
如图 2.9-10
图 2.9-10
?
?
?
?
?
???
??
?
???????
?????
?
其它0
2)2(
0
)]()()][()([
)()()()()(
0
TtTtTA
TtAt
dTtUtUTUUA
tfththtfty
t
zs
?????
相应波形如图 2.9-11
)(tyf
AT
T0 t2T
图 2.9-11
本章全部内容结束
