一．输入－输出法（端口法）
?研究 单输入－单输出 系统；
?着眼于系统的 外部 特性；
?基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性
的概念。
?产生于 20世纪 50至 60年代；
?卡尔曼 (R.E.Kalman)引入；
?利用状态变量描述系统的 内部 特性；
?运用于 多 输入－ 多 输出系统；
?用 n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来
描述系统 。
二．状态变量分析法
第 8章 系统的状态变量分析
§ 8.1状态方程
三,状态变量分析法 优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究；
(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统；
(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
例 8-1
)( te
LR
C
?
?
? ?tv
C
微分方程 （ 输入－输出描述法 ）,
)( )( tvte C输出：输入：
? ? ? ? ? ? ? ?tetvtvttvt CCC 202022 dd2dd ??? ???
LCL
R 1
2 0 ?? ??
其中
? ? ? ?为变量列方程：以 titv LC,
? ? ? ? ? ? ? ?tetvtitLtRi CLL ??? dd
? ? ? ??
??
? t LC ttiCtv d1
? ? ? ?tiCtvt LC 1dd ?
? ? ? ? ? ? ? ?
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C
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11
d
d
写为
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C
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tv
t
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C
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0
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0
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1
d
d
d
d写为矩阵形式：
只要知道 的初始状态及输入 即可完全确
定电路的全部行为。
)(),( tvti CL )(te
输出方程
? ? ?
?
?
??
??
)(
)(10)(
tv
titr
C
L
此方法称为状态变量或状态空间分析法；
为状态变量。)(),( tvti
CL
四．名词定义
状态,表示动态系统的一组最少变量 （ 被称为状态
变量 ）, 只要知道 时这组变量和 时的输
入, 那么就能完全确定系统在任何时间 的行为 。
0tt ? 0tt ?
0tt ?
状态变量,能够表示系统状态的那些变量称为状态
变量 。 例如上例中的 。 )(),( tvti CL
状态矢量,能够完全描述一个系统行为的 k个状态变
量, 可以看作矢量 的各个分量的坐标 。 称为
状态矢量 。
)(t?)(t?
)(t?状态空间,状态矢量 所在的空间 。
状态轨迹,在状态空间中状态矢量端点随时间变化
而描出的路径称为状态轨迹 。
状态方程, 状态变量的方程叫做状态方程，它是用状态变量和激励
表示的一组独立的一阶微分方程。
输出方程, 由状态变量和激励来表示各个输出的方程组，它是
代数方程
动态方程, 状态方程和输出方程的总称称为动态方程或系统方程
① 每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激
励信号的函数；
② 每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；
③ 通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积
分器的输出。
五．动态方程的一般形式
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶
导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现为状态变
量的联立一阶微分方程组, 即? ?te 1
? ?te 2
? ?te m
.
.
.
? ?tr 1
? ?tr 2
? ?tr r
? ?? ?0ti?
? ? ? ? ? ?ttt k???,,,21 ?为系统的 k个状态变量。
m个输入信号 r个输出信号
状态方程
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
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t
ttetetetttft
t
ttetetetttft
t
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mk
mk
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d
,,,,;,,,
d
d
,,,,;,,,
d
d
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212122
212111
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????
????
????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
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ttetetettthtr
ttetetettthtr
mkrr
mk
mk
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,,,,;,,,
,,,,;,,,
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212122
212111
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???
???输出方程
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tebtebteb
tatatat
t
mkmkk
kkkkkk
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kk
mm
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2211
2211
2222121
22221212
1212111
12121111
d
d
d
d
d
d
????
????
????
如果系统是线性时不变的, 则状态方程和输出方程是
状态变量和输入信号的线性组合, 即：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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tedtctctctr
tedted
tedtctctctr
tedted
tedtctctctr
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rkrkrrr
mm
kk
mm
kk
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22
112211
2222
12122221212
1212
11112121111
???
???
???
表示为矢量矩阵形式
? ? ? ? ? ?tttt mmkkkk
k
11
1d
d
????
?
???
?
?
??
? eBλA?
? ?? ? ? ? ? ?tttr mmrkkrr 111 ????? ?? eDλC
状态方程
输入方程
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t
t
t
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2
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t
t
t
t
t
t
t
k
?
?
?
d
d
d
d
d
d
d
d
2
1
?
λ
离散系统的状态方程：一阶差分方程组
为系统的 r个输出信号。
为系统的 m个输入信号；
? ? ? ? ? ?nnn k??? ?,,21
? ? ? ? ? ?nxnxnx m,,,21 ?
? ? ? ? ? ?nynyny r?,,21
为系统的状态变量；
离散系统
.
.
.
)(nxm )(nyr
)(1 nx
)(2 ny)(2 nx
)(1 ny
? ?)(ni?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
],,,,;,,[
],,,,;,,[
],,,,;,,[
2121
212122
212111
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
nnxnxnxnnnhny
nnxnxnxnnnhny
nnxnxnxnnnhny
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mk
mk
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???
???
输出方程：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
],,,,;,,[1
],,,,;,,[1
],,,,;,,[1
2121
212122
212111
?
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?
?
?
?
??
??
??
nnxnxnxnnnfn
nnxnxnxnnnfn
nnxnxnxnnnfn
mkkk
mk
mk
??
?
??
??
????
????
????状态方程：
如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状
态变量和输入信号的线形组合，即
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
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??????
???
??????
nxbnxb
nxbnananan
nxbnxb
nxbnananan
nxbnxb
nxbnananan
mkmk
kkkkkkk
mm
kk
mm
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?
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112211
2222
12122221212
1212
11112121111
1
1
1
????
????
????
状态方程：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
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?
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?????
???
?????
???
?????
nxdnxd
nxdncncncny
nxdnxd
nxdncncncny
nxdnxd
nxdncncncny
mrmr
rkrkrrr
mm
kk
mm
kk
?
?
?
?
?
?
?
22
112211
2222
12122221212
1212
11112121111
???
???
???
输出方程：
可见：
?n+1时刻的状态变量是 n时刻状态变量和输入信号的
函数。
?在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变
量常常选延时单元的输出。
表示成矢量方程形式
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
111
111
?
?
?
??
???
?????
?????
nnn
nnn
mmrkkrr
mmkkkkk
xDλCy
xBλAλ
输出方程
状态方程
§ 8.2状态方程的建立
(1)选取 独立 的电容上电压和电感中电流为状态变量，
有时也选电容电荷与电感磁链。
中必然包含,注意只能将此项放在方程左边。
(2)对包含有电感的回路列写回路电压方程，其中必然
包 括 ? ?
t
tiL L
d
d
? ?
t
tvC C
d
d
，对连接有电容的结点列结点电流方程，其
(3)把方程中非状态变量用状态变量表示 。
(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。
一、由给定电路直接编写
例 8-1
写出下图所示电路的状态方程和输出方程 。
? ?te
?1 H1
F2
?
?
? ?tv C
? ?ti L 1 ? ?ti L 2
H1
?1
?
?
? ?tr
选电感电流 和电容两端电压 作为
状态变量
? ? ? ?titi LL 21,? ?tvC
? ?te
?1 H1
F2
?
?
? ?tv C
? ?ti L 1 ? ?ti L 2
H1
?1
?
?
? ?tr
A
? ?ti 1 ? ?ti
2
解：
对连接电容的结点 A列结点电流方程
? ? ? ? ? ?tvttiti CLL dd221 ??
对包含电感的回路 列回路电压方程? ? ? ?titi 21,
? ? ? ? ? ? ? ?tvtittite CLL ??? 11 dd
? ? ? ? ? ?titittv LLC 22dd ??
? ? ? ? ? ? ? ?tetvtitit CLL ???? 11dd
? ? ? ? ? ?titvtit LCL 22dd ??
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?te
ti
ti
tv
ti
t
ti
t
tv
t
L
L
C
L
L
C
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?
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?
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?
?
0
1
0
101
011
2
1
2
1
0
d
d
d
d
d
d
2
1
2
1
? ? ? ?titr L 2?
写成矩阵形式
输出方程为
? ? ? ? ? ?tititvt LLC 21 2121dd ??整理
?3?2
?1
uC
1 i
2
例 8-2
)(te
RS
R
L
C2
P C1
C3
L Q
i1
i3解,(1)确定状态变量,如图所示因电路存在纯电容回路,故
只有两个独立电容电压。
（ 2）列 KVL和 KCL方程，得
)(
K C L )(P
)C(
32133
31122
32321
KV LQiiC
iiC
KV LLCL
点的
点的
的回路
????
????
???
??
??
???
（ 3）消去非状态变量 (i1,i2和 i3)
,21
sR
ei ???,3
2
LR
i ?? )( 32113
1 ?? ?????? CuCi C
e
CR
C
CR
CC
CR
C
C
C
e
CR
CC
CR
C
CR
CC
C
C
LL
sLs
sLs
1
3
21
2
1
1
2
3
31
3
1
2
31
1
3
2
321
11
?
?
????
?
??
?
????
???
????
????
???
最后得
133221 CCCCCCC ???其中
二,由系统方框图建立
一般规则,(1)选取积分器输出作状态变量
(2)围绕加法器写状态方程或输出方程
例 8-3 编写图示系统的状态方程和输出方程
S-1 S-1 S-1+ +
-8 -19
-12
4
10F(s) Y(s)?? ?解：如图选积分
器的输出为状态
变量易得
f?????????? 32133221 81912 ????????状态方程
f
?
?
?
?
?
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?
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?
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1
0
0
81912
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
?
?
?
矩阵形式如下：输出方程 21 410 ?? ??y
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
0410
?
?
?
y
3? 1?2?
由系统函数（微分方程）或信号流图建立
思路,先从系统函数或微分方程画出相应的信号流图,再由信号流
图建立状态方程或输出方程,
例 4 系统函数为 求状态方程与输出方程
6116
4)(
23 ???
??
sss
ssH
解,[直接模拟法 ]
6116
4)(
23 ???
??
sss
ssH
F(s)
1 S-1 S-1 S-1
-6
-11 -6
4
Y(s)
1
?1
?3
?2
选积分器的输出作状态
变量，得
系统信号流图如下：
f??????
??
??
3213
32
21
6116 ????
??
??
214 ?? ??y
[级联形式 ] 3
1
2
4
1
1)(
???
??
?? ss
s
ssH
F(s)
S-
1
1 S-
1
S-
1
-1
1
-3
1 4 1
Y(s)-2
1
?
1
?
3
?
2
f????
????
??????????
33
322
32123211
2
23)2(43
??
???
????????
1??y
故状态方程和输出方程为：
[并联形式 ] 3
2
1
2
2
1
2
3
)(
?
?
?
??
?
?
sss
sH
f
f
f
????
????
????
33
22
11
3
2
??
??
??
321 2
12
2
3 ??? ???y
F(s) S-
1 -2
1 1
Y(s)
-3
-2
S-
1
S-
11
1
1 21
23-1
?
1
?
3
?
2
状态方程为,输出方程为：
三,离散系统状态方程与输出方程的建立
然后由系统方框图或流图建立状态方程与输出方程。
对离散系统，选取 延时单元 的 输出 作状态变量
Z-1?(n +1) ?(n)
E-1 )1( ?n? )(n?延时单元的时域框图：
延时单元的 Z
域流图表示：
例 8-4
描述因果系统的差分方程为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?33221342312 ???????????? nxnxnxnynynyny
写出其状态方程和输出方程。
解：由差分方程写出该系统的系统函数
? ? 321 321 4321 32 ??? ??? ??? ??? zzz zzzzH
画出其信号流图
? ?nx ? ?ny
1
1?
z
1?
z
1?
z 3?
)(
1
n?)(
2
n?)(
3
n?
1
2
2?
3
4?
以延时器的输出作为状态变量，分别为 ? ? ? ? ? ?nnn
321,,???
这样即可写出状态方程与输出方程为：
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
?
?
?
??????
??
??
nxnnnn
nn
nn
)(2)(3)(41
1
1
3213
32
21
????
??
??
? ? ? ? ? ? ? ?nnnny 321 23 ??? ????
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?nx
n
n
n
n
n
n
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1
0
0
234
100
010
1
1
1
3
2
1
3
2
1
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?
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? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
ny
3
2
1
123
?
?
?
表示成矩阵形式为
?研究 单输入－单输出 系统；
?着眼于系统的 外部 特性；
?基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性
的概念。
?产生于 20世纪 50至 60年代；
?卡尔曼 (R.E.Kalman)引入；
?利用状态变量描述系统的 内部 特性；
?运用于 多 输入－ 多 输出系统；
?用 n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来
描述系统 。
二．状态变量分析法
第 8章 系统的状态变量分析
§ 8.1状态方程
三,状态变量分析法 优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究；
(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统；
(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
例 8-1
)( te
LR
C
?
?
? ?tv
C
微分方程 （ 输入－输出描述法 ）,
)( )( tvte C输出：输入：
? ? ? ? ? ? ? ?tetvtvttvt CCC 202022 dd2dd ??? ???
LCL
R 1
2 0 ?? ??
其中
? ? ? ?为变量列方程：以 titv LC,
? ? ? ? ? ? ? ?tetvtitLtRi CLL ??? dd
? ? ? ??
??
? t LC ttiCtv d1
? ? ? ?tiCtvt LC 1dd ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
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??
?
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????
?
ti
C
tv
t
te
L
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R
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t
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CLL
1
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11
d
d
写为
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? ?? ?teL
tv
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1
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d
d
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d写为矩阵形式：
只要知道 的初始状态及输入 即可完全确
定电路的全部行为。
)(),( tvti CL )(te
输出方程
? ? ?
?
?
??
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)(
)(10)(
tv
titr
C
L
此方法称为状态变量或状态空间分析法；
为状态变量。)(),( tvti
CL
四．名词定义
状态,表示动态系统的一组最少变量 （ 被称为状态
变量 ）, 只要知道 时这组变量和 时的输
入, 那么就能完全确定系统在任何时间 的行为 。
0tt ? 0tt ?
0tt ?
状态变量,能够表示系统状态的那些变量称为状态
变量 。 例如上例中的 。 )(),( tvti CL
状态矢量,能够完全描述一个系统行为的 k个状态变
量, 可以看作矢量 的各个分量的坐标 。 称为
状态矢量 。
)(t?)(t?
)(t?状态空间,状态矢量 所在的空间 。
状态轨迹,在状态空间中状态矢量端点随时间变化
而描出的路径称为状态轨迹 。
状态方程, 状态变量的方程叫做状态方程，它是用状态变量和激励
表示的一组独立的一阶微分方程。
输出方程, 由状态变量和激励来表示各个输出的方程组，它是
代数方程
动态方程, 状态方程和输出方程的总称称为动态方程或系统方程
① 每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激
励信号的函数；
② 每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；
③ 通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积
分器的输出。
五．动态方程的一般形式
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶
导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现为状态变
量的联立一阶微分方程组, 即? ?te 1
? ?te 2
? ?te m
.
.
.
? ?tr 1
? ?tr 2
? ?tr r
? ?? ?0ti?
? ? ? ? ? ?ttt k???,,,21 ?为系统的 k个状态变量。
m个输入信号 r个输出信号
状态方程
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
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t
ttetetetttft
t
ttetetetttft
t
mkkk
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mk
,,,,;,,,
d
d
,,,,;,,,
d
d
,,,,;,,,
d
d
2121
212122
212111
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????
????
????
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
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ttetetettthtr
ttetetettthtr
ttetetettthtr
mkrr
mk
mk
,,,,;,,,
,,,,;,,,
,,,,;,,,
2121
212122
212111
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??
??
???
???
???输出方程
? ? ? ? ? ? ? ?
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tatatat
t
tebtebteb
tatatat
t
tebtebteb
tatatat
t
mkmkk
kkkkkk
mm
kk
mm
kk
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?
?
?
?
?
?
2211
2211
2222121
22221212
1212111
12121111
d
d
d
d
d
d
????
????
????
如果系统是线性时不变的, 则状态方程和输出方程是
状态变量和输入信号的线性组合, 即：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
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?????
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?????
??
?????
tedted
tedtctctctr
tedted
tedtctctctr
tedted
tedtctctctr
mrmr
rkrkrrr
mm
kk
mm
kk
?
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?
?
?
?
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22
112211
2222
12122221212
1212
11112121111
???
???
???
表示为矢量矩阵形式
? ? ? ? ? ?tttt mmkkkk
k
11
1d
d
????
?
???
?
?
??
? eBλA?
? ?? ? ? ? ? ?tttr mmrkkrr 111 ????? ?? eDλC
状态方程
输入方程
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
t
t
t
k
?
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?
?
2
1
λ
? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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t
t
t
t
t
t
t
t
k
?
?
?
d
d
d
d
d
d
d
d
2
1
?
λ
离散系统的状态方程：一阶差分方程组
为系统的 r个输出信号。
为系统的 m个输入信号；
? ? ? ? ? ?nnn k??? ?,,21
? ? ? ? ? ?nxnxnx m,,,21 ?
? ? ? ? ? ?nynyny r?,,21
为系统的状态变量；
离散系统
.
.
.
)(nxm )(nyr
)(1 nx
)(2 ny)(2 nx
)(1 ny
? ?)(ni?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
],,,,;,,[
],,,,;,,[
],,,,;,,[
2121
212122
212111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnxnxnxnnnhny
nnxnxnxnnnhny
nnxnxnxnnnhny
mkrr
mk
mk
??
?
??
??
???
???
???
输出方程：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
],,,,;,,[1
],,,,;,,[1
],,,,;,,[1
2121
212122
212111
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
nnxnxnxnnnfn
nnxnxnxnnnfn
nnxnxnxnnnfn
mkkk
mk
mk
??
?
??
??
????
????
????状态方程：
如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状
态变量和输入信号的线形组合，即
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
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?
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?
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?
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??????
???
??????
???
??????
nxbnxb
nxbnananan
nxbnxb
nxbnananan
nxbnxb
nxbnananan
mkmk
kkkkkkk
mm
kk
mm
kk
?
?
?
?
?
?
?
22
112211
2222
12122221212
1212
11112121111
1
1
1
????
????
????
状态方程：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
???
?????
???
?????
nxdnxd
nxdncncncny
nxdnxd
nxdncncncny
nxdnxd
nxdncncncny
mrmr
rkrkrrr
mm
kk
mm
kk
?
?
?
?
?
?
?
22
112211
2222
12122221212
1212
11112121111
???
???
???
输出方程：
可见：
?n+1时刻的状态变量是 n时刻状态变量和输入信号的
函数。
?在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变
量常常选延时单元的输出。
表示成矢量方程形式
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
111
111
?
?
?
??
???
?????
?????
nnn
nnn
mmrkkrr
mmkkkkk
xDλCy
xBλAλ
输出方程
状态方程
§ 8.2状态方程的建立
(1)选取 独立 的电容上电压和电感中电流为状态变量，
有时也选电容电荷与电感磁链。
中必然包含,注意只能将此项放在方程左边。
(2)对包含有电感的回路列写回路电压方程，其中必然
包 括 ? ?
t
tiL L
d
d
? ?
t
tvC C
d
d
，对连接有电容的结点列结点电流方程，其
(3)把方程中非状态变量用状态变量表示 。
(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。
一、由给定电路直接编写
例 8-1
写出下图所示电路的状态方程和输出方程 。
? ?te
?1 H1
F2
?
?
? ?tv C
? ?ti L 1 ? ?ti L 2
H1
?1
?
?
? ?tr
选电感电流 和电容两端电压 作为
状态变量
? ? ? ?titi LL 21,? ?tvC
? ?te
?1 H1
F2
?
?
? ?tv C
? ?ti L 1 ? ?ti L 2
H1
?1
?
?
? ?tr
A
? ?ti 1 ? ?ti
2
解：
对连接电容的结点 A列结点电流方程
? ? ? ? ? ?tvttiti CLL dd221 ??
对包含电感的回路 列回路电压方程? ? ? ?titi 21,
? ? ? ? ? ? ? ?tvtittite CLL ??? 11 dd
? ? ? ? ? ?titittv LLC 22dd ??
? ? ? ? ? ? ? ?tetvtitit CLL ???? 11dd
? ? ? ? ? ?titvtit LCL 22dd ??
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?te
ti
ti
tv
ti
t
ti
t
tv
t
L
L
C
L
L
C
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
1
0
101
011
2
1
2
1
0
d
d
d
d
d
d
2
1
2
1
? ? ? ?titr L 2?
写成矩阵形式
输出方程为
? ? ? ? ? ?tititvt LLC 21 2121dd ??整理
?3?2
?1
uC
1 i
2
例 8-2
)(te
RS
R
L
C2
P C1
C3
L Q
i1
i3解,(1)确定状态变量,如图所示因电路存在纯电容回路,故
只有两个独立电容电压。
（ 2）列 KVL和 KCL方程，得
)(
K C L )(P
)C(
32133
31122
32321
KV LQiiC
iiC
KV LLCL
点的
点的
的回路
????
????
???
??
??
???
（ 3）消去非状态变量 (i1,i2和 i3)
,21
sR
ei ???,3
2
LR
i ?? )( 32113
1 ?? ?????? CuCi C
e
CR
C
CR
CC
CR
C
C
C
e
CR
CC
CR
C
CR
CC
C
C
LL
sLs
sLs
1
3
21
2
1
1
2
3
31
3
1
2
31
1
3
2
321
11
?
?
????
?
??
?
????
???
????
????
???
最后得
133221 CCCCCCC ???其中
二,由系统方框图建立
一般规则,(1)选取积分器输出作状态变量
(2)围绕加法器写状态方程或输出方程
例 8-3 编写图示系统的状态方程和输出方程
S-1 S-1 S-1+ +
-8 -19
-12
4
10F(s) Y(s)?? ?解：如图选积分
器的输出为状态
变量易得
f?????????? 32133221 81912 ????????状态方程
f
?
?
?
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?
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?
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???
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
81912
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
?
?
?
矩阵形式如下：输出方程 21 410 ?? ??y
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
0410
?
?
?
y
3? 1?2?
由系统函数（微分方程）或信号流图建立
思路,先从系统函数或微分方程画出相应的信号流图,再由信号流
图建立状态方程或输出方程,
例 4 系统函数为 求状态方程与输出方程
6116
4)(
23 ???
??
sss
ssH
解,[直接模拟法 ]
6116
4)(
23 ???
??
sss
ssH
F(s)
1 S-1 S-1 S-1
-6
-11 -6
4
Y(s)
1
?1
?3
?2
选积分器的输出作状态
变量，得
系统信号流图如下：
f??????
??
??
3213
32
21
6116 ????
??
??
214 ?? ??y
[级联形式 ] 3
1
2
4
1
1)(
???
??
?? ss
s
ssH
F(s)
S-
1
1 S-
1
S-
1
-1
1
-3
1 4 1
Y(s)-2
1
?
1
?
3
?
2
f????
????
??????????
33
322
32123211
2
23)2(43
??
???
????????
1??y
故状态方程和输出方程为：
[并联形式 ] 3
2
1
2
2
1
2
3
)(
?
?
?
??
?
?
sss
sH
f
f
f
????
????
????
33
22
11
3
2
??
??
??
321 2
12
2
3 ??? ???y
F(s) S-
1 -2
1 1
Y(s)
-3
-2
S-
1
S-
11
1
1 21
23-1
?
1
?
3
?
2
状态方程为,输出方程为：
三,离散系统状态方程与输出方程的建立
然后由系统方框图或流图建立状态方程与输出方程。
对离散系统，选取 延时单元 的 输出 作状态变量
Z-1?(n +1) ?(n)
E-1 )1( ?n? )(n?延时单元的时域框图：
延时单元的 Z
域流图表示：
例 8-4
描述因果系统的差分方程为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?33221342312 ???????????? nxnxnxnynynyny
写出其状态方程和输出方程。
解：由差分方程写出该系统的系统函数
? ? 321 321 4321 32 ??? ??? ??? ??? zzz zzzzH
画出其信号流图
? ?nx ? ?ny
1
1?
z
1?
z
1?
z 3?
)(
1
n?)(
2
n?)(
3
n?
1
2
2?
3
4?
以延时器的输出作为状态变量，分别为 ? ? ? ? ? ?nnn
321,,???
这样即可写出状态方程与输出方程为：
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
?
?
?
??????
??
??
nxnnnn
nn
nn
)(2)(3)(41
1
1
3213
32
21
????
??
??
? ? ? ? ? ? ? ?nnnny 321 23 ??? ????
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?nx
n
n
n
n
n
n
?
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?
?
?
?
?
?
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?
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?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
234
100
010
1
1
1
3
2
1
3
2
1
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
ny
3
2
1
123
?
?
?
表示成矩阵形式为
