,信号与系统, CAI课件
第二章 (2)
通信与信息工程系
制作
2004.02.10
2.6 零状态响应的求解
——卷积积分
§
LTI
)(t?
)(tf
)(th
)(tyzs
“0”
信号分解 响应合成
(卷积 ) (卷积 )
图 2.6-1
一、有始信号的分解
1.有始信号分解为 矩形窄脉冲 信号
f(t)
t0
f(0)
?? ??2 ??k
)]2()()[(1 ??? ??????? tUtUff
图 2.6-2(a)
?
?
其中
?? ????? kfffftf 210)(
所示如图 )(26.2 a?
)])1(()()[( ??? ???????? ktUktUkff k
f0
)]()()[0(0 ????? tUtUff
f1
??
fk
???
f(t)
t0
f(0)
f0 f1 f2 ? ? ?fk
?? ??2 ??k
0
f(t)
t?? ??2 ??k
?
?
????????
n
k
ktUktUkftf
0
])1(()()[()( ???即
0???当
?
?
????
??
?
n
k
ktkftf
0
)()(
0
li m)( ????
?
…2.6 -1
)()()()()(
0
ttfdtftf t ????? ????? ?
)()()()()( 0 ttfdtftf t ????? ???? ?
2.注意到
且
信号分解亦可以理解 f(t)为被不同
时延的冲激信号 (t在变化！ )进行
积分取样的结果。
)()()( 00 tfdttttf ??? ???? ?
)()( tt ??? ????
1.上式表明有始时间信号可分解
为一系列具有 不同幅度、不同时
延冲激信号 的迭加 ——卷积积分
...
...
)()0(0 tUff ?
??
?
??
?
?
??
?
???
?
?
????
?
??
?
?????
??
)()(
)0()(
)()]0()([1
tU
f
tU
ff
tUfff
t
2.有始信号分解为阶跃信号
f(0)其中
如图，同理
?? ????? kfffftf 210)(
?
??????
?
?????????????
??
)()()])1(()([ ktUfktUkfkff
kt
k
?
?? ??2 ??k?
fk
tf
0f1
f(t)
0
该式表明有始时间信号可分解
为一系列具有 不同幅度不同时延阶
跃信号 的迭加。
?
?
?? ????
???? n
k
kt ktU
ftUftf
1
)(][)()0()( ??
? ?
0?? ?当
? ???? t dtUftUftf 0 )()()()0()( ???
……2.6 -2
)()()()()(
0
thtfdthfty tzs ???? ?
?
???即
……2.6 -3
二、响应的合成 (冲激响应为例 )
“0”
)(t? LTI )(th
)()( tht ??
?
)())0(()())0(( thftf ??? ???
??????? ????????? )()()()( kthkfktkf
?
?
?
??
?
??
????
??????
n
k
n
k
kthkf
ktkf
0
0
0
0
)()(
lim
)()(
lim
???
????
?
?
)()()()()(
0
thtfdthfty tzs ???? ?
?
???
说明：
?
?
0
0.1
所以积分下限为
，响应可能出现跃变，考虑到 t
?? ??? t令.2
? ???? ?? ??? dhtfty zs )()()( 有
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
t
t
t
zs
dgtf
dtgf
dtg
dt
df
tgfty
0
0
0
)()(
)()(
)()()0()(
???
???
??
3.对任意的无始无终信号，有
? ??? ?? ??? dthfty zs )()()(
4.若把信号分解为阶跃信号的迭加，同
理
可得
……2.6 -4
三、示例
例 2.6-1 如图 2.6-5(a)电路，已知 f(t)如图 (b)
所示，求 h(t),g(t)及零状态响应 i(t)
f(t)
0 t
?10
R
L
mH10f(t)
T
1
T
i(t)
图 2.6-5(a) 图 2.6-5(b)
?10
R
mH10f(t)
解：容易写出算子方程
Lp
)()( tfiLpR ??
)(
1
tf
L
R
p
Li
?
?
)(100)(1)(
310
tUetUe
L
th t
t
L
R
?? ???
)()1(10 1)()( 310
0
tUedhtg tt ???? ? ??
f(t)
0 t
T
1
T
)]()([1)( TtUtUTtf ????
TtTtgtg
T
ti ???? )]()([1)(
如图所示，系统为零状态，求
例 2.6-2 如图 2.6-6(a)电路，已知
)2()1()]2()()[121()( ??????? tUttUtUttf
)(ti
?21
F2
)(tf
)(tf
t0 1 2 3
1
2
3
4
图 2.6-6(a) （ b ）
。
解：由前已得
)(2)(2)( tUetth t??? ?
而 f(t)可写为
)2(
2
1)()1
2
1()( ???? ttUtUttf
)()()( thtfti ???
????
????
?
dtUet
UU
t
t
)](2)(2[
)]2(
2
1
)()1
2
1
[(
)(
0
???
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
??
??
t
t
t
t
t
dtUUe
dtU
dtUtUe
dtUti
0
)(
0
0
)(
0
)()2(
)()2(
)()()2(
)()()2()(
????
?????
???
?????
?
?
?
根据冲激函数的积分取样性质，注意到 后两项
的积分下限应为 2，则
)2(][)2(
)(][)()2()(
2
)()(
0
)()(
?????
????
????
????
tUeettU
tUeetUtti
ttt
ttt
??
??
?
?
代入积分上下限整理后可得：
)2(]1[)()1()( )2( ????? ??? tUetUeti tt
相应的波型如图 2.6-7。
t0 1 2 3
1
2
3
4
图 2.6-7
2.7 卷积积分的性质
§
一、卷积的代数律
（ 交换律, 结合律, 分配律 ）
1.交换律
前面已经证明：
?? ?????? ??? ?????? dhtfdthf )()()()(
)()()()( tfththtf ??? ……2.7 -1
从系统的观点看卷积的交换律 ( 如图 2,7-1 )
即：
也就是说
信号不仅是 信息 的一种体现，也是
系统时间特性 的一种体现。即：
信号可由系统来实现
系统可用信号来仿真
)(tf
)(th
)(tyzs )(tf)(th )(tyzs
2.结合律如图 2.7-2
)]()([)(
)]()([)()()]()([
12
2121
ththtf
ththtfththtf
???
?????
从系统的观点看，两个系统级联时，总系统
的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。即
y1
h(t)
h(t)
)()()( 21 ththth ??
且与级联次序无关。
2h
)(tf
2h
)(tyzs
1h
1y
h(t)
)(tf )(tyzs
1hh(t)
图 2.7-2
3.分配律
)()()()()]()([)( 2121 thtfthtfththtf ??????
如图 2.7-3 分配律表明，并联 LTI系统对输
入 f(t)的响应等于各子系统对 f(t)的响应之和。
)(tf
)(th
)(tyzs
)(1 th
)(2 th
?
)(tyzs
图 2.7-3
)(tf
……2.7 -3
二、卷积的微分与积分
1.微分
可推广到 n次微分
dt
dhtfth
dt
dfthtf
dt
d ????? )()()]()([
……2.7 -6
)()(
)()()]()([
tphtf
thtpfthtfp
??
???
……2.7 -7
2.积分
两个函数卷积后的积分等于其中一个函
数积分后与另一函数卷积。即：
])([)(
)(])([)]()([
?
??
??
????
??
???
t
tt
dhf
hdfdhf
???
??????
……2.7 -6
)()(
)()()]()([
1
11
thptf
thtfpthtfp
?
??
??
???
…….2.7 -7
微分根据、积分性质，显然
)()(
)()(
)()(
)()(
)()()(
1
1
thptfp
thptfp
tphtfp
thptpf
thtfty
nn
nn
zs
??
??
??
??
??
?
?
?
?
3.
……..2.7 -8
)(tf )(t? )(tf
三、函数与奇异函数的卷积
1,47.2),,,,,,()()( ??? tfttf ?
)(tf )(tf
如图 2.7-4冲激响应为 的系统是 。)(t? 路线短
2.
如图 2.7-5冲激响应为 的系统
是延时为 t0的延时器。 )( 0tt ??
)()()( 00 ttftttf ???? ?
)(tf
)( 0tt ??
)( 0ttf ?
)(tf
0t
)( 0ttf ?
…….2.7 -10
图 2.7-5
)()()()()( tfttfttf ???????? ??
3.
)(tf
)(t??
)(tf?
)(tf
p
)(tf?
…….2.7 -10
即：微分算子 p 就是对信号
进行卷积 )( t? ? 的操作。
如图 2.7-6
图 2.7-6
4.
)(tf
)(tU
? ??t df ?? )( )(tf
p/1
? ??t df ?? )(
? ?????
???
t
dfttf
p
t
p
tftUtf
???
?
)()()(
1
)(
1
)()()(
…….2.7 -12
即：积分算子
p
1
就是对信号
进行卷积 U ( t ) 的操作。
如图 2.7-7
-
图 2.7-7
例 2.7 - 1,已知系统的单位冲激响应
)(sin)( ttUth ?
当激励如图 2.7 - 8( a) 时，求系统的零状态响应
y zs ( t )
)(tf )(th
?2
?2
?2
?4
?40 0
1
-1
t t
(a) (b)
图 2.7-8
)(tf
?2
?2 ?40 t
?2
)(tf??
?4
t0
?20
)(tf?
?4 t
1
-1
解：
)(
1
)()()()( 2 th
p
tfthtfty zs ???????
如 图 2.7-9
)4()2(2)()( ????? ??????? ttttf
-2 图 2.7-9
)()c o s1()(s i n)(
1
0
tUtdttUth
p
t
??? ? ?
)()s i n()c o s1()(
1
02
tUttdtth
p
t
???? ? ?
)]4(
)2(2)([
)]()s i n[()(
??
???
??
???
???
t
tt
tUttty
zs
)]4()2(2)([
)]()s i n[()(
????? ?????
???
ttt
tUttty zs
)4()]4s i n ()4[(
)2()]2s i n ()2[(2
)()s i n(
???
???
?????
?????
??
tUtt
tUtt
tUtt
波形如图 2.7-10
)(tyf
?2
?2 ?4
t
0
图 2.7-10