电子信息分院
信息工程系
制作
2004.02.28
第 5章
一、连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号,
f(t)是连续变化的 t的函数，除若干不连续点之外对
于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都
是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
连续时间系统：
系统的输入、输出都是连续的时间信号。
第五章 离散时间系统的时域分析
§ 5.0 引言
二、离散时间信号、离散时间系统
离散时间信号：
时间变量是离散的，
函数只在某些规定的时刻
有确定的值，在其他时间
没有定义。
离散时间系统：
系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字
计算机。
o
k
t
? ?
k
tf
2
t
1?
t
1
t 3t
2?
t
离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系
统生成。
三、连续时间信号与离散时间信号关系
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
采样过程 就是对模拟信号的时间取离
散的量化值过程 —— 得到离散信号。
数字信号,离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
o t
? ?tf
T T2 T3
1.3
2.4
5.1
9.0
o T T2 T3
? ?tf
q
t
3
4
2
1
四、离散时间系统的优点
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其
优越性；
?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的
精度取决于位数；
?可靠性好；
?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；
?易消除噪声干扰；
?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，
大大改善了系统的灵活性和通用性；
五、离散时间系统的困难和缺点
高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统
由模拟转化为数字要牺牲带宽。
六、应用前景
由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，
被数字（更多是模／数混合）系统所代替；
人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数
字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与
生活的每个角落。数字信号处理技术正在使人类生产和
生活质量提高到前所未有的新境界。
七、系统分析
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
拉氏变换法变换域分析
零状态响应零输入响应
特解经典法：齐次解
时域分析
:
连续时间系统 —— 微分方程描述
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变换法变换域分析
零状态响应零输入响应
特解经典法：齐次解
时域分析
z:
离散时间系统 —— 差分方程描述
差分方程的解法与微分方程类似
本章内容
?离散时间信号及其描述, 运算；
?离散时间系统的数学模型 —— 差分方程；
?线性差分方程的时域解法；
?离散时间系统的单位样值响应；
?离散卷积。
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系
,区别, 对比, 与连续系统有并行的相似性 。
§ 5.1离散时间信号
一、离散时间信号,在一些互相分离的时间点上才
有定义的信号。一般我们用 f(tk)来表示。通常这些
时间点是等间隔的，设间隔为 T，则可表示为 f(nT)
或 f(n)，通常用后者表示。
二,离散信号的表示形式：
1.序列形式,...}23,14,7,2,1,2{)( ???nf
n=0
2.解析（闭合）形式：用一函数式来表示。
如上述 f(n),经观察可以表示为,
)()22()( nunnf ??
5.1.1离散时间信号的概述
)()22()( nunnf ??
,...}23,14,7,2,1,2{)( ???nf
3.图形形式
f(n)
n
0 1 2 3 4
…
本书中，离散时间信号简称为 序列
三、序列的三种形式
O
)( nx
n
?
O
)( nx
n
??
O
)( nx
n1n 2n；双边序列,????? n.2；单边序列,0.1 ?n；有限长序列,21.3 nnn ??
因果序列
n≤0;反因果序列
5.1.2序列的基本运算
1.序列相加（减）
2.序列相乘
f(n)=f1(n)?f2(n)
将各序列的对应样点值相加（减）即可
f(n)=f1(n)× f2(n)
将各序列的对应样点值相乘即可
右移 m位 f(n) f(n-m)
左移 m位 f(n) f(n+m)
序列移位还可以用移位算子
来表示：
E---超前算子； 1/E---延迟算子
0 n
)(nf
?
0 n
?m
)( mnf ?
3.序列移位
注意,若 f(n)为双边序列，则一般情况下
)()()()( mnumnfnumnf ????
)1()(1 ?? nfnfE )()(1 mnfnfE m ??
4.序列展缩,)()( anfnf ?
则 为奇数
为偶数
n
nnf
nf
??
?
?
?
?
0
)
2
1(
)(
1
比如，若 )21()(1 nfnf ?与连续的情形有所不同
0 n
1
1 2 3
))()(( 4 nGnf ?
其它
2,0
0
1)(
1
?
?
?
?? nnf 其它
，,321,0
0
1)( ?
??
?? nnf
0 n
1
1 2
)(1f
3
例
O n
1
? ?nx
1 2 3 4 5 6
2
3
4
5
6
O n
1
?
?
?
?
?
?
2
n
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12
2
3
4
5
6
O n
? ?nx 2
1 2 3 4 5 6
2
4
6
波形。
波形，请画出已知
?
?
?
?
?
?
2
),2(
)(
n
xnx
nx
)()( nxnz ??
)1()()(
)()1()(
????
????
nxnxnx
nxnxnx
后向差分：
前向差分：
??
???
?
k
kxnz )()(
5．序列的翻转,
6．差分：
7．累加：
8．序列的能量 ?
???
?
n
n
nxE 2)(
1．单位样值信号
?
?
?
?
??
0,1
0,0)(
n
nn?
时移性
比例性 )(),( jncnc ???
抽样性 )()0()()( nfnnf ?? ?
注意：
nO
)( n?
1
1
?
?
?
?
???
jn
jnjn
,1
,0)(?
n
)1( ?n?
1
1O
? ? ? ?
? ?。不是面积取有限值在
，幅度为表示，强度用面积
0)(; 0 )(
?
??
nn
tt
?
?
5.1.3典型的离散信号
利用单位样值信号表示任意序列
?
?
???
??
m
mnmxnx )()()( ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
,,,,,.,0030511
0n
nf
1
2
3 41? o n
? ?nf
5.1
3?
? ? ? ? ? ?235.11 ????? nnn ???
2．单位阶跃序列
?
?
?
?
??
00
01)(
n
nnu n
O
)( nu
1
11? 2 3
?
?
?
?
??
????????
0
)(
)3()2()1()()(
k
kn
nnnnnu
?
???? ?
,)( 样值之和可以看作是无数个单位nu
)1()()( ??? nunun?
? ? ? ? 积分关系。是差和关系，不再是微与 nun?
3．矩形序列
?
?
?
??
????
Nnn
NnnR
N,00
101)(
? ? )()()( NnununRnu N ???的关系：与
no
)( nR
N
1
11? 2 3
?
1?N
O n
1
? ?nua
n
1? 1 2 3 4
01 ??? a
4．单边指数序列
? ? ? ?nuanx n?
O n
1
? ?nua n
1? 1 2 3 4
1?a
O n
1
? ?nua
n
1? 1 2 3 4
1??a
O n
1
? ?nua n
? 1 2 3 4
10 ?? a
5．正弦序列
数值。个重复一次正弦包络的则序列每＝当
的速率。序列值依次周期性重复正弦序列的频率
10,
10
π2
,:
0
0
?
?
? ? ? ?0s i n n ωnx ?
1 5
O
n
1?
10
? ?
0
sin n ω
? ?t
0
sin ?
1
? ? ? ? s i n 0 是周期序列应满足离散正弦序列 nnx ??
N称为序列的 周期, 为任意 正整数 。
? ? ? ?nxNnx ??
? ? ? ?0c o s ?nnx ?余弦序列：
§ 5.3 离散系统的描述和模拟
一,离散时间系统的描述
离散系统)(nf )(nyLTI离散系统输入输出之间的关系用线性常系数
差分方程来描述。
其一般形式为：
)()1()1()(
)()1()1()(
110
110
MnfbMnfbnfbnfb
NnyaNnyanyanya
MM
NN
????????
?????????
?
?
?
?
或表示为,??
??
???
M
j
j
N
i
i jnfbinya
00
)()(
差分方程的特点
(1)输出序列的第 n个值不仅决定于同一瞬间的输入样
值，而且还与 前面输出值 有关，每个输出值必须依次
保留。
(2)差分方程的 阶数,差分方程中变量的 最高 和 最低
序号 差数为阶数。
二,差分方程的算子形式
借助移位算子，可将差分方程表示为算子形式：
)()()()( nfENnyED ?
其中
)()1()(
)()()()(
01
0
)1(
1
nyaNnyaNnya
nyaEaEanyED
NN
N
N
N
N
???????
????
?
??
?
?
?
?
)(
)()(
ED
ENEH ?令 传输算子
基本单元
? ?nx 1
? ?nx 2
? ? ? ?nxnx 21 ?
?
? ?nx 1
? ?nx 2
? ? ? ?nxnx 21 ?加法器,
乘法器,? ?
nx 1
? ?nx 2
? ? ? ?nxnx 21 ?
三,系统的模拟框图 (框图 差分方程 )
? ?nx ? ?naxa ? ?nx ? ?naxa
延时器
? ?ny ? ?1?ny
E
1
标量乘法器
? ?ny ? ?1?nyD
例 1 求图示框图的差分方程
-5
)1(61 ?ny
-4
6?
)(nf )(ny
1/E 1/E
)(61 ny
)2(61 ?ny
由图可得 )2(6 4)1(6 5)()(61 ??????? nynynfny
)(6)2(4)1(5)( nfnynyny ?????即
解：
例 2 已知某系统差分方程为
试画出系统的模拟框图
??)1()()1()2( 01 ?????? nfnyanyany （ 1）
则 )()1()()2( 01 nqanqanfnq ?????
解：令 （ 2） )()()1()2( 01 nfnqanqanq ?????,.....
将算子 E作用于方程（ 2）得
)1()()()1()2( 01 ??????? nfnEfnEqanEqanEq
（ 3）??
由（ 1）、（ 3）可知 )1()( ?? nEqny
-a0
-a1
?)(nf )(nq1/E 1/E
)1( ?nq
)2( ?nq
)(ny
相应的框图如下
四、差分方程解法
1.迭代法
3.零输入响应 +零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应
2.时域经典法：齐次解 +特解
4,z变换法 ?反变换 ?y(n)
例 1 已知 )(21)1(21)( nfnyny ???
0)1()()( ??? ynnf ?求 )(ny
解：用迭代法
2
1)0(
2
1)0(
2
1)1(
2
1)0(:0 ?????? ?fyyn
2
2
1)1(
2
1)0(
2
1)1(:1
?
?
??
?
????? fyyn
3
2
1)1(
2
1)2(:2
?
?
??
?
???? yyn
?
)(
2
1)( 1 nuny n ?
?
?
??
?
???
易求得数值解，不易求得解析
§ 5.4离散系统的零输入响应
问题：令 f(n)=0 求方程 0)(
0
??
?
nya x
N
i
i
的解
离散系统的响应也分为 零输入响应 和 零状态响应。 零输入响应就
是在外加激励为零时仅由系统初始状态引起的响应，用 yx(n)来表示。
??
??
???
M
j
j
N
i
i jnfbinya
00
)()(
0)()1()1()( 110 ????????? ? NnyaNnyanyanya NN?
其特征方程,0
1110 ????? ?? NNNN aaaa ??? ?
N???,,,21 ?（单根）
?
?
??????
N
i
n
ii
n
NN
nn
x ccccny
1
2211 )()( ???? ?
11
22
1
11
2211
21
)1(
)1(
)0(
??? ?????
????
????
n
NN
nn
x
NNx
Nx
cccny
cccy
cccy
???
???
?
?
?
?
解特征方程得：
1.常数 ci的确定
把初始值代入解中，即可确定常数 ci
0)())(( 21 ???? N?????? ?
其中系数 由下面 个初始条件确定：ic N
),1(,),1(),0( ?Nyyy ?可得方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)1(
)2(
)1(
)0(111
3
2
1
)1()1(
2
)1(
1
22
2
2
1
21
Ny
y
y
y
c
c
c
c
N
N
N
NN
N
N
??
?
????
?
?
?
???
???
???
解该方程即得系数 ic
2.特征方程有重根情况
0)()()( 11 ???? ? Nmm ?????? ?
nNNnmmmmnx ccncncnccny ??? ???????? ??? ?? 11123211 )()(
差分方程 ?
特征方程 ?特征根 ?
y(n)的解析式 ?由起始状态定常数
求零输入响应的方法
三,分析实例
解,特征方程 λ2-3λ+2=0
)()2()()()( 212211 nuccnuccny nnn ????? ??
代入初始条件，得
)()21()( nuny nx ????
2,1 21 ?? ??解得
例 1
1)1(,0)0(
)(3)1()(2)1(3)2(
??
???????
yy
nfnfnynyny
求 )(nyx
?
?
?
??
??
12
0
21
21
cc
cc
1
1
2
1
?
??
?
c
c
例 2
)2(
)()1(2)2(2)3(2)4(
??
????????
nf
nynynynyny
1)5(,1)3(,0)2(,1)1( ???? yyyy
解,λ4-2λ3+2λ2-2λ+1=0 （ λ-1)2(λ2+1)=0
jj ????? 4321,;1 ???? （二重根）解得
nnx ccnccny 44331211)( ???? ?????
2s i n2c o s21
?? nQnPncc ????
nn jcjcncc )(
4321 ?????
)(,4343 ccjQccP ????
其中
代入初始条件
1)5(5
1)3(3
0)2(2
1)1(
21
21
21
21
????
????
????
????
yQcc
yQcc
yPcc
yQcc
可求得 0,1,0,1
21 ???? QPcc
)()2c o s1()( nunny x ????
信息工程系
制作
2004.02.28
第 5章
一、连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号,
f(t)是连续变化的 t的函数，除若干不连续点之外对
于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都
是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
连续时间系统：
系统的输入、输出都是连续的时间信号。
第五章 离散时间系统的时域分析
§ 5.0 引言
二、离散时间信号、离散时间系统
离散时间信号：
时间变量是离散的，
函数只在某些规定的时刻
有确定的值，在其他时间
没有定义。
离散时间系统：
系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字
计算机。
o
k
t
? ?
k
tf
2
t
1?
t
1
t 3t
2?
t
离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系
统生成。
三、连续时间信号与离散时间信号关系
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
采样过程 就是对模拟信号的时间取离
散的量化值过程 —— 得到离散信号。
数字信号,离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
o t
? ?tf
T T2 T3
1.3
2.4
5.1
9.0
o T T2 T3
? ?tf
q
t
3
4
2
1
四、离散时间系统的优点
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其
优越性；
?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的
精度取决于位数；
?可靠性好；
?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；
?易消除噪声干扰；
?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，
大大改善了系统的灵活性和通用性；
五、离散时间系统的困难和缺点
高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统
由模拟转化为数字要牺牲带宽。
六、应用前景
由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，
被数字（更多是模／数混合）系统所代替；
人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数
字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与
生活的每个角落。数字信号处理技术正在使人类生产和
生活质量提高到前所未有的新境界。
七、系统分析
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
拉氏变换法变换域分析
零状态响应零输入响应
特解经典法：齐次解
时域分析
:
连续时间系统 —— 微分方程描述
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变换法变换域分析
零状态响应零输入响应
特解经典法：齐次解
时域分析
z:
离散时间系统 —— 差分方程描述
差分方程的解法与微分方程类似
本章内容
?离散时间信号及其描述, 运算；
?离散时间系统的数学模型 —— 差分方程；
?线性差分方程的时域解法；
?离散时间系统的单位样值响应；
?离散卷积。
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系
,区别, 对比, 与连续系统有并行的相似性 。
§ 5.1离散时间信号
一、离散时间信号,在一些互相分离的时间点上才
有定义的信号。一般我们用 f(tk)来表示。通常这些
时间点是等间隔的，设间隔为 T，则可表示为 f(nT)
或 f(n)，通常用后者表示。
二,离散信号的表示形式：
1.序列形式,...}23,14,7,2,1,2{)( ???nf
n=0
2.解析（闭合）形式：用一函数式来表示。
如上述 f(n),经观察可以表示为,
)()22()( nunnf ??
5.1.1离散时间信号的概述
)()22()( nunnf ??
,...}23,14,7,2,1,2{)( ???nf
3.图形形式
f(n)
n
0 1 2 3 4
…
本书中，离散时间信号简称为 序列
三、序列的三种形式
O
)( nx
n
?
O
)( nx
n
??
O
)( nx
n1n 2n；双边序列,????? n.2；单边序列,0.1 ?n；有限长序列,21.3 nnn ??
因果序列
n≤0;反因果序列
5.1.2序列的基本运算
1.序列相加（减）
2.序列相乘
f(n)=f1(n)?f2(n)
将各序列的对应样点值相加（减）即可
f(n)=f1(n)× f2(n)
将各序列的对应样点值相乘即可
右移 m位 f(n) f(n-m)
左移 m位 f(n) f(n+m)
序列移位还可以用移位算子
来表示：
E---超前算子； 1/E---延迟算子
0 n
)(nf
?
0 n
?m
)( mnf ?
3.序列移位
注意,若 f(n)为双边序列，则一般情况下
)()()()( mnumnfnumnf ????
)1()(1 ?? nfnfE )()(1 mnfnfE m ??
4.序列展缩,)()( anfnf ?
则 为奇数
为偶数
n
nnf
nf
??
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0
)
2
1(
)(
1
比如，若 )21()(1 nfnf ?与连续的情形有所不同
0 n
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1 2 3
))()(( 4 nGnf ?
其它
2,0
0
1)(
1
?
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，,321,0
0
1)( ?
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3
例
O n
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1 2 3 4 5 6
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1 2 3 4 5 6
2
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波形。
波形，请画出已知
?
?
?
?
?
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2
),2(
)(
n
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nx
)()( nxnz ??
)1()()(
)()1()(
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nxnxnx
nxnxnx
后向差分：
前向差分：
??
???
?
k
kxnz )()(
5．序列的翻转,
6．差分：
7．累加：
8．序列的能量 ?
???
?
n
n
nxE 2)(
1．单位样值信号
?
?
?
?
??
0,1
0,0)(
n
nn?
时移性
比例性 )(),( jncnc ???
抽样性 )()0()()( nfnnf ?? ?
注意：
nO
)( n?
1
1
?
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???
jn
jnjn
,1
,0)(?
n
)1( ?n?
1
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? ? ? ?
? ?。不是面积取有限值在
，幅度为表示，强度用面积
0)(; 0 )(
?
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tt
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?
5.1.3典型的离散信号
利用单位样值信号表示任意序列
?
?
???
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? ?
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?
?
?
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?
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,,,,,.,0030511
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1
2
3 41? o n
? ?nf
5.1
3?
? ? ? ? ? ?235.11 ????? nnn ???
2．单位阶跃序列
?
?
?
?
??
00
01)(
n
nnu n
O
)( nu
1
11? 2 3
?
?
?
?
??
????????
0
)(
)3()2()1()()(
k
kn
nnnnnu
?
???? ?
,)( 样值之和可以看作是无数个单位nu
)1()()( ??? nunun?
? ? ? ? 积分关系。是差和关系，不再是微与 nun?
3．矩形序列
?
?
?
??
????
Nnn
NnnR
N,00
101)(
? ? )()()( NnununRnu N ???的关系：与
no
)( nR
N
1
11? 2 3
?
1?N
O n
1
? ?nua
n
1? 1 2 3 4
01 ??? a
4．单边指数序列
? ? ? ?nuanx n?
O n
1
? ?nua n
1? 1 2 3 4
1?a
O n
1
? ?nua
n
1? 1 2 3 4
1??a
O n
1
? ?nua n
? 1 2 3 4
10 ?? a
5．正弦序列
数值。个重复一次正弦包络的则序列每＝当
的速率。序列值依次周期性重复正弦序列的频率
10,
10
π2
,:
0
0
?
?
? ? ? ?0s i n n ωnx ?
1 5
O
n
1?
10
? ?
0
sin n ω
? ?t
0
sin ?
1
? ? ? ? s i n 0 是周期序列应满足离散正弦序列 nnx ??
N称为序列的 周期, 为任意 正整数 。
? ? ? ?nxNnx ??
? ? ? ?0c o s ?nnx ?余弦序列：
§ 5.3 离散系统的描述和模拟
一,离散时间系统的描述
离散系统)(nf )(nyLTI离散系统输入输出之间的关系用线性常系数
差分方程来描述。
其一般形式为：
)()1()1()(
)()1()1()(
110
110
MnfbMnfbnfbnfb
NnyaNnyanyanya
MM
NN
????????
?????????
?
?
?
?
或表示为,??
??
???
M
j
j
N
i
i jnfbinya
00
)()(
差分方程的特点
(1)输出序列的第 n个值不仅决定于同一瞬间的输入样
值，而且还与 前面输出值 有关，每个输出值必须依次
保留。
(2)差分方程的 阶数,差分方程中变量的 最高 和 最低
序号 差数为阶数。
二,差分方程的算子形式
借助移位算子，可将差分方程表示为算子形式：
)()()()( nfENnyED ?
其中
)()1()(
)()()()(
01
0
)1(
1
nyaNnyaNnya
nyaEaEanyED
NN
N
N
N
N
???????
????
?
??
?
?
?
?
)(
)()(
ED
ENEH ?令 传输算子
基本单元
? ?nx 1
? ?nx 2
? ? ? ?nxnx 21 ?
?
? ?nx 1
? ?nx 2
? ? ? ?nxnx 21 ?加法器,
乘法器,? ?
nx 1
? ?nx 2
? ? ? ?nxnx 21 ?
三,系统的模拟框图 (框图 差分方程 )
? ?nx ? ?naxa ? ?nx ? ?naxa
延时器
? ?ny ? ?1?ny
E
1
标量乘法器
? ?ny ? ?1?nyD
例 1 求图示框图的差分方程
-5
)1(61 ?ny
-4
6?
)(nf )(ny
1/E 1/E
)(61 ny
)2(61 ?ny
由图可得 )2(6 4)1(6 5)()(61 ??????? nynynfny
)(6)2(4)1(5)( nfnynyny ?????即
解：
例 2 已知某系统差分方程为
试画出系统的模拟框图
??)1()()1()2( 01 ?????? nfnyanyany （ 1）
则 )()1()()2( 01 nqanqanfnq ?????
解：令 （ 2） )()()1()2( 01 nfnqanqanq ?????,.....
将算子 E作用于方程（ 2）得
)1()()()1()2( 01 ??????? nfnEfnEqanEqanEq
（ 3）??
由（ 1）、（ 3）可知 )1()( ?? nEqny
-a0
-a1
?)(nf )(nq1/E 1/E
)1( ?nq
)2( ?nq
)(ny
相应的框图如下
四、差分方程解法
1.迭代法
3.零输入响应 +零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应
2.时域经典法：齐次解 +特解
4,z变换法 ?反变换 ?y(n)
例 1 已知 )(21)1(21)( nfnyny ???
0)1()()( ??? ynnf ?求 )(ny
解：用迭代法
2
1)0(
2
1)0(
2
1)1(
2
1)0(:0 ?????? ?fyyn
2
2
1)1(
2
1)0(
2
1)1(:1
?
?
??
?
????? fyyn
3
2
1)1(
2
1)2(:2
?
?
??
?
???? yyn
?
)(
2
1)( 1 nuny n ?
?
?
??
?
???
易求得数值解，不易求得解析
§ 5.4离散系统的零输入响应
问题：令 f(n)=0 求方程 0)(
0
??
?
nya x
N
i
i
的解
离散系统的响应也分为 零输入响应 和 零状态响应。 零输入响应就
是在外加激励为零时仅由系统初始状态引起的响应，用 yx(n)来表示。
??
??
???
M
j
j
N
i
i jnfbinya
00
)()(
0)()1()1()( 110 ????????? ? NnyaNnyanyanya NN?
其特征方程,0
1110 ????? ?? NNNN aaaa ??? ?
N???,,,21 ?（单根）
?
?
??????
N
i
n
ii
n
NN
nn
x ccccny
1
2211 )()( ???? ?
11
22
1
11
2211
21
)1(
)1(
)0(
??? ?????
????
????
n
NN
nn
x
NNx
Nx
cccny
cccy
cccy
???
???
?
?
?
?
解特征方程得：
1.常数 ci的确定
把初始值代入解中，即可确定常数 ci
0)())(( 21 ???? N?????? ?
其中系数 由下面 个初始条件确定：ic N
),1(,),1(),0( ?Nyyy ?可得方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)1(
)2(
)1(
)0(111
3
2
1
)1()1(
2
)1(
1
22
2
2
1
21
Ny
y
y
y
c
c
c
c
N
N
N
NN
N
N
??
?
????
?
?
?
???
???
???
解该方程即得系数 ic
2.特征方程有重根情况
0)()()( 11 ???? ? Nmm ?????? ?
nNNnmmmmnx ccncncnccny ??? ???????? ??? ?? 11123211 )()(
差分方程 ?
特征方程 ?特征根 ?
y(n)的解析式 ?由起始状态定常数
求零输入响应的方法
三,分析实例
解,特征方程 λ2-3λ+2=0
)()2()()()( 212211 nuccnuccny nnn ????? ??
代入初始条件，得
)()21()( nuny nx ????
2,1 21 ?? ??解得
例 1
1)1(,0)0(
)(3)1()(2)1(3)2(
??
???????
yy
nfnfnynyny
求 )(nyx
?
?
?
??
??
12
0
21
21
cc
cc
1
1
2
1
?
??
?
c
c
例 2
)2(
)()1(2)2(2)3(2)4(
??
????????
nf
nynynynyny
1)5(,1)3(,0)2(,1)1( ???? yyyy
解,λ4-2λ3+2λ2-2λ+1=0 （ λ-1)2(λ2+1)=0
jj ????? 4321,;1 ???? （二重根）解得
nnx ccnccny 44331211)( ???? ?????
2s i n2c o s21
?? nQnPncc ????
nn jcjcncc )(
4321 ?????
)(,4343 ccjQccP ????
其中
代入初始条件
1)5(5
1)3(3
0)2(2
1)1(
21
21
21
21
????
????
????
????
yQcc
yQcc
yPcc
yQcc
可求得 0,1,0,1
21 ???? QPcc
)()2c o s1()( nunny x ????
