第二章
2004.02
第二章 连续时间系统的时域分析
§ 2, 1 引言 LTI
f(t) y(t)
图 2.1-1信号与系统研究的内容
对于信号,A:信号分析 B：信号处理
对于系统,A:系统分析 B：系统综合
一、系统数学模型的时域表示
时域分析方法,不涉及任何变换，直接求解
系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，
物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基
础。
?
?
?
元一阶微分方程状态变量描述
阶微分方程一元输入输出描述
,
,
N
N
本课程中我们主要讨论 输入、输出描述法 。
二、系统分析过程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变换域法
利用卷积积分法求解零状态
可利用经典法求零输入
双零法
经典法
解方程
网络拓扑约束根据元件约束建模（列写方程）
:
:
,:
经典法,前面电路分析课里已经讨论过, 但与
?(t)有关的问题有待进一步解决 —— h(t)；
卷积积分法, 任意激励下的零状态响应可通过
冲激响应来求 。 (新方法 )
三、本书所研究的系统－－－－
线性非时变系统 (LTI)的固有特性
1.迭加特性：
线性系统是满足零输入线性和零状态线性的系统
22112211
)()(
yyff
tytf
???? ???
? ……(2.1 -1)
线性非时变系统 (LTI)的固有特性：
2.时不变特性：
LTI
t
U(t)
0
t
U(t-t0)
t00
)(tg
t
0
t
)( 0ttg ?
t00
如图 2.1-2
)()(
)()(
00 ttyttf
tytf
???
? ……(2.1 -2)
图 2.1-2
线性非时变系统 (LTI)的固有特性：
3.微分和积分特性：
)(
)(
)()(
0
li m
运算微分与积分为线性代数
tf
t
tfttf
t
??
?
???
??
)( tf?
LTIf(t) y(t)
)(ty?
??
??
?
???
?
tt
dydf
tytf
tytf
00
)()(
)()(
)()(
????
……2.1 -3
……2.1 -4
如图 2.1-3所示
图 2.1-3
本章主要内容
?线性系统完全响应的求解；
?冲激响应 h(t)的求解；
?卷积的图解说明；
?卷积的性质；
?零状态响应,。? ? ? ? ? ?thtfty ??
zs
本章建立几个重要的概念
2.系统时间特性的描述和表征 ——h(t)
3.信号可以由系统来实现，系统也可用
信号来仿真
4.重要的数学工具 ——卷积积分 (性质、
图解、计算 )
1.信号分解和响应合成的概念 ——卷积
§ 2, 2 微分方程的建立与求解
)( 0,0)0(
,0)0(12.2
22
2
titi
i
???
??
?
?
求
所示电路，已知如图
M
R
RLLU(t)
i2i1
+
_ +
_
u1 u2
图 2.2-1
解,M
R
RLL
U(t)
i2i1
+
_ +
_
u1 u2
1.建立方程
②
①
???
???
0
)(
2
12
1
21
???
???
Ri
dt
di
M
dt
di
L
tURi
dt
di
M
dt
di
L
有
??)(2)( 2222 2
2
22 tM
dt
dUMiR
dt
diRL
dt
idML ?????? ③
图 2.2-1
我们一般将激励信号加入的时刻定义为 t=0,响应
为 时的方程的解，初始条件?? 0t
齐次解,由特征方程 →求出特征根 →写出齐次解形式
?
?
n
k
t
k
kA
1
e ? 注意重根情况处理方法。
特 解,根据微分方程右端函数式形式, 设含待定系
数的特解函数式 →代入原方程, 比较系数
定出特解 。
1
1
2
2
d
)0(d,,
d
)0(d,
d
)0(d,)0(
?
????
?
n
n
t
y
t
y
t
yy ?
初始条件的确定是要解决的主要问题。
经典法解微分方程
kA全 解,齐次解 +特解，由 初始条件 定出齐次解 。
几种典型激励函数相应的特解
激励函数 e(t) 响应函数 y(t)的特解
)(常数E )(常数B
pt
1121 ?? ???? pppp BtBtBtB ?
t?e tB ?e
? ?t?cos
? ?t?sin
? ? ? ?tBtB ?? s i nc o s 21 ?
? ?tt tp ?? s ine
? ?tt tp ?? c o se
? ? ? ?
? ? ? ?tDtDtDtD
tBtBtBtB
t
pp
pp
t
pp
pp
?
?
?
?
s i ne
c o se
1
1
21
1
1
21
?
?
?
?
?????
????
?
?
)(2)( 2222 2
2
22 tMiR
dt
diRL
dt
idML ?????
2.响应求解 ——经典法
求通解.a
程：上述微分方程的特征方
02)( 2222 ???? RR L SSML
)( 特征频率特征根
④
ML
R
?
??1,2S
tsts
x eAeAti
21
212 )( ??通解：
求特解.b
特解为零
方程等号右端为零
?
?? ?
,0)(,0 tt ?
⑤ ???tsts eAeAti 21
212 )( ??全响应
自由响应,也称固有响应，由系统本身特性
决定，与外加激励形式无关。对应于通解。
压迫响应：形式取决于外加激励，对应
于方程的特解。
全响应
（注意：特解一定是系统在 t＞ 0 时刻的解）＋
3.根据初始条件求 A1,A2
)]0(),0(0,0[ 22 ???? ??? iitt 的等效电路，求出可画
)0()0( 22 ?? ?ii 和求得亦可用奇异函数平衡法
)(2)( 2222 2
2
22 tMiR
dt
diRL
dt
idML ?????由式,③
)(
)(
22
2
222
2
2
tU
ML
M
dt
di
t
ML
M
dt
id
?
??
?
? ?显然有
)(222 tUML Mdtdi ??
222 0)0( ML
Mti
??? ? 时有跃变，且幅度为在此式表明
)0()0(0 22 ??? ?? iit 和的求导后分别代入
对,⑤ tsts eAeAti
21 212 )( ??
?????
??
0)0()0(
)0()0(
22
2222
??
?
????
??
??
ii
ML
M
ii即
⑥
⑦
??
????
221122
21
0
ASAS
ML
M
AA
??
?
??有
⑧
⑨
由,可得
⑧ ⑨
))((
))((
22
2
2
22
2
1
MLSS
M
A
MLSS
M
A
??
?
?
??
?
)()(
2
1
)(
))((
)(
21
21
22
21
2
tUee
R
ee
MLSS
M
ti
tStS
tStS
??
?
??
??
相应的波型如图 2.2-2。
)(2 ti
R21
R21?
t0
图 2.2-2
§ 2, 3 系统方程的算子表示
一、元件的算子模型
)()(
)()(
tfptf
dt
d
ptpftf
dt
d
n
n
n ?
?
?
? 微分算子—
积分算子—ptfpdft 1 )(1)(
?
??
?? ??
电路元件的
时域模型
算子模型
)( pj ??
R
)( GuiRiu ?? Riu ?
dt
di
Lu ?
L p iu ?
L
?
??
?
t
dttu
L
i )(
1
u
Lp
i
1
?
dt
du
Ci ?
C p ui ?
C
?
??
?
t
dtti
C
u )(
1
i
Cp
u
1
?
)(阻抗Lp
)(1 导纳Lp
)(导纳Cp
)(1 阻抗Cp
注意：
是代表一种 运算 作用在时
间函数上，而不是相乘。
)1( pp
L i pp L iL p iu ???
所以，
二、算子的运算规则
1.满足分配律，可进行因式分解
)()])([()(])([ 2 tfbpaptfabpbap ??????
2.不满足交换律
)()()()(
1
)()()(
1
?????
??
?
?
??
??
ftfd
dt
df
tpf
p
tfdf
dt
d
tf
p
p
t
t
?
???
而
除非 0)( ???f,否则 )(1)(1 tpf
ptfpp ?
3.不满足消去律
)()( tpftpy ? 即 ctfy
dt
df
dt
dy ??? )(
)()( tfty ? 同上式 不符
同样 )()()()( tfaptyap ???
)()()()( tfaptyap ??? )()( tfty ?
afdtdfaydtdy ??? atcetfy ??? )(
有
即等式两边中相同的算符不能随便消去。
)()( tpftpy ?
三、算子方程的编写
例 2.3-1 如图 2.3-1(a)电路响应 i2,试编写算子方程
us 1H
2H i2
?1
?1
?2
图 2.3-1(a)
解,1)画出算子的阻抗模型如图 2.3-1(b)所示
us 1H
2H i2
?1
?1
?2
?1
?2
2p
1p
us
图 2.3-1(b)
?1
i2i1
图 2.3-1(a)
2)编写算子形式的网孔方程
???0)3( 21 ???? ippi ②
???supiip ??? 21)13( ①
??21 3 i
p
pi ?? ③由,得②
代入③ ①,有
?1
?1
?2
i2i1 1p
2p
us
supiip
pp ????
22
3)13(
spuipp ??? 2
2 )3102(
supp
pi
3102 22 ??
?
如图 2.3-2(a)电路，以 u1,u2为
响应，编写算子方程。
例 2.3-2
?2
?2
F21
H2)(ti
S
u1 u2
图 2.3-2(a)
解,1.画出算子的导纳模型如图 2.3-2(b)
?2
?2
F21
H2
)(tiS
u1 u2
图 2.3-2(a)
p21
)(tiS
u1 u2
s21
s21
p2
1
图 2.3-2(b)
2.编写算子形式的节点方程
即
)(tiS
u1 u2
p21 s21
s21
p2
1
图 2.3-2(b)
iuup ??? 21
2
1)1(
2
1
0)212 1(21 21 ???? upu
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
0
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1 s
i
u
u
p
p
可得
或
s
s
piupp
ipupp
2)22(
)1(2)22(
2
2
1
2
???
????
s
s
i
pp
p
u
i
pp
p
u
22
2
22
)1(2
22
21
??
?
??
?
?
用一些基本运算单元，如放
大器、加法器、乘法器、微分器、
积分器、延迟器等构成系统的模
拟框图，以反映系统的运算关系，
是描述系统的另一种形式。常用
的基本运算单元如下图。
四、系统的模拟框图表示
ax(t) y(t)
px(t) y(t)
1/px(t) y(t)
运算单元 框 图 输入输出关系
x(t) y(t)
?
y(t)?x1(t)
x2(t)
放大器
微分器
积分器
延迟器
加法器
乘法器
)()( taxty ?
)()( txdtdty ?
?? dxty t? ??? )()(
)()( ??? txty
)()()( 21 txtxty ??
? y(t)x1(t)
x2(t) )()()( 21 txtxty ??
例 2.3-3 某反馈系统的模拟框图
如图 2.3-3所示，试编写其算子方
程。
?
?
p/1f(t)
y(t)y1(t)
图 2.3-3
+
-
解,?
?
p/1f(t) y(t)
y1(t)
②
①
?
?????
)()()(
1
1
1
????
?
tytfty
y
p
y
)()()(
)(
1
)(
1
)(
tftytpy
ty
p
tf
p
ty
???
????
?
?
图 2.3-3
+
-
五、传输算子
一个单输入、单输出的线性非时变系统
可用一个 n阶常系数线性微分方程来描述，
其算子形式为
式中
01
1
1
01
1
1
)(
)(
bpbpbpbpN
apapappD
m
m
m
m
n
n
n
?????
?????
?
?
?
?
?
?
为算子多项式。
所以
)()( )()( tfpD pNty ?
)()()()( tfpNtypD ?
……2.3 -1
)()( )()( tfpD pNty ?
令
)(
)(
)(
pD
pN
pH ?
——传输算子
……2.3 -2
)()()( tfpHty ?
……2.3 -3
结论,1.描述系统的三种形式：
① 算子方程（微分方程）
② 模拟框图
③ 传输算子 H(p)
2.三者之间可互求
3.系统的功能可看作是对输入
信号进行数学运算的算子
——传输算子。
一、系统响应划分
自由响应＋强迫响应
(Natural+forced)
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
暂态响应 +稳态响应
(Transient+Steady-state)
§ 2,4 系统的零输入响应
也称固有响应，由系统本身特性决定，与
外加激励形式无关。对应于齐次解。
形式取决于外加激励 。 对应于特解 。
是指激励信号接入一段时间内，完全响应中
暂时出现的有关成分，随着时间 t 增加，它将消失。
由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态
响应分量。
没有外加激励信号的作用，只由起始状
态（起始时刻系统储能）所产生的响应。
不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状
态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
(1)自由响应：
(2)暂态响应：
稳态响应：
强迫响应：
(3)零输入响应：
零状态响应：
二、各种系统响应定义
求解
系统 零输入响应,实际上是求系统方程的齐次解，
由系统状态值 求出待定系数。? ? ? ? )0(,0,0 )(' ??? nyyy ?
)0()0(),0()0(),0()0( )()('' ?????? ??? nnzizizi yyyyyy ?
系统 零状态响应,是在激励作用下求系统方程的非齐
次解，待定系数由下式确定。
)0()0()0( ??? ?? zizs yyy
)0()0()0()( ??? ?? zinzs yyy
)0()0()0( ''' ??? ?? zizs yyy
)()()()( tfpNtypD ??
当 f(t)=0时，为求系
统的零输入响应，就要
求解齐次微分方程：
系统的零输入响应如图 2.4-1所示
0)()( 0111 ?????? ?? tyapapap( t )D ( p ) y zinnnzi ?
……2.4 -1
LTI
图 2.4-1
)(tyzi
一、一阶、二阶齐次方程
1.一阶：
??0)()( 01 ?? tyapa zi ①
① 式可写成
(把 p看成代数量 )
特征方程
即
令
0
0)(
01 ??
?
apa
pD
特征方程特征根有 ????
1
0
a
ap ???
t
zizi
zi
zi
Cetyy
dt
dy
typ
??
?
????
??
)( 0
0)()(
即
t
zi Cety
??)(
)(0y0t zi
则
时，响应量的初始值为若 ???
0 )(yC zi ??
)()0()( tUeyty tzizi ???
……….2.4 -2
2.二阶：
??0)()( 012 ??? tyapap zi②
0 21 ?? ( t ))yλ)(p( p -λ zi
式可写成
②
0 ?D ( p )同理，令
0 012 ??? apap即
21 ?? 和相应的特征根为
?
?
?
??
??
0)((
0)()(
)2
1
typ
typ
zi
zi
?
?
有
??ttzi eCeCty 21 21)( ?? ???
③
……2.4 -4
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)0(
)0(11
'
1
212
1
zi
zi
y
y
C
C
??
④
……2.4 -4
由 式，有③
)0()(),0()(0 '' ??? ??? zizizizi ytyytyt 时，若已知
21)0( CCy zi ???
2211
' )0( CCy
zi ?? ???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)0(
)0(11
'
2
1
21 zi
zi
y
y
C
C
??
即
二,n阶系统的零输入响应
⑤
0)()())((
21 ???? typpp zin??? ??
式可写成则
⑤
?? 0)()( 0111 ????? ?? tyapapap zinnn由
即令 0)( ?pD
0 0111 ????? ?? apapap nnn ?
n??? ??21,
征根为若无重根，且相应的特
)()(
)(
1
21
21
tUeCty
eCeCeCty
n
i
t
izi
t
n
tt
zi
i
n
?
?
?
????
?
???
?同理，有
……2.4 -5
)0()0(),0(
0
)1('
?
?
??
??
n
zizizi yyy
t
??
时，响应量的初始值为若
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)0(
)0(
)0(111
)1(
'
2
1
11
2
1
1
21
n
zi
zi
zi
n
n
n
nn
n
y
y
y
C
C
C
??
?
????
?
?
???
???
则有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)0(
)0(
)0(111
)1(
'
1
11
2
1
1
212
1
n
zi
zi
zi
n
n
nn
n
n
y
y
y
C
C
C
?
?
????
?
?
?
???
???
可求出
……2.4 -6
tr
rzi
r
etCtCtCCty
ppD
?
?
)()(
0)(r0)(
1
1
2
210
?
?????
???
?则
阶重根，如有若注：
……2.4 -7
i(t)
uS
1H uC
?5
F61
例 2.4-1 求如图 2,4-2(a)电路的零输入响应
)(ti
VuAi CL 10)0(,1)0( ?? ??已知
图 2.4-2(a)
0650)(
)65(
2
2
?????
???
pppD
pUipp s
令
即
解：画出该电路的算子模型如图 2.4-2所示
编写算子形式的回路方程，有
图 2.4-2(b)
sUipp ??? )
6
5(
3,2 21 ???? ??可得特征根
tt
zi eCeCti
3
2
2
1)(
?? ???
p
6
?5
pi
uS
1A ?5
10V
uL(0-)
t=0-等效电路图 2.4-3
)(0i)(0i
1)0()0(
-
''
zi ?
??
?
?? ii zi对于零输入响应有：
2.4-3
01015)0(
0),0(
-
-
'
????
??
L
zi
u
ti
有
的等效电路如图画出为求
Vu L 15)0( - ???
15)0( -
-0
???
?
L
t
u
dt
di
L
)0(15)0()0( '-- ??????? ziL i
L
ui
- 1 53C-2C-
1CC
21
21
?
??有：
3t-
2
2t-
1
'
zi
- 3 t
2
- 2 t
1zi
e3C-e- 2 C( t )i
eCeC( t )i
?
??再由
代入将 - 1 5)(0i1,)(0i 'zizi ?? ??
13C- 1 2,C 21 ??解得
tt
zi eeti
32 1312)( ?? ????
例 2.4-2 电路同上，其中：
sAii
RHLFC
zizi /1)0(,0)0(
2,1,1
' ??
????
??
求 izi(t)
解：相应的算子方程为 1/p
p
?2
sUtipp ??? )()12(
2
)( 1
0)1(
2,1
2
重根
有特征方程
??
??
?
p
110
'
10
)(
)(
CeCeCti
teCeCti
tt
zi
tt
zi
????
???
??
??
0 )(
1,0 10
??
??
? tAteti
CC
t
zi
同上，可求得
所示。相应的波型如图 44.2 ?
0
0.368
1 t图 2,4-4
izi(t)
§ 2,5 冲激响应和阶跃响应
一、定义
一个 LTI系统，当其初始状态为 0时，输入信号为单
位冲激信号 δ (t)时所引起的响应称为单位冲击响应，简称冲击
响应，用 h(t)表示。
同样，系统在单位阶跃信号 U(t)作用下所产生的零状态响应称为
阶跃响应，用 g(t)来表示
LTI
)(t? )(th
“0”
LTI
)(tU )(tg
“0”
二、冲激响应与阶跃响应的关系
LTI)(tf )(ty
zs
“0”
LTI
)(t? )(th
“0”
) )( )( ( tgtU
如图 2,5-1所示
图 2,5-1
)()( tht ??
)()( tgtU ?
)()( tU
dt
dt ???
? ???
??
t
dthtg
tg
dt
d
th
?)()(
)()(
)()()()(
01
1
1
01
1
1 t
apapap
bpbpbpbtpHth
n
n
n
m
m
m
m ??
????
??????
?
?
?
?
?
?
①…
…
……2.5 -2
三、冲激响应的计算
)()()(
)()()()(
tfpHty
tfpNtypD
zs
zs
?
??
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
,
apapap
bpbpbpb
pD
pN
pH n
n
n
m
m
m
m
????
????
?? ?
?
?
?
?
?
传输算子式中
则若 )()( ttf ??
)()()()(
01
1
1
01
1
1 t
apapap
bpbpbpbtpHth
n
n
n
m
m
m
m ??
????
??????
?
?
?
?
?
?
H特征根为
分式展开，上式可写成
依部分时，可将
相应的，且特征方程无重根，① 当
(p)?,n?21 ???
mn ?
KK nK ?1,2式中 是部分分式展开的系数
h t)(
n
n t
p
K
p
K
p
K ??
2
2
1
1 )()( ?
??? ??????? ②
)( t
p
K
h
i
i
i ????若令
1i 的情况我们仅讨论
具有相同的形式，注意到
?
hi
??
??
?
?
?
n
i
i
n
i i
i ht
p
K
th
11
)()( ?
?
则上式可写成
……2.5 -4
)()()( 1111 tKthth
dt
d ?? ??有
)()]([ 11
1
11
teKthe
dt
d
e
tt
t
?
??
?
??
?
?
，可得等式两边乘
)()(
1
1
1 tp
Kth ?
??
?即 ……2.5 -6
)()()(
11
tUeKt
p
Kth n
i
t
i
n
i i
i i??
??
?
?
? ??
?
故
0)0(0)0(0 ??? ??? ht,，对因果系统,?
1011 )(1)(
1 KdKthe
tt ???? ?
?
? ????
)()( 111 tUeKth t??
积分：等式两边从 t~0 ?
?
?
?
? ??
tt dteKhthe
011
)()0()( 11 ?????
……2.5 -7
…..2.5 -8
)()()()(
01
1
1
01
1
1 t
apapap
bpbpbpbtpHth
n
n
n
m
m
m
m ??
????
??????
?
?
?
?
?
?
H特征根为
分式展开，上式可写成
依部分时，可将
相应的，且特征方程无重根，② 当
(p)?,n?21 ???
mn =
KK nK ?1,2式中 是部分分式展开的系数
( t )h ( t )
)().,,()()()(
2
2
1
1
?
?
???
?
含有易见，
t
p
K
p
K
p
K
BtpHth
n
n
?
??
?
?
?
???
)()()()(
01
1
1
01
1
1 t
apapap
bpbpbpbtpHth
n
n
n
m
m
m
m ??
????
??????
?
?
?
?
?
?
H特征根为
分式展开，上式可写成
依部分时，可将
相应的，且特征方程无重根，③ 当
(p)?,n?21 ???
mn <
KB nK ?1,1式中 是部分分式展开的系数
)(( t )h ( t )
)()......()()()(
)(
2
2
1
1
01
)(
)(
t
t
p
K
p
K
p
K
BpBpBtpHth
mn
n
nnm
nm
??
?
???
?
到含有易见,?
?
? ????????????
当：
n>m h(t)无冲激项
n=m h(t)有冲激项
)()( tt ??,?
n<m 有
各项
?、,)()( )1()( tt nmnm ??? ??
四、几个重要结论
1,冲激响应 h(t)作为系统的时间特性，
也是系统的一种描述方式。即系统可用
① 算子方程 (微分方程 )
② 模拟框图
四种方式来描述，并且可以 互求 。
④ 冲激响应 h(t)
③ 传输算子 p)H(
)()(.2
1
tUekth t
n
i
i
i??
?
?
式中 λ
i
是 H ( p ) 中特征方程
的特征根,k
i
是 H ( p ) 部分分式
展开的系数。
∴ H ( p ) ? h ( t)
)(
1
tUek t
n
i
i
i??
?
)(
1
tUec t
n
i
i
i??
?
3,把冲激响应和系统的零输入响应比较
两者不仅仅是形式上的巧合，
而是一种 本质相同 的响应。
?)( th
?)( ty zi
对系统的零输入：
D(p)yzi(t)=0
对系统的冲激响应：
当 t>0 δ (t)=0
∴ 有 D(p)h(t)=0 (t>0)
D(p)h(t)=N(p)δ (t)
即：
冲激响应是单位贮能
产生的, 零输入响应” 。
系统一定,ki一定，
而 ci则由系统的初始 贮能
确定。
四、示例
)()(,0)0(
)(45.2 15.2
tutiu
a
CC 及求
电路，如图例
?
??
?
)(t?
?21
F2
i(t)
图 2.5-4(a)
解：画出相应的算子模型如图 (b)
?21
)(t?
p2
1
(b)
)()(
2
1
)()()
2
1
2
1
(
tti
p
p
tti
p
?
?
?
?
??有
)()
1
1
22(
)(
1
2
)(
t
p
t
p
p
ti
?
?
?
??
?
?
)(
)()1()(
)()(
]2)(2[
2
1
)(
00
0
tUe
tUetU
dUed
detu
t
t
tt
t
C
?
?
?
?
?
???
??
??
??
?
??
?
?????
???
?
?
)()
1
1
22( )( t
p
ti ?
?
??
)(]2)(2[)( tUetti t???? ?
相应的波形如图 2.5-5所示，电容器两
端的电压发生了突变。
)()(
)(]2)(2[ )(
tUetu
tUetti
t
C
t
?
?
?
?? ?
图 2.5-5
)(2 t?
-2
t0
)(ti
(a)
1
t0
)(tuC
(b)
例 2.5-2 )(
)3()1(
2)(
2 thppp
ppH,求已知
??
??
3
2
)3()1(
2
)]([
0
2
00
?
??
?
?
?
?
?
p
p
pp
p
ppHK 31)1(
)( 32
2
10
?
?
?
?
?
??
p
K
p
K
p
K
p
K
pH
解：
12
1
)]()3[(
33
???
??p
pHpK
2
1
)3(
2
)]()1[(
1
1
2
1 ???
?
???
??
??
p
p pp
p
pHpK
4
3
)3(
)32)(2()2(
)]()1([
1
22
1
2
2
??
?
????
?
??
??
??
p
p
pp
pppp
pHp
dp
d
K
31)1(
)( 32210
?
?
?
?
?
??
p
K
p
K
p
K
p
KpH
12
1
4
3
2
1
3
2
32
10
???
???
KK
KK
)()
12
1
4
3
2
1
3
2()( 3 tUeeteth ttt ??? ?????
例 2.5-3 如图 2.5-7电路求冲激响应
i2(t)
解：同前有算子方程
0)23(2
)(2)21(
21
21
????
???
ippi
tpiip ?
)(t?
?1 ?3
H2i1 i2 i2
图 2.5-7
)(
38
2
2
t
p
p
i ?
?
??
)()
8
3
1
32
3
4
1
( t
p
?
?
???
)(
32
3)(
4
1 83 tUet t??? ?
例 2.5-4 如图 2.5-7电路求零状
态时的 u1(t),u2(t)
)(t?
?2
?2 H2
F21
u1 u2
图 2.5-7
)(t? S21
u1 u2
S21
p2
1p
2
1
)(
1)1(
)1(2
)(
)22(
)1(2
)(
2
21
t
p
p
t
pp
p
tu
?
?
??
?
?
??
?
?
)(c o s)(
)(
)(
22
tb t Ueth
bap
ap
pH
at??
??
?
?
则
提示：若
解：同前
)(co s2 ttUe t??
)(]
1)1(
12
1)1(
)1(2
[
)(
1)1(
2)2(2
)(
22
2
)(
22
222
t
pp
p
t
p
p
t
pp
p
tu
?
??
??
?
?
??
?
?
??
??
?
??
?
)(t?
S21 p2
1
p21
u1 u2
S21
)()s i n2co s2( tUtete tt ?? ??
)(c o s)( 22
)(
)(
)(s i n)(22
)(
)(
tb t Ueth
bap
appH
tb t U
at
eth
bap
b
pH
at??
??
??
?
?
??
?
则若
则提示：若
本节全部内容结束
2004.02
第二章 连续时间系统的时域分析
§ 2, 1 引言 LTI
f(t) y(t)
图 2.1-1信号与系统研究的内容
对于信号,A:信号分析 B：信号处理
对于系统,A:系统分析 B：系统综合
一、系统数学模型的时域表示
时域分析方法,不涉及任何变换，直接求解
系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，
物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基
础。
?
?
?
元一阶微分方程状态变量描述
阶微分方程一元输入输出描述
,
,
N
N
本课程中我们主要讨论 输入、输出描述法 。
二、系统分析过程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变换域法
利用卷积积分法求解零状态
可利用经典法求零输入
双零法
经典法
解方程
网络拓扑约束根据元件约束建模（列写方程）
:
:
,:
经典法,前面电路分析课里已经讨论过, 但与
?(t)有关的问题有待进一步解决 —— h(t)；
卷积积分法, 任意激励下的零状态响应可通过
冲激响应来求 。 (新方法 )
三、本书所研究的系统－－－－
线性非时变系统 (LTI)的固有特性
1.迭加特性：
线性系统是满足零输入线性和零状态线性的系统
22112211
)()(
yyff
tytf
???? ???
? ……(2.1 -1)
线性非时变系统 (LTI)的固有特性：
2.时不变特性：
LTI
t
U(t)
0
t
U(t-t0)
t00
)(tg
t
0
t
)( 0ttg ?
t00
如图 2.1-2
)()(
)()(
00 ttyttf
tytf
???
? ……(2.1 -2)
图 2.1-2
线性非时变系统 (LTI)的固有特性：
3.微分和积分特性：
)(
)(
)()(
0
li m
运算微分与积分为线性代数
tf
t
tfttf
t
??
?
???
??
)( tf?
LTIf(t) y(t)
)(ty?
??
??
?
???
?
tt
dydf
tytf
tytf
00
)()(
)()(
)()(
????
……2.1 -3
……2.1 -4
如图 2.1-3所示
图 2.1-3
本章主要内容
?线性系统完全响应的求解；
?冲激响应 h(t)的求解；
?卷积的图解说明；
?卷积的性质；
?零状态响应,。? ? ? ? ? ?thtfty ??
zs
本章建立几个重要的概念
2.系统时间特性的描述和表征 ——h(t)
3.信号可以由系统来实现，系统也可用
信号来仿真
4.重要的数学工具 ——卷积积分 (性质、
图解、计算 )
1.信号分解和响应合成的概念 ——卷积
§ 2, 2 微分方程的建立与求解
)( 0,0)0(
,0)0(12.2
22
2
titi
i
???
??
?
?
求
所示电路，已知如图
M
R
RLLU(t)
i2i1
+
_ +
_
u1 u2
图 2.2-1
解,M
R
RLL
U(t)
i2i1
+
_ +
_
u1 u2
1.建立方程
②
①
???
???
0
)(
2
12
1
21
???
???
Ri
dt
di
M
dt
di
L
tURi
dt
di
M
dt
di
L
有
??)(2)( 2222 2
2
22 tM
dt
dUMiR
dt
diRL
dt
idML ?????? ③
图 2.2-1
我们一般将激励信号加入的时刻定义为 t=0,响应
为 时的方程的解，初始条件?? 0t
齐次解,由特征方程 →求出特征根 →写出齐次解形式
?
?
n
k
t
k
kA
1
e ? 注意重根情况处理方法。
特 解,根据微分方程右端函数式形式, 设含待定系
数的特解函数式 →代入原方程, 比较系数
定出特解 。
1
1
2
2
d
)0(d,,
d
)0(d,
d
)0(d,)0(
?
????
?
n
n
t
y
t
y
t
yy ?
初始条件的确定是要解决的主要问题。
经典法解微分方程
kA全 解,齐次解 +特解，由 初始条件 定出齐次解 。
几种典型激励函数相应的特解
激励函数 e(t) 响应函数 y(t)的特解
)(常数E )(常数B
pt
1121 ?? ???? pppp BtBtBtB ?
t?e tB ?e
? ?t?cos
? ?t?sin
? ? ? ?tBtB ?? s i nc o s 21 ?
? ?tt tp ?? s ine
? ?tt tp ?? c o se
? ? ? ?
? ? ? ?tDtDtDtD
tBtBtBtB
t
pp
pp
t
pp
pp
?
?
?
?
s i ne
c o se
1
1
21
1
1
21
?
?
?
?
?????
????
?
?
)(2)( 2222 2
2
22 tMiR
dt
diRL
dt
idML ?????
2.响应求解 ——经典法
求通解.a
程：上述微分方程的特征方
02)( 2222 ???? RR L SSML
)( 特征频率特征根
④
ML
R
?
??1,2S
tsts
x eAeAti
21
212 )( ??通解：
求特解.b
特解为零
方程等号右端为零
?
?? ?
,0)(,0 tt ?
⑤ ???tsts eAeAti 21
212 )( ??全响应
自由响应,也称固有响应，由系统本身特性
决定，与外加激励形式无关。对应于通解。
压迫响应：形式取决于外加激励，对应
于方程的特解。
全响应
（注意：特解一定是系统在 t＞ 0 时刻的解）＋
3.根据初始条件求 A1,A2
)]0(),0(0,0[ 22 ???? ??? iitt 的等效电路，求出可画
)0()0( 22 ?? ?ii 和求得亦可用奇异函数平衡法
)(2)( 2222 2
2
22 tMiR
dt
diRL
dt
idML ?????由式,③
)(
)(
22
2
222
2
2
tU
ML
M
dt
di
t
ML
M
dt
id
?
??
?
? ?显然有
)(222 tUML Mdtdi ??
222 0)0( ML
Mti
??? ? 时有跃变，且幅度为在此式表明
)0()0(0 22 ??? ?? iit 和的求导后分别代入
对,⑤ tsts eAeAti
21 212 )( ??
?????
??
0)0()0(
)0()0(
22
2222
??
?
????
??
??
ii
ML
M
ii即
⑥
⑦
??
????
221122
21
0
ASAS
ML
M
AA
??
?
??有
⑧
⑨
由,可得
⑧ ⑨
))((
))((
22
2
2
22
2
1
MLSS
M
A
MLSS
M
A
??
?
?
??
?
)()(
2
1
)(
))((
)(
21
21
22
21
2
tUee
R
ee
MLSS
M
ti
tStS
tStS
??
?
??
??
相应的波型如图 2.2-2。
)(2 ti
R21
R21?
t0
图 2.2-2
§ 2, 3 系统方程的算子表示
一、元件的算子模型
)()(
)()(
tfptf
dt
d
ptpftf
dt
d
n
n
n ?
?
?
? 微分算子—
积分算子—ptfpdft 1 )(1)(
?
??
?? ??
电路元件的
时域模型
算子模型
)( pj ??
R
)( GuiRiu ?? Riu ?
dt
di
Lu ?
L p iu ?
L
?
??
?
t
dttu
L
i )(
1
u
Lp
i
1
?
dt
du
Ci ?
C p ui ?
C
?
??
?
t
dtti
C
u )(
1
i
Cp
u
1
?
)(阻抗Lp
)(1 导纳Lp
)(导纳Cp
)(1 阻抗Cp
注意：
是代表一种 运算 作用在时
间函数上，而不是相乘。
)1( pp
L i pp L iL p iu ???
所以，
二、算子的运算规则
1.满足分配律，可进行因式分解
)()])([()(])([ 2 tfbpaptfabpbap ??????
2.不满足交换律
)()()()(
1
)()()(
1
?????
??
?
?
??
??
ftfd
dt
df
tpf
p
tfdf
dt
d
tf
p
p
t
t
?
???
而
除非 0)( ???f,否则 )(1)(1 tpf
ptfpp ?
3.不满足消去律
)()( tpftpy ? 即 ctfy
dt
df
dt
dy ??? )(
)()( tfty ? 同上式 不符
同样 )()()()( tfaptyap ???
)()()()( tfaptyap ??? )()( tfty ?
afdtdfaydtdy ??? atcetfy ??? )(
有
即等式两边中相同的算符不能随便消去。
)()( tpftpy ?
三、算子方程的编写
例 2.3-1 如图 2.3-1(a)电路响应 i2,试编写算子方程
us 1H
2H i2
?1
?1
?2
图 2.3-1(a)
解,1)画出算子的阻抗模型如图 2.3-1(b)所示
us 1H
2H i2
?1
?1
?2
?1
?2
2p
1p
us
图 2.3-1(b)
?1
i2i1
图 2.3-1(a)
2)编写算子形式的网孔方程
???0)3( 21 ???? ippi ②
???supiip ??? 21)13( ①
??21 3 i
p
pi ?? ③由,得②
代入③ ①,有
?1
?1
?2
i2i1 1p
2p
us
supiip
pp ????
22
3)13(
spuipp ??? 2
2 )3102(
supp
pi
3102 22 ??
?
如图 2.3-2(a)电路，以 u1,u2为
响应，编写算子方程。
例 2.3-2
?2
?2
F21
H2)(ti
S
u1 u2
图 2.3-2(a)
解,1.画出算子的导纳模型如图 2.3-2(b)
?2
?2
F21
H2
)(tiS
u1 u2
图 2.3-2(a)
p21
)(tiS
u1 u2
s21
s21
p2
1
图 2.3-2(b)
2.编写算子形式的节点方程
即
)(tiS
u1 u2
p21 s21
s21
p2
1
图 2.3-2(b)
iuup ??? 21
2
1)1(
2
1
0)212 1(21 21 ???? upu
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
0
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1 s
i
u
u
p
p
可得
或
s
s
piupp
ipupp
2)22(
)1(2)22(
2
2
1
2
???
????
s
s
i
pp
p
u
i
pp
p
u
22
2
22
)1(2
22
21
??
?
??
?
?
用一些基本运算单元，如放
大器、加法器、乘法器、微分器、
积分器、延迟器等构成系统的模
拟框图，以反映系统的运算关系，
是描述系统的另一种形式。常用
的基本运算单元如下图。
四、系统的模拟框图表示
ax(t) y(t)
px(t) y(t)
1/px(t) y(t)
运算单元 框 图 输入输出关系
x(t) y(t)
?
y(t)?x1(t)
x2(t)
放大器
微分器
积分器
延迟器
加法器
乘法器
)()( taxty ?
)()( txdtdty ?
?? dxty t? ??? )()(
)()( ??? txty
)()()( 21 txtxty ??
? y(t)x1(t)
x2(t) )()()( 21 txtxty ??
例 2.3-3 某反馈系统的模拟框图
如图 2.3-3所示，试编写其算子方
程。
?
?
p/1f(t)
y(t)y1(t)
图 2.3-3
+
-
解,?
?
p/1f(t) y(t)
y1(t)
②
①
?
?????
)()()(
1
1
1
????
?
tytfty
y
p
y
)()()(
)(
1
)(
1
)(
tftytpy
ty
p
tf
p
ty
???
????
?
?
图 2.3-3
+
-
五、传输算子
一个单输入、单输出的线性非时变系统
可用一个 n阶常系数线性微分方程来描述，
其算子形式为
式中
01
1
1
01
1
1
)(
)(
bpbpbpbpN
apapappD
m
m
m
m
n
n
n
?????
?????
?
?
?
?
?
?
为算子多项式。
所以
)()( )()( tfpD pNty ?
)()()()( tfpNtypD ?
……2.3 -1
)()( )()( tfpD pNty ?
令
)(
)(
)(
pD
pN
pH ?
——传输算子
……2.3 -2
)()()( tfpHty ?
……2.3 -3
结论,1.描述系统的三种形式：
① 算子方程（微分方程）
② 模拟框图
③ 传输算子 H(p)
2.三者之间可互求
3.系统的功能可看作是对输入
信号进行数学运算的算子
——传输算子。
一、系统响应划分
自由响应＋强迫响应
(Natural+forced)
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
暂态响应 +稳态响应
(Transient+Steady-state)
§ 2,4 系统的零输入响应
也称固有响应，由系统本身特性决定，与
外加激励形式无关。对应于齐次解。
形式取决于外加激励 。 对应于特解 。
是指激励信号接入一段时间内，完全响应中
暂时出现的有关成分，随着时间 t 增加，它将消失。
由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态
响应分量。
没有外加激励信号的作用，只由起始状
态（起始时刻系统储能）所产生的响应。
不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状
态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
(1)自由响应：
(2)暂态响应：
稳态响应：
强迫响应：
(3)零输入响应：
零状态响应：
二、各种系统响应定义
求解
系统 零输入响应,实际上是求系统方程的齐次解，
由系统状态值 求出待定系数。? ? ? ? )0(,0,0 )(' ??? nyyy ?
)0()0(),0()0(),0()0( )()('' ?????? ??? nnzizizi yyyyyy ?
系统 零状态响应,是在激励作用下求系统方程的非齐
次解，待定系数由下式确定。
)0()0()0( ??? ?? zizs yyy
)0()0()0()( ??? ?? zinzs yyy
)0()0()0( ''' ??? ?? zizs yyy
)()()()( tfpNtypD ??
当 f(t)=0时，为求系
统的零输入响应，就要
求解齐次微分方程：
系统的零输入响应如图 2.4-1所示
0)()( 0111 ?????? ?? tyapapap( t )D ( p ) y zinnnzi ?
……2.4 -1
LTI
图 2.4-1
)(tyzi
一、一阶、二阶齐次方程
1.一阶：
??0)()( 01 ?? tyapa zi ①
① 式可写成
(把 p看成代数量 )
特征方程
即
令
0
0)(
01 ??
?
apa
pD
特征方程特征根有 ????
1
0
a
ap ???
t
zizi
zi
zi
Cetyy
dt
dy
typ
??
?
????
??
)( 0
0)()(
即
t
zi Cety
??)(
)(0y0t zi
则
时，响应量的初始值为若 ???
0 )(yC zi ??
)()0()( tUeyty tzizi ???
……….2.4 -2
2.二阶：
??0)()( 012 ??? tyapap zi②
0 21 ?? ( t ))yλ)(p( p -λ zi
式可写成
②
0 ?D ( p )同理，令
0 012 ??? apap即
21 ?? 和相应的特征根为
?
?
?
??
??
0)((
0)()(
)2
1
typ
typ
zi
zi
?
?
有
??ttzi eCeCty 21 21)( ?? ???
③
……2.4 -4
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)0(
)0(11
'
1
212
1
zi
zi
y
y
C
C
??
④
……2.4 -4
由 式，有③
)0()(),0()(0 '' ??? ??? zizizizi ytyytyt 时，若已知
21)0( CCy zi ???
2211
' )0( CCy
zi ?? ???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)0(
)0(11
'
2
1
21 zi
zi
y
y
C
C
??
即
二,n阶系统的零输入响应
⑤
0)()())((
21 ???? typpp zin??? ??
式可写成则
⑤
?? 0)()( 0111 ????? ?? tyapapap zinnn由
即令 0)( ?pD
0 0111 ????? ?? apapap nnn ?
n??? ??21,
征根为若无重根，且相应的特
)()(
)(
1
21
21
tUeCty
eCeCeCty
n
i
t
izi
t
n
tt
zi
i
n
?
?
?
????
?
???
?同理，有
……2.4 -5
)0()0(),0(
0
)1('
?
?
??
??
n
zizizi yyy
t
??
时，响应量的初始值为若
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)0(
)0(
)0(111
)1(
'
2
1
11
2
1
1
21
n
zi
zi
zi
n
n
n
nn
n
y
y
y
C
C
C
??
?
????
?
?
???
???
则有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)0(
)0(
)0(111
)1(
'
1
11
2
1
1
212
1
n
zi
zi
zi
n
n
nn
n
n
y
y
y
C
C
C
?
?
????
?
?
?
???
???
可求出
……2.4 -6
tr
rzi
r
etCtCtCCty
ppD
?
?
)()(
0)(r0)(
1
1
2
210
?
?????
???
?则
阶重根，如有若注：
……2.4 -7
i(t)
uS
1H uC
?5
F61
例 2.4-1 求如图 2,4-2(a)电路的零输入响应
)(ti
VuAi CL 10)0(,1)0( ?? ??已知
图 2.4-2(a)
0650)(
)65(
2
2
?????
???
pppD
pUipp s
令
即
解：画出该电路的算子模型如图 2.4-2所示
编写算子形式的回路方程，有
图 2.4-2(b)
sUipp ??? )
6
5(
3,2 21 ???? ??可得特征根
tt
zi eCeCti
3
2
2
1)(
?? ???
p
6
?5
pi
uS
1A ?5
10V
uL(0-)
t=0-等效电路图 2.4-3
)(0i)(0i
1)0()0(
-
''
zi ?
??
?
?? ii zi对于零输入响应有：
2.4-3
01015)0(
0),0(
-
-
'
????
??
L
zi
u
ti
有
的等效电路如图画出为求
Vu L 15)0( - ???
15)0( -
-0
???
?
L
t
u
dt
di
L
)0(15)0()0( '-- ??????? ziL i
L
ui
- 1 53C-2C-
1CC
21
21
?
??有：
3t-
2
2t-
1
'
zi
- 3 t
2
- 2 t
1zi
e3C-e- 2 C( t )i
eCeC( t )i
?
??再由
代入将 - 1 5)(0i1,)(0i 'zizi ?? ??
13C- 1 2,C 21 ??解得
tt
zi eeti
32 1312)( ?? ????
例 2.4-2 电路同上，其中：
sAii
RHLFC
zizi /1)0(,0)0(
2,1,1
' ??
????
??
求 izi(t)
解：相应的算子方程为 1/p
p
?2
sUtipp ??? )()12(
2
)( 1
0)1(
2,1
2
重根
有特征方程
??
??
?
p
110
'
10
)(
)(
CeCeCti
teCeCti
tt
zi
tt
zi
????
???
??
??
0 )(
1,0 10
??
??
? tAteti
CC
t
zi
同上，可求得
所示。相应的波型如图 44.2 ?
0
0.368
1 t图 2,4-4
izi(t)
§ 2,5 冲激响应和阶跃响应
一、定义
一个 LTI系统，当其初始状态为 0时，输入信号为单
位冲激信号 δ (t)时所引起的响应称为单位冲击响应，简称冲击
响应，用 h(t)表示。
同样，系统在单位阶跃信号 U(t)作用下所产生的零状态响应称为
阶跃响应，用 g(t)来表示
LTI
)(t? )(th
“0”
LTI
)(tU )(tg
“0”
二、冲激响应与阶跃响应的关系
LTI)(tf )(ty
zs
“0”
LTI
)(t? )(th
“0”
) )( )( ( tgtU
如图 2,5-1所示
图 2,5-1
)()( tht ??
)()( tgtU ?
)()( tU
dt
dt ???
? ???
??
t
dthtg
tg
dt
d
th
?)()(
)()(
)()()()(
01
1
1
01
1
1 t
apapap
bpbpbpbtpHth
n
n
n
m
m
m
m ??
????
??????
?
?
?
?
?
?
①…
…
……2.5 -2
三、冲激响应的计算
)()()(
)()()()(
tfpHty
tfpNtypD
zs
zs
?
??
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
,
apapap
bpbpbpb
pD
pN
pH n
n
n
m
m
m
m
????
????
?? ?
?
?
?
?
?
传输算子式中
则若 )()( ttf ??
)()()()(
01
1
1
01
1
1 t
apapap
bpbpbpbtpHth
n
n
n
m
m
m
m ??
????
??????
?
?
?
?
?
?
H特征根为
分式展开，上式可写成
依部分时，可将
相应的，且特征方程无重根，① 当
(p)?,n?21 ???
mn ?
KK nK ?1,2式中 是部分分式展开的系数
h t)(
n
n t
p
K
p
K
p
K ??
2
2
1
1 )()( ?
??? ??????? ②
)( t
p
K
h
i
i
i ????若令
1i 的情况我们仅讨论
具有相同的形式，注意到
?
hi
??
??
?
?
?
n
i
i
n
i i
i ht
p
K
th
11
)()( ?
?
则上式可写成
……2.5 -4
)()()( 1111 tKthth
dt
d ?? ??有
)()]([ 11
1
11
teKthe
dt
d
e
tt
t
?
??
?
??
?
?
，可得等式两边乘
)()(
1
1
1 tp
Kth ?
??
?即 ……2.5 -6
)()()(
11
tUeKt
p
Kth n
i
t
i
n
i i
i i??
??
?
?
? ??
?
故
0)0(0)0(0 ??? ??? ht,，对因果系统,?
1011 )(1)(
1 KdKthe
tt ???? ?
?
? ????
)()( 111 tUeKth t??
积分：等式两边从 t~0 ?
?
?
?
? ??
tt dteKhthe
011
)()0()( 11 ?????
……2.5 -7
…..2.5 -8
)()()()(
01
1
1
01
1
1 t
apapap
bpbpbpbtpHth
n
n
n
m
m
m
m ??
????
??????
?
?
?
?
?
?
H特征根为
分式展开，上式可写成
依部分时，可将
相应的，且特征方程无重根，② 当
(p)?,n?21 ???
mn =
KK nK ?1,2式中 是部分分式展开的系数
( t )h ( t )
)().,,()()()(
2
2
1
1
?
?
???
?
含有易见，
t
p
K
p
K
p
K
BtpHth
n
n
?
??
?
?
?
???
)()()()(
01
1
1
01
1
1 t
apapap
bpbpbpbtpHth
n
n
n
m
m
m
m ??
????
??????
?
?
?
?
?
?
H特征根为
分式展开，上式可写成
依部分时，可将
相应的，且特征方程无重根，③ 当
(p)?,n?21 ???
mn <
KB nK ?1,1式中 是部分分式展开的系数
)(( t )h ( t )
)()......()()()(
)(
2
2
1
1
01
)(
)(
t
t
p
K
p
K
p
K
BpBpBtpHth
mn
n
nnm
nm
??
?
???
?
到含有易见,?
?
? ????????????
当：
n>m h(t)无冲激项
n=m h(t)有冲激项
)()( tt ??,?
n<m 有
各项
?、,)()( )1()( tt nmnm ??? ??
四、几个重要结论
1,冲激响应 h(t)作为系统的时间特性，
也是系统的一种描述方式。即系统可用
① 算子方程 (微分方程 )
② 模拟框图
四种方式来描述，并且可以 互求 。
④ 冲激响应 h(t)
③ 传输算子 p)H(
)()(.2
1
tUekth t
n
i
i
i??
?
?
式中 λ
i
是 H ( p ) 中特征方程
的特征根,k
i
是 H ( p ) 部分分式
展开的系数。
∴ H ( p ) ? h ( t)
)(
1
tUek t
n
i
i
i??
?
)(
1
tUec t
n
i
i
i??
?
3,把冲激响应和系统的零输入响应比较
两者不仅仅是形式上的巧合，
而是一种 本质相同 的响应。
?)( th
?)( ty zi
对系统的零输入：
D(p)yzi(t)=0
对系统的冲激响应：
当 t>0 δ (t)=0
∴ 有 D(p)h(t)=0 (t>0)
D(p)h(t)=N(p)δ (t)
即：
冲激响应是单位贮能
产生的, 零输入响应” 。
系统一定,ki一定，
而 ci则由系统的初始 贮能
确定。
四、示例
)()(,0)0(
)(45.2 15.2
tutiu
a
CC 及求
电路，如图例
?
??
?
)(t?
?21
F2
i(t)
图 2.5-4(a)
解：画出相应的算子模型如图 (b)
?21
)(t?
p2
1
(b)
)()(
2
1
)()()
2
1
2
1
(
tti
p
p
tti
p
?
?
?
?
??有
)()
1
1
22(
)(
1
2
)(
t
p
t
p
p
ti
?
?
?
??
?
?
)(
)()1()(
)()(
]2)(2[
2
1
)(
00
0
tUe
tUetU
dUed
detu
t
t
tt
t
C
?
?
?
?
?
???
??
??
??
?
??
?
?????
???
?
?
)()
1
1
22( )( t
p
ti ?
?
??
)(]2)(2[)( tUetti t???? ?
相应的波形如图 2.5-5所示，电容器两
端的电压发生了突变。
)()(
)(]2)(2[ )(
tUetu
tUetti
t
C
t
?
?
?
?? ?
图 2.5-5
)(2 t?
-2
t0
)(ti
(a)
1
t0
)(tuC
(b)
例 2.5-2 )(
)3()1(
2)(
2 thppp
ppH,求已知
??
??
3
2
)3()1(
2
)]([
0
2
00
?
??
?
?
?
?
?
p
p
pp
p
ppHK 31)1(
)( 32
2
10
?
?
?
?
?
??
p
K
p
K
p
K
p
K
pH
解：
12
1
)]()3[(
33
???
??p
pHpK
2
1
)3(
2
)]()1[(
1
1
2
1 ???
?
???
??
??
p
p pp
p
pHpK
4
3
)3(
)32)(2()2(
)]()1([
1
22
1
2
2
??
?
????
?
??
??
??
p
p
pp
pppp
pHp
dp
d
K
31)1(
)( 32210
?
?
?
?
?
??
p
K
p
K
p
K
p
KpH
12
1
4
3
2
1
3
2
32
10
???
???
KK
KK
)()
12
1
4
3
2
1
3
2()( 3 tUeeteth ttt ??? ?????
例 2.5-3 如图 2.5-7电路求冲激响应
i2(t)
解：同前有算子方程
0)23(2
)(2)21(
21
21
????
???
ippi
tpiip ?
)(t?
?1 ?3
H2i1 i2 i2
图 2.5-7
)(
38
2
2
t
p
p
i ?
?
??
)()
8
3
1
32
3
4
1
( t
p
?
?
???
)(
32
3)(
4
1 83 tUet t??? ?
例 2.5-4 如图 2.5-7电路求零状
态时的 u1(t),u2(t)
)(t?
?2
?2 H2
F21
u1 u2
图 2.5-7
)(t? S21
u1 u2
S21
p2
1p
2
1
)(
1)1(
)1(2
)(
)22(
)1(2
)(
2
21
t
p
p
t
pp
p
tu
?
?
??
?
?
??
?
?
)(c o s)(
)(
)(
22
tb t Ueth
bap
ap
pH
at??
??
?
?
则
提示：若
解：同前
)(co s2 ttUe t??
)(]
1)1(
12
1)1(
)1(2
[
)(
1)1(
2)2(2
)(
22
2
)(
22
222
t
pp
p
t
p
p
t
pp
p
tu
?
??
??
?
?
??
?
?
??
??
?
??
?
)(t?
S21 p2
1
p21
u1 u2
S21
)()s i n2co s2( tUtete tt ?? ??
)(c o s)( 22
)(
)(
)(s i n)(22
)(
)(
tb t Ueth
bap
appH
tb t U
at
eth
bap
b
pH
at??
??
??
?
?
??
?
则若
则提示：若
本节全部内容结束
