第三章 (3)
2004.02.28
周期信号：
非周期信号：
周期信号的傅里叶变换如何求？
与傅里叶级数的关系？
? ? ? ? 离散谱傅里叶级数 ?jnFtf ??
? ? ? ? 连续谱傅里叶变换 ?jFtf ??
? ? 叶变换统一的分析方法：傅里
非周期
周期
?
?
?
?
?
?tf
引言
§ 3.7周期信号的傅立叶变换
由 欧拉公式
由频移性质
一．正弦信号的傅里叶变换
? ?
? ?tt
tt
t
t
00
00
jj
0
jj
0
ee
j2
1
s i n
ee
2
1
c os
??
??
?
?
?
?
??
??
? ???π21 ?
? ?
? ?0j
0
j
2e1
2e1
0
0
????
????
?
?
???
???
? t
t
? ? ? ?? ? ? ? ? ?00000 πππ2π221c o s ????????????? ????????? t
同理
? ? ? ?000 πjπjs i n ??????? ?????t
已知
? ?)()(πc o s 000 ??????? ????t
? ? ? ?000 πjπjs i n ??????? ?????t
频谱图
:c o s 0 频谱图t?
:s i n 0 频谱图t?
?
0
?
0
??
? ???
2
?
2
?
?
o
0?? 0?
?
? ?π? ?π
? ??F
? ?
O
|F(jω)|
0
??
0
? ?
? ?π? ?π
? ??F
? ?
o
|F(jω)|
由傅里叶级数的指数形式出发：
其傅氏变换 (用定义 )
二．一般周期信号的傅里叶变换
1
1
π2:
??T设信号周期
? ? ? ???
???
?
n
tjn
n jnFtf
1e
1T
??
? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?tnntnn FjnFjnFF
tfFjF
11 j
1
j
1
TT
ee ?? ??
?
??
?
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?11 π2 ???? njnF n ??? ??
??
? ? ? ?11π2 ???? njnF n ??? ??
??
? ? ? ? ; 1 T 的频谱由冲激序列组成tf
? ?谐波频率位置, 1?? n?
? ? 离散谱成正比与强度,)( π2,11 ?? jnFjnF nn
几点认识
? ? ? ?表示的是频谱密度。因为谱线的幅度不是有限值 ?jF,2
? ?,1 处只存在于周期信号的 ??? njF ?
。幅度为频率范围无限小 ?,
? ? ? ? ? ?11T π2 ????? njnFjF n ??? ??
??
? ? ? ? ? ?的关系的谱系数与周期信号即单个脉冲的 1T0 ?? jnFtfjF n
? ?tf
0
t
2
T
?
2
T
? ?tf
T
T? T too
? ? ? ??jFtf 00 ?设 ? ? ? ? )1(de2
2
j
00 ??
??
T
T
t ttfjF ??
? ? )(j0 ω求三、如何由 jnFF n?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
2
j
1
1
j
1
)2(de
1
e
1
1
T
T
tn
Tn
n
tn
nT
ttf
T
jnF
jnFtf
?
?
?
?
比较式 (1),(2)
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
2
j
T
1
1
j
1T
)2(de
1
e
1
1
T
T
tn
n
n
tn
n
ttf
T
jnF
jnFtf
?
?
?
?
? ? ? ?tftf
n
T0
1
?
? ??
? ? ? ?相同与内在 tftfTT T02,2 ?
?
??
?
? ? ? ? ? ?
1
0
1
1
1
???? njFTjnF n ??所以
? ? ? ? ? ?1T0 ?? jnFtfjF n的谱系数求周期函数可由
? ? ? ? )1( de2
2
j
00 ??
??
T
T
t ttfjF ??
周期信号的傅立叶变换
? ? ? ?
1
0
1
1
1
???? njFTjnF n ??
? ? ? ? ? ?11T π2 ????? njnFjF n ??? ?
?
??
? ? ? ???
???
??
n
nTtt 1T ??
例 1 周期 单位冲激序列的傅里叶变换
t
? ?t
T
?
? ?1? ?1 ? ?1? ?1? ?1
?????
1
T
1
T?
1
2 T
1
2 T?
??
o
? ? 1 ?t?因为
? ?的傅氏级数谱系数所以 tT ? ? ?
1
1
1
TjnF n ??
? ? ? ?? ? ?? ?
???
?
???
?????
nn
n nnjnFtFjF )()()(2 1111T ???????????
? ? 。强度和间隔都是激序列的频谱密度函数仍是冲 1T,?? t
频谱
? ?
1
?nF
1
1
T
1
?
1
2 ?
1
??
1
2 ??
??
?o
|Fn(jnω)| ? ?
1
?
?????
?? ? ?
1
? ? ?
1
? ? ?
1
? ? ?
1
?
1
2 ?
1
?
1
??
1
2 ?? ?
? ??F
o
F(jω)
例 2 周期矩形脉冲序列的傅氏变换
? ?tf
1
T to
1
T?
??
2
?
2
?
?
E
方法 1
)()()( 10 ??? jFjnFjF n ??
??????? 2Sa)(0 ???? EjF ? ? ? ?
1
0
1
1
1
???? njFTjnF n ??所以
? ? ? ?11π2)( ????? njnFjF
n
n ??? ?
?
???
? ?111 2Sa ??????? nnE
n
??
?
??
?
?? ??
???
? ?11
1 2
Saπ2 ?????? nnTE
n
??
?
??
?
?? ??
???
从连续信号到离散信号的 桥梁,也是对信号进行
数字处理 的第一个环节。
周期
信号
抽样原理图：
一．抽样
)(s tf
D/A
)( nf )( ng
A/D )( tg
)( tp
)( tf
量化编码
数字
滤波器
? ? ? ?
? ? ? ???
? ?
tftf
jFjFtf
能否恢复由
的关系与需解决的问题
s
ss )(,??
§ 3.8 抽样信号的频谱
?? ?
??
?
???
????? )()()()( sssT ?????? nnTtttp
n
二．理想抽样（周期单位冲激抽样）
连续信号 抽样信号
抽样脉冲
? ?tf ? ?tf
s
?
? ?t
T
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???
???
?????
n
njFTjFttfFjF ][1 π2 1 s
s
TTs ???????
??
???
???
n
nTtnTfttftf )()()()()( ssTs ??
? ? ? ? )( mm ???? ???? jFtf
? ? ? ?,?jPtp ?
? ? ? ??jFtf ss ?
1、数学表达式
2．冲激抽样信号的频谱
t
f ( t )
o
t
p ( t )
o
T
S
E
t
f
S
( t )
o
T
S
o
o
o
?
? ??F
? ??P
?
s
?
s
??
? ?
s
?
? ??
s
F
?
s
1
T
1
m
?
m
??
m
?
s
?
s
??
相
乘
卷
积
( 1 )
??
??
? ?
? ?
F(jω)
P(jω)
Fs(jω)
ms ?? ?
mms ??? ??
3．分析? ? ? ? ? ?
倍。差
幅度含原信号的全部信息
包时
s
s
s
,
,
1
,0 1
T
jF
T
jFn ?? ??
? ? ? ?
? ?
性延拓。
的周期即新的频率成分
有为周期的连续谱以
?
??
jF
jF
,
,2 ss
? ?
现原信号。滤除高频成分，即可重
截止频率为
其增益器，若接一个理想低通滤波
3
mscms ???? ???T
o
? ??
s
F
?
s
1
T
m
? s?
s
??
? ?
Fs(jω)
H(jω)
ωωc-ωc
Ts
Fs’(jω)
ωm ω
1
1．抽样信号
三,矩形脉冲抽样
? ?tf,连续信号
? ?tp,抽样脉冲序列
? ? ? ? ? ?tptftf ??s,抽样信号
t
f ( t )
o
to
p ( t )
T S
to T
S
f S ( t )
连续信号 抽样信号
抽样脉冲
? ?tf ? ?tf
s
?
? ?tp
关系
? ?;, tf连续信号
? ?tp,抽样脉冲序列
? ?tf s,抽样信号
? ? ? ? )( mm ???? ???? jFtf
? ? ? ?,?jPtp ?
? ? ? ??jFtf ss ?
? ? ? ? ? ?
谱结构。
的频的全部信息，必须考虑中有无更关心
，从信号传输角度看刻之值越小，越能反映离散时
tftftf ss
,??
? ? ? ? ? ?tptftf ??s
限带
信号
? ? ? ? ? ???? jPjFjF s ?? π21
频谱结构
t
f ( t )
o
t
p ( t )
o?
T
s
E
t
o
T
s
o
o
o
?
? ??F
? ??P
?
?
π2
s
?
s
??
s
??E
? ??
s
F
?
s
T
E ?
1
m
?
m
??
m
?
s
?
s
??
相
乘
卷
积
? ?tf
s
F(jω)
P(jω)
Fs(jω)
频谱结构的数学表示
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? jPjFtptfFjF ???? π2 1s
? ? ? ? ? ???
???
???
n
nPjPtp snπ2 ????
? ? ?
?
??
?
??
2Sa
s
s
n
??? n
TPtp 的谱系数
? ? ? ? ? ?
? ? ][
2
Sa
2
Sa
n
s
s
s
n
s
s
s
s
?
?
?
???
?
???
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
???
????
???
?
njF
n
T
njF
n
T
jF
? ? ? ???
???
????????
n
nnTjP ss
s 2
Saπ2 ???????
2．举例说明抽样信号与原信号频谱的关系
π,ππ2,21,s
s
s
s
???? ????? TT设 02π2 s 即二次谐波为所以 ?? ?
0?n
1?n ? ? ? ? ? ? ][π1][2πSa211 sss ????? ????
?
??
?
??
? jFjFnjF
1??n ? ? ? ? ? ? ][
π
1][
π
2
2
1
1 sss ????? ??????? jFjFnjF
? ? ? ? ][2Sa
n
s
s
s
s ?
?
???
???????? ?????? njFnTjF因为
? ? ? ??jFF
n 2
10
0
s ?
?
? ? 02,2 s ????? njFn ?
3??n
? ? ? ? ? ? ]3[π3 1]3[π3 2213 sss ????? ?? jFjFnjF ???
?
??
?
? ???
??
?
?
)]3([
π3
1
)]([
π
1
)(
2
1
)]([
π
1
)[3([
π3
1
)(
ss
sss
????
??????
????
??????
jFjF
jFjFjFjF
不变不变因为 ss
s
s,,
π2 ?? T
T?
? ?t?? ?? 矩形脉冲理想抽样,0
，离原点越远。
，第一个零点脉冲宽度
?
???
?
?
?
??
? sss
s
π2π2 TT
T
3．讨论 的影响?
t
f
S
( t )
o
T
S
o
? ??
sF
?
s
1
T
m? s
?
s??
?? ? ?
ms ?? ?
? ?
? ?
。或者说最低抽样率为
，，即其抽样间隔必须不大于
惟一地表示。可用等间隔的抽样值来的范围，则信号
，若频谱只占据一个频带受限的信号
m
mm
m
s
m
mm
2
π2
2
1
2
1
~)(
f
f
f
T
f
tf
tf
??
??
?
??
§ 3.9 时域抽样定理
t
f ( t )
o o ?
? ??F
1
m?m??
F(jω)
Fs(jω)
重建原信号的必要条件：
不满足此条件，就会发生 频谱混叠现象。
奈奎斯特 (Nyquist) 抽样率和抽样间隔
mms
s
s π222π2
2 ff
T ?????? ?
??
。隔是必要条件，或抽样间抽样频率即
m
sms 2
12
fTff ??
隔”。称为“奈奎斯特抽样间是最大抽样间隔,
2
1
m
s fT ?
特抽样频率”称为“奈奎斯是最低允许的抽样频率,
2 ms ff ?
)(
)()( )( 1
t
tfjHtf
T?
?
?
???????????? ? 积分器)(tfs
T延时
)(1 tfs
?
?
?
? )(th
的截止角频率。为抽样周期，
为，其中所示，
，如图其频谱连续时间信号的
内为频带受限于，、在如图所示的系统中例
)(
)()(
)]([)(,
)(1
tf
TnTtt
tfFjF
tf
m
m
T
m
?
?
???
?
?
???
?
?
?
?
??
)(tf
0 t ?
)( ?jF
m?m??
)(
)()(3
)]([)()(2
)()()(1
1
1
111
?
?
?
jH
tftf
tfFjFtf
jFtftf
s
sss
sss
输函数
传，求理想低通滤波器的恢复、为了从
，并画出其波形，求、求
的波形，求的函数式，并画出、
试求解：
?
为取样角频率式中
m
n
n
ss
T
njF
T
n
T
jFjF
?
?
?
????
?
?
2
2
)]([
1
)](2
1
*)( [
2
1
)(
???
???
???
?
?
?
???
?
???
)()(
)()()()()(1
nTtnTf
nTttfnTttftf
n
nn
s
???
??????
?
??
?
???
?
???
?
???
?
??、
解：
的频谱波形如图所示，故得 )()( tftf ss
t0T T2T2? T?
)(tfs
)( ?jFs
?m?? m? ???
T1
频率。，恰好就是奈奎斯特角周期为
的周期延拓，延拓的频谱是如图
m
s jFjF
?
??
2
)()(
??
? ?
波形如图所示
])1([)([)(
)]()([*)()(
)(*)()(
1
TntUnTtUnTf
TtUtUnTtnTf
thtftf
n
n
ss
?????
????
??
?
?
?
???
?
???
?
其单位冲激响应分器组成的子系统、由延时、加法器、积 2
)(
)()( )( 1
t
tfjHtf
T?
?
?
???????????? ? 积分器)(tfs
T延时
)(1 tfs
??
?
? )(th
)()()]()([)( TtUtUdtTttth t ?????? ? ?? ??
T T2T?T2?
)(1 tfs
t
t
)(th
T
1
0 ??m?m????
)( ?jH
如图
而
因
2
1
)
2
(
)]
2
([)]([)(
)()()(
T
j
T
s
e
T
TS a
T
tGFthFjH
jHjFjF
??
?
???
?
?
???
??
波形如图：
故
????????
?????????????????????
????
?
?
???
?
?
???
?
?
2
2
1
)
2
()]([
)
2
()]([
1
)(
T
j
n
T
j
n
s
e
T
SanjF
e
T
T S anjF
T
jF
?
?
?
?
?
??
?
?
m??? ?m??
)(1 ?jF s
?
,
||
2)
2
(
1
|| 0
)(
)(
)()()( 3
1
11
如图中的虚线所示
数故理想滤波器的传输函
必须有、为恢复原信号
m
Tj
eTSa
m
jH
jF
jHjFtf
s
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?