第三章 (3)
2000.09.28
①????
??
? tjnnT ejnFtf 0)()( 0 ??
②???
?
?? 2
2
0
0)(1)(
T
T
tjn
tn dtetfTjnF
??
??T当
???? ???? nFT 20
§ 3.4非周期信号的频谱分析
---傅立叶变换 (FT）
一,从傅立叶级数到傅立叶变换
注意, 既然复振幅都为无穷小量，但它们并不是同样大小，其相
对值之间仍有差别，为表征这种差别，引入一个新的物理量 ----
频谱密度函数,
F)
T
1(F lim)(
n ?? ?? nTFjF T?
由 ②式有 dttjn ωe(t )f
TTTF (j
T
T T
02
2
1lim) ???
??? ??
0
0
0
0
0
2
)(lim
)(lim
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
?
??
?
??
??
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tjn
tjn
e
jnF
e
T
jnF
tf
T
T
由①式有
0
③??? dttjef ( t ))F( j T ωn ω - ?? ?????
?
?
?
?
④????
?
? dejFtf tj??? ?
?? )(2
1)(
将③、④和①、②比较,
结论, 1、④表示非周期信号可分解一系列连续的角频率
为 ω 的指数信号的迭加 -------求和变成积分，离散谱变
成连续谱。
2、指数信号的复振幅为, 其中 F(jω)的物理含义
可由定义得到。 ??2 )(jF
① )()( 00?? ?
??
tjnejnFtf
nT
?? ②? ??
?
2
2
0
0 )(
1)( T
T tn dt
tjnetf
TjnF
??
④ )(2 1)( ???? dtjejFtf ?? ??? ③dttjef (t ))F (j - ?? ??? ??
f
FFTF nn
n f ????? ??????
lim2limlim)F ( j
00T ?
??
?即：
可见,F(jω)表示单位频带的复振幅 ------频谱
密度函数（频谱）
3、非周期信号 f (t)和它的频谱密度函数之间有一、
一对应关系 ----------,付氏变换对”，两者可以互
求：
)]([)()(
2
1)(
)]([)( )()(
1 ???
?
??
?
?
jFFtfdejFtf
tfFjFdtetfjF
tj
tj
??
??
?
??
?
????
????
即
)()( ?jFtf ?
二、频谱密度函数 F(jω)的特性
1,f(t)为实函数,F(jω)一般是 ω 的复函数。
dtetfjF tj? ??? ?? ?? )()( ? ???? ????? t d ttfjt d tCo stf ?? s i n)()(
)j X ()R( ?? ?? )(j-e|)F ( j| ????
的奇函数虚部为
的偶函数实部为
其中，
???
???
)- X ( -)X(
)R ( -)R(
?
?
的奇函数幅角为
的偶函数模为
?????
????
)(--)(
)(|F ( j|)F(
?
??? F
信号的相位谱的关系
信号的振幅谱的关系画出
---- )(
---- )F(
???
??
?
?
2,实偶函数的频谱是实偶函数
即 f (t)= f (- t ),则 F(jω)=R(ω)
3,实奇函数的频谱是虚奇函数
即 f (t)= -f (-t),则 F(jω)=jX(ω)
4,偶函数的频谱是偶函数
即 f (t)= f (-t),则 F(-jω)=F(jω)
证明：
∵f (t) Sinωt ---奇函数 ∴
X(ω)=0
∵f (t)Cosωt ---奇函数 ∴
R(ω)=0
? ?
?
??
??
?
??
??
?
??
????
???
)( )()(-
- t )()(
?????
??
????
?
jFdefdef
dtetfjF
jj
tj 令
三、求取频谱的方法
dtetfjF tj?? ?????? )()(
① 根据周期信号的复振幅求 F(jω)
F(jω) = T Fn 把 nω0 ----> ω
② 根据定义：
③ 借助常用信号的频谱及 FT性质
5、奇函数的频谱是奇函数
即 f (t)= -f (- t),则 F(-jω)= - F(jω)
例 1.求
)F ( j)( ?? 的频谱tG
)(tG?
t0
2
?2??
1
)
2
()(
??
?? SatG ?
即
ω?
?2
0
F(jω)
)
2
(F 0n ??? nSa
T
??解
)2(TF)F ( j n ???? Sa???
t
)(t?
0
1)F(j ?
ω0
)F ( j )(.2 ?? 的频谱求例 t
dtett tj? ?? ??? - )(])(F[)F ( j ????解：
1 1)(
-
??? ? ?
?
dtt?
1)( ?t?
? ?)(de)()( j tfFttfjF t ?? ? ??? ? ??
? ? ? ?? ????? ? jFFejFtf t 1j d2 1)( ??
??
?? ?
? ? ? ??jFtf ? 简写
这里将 F(jω)称做 f(t)的 傅立叶变换,
而 f(t)称做 F(jω)的 傅立叶逆变换
①
②
? ? ?? ? deπ2 1)( j tFtf ? ?
??
?
▼．傅里叶变换的物理意义
? ? ?? ??? deeπ2 1 j)(j tF? ?
??
?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ?????
?????
ds i n
π2
1
j
dc os
π2
1
??
??
?
?
?
??
?
??
tF
tF
? ? ? ?? ? ?????? dc o s1
0
?? ? ? tF
? ? ? ?? ?????
?
? ?? ? ? tF c o sd
0
实函数
? ? ? ? ? ????? jeFF ?
欧拉公式
积分为 0
? ? ? ? ? ?? ?????? ?? ? ? tFtf c o sdπ
0
? ?
??
?
?
?
?
?
?
0,,
d
π
1
频域范围之和
的连续余弦信号无穷多个振幅为无穷小 ??F
求和 振幅 正弦信号
? ?
。域信号之和，占据整个频
的连续指数无穷多个幅度为无穷小
????
?
?
?
?
?
?
:,
d
2
1
?
??
?
F
? ? ? ? tt FFtf ?? ???? jj edπ2deπ2 1)( ??? ?? ?
??
?
??
◢．傅里叶变换存在的条件
所有能量信号均满足此条件。
? ?绝对可积即 tf
? ? )( d 充分条件有限值?? ??? ttf
? ?
函数类型大大扩展了。
傅里叶变换的函数的概念后，允许作当引入 ??
一．门函数
? ? ?
?
?? 2
2
j de
?
?
?? tEjF t 2
2
je
j
?
?
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? ?
?
??
tE
j2
ee
.
2
2
j
2
j
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E
2
2
s in
??
??
?
?
?
?
?
?
?
? E
??????? 2Sa ???E
? ? ??????? 2Sa ???? EjF幅度频谱：
相位频谱：
? ?
? ?
? ? ? ?
?,2,1,0
π222π122
π
π122π4
0
?
?
?
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??
?
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??
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? n
nn
nn
?
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???
E
O
? ?tf
t
2?2??
§3.5 典型非周期信号的频谱
???
1π2 ??
fBB 或
频谱图
? ? ?
?
??
?
??
2Sa
???? EjF幅度频谱
相位频谱 带宽,?
? ???
?π20 ?π4
?π2?
π
π?
?
? ??F
?E
?π2O ?π4
?π2?
F(jω)
?
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?E
?π2O ?π4?π2?
|F(jω)|
? ? ? ?
? ?? ?
??
???
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ttuE
tfjF
tt dee
)(
j??
? F
? ?
?
?
?
?
??? ?
0 0
00e
t
tEtf t ??
二．单边指数信号
? ?
??
??
j
de
0
j
?
?
? ?
?
??
E
tE t
? ?tf
O t
E
频谱图
? ? 22
??
?
?
? EjF
? ?
? ???
?
?
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????
??
0,
,0
??
?
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jF
E
jF
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? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
??
2
π
,
2
π
,
0,0
???
???
??
幅度频谱：
相位频谱,?
O
? ???
2π?
2π ?
? ??F
O
?
E
|F(jω)|
三、双边指数信号 ---- | t|ae?
22
211
e e
e
)()
0
t t -0
-
t t
-
t| t |-
-
t
?
??
??
?
?
?
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???
? ??? ??
? ??
??
? ?
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?
?
?
?
?
a
a
jaja
dtedte
dte
dtetfF (j ω
jaja
ja
j
?
f (t)
t
1
)(?F
a0
a1
a2
?
即
0)( 2)(
22
??? ???? aajF
22
| | 2
a
ae ta
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??
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t
1
1?
)s gn ( t
O? ? ??
?
??
????
0,1
0,1s g n)(
t
tttf
四．符号函数
处理方法：
? ? ?? ? ???? ? ??? 0 j0 j1 deedee ttjF tttt ?????
22
2j
j
1
j
1
??
?
???? ?
??
???
??
? ? ? ? ??? ???
?? j
22j
22
0
1
0
limlim ?????
??
jFjF
te??
te ??
? ? ? ? ? ?
? ?。求极限得到
，，求
?
??
jF
jFttf t 11 es g n ??
做一个双边函数
不满足绝对
可积条件
? ? 2je22jj 2s g n ???? ?????t
频谱图
? ?是偶函数?jF
? ?是奇函数??
O ?
2
π
2
π
?
? ???
? ? ??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
??
? 22
2
jF
?
?
?
??
?
?
?
??
?
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0,
2
π
0,
2
π
0
2
ar c t an
?
?
?
?
2
?
)( ?F
O
|F(jω)|
? ?? ??? ?? ttjF t de)( j???
五．冲激函数和冲激偶函数
? ? ???? ????? Bt,01 时的矩形脉冲，看作
1?
tO
? ?1
? ?tf ? ??F
1
?O
F(jω)
冲激偶的傅里叶变换
? ? ? ? ? ?? ??? ???? 0d ftttf ?
? ?? ? ? ?
? ?
? ? ??
??
?
?
jj
e
de
0
j
j
????
?
??
???
?
?
?
??
?
?
t
t
t
tttF
n( n )
/
) j(( t )
j( t ) )(
??
????
?
?? 同理可得jjF
??????? tEtf,)(
六．直流信号
不满足绝对可积
条件，不能直接
用定义求 ? ??F
tO
? ?tf 1
?? ?
E
???
? ???EE π2?
tO
? ?tf
E
推导
? ? tEjF t de jlim ???
?
? ??
?? ?
?
?
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? ?
?
?
?
?
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??
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?? j
e jl i m tE
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????
? j
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?
?? ?
??
E
? ?
?
??
?
s i n2l i m
??
? E
? ?
??
???
?
s i n
ππ2 lim ??? E
? ???Eπ2?
? ???EE π2?
? ? )(Saπl i m ?????
?
?
??
时域无限宽，频带无限窄
?O
? ?Eπ2
? ??F
F(jω)
? ???π21 ? ? ? ?j 1s gn21 ?t
七．单位阶跃函数
O
t
1
? ?tu
? ? ? ?ttu s g n2121 ??
O
t
2
1
2
1
?
? ?ts g n
2
1
O
?
? ?π
O
? ?
O
? ??F
? ?π
? ? ??? j 1π)( ??tu
O t
2
1
主要内容
对称性质 线性性质
奇偶虚实性 尺度变换性质
时移特性 频移特性
微分性质 时域积分性质
卷积定理 能量定理
§ 3,6 傅立叶变换的基本性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭
示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内
在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
?了解特性的内在联系；
?用性质求 F(jω)；
?了解在通信系统领域中的应用。
? ? ? ? ???? j1π ??jF
一．线性性质
1．性质
例求阶跃信号
)()(,)()( 2211 ?? jFtfjFtf ??若
为常数则 2122112211,)()()()( ccjFcjFctfctfc ?? ???
? ??tu ? ? ?? ts g n
2
1
2
1
f(t)
2
1
t-1 1 2-2
)F ( j ?图示信号的频谱求例
)()(f( t ) f 21 tft ???解
)2()(G ???? Sat ?
f2(t) f1(t)
t t
1
1-1 2-2
)(2)(
)2(4)(
2
1
?
?
Satf
Satf
?
??
)(2)2(4)( ?? SaSatf ???
)()( ?jFtf ?若 ? ? ? ???? ftF π2则
? ? ? ??ftF π2?则
二．对称性质
1．性质
2,意义
? ?tFtF ??? )()( 相同，形状与若
? ? ? ?
。幅度差
形状相同，的频谱函数形状与则
π2
,)( ??ttftF
? ?为偶函数若 tf
例 求 Sa(ω 0t )的频谱函数 F(jω )
)2()(G ???? Sat ??解,1
0?
?
0
2
?
?
0?
??
0
2
?
??
Sa(ω 0t)
t)(G2t)2S a ( ??
??
??则
)2(
2
0
0 ?
?
?
??? ??令
)(t)S a (
02
0
0 ??
??
?G??
)( ?jF
??2??2???4? ??4 ?
?
t
)(G t?
t2??
1
?
)( ?jF
0?
?
0?0??
三、时移特性
信号时延，其幅度谱不变而相位谱产生附加相移 )( 0t??
)()( ?jFtf ?
00)()( 0 tjejFttf ?? ???
00)t-(t 1( t ) 0 tje ??? ?????特别：
? ???? ???? dtettfttfF tj ?)()([ 00
令 x=t-t0,那么有
)]([()([ 0 xfFttfF ??
? ???? ??? dxexf txj )( 0)( ?
? ???? ??? dxexfe xjtj ?? )(0
)(0 ?? jFe tj ?? ?
t
)(G t?1
2
?2??
1 )2(G ?? ?t
t
??
之相位谱求例 )
2
( 1 ?? ?tG
之相位谱如图解,)( tG ?
之相位谱如图则 )2( ?? ?tG
??2 ??4 ??6 ?
?
)(??
???2 ??4 ??6
??2
)(??
例 2 求图 (a)所示三脉冲信号的频谱。
? ?tf
t
2
?
2
?
?
TT?
E
( a ) 三脉冲信号的波形
O
解：
? ?
? ?,0
0
?jF
tf
信号，其频谱函数
表示矩形单脉冲令
? ? ?
?
??
?
???
2Sa0
???? EjF
?
?
π2
? ??
0
F
?E
O
(b)
?
?
π2
? ??
0
F
?E
O
因为
? ? ? ? ? ? ? ?TtfTtftftf ????? 000
? ?
? ?,为的频谱函数
数由时移性质知三脉冲函
?jF
tf
? ? ? ?? ?
? ?? ?TE
jFjF TT
?
??
?
?? ??
c os21
2
ee1 jj0
??
?
?
?
?
???
??? ?
Sa
脉冲个数增多，频谱
包络不变，带宽不变。
F0(jω)
?
? ??F
O
T
π2
?E3
( c ) 三脉冲信号的频谱
T
π4
?
π2
F(jω)
)()( ?Ftf ?若
? ?
? ? 号为常数，注意则 ???
?
?
?
??
??
? 0
0
j
0
j
][e)(
][e)(
0
0
?
??
??
?
?
jFtf
jFtf
t
t
2．证明
1．性质
四,频移特性
? ? ? ?? ??? ?? ttftf ttt dee)(e)( jjj 00 ???F
? ?? ?
??
??? ttf t de)( 0j ??? ?][ 0?? ?? jF
3．说明
4．应用
0j,e)( 0 ?? 右移频域频谱搬移乘时域 ttf
0j,e)( 0 ?? 左移频域频谱搬移乘时域 ttf ?
通信中调制与解调，频分复用。
?
)(?F
O
F(jω)
O ?
)( 0?? ?F
0?
F[j(ω-ω0)]
O ?
)( 0?? ?F
0??
F[j(ω+ω0)]
一个信号在时域中与因子
tje 0?
相乘，等效于在频域中将整个
频谱右移了 ω 0----调制。
在实用中，常把时间函数与正 弦 函数相乘来实现调制。
? ?
? ?)]([)]([
2
f ( t ) S i n
)]([)]([
2
1
f ( t ) C o s
)(
2
1
S in ),(
2
1
C o s
000
000
00
0000
?????
?????
??
????
????
?????
????
??
jFjF
j
t
jFjFt
ee
j
teet
tjtjtjtj
?
以矩形脉冲的调制过程为例
t
? ?tf
o
2
?
?
2
?
E
( a ) 矩形调幅信号的波形
?
?
?
π2
0 ?
0?
O
0??
2
?E
? ??F
( b ) 矩形调幅信号的频谱
?
? ??F
?E
?π2O ?π4
?π2?
G(jω)
E
O
? ?tf
t
2?2??
Gτ(t)
f(t)=G(t)cosω0t
G(t) Gτ(jω)=EτSa(ωτ/2)
F(jω)=1/2[Gτ(ω+ω0)+Gτ(ω-ω0)
F(jω)
)]()([S i n
)]()([C o s
)(2e
)(2e
)(21
S i n,C o s,e
000
000
0
j-
0
j
00
j
0
0
0
????????
????????
????
????
???
??
?
?
?
????
????
??
???
?
jt
t
tt
t
t
t
故
解：
频谱求例
?
? ?? ?atfF
? ?? ?atfF
? ?? ? ?
?
??
?
??
aFaatfF
?1综合上述两种情况
? ?? ? ? ? tatfatfF t de j ???????证明,
xataxtatxa d1d,,0)1( ????,令当
x
a
tx
aa
x
ttaatx
aaa
d
1
d,
1
,
,0)2(
????????
???
令
，当
?
?
??
?
??
aFa
?1? ?
xxfa a
x
de1 j ???
???
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??
?
??
aFa
?1
? ? xxf
a
xa de1 j ???
???
?? ? xxf
a
a
x
de1 j ????
???
??
五．尺度变换性质
? ? 为非零函数则若 aajFaatfjFtf,1),()( ?
?
??
?
??? ??
物理意义
(1) 0<a<1 时域扩展, 频带压缩 。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展 a倍。
? ? ? ? ? ? ? ?。?? jFjFtftfa ??????,1 )3(
信号时域中压缩了 α 倍，在频域中频谱就扩
展 α 倍，反之亦然 。
o t
E
2
?
?
2
?
? ?tf
o t?? ?
?
?
?
?
?
?
2
t
f
E
o
?
?E2
?
π
?
? ??22 F
?
π(1) 0<a<1 时域扩展, 频带压缩 。
脉冲持续时间增加 a倍, 变化慢了, 信号在频域的频
带压缩 a倍 。 高频分量减少, 幅度上升 1/a倍 。
o
?
?E
?
π2
?
? ??F
?
π2
)( ?jF
)2(2 ?jF
o
t
4
?
?
4
?
? ?tf 2
E
持续时间短, 变化快 。 信号在频域高频分量增加, 频
带展宽, 各分量的幅度下降 a倍 。
此例说明,信号的持继时间与信号占有的频带宽度成
反比, 有时为加速信号的传递, 要将信号持续时间压
缩, 则要以展开频带为代价 。
（ 2） a>1 时域压缩，频域扩展 a倍。
o ?
2
?E
?
π4
?
?
?
?
?
?
?
22
1 ?
F
?
π4
)2(21 ?jF
)()(j)( * ??? jFXR ???
? ? ? ?为奇函数为偶函数 ?? XR,
)(j)()( ??? ????? XRjF
? ? ? ? ? ?共轭为实函数时当 ?? jFjFtf *,??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? jFjFjFtftfa *,1 )3( ???????
)(
||
1)(
a
jFe
a
batf
t
a
bj ???
??
时移和尺度变换相结合有：
1．时域微分
)(j)()()( ??? jFtfjFtf ???,则
? ? ? ? )(j )( ?? jFtf nn ?一般情况下
? ? ? ?
? ? n
n tfF
jF
?
?
j
)(
?则? ?，若已知 )( tfF n
? ?,)(j)( ?? jFtfF ??
?
?
?
? ?90j,相位增加
幅度乘 ?
六．微分性质
? ???? ??? ? de)(2 1)( j tjFtf
? ? ? ????? ???? ? dej)(2 1 j tjFtf
)(jj)()( ???? jFjFtf ???
? ? )(j)( ?? jFtfF ??
时域微分性质 证明
即
? ? ? ? )(j )( ?? jFtf nn ?同理可得：
求三角函数的频谱密度函数．
例题
o
? ?tf
t
2
?
?
2
?
E
o
?
? ??F
2
?E
?
?4
?
?4
?
F(jω）
?
??
??
?? dtetfjF tj ?? )()(一般方法：
分析 o
? ?tf
t
2
?
?
2
?
E
方波三角形函数 求导 ?? ??
o
? ?tf ?
t
2
?
?
2
??
E2
冲激函数方波 求导 ?? ??
o
? ?tf ??
t
2
?
?
2
?
?
?
?
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E2
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E2
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?
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?
E4
X
? ? ? ? ? ????? jFjF 22j ???
? ? ?????? ???? ? 2j2j2 e24e21 ???? ????? EEEjF
? ?? ? ? ?? ?
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? ???? ttEtEtEtfF t de
2
24
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2 j ???
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? 2j2j
2 e2e
21 ????
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E
2
2
2
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2 4s i nj2
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2
2
2
2
2 4
Sa
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4
4
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8
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?
?
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???
??
??
??
??
EE
2j2j e24e2 ????
???
???? EEE
解
X
注意 ★
如果 f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶
变换，余下部分再用微分性质。
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
?
?
???
j
1
πt
j
1
)(,1
),s g n (
2
1
2
1
)()(
π
2
1
t
222
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
??
u
tftftf
ttutf
jFu
t微分
余下部分
直流
2
1
o t
? ?tf 1
1
o t
? ?tu
o t
? ? ? ?? ?
t
tftu
d
d 1?
? ?1
阶跃信号 u(t)的导数为 δ（ t)，它们的傅立叶变换满足微分特性吗？
),()( ?Ftf ?若 ? ?
?
?
d
dj)( Fttf ?则
? ?
?
?
d
d)(j Fttf ??或
? ? ? ?nnn Ftft ? ?dd)(j ??
2．频域微分性质
或
? ? ? ??nnn Ftft j)( ?
推广
? ??? ?? ttfjF t de)()( j??
? ??? ??? tttfd jdF t de)j)(()( j ?? ?
频域微分性质 证明
? ?
?
?
d
d)(j jFttf ??即
? ? ? ?nnn jFtft ? ?dd)(j ??同理有
例
? ? ? ?? ?tftF 2?解：
? ? ? ?? ?？，求已知 ??? tftFjFtf 2)()( ?
? ?
? ? ? ???
? jFjF 2
d
dj ??
? ? ? ?? ?tfttfF 2??
1?? nn tt
? ? ? ???? jF?? π21
? ?
?
?
d
dj1 jFt ??
例 3
解：
? ? ? ?
2
2
d
djj1
?
?
?
?
?
?????
?
?jFtt
??
? ? ? ? ? ? ? ?? ?nnnnnnn jFt ? ??? ? d π2djddj1 ???
? ?ntF求
七．时域积分性质
? ? ? ?，则若 ?jFtf ?
? ? ? ? ? ?? ??? jd00 jFfF t ?? ?
??
时，
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? j0πd00 jFFfF t ??? ?
??
时，
也可以记作：
??
?
??
? ?? )(π
j
1)( ??
??jF
时域积分性质 证明
? ?? ???? ??? ?????? tf tt ded j ???
? ? ? ?? ???? ???? ?????? ?? ttuf t ded j ????
变上限积分用带时移的
单位阶跃的无限积分表
示, 成为 ? ? ? ?tutf ?
? ? ? ? ??? ? dde j? ???? ???? ?????? ?? ttuf t交换积分顺序,即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
?后先 t
? ? ? ? ?
????
?? de
j
1π j? ?
??
??
?
?
??
? ?? f
常数，移到积分外
为而言对积分变量 ??
? ? ? ? ??
???
?? de
j
1π j? ?
??
?
???
?
???
? ?? f
? ? ? ? ????? ?? dej 1π j? ?
??
??
?
?
??
? ?? f
? ? ? ????? jF?
?
?
??
? ??
j
1π
? ? ? ? ? ?????? jFjF j 1π ??
? ? ? ? ? ????? j0π jFF ?? ? ? 则第一项为零如果,00 ?F
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????????? j0πj 1πd jFFjFft ???
?
?
??
? ????
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
??
? ???
???? j
1πjFtutf
例
1,求单位阶跃函数的傅里叶变换 。
? ??? t tttu d)()( ?已知 1)( ?t?
)(πj 11)(πj 1)( ?????? ?????tu则
?
?
??
?
??
2Sa)(
???
? tG
? ? 00)0S a ( ?? F，知由 ?
? ? ? ? ?
?
??
?
???
?????? ? ?? 2Sajπd
??
?
??????
?
t GF
? ? ? ? ?
?
??
?
????
?? 2
Sajπd ??????????t G
? ?积分的频谱函数。求门函数 tG ?.2
t
)( tG ?
O
2
?
?
2
?
1
解：
解：
t
)(
1
tG
?
?
?
O
2
?
?
2
?
八．卷积定理
? ? ? ? ? ? ? ??? jFtfjFtf 2211,??若
? ? ? ? ? ? ? ??? jFjFtftf 2121 ???则
? ? ? ? ? ? ? ??? jFtfjFtf 2211,??若
? ? ? ? ? ? ? ??? jFjFtftf 2121 π2 1 ???则
倍。各频谱函数卷积的时间函数的乘积 π21 ?
?时域卷积定理
时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。
?频域卷积定理
时域卷积定理的证明
? ? ? ?? ?tftfF 21 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ??? d2121 ??? ? ??? tfftftf
因此
? ? ? ?? ? ? ? ? ??? jFjFtftfF 2121 ??
所以
卷积
定义
交换积分
次序
? ? ? ? ??? ? dde j21 ?????? ?? ??????? ?? ttff t
? ? ? ? ??? ?? de j21 ?????? jFf
时移
性质
? ? ? ? ttff t ded j21 ???? ???? ???? ? ?????? ??
?求系统的响应。
? ? ? 的傅里叶变换。求 ?
??
t f ?? d
? ?? ??t f ?? d
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?????????? j0πj 1d jFFjFft ???
?
?
??
? ????
??
将时域求响应，转化为频域求响应。
? ?tf ? ?
th ? ?tg
? ? ? ? ? ?thtftg ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? jGFtgjHjFjG 1????
二．应用
?用时域卷积定理求频谱密度函数。
? ? ? ?? ??? ?? ??? dtuf ? ? ? ?tutf ??
卷积定理揭示了 时间域 与 频率域 的运算关系，在通信
系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
例 1 ? ? ? ? ? ?
? ?。频谱密度函数
的，求已知
?
??
?
jF
tftftfEtf
2
Sa)( 111 ???
?
?
?
?
?
?
? ?? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
????
2Sa
222
11
????? EjFjFtfF
t
)(1 tf
O
2
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2
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E
t
? ? ? ?tftf 11 ?
?2E
O?? ?
X
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?E
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F1(jω）
o ?
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22
?E
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?2
?
?2
?
F(jω）
)(tf
t0 1 32-1-2-3
1
。的频谱求图示信号例 )()(2 ?jFtf
)S a ( 4 C o s 2
)e2 S a ()e2 S a ()F ( j
)2()()2()()(
j2-j2
22
??
???
??
??
??
???
?????? ttGttGtf?
? ?
)(
2
1
)(
2
1
)(
)]()()([)(2
2
1
)(
)]()([
)(
2
1
)(2)(G
2
?????
????????????
?
?
????????
????
??????
??????
????
??
SaSaSa
SajF
tC o s
Sat?
的门信号。是宽度为
。（求图示信号的频谱例
2( t )G
( t )t ] Gc o s1[
2
1
f ( t ))jF3
2
2?? ??
)(tf
1-1 0
例 4、求图示信号的频谱
F(j )。?
)(tf
t
1
1
-1
-1
)(2 tf)(1 tf
t
t1
1
-1
-1
0 0
0
?
?
? ?
)
2
10
(
2
1
)
2
10
(
2
1
)]10()10([*)
2
(
2
1
)(
)
2
S a ()( ),( *)( )(
)10()()()()(
22
2
1111
121
????
????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??
???
SaSa
SajF
tGtGtGtf
tC o stftftftf
而
)( ?jF
?
?10?10?
九、能量定理（帕斯瓦尔定理）
??
?
?
djFdttf
jFtf
22 |)(|
2
1
|)(|
)()(
??
?
??
?
??
?
?
即,能量有限的非周期信号，能量既可按单位
时间内的能量 在整个时间内积分算出，也
可按单位频带内的能量 在整个频带范围积
分算出。
2|)(| tf
?
?
2
|)(| 2jF
例 1、已知 求 所包含的能量 。)(10)( tUetf t?? )(tf
J
tgdw
FjF
e
j
jFtf
Jdtedtedttfw
tg
tt
50)]
2
(
2
[
50
][
50
1
100
2
1
1
10
)(|)(|
1
10
1
10
)()(
50100)10()]([
1
2
2
2
2
0
2
0
2
1
????
?
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??
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??
??
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??
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???
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??
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
另外：
解：
例 2、计算积分
dtatSa )(2????
a
d
a
dtatSa
jFatSa
a
a
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
?
?
??
?
?
)(
2
1
)(
)()(
22
||
|| 0
?解
傅立叶变换性质小结：
1、线形特性
2、对偶性
时域 时移 微分 卷积 能量
频域 频移 微分 卷积 能量
3、卷积定理
① 时域卷积 ---------时移、微分、积分
)()(*)()(
)()(*)()(
0
00
???
??
?
jFjttftf
ejFtttfttf
tj
????
????
?
微分：
时移：
]
1
)([*)()(*)()(
- ?
??????
j
jFtUtfdf
t
????
?
积分：
②, 频域卷积 ------频移、微分
)()](*)(2[
2
1
)(
)]([)](2*)([
2
1
).(
00
0
?
?
????
?
???????
?
?
jF
d
d
jjFjtft
jFjFetf
tj
???
????
微分：
频移：
2000.09.28
①????
??
? tjnnT ejnFtf 0)()( 0 ??
②???
?
?? 2
2
0
0)(1)(
T
T
tjn
tn dtetfTjnF
??
??T当
???? ???? nFT 20
§ 3.4非周期信号的频谱分析
---傅立叶变换 (FT）
一,从傅立叶级数到傅立叶变换
注意, 既然复振幅都为无穷小量，但它们并不是同样大小，其相
对值之间仍有差别，为表征这种差别，引入一个新的物理量 ----
频谱密度函数,
F)
T
1(F lim)(
n ?? ?? nTFjF T?
由 ②式有 dttjn ωe(t )f
TTTF (j
T
T T
02
2
1lim) ???
??? ??
0
0
0
0
0
2
)(lim
)(lim
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
?
??
?
??
??
??
tjn
tjn
e
jnF
e
T
jnF
tf
T
T
由①式有
0
③??? dttjef ( t ))F( j T ωn ω - ?? ?????
?
?
?
?
④????
?
? dejFtf tj??? ?
?? )(2
1)(
将③、④和①、②比较,
结论, 1、④表示非周期信号可分解一系列连续的角频率
为 ω 的指数信号的迭加 -------求和变成积分，离散谱变
成连续谱。
2、指数信号的复振幅为, 其中 F(jω)的物理含义
可由定义得到。 ??2 )(jF
① )()( 00?? ?
??
tjnejnFtf
nT
?? ②? ??
?
2
2
0
0 )(
1)( T
T tn dt
tjnetf
TjnF
??
④ )(2 1)( ???? dtjejFtf ?? ??? ③dttjef (t ))F (j - ?? ??? ??
f
FFTF nn
n f ????? ??????
lim2limlim)F ( j
00T ?
??
?即：
可见,F(jω)表示单位频带的复振幅 ------频谱
密度函数（频谱）
3、非周期信号 f (t)和它的频谱密度函数之间有一、
一对应关系 ----------,付氏变换对”，两者可以互
求：
)]([)()(
2
1)(
)]([)( )()(
1 ???
?
??
?
?
jFFtfdejFtf
tfFjFdtetfjF
tj
tj
??
??
?
??
?
????
????
即
)()( ?jFtf ?
二、频谱密度函数 F(jω)的特性
1,f(t)为实函数,F(jω)一般是 ω 的复函数。
dtetfjF tj? ??? ?? ?? )()( ? ???? ????? t d ttfjt d tCo stf ?? s i n)()(
)j X ()R( ?? ?? )(j-e|)F ( j| ????
的奇函数虚部为
的偶函数实部为
其中，
???
???
)- X ( -)X(
)R ( -)R(
?
?
的奇函数幅角为
的偶函数模为
?????
????
)(--)(
)(|F ( j|)F(
?
??? F
信号的相位谱的关系
信号的振幅谱的关系画出
---- )(
---- )F(
???
??
?
?
2,实偶函数的频谱是实偶函数
即 f (t)= f (- t ),则 F(jω)=R(ω)
3,实奇函数的频谱是虚奇函数
即 f (t)= -f (-t),则 F(jω)=jX(ω)
4,偶函数的频谱是偶函数
即 f (t)= f (-t),则 F(-jω)=F(jω)
证明：
∵f (t) Sinωt ---奇函数 ∴
X(ω)=0
∵f (t)Cosωt ---奇函数 ∴
R(ω)=0
? ?
?
??
??
?
??
??
?
??
????
???
)( )()(-
- t )()(
?????
??
????
?
jFdefdef
dtetfjF
jj
tj 令
三、求取频谱的方法
dtetfjF tj?? ?????? )()(
① 根据周期信号的复振幅求 F(jω)
F(jω) = T Fn 把 nω0 ----> ω
② 根据定义：
③ 借助常用信号的频谱及 FT性质
5、奇函数的频谱是奇函数
即 f (t)= -f (- t),则 F(-jω)= - F(jω)
例 1.求
)F ( j)( ?? 的频谱tG
)(tG?
t0
2
?2??
1
)
2
()(
??
?? SatG ?
即
ω?
?2
0
F(jω)
)
2
(F 0n ??? nSa
T
??解
)2(TF)F ( j n ???? Sa???
t
)(t?
0
1)F(j ?
ω0
)F ( j )(.2 ?? 的频谱求例 t
dtett tj? ?? ??? - )(])(F[)F ( j ????解：
1 1)(
-
??? ? ?
?
dtt?
1)( ?t?
? ?)(de)()( j tfFttfjF t ?? ? ??? ? ??
? ? ? ?? ????? ? jFFejFtf t 1j d2 1)( ??
??
?? ?
? ? ? ??jFtf ? 简写
这里将 F(jω)称做 f(t)的 傅立叶变换,
而 f(t)称做 F(jω)的 傅立叶逆变换
①
②
? ? ?? ? deπ2 1)( j tFtf ? ?
??
?
▼．傅里叶变换的物理意义
? ? ?? ??? deeπ2 1 j)(j tF? ?
??
?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ?????
?????
ds i n
π2
1
j
dc os
π2
1
??
??
?
?
?
??
?
??
tF
tF
? ? ? ?? ? ?????? dc o s1
0
?? ? ? tF
? ? ? ?? ?????
?
? ?? ? ? tF c o sd
0
实函数
? ? ? ? ? ????? jeFF ?
欧拉公式
积分为 0
? ? ? ? ? ?? ?????? ?? ? ? tFtf c o sdπ
0
? ?
??
?
?
?
?
?
?
0,,
d
π
1
频域范围之和
的连续余弦信号无穷多个振幅为无穷小 ??F
求和 振幅 正弦信号
? ?
。域信号之和，占据整个频
的连续指数无穷多个幅度为无穷小
????
?
?
?
?
?
?
:,
d
2
1
?
??
?
F
? ? ? ? tt FFtf ?? ???? jj edπ2deπ2 1)( ??? ?? ?
??
?
??
◢．傅里叶变换存在的条件
所有能量信号均满足此条件。
? ?绝对可积即 tf
? ? )( d 充分条件有限值?? ??? ttf
? ?
函数类型大大扩展了。
傅里叶变换的函数的概念后，允许作当引入 ??
一．门函数
? ? ?
?
?? 2
2
j de
?
?
?? tEjF t 2
2
je
j
?
?
?
? ?
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??
tE
j2
ee
.
2
2
j
2
j
?
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E
2
2
s in
??
??
?
?
?
?
?
?
?
? E
??????? 2Sa ???E
? ? ??????? 2Sa ???? EjF幅度频谱：
相位频谱：
? ?
? ?
? ? ? ?
?,2,1,0
π222π122
π
π122π4
0
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
? n
nn
nn
?
?
?
?
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???
E
O
? ?tf
t
2?2??
§3.5 典型非周期信号的频谱
???
1π2 ??
fBB 或
频谱图
? ? ?
?
??
?
??
2Sa
???? EjF幅度频谱
相位频谱 带宽,?
? ???
?π20 ?π4
?π2?
π
π?
?
? ??F
?E
?π2O ?π4
?π2?
F(jω)
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?π2O ?π4?π2?
|F(jω)|
? ? ? ?
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??
???
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ttuE
tfjF
tt dee
)(
j??
? F
? ?
?
?
?
?
??? ?
0 0
00e
t
tEtf t ??
二．单边指数信号
? ?
??
??
j
de
0
j
?
?
? ?
?
??
E
tE t
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O t
E
频谱图
? ? 22
??
?
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? EjF
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0,
,0
??
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jF
E
jF
? ? ???? a r c t a n??
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?
?
?
?
?
????
?????
??
2
π
,
2
π
,
0,0
???
???
??
幅度频谱：
相位频谱,?
O
? ???
2π?
2π ?
? ??F
O
?
E
|F(jω)|
三、双边指数信号 ---- | t|ae?
22
211
e e
e
)()
0
t t -0
-
t t
-
t| t |-
-
t
?
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jaja
dtedte
dte
dtetfF (j ω
jaja
ja
j
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f (t)
t
1
)(?F
a0
a1
a2
?
即
0)( 2)(
22
??? ???? aajF
22
| | 2
a
ae ta
?
??
?
t
1
1?
)s gn ( t
O? ? ??
?
??
????
0,1
0,1s g n)(
t
tttf
四．符号函数
处理方法：
? ? ?? ? ???? ? ??? 0 j0 j1 deedee ttjF tttt ?????
22
2j
j
1
j
1
??
?
???? ?
??
???
??
? ? ? ? ??? ???
?? j
22j
22
0
1
0
limlim ?????
??
jFjF
te??
te ??
? ? ? ? ? ?
? ?。求极限得到
，，求
?
??
jF
jFttf t 11 es g n ??
做一个双边函数
不满足绝对
可积条件
? ? 2je22jj 2s g n ???? ?????t
频谱图
? ?是偶函数?jF
? ?是奇函数??
O ?
2
π
2
π
?
? ???
? ? ??
?
?
?
?
?
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??
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2
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0,
2
π
0,
2
π
0
2
ar c t an
?
?
?
?
2
?
)( ?F
O
|F(jω)|
? ?? ??? ?? ttjF t de)( j???
五．冲激函数和冲激偶函数
? ? ???? ????? Bt,01 时的矩形脉冲，看作
1?
tO
? ?1
? ?tf ? ??F
1
?O
F(jω)
冲激偶的傅里叶变换
? ? ? ? ? ?? ??? ???? 0d ftttf ?
? ?? ? ? ?
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??
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jj
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de
0
j
j
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t
t
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n( n )
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) j(( t )
j( t ) )(
??
????
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?? 同理可得jjF
??????? tEtf,)(
六．直流信号
不满足绝对可积
条件，不能直接
用定义求 ? ??F
tO
? ?tf 1
?? ?
E
???
? ???EE π2?
tO
? ?tf
E
推导
? ? tEjF t de jlim ???
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ππ2 lim ??? E
? ???Eπ2?
? ???EE π2?
? ? )(Saπl i m ?????
?
?
??
时域无限宽，频带无限窄
?O
? ?Eπ2
? ??F
F(jω)
? ???π21 ? ? ? ?j 1s gn21 ?t
七．单位阶跃函数
O
t
1
? ?tu
? ? ? ?ttu s g n2121 ??
O
t
2
1
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1
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? ?ts g n
2
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O
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O
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O
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? ?π
? ? ??? j 1π)( ??tu
O t
2
1
主要内容
对称性质 线性性质
奇偶虚实性 尺度变换性质
时移特性 频移特性
微分性质 时域积分性质
卷积定理 能量定理
§ 3,6 傅立叶变换的基本性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭
示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内
在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
?了解特性的内在联系；
?用性质求 F(jω)；
?了解在通信系统领域中的应用。
? ? ? ? ???? j1π ??jF
一．线性性质
1．性质
例求阶跃信号
)()(,)()( 2211 ?? jFtfjFtf ??若
为常数则 2122112211,)()()()( ccjFcjFctfctfc ?? ???
? ??tu ? ? ?? ts g n
2
1
2
1
f(t)
2
1
t-1 1 2-2
)F ( j ?图示信号的频谱求例
)()(f( t ) f 21 tft ???解
)2()(G ???? Sat ?
f2(t) f1(t)
t t
1
1-1 2-2
)(2)(
)2(4)(
2
1
?
?
Satf
Satf
?
??
)(2)2(4)( ?? SaSatf ???
)()( ?jFtf ?若 ? ? ? ???? ftF π2则
? ? ? ??ftF π2?则
二．对称性质
1．性质
2,意义
? ?tFtF ??? )()( 相同，形状与若
? ? ? ?
。幅度差
形状相同，的频谱函数形状与则
π2
,)( ??ttftF
? ?为偶函数若 tf
例 求 Sa(ω 0t )的频谱函数 F(jω )
)2()(G ???? Sat ??解,1
0?
?
0
2
?
?
0?
??
0
2
?
??
Sa(ω 0t)
t)(G2t)2S a ( ??
??
??则
)2(
2
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??? ??令
)(t)S a (
02
0
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??
?G??
)( ?jF
??2??2???4? ??4 ?
?
t
)(G t?
t2??
1
?
)( ?jF
0?
?
0?0??
三、时移特性
信号时延，其幅度谱不变而相位谱产生附加相移 )( 0t??
)()( ?jFtf ?
00)()( 0 tjejFttf ?? ???
00)t-(t 1( t ) 0 tje ??? ?????特别：
? ???? ???? dtettfttfF tj ?)()([ 00
令 x=t-t0,那么有
)]([()([ 0 xfFttfF ??
? ???? ??? dxexf txj )( 0)( ?
? ???? ??? dxexfe xjtj ?? )(0
)(0 ?? jFe tj ?? ?
t
)(G t?1
2
?2??
1 )2(G ?? ?t
t
??
之相位谱求例 )
2
( 1 ?? ?tG
之相位谱如图解,)( tG ?
之相位谱如图则 )2( ?? ?tG
??2 ??4 ??6 ?
?
)(??
???2 ??4 ??6
??2
)(??
例 2 求图 (a)所示三脉冲信号的频谱。
? ?tf
t
2
?
2
?
?
TT?
E
( a ) 三脉冲信号的波形
O
解：
? ?
? ?,0
0
?jF
tf
信号，其频谱函数
表示矩形单脉冲令
? ? ?
?
??
?
???
2Sa0
???? EjF
?
?
π2
? ??
0
F
?E
O
(b)
?
?
π2
? ??
0
F
?E
O
因为
? ? ? ? ? ? ? ?TtfTtftftf ????? 000
? ?
? ?,为的频谱函数
数由时移性质知三脉冲函
?jF
tf
? ? ? ?? ?
? ?? ?TE
jFjF TT
?
??
?
?? ??
c os21
2
ee1 jj0
??
?
?
?
?
???
??? ?
Sa
脉冲个数增多，频谱
包络不变，带宽不变。
F0(jω)
?
? ??F
O
T
π2
?E3
( c ) 三脉冲信号的频谱
T
π4
?
π2
F(jω)
)()( ?Ftf ?若
? ?
? ? 号为常数，注意则 ???
?
?
?
??
??
? 0
0
j
0
j
][e)(
][e)(
0
0
?
??
??
?
?
jFtf
jFtf
t
t
2．证明
1．性质
四,频移特性
? ? ? ?? ??? ?? ttftf ttt dee)(e)( jjj 00 ???F
? ?? ?
??
??? ttf t de)( 0j ??? ?][ 0?? ?? jF
3．说明
4．应用
0j,e)( 0 ?? 右移频域频谱搬移乘时域 ttf
0j,e)( 0 ?? 左移频域频谱搬移乘时域 ttf ?
通信中调制与解调，频分复用。
?
)(?F
O
F(jω)
O ?
)( 0?? ?F
0?
F[j(ω-ω0)]
O ?
)( 0?? ?F
0??
F[j(ω+ω0)]
一个信号在时域中与因子
tje 0?
相乘，等效于在频域中将整个
频谱右移了 ω 0----调制。
在实用中，常把时间函数与正 弦 函数相乘来实现调制。
? ?
? ?)]([)]([
2
f ( t ) S i n
)]([)]([
2
1
f ( t ) C o s
)(
2
1
S in ),(
2
1
C o s
000
000
00
0000
?????
?????
??
????
????
?????
????
??
jFjF
j
t
jFjFt
ee
j
teet
tjtjtjtj
?
以矩形脉冲的调制过程为例
t
? ?tf
o
2
?
?
2
?
E
( a ) 矩形调幅信号的波形
?
?
?
π2
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0?
O
0??
2
?E
? ??F
( b ) 矩形调幅信号的频谱
?
? ??F
?E
?π2O ?π4
?π2?
G(jω)
E
O
? ?tf
t
2?2??
Gτ(t)
f(t)=G(t)cosω0t
G(t) Gτ(jω)=EτSa(ωτ/2)
F(jω)=1/2[Gτ(ω+ω0)+Gτ(ω-ω0)
F(jω)
)]()([S i n
)]()([C o s
)(2e
)(2e
)(21
S i n,C o s,e
000
000
0
j-
0
j
00
j
0
0
0
????????
????????
????
????
???
??
?
?
?
????
????
??
???
?
jt
t
tt
t
t
t
故
解：
频谱求例
?
? ?? ?atfF
? ?? ?atfF
? ?? ? ?
?
??
?
??
aFaatfF
?1综合上述两种情况
? ?? ? ? ? tatfatfF t de j ???????证明,
xataxtatxa d1d,,0)1( ????,令当
x
a
tx
aa
x
ttaatx
aaa
d
1
d,
1
,
,0)2(
????????
???
令
，当
?
?
??
?
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aFa
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xxfa a
x
de1 j ???
???
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??
aFa
?1
? ? xxf
a
xa de1 j ???
???
?? ? xxf
a
a
x
de1 j ????
???
??
五．尺度变换性质
? ? 为非零函数则若 aajFaatfjFtf,1),()( ?
?
??
?
??? ??
物理意义
(1) 0<a<1 时域扩展, 频带压缩 。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展 a倍。
? ? ? ? ? ? ? ?。?? jFjFtftfa ??????,1 )3(
信号时域中压缩了 α 倍，在频域中频谱就扩
展 α 倍，反之亦然 。
o t
E
2
?
?
2
?
? ?tf
o t?? ?
?
?
?
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?
2
t
f
E
o
?
?E2
?
π
?
? ??22 F
?
π(1) 0<a<1 时域扩展, 频带压缩 。
脉冲持续时间增加 a倍, 变化慢了, 信号在频域的频
带压缩 a倍 。 高频分量减少, 幅度上升 1/a倍 。
o
?
?E
?
π2
?
? ??F
?
π2
)( ?jF
)2(2 ?jF
o
t
4
?
?
4
?
? ?tf 2
E
持续时间短, 变化快 。 信号在频域高频分量增加, 频
带展宽, 各分量的幅度下降 a倍 。
此例说明,信号的持继时间与信号占有的频带宽度成
反比, 有时为加速信号的传递, 要将信号持续时间压
缩, 则要以展开频带为代价 。
（ 2） a>1 时域压缩，频域扩展 a倍。
o ?
2
?E
?
π4
?
?
?
?
?
?
?
22
1 ?
F
?
π4
)2(21 ?jF
)()(j)( * ??? jFXR ???
? ? ? ?为奇函数为偶函数 ?? XR,
)(j)()( ??? ????? XRjF
? ? ? ? ? ?共轭为实函数时当 ?? jFjFtf *,??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? jFjFjFtftfa *,1 )3( ???????
)(
||
1)(
a
jFe
a
batf
t
a
bj ???
??
时移和尺度变换相结合有：
1．时域微分
)(j)()()( ??? jFtfjFtf ???,则
? ? ? ? )(j )( ?? jFtf nn ?一般情况下
? ? ? ?
? ? n
n tfF
jF
?
?
j
)(
?则? ?，若已知 )( tfF n
? ?,)(j)( ?? jFtfF ??
?
?
?
? ?90j,相位增加
幅度乘 ?
六．微分性质
? ???? ??? ? de)(2 1)( j tjFtf
? ? ? ????? ???? ? dej)(2 1 j tjFtf
)(jj)()( ???? jFjFtf ???
? ? )(j)( ?? jFtfF ??
时域微分性质 证明
即
? ? ? ? )(j )( ?? jFtf nn ?同理可得：
求三角函数的频谱密度函数．
例题
o
? ?tf
t
2
?
?
2
?
E
o
?
? ??F
2
?E
?
?4
?
?4
?
F(jω）
?
??
??
?? dtetfjF tj ?? )()(一般方法：
分析 o
? ?tf
t
2
?
?
2
?
E
方波三角形函数 求导 ?? ??
o
? ?tf ?
t
2
?
?
2
??
E2
冲激函数方波 求导 ?? ??
o
? ?tf ??
t
2
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?
2
?
?
?
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?
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?
?
E2
?
?
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?
?
E2
?
?
?
?
?
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E4
X
? ? ? ? ? ????? jFjF 22j ???
? ? ?????? ???? ? 2j2j2 e24e21 ???? ????? EEEjF
? ?? ? ? ?? ?
??
??
?
?
??
? ?
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??
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??
?
? ???? ttEtEtEtfF t de
2
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2
2 j ???
???
??
?
?????? ????
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2 e2e
21 ????
??
E
2
2
2
4j4j
2 4s i nj2
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????
???? EE
2
2
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Sa
2
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4
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s i n
8
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
??
??
EE
2j2j e24e2 ????
???
???? EEE
解
X
注意 ★
如果 f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶
变换，余下部分再用微分性质。
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
?
?
???
j
1
πt
j
1
)(,1
),s g n (
2
1
2
1
)()(
π
2
1
t
222
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
??
u
tftftf
ttutf
jFu
t微分
余下部分
直流
2
1
o t
? ?tf 1
1
o t
? ?tu
o t
? ? ? ?? ?
t
tftu
d
d 1?
? ?1
阶跃信号 u(t)的导数为 δ（ t)，它们的傅立叶变换满足微分特性吗？
),()( ?Ftf ?若 ? ?
?
?
d
dj)( Fttf ?则
? ?
?
?
d
d)(j Fttf ??或
? ? ? ?nnn Ftft ? ?dd)(j ??
2．频域微分性质
或
? ? ? ??nnn Ftft j)( ?
推广
? ??? ?? ttfjF t de)()( j??
? ??? ??? tttfd jdF t de)j)(()( j ?? ?
频域微分性质 证明
? ?
?
?
d
d)(j jFttf ??即
? ? ? ?nnn jFtft ? ?dd)(j ??同理有
例
? ? ? ?? ?tftF 2?解：
? ? ? ?? ?？，求已知 ??? tftFjFtf 2)()( ?
? ?
? ? ? ???
? jFjF 2
d
dj ??
? ? ? ?? ?tfttfF 2??
1?? nn tt
? ? ? ???? jF?? π21
? ?
?
?
d
dj1 jFt ??
例 3
解：
? ? ? ?
2
2
d
djj1
?
?
?
?
?
?????
?
?jFtt
??
? ? ? ? ? ? ? ?? ?nnnnnnn jFt ? ??? ? d π2djddj1 ???
? ?ntF求
七．时域积分性质
? ? ? ?，则若 ?jFtf ?
? ? ? ? ? ?? ??? jd00 jFfF t ?? ?
??
时，
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? j0πd00 jFFfF t ??? ?
??
时，
也可以记作：
??
?
??
? ?? )(π
j
1)( ??
??jF
时域积分性质 证明
? ?? ???? ??? ?????? tf tt ded j ???
? ? ? ?? ???? ???? ?????? ?? ttuf t ded j ????
变上限积分用带时移的
单位阶跃的无限积分表
示, 成为 ? ? ? ?tutf ?
? ? ? ? ??? ? dde j? ???? ???? ?????? ?? ttuf t交换积分顺序,即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
?后先 t
? ? ? ? ?
????
?? de
j
1π j? ?
??
??
?
?
??
? ?? f
常数，移到积分外
为而言对积分变量 ??
? ? ? ? ??
???
?? de
j
1π j? ?
??
?
???
?
???
? ?? f
? ? ? ? ????? ?? dej 1π j? ?
??
??
?
?
??
? ?? f
? ? ? ????? jF?
?
?
??
? ??
j
1π
? ? ? ? ? ?????? jFjF j 1π ??
? ? ? ? ? ????? j0π jFF ?? ? ? 则第一项为零如果,00 ?F
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????????? j0πj 1πd jFFjFft ???
?
?
??
? ????
??
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
??
? ???
???? j
1πjFtutf
例
1,求单位阶跃函数的傅里叶变换 。
? ??? t tttu d)()( ?已知 1)( ?t?
)(πj 11)(πj 1)( ?????? ?????tu则
?
?
??
?
??
2Sa)(
???
? tG
? ? 00)0S a ( ?? F，知由 ?
? ? ? ? ?
?
??
?
???
?????? ? ?? 2Sajπd
??
?
??????
?
t GF
? ? ? ? ?
?
??
?
????
?? 2
Sajπd ??????????t G
? ?积分的频谱函数。求门函数 tG ?.2
t
)( tG ?
O
2
?
?
2
?
1
解：
解：
t
)(
1
tG
?
?
?
O
2
?
?
2
?
八．卷积定理
? ? ? ? ? ? ? ??? jFtfjFtf 2211,??若
? ? ? ? ? ? ? ??? jFjFtftf 2121 ???则
? ? ? ? ? ? ? ??? jFtfjFtf 2211,??若
? ? ? ? ? ? ? ??? jFjFtftf 2121 π2 1 ???则
倍。各频谱函数卷积的时间函数的乘积 π21 ?
?时域卷积定理
时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。
?频域卷积定理
时域卷积定理的证明
? ? ? ?? ?tftfF 21 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ??? d2121 ??? ? ??? tfftftf
因此
? ? ? ?? ? ? ? ? ??? jFjFtftfF 2121 ??
所以
卷积
定义
交换积分
次序
? ? ? ? ??? ? dde j21 ?????? ?? ??????? ?? ttff t
? ? ? ? ??? ?? de j21 ?????? jFf
时移
性质
? ? ? ? ttff t ded j21 ???? ???? ???? ? ?????? ??
?求系统的响应。
? ? ? 的傅里叶变换。求 ?
??
t f ?? d
? ?? ??t f ?? d
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?????????? j0πj 1d jFFjFft ???
?
?
??
? ????
??
将时域求响应，转化为频域求响应。
? ?tf ? ?
th ? ?tg
? ? ? ? ? ?thtftg ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? jGFtgjHjFjG 1????
二．应用
?用时域卷积定理求频谱密度函数。
? ? ? ?? ??? ?? ??? dtuf ? ? ? ?tutf ??
卷积定理揭示了 时间域 与 频率域 的运算关系，在通信
系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
例 1 ? ? ? ? ? ?
? ?。频谱密度函数
的，求已知
?
??
?
jF
tftftfEtf
2
Sa)( 111 ???
?
?
?
?
?
?
? ?? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
????
2Sa
222
11
????? EjFjFtfF
t
)(1 tf
O
2
?
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2
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E
t
? ? ? ?tftf 11 ?
?2E
O?? ?
X
?
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?E
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F1(jω）
o ?
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22
?E
?
?2
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?2
?
F(jω）
)(tf
t0 1 32-1-2-3
1
。的频谱求图示信号例 )()(2 ?jFtf
)S a ( 4 C o s 2
)e2 S a ()e2 S a ()F ( j
)2()()2()()(
j2-j2
22
??
???
??
??
??
???
?????? ttGttGtf?
? ?
)(
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)(
2
1
)(
)]()()([)(2
2
1
)(
)]()([
)(
2
1
)(2)(G
2
?????
????????????
?
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????????
????
??????
??????
????
??
SaSaSa
SajF
tC o s
Sat?
的门信号。是宽度为
。（求图示信号的频谱例
2( t )G
( t )t ] Gc o s1[
2
1
f ( t ))jF3
2
2?? ??
)(tf
1-1 0
例 4、求图示信号的频谱
F(j )。?
)(tf
t
1
1
-1
-1
)(2 tf)(1 tf
t
t1
1
-1
-1
0 0
0
?
?
? ?
)
2
10
(
2
1
)
2
10
(
2
1
)]10()10([*)
2
(
2
1
)(
)
2
S a ()( ),( *)( )(
)10()()()()(
22
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1111
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九、能量定理（帕斯瓦尔定理）
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即,能量有限的非周期信号，能量既可按单位
时间内的能量 在整个时间内积分算出，也
可按单位频带内的能量 在整个频带范围积
分算出。
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例 1、已知 求 所包含的能量 。)(10)( tUetf t?? )(tf
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另外：
解：
例 2、计算积分
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?解
傅立叶变换性质小结：
1、线形特性
2、对偶性
时域 时移 微分 卷积 能量
频域 频移 微分 卷积 能量
3、卷积定理
① 时域卷积 ---------时移、微分、积分
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积分：
②, 频域卷积 ------频移、微分
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微分：
频移：
