,信号与系统, CAI课件
绪 论通信与信息工程系
电子工程教研室
制作
2004.02.9
主讲教师：谢跃雷 （讲师）
第一章 绪论
我们把欲待传输的语言、文字、图象、数码等统
称为 信息 （消息）。
① 定义：信号是 带有信息 的随时间变化的物理量
（电量）。其图像称为信号的波形。
可见，信号是信息的表现形式，它是运载信息的工具。
§ 1.1信号的描述与分类
由于信息蕴含于变化的信号中，只有变化
的物理量 （电量）才能运载信息。
因此，信号的数学模型就是时间函数
f(t)
f(n)
即
时间函数信号 ?
② 分类：
根据不同的分类原则，信号可分为：
?随机信号（无规则信号）
?确定信号（规则信号）
定义,如果信号不是自变量（时间）的确定函数，即
对某时刻 t，信号值并不确定，而只知道取某一数值的
概率，此类具有统计规律的信号称无规则信号。
定义,对于任意确定时刻，都有确定的函数值对应，
这样的时间信号称规则信号。
对确定信号：
规
则
信
号
a.按 信号出现时间, 连续时间信号离散时间信号
b.按 变化规律, 周期信号 f(t)=f(t+nT)非周期信号
宽带信号
窄带信号
c.按 频率特性,
d.按 功率,能量特性,
（能量无限,p 周期信号
功率信号：
有限）
（能量有限, 非周期信号
能量信号：
0=p ）
? 连续时间信号, 一个信号若在某
个时间区内除有限个间短点外的所
有时刻，都有确定的值，就称这个
信号为在该区间内的连续信号。
? 离散时间信号, 一个信号如果只
在离散的时间瞬刻才有确定的值，
就称为离散时间信号。
f(t)
t
图 1.连续时间信号
f(n)
n
图 2.离散时间信号
信
息
转
换
器
电
信
号
发
射
机
接
收
机
信
息
转
换
器
电
信
号系统
f(t) y(t)声音 话筒 喇叭 声音
§ 1.2系统的定义和分类
广义的讲，我们把若干相互作用和相互依赖的事物组
合而成的具有特定功能的整体称为系统。
完成信息传输的系统称为通信系统。 （以广播、电视为
例）典型的通信系统如图所示。
① 定义：对信号进行加工、处理 和 存贮的装置
图 3.通信系统
② 分类：
根据不同的分类原则，系统可分为：
b.线性系统与非线性系统
c.时变系统与非时变系统
d.因果系统与非因果系统
t<t f(t)=0 y(t)=0 (客观系统 )
a.连续时间系统与离散时间系统
连续 离散f(t) y(t) f(n) y(n)
本课程的主要内容
1、信号分析
① 常用基本信号 ( 连续、离散 )
??)(),( nt ?? ??)(),( nUtU
② 信号的变换及运算
( 时移、展缩、折迭、相加、相乘、
微分、积分、卷积 …… )
③ 信号与频谱的一一对应关系
)()( ?jFtf ? )()( ?? Fnf
2、系统分析
时域分析
1)连续时间系统分析 频域分析
复频域分析
时域分析
2)离散时间系统分析
Z域分析
连续时间系统
3)状态变量分析 离散时间系统
本课程地位
信号与系统是电气、电子等类专业的重要的主干技
术基础课。
通过本课程的学习，使学生掌握有关信号与系统的
基本概念、基本理论和基本分析方法。其中许多概念要
求透彻理解，不少方法要求牢固掌握。
该课程理论体系严谨，内容引人入胜，而且会从中
学会一种思维方法，养成一种科学作风。甚至使人终身
受益。
1.3 连续时间信号时域的变换与运算
§
一、时域变换
1、信号的时移：
用 ttt ?? 0
(新变量 )
)()( 0ttftf ??
)]()([ 0ttUtU ??
例 1.1-1：
(t+1) t)f(t 1 ?求
??
?
?
?
????
???
=
1t0 )1(
0t2- )2(
2
1
)(
t
t
tf
如图 1.1-1(a)所示
f(t)
1
-2 0 1 t
图 1.1-1(a)
)f( t 1 ?同理 如图 1.1-1(c)所示
??
?
?
?
??????
?????
=?
11t0 )11(
01t2- )21(
2
1
)1(
t
t
tf
(超前）
(滞后）
解：
??
?
?
?
???
???
=??
0t1-
-1t3- )3(
2
1
)1(
t
t
tf
如图 1.1-1(b)所示
f(t)
1
-2 0 1 t
图 1.1-1(a)
1
0-3 t
f(t+1)
图 1.1-1(b)
1
20-1 t
f(t-1)
图 1.1-1(c)
如图 1.1-1(a)所示
2、信号的折迭
)()( tftf ??
] 0 t0 0 t1)()( [
?
?
?
?
?=?? tUtU
tt ??
信号以纵坐标为轴翻转 180o
(新变量 )
1
t
U(t)
0
1
t
U(-t)
0
例 1.1-2：
??
?
?
? ???
=
其它 0
1t2- )2(
3
1
)(
t
tf
t)f( ? 求
-t t
t
1
1-2
f(t)
0如图 1.1-2(a)所示
图 1.1-2(a)
t
1
-1 2
f(-t)
0
图 1.1-2(b)
??
?
?
? ????
=?
其它 0
2t1- )2(
3
1
)(
t
tf
如图 1.1-2(b)所示
3、信号的展缩
)()( atftf ?
信号沿时间轴横向压缩 1?a
信号沿时间轴横向扩展 10 ?? a
例 1.1-3：
?
?
? ??=
其它 0
2t0 )( ttf
)21( 2 tft)f(,求
2
20 t
)(tf
如图 1.1-3(a)所示。 图 1.1-3(a)
解：
?
?
? ????=
其它 0
1t0 )2t2(0 2)2( ttf
2
0 t1
)2( tf
图 1.1-3(b)
2
0 t4
)21( tf
图 1.1-3(c)
??
?
?
? ??
=
其它 0
4t0
2
1
)
2
1
(
t
tf
如图 1.1-3(b),(c)所示。
可见，时移、折迭、展
缩都是用一个新的时间变
量去代换原时间变量。
例 1.1-4,
?
?
?
???
???
=
1t0 22-
0t2- 2
)(
t
t
tf
)1
2
1
( 12 ?? tf)tf(,求
)(tf
2
-2 t10
如图 1.1-4(a)所示
图 1.1-4(a)
2
-2
t
4
)121( ?tf
图 1.1-4(d)
解：
?
?
?
??
???
=?
2t1 2)-2 ( t-
1t1- 1
)1(
t
tf
2
2 t-1
)1( ?tf
(也可以先展缩后时延 )
如图 1.1-4(b)所示
图 1.1-4(b)
2
t10.5-0.5
)12( ?tf
图 1.1-4(c)?
?
?
??
?
?
??
???
=?
1t
2
1
1)-4 ( t-
2
1
t
2
1
- 12
)12(
t
tf
压缩：
tt ?2
如图 1.1-4(c)所示
扩展：
tt ?21 )121( ?tf
如图 1.1-
4(d)所示
例 2 )()22( tftf ??已知：
时
移
时移
折
)22( tf ?
展 )2( tf ? 折 )2( ?tf
)(tf
)( tf ?
展
折
时移
时移
时移
折
展
展)2( tf ?
)2( tf
)]1(2[ ?tf
)2( ?tf
图 1.1-5
二、时域运算
)( 1,dtduCi C =微分：
如图 1.1-6所示
Cu
1
10 2 t
图 1.1-6
))(1( 2,?
??
= tC diCu ??积分：
如图 1.1-7所示
Ci
1
10 2 t
-1
图 1.1-7
3.信号相加 (合成 )
?
f2
f1
f
0
0
1
1
t
t
-1
)(1 tUf =
)1(2 ??= tUf
如图 1.1-8
图 1.1-8
(a)
(b)
(c)
0
1
t1
21)( fftf ?=
(d)
例 1.1-6：
tAtAt ?? 10co sf,6co s)(f 2211 ==
5
1
10
22,
3
1
6
22
2
2
1
1 ====== ?
?
?
?
?
?
?
? TT
)5,3(n
3
5
21
1
2
2
1 ===== n
n
n
T
T 有理数
1
,
22113
21
===
?
TnTnT
TT 的最小公倍数
为周期信号 )()()( 21 tftftf ?=?
注意：周期信号相迭加，不一定是周期信号！！
(看是否存在是小公倍数）
为整数其中
设
21
222111
,
nn
TnfTnf ??
有理数即若 ===
1
2
2
1
2211,n
n
T
T
TnTn
为周期信号则 21,ff
为非周期信号f?
无理数TT ==? 3
2
1 ?
例 1.1-7：
tttf ?= sin3cos)( ?
TT == 2,32 21 ?Q
4.信号相乘 (取样、调制 ) f
1
f2
f(t)
)()()( 因果有始信号=? tUtf
5.信号卷积 (信号分解、信号通过系统）
)()( 21 tftf ?
如图 1.1-9
图 1.1-9
§ 1.4几种典型的连续时间信号
5.钟形脉冲函数（高斯函数）
1.指数信号
2.正弦信号
3.复指数信号
4.抽样信号（ Sample Signal)
信号的表示
??tf函数表达式
波形
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
1．指数信号
tKtf ?e)( =
单边指数信号
通常把 称为指数信号的 时间常数,记作 ?,代表信
号衰减速度，具有时间的量纲。 ?
1
l 指数衰减,0??
0??
l 指数增长0??
0??l 直流 (常数 ),0=?
K 0=?
O
??tf
t
? ?
??
?
?
?
?
?
=
?
0e
00
t
t
tf t
?
O t
1
? ?tf
2．正弦信号
振幅,K
周期：
频率,f
角频率：
初相：
fT
12 ==
?
π
fπ2=?
?
? ? 0
0 0
0s i ne)( ?
?
?
?
?
?= ? ???
t
ttKtf t
)s i n ()( ?? ?= tKtf
衰减正弦信号：
O t
? ?tf
K
?
?
T
?
π2
?
π2
3．复指数信号
讨论
?
?
?
?
?
=?
=?
==
衰减指数信号
升指数信号
直流
0,0
0,0
0,0
??
??
??
振荡
衰减
增幅
等幅
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?=
0,0
0,0
0,0
??
??
??
为复数，称为复频率 j ?? ?=s
,均为实常数??
? ? ? ?tKtK
tKtf
tt
st
?? ?? s i nejc o se
)( e)(
?=
?????=
r a d / s /s1 的量纲为，的量纲为 ??
复指数信号与正弦信号之
间的关系
欧拉 (Euler)公式
? ? ? ?ttt ??? jj ee21c o s ??=
? ? ? ?ttt ??? s i njc o se j ?=
4．抽样信号 (Sampling Signal)
t
? ?tSa
1
π
π2
π3
O
π?
性质
①
②
③
④
⑤
⑥
? ? ? ?，偶函数tt SaSa =?
1)S a (lim1)S a (,0 0 === ? ttt t，即
?3,2,1π,0)S a ( =?== nntt,
?? ???? == πds i n,2πds i n0 tt ttt t
0)Sa (lim =??? tt
? ? ? ?ttt ππs i n)s i n c ( =
t
tt s in)S a ( =
5．钟形脉冲函数 (高斯函数 )
2
e)( ??
??
?
??
= ?
t
Etf
O t
? ?tf
E
?
2
?
e
E
E78.0
在随机信号分析中占有重要地位。
函数本身有不连续点 (跳变点 )或其导数与积
分有不连续点的一类函数统称为 奇异信号或奇异
函数。
主要内容：
?单位斜变信号
?单位阶跃信号
?☆ 单位冲激信号
?冲激偶信号
§ 1.5阶跃信号与冲激信号
一．单位斜变信号
t
)( tR
O
1
1
t
)( 0ttR ?
O
1
0t 10 ?t
1,定义
??
?
?
?=
0
00)(
tt
ttR
t
)( tf
O
K
?
?
?
?
??
?=?
00
0
0
0)(
tttt
ttttR
3．三角形脉冲
??
?
?
? ??
=
它其 0
0)()( ?
?
ttRKtf
由变量 t -t0=0 可知起始点为 0t
2．有延迟的单位斜变信号
二．单位阶跃信号
t
)( tu
O
1
t
)( 0ttu ?
O
1
0t?
1,定义
2
10
01
00)( 点无定义或
?
?
?
?
?=
t
ttu
t
)( 0ttu ?
O
1
0t
0,10)( 0
0
0
0 ?
?
?
?
?
?=? t
tt
ttttu
0,1 0)( 0
0
0
0 ?
?
?
?
??
??=? t
tt
ttttu
变量 <0 函数值为 0
由变量
，函数有 断点，跳变点
? ? 即时可知,0 00 tttt ?==?
时间为 0t?
变量 >0 函数值为 1
2,有延迟的单位阶跃信号
3．用单位阶跃信号描述其他信号
tO
1
2
?
2
?
?
? ?tf
? ?tG
τ
其他函数只要用门函数处理 (乘以
门函数 )，就只剩下门内的部分。
? ? ?????? ???????? ?= 22 ?? tututf
符号函数, (Signum)
?
?
?
??
?=
01
01)s g n (
t
tt
1)(2)()()s g n ( ?=???= tututut ]1)[ s g n (21)( ?= ttu
门函数,也称窗函数
tO
? ?ts gn
单位冲激信号的引出
☆ 三、冲激函数 δ（ t)
定义 1：狄拉克 (Dirac)函数
? ???
?
?
?
?=
=?
??
??
0 0)(
1d)(
tt
tt
?
?
? ????? ??= 00 d)(d)( tttt ??
? 函数值只在 t = 0时不为零；
? 积分面积为 1；
? t =0 时，,为无界函数。? ? ??t?
t0
)(t?
(1)
定义 2 t
)( tp
O
?
1
2
?
?
2
?
?????? ?????? ???????? ?= 221)( ??? tututp
0??
面积 1； 脉宽 ↓ ； 脉冲高度 ↑ ；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★ 面积为 1
★ 宽度为 0
??
?
?
=
00
0
t
t无穷幅度★
三个特点：
??
?
??
? ?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ?==
?? 22
1lim)(lim)(
00
??
?? ?? tututpt
若面积为 k，则强度为 k。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取 ??0极限，都可以认为是冲激函数。
描述
o
t
)( t?
?
)1(
o t
)(
0
tt ??
?
)1(
0
t
时移的冲激函数
冲激函数的性质为了信号分析的需要，人们构造了 ? ?t? 函数，它属于广
义函数。就时间 t 而言,? ?t? 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于
? ?t? 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性
2．奇偶性
3．冲激偶
4．标度变换
1.抽样性 (筛选性 )
)()0()()( tftft ?? =
对于移位情况：
? ??? =? )(d)()( 00 tfttftt?
如果 f(t)在 t = 0处连续，且处处有界，则有
? ??? = )0(d)()( fttft?
o
t
)( tf
?
)0(f
)()()()( 00 ttfttft ?? =?
2,奇偶性
)()( tt ?= ??
???? ? ttft d)()( ?
? ???? ?? ??= tttfttf d)()( )()( ??
)0( f ??=
利用分部积分运算
3.冲激偶
O
t
)( t?
?
)1(
0??
O
t
)( t? ?
o
t
)( ts
t
)( ts ?
O??
2
1
?
?
2
1
?
???
?
1
t
???
t
)t?
?
??
2
1
?
?
2
1
?
?
1
①
)0( d)()( fttft ??=?? ??? ?
冲激偶的性质
时移，则,)( d)()(
00 tfttftt ??=???
?
?? ?
? ? 阶导数：的对 kt? ? ? ? ? ? ? ? ?01d )()( kkk fttft ?=??
??
?
X
②
,0d)( =?? ??? tt? ? ?tttt ?? =?? ?? d)(
③
,)()( tt ?? ??=?? )()( 00 tttt ???=?? ??
是奇函数所以 )( t? ?
???? ? ttft d)()( ?
? ???? ?? ??= tttfttf d)()( )()( ?? )0( f ??=
)()0()()0()()( tftfttf ??? ???=?
??
Q
)()()()0(
)()()()()]()([
ttftf
ttfttfttf
dt
d
??
???
???=
???=
①
??)()0()]()0([)]()([ tftfdtdttfdtd ??? ?== ②
)()0()()0()()( tftfttf ??? ???=??
……(1.2 -9)
（与 ? ? ? ?tfttf ?? 0)()( = 不同）
④
4,对 ?(t)的尺度变换
? ? ? ?taat ?? 1=
冲激偶的尺度变换
? ? ? ?taaat ?? ??=? 11
? ? ? ?taaat kkk )()( 11 ?? ?=
四,总结,R(t),u(t),?(t) 之间的关系
t
)( tR
O
1
1
t
)( tu
O
1
O
t
)( t?
?
)1(
R(t)
求 ↓ ↑ 积 (-?<t< ?)
u(t)
导 ↓ ↑ 分
?(t)
冲激函数的性质总结
（ 1）抽样性
)0(d)()( ftttf =? ???? ?
)()0()()( tfttf ?? =
（ 2）奇偶性
)()( tt ?? =?
（ 3）尺度变换性
? ?taat ?? 1)( =
（ 4）微积分性质
t
tut
d
)(d)( =? )(d)( tut =?
?? ???
（ 5）冲激偶
)()( tt ?? ??=??
???? =? 0d)( tt?
? ?? =?t ttt )(d)( ??
)()0()()0()()( tftfttf ??? ???=?
)0(d)()( ftttf ??=?? ??? ?
（ 6）卷积性质
? ? ? ? ? ?tfttf =? ?
例 1.5-1 求下列积分
① ? ?
??
dtt tt )2s i n ()(2 ?
解：
4)(142 )2s i n ()(4 =?== ?? ?
??
?
??
dttdtt tt ??原式
)1s i n( 0 ==xx x
② ? ?
?? ??? dtttt )21()32(
2 ?
解：
)21()32(4
1
4
1
2 =????
?
dtttt ?
思考：
)
2
1
(
2
1
)]
2
1
[ 2 ( t
)]
2
1
(2[)21(
?=?=
??=?
t
tt
??
??Q
? ??? ???=? dtttt )21()32(21 2 ?原式
8
17)32(
2
1
2
1
2 =??=
=t
tt
例 1.5-2
)]()
4
[ c o s ( tt
dt
d
?
?
?求
解：
)(2 2)](2 2[)](4[ c o s)1 ttdtdtdtd ???? ?===原式
)()4s i n ()()4c o s ()2 tttt ???? ????=原式
)(
2
2
)(
4
s i n)(
4
s i n)(
4
c o s
t
ttt
?
?
?
?
?
?
?
?=
???=
本章全部内容结束
绪 论通信与信息工程系
电子工程教研室
制作
2004.02.9
主讲教师：谢跃雷 （讲师）
第一章 绪论
我们把欲待传输的语言、文字、图象、数码等统
称为 信息 （消息）。
① 定义：信号是 带有信息 的随时间变化的物理量
（电量）。其图像称为信号的波形。
可见，信号是信息的表现形式，它是运载信息的工具。
§ 1.1信号的描述与分类
由于信息蕴含于变化的信号中，只有变化
的物理量 （电量）才能运载信息。
因此，信号的数学模型就是时间函数
f(t)
f(n)
即
时间函数信号 ?
② 分类：
根据不同的分类原则，信号可分为：
?随机信号（无规则信号）
?确定信号（规则信号）
定义,如果信号不是自变量（时间）的确定函数，即
对某时刻 t，信号值并不确定，而只知道取某一数值的
概率，此类具有统计规律的信号称无规则信号。
定义,对于任意确定时刻，都有确定的函数值对应，
这样的时间信号称规则信号。
对确定信号：
规
则
信
号
a.按 信号出现时间, 连续时间信号离散时间信号
b.按 变化规律, 周期信号 f(t)=f(t+nT)非周期信号
宽带信号
窄带信号
c.按 频率特性,
d.按 功率,能量特性,
（能量无限,p 周期信号
功率信号：
有限）
（能量有限, 非周期信号
能量信号：
0=p ）
? 连续时间信号, 一个信号若在某
个时间区内除有限个间短点外的所
有时刻，都有确定的值，就称这个
信号为在该区间内的连续信号。
? 离散时间信号, 一个信号如果只
在离散的时间瞬刻才有确定的值，
就称为离散时间信号。
f(t)
t
图 1.连续时间信号
f(n)
n
图 2.离散时间信号
信
息
转
换
器
电
信
号
发
射
机
接
收
机
信
息
转
换
器
电
信
号系统
f(t) y(t)声音 话筒 喇叭 声音
§ 1.2系统的定义和分类
广义的讲，我们把若干相互作用和相互依赖的事物组
合而成的具有特定功能的整体称为系统。
完成信息传输的系统称为通信系统。 （以广播、电视为
例）典型的通信系统如图所示。
① 定义：对信号进行加工、处理 和 存贮的装置
图 3.通信系统
② 分类：
根据不同的分类原则，系统可分为：
b.线性系统与非线性系统
c.时变系统与非时变系统
d.因果系统与非因果系统
t<t f(t)=0 y(t)=0 (客观系统 )
a.连续时间系统与离散时间系统
连续 离散f(t) y(t) f(n) y(n)
本课程的主要内容
1、信号分析
① 常用基本信号 ( 连续、离散 )
??)(),( nt ?? ??)(),( nUtU
② 信号的变换及运算
( 时移、展缩、折迭、相加、相乘、
微分、积分、卷积 …… )
③ 信号与频谱的一一对应关系
)()( ?jFtf ? )()( ?? Fnf
2、系统分析
时域分析
1)连续时间系统分析 频域分析
复频域分析
时域分析
2)离散时间系统分析
Z域分析
连续时间系统
3)状态变量分析 离散时间系统
本课程地位
信号与系统是电气、电子等类专业的重要的主干技
术基础课。
通过本课程的学习，使学生掌握有关信号与系统的
基本概念、基本理论和基本分析方法。其中许多概念要
求透彻理解，不少方法要求牢固掌握。
该课程理论体系严谨，内容引人入胜，而且会从中
学会一种思维方法，养成一种科学作风。甚至使人终身
受益。
1.3 连续时间信号时域的变换与运算
§
一、时域变换
1、信号的时移：
用 ttt ?? 0
(新变量 )
)()( 0ttftf ??
)]()([ 0ttUtU ??
例 1.1-1：
(t+1) t)f(t 1 ?求
??
?
?
?
????
???
=
1t0 )1(
0t2- )2(
2
1
)(
t
t
tf
如图 1.1-1(a)所示
f(t)
1
-2 0 1 t
图 1.1-1(a)
)f( t 1 ?同理 如图 1.1-1(c)所示
??
?
?
?
??????
?????
=?
11t0 )11(
01t2- )21(
2
1
)1(
t
t
tf
(超前）
(滞后）
解：
??
?
?
?
???
???
=??
0t1-
-1t3- )3(
2
1
)1(
t
t
tf
如图 1.1-1(b)所示
f(t)
1
-2 0 1 t
图 1.1-1(a)
1
0-3 t
f(t+1)
图 1.1-1(b)
1
20-1 t
f(t-1)
图 1.1-1(c)
如图 1.1-1(a)所示
2、信号的折迭
)()( tftf ??
] 0 t0 0 t1)()( [
?
?
?
?
?=?? tUtU
tt ??
信号以纵坐标为轴翻转 180o
(新变量 )
1
t
U(t)
0
1
t
U(-t)
0
例 1.1-2：
??
?
?
? ???
=
其它 0
1t2- )2(
3
1
)(
t
tf
t)f( ? 求
-t t
t
1
1-2
f(t)
0如图 1.1-2(a)所示
图 1.1-2(a)
t
1
-1 2
f(-t)
0
图 1.1-2(b)
??
?
?
? ????
=?
其它 0
2t1- )2(
3
1
)(
t
tf
如图 1.1-2(b)所示
3、信号的展缩
)()( atftf ?
信号沿时间轴横向压缩 1?a
信号沿时间轴横向扩展 10 ?? a
例 1.1-3：
?
?
? ??=
其它 0
2t0 )( ttf
)21( 2 tft)f(,求
2
20 t
)(tf
如图 1.1-3(a)所示。 图 1.1-3(a)
解：
?
?
? ????=
其它 0
1t0 )2t2(0 2)2( ttf
2
0 t1
)2( tf
图 1.1-3(b)
2
0 t4
)21( tf
图 1.1-3(c)
??
?
?
? ??
=
其它 0
4t0
2
1
)
2
1
(
t
tf
如图 1.1-3(b),(c)所示。
可见，时移、折迭、展
缩都是用一个新的时间变
量去代换原时间变量。
例 1.1-4,
?
?
?
???
???
=
1t0 22-
0t2- 2
)(
t
t
tf
)1
2
1
( 12 ?? tf)tf(,求
)(tf
2
-2 t10
如图 1.1-4(a)所示
图 1.1-4(a)
2
-2
t
4
)121( ?tf
图 1.1-4(d)
解：
?
?
?
??
???
=?
2t1 2)-2 ( t-
1t1- 1
)1(
t
tf
2
2 t-1
)1( ?tf
(也可以先展缩后时延 )
如图 1.1-4(b)所示
图 1.1-4(b)
2
t10.5-0.5
)12( ?tf
图 1.1-4(c)?
?
?
??
?
?
??
???
=?
1t
2
1
1)-4 ( t-
2
1
t
2
1
- 12
)12(
t
tf
压缩：
tt ?2
如图 1.1-4(c)所示
扩展：
tt ?21 )121( ?tf
如图 1.1-
4(d)所示
例 2 )()22( tftf ??已知：
时
移
时移
折
)22( tf ?
展 )2( tf ? 折 )2( ?tf
)(tf
)( tf ?
展
折
时移
时移
时移
折
展
展)2( tf ?
)2( tf
)]1(2[ ?tf
)2( ?tf
图 1.1-5
二、时域运算
)( 1,dtduCi C =微分：
如图 1.1-6所示
Cu
1
10 2 t
图 1.1-6
))(1( 2,?
??
= tC diCu ??积分：
如图 1.1-7所示
Ci
1
10 2 t
-1
图 1.1-7
3.信号相加 (合成 )
?
f2
f1
f
0
0
1
1
t
t
-1
)(1 tUf =
)1(2 ??= tUf
如图 1.1-8
图 1.1-8
(a)
(b)
(c)
0
1
t1
21)( fftf ?=
(d)
例 1.1-6：
tAtAt ?? 10co sf,6co s)(f 2211 ==
5
1
10
22,
3
1
6
22
2
2
1
1 ====== ?
?
?
?
?
?
?
? TT
)5,3(n
3
5
21
1
2
2
1 ===== n
n
n
T
T 有理数
1
,
22113
21
===
?
TnTnT
TT 的最小公倍数
为周期信号 )()()( 21 tftftf ?=?
注意：周期信号相迭加，不一定是周期信号！！
(看是否存在是小公倍数）
为整数其中
设
21
222111
,
nn
TnfTnf ??
有理数即若 ===
1
2
2
1
2211,n
n
T
T
TnTn
为周期信号则 21,ff
为非周期信号f?
无理数TT ==? 3
2
1 ?
例 1.1-7：
tttf ?= sin3cos)( ?
TT == 2,32 21 ?Q
4.信号相乘 (取样、调制 ) f
1
f2
f(t)
)()()( 因果有始信号=? tUtf
5.信号卷积 (信号分解、信号通过系统）
)()( 21 tftf ?
如图 1.1-9
图 1.1-9
§ 1.4几种典型的连续时间信号
5.钟形脉冲函数（高斯函数）
1.指数信号
2.正弦信号
3.复指数信号
4.抽样信号（ Sample Signal)
信号的表示
??tf函数表达式
波形
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
1．指数信号
tKtf ?e)( =
单边指数信号
通常把 称为指数信号的 时间常数,记作 ?,代表信
号衰减速度，具有时间的量纲。 ?
1
l 指数衰减,0??
0??
l 指数增长0??
0??l 直流 (常数 ),0=?
K 0=?
O
??tf
t
? ?
??
?
?
?
?
?
=
?
0e
00
t
t
tf t
?
O t
1
? ?tf
2．正弦信号
振幅,K
周期：
频率,f
角频率：
初相：
fT
12 ==
?
π
fπ2=?
?
? ? 0
0 0
0s i ne)( ?
?
?
?
?
?= ? ???
t
ttKtf t
)s i n ()( ?? ?= tKtf
衰减正弦信号：
O t
? ?tf
K
?
?
T
?
π2
?
π2
3．复指数信号
讨论
?
?
?
?
?
=?
=?
==
衰减指数信号
升指数信号
直流
0,0
0,0
0,0
??
??
??
振荡
衰减
增幅
等幅
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?=
0,0
0,0
0,0
??
??
??
为复数，称为复频率 j ?? ?=s
,均为实常数??
? ? ? ?tKtK
tKtf
tt
st
?? ?? s i nejc o se
)( e)(
?=
?????=
r a d / s /s1 的量纲为，的量纲为 ??
复指数信号与正弦信号之
间的关系
欧拉 (Euler)公式
? ? ? ?ttt ??? jj ee21c o s ??=
? ? ? ?ttt ??? s i njc o se j ?=
4．抽样信号 (Sampling Signal)
t
? ?tSa
1
π
π2
π3
O
π?
性质
①
②
③
④
⑤
⑥
? ? ? ?，偶函数tt SaSa =?
1)S a (lim1)S a (,0 0 === ? ttt t，即
?3,2,1π,0)S a ( =?== nntt,
?? ???? == πds i n,2πds i n0 tt ttt t
0)Sa (lim =??? tt
? ? ? ?ttt ππs i n)s i n c ( =
t
tt s in)S a ( =
5．钟形脉冲函数 (高斯函数 )
2
e)( ??
??
?
??
= ?
t
Etf
O t
? ?tf
E
?
2
?
e
E
E78.0
在随机信号分析中占有重要地位。
函数本身有不连续点 (跳变点 )或其导数与积
分有不连续点的一类函数统称为 奇异信号或奇异
函数。
主要内容：
?单位斜变信号
?单位阶跃信号
?☆ 单位冲激信号
?冲激偶信号
§ 1.5阶跃信号与冲激信号
一．单位斜变信号
t
)( tR
O
1
1
t
)( 0ttR ?
O
1
0t 10 ?t
1,定义
??
?
?
?=
0
00)(
tt
ttR
t
)( tf
O
K
?
?
?
?
??
?=?
00
0
0
0)(
tttt
ttttR
3．三角形脉冲
??
?
?
? ??
=
它其 0
0)()( ?
?
ttRKtf
由变量 t -t0=0 可知起始点为 0t
2．有延迟的单位斜变信号
二．单位阶跃信号
t
)( tu
O
1
t
)( 0ttu ?
O
1
0t?
1,定义
2
10
01
00)( 点无定义或
?
?
?
?
?=
t
ttu
t
)( 0ttu ?
O
1
0t
0,10)( 0
0
0
0 ?
?
?
?
?
?=? t
tt
ttttu
0,1 0)( 0
0
0
0 ?
?
?
?
??
??=? t
tt
ttttu
变量 <0 函数值为 0
由变量
，函数有 断点，跳变点
? ? 即时可知,0 00 tttt ?==?
时间为 0t?
变量 >0 函数值为 1
2,有延迟的单位阶跃信号
3．用单位阶跃信号描述其他信号
tO
1
2
?
2
?
?
? ?tf
? ?tG
τ
其他函数只要用门函数处理 (乘以
门函数 )，就只剩下门内的部分。
? ? ?????? ???????? ?= 22 ?? tututf
符号函数, (Signum)
?
?
?
??
?=
01
01)s g n (
t
tt
1)(2)()()s g n ( ?=???= tututut ]1)[ s g n (21)( ?= ttu
门函数,也称窗函数
tO
? ?ts gn
单位冲激信号的引出
☆ 三、冲激函数 δ（ t)
定义 1：狄拉克 (Dirac)函数
? ???
?
?
?
?=
=?
??
??
0 0)(
1d)(
tt
tt
?
?
? ????? ??= 00 d)(d)( tttt ??
? 函数值只在 t = 0时不为零；
? 积分面积为 1；
? t =0 时，,为无界函数。? ? ??t?
t0
)(t?
(1)
定义 2 t
)( tp
O
?
1
2
?
?
2
?
?????? ?????? ???????? ?= 221)( ??? tututp
0??
面积 1； 脉宽 ↓ ； 脉冲高度 ↑ ；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★ 面积为 1
★ 宽度为 0
??
?
?
=
00
0
t
t无穷幅度★
三个特点：
??
?
??
? ?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ?==
?? 22
1lim)(lim)(
00
??
?? ?? tututpt
若面积为 k，则强度为 k。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取 ??0极限，都可以认为是冲激函数。
描述
o
t
)( t?
?
)1(
o t
)(
0
tt ??
?
)1(
0
t
时移的冲激函数
冲激函数的性质为了信号分析的需要，人们构造了 ? ?t? 函数，它属于广
义函数。就时间 t 而言,? ?t? 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于
? ?t? 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性
2．奇偶性
3．冲激偶
4．标度变换
1.抽样性 (筛选性 )
)()0()()( tftft ?? =
对于移位情况：
? ??? =? )(d)()( 00 tfttftt?
如果 f(t)在 t = 0处连续，且处处有界，则有
? ??? = )0(d)()( fttft?
o
t
)( tf
?
)0(f
)()()()( 00 ttfttft ?? =?
2,奇偶性
)()( tt ?= ??
???? ? ttft d)()( ?
? ???? ?? ??= tttfttf d)()( )()( ??
)0( f ??=
利用分部积分运算
3.冲激偶
O
t
)( t?
?
)1(
0??
O
t
)( t? ?
o
t
)( ts
t
)( ts ?
O??
2
1
?
?
2
1
?
???
?
1
t
???
t
)t?
?
??
2
1
?
?
2
1
?
?
1
①
)0( d)()( fttft ??=?? ??? ?
冲激偶的性质
时移，则,)( d)()(
00 tfttftt ??=???
?
?? ?
? ? 阶导数：的对 kt? ? ? ? ? ? ? ? ?01d )()( kkk fttft ?=??
??
?
X
②
,0d)( =?? ??? tt? ? ?tttt ?? =?? ?? d)(
③
,)()( tt ?? ??=?? )()( 00 tttt ???=?? ??
是奇函数所以 )( t? ?
???? ? ttft d)()( ?
? ???? ?? ??= tttfttf d)()( )()( ?? )0( f ??=
)()0()()0()()( tftfttf ??? ???=?
??
Q
)()()()0(
)()()()()]()([
ttftf
ttfttfttf
dt
d
??
???
???=
???=
①
??)()0()]()0([)]()([ tftfdtdttfdtd ??? ?== ②
)()0()()0()()( tftfttf ??? ???=??
……(1.2 -9)
（与 ? ? ? ?tfttf ?? 0)()( = 不同）
④
4,对 ?(t)的尺度变换
? ? ? ?taat ?? 1=
冲激偶的尺度变换
? ? ? ?taaat ?? ??=? 11
? ? ? ?taaat kkk )()( 11 ?? ?=
四,总结,R(t),u(t),?(t) 之间的关系
t
)( tR
O
1
1
t
)( tu
O
1
O
t
)( t?
?
)1(
R(t)
求 ↓ ↑ 积 (-?<t< ?)
u(t)
导 ↓ ↑ 分
?(t)
冲激函数的性质总结
（ 1）抽样性
)0(d)()( ftttf =? ???? ?
)()0()()( tfttf ?? =
（ 2）奇偶性
)()( tt ?? =?
（ 3）尺度变换性
? ?taat ?? 1)( =
（ 4）微积分性质
t
tut
d
)(d)( =? )(d)( tut =?
?? ???
（ 5）冲激偶
)()( tt ?? ??=??
???? =? 0d)( tt?
? ?? =?t ttt )(d)( ??
)()0()()0()()( tftfttf ??? ???=?
)0(d)()( ftttf ??=?? ??? ?
（ 6）卷积性质
? ? ? ? ? ?tfttf =? ?
例 1.5-1 求下列积分
① ? ?
??
dtt tt )2s i n ()(2 ?
解：
4)(142 )2s i n ()(4 =?== ?? ?
??
?
??
dttdtt tt ??原式
)1s i n( 0 ==xx x
② ? ?
?? ??? dtttt )21()32(
2 ?
解：
)21()32(4
1
4
1
2 =????
?
dtttt ?
思考：
)
2
1
(
2
1
)]
2
1
[ 2 ( t
)]
2
1
(2[)21(
?=?=
??=?
t
tt
??
??Q
? ??? ???=? dtttt )21()32(21 2 ?原式
8
17)32(
2
1
2
1
2 =??=
=t
tt
例 1.5-2
)]()
4
[ c o s ( tt
dt
d
?
?
?求
解：
)(2 2)](2 2[)](4[ c o s)1 ttdtdtdtd ???? ?===原式
)()4s i n ()()4c o s ()2 tttt ???? ????=原式
)(
2
2
)(
4
s i n)(
4
s i n)(
4
c o s
t
ttt
?
?
?
?
?
?
?
?=
???=
本章全部内容结束
