,信号与系统, CAI课件
电子信息分院
信息工程系
制作
2004.02.28
第三章
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里
叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基
础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析
（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函
数或复指数函数的组合。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号
内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的
密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调
制和频分复用等重要概念。
一、引言
第三章 连续时间系统的频域分析
二、主要内容
① 周期信号的分解 (谐波分析 )————
傅立叶级数 ( )、离散谱??
00 2,??
t0cos?
③ 典型信号的频谱
??直流指数信号，正弦信号，),(),( tUt?
1.信号分析
tje ?② 非周期信号的分解 ————
傅立叶变换 (FT)、连续谱
非正弦
2.系统分析
① 傅氏变换的性质及应用 ---
建立 时间特性 和 频率特性 的对应关系
(信号通过系统后，时间特性及频谱发生
变换的对应关系 )
)(tf )(ty
)( ?jF )( ?jY
)(th
)( jwH
?? )()( tfpH
② 系统频率特性的描述和表征
——
③ 系统的功能
——
)( ?jH
)()( ?? jFjH ?
④ 系统的频域分析 ——
无失真传输，理想低通滤波器
抽样定理，调制与解调
三、牢固建立几个重要的概念
1.信号等效于一个频谱
)()( ?jFtf ??
建立信号和频谱间的一一对应关系：
周期信号 ——
非周期信号 ——
非周期抽样信号 ——
离散谱
连续谱
连续周期谱
)()( ?jHth ??
)()( ?? jFjH ?
)()( thtf ?
)()( ?? jFjH
滤波器
系统等效于一个频率特性
系统就是一个频谱变换器
信号与系统的相互作用：
在时域里表现为时间函数卷积
在频域里表现为两个谱函数相乘
2.
3.
4.
§ 3.1信号分解为正交函数
一、正交矢量
在平面空间中，两个矢量正交是指两个矢量相互垂直。即有：
A1·A 2=0
这样，平面空间中的任一个矢量都可以分解为两个正交矢量的组合
A=C1A1+C2A2
以此类推，三维空间的矢量可表示为,
A=C1A1+C2A2+C3A3
n维空间矢量
A=C1A1+C2A2+…+C nAn
二、正交函数集
将正交矢量分解的概念，推广应用到信号分析中。
1、正交函数
0)()( 212
1
?? dttftft
t
则称函数 f1(t),f2(t)在 (t1,t2)区间内正交
2、正交函数集
?
?
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?
?
??
jik
ji
dttftf
i
j
t
t i
0
)()(2
1
在区间 (t1,t2)上有 f1(t),f2(t),….f n(t),若有
则称 {f1(t),f2(t),….f n(t)}为 (t1,t2)内的正交函数集
3.完备的正交函数集
在区间 (t1,t2)，如果在正交函数集 {f1(t),….f n(t)}外找不到
另外一个非零函数与该正交函数集中的每一个函数都正交在，
则称该函数为完备的正交函数集。
常见的完备的正交函数集
① 三角函数集 {cosnΩt,sinmΩt}在区间 (t0,t0+T)
② 指数函数集 {ejΩnt}在区间 (t0,t0+T)
③ 其它如 Sa()及沃尔什函数也是完备的正交函数集
三、信号分解为正交函数
与矢量的 n维空间分解类似，给定一个 n个函数 {f1(t),f2(t),…f n(t)
构在 (t1,t2)上一个完备正交函数集，则在由这个函数集构成的空间
内的任一个函数 f(t)可以用这 n个正交函数的线性组合来近似。
f(t)≈C1f1(t)+C2f2(t)+….+C nfn(t)
问题：如何选择系数 Ci才能得到最佳近似。
在均方误差准则下：
2
112
2 ])()([1 2
1
??
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n
i
ii
t
t
tfctftt?
有：
dttf
dttftf
c
t
t
i
t
t
i
i 2
2
1
2
1
|)(|
)()(
?
?
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§ 3, 2 周期信号的傅立叶级数分析
必须指出，并非任意周期信号都能进行
傅立叶级数展开，被展开的周期函数
??2,1,0 )()( ????? nnTtftf
应满足如下的充分条件 —— 狄义赫利条件,
等于有限值 |)(|0
0?
? Tt
t
dttf
1.在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数
目应是有限个
2.在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个
3.在一周期内，信号是绝对可积的，即
一、三角形式的傅立叶级数
①
注意到三角函数的正交性：
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1
000 )s i nc o s()(
n
nn tnbtnaatf ??
?3,2,1 )(20 ?? n
T
基频其中,??
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nmTt d tmtnTt
t ??
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nmTt d tmtnTt
t
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容易求得：
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Tt
t
n
Tt
t
n
Tt
t
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T
b
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T
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dttf
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0
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2
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直流分量
②
注意：
的奇函数是
的偶函数是
nbb
naa
nn
nn
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?
??
?
为了更深刻理解信号正交分解的物理含义：
则由 式可得：①
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1
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nn tnAAtf ??③
nA
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na
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的奇函数是
的偶函数是
显然
n
nAA
nn
nn
??
结论：
nnnn AAbaatf ?,,,,)( 00 ??
简谐振荡分量的基频 与周期信号的周
期 T有关，其它分量分别为 T
?? 2
0 ?
?00 3,2 ??
?
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?
???
1
00 )c o s ()(
n
nn tnAAtf ??
直流分量 A0及谐波分量的振幅 An和相位
由信号波型 (即 f(t))确定。
2.
3.
谐波分解
任何满足狄义赫利条件的非正弦周期信号，均
可分解为直流分量，和很多简谐振荡的正弦分
量的迭加。
1.
An
0 ?
0? 02?
n?
0 ?
0? 02?
振幅谱的关系 ?)(~ ?nA n
相位谱的关系 ?)(~ ?? nn
?周期信号频谱
的奇函数相位谱是
的偶函数振幅谱是
谱，且周期信号的频谱是离散
?
?
5.
4.
2
c o s
jxjx ee
x
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二、指数形式的傅里叶级数
由
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tjnjn eeAeeAAtf nn ????有
nnnn AAnn ?? ????? ??,,注意到令
复振幅令 ??njnn eAjnF ??
2
1)(
0 ?
???
?
???
?
n
tjn
n eFtf
0)( ?有 ④
结论：
2.指数信号包含有
等正负两个指数频率分量，也正是
这样两个指数分量才合成一个简谐
振荡分量。
??00 2,?? ??
1,同一周期信号既可分解为 简谐 振 荡
的形式，也可分解为 指数信号 的迭加。
)]()([)(.3 0?jnFtftf n求得可由有关复振幅与
]s i n)(c os)([
1
)(
2
1
)s i n( c os
2
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1
)(
0
0
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Tt
t
Tt
t
nnnnn
j
nn
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T
jbajAeAjnF n
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Tt
t
tjn
n dtetfTjnF
0
0
0)(
1
)( 0 ??
其中
的奇函数是
的偶函数是
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22
1
22
n
n
n
nnn
n
a
b
tg
Aba
F
?
?
?
?
?
?
)( ~ 与纵轴对称周期信号的振幅谱?nF
4.
)( ~ 与原点对称周期信号的相位谱?? n
例 3.2-把如图所示的周期矩形脉冲展开
成三角函数和指数函数并画出相
应的频谱 `
)(tf
E
tT-T 0
2?? 2?
…….……
)(
2
0
2)( 在同一个周期内
?
?
?
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?
?
?
?
t
tE
tf
?
?
解：
T
EE d t
TdttfTa
T
T
??
? ???? ?? ?? 2
2
2
2
0
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相应的频谱图如图。
?
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?
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4
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2
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0
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演示
Fn
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n
n e
n
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T
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例 3.2-2
)()()( 0??? jnFnTtt n
n
T 的频谱求 ?
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0-T-2T T 2T
????
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)(tT?
解：
T
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T eTt
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???
?
n
tjn
n eFtf
0)( ?
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系
如图：
)(tf
2T? 2T
0 t
E
和余弦项，为实数，只含有直流
为实偶函数
2
)0s i n)(( 0
,)(.1
2
2
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n
n
T
Tnn
a
F
t d tntfbb
tf
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?
?
)5co s2513co s91( co s42)( 0002 ?????? tttEEtf ????
，纯虚数，只含正弦项
为实奇函数
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)0c os)(( 0
,)(.2
2
2
0
n
n
T
Tnn
b
jF
t dtntfaa
tf
??
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?
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3
12s i n
2
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000 ????? ttt
Etf ???
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如图：
2T?
2T
2E?
2E
t
)(tf
3.半波像对称函数 (实奇谐波函数 )
)2()( Ttftf ???
)( 0 0
)( 00
为奇数
为偶数
nba
nbaa
nn
nn
??
???
仅含 n=1,3,5,…… 奇次谐波项
t
)(tf
-1
1
2T? 2T
T0
4.实偶谐波函数
)2()( Ttftf ??
)( 0 0
)( 0
为偶数
为奇数
nba
nba
nn
nn
??
??
)2 2( 00 ?? ???? TT
t
)(tf
2T? 2T
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tT
1-T1 02?? 2?
????
一、周期矩形脉冲的频谱
一个周期内
2
0
2
)(
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t
tE
tf
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?
§ 3.3 周期信号的频谱特点
1．单边谱 ----三角级数
是个偶函数??tf
nn aab,,0 0只有?
)( tf
2
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t
1
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T?
E
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T
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2
j
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1
1
1 de)(1)(
T
T
tn ttf
TjnF
??
tn 1j ??2.指数级数系数
)(
1
?nF
?O
? ? ?
?
??
?
??
2Sa 111
???? n
T
EjnF3．频谱及其特点
(1)包络线形状,抽样函数
(3)离散谱 （ 谐波性 ）
,11 ??? 离散谱线之间的间隔为时取值当 n?
直流分量。处，为其最大值在,0 )2(
1T
En ??
1? 12?
1T
E?
?
π2
?5?T图中
)(
1
?nF
?O
? ? ?
?
??
?
??
2Sa 111
???? n
T
EjnF
相位数），幅度函是复函数（此处为实）（ /)(5 1?nF
?
π2)4 第一个零点坐标：（
1? 12?
1T
E?
?
π2
?
?????
???
?? n2n
2,
π2
2 ????? ＝令
。相位为，，相位为 π,000 ??? nn FF
?5?T图中
4.频带宽度
)(
1
?nF
?O
1? 12?
1T
E?
?
π2
第一个零点集中了信号绝 大部分能量 （平均功率）
由频谱的 收敛性 可知，信号的功率集中在低频段。
而总功率
a.周期矩形脉冲信号的功率
二者比值
? ? ? ? ? ? ? ? 21212121 432 ???? ???????? FFFF
2181.0 E?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2121212125 4320 ???? FFFFFP n ?????
? ??? ?
???
??
n
T nFttf
TP
2
10
2 d)(1 ?
2
0
2
1
2.0d)(1 1 EttfT T ??
%5.905 ?PP n
次谐波为例，取前以 5 s41,s201 1 ?? T?
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围
的 信号来表示，此频率范围称为 频带宽度 。
b.频带宽度
对于一般周期信号，将幅度下降为 的
频率区间定义为频带宽度。
? ? m a x1101 ?nF
一般把 第一个零点 作为信号的频带宽度。记为：
，带宽与脉宽成反比。或 ??? 1π2 ?? fBB
语音信号 频率大约为 300~3400Hz，
音乐信号 50~15,000Hz，
扩音器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。
c．系统的通频带 >信号的带宽，才能不失真
二、周期信号的频谱特点
为间隔的离散谱离散性：以 1.1 ?
的频率分量谐波性：只有 1.2 ?n
0,3 ??? nFn收敛性：
? ? 非周期信号。由周期信号
为无限小，，，时，当
?
???
tf
T
E
T
1
11 0.3
?
?
??
?
?
?
??
?
??
1
1
1
π2
T
T ?谱线间隔
幅度
三、频谱结构与波形参数 T1,τ 的关系
,.1 1 ??不变TE
????? NBF n ?
,.2 1 ?TE 不变?
)(tf,周期信号 非周期信号
?? ?? 2
2
j
1
1
1
1
1 de)(1)(
T
T
tn ttf
TjnF
??谱系数
连续谱，幅度无限小；离散谱
一, 引出
??1T
0
再用 表示频谱就不合适了，虽然各
频谱幅度无限小，但 相对大小 仍有区别，
引入 频谱密度函数 。
? ?1?jnF
1
1`
π2
T??谱线间隔
0
§ 3.4非周期信号的频谱分析
---傅立叶变换 (FT）
0)(,01 1
1
??? ?nFTf
?? ?? 2
2
j
1
1
1
1
1 de)(1)(
T
T
tn ttf
TjnF
??
? ? ? ?11lim
1
?? jnFTjF
T ??
? ??
?
??
? 2
2
j
1
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1
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T
T
tn
T
ttf ?
?
? ? ? ? 连续,????? ???? 111 d nn
? ? ? ? ? ?
f
jnF
T
jnF
jnFT 1
1
1
11 1
??
? ??
时，当 ??1T
（ 1）
? ? 有界函数?
f
jnF 1?
频谱密度函数
简称频谱函数
1T? 1T?
单位频带上的复
振幅值
1n??j)( t dtetf
??1T
?
??
X
21T
21T?
)(je|)(|)( ???? jFjF ?
? ? )( 称为傅里叶变换。求由 ?jFtf
? ?,故可表示为一般为复信号?jF
? ? 幅度频谱:~ ??jF
? ? 相位频谱:~ ???
? ?)(de)()( j tfFttfjF t ?? ? ?
??
? ??
?
?
???
???
n
tnjnFtf 1j
1
1
1 e)()( ??
?
? π2
)(
1
1lim
1 ?
?jnF
T ??
?
? ? )( 11l i m
1
?? jnFTjF
T ??
?
1
1 )(lim
1 ?
?jnF
T ??
? ?
π2
?jF?
,d1 ?? ? ?? ?1n,1 时当 ??T
? ? ? ? ??? ? de2 1 j tjFtf ? ?
??
?
? ? )( 的反变换？应是 ?jFtf
由复指数形式的傅里叶级数
11 ??,再乘以除以
tn
n
jnFtf 1j1 e)()( ???
?
???
?
? ?)(de)()( j tfFttfjF t ?? ? ??? ? ??
? ? ? ?? ????? ? jFFejFtf t 1j d2 1)( ??
??
?? ?
? ? ? ??jFtf ? 简写
这里将 F(jω)称做 f(t)的 傅立叶变换,
而 f(t)称做 F(jω)的 傅立叶逆变换
①
②
1,f(t)为实函数,F(jω)一般是 ω的复函数。
dtetfjF tj? ??? ?? ?? )()( ? ???? ????? t d ttfjt d tCo stf ?? s i n)()(
)j X ()R( ?? ?? )(j-e|)F ( j| ????
的奇函数虚部为
的偶函数实部为
其中，
???
???
)- X ( -)X(
)R ( -)R(
?
?
的奇函数幅角为
的偶函数模为
?????
????
)(--)(
)(|F ( j|)F(
?
??? F
信号的相位谱的关系
信号的振幅谱的关系画出
---- )(
---- )F(
???
??
?
?
二、频谱密度函数 F(jω)的特性
2,实偶函数的频谱是实偶函数
即 f (t)= f (- t ),则 F(jω)=R(ω)
3,实奇函数的频谱是虚奇函数
即 f (t)= -f (-t),则 F(jω)=jX(ω)
4,偶函数的频谱是偶函数
即 f (t)= f (-t),则 F(-jω)=F(jω)
证明：
∵f (t) Sinωt ---奇函数 ∴
X(ω)=0
∵f (t)Cosωt ---奇函数 ∴
R(ω)=0
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- t )()(
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????
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jFdefdef
dtetfjF
jj
tj 令
三、求取频谱的方法
dtetfjF tj?? ?????? )()(
① 根据周期信号的复振幅求 F(jω)
F(jω) = T Fn 把 nω0 ----> ω
② 根据定义：
③ 借助常用信号的频谱及 FT性质
5、奇函数的频谱是奇函数
即 f (t)= -f (- t),则 F(-jω)= - F(jω)
例 1.求
)F ( j)( ?? 的频谱tG
)(tG?
t0
2
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1
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2
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即
ω?
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0
F(jω)
)
2
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T
??解
)2(TF)F ( j n ???? Sa???
t
)(t?
0
1)F(j ?
ω0
)F ( j )(.2 ?? 的频谱求例 t
dtett tj? ?? ??? - )(])(F[)F ( j ????解：
1 1)(
-
??? ? ?
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dtt?
1)( ?t?
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▼,傅里叶变换的物理意义
? ? ?? ??? deeπ2 1 j)(j tF? ?
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0
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0
实函数
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欧拉公式
积分为 0
? ? ? ? ? ?? ?????? ?? ? ? tFtf c o sdπ
0
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0,,
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π
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频域范围之和
的连续余弦信号无穷多个振幅为无穷小 ??F
求和 振幅 正弦信号
? ?
。域信号之和，占据整个频
的连续指数无穷多个幅度为无穷小
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F
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??
?
??
◢,傅里叶变换存在的条件
所有能量信号均满足此条件。
? ?绝对可积即 tf
? ? )( d 充分条件有限值?? ??? ttf
? ?
函数类型大大扩展了。
傅里叶变换的函数的概念后，允许作当引入 ??
?
?
?
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ja
dte
dtetUedtetf
tja
jatj
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?
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1
)( )()F ( j
0
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)(
t t?
)2()( ???? SatG ?
§3.5 典型非周期信号的频谱
一、门函数 ----- )(tG
?
二、单边指数信号 ---- )( tUe ta?
f (t)
t0
)(?F
?a30
a21
?jatU
a
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1)( t-e即
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2
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aa
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22
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三、双边指数信号 ----
| t|ae?
22
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e e
e
)()
0
t t -0
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t t
-
t| t |-
-
t
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jaja
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2)s g n ( ?
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-1 t
sgn(t)
0
)(?F
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四、符号函数 ------
-
?)sgn(t{ 0 t1 ? 0 t1 ??
)]( )( [) ( s g n lim 0 tuetuet atata ??? ???
][)F ( j )(00 )(lim 0 dtedte tjatjaa ??? ???? ??? ?? ???
??? jjajaa
2)11( lim
0 ????? ?
0
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n( n )
/
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j( t ) )(
??
????
?
?? 同理可得jjF
五、冲激信号和冲激偶 1)( ?t?
冲激偶 ---- )(/ t?
比较①、②可知 )(/ t? 的频谱函数
)(t?
t0
)( ?jF
?
1
①
②
......,12 1)( dtet tj??? ?? ? ?
??
?
..,.,,,2 1)()(dtd / dtejtt tj????? ???? ? ?
??
电子信息分院
信息工程系
制作
2004.02.28
第三章
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里
叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基
础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析
（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函
数或复指数函数的组合。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号
内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的
密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调
制和频分复用等重要概念。
一、引言
第三章 连续时间系统的频域分析
二、主要内容
① 周期信号的分解 (谐波分析 )————
傅立叶级数 ( )、离散谱??
00 2,??
t0cos?
③ 典型信号的频谱
??直流指数信号，正弦信号，),(),( tUt?
1.信号分析
tje ?② 非周期信号的分解 ————
傅立叶变换 (FT)、连续谱
非正弦
2.系统分析
① 傅氏变换的性质及应用 ---
建立 时间特性 和 频率特性 的对应关系
(信号通过系统后，时间特性及频谱发生
变换的对应关系 )
)(tf )(ty
)( ?jF )( ?jY
)(th
)( jwH
?? )()( tfpH
② 系统频率特性的描述和表征
——
③ 系统的功能
——
)( ?jH
)()( ?? jFjH ?
④ 系统的频域分析 ——
无失真传输，理想低通滤波器
抽样定理，调制与解调
三、牢固建立几个重要的概念
1.信号等效于一个频谱
)()( ?jFtf ??
建立信号和频谱间的一一对应关系：
周期信号 ——
非周期信号 ——
非周期抽样信号 ——
离散谱
连续谱
连续周期谱
)()( ?jHth ??
)()( ?? jFjH ?
)()( thtf ?
)()( ?? jFjH
滤波器
系统等效于一个频率特性
系统就是一个频谱变换器
信号与系统的相互作用：
在时域里表现为时间函数卷积
在频域里表现为两个谱函数相乘
2.
3.
4.
§ 3.1信号分解为正交函数
一、正交矢量
在平面空间中，两个矢量正交是指两个矢量相互垂直。即有：
A1·A 2=0
这样，平面空间中的任一个矢量都可以分解为两个正交矢量的组合
A=C1A1+C2A2
以此类推，三维空间的矢量可表示为,
A=C1A1+C2A2+C3A3
n维空间矢量
A=C1A1+C2A2+…+C nAn
二、正交函数集
将正交矢量分解的概念，推广应用到信号分析中。
1、正交函数
0)()( 212
1
?? dttftft
t
则称函数 f1(t),f2(t)在 (t1,t2)区间内正交
2、正交函数集
?
?
?
?
?
??
jik
ji
dttftf
i
j
t
t i
0
)()(2
1
在区间 (t1,t2)上有 f1(t),f2(t),….f n(t),若有
则称 {f1(t),f2(t),….f n(t)}为 (t1,t2)内的正交函数集
3.完备的正交函数集
在区间 (t1,t2)，如果在正交函数集 {f1(t),….f n(t)}外找不到
另外一个非零函数与该正交函数集中的每一个函数都正交在，
则称该函数为完备的正交函数集。
常见的完备的正交函数集
① 三角函数集 {cosnΩt,sinmΩt}在区间 (t0,t0+T)
② 指数函数集 {ejΩnt}在区间 (t0,t0+T)
③ 其它如 Sa()及沃尔什函数也是完备的正交函数集
三、信号分解为正交函数
与矢量的 n维空间分解类似，给定一个 n个函数 {f1(t),f2(t),…f n(t)
构在 (t1,t2)上一个完备正交函数集，则在由这个函数集构成的空间
内的任一个函数 f(t)可以用这 n个正交函数的线性组合来近似。
f(t)≈C1f1(t)+C2f2(t)+….+C nfn(t)
问题：如何选择系数 Ci才能得到最佳近似。
在均方误差准则下：
2
112
2 ])()([1 2
1
??
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n
i
ii
t
t
tfctftt?
有：
dttf
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t
t
i
t
t
i
i 2
2
1
2
1
|)(|
)()(
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§ 3, 2 周期信号的傅立叶级数分析
必须指出，并非任意周期信号都能进行
傅立叶级数展开，被展开的周期函数
??2,1,0 )()( ????? nnTtftf
应满足如下的充分条件 —— 狄义赫利条件,
等于有限值 |)(|0
0?
? Tt
t
dttf
1.在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数
目应是有限个
2.在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个
3.在一周期内，信号是绝对可积的，即
一、三角形式的傅立叶级数
①
注意到三角函数的正交性：
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1
000 )s i nc o s()(
n
nn tnbtnaatf ??
?3,2,1 )(20 ?? n
T
基频其中,??
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t ??
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0
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nmTt d tmtnTt
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容易求得：
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Tt
t
n
Tt
t
n
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t
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T
b
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T
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T
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0
0
0
0
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0
0
0
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2
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2
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直流分量
②
注意：
的奇函数是
的偶函数是
nbb
naa
nn
nn
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?
??
?
为了更深刻理解信号正交分解的物理含义：
则由 式可得：①
???
?
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nn tnAAtf ??③
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的奇函数是
的偶函数是
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n
nAA
nn
nn
??
结论：
nnnn AAbaatf ?,,,,)( 00 ??
简谐振荡分量的基频 与周期信号的周
期 T有关，其它分量分别为 T
?? 2
0 ?
?00 3,2 ??
?
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???
1
00 )c o s ()(
n
nn tnAAtf ??
直流分量 A0及谐波分量的振幅 An和相位
由信号波型 (即 f(t))确定。
2.
3.
谐波分解
任何满足狄义赫利条件的非正弦周期信号，均
可分解为直流分量，和很多简谐振荡的正弦分
量的迭加。
1.
An
0 ?
0? 02?
n?
0 ?
0? 02?
振幅谱的关系 ?)(~ ?nA n
相位谱的关系 ?)(~ ?? nn
?周期信号频谱
的奇函数相位谱是
的偶函数振幅谱是
谱，且周期信号的频谱是离散
?
?
5.
4.
2
c o s
jxjx ee
x
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二、指数形式的傅里叶级数
由
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n
tjnjn eeAeeAAtf nn ????有
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复振幅令 ??njnn eAjnF ??
2
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???
?
???
?
n
tjn
n eFtf
0)( ?有 ④
结论：
2.指数信号包含有
等正负两个指数频率分量，也正是
这样两个指数分量才合成一个简谐
振荡分量。
??00 2,?? ??
1,同一周期信号既可分解为 简谐 振 荡
的形式，也可分解为 指数信号 的迭加。
)]()([)(.3 0?jnFtftf n求得可由有关复振幅与
]s i n)(c os)([
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)(
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1
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Tt
t
tjn
n dtetfTjnF
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其中
的奇函数是
的偶函数是
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1
22
n
n
n
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n
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b
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Aba
F
?
?
?
?
?
?
)( ~ 与纵轴对称周期信号的振幅谱?nF
4.
)( ~ 与原点对称周期信号的相位谱?? n
例 3.2-把如图所示的周期矩形脉冲展开
成三角函数和指数函数并画出相
应的频谱 `
)(tf
E
tT-T 0
2?? 2?
…….……
)(
2
0
2)( 在同一个周期内
?
?
?
?
?
?
?
?
t
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tf
?
?
解：
T
EE d t
TdttfTa
T
T
??
? ???? ?? ?? 2
2
2
2
0
1)(1
相应的频谱图如图。
?
?
?
?
?
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??
?
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)
4
~
2
(
)
2
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0
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例 3.2-2
)()()( 0??? jnFnTtt n
n
T 的频谱求 ?
?
???
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????
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解：
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?
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T eTt
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?
???
?
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tjn
n eFtf
0)( ?
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系
如图：
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2T? 2T
0 t
E
和余弦项，为实数，只含有直流
为实偶函数
2
)0s i n)(( 0
,)(.1
2
2
0
n
n
T
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a
F
t d tntfbb
tf
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?
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)5co s2513co s91( co s42)( 0002 ?????? tttEEtf ????
，纯虚数，只含正弦项
为实奇函数
2
)0c os)(( 0
,)(.2
2
2
0
n
n
T
Tnn
b
jF
t dtntfaa
tf
??
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?
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3
12s i n
2
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000 ????? ttt
Etf ???
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如图：
2T?
2T
2E?
2E
t
)(tf
3.半波像对称函数 (实奇谐波函数 )
)2()( Ttftf ???
)( 0 0
)( 00
为奇数
为偶数
nba
nbaa
nn
nn
??
???
仅含 n=1,3,5,…… 奇次谐波项
t
)(tf
-1
1
2T? 2T
T0
4.实偶谐波函数
)2()( Ttftf ??
)( 0 0
)( 0
为偶数
为奇数
nba
nba
nn
nn
??
??
)2 2( 00 ?? ???? TT
t
)(tf
2T? 2T
T
0
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)(tf
E
tT
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????
一、周期矩形脉冲的频谱
一个周期内
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2
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?
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t
tE
tf
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§ 3.3 周期信号的频谱特点
1．单边谱 ----三角级数
是个偶函数??tf
nn aab,,0 0只有?
)( tf
2
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E
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)(
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2Sa 111
???? n
T
EjnF3．频谱及其特点
(1)包络线形状,抽样函数
(3)离散谱 （ 谐波性 ）
,11 ??? 离散谱线之间的间隔为时取值当 n?
直流分量。处，为其最大值在,0 )2(
1T
En ??
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1T
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?
π2
?5?T图中
)(
1
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? ? ?
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??
?
??
2Sa 111
???? n
T
EjnF
相位数），幅度函是复函数（此处为实）（ /)(5 1?nF
?
π2)4 第一个零点坐标：（
1? 12?
1T
E?
?
π2
?
?????
???
?? n2n
2,
π2
2 ????? ＝令
。相位为，，相位为 π,000 ??? nn FF
?5?T图中
4.频带宽度
)(
1
?nF
?O
1? 12?
1T
E?
?
π2
第一个零点集中了信号绝 大部分能量 （平均功率）
由频谱的 收敛性 可知，信号的功率集中在低频段。
而总功率
a.周期矩形脉冲信号的功率
二者比值
? ? ? ? ? ? ? ? 21212121 432 ???? ???????? FFFF
2181.0 E?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2121212125 4320 ???? FFFFFP n ?????
? ??? ?
???
??
n
T nFttf
TP
2
10
2 d)(1 ?
2
0
2
1
2.0d)(1 1 EttfT T ??
%5.905 ?PP n
次谐波为例，取前以 5 s41,s201 1 ?? T?
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围
的 信号来表示，此频率范围称为 频带宽度 。
b.频带宽度
对于一般周期信号，将幅度下降为 的
频率区间定义为频带宽度。
? ? m a x1101 ?nF
一般把 第一个零点 作为信号的频带宽度。记为：
，带宽与脉宽成反比。或 ??? 1π2 ?? fBB
语音信号 频率大约为 300~3400Hz，
音乐信号 50~15,000Hz，
扩音器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。
c．系统的通频带 >信号的带宽，才能不失真
二、周期信号的频谱特点
为间隔的离散谱离散性：以 1.1 ?
的频率分量谐波性：只有 1.2 ?n
0,3 ??? nFn收敛性：
? ? 非周期信号。由周期信号
为无限小，，，时，当
?
???
tf
T
E
T
1
11 0.3
?
?
??
?
?
?
??
?
??
1
1
1
π2
T
T ?谱线间隔
幅度
三、频谱结构与波形参数 T1,τ 的关系
,.1 1 ??不变TE
????? NBF n ?
,.2 1 ?TE 不变?
)(tf,周期信号 非周期信号
?? ?? 2
2
j
1
1
1
1
1 de)(1)(
T
T
tn ttf
TjnF
??谱系数
连续谱，幅度无限小；离散谱
一, 引出
??1T
0
再用 表示频谱就不合适了，虽然各
频谱幅度无限小，但 相对大小 仍有区别，
引入 频谱密度函数 。
? ?1?jnF
1
1`
π2
T??谱线间隔
0
§ 3.4非周期信号的频谱分析
---傅立叶变换 (FT）
0)(,01 1
1
??? ?nFTf
?? ?? 2
2
j
1
1
1
1
1 de)(1)(
T
T
tn ttf
TjnF
??
? ? ? ?11lim
1
?? jnFTjF
T ??
? ??
?
??
? 2
2
j
1
1
1
1
de)(lim
T
T
tn
T
ttf ?
?
? ? ? ? 连续,????? ???? 111 d nn
? ? ? ? ? ?
f
jnF
T
jnF
jnFT 1
1
1
11 1
??
? ??
时，当 ??1T
（ 1）
? ? 有界函数?
f
jnF 1?
频谱密度函数
简称频谱函数
1T? 1T?
单位频带上的复
振幅值
1n??j)( t dtetf
??1T
?
??
X
21T
21T?
)(je|)(|)( ???? jFjF ?
? ? )( 称为傅里叶变换。求由 ?jFtf
? ?,故可表示为一般为复信号?jF
? ? 幅度频谱:~ ??jF
? ? 相位频谱:~ ???
? ?)(de)()( j tfFttfjF t ?? ? ?
??
? ??
?
?
???
???
n
tnjnFtf 1j
1
1
1 e)()( ??
?
? π2
)(
1
1lim
1 ?
?jnF
T ??
?
? ? )( 11l i m
1
?? jnFTjF
T ??
?
1
1 )(lim
1 ?
?jnF
T ??
? ?
π2
?jF?
,d1 ?? ? ?? ?1n,1 时当 ??T
? ? ? ? ??? ? de2 1 j tjFtf ? ?
??
?
? ? )( 的反变换？应是 ?jFtf
由复指数形式的傅里叶级数
11 ??,再乘以除以
tn
n
jnFtf 1j1 e)()( ???
?
???
?
? ?)(de)()( j tfFttfjF t ?? ? ??? ? ??
? ? ? ?? ????? ? jFFejFtf t 1j d2 1)( ??
??
?? ?
? ? ? ??jFtf ? 简写
这里将 F(jω)称做 f(t)的 傅立叶变换,
而 f(t)称做 F(jω)的 傅立叶逆变换
①
②
1,f(t)为实函数,F(jω)一般是 ω的复函数。
dtetfjF tj? ??? ?? ?? )()( ? ???? ????? t d ttfjt d tCo stf ?? s i n)()(
)j X ()R( ?? ?? )(j-e|)F ( j| ????
的奇函数虚部为
的偶函数实部为
其中，
???
???
)- X ( -)X(
)R ( -)R(
?
?
的奇函数幅角为
的偶函数模为
?????
????
)(--)(
)(|F ( j|)F(
?
??? F
信号的相位谱的关系
信号的振幅谱的关系画出
---- )(
---- )F(
???
??
?
?
二、频谱密度函数 F(jω)的特性
2,实偶函数的频谱是实偶函数
即 f (t)= f (- t ),则 F(jω)=R(ω)
3,实奇函数的频谱是虚奇函数
即 f (t)= -f (-t),则 F(jω)=jX(ω)
4,偶函数的频谱是偶函数
即 f (t)= f (-t),则 F(-jω)=F(jω)
证明：
∵f (t) Sinωt ---奇函数 ∴
X(ω)=0
∵f (t)Cosωt ---奇函数 ∴
R(ω)=0
? ?
?
??
??
?
??
??
?
??
????
???
)( )()(-
- t )()(
?????
??
????
?
jFdefdef
dtetfjF
jj
tj 令
三、求取频谱的方法
dtetfjF tj?? ?????? )()(
① 根据周期信号的复振幅求 F(jω)
F(jω) = T Fn 把 nω0 ----> ω
② 根据定义：
③ 借助常用信号的频谱及 FT性质
5、奇函数的频谱是奇函数
即 f (t)= -f (- t),则 F(-jω)= - F(jω)
例 1.求
)F ( j)( ?? 的频谱tG
)(tG?
t0
2
?2??
1
)
2
()(
??
?? SatG ?
即
ω?
?2
0
F(jω)
)
2
(F 0n ??? nSa
T
??解
)2(TF)F ( j n ???? Sa???
t
)(t?
0
1)F(j ?
ω0
)F ( j )(.2 ?? 的频谱求例 t
dtett tj? ?? ??? - )(])(F[)F ( j ????解：
1 1)(
-
??? ? ?
?
dtt?
1)( ?t?
? ? ?? ? deπ2 1)( j tFtf ? ?
??
?
▼,傅里叶变换的物理意义
? ? ?? ??? deeπ2 1 j)(j tF? ?
??
?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ?????
?????
ds i n
π2
1
j
dc os
π2
1
??
??
?
?
?
??
?
??
tF
tF
? ? ? ?? ? ?????? dc o s1
0
?? ? ? tF
? ? ? ?? ?????
?
? ?? ? ? tF c o sd
0
实函数
? ? ? ? ? ????? jeFF ?
欧拉公式
积分为 0
? ? ? ? ? ?? ?????? ?? ? ? tFtf c o sdπ
0
? ?
??
?
?
?
?
?
?
0,,
d
π
1
频域范围之和
的连续余弦信号无穷多个振幅为无穷小 ??F
求和 振幅 正弦信号
? ?
。域信号之和，占据整个频
的连续指数无穷多个幅度为无穷小
????
?
?
?
?
?
?
:,
d
2
1
?
??
?
F
? ? ? ? tt FFtf ?? ???? jj edπ2deπ2 1)( ??? ?? ?
??
?
??
◢,傅里叶变换存在的条件
所有能量信号均满足此条件。
? ?绝对可积即 tf
? ? )( d 充分条件有限值?? ??? ttf
? ?
函数类型大大扩展了。
傅里叶变换的函数的概念后，允许作当引入 ??
?
?
?
??
ja
dte
dtetUedtetf
tja
jatj
?
???
? ????
?
?
?
?
?
??
???
1
)( )()F ( j
0
--
)(
t t?
)2()( ???? SatG ?
§3.5 典型非周期信号的频谱
一、门函数 ----- )(tG
?
二、单边指数信号 ---- )( tUe ta?
f (t)
t0
)(?F
?a30
a21
?jatU
a
??
1)( t-e即
2?
2
??
?
)(??
aa
F ???
?
? 1-
22
- t g)( 1)( ?
?
?
三、双边指数信号 ----
| t|ae?
22
211
e e
e
)()
0
t t -0
-
t t
-
t| t |-
-
t
?
??
??
?
?
?
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???
? ??? ??
? ??
??
? ?
?
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?
?
?
?
?
a
a
jaja
dtedte
dte
dtetfF (j ω
jaja
ja
j
?
f (t)
t
1
)(?F
a0
a1
a2
?
即
0)( 2)(
22
??? ???? aajF
22
| | 2
a
ae ta
?
??
?
?jt
2)s g n ( ?
1
-1 t
sgn(t)
0
)(?F
?0
四、符号函数 ------
-
?)sgn(t{ 0 t1 ? 0 t1 ??
)]( )( [) ( s g n lim 0 tuetuet atata ??? ???
][)F ( j )(00 )(lim 0 dtedte tjatjaa ??? ???? ??? ?? ???
??? jjajaa
2)11( lim
0 ????? ?
0
2
0
2
)(
||
2)( ??
??
???
??
??
??
?
?F
2??
2? 0
?
)(??
n( n )
/
) j(( t )
j( t ) )(
??
????
?
?? 同理可得jjF
五、冲激信号和冲激偶 1)( ?t?
冲激偶 ---- )(/ t?
比较①、②可知 )(/ t? 的频谱函数
)(t?
t0
)( ?jF
?
1
①
②
......,12 1)( dtet tj??? ?? ? ?
??
?
..,.,,,2 1)()(dtd / dtejtt tj????? ???? ? ?
??
