§ 6.5离散系统 Z变换分析法
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分
方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：
?时域方法 —— 第 5章中介绍，烦琐
?z变换方法
?差分方程经 z变换 → 代数方程；
?可以将时域卷积 → 频域（ z域）乘积；
?部分分式分解后将求解过程变为查表；
?求解过程自动包含了初始状态（相当于 0-的条件）。
一．差分方程的变换解
(1)对差分方程进行 单边 z变换（ 移位性质 ）；
(2)由 z变换方程求出响应 Y(z) ；
(3) 求 Y(z) 的反变换，得到 y(n) 。
1．步骤
线性时不变离散系统总可以用差分方程来描述，对差分方程两边
取 Z变换，则可以将差分方程变换为代数方程，并把初始条件自
动包含在内。
? ? ? ? ?
?
?
??
? ??? ??
??
??
1
)]([
mk
km zkyzYzmnyZ
? ? ? ? ?
?
?
??
? ??? ??
?
?
1
0
)]([
m
k
km zkyzYzmnyZ
2．差分方程响应 y(n)的起始点确定
? ? ? ?? ? 2
21
2
??
?
zz
zzY
全 响应 y(n)根据 输入 信号 加上 的时刻定
对因果 系统 y(n)不可能出现在 x(n)之前
观察 Y(z)分子分母 的幂次
分母 高 于分子的 次数 是响应的 起点
? ? 。有不为零的值开始从 2 nyn ?
3．差分方程解的验证
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
解答是正确的
两种迭代结果相同
解的表达式迭代出
原方程迭代出,
2,1,0
2,1,0
?
?
yyy
yyy
二、系统函数
我们把零状态响应的 Z变换与激励的 Z变换 F(Z)之比称为系统函
数，用 H（ Z）表示。
)(
)()(
zX
zYzH f?
h(n)和 H(z)为一对 z变换
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?zXzHzYnxnhny ?????zs
例 6－ 5－ 1 一离散系统的差分方程为
激励 f(n)=3nu(n),y(0)=2.求 y(n).
)()1(2)( nfnyny ???
)()]1()([2)( 1 zFyzYzzY ???? ?
11 21
)(
21
)1(2)(
?? ???
??
z
zF
z
yzY
解,方法一：差分方程变换解
对微分方程两边取 Z变换
)()1(2)()21( 1 zFyzYz ???? ?
3)](3[)( ??? z
znUZzF n
将 y(0)=2代入差分方程得 y(0)-2y(-1)=f(0)即有 y(-1)=1/2
)(1 ny x、求 法一,对齐次方程两边取单边 Z变换
0)]1()([2)( 1 ???? ? xxx yzYzzY
121
)1(2)(
??
???
z
yzY x
x 5.02
11)0(
2
1)0(
2
1)1( ?????? fyy
x
221
1)(
1 ???? ? z
z
z
zY x
)(2)( nuny nx ??
23
3
322)( ??????????? z
z
z
z
z
z
z
z
z
zzY
y(n)=[3(3)n-2n]U(n)
方法二、双零法
时域法求零输入
特征根 ?=2 )(2)( nucny nx ??
11)1(2)0(
5.0
2
1
1)0(
2
1
)0(
2
1
)1(
?????
??????
cyy
fyy
xx
x
)(2)( nuny nx ??
2.求 )(ny
f )()1(2)( nfnyny ???
221
1)(
1 ???? ? z
z
z
zH 3)( ?? z zzF
3
3
2
2
32
)()()(
?
?
?
??
?
?
?
??
z
z
z
z
z
z
z
zzFzHzY
f
)()23()( 11 nuny nnf ?? ???
)()23()()()( 1 nunynyny nnfx ????? ?
例 6-5-2
解：
已知系统框图
?列出系统的差分方程。
求系统的响应 y(n)。
（ 1） 列差分方程，从加法器入手
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nynynynxnx ??????? 22131
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12213 ??????? nxnxnynyny所以
E
1? ?nx
E
1
E
1
2?
3?
? ?ny
? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
??
?
???,010,
00
02 yy
n
nnx n?
? ? ? ? 452,211 ????? yy
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?21213 121 ???????? ??? yyzzYzyzYzzY
? ?? ? ? ?1 0122 1 ?????? ? xzz zz z
（ 3）差分方程两端取 z变换，利用右移位性质
（ 2） ? ? ? ? ? ? ? ?由方程迭代出用变换求解需要用 0,1,2,1 yyyyz ??
整理（ 1）式得全响应
? ?
? ?? ? ? ? 2
211
2 22121
2
?
?????
??
?
z
B
z
B
z
A
zzz
zY
? ? ? ? ? ?? ? 2221
22
d
d
!12
1
2
2
1 ?????
?
?
?
?
?
??
???? z
zz
zzB
? ?
? ? 22
2
2
2
1
2
?
??
?
??
?? zzzz
zY所以
? ? ? ? 2
2
22212
?
?????
z
z
z
z
z
zzY
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 22212 ??????? nnny nnn
2,2 21 ??? BA
? ? ? ?? ? 2
21
2
??? zz
zzY
注意
由方程解 y(n)表达式可以得出 y(0)=0,y(1)=0，和已知条件一致。
2,
)(
)( 2 ??
?
? a
az
aznuna n
? ? ? ?? ? ? ?? ? 11222 11 ?????? ?? nnny nn故
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?212422 22 ?????? ?? nunny nn
或
验证
§ 6.6H(Z)与系统的时域特性及频域特
性的关系
? ? ? ? ? ?
? ?的特性确定单位样值响应
的零极点分布情况，，所以可以从因为
nh
zHzHnh ?
H（ S)与系统的时域特性及频域特性的关系在四章时讨论过，本节
讨论 H（ z)与离散系统的时域特性及频域特性的关系，即讨论 H(z)
的零极点分布决定 h(n)以及 H（ z)与系统频率响应的关系及与系统
稳定性的关系。
一．由零极点分布确定单位样值响应
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
N
k
k
M
r
r
zp
zz
G
1
1
1
1
1
1
? ?
?
?
?
?
?
?
?
N
k
k
k
M
r
r
r
za
zb
zH
0
0
极点
零点
:
:
k
r
p
z
展成部分分式：（假设无重根）
? ? ??
?? ?
????
N
k k
k
N
k k
k
pz
zAA
pz
zAzH
1
0
0
? ? ?
?
?
??
?
?
?? ?
?
?
N
k k
k
pz
zAAZnh
1
0
1 所以
? ? ? ?zHnh ? 因为
? ? ? ? ? ??
?
??
N
k
n
kk nupAnA
1
0 ?
? ? ? ? ? ? ? ??
?
??
N
k
n
kk nupAnδAnh
1
0
的极点，可以是不同的实数或共轭复数，
决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升，
或为减幅、增幅、等幅振荡。
? ?zHpk,
? ?nh
:与 H(z)的零点、极点分布都有关。kAA,0
O zRe
zj Im
1?1?
极点位置与 h(n)形状的关系
s平面 z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点
虚轴上 等幅 单位圆上 等幅
原点时
左半平面 衰减 单位圆内 减幅
右半平面 增幅 单位圆外 增幅
? ? stu 1? 0?θ ? ? 1?? z znu
利用 z～ s平面的映射关系
1?z
二．离散系统的稳定性
? ? ????
???n
nh
对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必
定是有界的（ BIBO)。
(2)稳定性判据
(1)定义：
判据 1,离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对
可和 。
判据 2,对于因果系统，其稳定的充要条件为：
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单
位圆在内, 。 1,?? aaz
(3)连续系统和离散系统稳定性的比较
? ????? ??tth d ? ???
???
??
n
nh
连续系统 离散系统
系统稳定的充
要条件
极点 H(s)的极点全
部在左半平面
H(z)的极点全部
在单位圆内
收敛域 含虚轴的右半
平面
含单位圆的圆
外
临界稳定的极
点
沿虚轴
三,H（ z)与系统的频率响应的关系
)()(|)()( ??? ?
?
j
ez
j eHzHeH
j ?? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
N
k
k
M
r
r
zp
zz
G
1
1
1
1
1
1
? ?
?
?
?
?
?
?
?
N
k
k
k
M
r
r
r
za
zb
zH
0
0
如果 H(Z)的极点均在单位圆内，则 H(z)在单位圆上收敛，系统的频率响应
极点
零点
:
:
k
r
p
z
§ 6.7离散系统的频率响应
与连续系统类似，在离散系统中，也经常需要对输入
信号的频率进行处理。因此，有必要研究离散系统的
频率响应特性及稳态响应。
要研究序列的频率特性，也就是要研究序列的傅产叶变换
一．序列的傅立叶变换
O T T2 T3 tT?
? ? ? ?ttx
T
?
O 1 2 3 n1?
? ?nx
? ?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n Ω
n
T
nTx
nTtδnTxF
tδtxF
Tj
e)(
)()(
)()(
ωΩTnxnTx ?? ),()(令
DTFT:Discrete-time Fourier transform
为研究离散时间系统的频
率响应作准备，从抽样信
号的傅里叶变换引出：
? ? ? ?? ? ? ?ω
n
n ω
T XnxFnxtδtxF
jj ee)()()( ???
?
???
?＝
与 z变换之关系
? ? ? ? ωzω zXX jeje ??
? ? ? ???
???
??
n
nznxzX
变换即单位圆上的令 zzz ω,1,e j ??
?2
周期为
sRe
sImj
O
)j( ??s虚轴
zRe
zImj
O
? 1?
)e(
j ?
?z
单位圆
逆变换
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ωX
ωX
π
X
π
zzzXnx
n ωω
ωωn ωω
ωωn ωω
z
n
z
dee
π2
1
djeeee
j2
1
edeee
j2
1
d
jπ2
1
π
π
jj
π
π
jjjj
jjjj
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
? ?? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ωXnxX
ωnxXnx
n ωωω
n
n ωω
dee
π2
1
eI D T F T
deeD T F T
π
π
jjj
jj
?
?
?
?
???
?
??
??表示
输出对输入序列的相
移
? ? ? ? ? ? ? ?ωωω H
zzHH
?? jj
j
j ee
ee ???
? ? ωH ω ~e j
? ? ωω ~?
离散时间系统在单位圆上的 z变换即为傅氏变换，即系
统的单位样值响应 h(n)的 DTFT，为系统的频率响应,
输出与输入序列的幅度之比
：幅频特性
：相频特性
? ? DT F T)(e j 的即 nhH ω?
? ? 。为周期函数，其周期为为周期函数，所以 π2 e e jj ωω H?
二．离散系统频响特性
1、定义
? ?nx ? ?ny zs
? ?zH
离散系统
稳定的因果
? ?nx
n
O
ω
? ?
1
s i n θn ωA ?
ω
θ
1
A
? ?ny
zs
n
O
ω
? ?
2
s i n θn ωB ?
ω
θ
2
B
正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是
系统的 频率响应 特性。
2、物理意义
离散系统（数字滤波器）的分类
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带通
O ω
s
ω
c
ω
? ?
ω
H
j
e
低通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
高通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带阻
O ω2
s
ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
全通
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
3．频响特性的几何确定法
? ?
? ?
? ?k
N
k
r
M
r
pz
zz
zH
??
??
?
?
?
1
1
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?ωω
k
ω
N
k
r
ω
M
r H
p
z
eH ?? jj
j
1
j
1j ee
e
e
?
??
??
?
?
?
k
r
kk
ω
rr
ω
Bp
Az
?
?
jj
jj
ee
ee
??
??令
? ?
k
N
k
r
M
rω
B
A
H
1
1je
?
?
?
?
?幅频响应
? ? ??
??
??
N
k
k
M
r
r
11
????相位响应
? ?zRe
? ?zImj
1?
1
p
2
p
1
z
2
z
O
1
A
2
A
1
B
2
B
ω
1
?
2
?
1
?
2
?
ω
D
j
e
CE
几点说明
? ?
。零点的作用与极点相反
趋于无穷大。
，则频率响应的峰值＝落在单位圆上，若极点
值附近愈尖锐；
愈短，则频率响应在峰越靠近单位圆，若极点
点可能出现峰值。最短，则频率响应在该
度附近时，如果矢量的长点旋转到某个极点当
应。变化，但会响应相位响
不会使幅度响应发生处加入或去除零极点，因而在
响应不产生作用，处的零点或极点对幅度位于
?
?
?
?
?
??
0
e
0
0
j
ii
ii
i
i
ω
Bp
Bp
B
p
z
z
则系统的稳态响应为 )()()( 00 nueeHny jnj
ss ???
三,离散系统的稳态响应
1.单边指数信号作用下
设 因果稳定系统 的输入为 )()( 0 nuenx jn ??
证明,设 )()()()( zYnyzYny ssss ??
? ?
0
)()( ???? jez znxZzX )()()()(
0
zHez zzHzXzY j????
将上式展开为
?
?
? ????
N
i i
i
j zz
A
ez
AzzY
10
)(
)(
)(
)(
)(
0
0
0
0
?
?
?
?
?
??? ?
?
j
ez
ez
j
eH
zH
z
zY
ezA j
j
其中
的极点是 zH ( z )iz
0
0 )(
)( ?
?
?? j
j
ss ez
zeHzY则
? ? )()()()()( 00
0
0
11 nueeH
ez
zeHZzYZny jnj
j
j
ssss
??
?
?
?? ??
?
?
?
?
?
?
???
0
0
0 )()()(
???
?
?
? ??
?
j
ez
j eHzHeH
j式中
?
?
?
?
????
N
i i
i
j
j
zz
A
ez
zeHzY
10
0 )(
)(
因为系统是稳定的,H(Z)的极点 zi都位于单位圆内。当 n→∞ 时
求和项所对应的各指数衰减序列都趋于零。
)()c os ()()( 00 nuneHny jss ???? ?
则系统的稳态响应为
?jjj eeHeH )()( 00 ?? ?其中
现推导如下, )()(
2
1)(c o s)( 00
0 nueenunnx
jnjn ??? ?????
)(])()([21)( 0000 nueeHeeHny jnjjnjss ?????? ???
2.正弦信号作用下
设 因果稳定系统 的输入为 )(c o s)(
0 nunnx ??
)()( 00 ???? ? jj eHeH因为
?? jjjjjj eeHeHeeHeH ?????? ?? )()()()( 0000 则令
)()c o s ()(
)(][)(
2
1
)(
0
)()(
0
000
nuneH
nueeeHny
j
njnjj
ss
?
??
???
???
?
??????
例 1已知某 LTI因果系统的差分方程为
)1()2(21)1()( ?????? nfnynyny
(2) 单位样值响应 h(n)； (3) 若激励 f(n)=5cos(n?),求稳态响应
试求,(1) 系统函数 H(z)及频响
解：（ 1）求系统函数
由差分方程，得
5.05.01)( 221
1
?????? ??
?
zz
z
zz
zzH
5.0)()( 2 ???? ? ??
?
?
? jj
j
ez
j
ee
ezHeH
j
频响为
幅频特性与相频特性如下
0 1 2 3 4 5 6 7
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
0
2
4
)(??
|)(| ?jeH
（ 2）求单位样值响应
? ?)()( 1 zHZnh ??? 44 25.025.05.0)( 2 ?? jj ez
j
ez
j
zz
zzH
?
?
?
?
??
??
?
)()
4
s i n ()
2
1
(2
)()25.0()()25.0( 44
nu
n
nuejnuej
n
nn jj
?
??
?
???
?
（ 3）求稳态响应
?
??
?
? j
jj
j
j e
ee
eeH 4.04.0
5.0
)( 2 ???
??
?
)c o s (2
)c o s (4.05)(
?
??
n
nny ss
??
???
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分
方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：
?时域方法 —— 第 5章中介绍，烦琐
?z变换方法
?差分方程经 z变换 → 代数方程；
?可以将时域卷积 → 频域（ z域）乘积；
?部分分式分解后将求解过程变为查表；
?求解过程自动包含了初始状态（相当于 0-的条件）。
一．差分方程的变换解
(1)对差分方程进行 单边 z变换（ 移位性质 ）；
(2)由 z变换方程求出响应 Y(z) ；
(3) 求 Y(z) 的反变换，得到 y(n) 。
1．步骤
线性时不变离散系统总可以用差分方程来描述，对差分方程两边
取 Z变换，则可以将差分方程变换为代数方程，并把初始条件自
动包含在内。
? ? ? ? ?
?
?
??
? ??? ??
??
??
1
)]([
mk
km zkyzYzmnyZ
? ? ? ? ?
?
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?
1
0
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m
k
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2．差分方程响应 y(n)的起始点确定
? ? ? ?? ? 2
21
2
??
?
zz
zzY
全 响应 y(n)根据 输入 信号 加上 的时刻定
对因果 系统 y(n)不可能出现在 x(n)之前
观察 Y(z)分子分母 的幂次
分母 高 于分子的 次数 是响应的 起点
? ? 。有不为零的值开始从 2 nyn ?
3．差分方程解的验证
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
解答是正确的
两种迭代结果相同
解的表达式迭代出
原方程迭代出,
2,1,0
2,1,0
?
?
yyy
yyy
二、系统函数
我们把零状态响应的 Z变换与激励的 Z变换 F(Z)之比称为系统函
数，用 H（ Z）表示。
)(
)()(
zX
zYzH f?
h(n)和 H(z)为一对 z变换
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?zXzHzYnxnhny ?????zs
例 6－ 5－ 1 一离散系统的差分方程为
激励 f(n)=3nu(n),y(0)=2.求 y(n).
)()1(2)( nfnyny ???
)()]1()([2)( 1 zFyzYzzY ???? ?
11 21
)(
21
)1(2)(
?? ???
??
z
zF
z
yzY
解,方法一：差分方程变换解
对微分方程两边取 Z变换
)()1(2)()21( 1 zFyzYz ???? ?
3)](3[)( ??? z
znUZzF n
将 y(0)=2代入差分方程得 y(0)-2y(-1)=f(0)即有 y(-1)=1/2
)(1 ny x、求 法一,对齐次方程两边取单边 Z变换
0)]1()([2)( 1 ???? ? xxx yzYzzY
121
)1(2)(
??
???
z
yzY x
x 5.02
11)0(
2
1)0(
2
1)1( ?????? fyy
x
221
1)(
1 ???? ? z
z
z
zY x
)(2)( nuny nx ??
23
3
322)( ??????????? z
z
z
z
z
z
z
z
z
zzY
y(n)=[3(3)n-2n]U(n)
方法二、双零法
时域法求零输入
特征根 ?=2 )(2)( nucny nx ??
11)1(2)0(
5.0
2
1
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2
1
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2
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?????
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fyy
xx
x
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2.求 )(ny
f )()1(2)( nfnyny ???
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1)(
1 ???? ? z
z
z
zH 3)( ?? z zzF
3
3
2
2
32
)()()(
?
?
?
??
?
?
?
??
z
z
z
z
z
z
z
zzFzHzY
f
)()23()( 11 nuny nnf ?? ???
)()23()()()( 1 nunynyny nnfx ????? ?
例 6-5-2
解：
已知系统框图
?列出系统的差分方程。
求系统的响应 y(n)。
（ 1） 列差分方程，从加法器入手
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nynynynxnx ??????? 22131
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12213 ??????? nxnxnynyny所以
E
1? ?nx
E
1
E
1
2?
3?
? ?ny
? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
??
?
???,010,
00
02 yy
n
nnx n?
? ? ? ? 452,211 ????? yy
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?21213 121 ???????? ??? yyzzYzyzYzzY
? ?? ? ? ?1 0122 1 ?????? ? xzz zz z
（ 3）差分方程两端取 z变换，利用右移位性质
（ 2） ? ? ? ? ? ? ? ?由方程迭代出用变换求解需要用 0,1,2,1 yyyyz ??
整理（ 1）式得全响应
? ?
? ?? ? ? ? 2
211
2 22121
2
?
?????
??
?
z
B
z
B
z
A
zzz
zY
? ? ? ? ? ?? ? 2221
22
d
d
!12
1
2
2
1 ?????
?
?
?
?
?
??
???? z
zz
zzB
? ?
? ? 22
2
2
2
1
2
?
??
?
??
?? zzzz
zY所以
? ? ? ? 2
2
22212
?
?????
z
z
z
z
z
zzY
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 22212 ??????? nnny nnn
2,2 21 ??? BA
? ? ? ?? ? 2
21
2
??? zz
zzY
注意
由方程解 y(n)表达式可以得出 y(0)=0,y(1)=0，和已知条件一致。
2,
)(
)( 2 ??
?
? a
az
aznuna n
? ? ? ?? ? ? ?? ? 11222 11 ?????? ?? nnny nn故
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?212422 22 ?????? ?? nunny nn
或
验证
§ 6.6H(Z)与系统的时域特性及频域特
性的关系
? ? ? ? ? ?
? ?的特性确定单位样值响应
的零极点分布情况，，所以可以从因为
nh
zHzHnh ?
H（ S)与系统的时域特性及频域特性的关系在四章时讨论过，本节
讨论 H（ z)与离散系统的时域特性及频域特性的关系，即讨论 H(z)
的零极点分布决定 h(n)以及 H（ z)与系统频率响应的关系及与系统
稳定性的关系。
一．由零极点分布确定单位样值响应
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
N
k
k
M
r
r
zp
zz
G
1
1
1
1
1
1
? ?
?
?
?
?
?
?
?
N
k
k
k
M
r
r
r
za
zb
zH
0
0
极点
零点
:
:
k
r
p
z
展成部分分式：（假设无重根）
? ? ??
?? ?
????
N
k k
k
N
k k
k
pz
zAA
pz
zAzH
1
0
0
? ? ?
?
?
??
?
?
?? ?
?
?
N
k k
k
pz
zAAZnh
1
0
1 所以
? ? ? ?zHnh ? 因为
? ? ? ? ? ??
?
??
N
k
n
kk nupAnA
1
0 ?
? ? ? ? ? ? ? ??
?
??
N
k
n
kk nupAnδAnh
1
0
的极点，可以是不同的实数或共轭复数，
决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升，
或为减幅、增幅、等幅振荡。
? ?zHpk,
? ?nh
:与 H(z)的零点、极点分布都有关。kAA,0
O zRe
zj Im
1?1?
极点位置与 h(n)形状的关系
s平面 z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点
虚轴上 等幅 单位圆上 等幅
原点时
左半平面 衰减 单位圆内 减幅
右半平面 增幅 单位圆外 增幅
? ? stu 1? 0?θ ? ? 1?? z znu
利用 z～ s平面的映射关系
1?z
二．离散系统的稳定性
? ? ????
???n
nh
对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必
定是有界的（ BIBO)。
(2)稳定性判据
(1)定义：
判据 1,离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对
可和 。
判据 2,对于因果系统，其稳定的充要条件为：
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单
位圆在内, 。 1,?? aaz
(3)连续系统和离散系统稳定性的比较
? ????? ??tth d ? ???
???
??
n
nh
连续系统 离散系统
系统稳定的充
要条件
极点 H(s)的极点全
部在左半平面
H(z)的极点全部
在单位圆内
收敛域 含虚轴的右半
平面
含单位圆的圆
外
临界稳定的极
点
沿虚轴
三,H（ z)与系统的频率响应的关系
)()(|)()( ??? ?
?
j
ez
j eHzHeH
j ?? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
N
k
k
M
r
r
zp
zz
G
1
1
1
1
1
1
? ?
?
?
?
?
?
?
?
N
k
k
k
M
r
r
r
za
zb
zH
0
0
如果 H(Z)的极点均在单位圆内，则 H(z)在单位圆上收敛，系统的频率响应
极点
零点
:
:
k
r
p
z
§ 6.7离散系统的频率响应
与连续系统类似，在离散系统中，也经常需要对输入
信号的频率进行处理。因此，有必要研究离散系统的
频率响应特性及稳态响应。
要研究序列的频率特性，也就是要研究序列的傅产叶变换
一．序列的傅立叶变换
O T T2 T3 tT?
? ? ? ?ttx
T
?
O 1 2 3 n1?
? ?nx
? ?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n Ω
n
T
nTx
nTtδnTxF
tδtxF
Tj
e)(
)()(
)()(
ωΩTnxnTx ?? ),()(令
DTFT:Discrete-time Fourier transform
为研究离散时间系统的频
率响应作准备，从抽样信
号的傅里叶变换引出：
? ? ? ?? ? ? ?ω
n
n ω
T XnxFnxtδtxF
jj ee)()()( ???
?
???
?＝
与 z变换之关系
? ? ? ? ωzω zXX jeje ??
? ? ? ???
???
??
n
nznxzX
变换即单位圆上的令 zzz ω,1,e j ??
?2
周期为
sRe
sImj
O
)j( ??s虚轴
zRe
zImj
O
? 1?
)e(
j ?
?z
单位圆
逆变换
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ωX
ωX
π
X
π
zzzXnx
n ωω
ωωn ωω
ωωn ωω
z
n
z
dee
π2
1
djeeee
j2
1
edeee
j2
1
d
jπ2
1
π
π
jj
π
π
jjjj
jjjj
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
? ?? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ? ωXnxX
ωnxXnx
n ωωω
n
n ωω
dee
π2
1
eI D T F T
deeD T F T
π
π
jjj
jj
?
?
?
?
???
?
??
??表示
输出对输入序列的相
移
? ? ? ? ? ? ? ?ωωω H
zzHH
?? jj
j
j ee
ee ???
? ? ωH ω ~e j
? ? ωω ~?
离散时间系统在单位圆上的 z变换即为傅氏变换，即系
统的单位样值响应 h(n)的 DTFT，为系统的频率响应,
输出与输入序列的幅度之比
：幅频特性
：相频特性
? ? DT F T)(e j 的即 nhH ω?
? ? 。为周期函数，其周期为为周期函数，所以 π2 e e jj ωω H?
二．离散系统频响特性
1、定义
? ?nx ? ?ny zs
? ?zH
离散系统
稳定的因果
? ?nx
n
O
ω
? ?
1
s i n θn ωA ?
ω
θ
1
A
? ?ny
zs
n
O
ω
? ?
2
s i n θn ωB ?
ω
θ
2
B
正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是
系统的 频率响应 特性。
2、物理意义
离散系统（数字滤波器）的分类
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带通
O ω
s
ω
c
ω
? ?
ω
H
j
e
低通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
高通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带阻
O ω2
s
ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
全通
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
3．频响特性的几何确定法
? ?
? ?
? ?k
N
k
r
M
r
pz
zz
zH
??
??
?
?
?
1
1
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?ωω
k
ω
N
k
r
ω
M
r H
p
z
eH ?? jj
j
1
j
1j ee
e
e
?
??
??
?
?
?
k
r
kk
ω
rr
ω
Bp
Az
?
?
jj
jj
ee
ee
??
??令
? ?
k
N
k
r
M
rω
B
A
H
1
1je
?
?
?
?
?幅频响应
? ? ??
??
??
N
k
k
M
r
r
11
????相位响应
? ?zRe
? ?zImj
1?
1
p
2
p
1
z
2
z
O
1
A
2
A
1
B
2
B
ω
1
?
2
?
1
?
2
?
ω
D
j
e
CE
几点说明
? ?
。零点的作用与极点相反
趋于无穷大。
，则频率响应的峰值＝落在单位圆上，若极点
值附近愈尖锐；
愈短，则频率响应在峰越靠近单位圆，若极点
点可能出现峰值。最短，则频率响应在该
度附近时，如果矢量的长点旋转到某个极点当
应。变化，但会响应相位响
不会使幅度响应发生处加入或去除零极点，因而在
响应不产生作用，处的零点或极点对幅度位于
?
?
?
?
?
??
0
e
0
0
j
ii
ii
i
i
ω
Bp
Bp
B
p
z
z
则系统的稳态响应为 )()()( 00 nueeHny jnj
ss ???
三,离散系统的稳态响应
1.单边指数信号作用下
设 因果稳定系统 的输入为 )()( 0 nuenx jn ??
证明,设 )()()()( zYnyzYny ssss ??
? ?
0
)()( ???? jez znxZzX )()()()(
0
zHez zzHzXzY j????
将上式展开为
?
?
? ????
N
i i
i
j zz
A
ez
AzzY
10
)(
)(
)(
)(
)(
0
0
0
0
?
?
?
?
?
??? ?
?
j
ez
ez
j
eH
zH
z
zY
ezA j
j
其中
的极点是 zH ( z )iz
0
0 )(
)( ?
?
?? j
j
ss ez
zeHzY则
? ? )()()()()( 00
0
0
11 nueeH
ez
zeHZzYZny jnj
j
j
ssss
??
?
?
?? ??
?
?
?
?
?
?
???
0
0
0 )()()(
???
?
?
? ??
?
j
ez
j eHzHeH
j式中
?
?
?
?
????
N
i i
i
j
j
zz
A
ez
zeHzY
10
0 )(
)(
因为系统是稳定的,H(Z)的极点 zi都位于单位圆内。当 n→∞ 时
求和项所对应的各指数衰减序列都趋于零。
)()c os ()()( 00 nuneHny jss ???? ?
则系统的稳态响应为
?jjj eeHeH )()( 00 ?? ?其中
现推导如下, )()(
2
1)(c o s)( 00
0 nueenunnx
jnjn ??? ?????
)(])()([21)( 0000 nueeHeeHny jnjjnjss ?????? ???
2.正弦信号作用下
设 因果稳定系统 的输入为 )(c o s)(
0 nunnx ??
)()( 00 ???? ? jj eHeH因为
?? jjjjjj eeHeHeeHeH ?????? ?? )()()()( 0000 则令
)()c o s ()(
)(][)(
2
1
)(
0
)()(
0
000
nuneH
nueeeHny
j
njnjj
ss
?
??
???
???
?
??????
例 1已知某 LTI因果系统的差分方程为
)1()2(21)1()( ?????? nfnynyny
(2) 单位样值响应 h(n)； (3) 若激励 f(n)=5cos(n?),求稳态响应
试求,(1) 系统函数 H(z)及频响
解：（ 1）求系统函数
由差分方程，得
5.05.01)( 221
1
?????? ??
?
zz
z
zz
zzH
5.0)()( 2 ???? ? ??
?
?
? jj
j
ez
j
ee
ezHeH
j
频响为
幅频特性与相频特性如下
0 1 2 3 4 5 6 7
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
0
2
4
)(??
|)(| ?jeH
（ 2）求单位样值响应
? ?)()( 1 zHZnh ??? 44 25.025.05.0)( 2 ?? jj ez
j
ez
j
zz
zzH
?
?
?
?
??
??
?
)()
4
s i n ()
2
1
(2
)()25.0()()25.0( 44
nu
n
nuejnuej
n
nn jj
?
??
?
???
?
（ 3）求稳态响应
?
??
?
? j
jj
j
j e
ee
eeH 4.04.0
5.0
)( 2 ???
??
?
)c o s (2
)c o s (4.05)(
?
??
n
nny ss
??
???
