第四章 (1)
,信号与系统, CAI课件
通信与信息工程系
2004.02.28
第四章 连续时间系统的复频域分析
§ 4.1 引言
无傅立叶变换存在。
谱均含有冲激项。、直流、周期信号的频
、要求信号绝对可积
)0( )(
)(
1
?atUe
tU
at
一、频域分析的局限性
困难
傅立叶反变换、求时域响应时需要做
)(
2
1
)(
2
??
?
? dejFtf tj
?
?
??
?
以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的
结果有着清楚的物理意义,但也有不足之处。
)(3 ty f只能求零状态响应、不能包含初始状态，
)(tf )(tyf
)( )( )( ??? jYjHjF ??
LTI
)(th信
号
分
解
响
应
合
成
F 1?F
频域分析的框图如图 4.1-1所示
图 4.1-1
二、复频域分析
为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，克服傅立叶
变换的缺点，扩大信号的变换范围，本章研究拉氏变
换法。
?优点：
求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换
时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。
?缺点,
物理概念不如傅氏变换那样清楚。
本章内容及学习方法
本章首先由 傅氏变换 引出拉氏变换，然后对拉氏正
变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。
最后介绍系统函数以及 H(s)零极点概念，并根据他
们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介
绍系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
? ? ? ? ??? ? ttfFjF ?? e)(1 ? ? ttf tt dee)( j ?? ???
??
? ??
:,
)(e ),(
依傅氏变换定义容易满足绝对可积条件
后为大于零的任意实数乘以衰减因子信号 ?? ttf ?
称为复频率。具有频率的量纲令,,j,s?? ??
)j( ?? ?? F
? ? ? ?? ??? ?? ttfsF ts de
则
1．拉普拉斯正变换
ttf t de)( )j( ?? ?????? ?? ?
§ 4.2 拉普拉斯变换 ----LT
2．拉氏逆变换
? ? ? ?? ?
??
? ?? ??? ?? de
π2
1e j tt jFtf
? ? ? ? ? ? ??? ?? dejπ2 1 j? ?
??
??? tFtf
? ???? ?? ??? jj:,??? s对积分限：对
? ? ? ? je 的傅里叶逆变换是对于 ??? ?? Ftf t
t?e 以两边同乘
???? jdd ; j,??? ss 则取常数，若其中
? ? ? ?? ??
??
? j
j
dejπ2 1 ?
?
ssFtf ts
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ???? ?? ???? ttfsFttfF tst dedej j ????
所以
3．拉氏变换对
时刻加入：果信号，即信号从考虑到实际信号都是因 0
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ??
?
?
?
?
??
??
?
?
??
??
?
?
??
?
j
j
1
de
jπ2
1
de
σ
σ
ts
ts
ssFtfLtf
ttftfLsF
逆变换
正变换
? ? ? ?sFtf ?:记作
相应的单边拉氏变换为 ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
?
?
?
??
?
?
??
??
?
?
??
??
?
?
?
j
j
1
0
de
j2
1
de
σ
σ
ts
ts
ssFtfLtf
ttftfLsF
π
? ? ? ?称为象函数。称为原函数,sFtf
? ? ? ? ttfjωF tω de j0 ????所以
二．拉氏变换的收敛
? ?0 0e)(lim σσtf tσt ?????
收敛域,使 F(s)存在的 s的区域称为收敛域。
记为, ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件；
O σ
ωj
0
σ
收敛坐标
收敛轴
收敛区
其中 σ 0由 f(t)性质决定。
注：在实际工程中，只要把 σ
的值取的足够大，上式总是可
以满足的，所以它们的拉氏变
换都是存大的。本书只讨论单
边拉氏变换，其收敛域必定存
定，故在后面的说明中，一般
不在说明和注明其收敛域。
?
?j
0
图 4.2-2
1?
的拉氏变换及收敛域考查因果信号例 )()( 1-4, 2 tUetf t??
dtetUesF stt ??????? )()( 解
，此时如图
时收敛即）上式积分只有在（
22.4
1]R e [ 01]R e [
?
???? ss
?
??
???
???? ? 0
)1(
)1(
0
|1 sedt
ts
ts
1]R e [ 11 )( ????? sstUe t
0
?j
?
图 4.2-3
，此时如图
，即）有（要上式积分收敛，必须
32.4
1]R e [ 01]R e [
?
???? ss
的拉氏变换及收敛域左边信号考查例 )()( 2-4, 2 tUetf t ??? ?
dtetUesF stt ????? ??? ? )()( 解
1?
的一、一对应关系。才能建立信号和象函数
考虑，氏变换式和收敛域一起个重要概念。只有把拉
中的一说明收敛域是拉氏变换仅仅是收敛域不同，这
相同的，信号，拉氏变换是完全可见，两个完全不同的
0
)1(
)1(0 |
1 ??
??
??
?? ?
??? ? sedte
ts
ts
1]R e [ 11 )( ???? ?? sstUe t
三．一些常用函数的拉氏变换
? ? ??? ? ? ?0 de1)( ttuL st
1.阶跃函数
2.指数函数
? ? ?? ? ? ??? 0 deee tL sttαtα
ss
st 1e1
0 ??
??
? ?
? ? ???
???
0
e
sα
tsα
sα ?
1 ? ?ασ ??
全 s域平面收敛? ?? ? ? ? 1de
0 ??? ?
? ? tttL st??
? ?? ? ? ? 0ede0 00 stst tttttL ?? ? ????? ? ??
3.单位冲激信号
4,tnu(t)
? ? ? ? ??? 0 de tttL st
20
1e11
sss
st ??
?
?
??
?
????
?
?
? ? ? ? ??? 0 de tttL stnn
? ? ??? 0 1 de ttsn stn
? ? ??? 0 de1 stts
??
?
??
? ??
?? ?
? ???
0 0
dee1 tts stst
2?n
? ? ? ? 322 2122 ssstLstL ????
3?n
? ? ? ? 4323 6233 ssstLstL ????
? ? ? ?1?? nn tLsntL
??
?? 0e
st
n
s
t ? ?
???
0
1 de tt
s
n stn
? ? 1!?? nn sntL
??
1?n
所以
所以
2
0
2
0
0
2
0
2
00
0
)(
)
11
(
2
1
)( 5
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
tUtSi n
s
s
jsjs
tUtC os、
§ 4.3 单边拉氏变换的性质
? ?
? ?b1-4.3 1]R e [
)2)(1(
1
)(
a1-4.3 1]R e [
1
1
)(
1-4.3
2
1
如图
如图
变换及收敛域为已知两函数的拉普拉斯例
??
??
?
??
?
?
s
ss
sF
s
s
sF
)()( )()( 2211 sFtfsFtf ??
1 ( c )-3.4 2]R e [
)2(
1
)2)(1(
1
1
1
)()()( 21
如图
其线性组合
??
?
?
??
?
?
???
s
ssss
sFsFsF
)13.4...()( )()( )( 22112211 ???? sFsFtftf ????
一、线性特性
图 4.3-1
氏变换就不存在。
的拉数若无重迭部分，则新函如图
但有时也可能扩大，分来两个收敛域的重迭部
原一般新函数的收敛域是对因果信号而言
)(:)(13.4
:
,
tfc?
1?
2?
1?
0
?j
?
(a) ?j
0 ?
(b)
?j
0 ?
(c)
0 )( 0 stett ????特例，
)(25203 2-4,3 2 tfs s ???求例
2222 5
54
5
3
?
??
?? ss
s原式?
二、时延特性
)()( sFtf ?
)()5453()( tUtS intCo stf ???
0 )()()( 00 stesFttUttf ???? ……(4.3 -2)
)(23.4 3-4, 3 sF矩形脉冲的象函数求如图例 ?
)()()(, ???? tUtUtf解
)1(1)( ?sessF ????
)(tf
t?
1
0 图 4.3-2
?? se
stUstU
???? 1)( 1)(
可得
和公式级数收敛由等比级数求时当 1||0]R e [ ?? ? sTes
).()()(
0 4-4,3
0
sFnTtt
t
n
T 的象函数
序列时接入的周期单位冲激求在例
??
?
?
?
?
??
......1)( ?????? ?? n s TsT eesF
...)(...)()()(,
0
????????? ?
?
?
nTtTttnTtt
n
T ????? ）（解
sT
n e
nTt ?
?
? ?
??? 1 1)(
0
?
.....)(,..)( 1)( n s TsT enTteTtt ?? ????? ???
函数正弦半波整流信号的象求如图例 )(33.4 53.4 a??
)(*)()()(,
0
11
0
nTttfnTtftf
nn
???? ??
?
?
?
?
?解
)()()( 111 tftftf ba ???
)2()2()( 00 TtUTtS inttUS in ???? ??
图 4.3-3
)(tf
t0 T2T
2
3T T2
1
)(1 tf
(a) t0 2T T
1
)(1 tf b
(c)
t0 2T T
1)(1 tf a (b)
)1()( 22
0
2
0
1,
sT
e
s
sF ??
?
??
?
?
sT
sT
e
e
s
sFtf ?
?
?
??
?
??
1
1)()( 2
2
0
2
0
?
?故
2
2
0
2
0
1
1
sT
es
?
?
?
?
?
?
?
sT
n e
nTt ?
?
? ?
??? 1 1)(
0
?
如图 4.3-3 b,c所示
的象函数及求例 )( )( 6-4, 3 00 tUtS i netUtCo se atat ?? ??
)()( sFtf ?三、复频移特性
2
0
20 )( ?? ?? s
stUtC o s?解：
22
)(
)(
0
0
?
?
??
?
???
as
as
tUtC o sate
的调制定理有：由 FT
]})()([ {21)( 000 ??? jsFjsFtC o stf ????
0
00
00 )()( )( sttts essFttfe ??? ???
有频移有延时：
)33.4......()( )( 00 ??? ssFetf ts ?
22)(
)(
0
0
0
?
?
?
??
??
as
tUtS inate
的象函数，求已知例 )23( 1)( 73.4 2 ???? ? tfes stf t
四、时频展缩
)43.4......()(1)( )()( ??? asFaatfsFtf
有时延、展缩：
se
s
stf 2
2 1)2(
?
???解：由时延特性
ss
e
s
s
e
s
s
tf 3
2
2
3
2
2 91)
3
(
3
3
1
)23(
??
?
?
?
??时频展缩
)1(
3
2
2 9)1(
1)23( ???
??
??? st e
s
stfe频移特性
)53.4.,,,,, ( )(1)( 00 ??? ? asFeatatf ta
s
)()( sFtf ?
五、微分定理
、时域微分1
)0()()( ???? fssFtf
)63.4...()0()0()()( 2 ??????? ?? fsfsFstf
)0( )()( )(1
1
0
)(
?
??
?
?
??? mmn
n
m
nn fssFstf
?
?
，特例 nn stst ??? )( )(, )(??
)()()( sFstf nn ?对因果信号：
? ? )0()(d )(d),()( ????
?
?
??
?? fssF
t
tfLsFtfL 则若
? ? ? ?? ?
)0()0()(
)0(0
d
)(d
2
2
??
??
????
?????
?
?
?
?
?
fsfsFs
ffssFs
t
tf
L
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
? 1
0
)(1 )0()(
d
)(d n
r
rrnn
n
fssFs
t
tfL
推广：
证明,? ? ? ? ? ?
? ? )(0
deede
000
ssFf
ttsftfttf ststst
???
??
?
??
? ???? ?????? ??
电感元件的 s域模型
? ? ? ? )()(),()( sVtvLsItiL LLLL ??
t
tiLtv L
L d
)(d)( ?
? ? )0()()0()()( ?? ???? LLLLL LisIsLissILsV
)( ti L
? ?)( tv L
L
? ?sI L Ls ? ??0LLi
? ?sV L? ?
电感元件的 s模型
应用原函数微分性质
设
)()(43.4 8-4, 3 sFtf 的象函数所示信号求图例 ?
)()( sFtf ?? 由微分定理
)2()1(2)()( ??????? ttttf ???解：
ss eesFtf 22 21)()( ?? ???????
0)0(0)0( ??? ?? ff,由图可知：
图 4.3-4
1 20
t
11
2?
)(tf ??
(c)
)(tf
t0 1 2
1
1
(a)
1 20
1
t
)(tf?
1?
(b)
2)1( se ???
2
2 )1(
1)( se
ssF
???? 222 )1()()( sesFsFs ????
)(
4
83)( 9-4, 3
2
23
tf
ss
ssssF 求例
?
????
ss
sssF
4
851)(
2 ?
????解：
)( 3)(2)()()( 4 tUetUtttf t??????? ??
4
321
?
????
ss
s
的象函数和求例 )( )( 103.4 tUtettU at??
复频域微分,2
ds
sdFttf )()( ??
1
)
1
()(
2ssds
d
ttU ????
1)( stU ??解：
)()(1 n
n
nn
ds
sFdtft ?? ）（同理：
astUe
at
??
? 1)(
)(
1
2as ?? )
1()(
asds
dtUte at
???
?
2
1)(
sttU ?即：
? ?,则若 )()( sFtfL ?
? ?
s
f
s
sFττfL t )0()(d)( 1 ??
??
???????? ?
证明,? ? ? ? ? ? ττfττfττf tt ddd
0
0 ??? ??
????
? ?? ?01?f
? ?? ?? ???????0 0 ded tττf stt ? ? ? ??? ?
??
??
?
?
?
?
? ?? t sttst ttf
s
ττf
s 000
de1de
① ②
①
②
? ?? ?? t st ttfs
0
de1
? ?? ?
s
f 01??
? ?
s
sF?
六、积分定理
1、时域积分
电容元件的 s域模型
? ?
? ? )()(
),()(
sVtvL
sItiL
CC
CC
?
?设? ??? t cC iCtv ?? d)(1)(
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
s
i
s
sI
C
sV CCC )0()(1)(
)1(
)0(
d)(
1
)0(
1 0)1(
?
???
?
?
? ?
?
C
CC
v
i
C
i
C
??
)0(1)(1 ??? CC vssIsC
? ?ti C
? ?? ?tv C
C
sC
1
? ?
?0
1
Cv
s? ?sI
C
? ?? ?sV C
电容元件的 s模型
的象函数求例 )( 113.4 2 tUt?
1
!)(
?? n
n
s
ntUt推广：
)()( 1)( 0 ttUdUstU t ?? ? ??而解,?
1)( 2sttU ??
)(21)( 20 tUtdUt ?? ????
3
2 12)(
stUt ???
2.复频域积分
? ??? ??? ttfsF st de)()(
两边对 s积分：
? ?? ? ??? ?? ?????? ?? s sts sttfssF dde)(d)(
交换积分次序, tstf
s
ts dde)(? ??
??
? ?
???????
? ? ? ???
?
?
??
??
s
ssFt tfLsFtfL d)()()()(,则若
tttf
s
ts de1)(? ?
??
??
??
?
??
? ??
tt tf ts de)( ??
??
?? ?
证明：
的象函数求例 )()( 123.4 tUtSa?
sc t gtUtSa 1 )()( ??即：
1
1)(
2 ?? sttUS in?解：
?? dtUtSa
s 1
1)()(
2 ??? ?
?
??? stg |1?
sc t gstg 112 ?? ??? ?
为真分式且设 )( )()()( sFsFtUtf ?
)0( 64 12)()( 133.4 23
2
????
???? f
sss
sssFtf 求的象函数已知例
64
12)0(
23
2
???
????
??? sss
sssL i mf
s
解：
七、初值定理
32
32
614
1
12
1
sss
ssLi m
s
???
??
?
??
1?
10)-.,, ( 4, 3 )( )0( ssFL i mf s ??? ?则：
的终值为：则
点处的单极点）左半平面内（包括在原的所有极点都位于
换，且存在，并有拉普拉斯变及其导数设函数
)(
,)(
)( )(
tf
ssF
tftf ?
023 12)0( 23 ??? ???
??? sss
ssLi mf
s
初值：解：
八、终值定理
，求初值及终值。的象函数已知例 sss ssFtf 23 12)( )( 143.4 23 ?? ???
的左半平面。极点位于 ssss ssF )2)(1( 12)( ?? ???
sss
ssLi mf
s 23
12)(
230 ??
????
?
终值存在处仅有一阶极点，在 ?? 0s
)113.4...()()()(
0
?????
???
sFsLi mtfLi mf
st
2
1
23
12
20 ???
??
? ss
sLi m
s
频域卷积定理复,)( 2
63.4)()( )()( 2211 ??? 如图sFtfsFtf
、时域卷积定理1
效工具之一该定理是系统分析的有
★ 九、卷积定理
)123.4...( )( )()(*)( 2121 ??? sFsFtftf
)133.4...()](* )([ 2 1)()( 2121 ??? sFsFjtftf ?
? ? )()()()( 2121 sFsFtftfL ??
? ? )()(j2 1)()( 2121 sFsFtftfL ??? ?
证明：
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? tττtutfτuτftftfL st ded20 0 121 ?? ? ???? ? ? ?
交换积分次序
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? τtτtuτtfτftftfL st dde0 0 2121 ? ?? ? ? ?????? ????
?? ?????? 0,,??? － 同积分区间：令 xttx
? ? ? ?? ? ? ? ? ? τxxfτftftfL sxs τ ddee0 0 2121 ? ?? ? ?? ????????
)()( 21 sFsF?
.)(
0)(73.4 15-4, 3
，求其象函数
列接入的周期矩形脉冲序所示为如图例
tf
ta ??
(b) 图 4.3-7
)(1tf
t0 ?
1
t0 T T2
1
)(
0
nTt
n
???
?
?
*
s
etGFsF s ?
?
? ????? 1])
2([ )( 1?
)(*)()(
0
1 nTttftf
n
?? ?
?
?
?解：
)()()( 1 sFsFsF T????
sT
s
es
esF
?
?
??
???
1
11)( ?
sTT esF ??? 1
1)(
?
)(tf
t0 T T2?
1
(a)
1
1)()(
??? ssHth
).(
)()( )()( 16-4, 3
ty
tUtftUethLTI
f
t
的零状态响应
，求输入系统的已知例 ?? ?
1
11 )()()(
?????? sssHsFsY f
)()()( )(*)()( sHsFsYthtfty ff ???解：
1)()( stUtf ??
)()1()()()( tUetUetUty ttf ?? ?????
1
11
?
??
ss
一．由象函数求原函数的三种方法
(1)部分分式法
(2)利用留数定理 —— 围线积分法
(3)数值计算方法 —— 利用计算机
§ 4.4 拉普拉斯逆变换 -----部分分式
展开
二,F(s)的一般形式
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
bsbsbsb
asasasa
sB
sAsF
n
n
n
n
m
m
m
m
????
??????
?
?
?
?
?
?
ai,bi为实数,m,n为正整数。 ? ?,为有理真分式当 sFnm ?
? ?,式具有如下的有理分式形通常 sF
)())((
)())((
)(
)()(
21
21
nn
mm
pspspsb
zszszsa
sB
sAsF
???
?????
?
?分解
零点
极点
? ?0)(0)( ??? sFsA因为
? ? ? ?的零点称为的根是 sFsAzzzz m,0,,321 ??
? ? ? ?的极点称为的根是 sFsBpppp n,0,,321 ??
? ????? )(0)( sFsB因为
三,拉氏逆变换的过程
? ?的极点找出 sF
? ?展成部分分式将 sF
? ?tf查拉氏变换表求
四．部分分式展开法 (m<n)
1.第一种情况,单阶 实数极点
,,321 为不同的实数根npppp ?
)())((
)()(
21 npspsps
sAsF
???? ?
n
n
ps
k
ps
k
ps
ksF
??????? ?2
2
1
1)(
? ? 展开为部分分式即可将求出 sFkkkk n,,,321 ?
(1)找极点 ? ?
)3)(2)(1(
332 2
???
???
sss
sssF
(2)展成部分分式
? ? 321 321 ?????? s ks ks ksF
3
6
2
5
1
1)(
???
??
?? ssssF所以
f ( t )6116 332)( 23
2
，求例 ??? ??? sss sssF
? ?? ? 1e αstuL t ??? ?根据
? ?0e6e5e)(,32 ???? ??? ttf ttt得
(3)逆变换
求系数
? ? ? ?
? ? ? ?? ?22 βαssD
sAsF
??
? ? ?
? ?? ?βαsβαs
sF
jj
1
?????
共轭极点出现在 βα j??
? ?,,,,,,jj 21 ??????? βαs Kβαs KsF
? ? ? ? βαssFβαsK j j1 ?????? ? ?
β
βαF
j2
j1 ???
? ? ? ? βαssFβαsK j j2 ?????? ? ?
β
βαF
j2
j2
?
???
成共轭关系：可见 21,KK
BAK j1 ?? *12 j KBAK ???
2,第二种情况：极点为共轭复数
求 f(t)
BAK j1 ?? *12 j KBAK ???
? ? ?
?
?
??
?
??????
?
βαs
K
βαs
KLtf
jj
211
C
? ?tβtβtα KK ?? ?? eee *11
? ? ? ?? ?tBtAtα ?? s i nc o se2 ?? ?
例题
。的逆变换求 )()52)(2( 3)( 2
2
tfsss ssF ??? ??
? ? )2)(2j1)(2j1( 32 ????? ?? sss ssF
2j12j12
210
???????? s
K
s
K
s
K
02,
,1
??
??
??
?
取
? ? 57)2( 20 ??? ??ssFsK
5
2j1
)2j1)(2(
3
2j1
2
1
???
???
??
???sss
sK
5
2,
5
1 ??? BA
? ? ? ? ? ? ? ?0 2s i n522c o s51e2e57 2 ??
?
?
??
? ???? ?? ttttf tt
? ? ? ? 22
?
?
??
??
as
ssF
F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法
? ?
? ? ? ? 2222 ?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
asas
s
sF
? ? ? ? ? ? ? ?0 s i nec o se ???? ?? ttβαttf tt ??? ??
求下示函数 F(s) 的逆变换 f(t)：
解：
求得
另一种方法
? ?? ?
? ?? ?
22
2
)(
c ose
)(
s i ne
??
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
s
s
tL
s
tL
t
t利用
3,第三种情况,有重根存在
2
321
2
2
)1(12)1)(2()( ????????? s
k
s
k
s
k
ss
ssF
4
)1)(2(
)2(
2
2
2
1 ?????
??sss
ssk
1
)1)(2(
)1(
1
2
2
2
3 ?????
??sss
ssk
为重根最高次系数为单根系数 31,kk
如何求 k2?
如何求 k2? 设法使部分分式只保留 k2，其他分式为 0
32
12
2
)1(2)1(2 ksks kss s ???????
0)2( )1()2)(1(2 22
2
11 ??
?
????? k
s
skkss
2
2
2
22
)2(
4
)2(
)2(2
2d
d
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
s
ss
s
sss
s
s
s
3 2 ??k所以
2)1( ?s对原式两边乘以
两边再求导若求只能求出时令,,1,1 23 kks ???
??
?
??
? ???
??? 32
12 )1(
2)1(d
d kks
s
ks
s右边
? ?)()1(d d 2 sFss ??左边
2,1 ks ??? 右此时令 3
)2(
4
1
2
2
??
?
??
??ss
ss左边
逆变换
2)1(
1
1
3
2
4)(
?
?
?
??
?
?
sss
sF
? ? ? ?0ee3e4)()( 21 ????? ???? ttsFLtf ttt所以
一般情况
1
1
12
1
11
1 )()()(
)(
?????? kkk ps
k
ps
k
ps
sA
1
1
2
1
)1(1
)( ps
k
ps
k kk
?????
??
求 k11，方法同第一种情况,
求其他系数，要用下式
11
)()()( 1111 pskps sFpssFk ?? ???
kisF
si
k
ps
i
i
i ?,3,2,1 )(d
d
)!1(
1
1
11
1
1 ???
?
?
?
1
)(d d,2 112 pssFsKi ???当
1
)(d d21,3 12
2
13 pssFsKi ???当
五,F(s)两种特殊情况
的非有理式含 se ?
非真分式 —— 化为真分式＋多项式
1.非真分式 —— 真分式＋多项式
23
795)(
2
23
??
????
ss
ssssF 作长除法
2
3s
462
772
23
79523
2
2
23
232
?
?
??
??
??
?????
s
ss
ss
sss
sssss
? ?? ? )(221
32)(
1 sFsss
sssF ???
??
????
2
1
1
2)(
1 ???? sssF
? ? ? ? ? ?tttf ?? 2??? )(e)(e2 2 tutu tt ?? ??
2.含 e-s的非有理 式
2
1
1
1)(
1 ?
??
?? sssF
? ? ? ? )(ee)()( 2111 tusFLtf tt ??? ???所以
? ? ? ? ? ? )2(ee2 )2(2)2(1 ????? ???? tutftf tt所以
。求解时利用时移性质，项不参加部分分式运算 e s?
s
s
sFss 212
2
e)(23e ?
?
???
s
ss
esFs
eesF
2
2
1
1)(21)(
32 ?
??
??
???,式中
).( ]1)[1( ]1[)( 4-4, 4 )1(2
2)1(
tfes esF s
s
的原函数求例 ??
??
??
??
)()( 32 sFsF ??
)](*)([)()( 321 tftfetfetf tt ?? ??
性可得：由卷积定理和复频域特
域右移一个单位，在的形式，若将解：观察 ssFsF )()(
)]1()( [ )()1( 11 ???? sFsFsFsF 显然即令
)1(
)1()()1(
2
2
1 s
s
es
esFsF
?
?
?
????则有：
s
ss
es
ee
2
2
1
21
?
??
??
???
)()()()()()( 332211 tfsFtfsFtfsF ???,，若设
特性得
所示，最后由复频域的有始方波如图其波形周期为 )(14.42 b?
所示波形如图 )(14.4
)]22()12(2)2([)( )(
0
1
c
ntUntUntUetfetf
n
tt
?
?????????? ?
?
?
??
)(14.4
)2()1(2)()( )( 22
a
tUtUtUtfsF
?
?????
波形如图
，的原函数：
)2()(
2)(
0
3
3
nttf
TsF
n
??
?
?
?
?
?冲激序列
的有始的原函数为周期
)]22()12(2)2([
)(*)()(
0
321
????????
?
?
?
?
ntUntUntU
tftftf
n
由卷积定理
)(2 tf
t1 20
1?
1
(a)
1 20
1?
1
)(1 tf
3 4 5 6 t
(b)
t0 1 2 3
)(tf
(c) 图 4.4-1
,信号与系统, CAI课件
通信与信息工程系
2004.02.28
第四章 连续时间系统的复频域分析
§ 4.1 引言
无傅立叶变换存在。
谱均含有冲激项。、直流、周期信号的频
、要求信号绝对可积
)0( )(
)(
1
?atUe
tU
at
一、频域分析的局限性
困难
傅立叶反变换、求时域响应时需要做
)(
2
1
)(
2
??
?
? dejFtf tj
?
?
??
?
以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的
结果有着清楚的物理意义,但也有不足之处。
)(3 ty f只能求零状态响应、不能包含初始状态，
)(tf )(tyf
)( )( )( ??? jYjHjF ??
LTI
)(th信
号
分
解
响
应
合
成
F 1?F
频域分析的框图如图 4.1-1所示
图 4.1-1
二、复频域分析
为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，克服傅立叶
变换的缺点，扩大信号的变换范围，本章研究拉氏变
换法。
?优点：
求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换
时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。
?缺点,
物理概念不如傅氏变换那样清楚。
本章内容及学习方法
本章首先由 傅氏变换 引出拉氏变换，然后对拉氏正
变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。
最后介绍系统函数以及 H(s)零极点概念，并根据他
们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介
绍系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
? ? ? ? ??? ? ttfFjF ?? e)(1 ? ? ttf tt dee)( j ?? ???
??
? ??
:,
)(e ),(
依傅氏变换定义容易满足绝对可积条件
后为大于零的任意实数乘以衰减因子信号 ?? ttf ?
称为复频率。具有频率的量纲令,,j,s?? ??
)j( ?? ?? F
? ? ? ?? ??? ?? ttfsF ts de
则
1．拉普拉斯正变换
ttf t de)( )j( ?? ?????? ?? ?
§ 4.2 拉普拉斯变换 ----LT
2．拉氏逆变换
? ? ? ?? ?
??
? ?? ??? ?? de
π2
1e j tt jFtf
? ? ? ? ? ? ??? ?? dejπ2 1 j? ?
??
??? tFtf
? ???? ?? ??? jj:,??? s对积分限：对
? ? ? ? je 的傅里叶逆变换是对于 ??? ?? Ftf t
t?e 以两边同乘
???? jdd ; j,??? ss 则取常数，若其中
? ? ? ?? ??
??
? j
j
dejπ2 1 ?
?
ssFtf ts
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ???? ?? ???? ttfsFttfF tst dedej j ????
所以
3．拉氏变换对
时刻加入：果信号，即信号从考虑到实际信号都是因 0
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ??
?
?
?
?
??
??
?
?
??
??
?
?
??
?
j
j
1
de
jπ2
1
de
σ
σ
ts
ts
ssFtfLtf
ttftfLsF
逆变换
正变换
? ? ? ?sFtf ?:记作
相应的单边拉氏变换为 ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
?
?
?
??
?
?
??
??
?
?
??
??
?
?
?
j
j
1
0
de
j2
1
de
σ
σ
ts
ts
ssFtfLtf
ttftfLsF
π
? ? ? ?称为象函数。称为原函数,sFtf
? ? ? ? ttfjωF tω de j0 ????所以
二．拉氏变换的收敛
? ?0 0e)(lim σσtf tσt ?????
收敛域,使 F(s)存在的 s的区域称为收敛域。
记为, ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件；
O σ
ωj
0
σ
收敛坐标
收敛轴
收敛区
其中 σ 0由 f(t)性质决定。
注：在实际工程中，只要把 σ
的值取的足够大，上式总是可
以满足的，所以它们的拉氏变
换都是存大的。本书只讨论单
边拉氏变换，其收敛域必定存
定，故在后面的说明中，一般
不在说明和注明其收敛域。
?
?j
0
图 4.2-2
1?
的拉氏变换及收敛域考查因果信号例 )()( 1-4, 2 tUetf t??
dtetUesF stt ??????? )()( 解
，此时如图
时收敛即）上式积分只有在（
22.4
1]R e [ 01]R e [
?
???? ss
?
??
???
???? ? 0
)1(
)1(
0
|1 sedt
ts
ts
1]R e [ 11 )( ????? sstUe t
0
?j
?
图 4.2-3
，此时如图
，即）有（要上式积分收敛，必须
32.4
1]R e [ 01]R e [
?
???? ss
的拉氏变换及收敛域左边信号考查例 )()( 2-4, 2 tUetf t ??? ?
dtetUesF stt ????? ??? ? )()( 解
1?
的一、一对应关系。才能建立信号和象函数
考虑，氏变换式和收敛域一起个重要概念。只有把拉
中的一说明收敛域是拉氏变换仅仅是收敛域不同，这
相同的，信号，拉氏变换是完全可见，两个完全不同的
0
)1(
)1(0 |
1 ??
??
??
?? ?
??? ? sedte
ts
ts
1]R e [ 11 )( ???? ?? sstUe t
三．一些常用函数的拉氏变换
? ? ??? ? ? ?0 de1)( ttuL st
1.阶跃函数
2.指数函数
? ? ?? ? ? ??? 0 deee tL sttαtα
ss
st 1e1
0 ??
??
? ?
? ? ???
???
0
e
sα
tsα
sα ?
1 ? ?ασ ??
全 s域平面收敛? ?? ? ? ? 1de
0 ??? ?
? ? tttL st??
? ?? ? ? ? 0ede0 00 stst tttttL ?? ? ????? ? ??
3.单位冲激信号
4,tnu(t)
? ? ? ? ??? 0 de tttL st
20
1e11
sss
st ??
?
?
??
?
????
?
?
? ? ? ? ??? 0 de tttL stnn
? ? ??? 0 1 de ttsn stn
? ? ??? 0 de1 stts
??
?
??
? ??
?? ?
? ???
0 0
dee1 tts stst
2?n
? ? ? ? 322 2122 ssstLstL ????
3?n
? ? ? ? 4323 6233 ssstLstL ????
? ? ? ?1?? nn tLsntL
??
?? 0e
st
n
s
t ? ?
???
0
1 de tt
s
n stn
? ? 1!?? nn sntL
??
1?n
所以
所以
2
0
2
0
0
2
0
2
00
0
)(
)
11
(
2
1
)( 5
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
tUtSi n
s
s
jsjs
tUtC os、
§ 4.3 单边拉氏变换的性质
? ?
? ?b1-4.3 1]R e [
)2)(1(
1
)(
a1-4.3 1]R e [
1
1
)(
1-4.3
2
1
如图
如图
变换及收敛域为已知两函数的拉普拉斯例
??
??
?
??
?
?
s
ss
sF
s
s
sF
)()( )()( 2211 sFtfsFtf ??
1 ( c )-3.4 2]R e [
)2(
1
)2)(1(
1
1
1
)()()( 21
如图
其线性组合
??
?
?
??
?
?
???
s
ssss
sFsFsF
)13.4...()( )()( )( 22112211 ???? sFsFtftf ????
一、线性特性
图 4.3-1
氏变换就不存在。
的拉数若无重迭部分，则新函如图
但有时也可能扩大，分来两个收敛域的重迭部
原一般新函数的收敛域是对因果信号而言
)(:)(13.4
:
,
tfc?
1?
2?
1?
0
?j
?
(a) ?j
0 ?
(b)
?j
0 ?
(c)
0 )( 0 stett ????特例，
)(25203 2-4,3 2 tfs s ???求例
2222 5
54
5
3
?
??
?? ss
s原式?
二、时延特性
)()( sFtf ?
)()5453()( tUtS intCo stf ???
0 )()()( 00 stesFttUttf ???? ……(4.3 -2)
)(23.4 3-4, 3 sF矩形脉冲的象函数求如图例 ?
)()()(, ???? tUtUtf解
)1(1)( ?sessF ????
)(tf
t?
1
0 图 4.3-2
?? se
stUstU
???? 1)( 1)(
可得
和公式级数收敛由等比级数求时当 1||0]R e [ ?? ? sTes
).()()(
0 4-4,3
0
sFnTtt
t
n
T 的象函数
序列时接入的周期单位冲激求在例
??
?
?
?
?
??
......1)( ?????? ?? n s TsT eesF
...)(...)()()(,
0
????????? ?
?
?
nTtTttnTtt
n
T ????? ）（解
sT
n e
nTt ?
?
? ?
??? 1 1)(
0
?
.....)(,..)( 1)( n s TsT enTteTtt ?? ????? ???
函数正弦半波整流信号的象求如图例 )(33.4 53.4 a??
)(*)()()(,
0
11
0
nTttfnTtftf
nn
???? ??
?
?
?
?
?解
)()()( 111 tftftf ba ???
)2()2()( 00 TtUTtS inttUS in ???? ??
图 4.3-3
)(tf
t0 T2T
2
3T T2
1
)(1 tf
(a) t0 2T T
1
)(1 tf b
(c)
t0 2T T
1)(1 tf a (b)
)1()( 22
0
2
0
1,
sT
e
s
sF ??
?
??
?
?
sT
sT
e
e
s
sFtf ?
?
?
??
?
??
1
1)()( 2
2
0
2
0
?
?故
2
2
0
2
0
1
1
sT
es
?
?
?
?
?
?
?
sT
n e
nTt ?
?
? ?
??? 1 1)(
0
?
如图 4.3-3 b,c所示
的象函数及求例 )( )( 6-4, 3 00 tUtS i netUtCo se atat ?? ??
)()( sFtf ?三、复频移特性
2
0
20 )( ?? ?? s
stUtC o s?解：
22
)(
)(
0
0
?
?
??
?
???
as
as
tUtC o sate
的调制定理有：由 FT
]})()([ {21)( 000 ??? jsFjsFtC o stf ????
0
00
00 )()( )( sttts essFttfe ??? ???
有频移有延时：
)33.4......()( )( 00 ??? ssFetf ts ?
22)(
)(
0
0
0
?
?
?
??
??
as
tUtS inate
的象函数，求已知例 )23( 1)( 73.4 2 ???? ? tfes stf t
四、时频展缩
)43.4......()(1)( )()( ??? asFaatfsFtf
有时延、展缩：
se
s
stf 2
2 1)2(
?
???解：由时延特性
ss
e
s
s
e
s
s
tf 3
2
2
3
2
2 91)
3
(
3
3
1
)23(
??
?
?
?
??时频展缩
)1(
3
2
2 9)1(
1)23( ???
??
??? st e
s
stfe频移特性
)53.4.,,,,, ( )(1)( 00 ??? ? asFeatatf ta
s
)()( sFtf ?
五、微分定理
、时域微分1
)0()()( ???? fssFtf
)63.4...()0()0()()( 2 ??????? ?? fsfsFstf
)0( )()( )(1
1
0
)(
?
??
?
?
??? mmn
n
m
nn fssFstf
?
?
，特例 nn stst ??? )( )(, )(??
)()()( sFstf nn ?对因果信号：
? ? )0()(d )(d),()( ????
?
?
??
?? fssF
t
tfLsFtfL 则若
? ? ? ?? ?
)0()0()(
)0(0
d
)(d
2
2
??
??
????
?????
?
?
?
?
?
fsfsFs
ffssFs
t
tf
L
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
? 1
0
)(1 )0()(
d
)(d n
r
rrnn
n
fssFs
t
tfL
推广：
证明,? ? ? ? ? ?
? ? )(0
deede
000
ssFf
ttsftfttf ststst
???
??
?
??
? ???? ?????? ??
电感元件的 s域模型
? ? ? ? )()(),()( sVtvLsItiL LLLL ??
t
tiLtv L
L d
)(d)( ?
? ? )0()()0()()( ?? ???? LLLLL LisIsLissILsV
)( ti L
? ?)( tv L
L
? ?sI L Ls ? ??0LLi
? ?sV L? ?
电感元件的 s模型
应用原函数微分性质
设
)()(43.4 8-4, 3 sFtf 的象函数所示信号求图例 ?
)()( sFtf ?? 由微分定理
)2()1(2)()( ??????? ttttf ???解：
ss eesFtf 22 21)()( ?? ???????
0)0(0)0( ??? ?? ff,由图可知：
图 4.3-4
1 20
t
11
2?
)(tf ??
(c)
)(tf
t0 1 2
1
1
(a)
1 20
1
t
)(tf?
1?
(b)
2)1( se ???
2
2 )1(
1)( se
ssF
???? 222 )1()()( sesFsFs ????
)(
4
83)( 9-4, 3
2
23
tf
ss
ssssF 求例
?
????
ss
sssF
4
851)(
2 ?
????解：
)( 3)(2)()()( 4 tUetUtttf t??????? ??
4
321
?
????
ss
s
的象函数和求例 )( )( 103.4 tUtettU at??
复频域微分,2
ds
sdFttf )()( ??
1
)
1
()(
2ssds
d
ttU ????
1)( stU ??解：
)()(1 n
n
nn
ds
sFdtft ?? ）（同理：
astUe
at
??
? 1)(
)(
1
2as ?? )
1()(
asds
dtUte at
???
?
2
1)(
sttU ?即：
? ?,则若 )()( sFtfL ?
? ?
s
f
s
sFττfL t )0()(d)( 1 ??
??
???????? ?
证明,? ? ? ? ? ? ττfττfττf tt ddd
0
0 ??? ??
????
? ?? ?01?f
? ?? ?? ???????0 0 ded tττf stt ? ? ? ??? ?
??
??
?
?
?
?
? ?? t sttst ttf
s
ττf
s 000
de1de
① ②
①
②
? ?? ?? t st ttfs
0
de1
? ?? ?
s
f 01??
? ?
s
sF?
六、积分定理
1、时域积分
电容元件的 s域模型
? ?
? ? )()(
),()(
sVtvL
sItiL
CC
CC
?
?设? ??? t cC iCtv ?? d)(1)(
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
s
i
s
sI
C
sV CCC )0()(1)(
)1(
)0(
d)(
1
)0(
1 0)1(
?
???
?
?
? ?
?
C
CC
v
i
C
i
C
??
)0(1)(1 ??? CC vssIsC
? ?ti C
? ?? ?tv C
C
sC
1
? ?
?0
1
Cv
s? ?sI
C
? ?? ?sV C
电容元件的 s模型
的象函数求例 )( 113.4 2 tUt?
1
!)(
?? n
n
s
ntUt推广：
)()( 1)( 0 ttUdUstU t ?? ? ??而解,?
1)( 2sttU ??
)(21)( 20 tUtdUt ?? ????
3
2 12)(
stUt ???
2.复频域积分
? ??? ??? ttfsF st de)()(
两边对 s积分：
? ?? ? ??? ?? ?????? ?? s sts sttfssF dde)(d)(
交换积分次序, tstf
s
ts dde)(? ??
??
? ?
???????
? ? ? ???
?
?
??
??
s
ssFt tfLsFtfL d)()()()(,则若
tttf
s
ts de1)(? ?
??
??
??
?
??
? ??
tt tf ts de)( ??
??
?? ?
证明：
的象函数求例 )()( 123.4 tUtSa?
sc t gtUtSa 1 )()( ??即：
1
1)(
2 ?? sttUS in?解：
?? dtUtSa
s 1
1)()(
2 ??? ?
?
??? stg |1?
sc t gstg 112 ?? ??? ?
为真分式且设 )( )()()( sFsFtUtf ?
)0( 64 12)()( 133.4 23
2
????
???? f
sss
sssFtf 求的象函数已知例
64
12)0(
23
2
???
????
??? sss
sssL i mf
s
解：
七、初值定理
32
32
614
1
12
1
sss
ssLi m
s
???
??
?
??
1?
10)-.,, ( 4, 3 )( )0( ssFL i mf s ??? ?则：
的终值为：则
点处的单极点）左半平面内（包括在原的所有极点都位于
换，且存在，并有拉普拉斯变及其导数设函数
)(
,)(
)( )(
tf
ssF
tftf ?
023 12)0( 23 ??? ???
??? sss
ssLi mf
s
初值：解：
八、终值定理
，求初值及终值。的象函数已知例 sss ssFtf 23 12)( )( 143.4 23 ?? ???
的左半平面。极点位于 ssss ssF )2)(1( 12)( ?? ???
sss
ssLi mf
s 23
12)(
230 ??
????
?
终值存在处仅有一阶极点，在 ?? 0s
)113.4...()()()(
0
?????
???
sFsLi mtfLi mf
st
2
1
23
12
20 ???
??
? ss
sLi m
s
频域卷积定理复,)( 2
63.4)()( )()( 2211 ??? 如图sFtfsFtf
、时域卷积定理1
效工具之一该定理是系统分析的有
★ 九、卷积定理
)123.4...( )( )()(*)( 2121 ??? sFsFtftf
)133.4...()](* )([ 2 1)()( 2121 ??? sFsFjtftf ?
? ? )()()()( 2121 sFsFtftfL ??
? ? )()(j2 1)()( 2121 sFsFtftfL ??? ?
证明：
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? tττtutfτuτftftfL st ded20 0 121 ?? ? ???? ? ? ?
交换积分次序
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? τtτtuτtfτftftfL st dde0 0 2121 ? ?? ? ? ?????? ????
?? ?????? 0,,??? － 同积分区间：令 xttx
? ? ? ?? ? ? ? ? ? τxxfτftftfL sxs τ ddee0 0 2121 ? ?? ? ?? ????????
)()( 21 sFsF?
.)(
0)(73.4 15-4, 3
，求其象函数
列接入的周期矩形脉冲序所示为如图例
tf
ta ??
(b) 图 4.3-7
)(1tf
t0 ?
1
t0 T T2
1
)(
0
nTt
n
???
?
?
*
s
etGFsF s ?
?
? ????? 1])
2([ )( 1?
)(*)()(
0
1 nTttftf
n
?? ?
?
?
?解：
)()()( 1 sFsFsF T????
sT
s
es
esF
?
?
??
???
1
11)( ?
sTT esF ??? 1
1)(
?
)(tf
t0 T T2?
1
(a)
1
1)()(
??? ssHth
).(
)()( )()( 16-4, 3
ty
tUtftUethLTI
f
t
的零状态响应
，求输入系统的已知例 ?? ?
1
11 )()()(
?????? sssHsFsY f
)()()( )(*)()( sHsFsYthtfty ff ???解：
1)()( stUtf ??
)()1()()()( tUetUetUty ttf ?? ?????
1
11
?
??
ss
一．由象函数求原函数的三种方法
(1)部分分式法
(2)利用留数定理 —— 围线积分法
(3)数值计算方法 —— 利用计算机
§ 4.4 拉普拉斯逆变换 -----部分分式
展开
二,F(s)的一般形式
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
bsbsbsb
asasasa
sB
sAsF
n
n
n
n
m
m
m
m
????
??????
?
?
?
?
?
?
ai,bi为实数,m,n为正整数。 ? ?,为有理真分式当 sFnm ?
? ?,式具有如下的有理分式形通常 sF
)())((
)())((
)(
)()(
21
21
nn
mm
pspspsb
zszszsa
sB
sAsF
???
?????
?
?分解
零点
极点
? ?0)(0)( ??? sFsA因为
? ? ? ?的零点称为的根是 sFsAzzzz m,0,,321 ??
? ? ? ?的极点称为的根是 sFsBpppp n,0,,321 ??
? ????? )(0)( sFsB因为
三,拉氏逆变换的过程
? ?的极点找出 sF
? ?展成部分分式将 sF
? ?tf查拉氏变换表求
四．部分分式展开法 (m<n)
1.第一种情况,单阶 实数极点
,,321 为不同的实数根npppp ?
)())((
)()(
21 npspsps
sAsF
???? ?
n
n
ps
k
ps
k
ps
ksF
??????? ?2
2
1
1)(
? ? 展开为部分分式即可将求出 sFkkkk n,,,321 ?
(1)找极点 ? ?
)3)(2)(1(
332 2
???
???
sss
sssF
(2)展成部分分式
? ? 321 321 ?????? s ks ks ksF
3
6
2
5
1
1)(
???
??
?? ssssF所以
f ( t )6116 332)( 23
2
，求例 ??? ??? sss sssF
? ?? ? 1e αstuL t ??? ?根据
? ?0e6e5e)(,32 ???? ??? ttf ttt得
(3)逆变换
求系数
? ? ? ?
? ? ? ?? ?22 βαssD
sAsF
??
? ? ?
? ?? ?βαsβαs
sF
jj
1
?????
共轭极点出现在 βα j??
? ?,,,,,,jj 21 ??????? βαs Kβαs KsF
? ? ? ? βαssFβαsK j j1 ?????? ? ?
β
βαF
j2
j1 ???
? ? ? ? βαssFβαsK j j2 ?????? ? ?
β
βαF
j2
j2
?
???
成共轭关系：可见 21,KK
BAK j1 ?? *12 j KBAK ???
2,第二种情况：极点为共轭复数
求 f(t)
BAK j1 ?? *12 j KBAK ???
? ? ?
?
?
??
?
??????
?
βαs
K
βαs
KLtf
jj
211
C
? ?tβtβtα KK ?? ?? eee *11
? ? ? ?? ?tBtAtα ?? s i nc o se2 ?? ?
例题
。的逆变换求 )()52)(2( 3)( 2
2
tfsss ssF ??? ??
? ? )2)(2j1)(2j1( 32 ????? ?? sss ssF
2j12j12
210
???????? s
K
s
K
s
K
02,
,1
??
??
??
?
取
? ? 57)2( 20 ??? ??ssFsK
5
2j1
)2j1)(2(
3
2j1
2
1
???
???
??
???sss
sK
5
2,
5
1 ??? BA
? ? ? ? ? ? ? ?0 2s i n522c o s51e2e57 2 ??
?
?
??
? ???? ?? ttttf tt
? ? ? ? 22
?
?
??
??
as
ssF
F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法
? ?
? ? ? ? 2222 ?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
asas
s
sF
? ? ? ? ? ? ? ?0 s i nec o se ???? ?? ttβαttf tt ??? ??
求下示函数 F(s) 的逆变换 f(t)：
解：
求得
另一种方法
? ?? ?
? ?? ?
22
2
)(
c ose
)(
s i ne
??
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
s
s
tL
s
tL
t
t利用
3,第三种情况,有重根存在
2
321
2
2
)1(12)1)(2()( ????????? s
k
s
k
s
k
ss
ssF
4
)1)(2(
)2(
2
2
2
1 ?????
??sss
ssk
1
)1)(2(
)1(
1
2
2
2
3 ?????
??sss
ssk
为重根最高次系数为单根系数 31,kk
如何求 k2?
如何求 k2? 设法使部分分式只保留 k2，其他分式为 0
32
12
2
)1(2)1(2 ksks kss s ???????
0)2( )1()2)(1(2 22
2
11 ??
?
????? k
s
skkss
2
2
2
22
)2(
4
)2(
)2(2
2d
d
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
s
ss
s
sss
s
s
s
3 2 ??k所以
2)1( ?s对原式两边乘以
两边再求导若求只能求出时令,,1,1 23 kks ???
??
?
??
? ???
??? 32
12 )1(
2)1(d
d kks
s
ks
s右边
? ?)()1(d d 2 sFss ??左边
2,1 ks ??? 右此时令 3
)2(
4
1
2
2
??
?
??
??ss
ss左边
逆变换
2)1(
1
1
3
2
4)(
?
?
?
??
?
?
sss
sF
? ? ? ?0ee3e4)()( 21 ????? ???? ttsFLtf ttt所以
一般情况
1
1
12
1
11
1 )()()(
)(
?????? kkk ps
k
ps
k
ps
sA
1
1
2
1
)1(1
)( ps
k
ps
k kk
?????
??
求 k11，方法同第一种情况,
求其他系数，要用下式
11
)()()( 1111 pskps sFpssFk ?? ???
kisF
si
k
ps
i
i
i ?,3,2,1 )(d
d
)!1(
1
1
11
1
1 ???
?
?
?
1
)(d d,2 112 pssFsKi ???当
1
)(d d21,3 12
2
13 pssFsKi ???当
五,F(s)两种特殊情况
的非有理式含 se ?
非真分式 —— 化为真分式＋多项式
1.非真分式 —— 真分式＋多项式
23
795)(
2
23
??
????
ss
ssssF 作长除法
2
3s
462
772
23
79523
2
2
23
232
?
?
??
??
??
?????
s
ss
ss
sss
sssss
? ?? ? )(221
32)(
1 sFsss
sssF ???
??
????
2
1
1
2)(
1 ???? sssF
? ? ? ? ? ?tttf ?? 2??? )(e)(e2 2 tutu tt ?? ??
2.含 e-s的非有理 式
2
1
1
1)(
1 ?
??
?? sssF
? ? ? ? )(ee)()( 2111 tusFLtf tt ??? ???所以
? ? ? ? ? ? )2(ee2 )2(2)2(1 ????? ???? tutftf tt所以
。求解时利用时移性质，项不参加部分分式运算 e s?
s
s
sFss 212
2
e)(23e ?
?
???
s
ss
esFs
eesF
2
2
1
1)(21)(
32 ?
??
??
???,式中
).( ]1)[1( ]1[)( 4-4, 4 )1(2
2)1(
tfes esF s
s
的原函数求例 ??
??
??
??
)()( 32 sFsF ??
)](*)([)()( 321 tftfetfetf tt ?? ??
性可得：由卷积定理和复频域特
域右移一个单位，在的形式，若将解：观察 ssFsF )()(
)]1()( [ )()1( 11 ???? sFsFsFsF 显然即令
)1(
)1()()1(
2
2
1 s
s
es
esFsF
?
?
?
????则有：
s
ss
es
ee
2
2
1
21
?
??
??
???
)()()()()()( 332211 tfsFtfsFtfsF ???,，若设
特性得
所示，最后由复频域的有始方波如图其波形周期为 )(14.42 b?
所示波形如图 )(14.4
)]22()12(2)2([)( )(
0
1
c
ntUntUntUetfetf
n
tt
?
?????????? ?
?
?
??
)(14.4
)2()1(2)()( )( 22
a
tUtUtUtfsF
?
?????
波形如图
，的原函数：
)2()(
2)(
0
3
3
nttf
TsF
n
??
?
?
?
?
?冲激序列
的有始的原函数为周期
)]22()12(2)2([
)(*)()(
0
321
????????
?
?
?
?
ntUntUntU
tftftf
n
由卷积定理
)(2 tf
t1 20
1?
1
(a)
1 20
1?
1
)(1 tf
3 4 5 6 t
(b)
t0 1 2 3
)(tf
(c) 图 4.4-1
