§ 6.3 逆 Z变换
?
?
?
?
?
c
n dzzzX
j
nx
zXZnxzX
1
1
)(
2
1
)(
)]([)()(
?
且
的反变换记作
)()( zXnx ?若
则
求逆 Z变换的方法通常有三种,部分分
式展开法、幂级数展开法（长除法） 和
留数法（围线积分法） 。
一．部分分式展开法
??
?
?
?
????
??
? aznua
aznua
az
zz
n
n
)1(
)( 变换的基本形式
1,z变换式的一般形式
????? zRz 包括收敛域右边序列因果序列,
。即必须满足于分母多项式的阶次
的阶次不能大处收敛，其分子多项式为了保证
,
rk
z
?
??
k
k
k
k
r
r
r
r
zazazazaa
zbzbzbzbb
zD
zNzX
?????
???????
?
?
?
?
1
1
2
210
1
1
2
210
)(
)()(
?
?
? ? αstut ??? 1e ?拉氏变换的基本形式：
2．求逆 z变换的步骤
? ? 为真分式
z
zX ?
z提出一个 ?
? ? z
z
zX ??
查反变换表 ?
再部分分式展开 ?
3．极点决定部分分式形式
?
? ?
??
N
m m
m
zz
zAAzX
1
0)(
0,)()()()()( 22110 ?????? nzAzAzAnAnx nNNnn ??
对一阶极点
N
N
N
m m
m
zz
A
zz
A
zz
A
z
A
zz
A
z
A
z
zX
??????????? ? ? ?2
2
1
10
1
0)(
的系数极点 0
0
0
0 ?? za
bA
的系数极点 m
zz
mm zzz
zXzzA
m
???
?
)()(
N
N
zz
zA
zz
zA
zz
zAAzX
???????? ?2
2
1
1
0)( 所以
? ? 点和高阶极点。的极点也可分为一阶极 zX
高阶极点（重根）
?
? ?
?
s
j
j
i
j
zz
zBzX
1 )(
)( 设 阶极点。为 szz i?
izz
s
ijs
js
j z
zXzz
zjs
B
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? )()(
d
d
)!(
1 则
)(])5.0(2[)( nunx n??
解：
例 6-15 1?)(
5.05.1)( 2
2
????? znxzz zzX
5.015.05.1
)( 21
2 ??????? z
A
z
A
zz
z
z
zX令
2
5.0
)()1(
11
1 ?????
?? zz z
z
z
zXzA则
1
1
)()5.0(
5.05.0
2 ??????
?? zz z
z
z
zXzA
5.01
2
)(
?
?
?
?
z
z
z
z
zX
例 6-16,1?)(
)5.0)(1(
12)( 23 ??
??
??? znx
zzz
zzzX
解：
5.0
13
1
862)(
?
?
?
???
z
z
z
z
z
zX
)(])5.0(138[)(6)1(2)( nunnnx n????? ??
)5.0)(1(
12)(
2
23
??
??
?
zzz
zz
z
zX
5.0
13
1
862
2 ?????? zzzz
二．幂级数展开法
?? ???????? ?? 21012 21012 zxzxzxzxzx )()()()()(
k
k
k
k
r
r
r
r
zazazazaa
zbzbzbzbb
zD
zNzX
?????
???????
?
?
?
?
1
1
2
210
1
1
2
210
)(
)()(
?
?
z变换式一般是 z的 有理函数,可表示为：
直接用长除法进行逆变换
? ? ? ???
???
??
n
nznxzX
? ?nx级数的系数就是序列
（是一个 z 的幂级数）
1．幂级数展开法
2．右边序列的逆 z变换
? ? 的降幂排列以将 zzX
?????? ???
?
?
? 210
0
)2()1()0()()( zxzxzxznxzX n
n
3．左边序列的逆 z变换
????????? ?
?
???
? 3211
)3()2()1()()( zxzxzxznxzX n
n
? ? 的升幂排列以将 zzX
例 6-13 1)(
1)( 2
2
???? znxz zzX
解：由 ROC知 x(n) 为因果序列，应将 X(z) 展
开为 的 幂级数1?z
此时将 X(z)按 z的降幂排列：
1)( 2
2
?? z
zzX
进行长除：
)(])1(1[21)( nunx n????
?,0)3(,1)2(
,0)1(,1)0(
??
??
xx
xx
可见：
12 ?z 2z
12 ?z
1
21 ?? z
2?z
42 ?? ? zz
1 2?? z 4?? z
?
4?z
6?? z ??
例 6-14 1)(21
21)(
21
1
??
??
??
??
?
znf
zz
zzF
解：由 ROC知 f(n)为左边序列，应将 F(z)展开为
z的幂级数，此时将 F(z)按 z的升幂排列：
12
12)(
12
1
??
??
??
?
zz
zzF
?
进行长除,12 1 ??z 112 ?? ?? zz zz 242 1 ???
z25 ?
25105 zz ??
258 zz ?
?
)1()13()( ?????? nunnf
z2 25z? ??? 38 z
三．围线积分法求 z反变换
1,z逆变换的围线积分表示
? ? ? ?
0
?
?
?
??
n
nznxzX变换已知 z
得 z 逆变换公式
? ? ? ? d
jπ2
1 1? ??
c
n zzzXnx所以
证明：
? ?? ??
c
m zzzX d
πj2
1 1
? ?,并进行围线积分式两边同乘以 11 ?mz
在 的 收敛域 内，选择一条
包围坐标原点的 逆时针 方向的
围线 C,的全部极点都在
积分路线的内部。
? ?zX
? ? 1?nzzX
? ? ? ? ? ?1
0
??
?
??
n
nznxzX
? ?? ??
?
??
c n
mn zzznx d
jπ2
1
0
1
积分与求和互换 ? ? ? ?2 d
πj2
1 1
0
?? ???
?
?
?
c
mn
n
zznx
)Re( z
)I m (j z
0
C
应用柯西定理
? ?3 00 01djπ2 1 1
?
?
?
?
??? ?
k
kzz
c
k
相当。式右边积分中时，与）式当即（ mnk ?? )2(03
式和比较 )3()2(
? ?。右边的结果为 nx 式。同样也可得到 )3(
? ? ? ? dπj2 1 1? ??
c
n zzzXnx所以
? ? ? ?? ??
c
n zzzXnx d
πj2
1 1
? ?? ???
m zz
n
m
zzXsnx )(Re)( 1
围线积分等于 围线 C内 X(z)Zn-1所有极点的留数之和
? ? ? ?? ?
mm zz
n
mzz
n zzXzzzzX
?
?
?
? ?? )()(R e s 11
单阶极点
? ? ? ? ? ?
m
m
zz
nk
mk
k
zz
n zzXzz
zk
zzX
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? 11
1
1 )(
d
d
!1
1)(R e s
k重极点
① 右边序列
② 左边序列 围线积分等于围线 C外所有极点的留数之和
? ?? ????
m zz
n
m
zzXsnx )(Re)( 1
2、用留数定理求围线积分。
例 6-1 )1(
5.05.0
5.02)(
2
2
??? ?? zzz zzzF
解：由 ROC知 f(n)为因果序列
)1)(5.0(
)5.02(
5.05.0
)5.02()(
2
12
1
??
??
??
?? ??
zz
zz
zz
zzzzzF nnn
1
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1
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?
z
n
z
n
z
zzzzFs
n
z
n
z
n
z
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1
)5.02(])([Re
5.0
5.0
1 ??
?
??
??
??
?
求 f(n)
)(])5.0(1[)( nunf n???
例 6-2
)21(
)2)(1(
53)( 2 ??
??
?? z
zz
zzzF
求 f(n)
解,f(n)为双边信号
)2)(1(
)53(
)2)(1(
)53()( 121
??
??
??
?? ??
zz
zz
zz
zzzzzF nnn
2
2
)53(])([Re
1
1
1 ?
?
??
?
?
?
z
n
z
n
z
zzzzFs
1),0 时当 ?n 1?z只有 为 C内极点
)(2)( nunf r ??
? ??? 外诸极点Cnl zzFsnf ])([Re)( 1
,0)2 时当 ?n 1,0 ?? zz 均为 C内极点
n
z
n
z
n
z
zzzzFs 2
1
)53(])([Re
2
2
1 ?
?
??
?
?
?
)1(2)( ????? nunf nl
)1(2)(2)()()( ??????? nununfnfnf nlr
)2)(1(
)53(
)2)(1(
)53()( 121
??
??
??
?? ??
zz
zz
zz
zzzzzF nnn
§ 6.4 Z变换和拉普拉斯变换的关系
本书中讨论三种变换域方法,傅立叶变换
（ FT）, 拉普拉斯变换（ LT） 和 z变换
（ ZT）,这些变换在一定条件下是可能
互相转换的。
sTzsz e,?关系
TΩTTΩσz j )j( eee ??? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
s
T
Ω
Ω
Ω Tθ
r
π2:
e:
幅角
半径
所以
?
代入
比较
一,z平面与 s平面的映射关系
sTzz e ?号变换的定义时，引入符在引入
Ωss j)( ?? ?：直角坐标
?O
Ωj
0
j Ω
0
?
Ωs j?? ?
s 平面
?je)( rzz ?：极坐标
?j
erz ?
)R e ( z
)I m (j z
O
z 平面
0
r
0
?
s平面
z平面
几种情况
（ 1） s平面的原点, z平面,即 。
??
?
?
?
0
0
Ω
σ
?
?
?
?
?
0
1
θ
r 1?z
0?σ 0?σ 0?σ ?????:为常数?
1?r 1?r 1?r ???0:为常数r
左半平面 虚轴 右半平面 左向右移
单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大
（ 2）
（ 3）,正实轴平面：实轴平面 00 ??? θzΩs
（ 4） z~s映射不是单值的 。 π
2
s ???? θΩΩ
二, z变换与拉式变换表达式之对应
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ??
,
zXsX
zXnxZsXtxLnxtx
写出能否借助
，均匀抽样 ????? ??
? ? ?
??
??
?
j
j
st dsesX
j
tx
?
??
)(
2
1
? ? ? ?? ?
?
???
??
?
?
?
??
?
??
???
00
)(2 1)(
n
nj
j
s n T
n
n zdsesX
jznxzX
?
??
连续信号 x(t)→F(S), x(nT)是它的取样信号,T为取样周期
? ? ? ? ?
??
??
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j
j
s n T dsesX
j
nTxnx
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)(
2
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dsze sXjzX j
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2
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1
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nsT ez
zeze ??? ?
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???
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nj
j
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2
1
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nsTj
j
dszesX
j
?
??
借助模拟滤波器
设计数字滤波器
的各极点)(
11
)(Re)(
sX
sT ze
sXszX ?
??
?
??
?
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解：
00
2
0
2
0 22)(
???
?
js
j
js
j
s
sF a
?
?
?
?
?
?
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0201,?? jsjs ???
极点
例 8 已知 )(si n 0 ttu? 2
0
2
0
?
?
?sLT
求抽样序列 )(si n 0 nnu?的 Z变换
11 00 1
2
1
2)(
??? ???
?
??
ze
j
ze
j
zF jj ??
1c o s2
s i n
c o s21
s i n
0
2
0
2
0
1
0
1
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?
??
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?
?
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?
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zz
z
zz
z
?
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?
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且
的反变换记作
)()( zXnx ?若
则
求逆 Z变换的方法通常有三种,部分分
式展开法、幂级数展开法（长除法） 和
留数法（围线积分法） 。
一．部分分式展开法
??
?
?
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????
??
? aznua
aznua
az
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n
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)1(
)( 变换的基本形式
1,z变换式的一般形式
????? zRz 包括收敛域右边序列因果序列,
。即必须满足于分母多项式的阶次
的阶次不能大处收敛，其分子多项式为了保证
,
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z
?
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k
k
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? ? αstut ??? 1e ?拉氏变换的基本形式：
2．求逆 z变换的步骤
? ? 为真分式
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z提出一个 ?
? ? z
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查反变换表 ?
再部分分式展开 ?
3．极点决定部分分式形式
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? ? 点和高阶极点。的极点也可分为一阶极 zX
高阶极点（重根）
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)( 设 阶极点。为 szz i?
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解：
例 6-15 1?)(
5.05.1)( 2
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5.015.05.1
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5.05.0
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5.01
2
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z
z
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z
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例 6-16,1?)(
)5.0)(1(
12)( 23 ??
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解：
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13
1
862)(
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2
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二．幂级数展开法
?? ???????? ?? 21012 21012 zxzxzxzxzx )()()()()(
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zazazazaa
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z变换式一般是 z的 有理函数,可表示为：
直接用长除法进行逆变换
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? ?nx级数的系数就是序列
（是一个 z 的幂级数）
1．幂级数展开法
2．右边序列的逆 z变换
? ? 的降幂排列以将 zzX
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3．左边序列的逆 z变换
????????? ?
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)3()2()1()()( zxzxzxznxzX n
n
? ? 的升幂排列以将 zzX
例 6-13 1)(
1)( 2
2
???? znxz zzX
解：由 ROC知 x(n) 为因果序列，应将 X(z) 展
开为 的 幂级数1?z
此时将 X(z)按 z的降幂排列：
1)( 2
2
?? z
zzX
进行长除：
)(])1(1[21)( nunx n????
?,0)3(,1)2(
,0)1(,1)0(
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可见：
12 ?z 2z
12 ?z
1
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1 2?? z 4?? z
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例 6-14 1)(21
21)(
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解：由 ROC知 f(n)为左边序列，应将 F(z)展开为
z的幂级数，此时将 F(z)按 z的升幂排列：
12
12)(
12
1
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进行长除,12 1 ??z 112 ?? ?? zz zz 242 1 ???
z25 ?
25105 zz ??
258 zz ?
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z2 25z? ??? 38 z
三．围线积分法求 z反变换
1,z逆变换的围线积分表示
? ? ? ?
0
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n
nznxzX变换已知 z
得 z 逆变换公式
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证明：
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1 1
? ?,并进行围线积分式两边同乘以 11 ?mz
在 的 收敛域 内，选择一条
包围坐标原点的 逆时针 方向的
围线 C,的全部极点都在
积分路线的内部。
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相当。式右边积分中时，与）式当即（ mnk ?? )2(03
式和比较 )3()2(
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围线积分等于 围线 C内 X(z)Zn-1所有极点的留数之和
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单阶极点
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① 右边序列
② 左边序列 围线积分等于围线 C外所有极点的留数之和
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2、用留数定理求围线积分。
例 6-1 )1(
5.05.0
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解：由 ROC知 f(n)为因果序列
)1)(5.0(
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zzzzzF nnn
1
5.0
)5.02(])([Re
1
1
1 ?
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z
n
z
n
z
zzzzFs
n
z
n
z
n
z
zzzzFs )5.0(
1
)5.02(])([Re
5.0
5.0
1 ??
?
??
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?
求 f(n)
)(])5.0(1[)( nunf n???
例 6-2
)21(
)2)(1(
53)( 2 ??
??
?? z
zz
zzzF
求 f(n)
解,f(n)为双边信号
)2)(1(
)53(
)2)(1(
)53()( 121
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??
??
?? ??
zz
zz
zz
zzzzzF nnn
2
2
)53(])([Re
1
1
1 ?
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??
?
?
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z
n
z
n
z
zzzzFs
1),0 时当 ?n 1?z只有 为 C内极点
)(2)( nunf r ??
? ??? 外诸极点Cnl zzFsnf ])([Re)( 1
,0)2 时当 ?n 1,0 ?? zz 均为 C内极点
n
z
n
z
n
z
zzzzFs 2
1
)53(])([Re
2
2
1 ?
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??
?
?
?
)1(2)( ????? nunf nl
)1(2)(2)()()( ??????? nununfnfnf nlr
)2)(1(
)53(
)2)(1(
)53()( 121
??
??
??
?? ??
zz
zz
zz
zzzzzF nnn
§ 6.4 Z变换和拉普拉斯变换的关系
本书中讨论三种变换域方法,傅立叶变换
（ FT）, 拉普拉斯变换（ LT） 和 z变换
（ ZT）,这些变换在一定条件下是可能
互相转换的。
sTzsz e,?关系
TΩTTΩσz j )j( eee ??? ? ?
?
?
?
?
?
??
?
s
T
Ω
Ω
Ω Tθ
r
π2:
e:
幅角
半径
所以
?
代入
比较
一,z平面与 s平面的映射关系
sTzz e ?号变换的定义时，引入符在引入
Ωss j)( ?? ?：直角坐标
?O
Ωj
0
j Ω
0
?
Ωs j?? ?
s 平面
?je)( rzz ?：极坐标
?j
erz ?
)R e ( z
)I m (j z
O
z 平面
0
r
0
?
s平面
z平面
几种情况
（ 1） s平面的原点, z平面,即 。
??
?
?
?
0
0
Ω
σ
?
?
?
?
?
0
1
θ
r 1?z
0?σ 0?σ 0?σ ?????:为常数?
1?r 1?r 1?r ???0:为常数r
左半平面 虚轴 右半平面 左向右移
单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大
（ 2）
（ 3）,正实轴平面：实轴平面 00 ??? θzΩs
（ 4） z~s映射不是单值的 。 π
2
s ???? θΩΩ
二, z变换与拉式变换表达式之对应
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ??
,
zXsX
zXnxZsXtxLnxtx
写出能否借助
，均匀抽样 ????? ??
? ? ?
??
??
?
j
j
st dsesX
j
tx
?
??
)(
2
1
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???
??
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?
?
??
?
??
???
00
)(2 1)(
n
nj
j
s n T
n
n zdsesX
jznxzX
?
??
连续信号 x(t)→F(S), x(nT)是它的取样信号,T为取样周期
? ? ? ? ?
??
??
??
j
j
s n T dsesX
j
nTxnx
?
??
)(
2
1
dsze sXjzX j
j sT?
??
?? ??
?? ?
?? )1(
)(
2
1)(
1
)(1 1)( 1
0
1 sT
sT
n
nsT ez
zeze ??? ?
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nj
j
s n T
n
n zdsesX
jznxzX
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???
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0
1 )()(
2
1
n
nsTj
j
dszesX
j
?
??
借助模拟滤波器
设计数字滤波器
的各极点)(
11
)(Re)(
sX
sT ze
sXszX ?
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?
??
?
?? ?
解：
00
2
0
2
0 22)(
???
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js
j
js
j
s
sF a
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?
?
?
?
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0201,?? jsjs ???
极点
例 8 已知 )(si n 0 ttu? 2
0
2
0
?
?
?sLT
求抽样序列 )(si n 0 nnu?的 Z变换
11 00 1
2
1
2)(
??? ???
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ze
j
ze
j
zF jj ??
1c o s2
s i n
c o s21
s i n
0
2
0
2
0
1
0
1
??
?
??
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zz
z
zz
z
