第三章 鞅与停时
3.1 停时 (可选时 )
设 为基本概率空间，参数集 T 或为),,( PF? ),0[ ∞=
+
R 或为 ，
令 为一簇上升的
{}L2,1,0=
+
Z
Tt
t
∈,F σ -域，即对一切 FFF ??<∈
ts
tsTts, ,, 。
定义 3.1.1： 取值于 { }∞+=
++
URR 或 { }∞+=
++
UZZ 上的随机变量 τ 称为(相对
于 σ -域 )停时(可选时) (stopping time or optional time)，如果对每个
t
F
{}{}
t
ttwwRt F∈≤=≤∈
+
ττ )(:, (或者对每个 { }
n
nZn F∈≤∈
+
τ,)。
对于离散时间的停时有另外一个刻划： τ 为停时若对每个
{}
n
nZn F∈=∈
+
τ, 。
以 τ 表示某个随机现象发生的时刻，事件 { }t≤τ 表示该随机现象在 以前已
经发生， 表示到时刻 所已知的信息， 若
t
t
F t τ 为停时， 即 { }
t
t F∈≤τ ， 表 明该随机
现象 (相对于 σ -域 )是“ 可观察 ”的。
t
F
例 3.1.1： 某 人在赌博时决定当胜局累计 100 次时停止赌博， 停止赌博的时刻 τ 是
一个随机时间， 是赌到第 局时赌博者所能掌握的信息，
n
F n { }n=τ 依赖于前 局
的结果，故
n
{}
n
n F∈=τ ， τ 为停时。
例 3.1.2： 设随机过程 样本路径连续，TttX ∈),( ):)(( tssX
t
≤=σF ， 。
设 为闭集， 令
I
ts
st
>
+
= FF
A {AtXTt
A
∈∈= )(minτ }(约定空集时为 ∞+ )， 表示过程首次进入
A的时刻，
A
τ 称为 首中时 (hitting time)，则
A
τ 对于 σ -域 是停时； 若 为开集，
首中时
t
F A
{AtXTt
A
∈∈= )(infτ }(约定空集时为 ∞+ )，对 于 σ -域 不是停时， 但对
于
t
F
σ -域 是停时；令
+t
F τ 表示过程最后离开 A的时刻，则 τ 不是停时。
1
Dynkin “ random time independent of the future”
性质 ：
1. 常值时间 c为停时，此外若 τ 为停时， 为常数，则0≥c c+τ 为停时；
2. 设
21
,ττ 为停时，则 ( )
2121
,min ττττ =∧ ， ( )
2121
,max ττττ =∨ 为停时；
3. 设
21
,ττ 为停时，则
21
ττ + 为停时；
4. 设 LL ≤≤≤≤
n
τττ
21
为停时，则
n
n
ττ
∞→
= lim 为停时。
定义 3.1.2：停时 τ 的 τ 前事件 σ -域 定义为
τ
F { }{ }TttAA
tτ
∈∈≤∈= ,FFF τI： 。
τ
F 直观上的含义：若随机事件 在时间A τ 前就知道是否发生，现在到了时间 t，
若 t≤τ ，则当然应该知道随机事件 是否发生。 A
定理 3.1.1： τ 是 可测的，且在
τ
F { }t=τ 上，
tτ
FF = 。
定理 3.1.2： 设 τσ, 为停时， 则 { }
τ
AA FF ∈≤?∈ τσ
σ
I ， 从而若 τσ ≤ 则 。
τ
FF ?
σ
3.2 离散指标鞅
设 为概率空间， { 为一列单调增的子),,( PF? }
n
F σ -域 (代数 )，即 ，
随机变量序列 称为对于 { 是 适应的 (adapted)， 若对任意 ，
1+
?
nn
FF
{
n
X } }
n
F n
nn
X F?)(σ ，
即 是 可测的。 对于随机变量序列
n
X
n
F { }
n
X ， 总可以找到与之适应的 单调增 的一
列 σ -域 ， 此
n
F σ -域 称为一个 “ 筛选 ” (filtration)。 例如取
n
F ),,(
10 nn
XXX Lσ=F 。
若 对于单调增的 是适应的， 我们用偶序对 表示。 称 { 对于 { 是
可预料的 (predictable)，若对任意 n， 是 可测的。
n
X
n
F ),(
nn
X F }
}
n
X }
n
F
n
X
1?n
F
定义 3.2.1： 适应随机过程 { ， 称为是 鞅 (martingale)， 如 果对任意 ，0,, ≥nX
nn
F n
2
∞<
n
XE 且 ()
nnn
XXE =
+
F
1
。若 ( )
nnn
XXE ≥
+
F
1
，则称为 下鞅 (sub-martingale)；
若 ()
nnn
XXE ≤
+
F
1
，则称为 上鞅 (super-martingale)。
显然， 为鞅当且仅当它既是下鞅又是上鞅；若 为下鞅等价 于 为
上鞅。
n
X
n
X
n
X?
例 3.2.1 ：设 为任随机变量，L,,
10
YY X 为随机变量且 ∞<XE 。令
),(
0 nn
YY Lσ=F ， ()( )
nnn
XEYYXEX F== L,
0
，则 相对于 为鞅。
n
X
n
F
基本性质 ：
1) ， { 为鞅，则对任意常数 ，{}
nn
X F, }
nn
Y F, ba, { }
nnn
bYaX F,+ 为鞅 ;
2) 为鞅，则对任意{
nn
X F, } nm ≤ ， ( )
mmn
XXE =
+
F
1
；
3) 为鞅，则对任意 ，{
nn
X F, } n
0
EXEX
n
= ；
4) 若 为鞅，且对任意 n ， ，则对任意 ，{
nn
X F, } ∞<
2
n
EX nml ≤≤
()0=?
lmn
XXXE ；此外对任意 nm ≤ ，
( ) ( )
222
)(
mmnmmn
XFXEXXE ?=? F 。
定理 3.2.1： Doob-Meyer 下鞅分解定理 (sub-martingale decomposition theorem)
设 { 是下鞅， 则 可以唯一分解为}0,, ≥nX
nn
F
n
X
nnn
AMX += ， 其中 为 鞅 ，
是 可预料的增过程 ( )。
n
M
n
A
0
0
=A
证明： 令 () 0
11
≥?=
?? nnnn
XFXEa ，令 0
0
=A ， 为 可测的， 故 是
可预料的增过程。令
∑
=
=
n
k
kn
aA
1
1?n
F
n
A
nnn
AXM ?= ，易证 是鞅。往证分解唯一性。若
，则
n
M
nnnnn
AMAMX ′+′=+=
nnnn
AAMM ?′=′? 。一方面 为鞅，故
nn
MM ′?
()
111 ???
′?=′?
nnnnn
MMMME F ，令一方面
nnnn
AAMM ?′=′? 为 可测，故
1?n
F
()
nnnnn
MMMME ′?=′?
?1
F ，因此
3
0
000011
=?′=′?==′?=′?
??
AAMMMMMM
nnnn
L 。
3.3. Doob 可选定理及鞅的收敛
设 τ 为取非负整数值的停时， 令 ， 称为 随机过程
在
?
?
?
<
≥
==
nX
nX
XX
τ
n
n
τ
n
τ
τ
τ
,
,
),min( n
X
τ 处停止过程 。
引理 3.3.1：设 { 是鞅，则}
nn
X F, { }
n
τ
n
X F, 也是鞅。
定理 3.3.1： Doob 可选停止定理 (optional stopping theorem ) 设 { }
nn
X F, 是鞅， 若
..saστ ≤ 为两个有界停时，则 ( )
ττσ
XXE =F 。
证明：由于 ..saστ ≤ 为有界停时，设一个上界为 K 。
()
{} {}
()
{}
()
{}
()
{} σσσ
σσσσσσ
XXIXEI
IXEIXEIXEXE
K
i
ii
K
i
iKi
K
i
iiK
K
i
iK
K
i
iKK
===
==
?
?
?
?
?
?
?
?
=
∑∑
∑∑∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
11
111
F
FFFF
同理 ()
ττK
XXE =F 。注意到 。故
σ
FF ?
τ
()( )( ) ( )
ττKτKτ
XXEXEEXE === FFFF
σσ
。
一般来说，停时有界的条件是不可缺少的。但如果 { }
n
X 一致可积，则对任何两
个停时 ..saστ ≤ ，都有 ()
ττ
XXE =F
σ
。
定理 3.3.2 ： (Doob optional sampling theorem) 设 { }
nn
X F, 是鞅，
为非降有界停时，则LL ≤≤≤≤
n
ttt
21
{ }
nn
tt
X F, 是鞅。 ( 称为 optional
sampling process)
n
t
X
给定区间 ，序列 上穿 区间的次数记为 。若
为随机序列，则 也是随机变量。
],[ ba ),(
1 n
XXX L
r
= ],[ ba
)(
],[
n
ba
N
),(
1 n
XXX L
r
=
)(
],[
n
ba
N
引理 3.3.1： Doob 上穿不等式 (up-crossing inequality) 设为 { }
nn
X F, 下鞅，则
4
ab
aXEaXE
XEN
nn
ba
?
???
≤
++
)()(
)(
1)(
],[
r
定理 3.3.3： Doob 下鞅收敛定理 设 { }
nn
X F, 下鞅且 ∞<
n
n
XEsup ， 则存在几乎处
处有限的随机变量记为 ，使 得
∞
X 1)lim( ==
∞
∞→
XXP
n
n
。 从而若 { }
nn
X F, 为非负鞅，
则以概率 1 的有 存在且有限。
n
n
X
∞→
lim
例 3.3.1： (赌徒输光问题 )一个赌徒参加公平的赌博，即若 是赌徒在 n局之后
的赌金， )
n
X
,,(
10 nn
XXX Lσ=F 为赌徒在 局后所掌握的信息，则 { 是鞅 。
现假设不能赊钱， 且每一局至少赢或输 1 元 。 令
n }
nn
X F,
{ }
1
:min
+
==
nn
XXnN ， 表示赌
徒被强迫退出时已赌的局数。由于 { }
nn
X F, 为非负鞅，由收敛定理，以概率 1 的
有 存在且有限。又由于若 ，则
n
n
X
∞→
lim nN > 1
1
≥?
+ nn
XX ，因此 。
也就是以概率 1 赌徒最终要输光。
1)( =∞<NP
3.4 连续指标鞅
设 为概率空间，),,( PF? { }
t
F 为一族单调增的子 σ -代数，即若 ，则
；对任意 t ， 为 可测的，则称随机过程 对于 { 是 适应的
(adapted)。
ts <
ts
FF ? )(tX
t
F )(tX }
t
F
定义 3.4.1： 随机过程 称为鞅， 若对任意 ，{0,),( ≥ttX
t
F } t ∞<)(tXE ， 且对任意
，ts < ())()( sXtXE
s
=F 。
在一定条件下，前面离散指标鞅的一些定理可以平移到连续指标鞅的情形。
5
