中国科学院：随机过程讲义：中科院随机过程讲义第5章

第五章 连续时间 Markov 链 5.1 连续时间 Markov 链 连续时间 Markov 链的要旨仍然是 Markov 性， 与上一章不同之处在于指标集 （这里表示时间）取值连续，通常为 { }0≥tt 。状态仍然是离散的，最多取可数 个值，我们用整数值 表示。 L2,1,0 定义 5.1.1：设随机过程 状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S ，若对所有 ， 和 以及 满足 0, ≥ts su <≤0 Sji ∈, Sux ∈)( ()( )isXjtsXPsuuxuXisXjtsXP ==+=<≤===+ )()(0),()(,)()( 则称 为 连续时间 Markov 链 。 0),( ≥ttX 一般 isXjtsXP ==+ )()( 称为转移概率，与时间 有关，若进一步此概 率与 无关则随机过程 称为 有平稳转移概率 的连续时间 Markov 链。 此时记 ts, s )(tX ()( )iXjtXPisXjtsXPtP ij =====+= )0()()()()( 。 以下不特别指明，所涉及 到的连续时间 Markov 链是指有平稳转移概率的连续时间 Markov 链。 若过程初 始分布为 ，于是有 ))0(( iXPp i == 定理 5.1.1： 连续时间 Markov 链的转移概率 SjitP ij ∈,),( 和初始分布 完全 确定了过程的任意有限维分布。 Sip i ∈, 转移概率 的性质。首先SjitP ij ∈,),( 1)(,0)( =≥ ∑ ∈Sj ijij tPtP ；其次， ( ) ( ) ()() ∑∑ ∑ ∑ ∈∈ ∈ ∈ ===+=== ===+=== ===+===+=+ Sk kjik Sk Sk Sk ij tPsPksXjtsXPiXksXP iXksXjtsXPiXksXP iXksXjtsXPiXjtsXPtsP )()()()()0()( )0(,)()()0()( )0()(,)()0()()( 即 满足 Chapman-Kolmogorov 方程。 若过程不能刚到某个状态就瞬间离去即)(tP ij 1 ijij t tP δ= ↓ )(lim 0 ，此条件称为 标准性条件 ，约定 ijij P δ=)0( 。标准性条件意味着 。 Chapman-Kolmogorov 方程写成矩阵形式有 。 )0()(lim 0 PtP t = ↓ )()()( tPsPtsP =+ 5.2 矩阵与 Kolmogorov 向前、向后微分方程 Q 设 为标准连续时间 Markov 链， 状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S ， 转移概率 。 SjitP ij ∈,),( 引理 5.2.1： 对给定 ， 为 的一致连续函数。 Sji ∈, )(tP ij t 证明：设 ， 0>h [] ∑ ∑ ∞ ≠= ∞ = +??= ?=?+ ikk kjikijii ij k kjikijij tPhPtPhP tPtPhPtPhtP ,0 0 )()()()(1 )()()()()( 由此可知 [][])(1)()(1)()()()()( 0 hPtPhPtPtPhPtPhtP iiijiiij k kjikijij ??≥??≥?=?+ ∑ ∞ = )(1)()()()()()()( ,00 hPtPhPtPtPhPtPhtP ii ikk kjikij k kjikijij ?=≤?=?+ ∑∑ ∞ ≠= ∞ = 因此 )(1)()( hPtPhtP iiijij ?≤?+ ；当 0<h 时有类似不等式，故一般地有 )(1)()( hPtPhtP iiijij ?≤?+ 令 就得到证明。 0→h 引理 5.2.2： 当 ji ≠ ， ∞<= ↓ ij ij t q t tP )( lim 0 ； ∞≤?== ? ↓ iii ii t qq t tP )(1 lim 0 。 引理 5.2.3： 。 ∞≤≤≤ ∑ ≠ i ij ij qq0 证明：任意固定 ，由于N t tP t tP t tP ii ijj ij N ijj ij )(1 )()( ,0,0 ? =≤ ∑∑ ∞ ≠=≠= 。令 有0↓t 2 i N ijj ij qq ≤ ∑ ≠= ,0 ，在令 ，立得。 ∞→N 定义 5.2.1： 矩阵 ( ) Sji ij qQ ∈ = , 称为标准连续时间 Markov 链的 Q-矩阵 （密度矩阵） 。 Q -矩阵有以下性质： 1) ； Siq ii ∈≤≤∞? ,0 2) Sjiq ij ∈≠∞<≤ ,0 ； 3) 。 Siqqq iii ij ij ∈∞≤=?≤≤ ∑ ≠ ,0 考察 Q -矩阵的概率含义。设 iX =)0( 令 { }itXt i ≠>= )(,0infτ ，表示首次离开 状态 的时刻。 i 定理 5.2.1： 设 为标准连续时间 Markov 链(具有右连续轨道)，则 0),( ≥ttX tq i i eiXtP ? ==> ))0((τ 证明： [] tqii ii ii s ii s n n ii n n ii n n n ii n n n n i i n e s sP sP sP t s sP tt t t P t P t P iXki kt XP iXtsisXPiXtP ? ↓ ↓∞→ ∞→∞→ ∞→ = ? ? ? ?+ ?= ?=? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ==== =≤≤===> 1)( 1)( 1)(1ln limexp )(ln limexp 2 2 ln explim 2 ln2explim 2 lim )0(2,1,0,) 2 (lim ))0(0,)(())0(( 0 0 2 L τ 从而 () i i q iXE 1 )0( ==τ 。 决定过程在状态 i上停留时间的长短，可以看成过程 离开状态 i的速率。 当 ， 则 i q 0= i q 1))0(( ==∞= iXP i τ ， 链几乎永远不离开状态 i， 此时称状态 为 吸收态 (absorbed state)；当i ∞= i q ，则 1))0(0( === iXP i τ ，链 几 3 乎立即离开状态 i， 此时称状态 为 瞬过态 (transient state)；当i ∞<< i q0 时， 链停 留在状态 的时间服从指数分布，此时称状态 为 稳定态 (steadible state)。此外若 ，则称状态 i为 保守的 (conservative)，若所有状态为保守的，则称 链为 保守链 ，此时称 Q-矩阵为保守的。 i i ∞<= ∑ ≠ i ij ij qq 定理 5.2.2： 在定理 5.2.1 的条件下，设 是一个稳定状态，则对i ij ≠ i ijsq q q eiXjXsP(τ i )1())0()(, ? ?===< τ 特别令 ，有∞→s i ij q q iXjXP === ))0()(( τ 。 证明：由定理 5.2.1 ，在 iX =)0( 条件 τ 是连续型随机变量，故 0))0()(,( ==== iXjXsP ττ 。 令 ? ? ? ? ? ? =≠ ? ? ? ? ? ? =L2,1,0, 2 : 2 inf ki k X k nn n τ ， 则 。 ττ ↓ n [] [] i ijsq n n ij n n ii s n ii n n ij n ii s n ii n sk n ij k n ii n sk nn n sk n n n n nn n q q e P P P P P P PP iXkmi m Xj k XP iXjX k P iXjXsPiXjXsP i n n n n n )1( 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 lim 2 1 2 1 1 2 1 1 lim 2 1 2 1 lim )0(1,2,1, 2 , 2 lim ))0()(, 2 (lim ))0()(,(lim))0()(,( 2 2 2 1 2 2 ? ∞→ ∞→ ≤ ? ∞→ ≤ ∞→ ≤ ∞→ ∞→ ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? =?== ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ==== ==≤===≤ ∑ ∑ ∑ L ττ ττττ ))0()(( iXjXP ==τ 表示过程离开 i立刻转到 j 的概率，由于 表示过程离开状 i q 4 态 i的速率，因此 ))0()(( iXjXPqq iij ==?= τ 表示过程从状态 i转到状态 j 的速 率。 定理 5.2.3： 保守则Q SitPqtPqtP ik kjikijiij ∈+?=′ ∑ ≠ ,)()()( ， 即 ；若 且 )()( tQPtP′ = ? j qS,∈j ∞< jkq h hP kj kj h ≠= ↓ , )( lim 0 关于 一致成立，则k SjqtPqtPtP jk kjikjijij ∈+?=′ ∑ ≠ ,)()()( ，即 QtPtP )()( =′ 。 证明：由 ，0>h ∑ ≠ + ? ?= ?+ ik kj ik ij ii ijij tP h hP tP h hP h tPhtP )( )( )( )(1 )()( ∑∑ ∑∑ ≠= ∞ ≠+= ∞ ≠+=≠= ? ? =≤ =? ? + ?+ N ikk ikii ikNk ik ikNk kj ik N ikk kj ik ij ii ijij h hP h hP h hP tP h hP tP h hP tP h hP h tPhtP ,0,1 ,1,0 )()(1)( )( )( )( )( )( )(1 )()( 令 有0→h ∑∑ ≠=≠= ?≤?+′ N ikk iki N ikk kjikijiij qqtPqtPqtP ,0,0 )()()( ，由 保守， 再令 即 得 。 Q ∞→N SitPqtPqtP ik kjikijiij ∈+?=′ ∑ ≠ ,)()()( 由 ，0>h ∑ ≠ + ? ?= ?+ jk kj ikij jjijij h hP tPtP h hP h tPhtP )( )()( )(1)()( ，令 和条件立 得 。 0→h SjqtPqtPtP jk kjikjijij ∈+?=′ ∑ ≠ ,)()()( 微分方程 称为 Kolmogorov 向后微分方程 ， 而微分方程 称为 Kolmogorov 向前微分方程 。 )()( tQPtP =′ QtPtP )()( =′ 在实际问题中，要得到转移概率 ( ))()( tPtP ij = 往往是困难的，但它的密度矩 阵 ( ) ij qQ = 是由 在 的导数组成，换言之， Q刻画的是 的无穷小特 征， 仅由过程在 )(tP ij 0=t )(tP 0=t 附近的运动就可以得到， 所以实际问题中是先得到 ( ) ij qQ = ， 再利用向前或者向后方程求出 。 )(tP 例 5.2.1： 设随机信号以 0， 1 传输， 表示 t时刻接收到的信号。 是)(tX 0),( ≥ttX 5 以 为状态空间的齐次连续时间 Markov 链。由于信号是随机的，设信号 的改变与时间长短成正比，即 {}1,0=S ).()(),()( 1001 hohhPhohhP +=+= μλ 由此得到 矩阵为 ，向前微分方程为: Q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = μμ λλ Q )()()( )()()( )()()( )()()( 101111 111010 000101 010000 tPtPtP tPtPtP tPtPtP tPtPtP λμ μλ λμ μλ +?=′ +?=′ +?=′ +?=′ 。 再由初始条件(标准性条件)，解出 )(1)( )(1)( 10 )( 11 01 )( 00 tPetP tPetP t t ?= + + + = ?= + + + = +? +? μλ μλ μλ μ μλ λ μλ μ μλ λ 。 5.3 Poisson 过程 定义 5.3.1： 设连续时间随机过程 具有状态空间0),( ≥ttN { }L2,1,0=S ， 若对任意 ， 表示在 内“事件”发生的次数，则称 为 计数过程 (counting process)。 0>t )(tN ],0[ t )(tN 定义 5.3.2： 随机过程 称为 独立增量过程 (independent increment process)， 若对任意正整数 及任意时刻点 0),( ≥ttN n n ttt <<<<L 21 0 ，增量 )()(),()(),0()( 1121 ? ??? nn tNtNtNtNNtNL是相互独立的随机变量。此外若增量 )0)(()( tssNtN <≤? 的分布仅依赖与时间差 st ? ， 则称 具有平稳增量的独立增量 过程 。 定义 5.3.3：一个计数过程 称为 Poisson 过程 ，若 0),( ≥ttN 1) ； 0)0( =N 2) 是独立增量过程； )(tN 6 3) 对任意 增量0, ≥ts )()( sNtsN ?+ 的分布服从强度为 tλ 的 Poisson 分 布，即 ()L2,1,0, ! )( )()( ===?+ ? n n te nsNtsNP nt λ λ 。 定义 5.3.4：一个计数过程 称为 Poisson 过程，若 0),( ≥ttN 1) ； 0)0( =N 2) 是具有平稳增量的独立增量过程； )(tN 3) ()( ) )(2)()(),(1)()( hotNhtNPhohtNhtNP =≥?++==?+ λ 。 定理 5.3.1：定义 3 定义 4。 ? Poisson 过程的数字特征： ttENt λμ == )()( ， ),min(),( tsts λ=Γ 。 Poisson 过程 矩阵为 。 Q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? OO λλ λλ 下面考虑与 Poisson 过程相联系的一些随机变量的分布。 考虑直线上的 Poisson 过程 ，其样本路径如图 )(tN N(t) 1 τ 2 τ 3 τ W1 W2 W3 t 3 2 1 0 n τ 表示第 次事件与第 次事件发生 （到达） 的时间间隔， 表示第 次事 件发生的时刻（到达时刻） ， 。 1?n n n w n ∑ = = n i in w 1 τ 定理 5.3.2：L2,1, =n n τ 独立同分布都服从参数为 λ （均值为 λ 1 ）的指数分布， 7 即密度函数为 ； 服从参数为 ? ? ? < ≥ = ? 0,0 0, )( t te tf t n λ τ λ n w λ,n 的 Γ分布， 即密度函数为 ? ? ? ? ? < ≥ ? = ? ? 0,0 0, )!1( )( )( 1 t t n t e tf n t w n λ λ λ 。 证明：由于事件 { }{ 0)( 1 }=?> tNtτ ，故 ( ) ( ) t et =)NPtP λ τ ? ==> 0( 1 ， 1 τ 服从参 数为 λ 为指数分布。而 ( ) ( ) ()( t etNPsNtsNP stssPstP λ τττ ? ====?+= =+==> 0)(0)()( ],( 112 中事件不发生 故 2 τ 与 1 τ 独立且 2 τ 服从参数为 λ 指数分布。类似对 n τ 证明。由于事件 ，故{}{ ntNtw n ≥?≤ )( } ()( ) ∑ ∞ = ? =≥=≤ nj j t n j t entNPtwP ! )( )( λ λ ， 两 边求导， 立得 的密度函数为 n w ? ? ? ? ? < ≥ ? = ? ? 0,0 0, )!1( )( )( 1 t t n t e tf n t w n λ λ λ 。 定理 5.3.3：给定 ，到达时间 的联合分布密度为 ntN =)( n wwwL,, 21 ? ? ? ≤<<< = ? = otherwise twwtn wwf n n nntNww n ,0 0,! ),( 1 1)(, 1 L L L 证明：设 thtthtthtt nnn ≤+<<<+<<+<≤<L 222111 0 ，则 ( ) () () () n n n t htt n hhtthhttht nnnnnnnn nnnn nnnn hhhtn n t e eheeeehee ntNP htNtNtNhtNhtNtN tNhtNhtNtNtNhtNtN P ntNP ntNhtwthtwthtwtP ntNhtwthtwthtwtP nnnnnn L L L L L 21 )()()( 1 11 222121111 22221111 22221111 ! ! )( )( 0)()(,1)()(,0)()( 1)()(,0)()(,1)()(,0)( )( )(,,, )(,, 11211211 ? ? ????????????? ?? = = = ? ? ? ? ? ? ? ? =+?=?+=+? =?+=+?=?+= = = =+≤≤+≤≤+≤≤ = =+≤≤+≤≤+≤≤ ?? λ λλ λ λλλλλλλ 因此， 的联合密度为 n wwwL,, 21 8 ? ? ? ≤<<≤ = ? = otherwise twwtn wwf n n nntNww n ,0 0,! ),( 1 1)(, 1 L L L 。 (注意此分布与 个独立的 上均匀分布的顺序统计量的分布一致。 故n ],0[ t .)()()( 0 1 ∫ ∑ =? ? ? ? ? ? = = t n i i dxxg t n ntNwgE ) 5.5 生灭过程 定义 5.5.1： 设连续时间 Markov 链 ， 状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S ， 具有标 准平稳的转移概率 ，若 SjitP ij ∈,),( 1) ;2,1,0),()( 1, L=+= + ihohhP iii λ 2) L,2,1),()( 1, =+= ? ihohhP iii μ ； 3) L2,1,0),()(1)( =++?= ihohhP iiii μλ 4) 0,,0 0 >= ii μλμ 其余 。 则称 为 生灭过程 （ Birth and Death Process） ，)(tX ii μλ , 分别称为 新生率 和 死亡 率 。若 1,0 ≥= i i μ 称为 纯生过程 ， 0,0 ≥= i i λ 称为 纯灭过程 。 生灭过程的 Q矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? +? ? = O O iiii Q λμλμ λμλμ λλ )( )( 1111 00 生灭过程的 Q矩阵是 保守的 。其向后微分方程为 )()()( 1),()()()()( 10000 ,1,1 tPtPtP itPtPtPtP jjj jiiijiijiiij λλ μμλλ +?=′ ≥++?=′ ?+ ； 向前微分方程为 9 )()()( 1),()()()()( 11000 1,11,1 tPtPtP jtPtPtPtP iii jijijjjjijij μλ μμλλ +?=′ ≥++?=′ ++?? 考虑向前方程， 以 ))(()( jtXPtP j == ， 在向前方程两端同乘 在对 i求 和得到 ))0(( iXP = )()()( 1),()()()()( 11000 1111 tPtPtP jtPtPtPtP jjjjjjjj μλ μμλλ +?=′ ≥++?=′ ++?? 。 考虑系统在稳态时的情形，即 ∞→t 时系统趋于稳定（在一定条件下） ，此时 ，故有 0)(lim,)(lim =′= ∞→∞→ tPptP j t jj t 0 1,0)( 1100 1111 =+? ≥=++? ++?? pp jppp jjjjjjj μλ μμλλ ， (注意 )。满足上面条件的1,,0 =∈≥ ∑ ∈Sj jj pSjp { } i p 称为过程的平稳分布，即 ，()L,,,,0 210 ppppQp ==? 1,,0 =∈≥ ∑ ∈Sj jj pSjp 。 上面的方程也可由下面的一 个链式图简单的得到： 当 1,0 ≥> j j μ 时可以求得 0 1 0 1 pp μ λ = ，L, 0 21 10 2 pp μμ λλ = ，L L L , 0 21 110 pp j j j μμμ λλλ ? = 由于 ，故1 0 = ∑ ∞ =j j p 1 1 21 110 0 1 ? ∞ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? += ∑ j j j p μμμ λλλ L L 。 生灭过程在 随机服务系统 中有着重要的应用。 一个随机服务系统包括三个组 成部分： 输入过程、 服务规则和服务机构 。 输入过程用来刻画到服务机构请求为 之服务的顾客到来的规律。记 0 0 =τ ，对 ，1≥n n τ 表示第 n个顾客到来的时刻， 1? ?= nnn T ττ 表示第 个顾客到达至第 个顾客到达之间的时间间隔，一般假1?n n 10 定 是 的， 常见输入有下列几种： 1.定常输入， 即 为非随机的正常数； 2.Poisson 输入， 即假定 服从参数为 L 21 ,TT dii .. n T n T λ 的负指数分布， 密度为 ； 3. 阶 Erlang 输入，即假定 服从参数为 )0( ≥ ? t t Ie λ λ k n T λ ， k 的 Γ分布，密度为 )0( 1 )!1( )( ≥ ? ? ? t t k Ie k t λ λλ ； 4. 一般分布其它的分布。 服务规则可以按顾客分， 例如所有顾客一律平等， 或者有 优先型顾客。 或者有照顾型的顾客； 也可以按服务窗口分， 例如各窗口平等， 或 者各窗口提供不同类型的服务， 顾客选择窗口排队； 也可根据规则分类， 例如消 失制， 即顾客到达时如不能服务就自行离去不排队 (例如打电话 )， 或者是等待制， 未能马上服务时先到等待的服务队列中排队， 再细分先到先服务、 优先权先服务、 随机服务等， 或者混合制， 顾客即可选择离去也可选择等待。 服务机构一般包括 服务设施的数量，每一服务设施的服务速度等。服务速度看成随机变量又分为 1.定常服务 (其实非随机的 )； 2. 负指数分布； 3. 阶 Erlang 分布； 4.一般分布等。 k 一般服务系统通常研究 的是以下几个指标： 1.平均等待时间 (从顾客到达 至接受服务的时间 )； 2.平均逗留时间 (从顾客到达至顾客离开服务系统的时 间 )； 3.平均队长 (正在等待的顾客服务数 )； 4.服务系统内顾客平均数 (包括 正在等待的顾客服务数和正在被服务的顾客数) ； 5.闲置概率 (全部设施都处在闲 置的概率 )； 6.忙期 (服务机构连续繁忙的时间 )等。 不同的问题有其特定的一些指 标。 通常采用 Kendall 记号来表示一个随机服务系统。 用 “ ” 来表示 一个服务系统， 左起第一个 *表示输入类型， 用 ， q W s W q L s L (**)/*/*/** D M ， 和 G表示定常输入、 Poisson 输入、 k 阶 Erlang 输入和一般输入； 左起第二个 *表示服务速度的分布类 型； 左起第三个 *表示服务设施的个数； 左起第四个 *表示系统容量， 即允许最大 顾客等待数，一般缺省时表示 k E ∞，括号里的 *用来解释服务规则。 例 5.5.1：考 虑 表示随机服务系统是 Poisson 输入， 服务速度服从 负指数分布， 系统有 n个服务设施， 系统容量为无穷， 顾客到达时若不能马上服 务将排队等待按照先到先服务的规则。 设输入强度为 )(// FIFOnMM λ ， 服务强度为 μ ， 这是一 11 个生灭过程，其 Q矩阵有形状 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? μ 0 ?? ?? ?? OOO OOOO O OOO λμλμ λμλμ λμλ λλ nn0 022 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 0,)( ≥∧??= iniq ii μλ ， 0, 1, ≥= + iq ii λ ， 1,)( 1, ≥∧= ? iniq ii μ ， 2,0 ≥?= jiq ij 。 由 ，得到 0=?Qp ? ? ? ? ? ? ? ≥ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?≤≤ ? ? ? ? ? ? ? ? = ? njp nn njp j p njn j j , ! 1 11, ! 1 0 0 μ λ μ λ μ λ 当 μλ n< 时，平稳分布存在，其中 1 1 0 0 ! 1 ! 1 ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = ∑ λμ μ μ λ μ λ n n nj p n n j j 。条件 μλ n< 的意义很明了， λ 为单位时间内到达顾客的平均数， μ 是单位时间内一台 服务设施服务顾客的平均数， 如果 μλ n≥ ， 则服务设施服务速度赶不上顾客到达 速度，势必使得服务系统顾客数越 来越多，系统不能达到平衡。 即为系统空 闲的概率，而顾客来到服务系统不能马上接受服务需要等待的概率 0 p 0 ! 1 p n n n pp n nj jw λμ μ μ λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? == ∑ ∞ = 。系统达到平衡时，就有 qq WL ?=λ 称为 Little 公式 ，其 意 义 是 在系统稳定的条件下， 某一顾客结束服务退出服务状 态时回头看到的队列的平均长度 应该等于该顾客在等待过程中平均进入服务 系统的顾客数(无论到达时间间隔以及 服务时间服从什么分布)。 同理有关系 q L ss WL ?=λ 。为计算平均等待时间 ，先计算顾客等待时间这个随机变量 W 的 q W 12 分布。对于此例来说，首先 ； ∑ ? = == 1 0 )0( n j j pWP 0>?t ， () ∑ ∞ = >=> nj j jtWPptWP )( 名顾 客系统中有 。若 令 表示在时间间隔 t之内服 务机构完成的顾客数 (注意 是强度为 )(tM )(tM μn 的 Poisson 过程 )，则 njitMPjtWP nj i ≥==> ∑ ? = ,))(()( 0 名顾客系统中有 。 因此 () ()tn n i i tn n i i i tn n ik k i i tn n k i i k k tn n nj nj i i tn nj n nj nj i i tn j nj nj i j ep n n i t n n ep n n ni tn ep ni tn ep i tn n ep i tn e n p i tn epitMPptWP ??? ∞ = ?? ∞ = ?? ∞ = ∞ = ?? = ∞ = ?? ∞ = ? = ?? ? ∞ = ? = ?? ∞ = ? = ? = ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ===> ∑ ∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ λμμ μμ μμ μ λμ μλ λμ μ λμ μ μ λμ μ λμ μ μ λμ μ λ μ 0 00 000 00 ! )( ! )( ! )( ! )( ! )( ! )( ))(( 从而 0 22 ! 1 )()( p nn n p n n EWW n nq ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? == μ λ λμ μ λμ μ , μ 1 += qs WW 。 一个闲期是指 从系统中最后一个顾客离去到此后第一个顾客到达， 由指数分布的无记忆性， 故 平均一个闲期的长度是 λ 1 。 在系统达到稳定时， 在相当长的一个长度为 L 的时间 区间内， 有大约 Lλ 个顾客到达， 闲期的总长度是 ， 忙期的总长度为 ， 由于一个闲期的平均长度为 Lp 0 Lp )1( 0 ? λ 1 ，故闲期的平均个数为 Lp 0 λ ，闲期和忙期是交 错 的， 故忙期的平均个数也为 Lp 0 λ ， 因此一个忙期的平均长度为 0 0 1 p p λ ? 。 由于 Lλ 位 顾客平均的在 Lp 0 λ 个忙期中得到服务， 因此一个忙期中应该平均服务了 0 1 p 个顾 客。 13