中国科学院：随机过程讲义：中科院随机过程讲义第8章

第八章 Gauss 过程与 Brown 运动 8.1 多维正态分布 设 X 是 维随机变量，称n X 服从 n 维正态分布 ，如果它的特征函数为 } 2 1 exp{)( ttjtt TT Σ?= μ? ， 并记为 ),(~ ΣμNX 。 易知， Σ== )(, XVarEX μ 。如 果 0≠Σ ，则 X 的分布密度为 () ? ? ? ? ? ? ?Σ?? Σ = ? )()( 2 1 exp )2( 1 1 2 1 2 μμ π xxxf T n 。 定理 8.1.1：多元正态分布随机变量的边际分布仍然是正态分布。 定理 8.1.2 ： ),(~ ΣμNX 为 维正态分布n ? 对任意 n 维向量 t ， 。 ),(~ tttNXt TTT Σμ 定理 8.1.3： ),(~ ΣμNX 为 维正态分布，n AXY = ，其中 为常值矩阵，则 。 nm A × ),(~ T AAANY Σμ 定理 8.1.4： 随机变量 21 ,ξξ 的联合分布是正态分布， 则 21 ,ξξ 相互独立等价于 21 ,ξξ 不相关。 例 8.1.1 ：若 4321 ,,, ξξξξ 的联合分布为零均值的正态分布，则 3241423143214321 ξξξξξξξξξξξξξξξξ EEEEEEE ++= 。 证明：设其特征函数为 ) 2 1 exp() 2 1 exp( )' 2 1 exp()exp(),,,( 4 1 4 1, , 4 1 4321 ∑∑ ∑ == = ?=?= Σ?== k kk lk llkk k kk uttt tttjEtttt σ ξ? （设 ） 。 ∑ = = 4 1l lklk tu σ 1 () () () 43211114321 4 1 114321 1 ,,,)]( 2 1 [,,, )]( 2 1 [,,, ttttuuutttt tutttt t k kk ?? σ? ? ?=+?= +?= ? ? ∑ = ()() ()() 432121432112 4321214321 2 1 12 2 ,,,,,, ,,,,,, ttttuutttt ttttuutttt t u tt ??σ ?? ? +?= + ? ? ?= ?? ? ()()() () ),,,(),,,()(,,, ,,,,,,,,, 432132143211232134321123 43213214321 3 21 4321123 123 3 ttttuuuttttuuttttu ttttuuutttt t uu ttttu ttt ??σσ?σ ???σ ? ?++= ? ? ? += ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? kl l k t u σ 。 () () () () () () () () () () () () 432143214321213431243214 43214123213432114232413 4321431243213412 432143214321 4 321 43214232134321 4 1 23 4 2 12 43211243432112 4 3 1234 4 ,,,,,,)( ,,,)(,,,)( ,,,,,, ,,,,,, ,,,)(,,,][ ,,,,,, 1 ttttuuuuttttuuuuuu ttttuuutttt ttttuutttt ttttuuuutttt t uuu ttttuutttt t u t u ttttuutttt t u tttt u ??σσσ ?σσ?σσσσ ?σ?σσ ?? ?σσ?σσ ?σ?σ ? +++? +?++ ?= + ? ? ? +? ? ? + ? ? + ? ? ? = ???? ? 从而 1423241334120 4321 4 4321 | σσσσσσ ? ξξξξ ++= ???? ? = =t tttt E klt kl lk tt E σ ? ξξ ?= ?? ? = =0 2 | ， 4,1 ≤≤ lk 因此 4132423143214321 ξξξξξξξξξξξξξξξξ EEEEEEE ++= 。 定理 8.1.5： 设 。 则给定 时 的条件分布是 0,),,(~ 2221 1211 2 1 2 1 > ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = VV VV VVN Y Y Y p q μ μ μμ 其中 2 Y 1 Y p 维正态分布，并且条件期望和方差分别为 ： () ( ) 21 1 2212112122 1 2212121 |),(| VVVVYYVarYVVYYE ?? ?=?+= μμ 。 2 证明：定义 ，则 是正态分布， 且 ，这表明 是独立的，因此给定 ， 的条件分布是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? == ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 1 22121 2 1 1 2212 0 Y YVVY By Y Y I VVI v u q p ? ? ? ? ? ? ? ? v u ? ? ? ? ? ? ? ? ? == ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 22 21 1 221211 2 2 1 22121 0 0 ')(, V VVVV ByBVar v u Var VV v u E μ μμ 22 1 22121 YYVVY 和 ? ? 2 Y 1 Y p 维正态分布。 ()( ) ( ) )(||| 22 1 221212122 1 22122 1 2212121 μμ ?+==+?= ??? YVVYYEYYVVYVVYEYYE ()( ) ( ) 21 1 22121122 1 2212122 1 22122 1 2212121 ||| VVVVYYVVYVarYYVVYVVYVarYYVar ???? ?=?=+?= 8.2 Gauss 过程 定义 8.2.1：随机过程 TttX ∈),( 称为 Gauss 过程 ，如果对于任意的 ， ，随机向量 n Tttt n ∈L,, 21 () ( ) ( ) T n tXtXtX L,, 21 为 维正态分布，即其特征函数 为 n () () kl n l n k kl n l llnttt ttuutujuu n , 2 1 )(exp,, 111 1,, 21 Γ?= ∑∑∑ === μ? L L 其中 () )(tEXt =μ ， () ( ))(),(cov, tXsXts =Γ 。 引理 8.2.1： 是 维实正态随机序列， 如 果() T n k nn XXX )()( 1 )( ,,L= k )(n X 均方收敛于 X ，即 均方收敛于 )(n i X kiX i ≤≤1, ，那么 X 是 维正态随机向量。 k 证明：令 ()(),,,,,, 1 )()( 1 )()( T k T n k nnn EXEX μμμμμμ LL ==== ( ) Tnnnn kk n ij n XXE ))(( )()()()()()( μμσ ??==Σ × , ( ) T kk ij XXE ))(( μμσ ??==Σ × , 由 )(n X 均方收敛于 X 知 ，从而kli il n ill n l n ≤≤== ∞→ ,1,lim,lim )( σσμμ () } 2 1 exp{} 2 1 exp{ )()( uujuuujuu TTnTnT n Σ?→Σ?= μμ? ，因为 ( )uuuXX n n n n ??? ),()(lim,lim )( == ∞→∞→ 是 X 的特征函数，故 () } 2 1 exp{ uujuu TT Σ?= μ? ，从而 X 是 维正态随机向量。 k 3 定理 8.2.1： 设 是均方可微的 Gauss过程， 那么 也是 Gauss 过程。 }),({ TttX ∈ }),('{ TttX ∈ 推论 8.2.1： 设 是 Gauss 过程，)(tX ),())(),(cov(),()( tstXsXttEX Γ== μ ， 均 方可微。那么对于任意的 )(tX Ttttn n ∈,,,, 21 L ， 的特征函数是 T n tXtX ))(',),('( 1 L () } , 2 1 )('exp{),,,( 2 111 21,,, 21 ts ts uutujuuu n l n k kl n l lln X ttt n ?? Γ? ?= ∑∑∑ === ′ μ? L L 。 定理 8.2.2： 如果 是均方可积 Gauss 过程，那么 也是 Gauss 过程 。 }),({ TttX ∈ ∫ = t a dssXtY )()( 证明：只需证明对于任意的 是 维正态随机向 量。由于 T nn tYtYTtttn ))(,),((,,,,, 121 LL ∈ n ∫ ∑ = ? ≤≤→? ?=?=<<=?== k k k kk k n t a n l ii ni nknllk sstssassXdssXtY 1 1 1 0 0 )(max,,)(lim)()( L其中 ， 再由引理 8.2.1 和上一节定理 8.1.2 立得。 推论 8.2.2 ： 是均方可积 Gauss 过程 ，}),({ TttX ∈ )()( ttEX μ= ， ， 。 那么对于任意的 ， 的特征函数是 () ( )(),(cov, tXsXts =Γ ∫ = t a dssXtY )()( Ttttn n ∈,,,, 21 L T n tYtY ))(,),(( 1 L () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Γ?= ∫∫ ∑ ∫ ∑∑ === lkl n t a t a n l t a n l n k klln Y ttt dsdttsuudssujuu , 2 1 )(exp,, 111 1,,, 21 μ? L L 。 8.3 Brown 运动 4 先讨论对称随机游动， 此游动每个单位时间等可能地向左或向右走一个单位 格子。 现假设每隔 的时间等概率地向左或向右走t? x? 大小的位移。 若以 记 时刻的位置，则 )(tX t [] ( ) tt XXXxtX ? ++?= /21 )( L ， 其中 且诸 相互独立， ? ? ? ?? ? = 左步向的第若长1 步向右的第若长1 ix ix X i i X )1( 2 1 )1( ?==== ii XPXP 。因此 0)( =tEX ， ()() ? ? ? ? ? ? ? ?= t t xtXVar 2 )( 。现令 ， 但要使得极限过程是非平凡的 (例如若令0, →?? xt tx ?=? ，再 令 ，则 ，从而 )，故令 0→?t ()0)(),( →tXVartEX ..,0)( satX → tx ?=? σ ，再令 时 ， 0→?t 0)( =tEX ( ) ttXVar 2 )( σ→ 。再由中心极限定理可见此极限过程 。此外随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变化是独立的， 位置的变化分布只依赖于区间长度，因此 应有平稳的独立增量。 ),0(~)( 2 tNtX σ 0),( ≥ttX 定义 8.3.1：随机过程 称为 Brown 运动 或 Wiener 过程 ，若： }0),({ ≥ttW 1) ； 0)0( =W 2) 为平稳的独立增量过程； )(tW 3) 对任意 。 ),0(~)(,0 2 tNtWt σ> 如果 ，则 称 为有漂移的 Brown 运动，),(~)( 2 ttNtW σμ? )(tW μ 为漂移参数。 对 于 Brown 运动 ，如果 ，称为 标准 Brown 运动 。如果)(tW 1 2 =σ σ σ )( ,1 2 tW ≠ 是 标准 Brown 运动。 Brown 运动是 Gauss 过程，均值函数为 0，协方差函数 ，而且它还是 Markov 过程。 () (tstWsEWts ,min)()(, 2 σ==Γ ) 定义 8.3.2：随机过程 称为 Brown 运动 ，若： }0),({ ≥ttW 1) ； 0)0( =W 5 2) 为独立增量过程； )(tW 3) 对任意 。 ))(,0(~)()(,0 2 stNsWtWst ??>> σ 定理 8.3.1： 定义 1 定义 2。 ? 作为一物理现象， Brown 运动由英国植物学家 Brown 于 1827 年发现。著名 物理学家 Einstein 在 1905 年首次从物理的角度给出 Brown 运动的一个解释。设 表示一个粒子在 Brown 运动中)(tW x方向的位移，由于 Brown 运动的转移是平 稳的，不依赖于起始时刻，故不妨假 设初始时刻的位置为 ，即 ， 0 x 0 )0( xX = ),( 0 xtxp 表示在 的条件下 的条件概率密度， Einstein 从物理的原理 证明 0 )0( xX = )(tX ),( 0 xtxp 满足一个扩散方程 2 2 x p D t p ? ? = ? ? 在一般条件下上方程的唯一解为 ? ? ? ? ? ? ??= 2 00 )( 2)2( 1 exp )2(2 1 ),( xx tD tD xtxp π 。 Wiener 在他 1918 年博士论文中以及后续文章中给出 Brown 运动的精确数学描 述。 以下不特别指明所说的 Brown 运动是指标准的 Brown 运动，即 。 1 2 =σ 定理 8.3.2： 设 是标准 Brown 运动， 任给定 n个时刻 ， 若用 记 ( 的联合分布密度，则 }0),({ ≥ttW n ttt <<< L 21 0 ),( 21, 21 nttt xxxf n L L ))(),(),( 21 n tXtXtX L )()()(),( 112121, 112121 ??? ??= ? nntttttnttt xxpxxpxpxxxf nnn LL L 其中 t x t e t xp 2 2 2 1 )( ? ? = π 。 6 定理 8.3.3：( Donsker(1951)“不变性原理” ， Invariance Principle)设 为 零均值的独立同分布随机序列有有限的方差 ，令 1, ≥nX n 0 2 >σ 0 0 =S ， ，记 为实数 ∑ = = n i in XS 1 []x x的整数部分，定义 0,)( ][ ≥= t n S tW nt n σ ，对固定的 ，则当 时， 的任意有限维分布趋于标准 Brown 运动的有限维分布(也就是说 的 极限过程就是标准的 Brown 运动)。 t ∞→n )(tW n )(tW n 8.4 Brown 运动的性质 性质 8.4.1： Brown 运动的几乎每条样本轨道是连续的，对几乎每条样本轨道上 的任意一点，其导数都不存在 。 性质 8.4.2： 设 是标准 Brown 运动，则 ： }0),({ ≥ttW 1) 0),()( 1 ≥?= ttWtW ， (对称 ) 2) ? ? ? ? ? = > ? ? ? ? ? ? = 0,0 0, 1 )(. 1 t t t tW tW ， (逆时间 ) 3) ? ? ? ? ? ? = 2 2 )(. c t cWtW ， 任意固定 ， (刻度不变 ) 0>c 4) ， 任意固定 ， (平移不变 ) )()()(. 3 hWhtWtW ?+= 0>h 仍然是标准 Brown 运动 。 性质 8.4.3： (强 Markov 性 )设 为标准 Brown 运动 ， 则对几乎处处有限停时)(tW τ ， 过程 仍然为标准 Brown 运动，并且与0),()()( * ≥?+= tWtWtW ττ τ 独立 。 对于 Brown 运动， 定义 { }atWtT a =>= )(0inf ，表 示 Brown 首次到达状态 的时刻。 a 7 性质 8.4.4： (反射原理 reflection principle)对任意停时 τ ， Brown 运动 的反 射过程 )(tW )(tW ) 与 Brown 运动有相同分布 ， 其中 ? ? ? ? =??= )()(2 )( ))],(min()([)),(min()( tWW tW tWtWtWtW τ ττ ) τ τ ≥ < t t 。 特别的当 a T=τ ， ， ? ? ? ? = )(2 )( )( tWa tW tW ) a a Tt Tt ≥ < 。 证明： 作 ， ? ? ? == )( )( )),(min()( 1 τ τ W tW tWtW τ τ ≥ < t t ， 是与 独立的 Brown 运动， ， )()()( * ττ WtWtW ?+= )( 1 tW ? ? ? ? =? )( 0 )( * 2 τ τ tW tW τ τ ≥ < t t ，由于 仍为 Brown 运 动，而 )( * tW? )()()(),()()( 2121 ττ ??=?+= tWtWtWtWtWtW ) ，故 与)(tW )(tW ) 的任意有 限维分布相同。 性质 8.4.5： 设 为标准 Brown 运动，令)(tW 0},)(,0inf{ >=>= aatWtT a ， 那么 dyetTP t a y a ∫ ∞ ? =≤ 2 2 2 )( π 。 证明： () ),)(( ),)((),)(()( tTatWP tTatWPtTatWPatWP a aa ≤≥= >≥+≤≥=≥ （第二项是 0） 。由 反 8 射原理 ( ) ( )tTatWPtTatWP aa ≤≥=≤≥ )()( ? 故 ()()tTatWPtTatWP aa ≤≤==≤≥ )( 2 1 )( 。因此 ())( 2 1 ,)( tTPtTatWP aa ≤=≤≥ 。 ∫∫ ∞∞ ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ?=≥=≤ a t a y a dyedx t x t atWPtTP 2 2 2 2 2 exp 2 2 ))((2)( π π ， 密度函数为 0, 2 exp 2 )( 2 3 > ? ? ? ? ? ? ? ? ?= t t a t a tf a T π 。 由性质 8.4.5， ∫ ∞ ∞→ = ? ? ? ? ? ? ? ? ?=<=∞< 0 2 1 2 exp 2 )(lim)( dy y tTPTP a t a π 。 对每条样本 轨道，不管 a 多大，总能在某个时刻到达 ，但首次到达 a 所需平均时间a ∫∫∫ ∞∞∞ ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?== 0 22 00 3 2 exp 2 2 exp 2 )dt( dt t a t a dt t a t a tttfET a Ta π π ，由于 ∞= ? ? ? ? ? ? ? ? ?∞→ ∫ ∞ δ ππ t dt t a t a t a t , 2 ~ 2 exp 2 , 2 时 ，从而 ∞= a ET 。 性质 8.4.6： 设 为标准 Brown 运动，)(tW ts < ， 在给定 atW =)( 的条件下 的 条件分布为正态分布 )(sW ? ? ? ? ? ? ? t sts t as N )( , 。 8.5 极大过程 (maximum process)与反正弦率 (arcsine law) 设 为标准 Brown 运动，令)(tW )(max)( 0 sWtM ts≤≤ = ，称为 极大过程 (maximum process)。 定理 8.5.1： 的密度函数为)(tM ? ? ? ? ? < ≥ ? = ? 0,0 0, 2 2 )( 2 )( 2 x xe t xf t x tM π 。 9 证明： 对 ，0≥x ()( ) ∫ ∞ ? ≤≤ =≤=≥=≥ t x y x ts dyetTPxsWPxtMP 2 0 2 2 )()(max)( π ， 求导即 得。 ( ()( ) ( )xtWPxsWPxtMP ts ≥=≥=≥ ≤≤ )(2)(max)( 0 称为 Levy等式) 定理 8.5.2： 设 为标准 Brown 运动，则)(tW ( ))(),( tMtW 的联合分布密度为 ? ? ? ? ? ≥≥ ? ? = ? ? otherwise yxye t xy yxf t xy tMtW ,0 0,, 2 )2(2 ),( 2 )2( 3 )(),( 2 π 。 证明：对 ，0, ≥≥ yxy ()( )tTxtWPytMxtWP y ≤≤=≥≤ ,)()(,)( ,由反射原理 ( ) ( )tTxytWPtTxtWP yy ≤?≥=≤≤ ,2)(,)( ， 故 ( ) ( ) ) ∫ ? ∞? ? = ?≥= ≥?≥=≥≤ xy t z dze t xytWP ytMxytWPytMxtWP 2 2 2 2 1 2)( )(,2)()(,)( π 。 然后在对 yx, 求偏导即得。 设 )2,0(~ πUX 均匀分布， ，则XY 2 sin= ]1,0[,arcsin 2 )( ∈=≤ tttYP π ，称 随机变量 Y 服从 反正弦率 (arcsine law)， 密度函数为 10,)1( 1 )( ≤≤?= yyyyf π 。 由于 Y 与 同分布，但XZ 2 cos= YZ ?=1,即 Y 与 Y?1 同分布，故 Y 关于 2 1 对称。 定理 8.5.3： (arcsine law)设 为标准 Brown 运动 ： 0),( ≥ttW 1) 设 ， 在区间 上无零点的概率为0 12 >>tt )(tW ),( 21 tt p ， 则 2 1 arcsin 2 t t p π = ； 2) 令 {}],0[,0)(sup TttWt ∈==τ ， 则 ],0[,sin 2 )( Tx T x arxxP ∈=≤ π τ ； 10 3) 令 表示在 上 ， 使得 的时间总和 ， 则)(TA ],0[ T 0)( ≥tW ]1,0[,arcsin 2)( ∈= ? ? ? ? ? ? ≤ xxx T TA P π 。 例 8.5.1 ：设随机信号序列 L,2,1, =nX n 为独立同分布随机变量序列且 2 1 )1()1( =?=== nn XPXP ，令 ，从时刻 到时刻 ，正信号领先权 不改变的概率， 当 较大时， 由不变性原理可以用 Brown 运动来做近似计算， 概 率为 ∑ = = n i in XS 1 j k k k j arcsin 2 π 。 8.6 Brown 桥 设 为标准 Brown 运动， 称0),( ≥ttW 10),1()()( ≤≤?= ttWtWtB 为 Brown 桥 。 由定义， (两头固定， 象桥一样 )。 是 Gauss 过程， 均值函数 是 0，协方差函数为： 0)1(,0)0( == BB )(tB () 10),1()()(, ≤≤≤?==Γ tststBsEBts 。 因此 Brown 桥可以定义为均值为零，协方差函数为 )10()1( ≤≤≤? tsts 的 Gauss 过程。 性质 1： 如果 是标准 Brown 运动 ， 那么0),( ≥ttW ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0 1 )1( )( 1 t t Wt tB , 和 1 10 = <≤ t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0 1 )( 2 t t tW tB ， 0 10 = ≤< t t 是 Brown 桥 。 如果 是 Brown 桥 ， 那么)(tB ? ? ? ? ? ? + += ? ? ? ? ? ? + += t BttW t t BttW 1 1 )1()(, 1 )1()( 21 是标准 Brown 运动 。 11 性质 2： 设 是标准 Brown 运动 ， 则条件随机过程0),( ≥ttW { }0)1(10),( =≤≤ WttW 是 Brown 桥过程 。 Brown 桥在经验分布函数研究中有重要作用。 设 为 上的均匀分 布总体抽出的 样本， 记落在 中样本的个数，即 ，令 n XX L, 1 )1,0( dii .. )(sN n ],0( s ∑ = ≤= n i in sXIsN 1 )()( n sN sF n n )( )( = 称为 经验分布函数 。 由强大数定律和中心 极限定理知，对固定的 ，以概率 1 的 有s ssXEIsF in n =≤= ∞→ )()(lim ，而且 (ssFn n ?)( )的渐进分布为正态分布 ( ))1(,0 ssN ? 。现记 ()10,)()( ≤≤?= sssFns nn α 为一随机过程， 研究 ∞→n 时过程的极限性质。 首 先 ()(),( ts nn αα 渐进联合分布是二元正态分布，其次 0)( =sE n α ，对于 ，10 ≤<≤ ts )1()()( tstsE nn ?=αα ，这些性质与 Brown 桥一致，事实上可以严 格证明 10),( ≤≤ ss n α 的极限过程就是 Brown 桥。 若总体不是 上的均匀分布， 设分布为 ，若 为 连续 函数， 为该总体抽出的 样本， 则 为 上的均匀分布。令 )1,0( F F n XX L, 1 dii .. )( i XF )1,0( ∑ = ≤= n i in xXI n xF 1 )( 1 )( 经验分布函数, 下面我们来研究 )()(sup xFxFn n x ? 的极限分布。记 ，sxF =)( () () [])()()( 1 )( 1 )( 11 xFxFnxFxXI n nssXFI n ns n n i i n i in ?= ? ? ? ? ? ? ?≤= ? ? ? ? ? ? ?≤= ∑∑ == α 由于 10),( ≤≤ ss n α 收 敛 与 Brown 桥过程，故 )()(sup xFxFn n x ? 的极限分布为 Brown 桥的上确界(由于连续性即为最大值)，即 ( )ytBPyxFxFnP t n x n ≤= ? ? ? ? ? ? ≤? ≤≤∞→ )(max)()(suplim 10 其中 为 Brown 桥。 )(tB 12 8.7 Ito 积分与微分 设 为 Brown 运动，协方差函数为 ，由于偏导 数 0),( ≥ttW ),min(),( 2 tsts σ=Γ s tsU ts ts ? ?? = ?? Γ? )(),( 2 2 σ ，其 中 ， 其导数不存在， 故 均方导 数不存在。若引入广义函数 ? ? ? < > = 0,0 0,1 )( x x xU )(tW δ 函数，其作为 的导数，这样形式上)(xU )( ),( ),( 2 2 ts ts ts ts W ?= ?? Γ? =Γ ′ δσ ， 表示当 ts ≠ ， )(sW′ ， )(tW′ 不相关， 均值为零， 这种随机过程称为白噪声，由 于 是 Gauss 过程， 所以其形式导数 称为 Gauss 白噪声。以下仍假设 为标准 Brown 运动。 )(tW )(tW′ 0),( ≥ttW 设 为实的二阶矩过程，],[),( battX ∈ ba <≤0 。将区间 作分割， ， ],[ ba bttta n =<<<= L 10 )(max 1 1 ? ≤≤ ?=? kk nk n tt ， ，若 均方极限 存在，此极限称为 关于 的 Ito 积分 ，记为 。 [] ∑ = ?? ?= n k kkkn tWtWtXI 1 11 )()()( n I n 0 lim →? )(tX )(tW ∫ b a tdWtXI )()()( 引理8.7.1：将区间作分割，],[ ba bttta n =<<<= L 10 ， )(max 1 1 ? ≤≤ ?=? kk nk n tt ， 则均方极限。 []abtWtW n k kk n ?=? ∑ = ? →? 1 2 1 0 )()(lim 证明：记 ， )()( 1? ?=? kkk tWtWW () [][ ∑∑ ∑∑ ≠= == ??????+???= ???=??? lk llkkkk n k n k kk n k k tWtWEtWE tWEabWE 22 2 2 1 2 1 2 2 1 2 )( ] 由独立增量性， [ ] [ ] 0 22 =??????? ∑ ≠lk llkk tWtWE ，故 13 [] )(22 2)( 1 2 1 224 2 1 2 abt ttWWEabWE n n k k n k kkkk n k k ??≤?= ?+????=??? ∑ ∑∑ = == 因此 。 []abtWtW n k kk n ?=? ∑ = ? →? 1 2 1 0 )()(lim 如果把 ( 理解为 的极限，这里) ) 2 )(tdW ( ∑ = ? n k k tW 1 2 )( )()()( 1? ?=? kkk tWtWtW ， ， 则 。 事实上， 可以证明dtttttt n +=<<<= L 10 ()dttdW L 2 2 )( = ( ) ..,)( 2 sadttdW = 。 由于 ),0(~)()()( dtNtWdttWtdW ?+= ，在金融领域常记 ZdttdW ?=)( ，其中 。 )1,0(~ NZ 例 8.7.1： [])( 2 1 )()( 2 1 )()( 22 abaWbWtdWtW b a ???= ∫ 若一个二阶矩过程 有以下形式 )(tX btasdWsAdssAaXtX t a t a ≤≤+=? ∫∫ ,)()()()()( 21 其中 ， 都是随机过程，则定义随机过程 有 Ito 微分 )( 1 tA )( 2 tA )(tX )()()()( 21 tdWtAdttAtdX += 例 8.7.2：由 ttWtdWtW t 2 1 )( 2 1 )()( 2 0 ?= ∫ ，故 。 )()(2)( 2 tdWtWdttdW += Ito微分公式 ： 设 )()()()( 21 tdWtAdttAtdX += ， ( ))(,)( tXtftY = ， 其中 为 普通函数，有二阶连续偏导数，则 ),( yxf ()() () () )()()(,)()(, 2 1 )()(,)(,)( 2 2 21 tdWtAtXtfdttAtXtftAtXtftXtftdY yyyyx + ? ? ? ? ? ? ++= Ito微分公式 是随机分析的基础。特别有 14 ()() () ())()(,)(, 2 1 )(,)(, tdWtXtfdttWtftWtftWtdf yyyx + ? ? ? ? ? ? += 若 ，则)(),( xfyxf = ()() ()dttWftdWtWftWdf )( 2 1 )()()( ′′+′= ，也等价于如下积 分公式 ()() () () ∫∫ ′′+′=? t s t s duuWfudWuWfsWftWf )( 2 1 )()()()( 。 例 8.7.3： [ ] [ ] )()(2)()( 22 tdWttWdtttWttWd ++= 。 例 8.7.4：考虑带漂移的 Brown 运动，即 )()( tWttX ?+?= σμ ，其中 为标准 Brown 运动，令 ，则 )(tW ()(exp)( tXtY = () ? ? ? ? ? ? ?++= )() 2 1 ()(exp)( 2 tdWdttXtdY σσμ 例 8.7.5：设随机过程 满足)(tS )()()()( tdWtSdttStdS ?+?= σμ ，其中 0, >σμ 为 常数， 为标准 Brown 运动，此随机微分方程的解)(tW ? ? ? ? ? ? ?+?= )() 2 1 (exp)( 2 tWttS σσμ ，过程 称为 几何 Brown 运动 。 0),( ≥ttS 15