第六章 二阶矩过程与随机分析初步 6.1 二阶矩过程 定义6.1.1：若随机过程TttX ∈),(有∞< 2 )(tXE，则称为二阶矩过程。 )(tX 以记所有二阶绝对矩有限的随机变量全体。由Schwarz不等式：， 2 L 2 , LYX ∈ () 22 2 YEXEYXE ≤，对于二阶矩过程其均值函数)()( tEXt =μ，协方差函数 ，相关函数总是存在的。 ()( ______________ )()()()(),( ttXssXEts μμ ??=Γ ______ )()(),( tXsEXtsR = 若把几乎处处相等的两个随机变量看成一个等价类，即若，则 称 0)( =≠YXP YX =，首先是一个线性空间，定义 2 L 2 , LYX ∈?，YEXYX =),(，为空间 上的内积 ，由此内积还可以诱导出上的一个范数 2 L ),( ?? 2 L ?，， 2 LX ∈? () 2 1 2 2 1 ),( XEXXX ==。从而 2 , LYX ∈?，YXYXd ?=),(度量了两个随机变 量之间的距离。 定理 6.1.1：是 Hilbert 空间(完备的内积空间)。 2 L 6.2 均方收敛、连续、微分和积分 定义6.2.1：{}，，称均方收敛到 2 LX n ? 2 LX ∈ n X X，并记为，若XX n n = ∞→ lim 0lim 2 =? ∞→ XXE n n 。 定理 6.2.1：若，XX n n = ∞→ lim YY n n = ∞→ lim，则 1) 2 22 limlim,limlim n n n n n n n n XEXEXEXEEXEX ∞→∞→∞→∞→ ====； 2) YEXYEX mn m n = ∞→ ∞→ lim。 定理 6.2.2：(均方收敛准则 ){} 均方收敛 2 LX n ? ? α= ∞→ ∞→ mn m n XEXlim。此外， 若 均方收敛到 n X X ，则 2 XE=α。 1 定义6.2.2：二阶矩过程TttX ∈),(称在 0 tt = 处均方连续的若， 即 )()(lim 0 0 tXtX tt = → 0)()(lim 2 0 0 =? → tXtXE tt 。若在每一个t处均方连续，则称随机过程是均方 连续的。 )(tX 定理 6.2.3：二阶矩过程 TttX ∈),( 在 0 tt = 处均方连续 ? 相关函数 在 处连续。 ),( tsR ),( 00 tt 注意：均方连续并不表明样本轨道连续，例如 Poisson 过程，均方连续但样本轨 道不连续。 定义6.2.3：二阶矩过程TttX ∈),(称在 处均方可导的，若存在使得t 2 )( LtY ∈ )( )()( lim 0 tY h tXhtX h = ?+ → ，即0)( )()( lim 2 0 =? ?+ → tY h tXhtX E h ，记为 dt tdX tXtY )( )()( =′=。 ( 普通二元函数 称为 广义二次可导 ，是指),( tsf hh tsfhtsfthsfhthsf h h ′ +′+?+?′++ →′ → ),(),(),(),( lim 0 0 存在。广义二次可导一定二次 可导，反过来不成立，当 ts tsf ?? ? ),( 2 存在且连续时，它们等价。 ) 定理 6.2.4：二阶矩过程 TttX ∈),( 在 0 tt = 处均方可导 ? 相关函数 在 处广义二次可导。 ),( tsR ),( 00 tt 定理 6.2.5：设以下所涉及的导数存在，则 pq qp qp st tsR tXsEX ts tsR st tsR tXsXE t tsR tXsEX s tsR tXsXE ?? ? = ?? ? = ?? ? =′′ ? ? =′ ? ? =′ + ),( )()(, ),(),( )()( ),( )()(, ),( )()( _________ )()( 22 _____ __________ 设为普通函数，)(tf ],[),( battX ∈为二阶矩过程，令bttta n =<<=L 10 ， ，，这里。若当() 1 1 max ? ≤≤ ?=? kk nk n tt 2 1 1 ))(()( LttuXufY n k kkkkn ∈?= ∑ = ? kkk tut ≤≤ ?1 2 0→? n ，均方收敛，则称均方可积，的均方极限值记为 。 n Y )()( tXtf n Y ∫ b a dttXtf )()( 定理 6.2.6：均方可积)()( tXtf ? dsdttsRtfsf b a b a ),()()( _____ ∫∫ 存在。 定理 6.2.7：均方可积，则 )()( tXtf 1) ； ∫∫ = b a b a dttEXtfdttXtfE )()()()( 2) 。 dsdttsRtfsfdttXtfdssXsfE b a b a b a b a ),()()()()()()( _____ _________________ ∫∫∫∫ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在一般条件下数学期望 E 可与均方极限 lim 、导 数 dt d 、积 分 交换(注意交 换的含义)。 ∫ b a 例6.2.1：设零均值的二阶矩过程，协方差函数为)(tX 22 )( 1 ),( tsa ts X ?+ =Γ， dt tdX tY )( )( =，求的均值函数与协方差函数。 )(tY 0)()( == tEYt Y μ， [ ] [] 3 22 22 )( )(32 ),( tsa tsa ts Y ?+ ?? =Γ 例6.2.2：设为Poisson过程，)(tX ∫ = t dssX t tY 0 )( 1 )(，求的均值函数与协方差 函数。 )(tY ttEYt Y λμ 2 1 )()( ==， ? ? ? ? ? ? ? >? ≤? ==Γ ∫∫ ts s t t ts t s s dudvvu st ts st Y , 6 1 2 1 , 6 1 2 1 ),min( 1 ),( 2 2 00 λ λ λ λ λ 6.3 普通函数关于正交增量过程的积分 定义6.3.1：设为二阶矩过程，若对任意],[),( battX ∈ 4321 0 tttt <≤<≤有 ，则称为正交增量过程 (orthogonal 0])()()][()([ __________________ 3412 =?? tXtXtXtXE )(tX 3 increment process)。 一般假定，若0)( =aX ?∞=a，假定0)(lim = ?∞→ tX t 。令 2 )()( tXEtF =，则 。设，则0)( =aF (),min()()(),( ______ tsFtXsEXtsR == st > )()()()(0 2 sFtFsXtXE ?=?≤，故为单调非降函数。 )(tF 设位零均值 有右连续轨道的正交增量过程，],[),( battX ∈ 2 )()( tXEtF =此 时即为方差函数，令 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∞<= ∫ b a tdFtftfdFL )()()()( 2 2 。是一个线性空间， 定义，，为空间上的内积 ， 由此内积还可以诱导出上的一个范数 )( 2 dFL )()(),( 2 dFLtgtf ∈? )()()(),( ______ tdFtgtfgf b a ∫ = )( 2 dFL ),( ?? )( 2 dFL ?，， 2 Lf ∈? 2 1 2 2 1 )()(),( ? ? ? ? ? ? ? ? == ∫ b a tdFtffff。从而 2 , Lgf ∈?，gfgfd ?=),(度量了它们之 间的距离。也是一个Hilbert空间。 )( 2 dFL 对，定义积分 ∫ ，分三步： )()( 2 dFLtf ∈ b a tdXtf )()( 1. 当(其中)为示性函数，定义 ； )()()( 2],[ dFLtItf dc ∈= ],[],[ badc ? )()()()( ],[ cXdXtdXtI b a dc ?= ∫ 2. 当为简单函数，定义 ； )()()( 2 1 ],[ dFLtIktf n i dci ii ∈= ∑ = [] ∑ ∫ ∑ == ?= n i iii b a n i dci dXcXktdXtIk ii 11 ],[ )()()()( 3. ，为简单函数使得)()( 2 dFLtf ∈? )(tf n ? 0)()()(lim 2 =? ∫ ∞→ b a n n tdFtftf，由于 为空间的基本列(Cauchy列)，故使得 ∫ b a n tdXtf )()( 2 L 2 LY ∈? 4 YtdXtf b a n n = ∫ ∞→ )()(lim，记。 ∫ = b a tdXtfY )()( 上述定义的积分满足以下性质： 1) ; ∫ = b a tdXtfE 0)()( 2) ; ),()()()( ],[ cXdXtdXtI b a dc ?= ∫ 3) ; [] ∫∫∫ +=+ b a b a b a tdXtgtdXtftdXtgtf )()()()()()()( βαβα 4) ，特别 ∫∫∫ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b a b a b a tdFtgtftdXtgtdXtfE )()()()()()()( _____ _______________ ∫∫ = b a b a tdFtftdXtfE )()()()( 2 2 。 实际上，对于零均值有右连续轨道的正交增量过程 ，)(tX 2 )()( tXEtF = ，我们 所定义的积分 是 的一个积分算子： 。 该算子满足线性 )(,)()()( 2 dFLftdXtffI b a ∈= ∫ 22 )( LdFL → 2 )( LfIf ∈→ )()()( gIfIgfI ?+?=?+? βαβα ， 且是保持内 积、范数不变，即 () )( 22 ),()(),( dFLL gfgIfI = ， )( 22 )( dFLL ffI = 。 例6.3.1：考虑线性随机微分方程： 0)0(, )( 2)( )( =+?= Y dt tdX tY dt tdY 这里为零均值的有右连续轨道的正交增量过程，协方差函数为 ，求随机过程的协方差函数。 0),( ≥ttX ),min(),( tsts X =Γ 0),( ≥ttY ∫ ?? = t ut udXetY 0 )( )(2)(， []124),( ),min(2)( ),min( 0 )()( ?==Γ +????? ∫ tsts ts utus Y eedueets 5