第四章 动态数列
第一节 动态数列的编制
一、动态数列的概念
动 态数列又称时间数列。它是将某种统计指标，或
在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列
起来，以便于研究其发展变化的水平和速度，并
以此来预测未来的一种统计方法。
全国邮电业务总量
年份 1949 1957 196
5
1978 1985 1998 1999 2000
亿元 1.35 4.09 8.75 34.0
9
62.21 2431.2
1
3330.8
2
4792.7
0
例
动 态数列由两个基本要素构成：
① 时 间，即现象所属的时间；
② 不 同时间上的统计指标数值，即不同时间
上该现象的发展水平。
二、动态数列的种类
动态数列按照所列入指标数值的不同可分为：
绝对数动态数列
相对数动态数列
平均数动态数列
时期数列
时点数列
时期数列特点：
数 列中各个指标值是可加的；
数 列中每个指标值的大小随着时期的长
短而变动；
数 列中每个指标值通常是通过连续不断
的登记而取得。
时点数列特点：
数 列中各个指标值是不能相加的；
数 列中每个指标值的大小与时间间隔
的长短没有直接关系；
数 列中每个指标值通常是按期登记一
次取得的。
全国城乡储蓄存款 单位：亿元
年末 1978 1980 1985 1996 1997 1998 1999 2000
余额 210.
6
399.
5
1622.
6
38520.
8
46279.
8
53407.
5
59621.
8
64332.
4
例
我国各年国内生产总值环比增长速度 单位,%
年份 199
0
199
1
199
2
199
3
199
4
199
5
199
6
199
7
199
8
199
9
200
0
增速 3.8 9.2 14.2 13.5 12.6 10.5 9.6 8.8 7.8 7.1 8.0
例
上海职工 1996 - 2000年年平均工资 单位：元
年份 1996 1997 1998 1999 2000
年平均工资 10663 11425 12059 14147 15420
例
三、动态数列的编制原则
基本原则是遵守其可比性。
具体说有以下几点：
注 意时间的长短应统一；
总 体范围应该一致；
指 标的经济内容应该相同；
指 标的计算方法和计量单位应该一致。
第二节 动态数列的水平指标
属 于现象发展的水平分析指标有：
发展水平
平均发展水平
增长量
平均增长量。
一、发展水平
在 动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发
展水平或动态数列水平。
如 果用 a0,a1,a2,a3,…… an，代表数列中
各个发展水平，则其中 a0即最初水平,an即
最末水平。
二、平均发展水平
平 均发展水平是对不同时期的发展水平求平
均数，统计上又叫序时平均数。
某车间各月工业增加值
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 (万元 ) 30 40 38 44 48 52 54 60 66 76 70 82
从表看出数列反映的增加值参差不齐，变化趋势不明显，
如果计算出各季每月的平均增加值 (序时平均数 )，就可
以看出它的发展趋势是不断增长的，见下表：
季度 一 二 三 四
各季每月平均增加值 (万元 ) 36 48 60 76
例
序时平均数与一般平均数的异同点：
二者都是将现象的个别数量差异抽象化，概
括地反映现象的一般水平。
不 同点
- 计算方法不同；
- 差异抽象化不同；
- 序时平均数还可解决某些可比性问题。
相 同点
序时平均数的计算方法：
1,时 期数列的序时平均数
㈠ 绝 对数动态数列的序时平均数
1 2 3
1 2 3 n
,,,
n
n
aa a a a
a
nn
a
a a a a
? ? ? ?
??
?L
L
式 中, 序 时 平 均 数
各 时 期 发 展 水 平
时 期 项 数
月份 一 二 三 四 五 六
产量 (万件 ) 24 20 28 28 30 29
)2 6, 5 (
6
293028282024
万件
则上半年平均月产
?
?????
?
例
2,时 点数列的序时平均数
1),对 连续变动的连续时点数列 (即未分组资料 )
(1) 如果资料是连续时点资料，可分为二种情况：
aa
n?
?
2),对 非连续变动的连续时点数列 (即分组资料 )
afa
f?
?
?
某厂 7月份的职工人数自 7月 1日至 7月 10日为 258人，
7月 11日起至 7月底均为 279人，则该厂 7月份平均职工人
数为：
)(27231 2792125810 人?????a
例
⑵ 如果资料是间断时点资料，也可分为二种情况：
1) 对 间隔相等的间断时点资料
某成品库存量如下：
现假定：每天变化是均匀的；本月初与上月末的库存
量相等。则各月平均库存量为：
)(2960)274029903150(
3
1
)(2740
2
28002680
6
)(2990
2
26803300
5
)(3150
2
33003000
4
件第二季度平均库存量
件月份
件月份
件月份
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
a
3月 31日 4月 30日 5月 31日 6月 30日
库存量 (件 ) 3000 3300 2680 2800
例
)(2960
3
274029903150
3
2
28002680
2
26803300
2
33003000
件
第二季度平均库存量
：上面计算可合并简化为
?
??
?
?
?
?
?
?
?
""
1
22
1
222
132
13221
1
首末折半法这种计算方法称为
般公式：上面计算过程概括为一
?
?????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
aaa
a
n
aaaaaa
a
n
n
nn
?
?
2) 对 间隔不等的间断时点资料
2 3 112
1 2 1
1
1
2 2 2
nn
n
n
i
i
a a a aaa
f f f
a
f
?
?
?
?
???
? ? ?
?
?
L
某城市 2003年各时点的人口数
日期 1月 1日 5月 1日 8月 1日 12月 31
日
人口数 (万人 ) 256.2 257.1 258.3 259.4
)(83.257
12
3 0 94
534
5
2
4.2593.258
3
2
3.2581.257
4
2
1.2572.256
万人
年平均人口数为：该市则，
??
??
?
?
??
?
??
?
2 0 03
例
㈡ 相 对数动态数列的序时平均数
1,由 两个时期数列对比组成的相对数动态
数列的序时平均数
某厂 7-9月份生产计划完成情况
7月份 8月份 9月份
a 实际产量 (件 ) 1256 1367 1978
b 计划产量 (件 ) 1150 1280 1760
c 产量计划完成 % 109.2 106.8 112.4
?
?
?
?
???
??
??
??
?
b
a
n
b
n
a
b
a
c
%8.109
4190
4601
3/)176012801150(
3/)197813671256(
化为一般公式为：
程度第三季度平均计划完成
例
2,由 两个时点数列对比组成的相对数动态数
列的序时平均数
某厂第三季度生产工人与职工人数资料
日 期 6月 30日 7月 31日 8月 31
日
9月 30日
a 生产工人数（人） 645 670 695 710
b 全体职工数（人） 805 826 830 845
c 生产工人占全体职工的 % 80.1 81.1 83.7 83.1
22
22
)1/()
22
(
)1/()
22
(
%18.82
5.2485
5.2042
2
845
830826
2
805
2
710
695670
2
645
32
1
32
1
32
1
32
1
n
n
n
n
b
bb
b
a
aa
a
n
b
bb
b
n
a
aa
a
b
a
c
????
????
?
?????
?????
??
??
???
???
?
?
?
?
?
化为一般公式为：
全体职工的平均比重
第三季度生产工人数占
例
若 为间隔不等的二个间断时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数为：
2 3 112
1 2 1
2 3 112
1 2 1
2 2 2
2 2 2
nn
n
nn
n
a a a aaa f f f
ac
b b b bbbb f f f
?
?
?
?
??? ? ? ?
??
??? ? ? ?
L
L
若 由二个连续时点数列对比组成的相对数动
态数列的序时平均数：
aa c
bb??
?
?连 续 变 动 时 点, 用 简 单 平 均, 即
afa c
bfb??
?
?非 连 续 变 动 时 点, 用 加 权 平 均, 即
3,由 一个时期数列和一个时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数。
某商业企业商品销售额与库存额情况
1月 2月 3月
a 商品销售额 (万元 ) 80 150 240
1
22
b
a
c
)(39.9313.3
)(13.3
50
7.156
)14/()
2
65
5545
2
35
(
3/)24015080(
32
1
?
????
?
??
???
???
??
????
??
?
n
b
bb
b
n
a
n
?
此题化为一般公式为：
次
月数月平均商品流转次数季度的商品流转次数
次
商品流转次数
第一季度月平均
1月 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日
b 商品库存额 (万元 ) 35 45 55 65
例
㈢ 平 均数动态数列的序时平均数
1,由 一般平均数组成的平均数动态数列的序
时平均数。
某厂某年 1-6月每一工人平均产值
)(62.0
405
29.251
707270686560
3.488.461.4444.3965.3933
b
a
c
万元
人平均月产值
上半年每一工
??
?????
?????
?
?
?
?
月份 1 2 3 4 5 6
a 工业增加值 (万元 ) 33 39.65 39.44 44.1 46.8 48.3
b 平均工人数 (人 ) 60 65 68 70 72 70
c 每一工人平均产值 (万元 ) 0.55 0.61 0.58 0.63 0.65 0.69
例
2,由 序时平均数组成的平均数动态数列的序时
平均数。
某企业某年各季平均月产值情况
)(25.20
12
243
3333
392312317314
万元
全年平均每月产值
以时间为权数：
??
???
???????
?
季 度 一 二 三 四
平均每月产值 (万元 ) 14 17 21 29
可见，当时期相等时，可直接采用简单算术平均法计算。
若时期或间隔不等时，则要采用加权算术平均法计算。
例
三、增长量
说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。
0
10
11
n
i i- 1 1 0 2 1 3 2
i1
-
( )
( a - a ) ( a - a ) ( a - a ) ( a - a )
n
i
i i n
iii
aa
a a a a
aa
?
??
?
?
?
?
?
??
? ? ? ? ??
?
?
? ? ?
?
?Q
增 长 量 报 告 期 水 平 基 期 水 平
前 一 时 期
因 为 基 期 有 两 种
某 一 固 定 时 期
累 计 增 长 量,
增 长 量
逐 期 增 长 量,
证 明,
n n- 1
n0
( a - a )
a - a
??
?
L
四、平均增长量
说明社会现象在一段时期内平均每期增加的
绝对数量。
1?? ?
逐 期 增 长 量 之 和 累 计 增 长 量平 均 增 长 量
逐 期 增 长 量 个 数 动 态 数 列 项 数
某省 1995-2000年某工业产品产量 单位：万台
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000
发展水平, 产量 1104.3 1351.1 1707.0 2215.5 2872.4 3301.0
增长量 累计 - 246.8 602.7 1111.2 1768.1 2196.7
逐期 - 246.8 355.9 508.5 656.9 428.6
发展速
度 (%)
定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9
环比 - 122.3 126.3 129.8 129.7 114.9
增长速
度 (%)
定基 - 22.3 54.6 100.6 160.1 198.9
环比 - 22.3 26.3 29.8 29.7 14.9
增长 1%绝对值 - 11.0 13.5 17.1 22.2 28.7
)(34.439
5
7.2196
16
3.11040.3301
)(34.439
5
42 8,665 6,950 8,535 5,924 6,8
20001995
万台或
万台
年平均年增长量
??
?
?
?
?
????
?
?
例
第三节 动态数列的速度指标
动 态数列的速度指标有：
发展速度
增长速度
平均发展速度
平均增长速度
一、发展速度
反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。
报 告 期 水 平
发 展 速 度
基 期 水 平
定 基 发 展 速 度,
可 分 为,
环 比 发 展 速 度,
0
1
100%
i
i
i
a
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1 10i
in
i
n aa
aa? ????
推 理, 1i
0 0 1
ii
i
aaaa a a?
?
??
二、增长速度
反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。
增 长 速 度 发 展 速 度 -
定 基 增 长 速 度
无 关 系
环 比 增 长 速 度
增 长 量 前 一 时 期 水 平
增 长 的 绝 对 值
增 长 百 分 比
基 期 水 平
或
1 ( 10 0% )
1%
100
100
?
?
?
?
??
某省 1995-2000年某工业产品产量 单位：万台
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000
发展水平, 产量 1104.3 1351.1 1707.0 2215.5 2872.4 3301.0
增长量 累计 - 246.8 602.7 1111.2 1768.1 2196.7
逐期 - 246.8 355.9 508.5 656.9 428.6
发展速
度 (%)
定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9
环比 - 122.3 126.3 129.8 129.7 114.9
增长速
度 (%)
定基 - 22.3 54.6 100.6 160.1 198.9
环比 - 22.3 26.3 29.8 29.7 14.9
增长 1%绝对值 - 11.0 13.5 17.1 22.2 28.7
)(34.439
5
7.2196
16
3.11040.3301
)(34.439
5
42 8,665 6,950 8,535 5,924 6,8
20001995
万台或
万台
年平均年增长量
??
?
?
?
?
????
?
?
例
三、平均发展速度和平均增长速度
平 均发展速度是各个环比发展速度的动态平均
数 (序时平均数 )，说明某种现象在一个较长时
期中逐年平均发展变化的程度；
平 均增长速度是各个环比增长速度的动态平均
数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均
增长变化的程度。
㈠ 平均发展速度
1,几 何平均法，又称水平法。
各 个 环 比 发 展 速 度
环 比 发 展 速 度 的 个 数
连 乘 符 号
n
1 2 3
312
0 1 2 1
0
X X
( 1)
( 2)
( 3)
L
L
n
n
n
n
n
n
n
n
X
n
X X X X
aaaa
a a a a
a
a
R
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
?
总 速 度 定 基 发 展 速 度 ( ) R
某企业总产值资料
%75.1042 6 1 4.1
%75.1042 6 1 3 8 5.1
1.270
7.340
%75.1042 6 1 2 6 8.1
0 5 7 1.10 2 5 1.1
5
5
5
5
5
??
???
??
?????
X
X
1,0 8 7 11,0 1 6 21,0 1 3 7X
或
或
平均发展速度
基年 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
总产值 (万元 ) 270.1 273.80 289.20 314.40 322.30 340.70
环比发展速度 (%) - 101.37 101.62 108.71 102.51 105.71
定基发展速度 (%) - 101.37 107.07 116.40 119.33 126.14
例
2,方 程法，又称累计法。
在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用方程法
计算平均发展速度。
10
2
2 1 0
3
1 2 3
30
0
23
0 0 0 0
12
0
1
1
1
ni
n
n
n
i
i
nn
a a X
a a X a X
n
a a a a a
a a X
i
a a X
n
a X a X a X a X a
i
n
a
i
X X X X
a
?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
??
? ? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
Q L Q
M
L
L
解 这 样 的 高 次 方 程, 用 查 表 法 。
10 4.4 0%X 01.570
%31.570
1.270
4.15 40
1.270
7.3403.3224.3142.2898.273
0
1
i
??
??
????
?
?
?
近似，见表中
仍用前例数据：
a
a
n
i
?
水平法与累计法之比较：
实际资料 按水平法计算 按累计法计算
发展水
平 (万元 )
环比发
展速度
(%)
定基发
展速度
(%)
平均发
展速度
(%)
推算定
基发展
速度 (%)
推算发
展水平
平均发
展速度
(%)
推算定
基发展
速度 (%)
推算发
展水平
a X’ Y Y’ a’ Y” a”
基
年
270.1 - 100 - 100 - - 100 -
第一
年
273.8 101.37 101.3
7
104.7
5
104.7
5
282.93 104.40 104.40 281.98
第二
年
289.2 105.62 107.0
7
104.7
5
109.7
3
296.38 104.40 108.99 294.39
第三
年
314.4 108.71 116.4
0
104.7
5
114.9
4
310.45 104.40 113.79 307.34
第四
年
322.3 102.51 119.3
3
104.7
5
120.4
0
325.19 104.40 118.80 320.87
第五
年
340.7 105.71 126.1
4
104.7
5
126.1
2
340.64 104.40 124.02 334.99
合
计
1540.4 - 570.3
1
- 575.9
4
1555.5
8
- 570.00 1539.57
XX
㈡ 平均增长速度
平均增长速度 =平均发展速度 -1 (100%)
平 均发展速度大于, 1”，平均增长速度就为正值。
则称, 平均递增速度, 或, 平均递增率, 。
平 均发展速度小于, 1”，平均增长速度就为负值。
则称, 平均递减速度, 或, 平均递减率, 。
第四节 动态数列的因素分析
二、长期趋势分析
长 期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期
内持续发展变化的趋势。 (向上或向下变化 )
一,动态数列的因素构成
长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动
测定长期趋势的目的主要有三个：
把 握现象的趋势变化；
从 数量方面研究现象发展的规律性，探
求合适趋势线；
为 测定季节变动的需要。
长期趋势的类型基本有二种：
直 线趋势；
非 直线趋势，即趋势曲线。
测定长期趋势常用的主要方法有：
间 隔扩大法；
移 动平均法；
最 小平方法。
（一）间隔扩大法
某工厂某年各月增加值完成情况 单位：万元
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
增加值 (万元 ) 147.5 157.4 168.4 177.7
由月资料整理的季度资料，趋势明显是不断增长的，原来的月资
料则表现出波动。将季度资料也可改用间隔扩大平均数编制成如
下数列：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
平均增加值 (万元 ) 49.2 52.5 56.1 59.2
上表也可看出其逐期增长的趋势。
例
（二）移动平均法
仍用上例资料：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 y(万元 ) 50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
三项移动平均 yc - 49.2 49.5 51.3 52.5 53 55.6 56.1 58.2 58.1 59.2 -
∴ 趋势值项数 =原数列项数 -移动平均项数 +1
=12-3+1=10
注 1：
若采用奇数项移动平均 (如上例, 三项, )，
则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可
得趋势值；
若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，
因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，
故一般都用奇数项移动平均。
注 2：
修匀后的数列，较原数列项数少。 (在进
行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜
使用 )
注 3：
取几项进行移动平均为好，一般若现象有
周期变动，则以周期为长度。例，季度资料
可四项移动平均；各年月资料，可十二项移
动平均；五年一周期，可五项移动平均。移
动平均法可消除周期变动。
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 50.5 45 52 51.
5
50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
四项移动平均 49.8 49.7 52.4 52.6 54.3 56.0 56.9 58.2 58.7
二项移正 yc 49.8 51.
1
52.5 53.5 55.2 56.5 57.6 58.5
用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得更均匀，可
见修匀的项数越多，效果越好。 (但丢掉的数据多一些 )
仍用上例资料：
40
45
50
55
60
65
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
?- ê? ×á?
èy ?? ò? ?ˉ oó μ? ?÷ ê?
?? ?? ò? ?ˉ oó μ? ?÷ ê?
由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。
图示
（三）最小平方法
2
c
( ) m in
y
y
cyy???
实 际 值, 即 原 数 列 值
趋 势 值 或 理 论 值
即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。
这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线
必须满足最基本的要求。即：
现主要介绍配合直线方程，抛物线方程及指数曲线方程。
1、直线方程
当 现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。
该方程的一般形式为：
cy a b t??
a 截 距 ；
b 直 线 的 斜 率
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? ?
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2
2
( ) m in
V
2 ( ) 0
a
V
2 ( ) 0
b
( ) 0
( ) 0
3 2 1 0 1 2 3
5 3 1
V y a bt
y a bt
y a bt t
y N a b ty a bt
y a bt t ty a t b t
t
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LL
L
设
联 立 方 程 组 为,
为 使 计 算 方 便, 可 设,
奇 数 项,,,,,,,,
偶 数 项,,,,
2
1 3 5
0t
y N a
ty b t
??
??
???
?
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?
L，,,
这 样 使, 即 上 述 方 程 组 可 简 化 为,
t y ty t2 yc 逐期增长量
-11 50.5 -555.5 121 47.98 -
-9 45 -405 81 49.12 -5.5
-7 52 -364 49 50.26 7
-5 51.5 -257.5 25 51.40 -0.5
-3 50.4 -151.2 9 52.54 -0.9
-1 55.5 -55.5 1 53.68 5.1
1 53 53 1 54.82 -2.5
3 58.4 175.2 9 55.96 5.4
5 57 285 25 57.10 -1.4
7 59.2 414.4 49 58.24 2.2
9 58 522 81 59.38 -1.2
11 60.5 665.5 121 60.52 2.5
合计 651.0 326.4 572
651.00
-
仍用上例资料：
)(8.621557.025.54y
25.54
12
651
57.0
57212
4.32612
0)(
)(
c
222
万元值，则若预测明年二月份增加
公式得：、上例资料代入
导出：由联立方程也可直接推
????
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a
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yttyn
b
该方程配合得较好???????
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???
57.025.54
57.0
25.54
5724.326
12651
2
cc yyty
b
a
b
a
tbty
Nay
?
2,抛物线方程
当 现象的发展，其二级增长量大体上相等时。
5 0 6 9 9 0 1 1 0
19 2 1 2 0?
逐 期 增 长 量,
二 级 增 长 量,
则 给 该 资 料 配 合 抛 物 线 方 程
2
c
2
2 3
32 2 4
y a b t c t ( a b c )
y N a b t c t
ty a t b t c t
t y a t b t c t
? ? ?
? ? ? ?
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?
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?
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? ? ? ?
该 方 程 的 一 般 形 式 为,
、, 均 为 未 定 参 数
同 样 用 求 偏 导 数 的 方 法, 导 出 以 下 联 立 方 程 组,
例
某地区 1995-2003年国内生产总值的动态数列
配合抛物线计算过程如下表：
年份 GDP(万元 )y t t2 t4 ty t2y yc
1995 3941 -4 16 256 -15764 63056 3897.56
1996 4285 -3 9 81 -12774 38322 4259.94
1997 4736 -2 4 16 -9472 18944 4854.67
1998 5652 -1 1 1 -5652 5652 5681.76
1999 7020 0 0 0 0 0 6741.20
2000 7859 1 1 1 7859 7859 8032.99
2001 9313 2 4 16 18626 37252 9557.14
2002 11738 3 9 81 35214 105642 11313.64
2003 13125 4 16 256 52500 210000 13302.50
合计 67642 0 60 708 70537 486727 67641.40
例
)(71.15523
5177.1165617.11752.6741
,2004
177.116617.11752.6741
177.116
617.1175
6 7 4 1, 2a
70860486727
6070537
60967642
2
2
万元
则：年若预测该地区
?
?????
????
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c
c
y
GDP
tty
c
b
ca
b
ca
3、指数曲线方程
当 现象的发展，环比增长速度大体上相等时。
t
cy a b?
该 方 程 的 一 般 形 式 为,
2
lg lg lg
lg,lg,lg
(,0 )
c
c
y a t b
Y y A a B b
Y A Bt
Y N A B t
tY A t B t
tt
??
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??
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?
?
???
?
?
??
? ? ?
?
先 对 上 述 方 程 两 边 各 取 对 数,
设
则,
应 用 最 小 平 方 法 求 得 的 联 立 方 程 组 为,
同 样 设 使
三、季度变动分析
（一）季节变动分析的意义
测 定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，
如季节资料，至少要有 12季，月度资料至
少要有 36个月等，以避免资料太少而产生偶然
性。
测定季节变动的方法有二种：
按 月平均法，不考虑长期趋势的影响 (假定不存
在长期趋势 )，直接利用原始动态数列来计算；
移 动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，
剔除其影响后再进行计算，故常用此法。
（二）按月平均法测定季节变动
也称按季平均法。若为月度资料就按月平均；若为
季度资料则按季平均。
其 步骤如下：
列表，将各年同月 (季 )的数值列在同一栏内；
将各年同月 (季 )数值加总，并求出月 (季 )平均
数；
将所有同月 (季 )数值加总，求出总的月 (季 )平均
数；
求季节比率 (或季节指数 )。
某地区各月毛线销售量季节变动计算表 单位：百千克
月份
年份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计
第一年 150 90 40 26 10 8 12 20 35 85 340 360 1176
第二年 230 150 60 40 20 10 32 40 70 150 420 480 1702
第三年 280 120 80 30 12 9 37 48 84 140 470 500 1820
合计 660 360 180 96 42 27 81 108 189 375 1230 1350 4698
月平均数 220 120 60 32 14 9 27 36 63 125 410 450 130.5
季节比率
(%)
168.58 91.95 45.98 24.52 10.73 6.90 20.69 27.59 48.28 95.79 314.18 344.83 1200
例
)(66.64018.314
52.24
50
11
)(33.19579.95
52.24
50
10
1110504
:
%58.168%100
5.130
220
..1
S, I,
1200
5.130
,
36
4698
%100.,)(
百千克月份销售量
百千克月份销售量
月份销售量：、百千克，预测今年月份销售量为若知，今年
预测方法
月份例：
实际计算出
调整系数
若需调整，则算全期各月平均数
全期各月平均数
各月平均数
：或季节指数季节比率
???
???
???
??
?
??
?
IS
IS
（三）移动平均趋势剔除法测定季节变动
为方便计算，把上例月资料改为季资料：
单位：百千克
季度
年份
一 二 三 四
第一年 280 44 67 785
第二年 440 70 142 1050
第三年 480 51 169 1120
季度 销售量 y
(百千克 )
四项移动
平均
二项移正
yc
趋势值剔除
减法 y-yc 除法 y/yc× 100%
第一年 Ⅰ 280 - - -
Ⅱ 44 - - -
Ⅲ 67 314 -247 21.34
Ⅳ 785 337.25 447.75 232.77
第二年 Ⅰ 440 349.875 90.125 125.76
Ⅱ 70 392.375 -322.375 17.84
Ⅲ 142 430.5 -288.5 32.98
Ⅳ 1050 433.125 616.875 242.42
第三年 Ⅰ 480 434.125 45.875 110.57
Ⅱ 51 446.25 -395.25 11.43
Ⅲ 169 - - -
Ⅳ 1120 - - -
294
334
340.5
359.25
425.5
435.5
430.75
437.5
455
对减法分析如下：
第一季 第二季 第三季 第四季 合计
第一年 - - -247 447.75
第二年 90.125 -322.375 -288.5 616.875
第三年 45.875 -395.25 - -
合 计 136 -717.625 -535.5 1064.625
平 均 68 -58.8125 -267.75 532.3125 -26.25
校正数 +6.56 +6.56 +6.56 +6.56
季节变差 S.V,74.56 -352.25 -261.19 538.87 0
对除法分析如下：
第一季 第二季 第三季 第四季 合计
第一年 - - 21.34 232.77
第二年 125.76 17.84 32.98 242.42
第三年 110.57 11.43 - -
合 计 236.33 29.27 54.32 475.19
平 均 118.165 14.635 27.16 237.60 397.56
校正比例 1.0061 1.0061 1.0061 1.0061
季节比率 S.I,118.89 14.72 27.33 239.05 400
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End of Chapter 4
第一节 动态数列的编制
一、动态数列的概念
动 态数列又称时间数列。它是将某种统计指标，或
在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列
起来，以便于研究其发展变化的水平和速度，并
以此来预测未来的一种统计方法。
全国邮电业务总量
年份 1949 1957 196
5
1978 1985 1998 1999 2000
亿元 1.35 4.09 8.75 34.0
9
62.21 2431.2
1
3330.8
2
4792.7
0
例
动 态数列由两个基本要素构成：
① 时 间，即现象所属的时间；
② 不 同时间上的统计指标数值，即不同时间
上该现象的发展水平。
二、动态数列的种类
动态数列按照所列入指标数值的不同可分为：
绝对数动态数列
相对数动态数列
平均数动态数列
时期数列
时点数列
时期数列特点：
数 列中各个指标值是可加的；
数 列中每个指标值的大小随着时期的长
短而变动；
数 列中每个指标值通常是通过连续不断
的登记而取得。
时点数列特点：
数 列中各个指标值是不能相加的；
数 列中每个指标值的大小与时间间隔
的长短没有直接关系；
数 列中每个指标值通常是按期登记一
次取得的。
全国城乡储蓄存款 单位：亿元
年末 1978 1980 1985 1996 1997 1998 1999 2000
余额 210.
6
399.
5
1622.
6
38520.
8
46279.
8
53407.
5
59621.
8
64332.
4
例
我国各年国内生产总值环比增长速度 单位,%
年份 199
0
199
1
199
2
199
3
199
4
199
5
199
6
199
7
199
8
199
9
200
0
增速 3.8 9.2 14.2 13.5 12.6 10.5 9.6 8.8 7.8 7.1 8.0
例
上海职工 1996 - 2000年年平均工资 单位：元
年份 1996 1997 1998 1999 2000
年平均工资 10663 11425 12059 14147 15420
例
三、动态数列的编制原则
基本原则是遵守其可比性。
具体说有以下几点：
注 意时间的长短应统一；
总 体范围应该一致；
指 标的经济内容应该相同；
指 标的计算方法和计量单位应该一致。
第二节 动态数列的水平指标
属 于现象发展的水平分析指标有：
发展水平
平均发展水平
增长量
平均增长量。
一、发展水平
在 动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发
展水平或动态数列水平。
如 果用 a0,a1,a2,a3,…… an，代表数列中
各个发展水平，则其中 a0即最初水平,an即
最末水平。
二、平均发展水平
平 均发展水平是对不同时期的发展水平求平
均数，统计上又叫序时平均数。
某车间各月工业增加值
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 (万元 ) 30 40 38 44 48 52 54 60 66 76 70 82
从表看出数列反映的增加值参差不齐，变化趋势不明显，
如果计算出各季每月的平均增加值 (序时平均数 )，就可
以看出它的发展趋势是不断增长的，见下表：
季度 一 二 三 四
各季每月平均增加值 (万元 ) 36 48 60 76
例
序时平均数与一般平均数的异同点：
二者都是将现象的个别数量差异抽象化，概
括地反映现象的一般水平。
不 同点
- 计算方法不同；
- 差异抽象化不同；
- 序时平均数还可解决某些可比性问题。
相 同点
序时平均数的计算方法：
1,时 期数列的序时平均数
㈠ 绝 对数动态数列的序时平均数
1 2 3
1 2 3 n
,,,
n
n
aa a a a
a
nn
a
a a a a
? ? ? ?
??
?L
L
式 中, 序 时 平 均 数
各 时 期 发 展 水 平
时 期 项 数
月份 一 二 三 四 五 六
产量 (万件 ) 24 20 28 28 30 29
)2 6, 5 (
6
293028282024
万件
则上半年平均月产
?
?????
?
例
2,时 点数列的序时平均数
1),对 连续变动的连续时点数列 (即未分组资料 )
(1) 如果资料是连续时点资料，可分为二种情况：
aa
n?
?
2),对 非连续变动的连续时点数列 (即分组资料 )
afa
f?
?
?
某厂 7月份的职工人数自 7月 1日至 7月 10日为 258人，
7月 11日起至 7月底均为 279人，则该厂 7月份平均职工人
数为：
)(27231 2792125810 人?????a
例
⑵ 如果资料是间断时点资料，也可分为二种情况：
1) 对 间隔相等的间断时点资料
某成品库存量如下：
现假定：每天变化是均匀的；本月初与上月末的库存
量相等。则各月平均库存量为：
)(2960)274029903150(
3
1
)(2740
2
28002680
6
)(2990
2
26803300
5
)(3150
2
33003000
4
件第二季度平均库存量
件月份
件月份
件月份
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
a
3月 31日 4月 30日 5月 31日 6月 30日
库存量 (件 ) 3000 3300 2680 2800
例
)(2960
3
274029903150
3
2
28002680
2
26803300
2
33003000
件
第二季度平均库存量
：上面计算可合并简化为
?
??
?
?
?
?
?
?
?
""
1
22
1
222
132
13221
1
首末折半法这种计算方法称为
般公式：上面计算过程概括为一
?
?????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
aaa
a
n
aaaaaa
a
n
n
nn
?
?
2) 对 间隔不等的间断时点资料
2 3 112
1 2 1
1
1
2 2 2
nn
n
n
i
i
a a a aaa
f f f
a
f
?
?
?
?
???
? ? ?
?
?
L
某城市 2003年各时点的人口数
日期 1月 1日 5月 1日 8月 1日 12月 31
日
人口数 (万人 ) 256.2 257.1 258.3 259.4
)(83.257
12
3 0 94
534
5
2
4.2593.258
3
2
3.2581.257
4
2
1.2572.256
万人
年平均人口数为：该市则，
??
??
?
?
??
?
??
?
2 0 03
例
㈡ 相 对数动态数列的序时平均数
1,由 两个时期数列对比组成的相对数动态
数列的序时平均数
某厂 7-9月份生产计划完成情况
7月份 8月份 9月份
a 实际产量 (件 ) 1256 1367 1978
b 计划产量 (件 ) 1150 1280 1760
c 产量计划完成 % 109.2 106.8 112.4
?
?
?
?
???
??
??
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b
a
n
b
n
a
b
a
c
%8.109
4190
4601
3/)176012801150(
3/)197813671256(
化为一般公式为：
程度第三季度平均计划完成
例
2,由 两个时点数列对比组成的相对数动态数
列的序时平均数
某厂第三季度生产工人与职工人数资料
日 期 6月 30日 7月 31日 8月 31
日
9月 30日
a 生产工人数（人） 645 670 695 710
b 全体职工数（人） 805 826 830 845
c 生产工人占全体职工的 % 80.1 81.1 83.7 83.1
22
22
)1/()
22
(
)1/()
22
(
%18.82
5.2485
5.2042
2
845
830826
2
805
2
710
695670
2
645
32
1
32
1
32
1
32
1
n
n
n
n
b
bb
b
a
aa
a
n
b
bb
b
n
a
aa
a
b
a
c
????
????
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?????
?????
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???
???
?
?
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?
化为一般公式为：
全体职工的平均比重
第三季度生产工人数占
例
若 为间隔不等的二个间断时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数为：
2 3 112
1 2 1
2 3 112
1 2 1
2 2 2
2 2 2
nn
n
nn
n
a a a aaa f f f
ac
b b b bbbb f f f
?
?
?
?
??? ? ? ?
??
??? ? ? ?
L
L
若 由二个连续时点数列对比组成的相对数动
态数列的序时平均数：
aa c
bb??
?
?连 续 变 动 时 点, 用 简 单 平 均, 即
afa c
bfb??
?
?非 连 续 变 动 时 点, 用 加 权 平 均, 即
3,由 一个时期数列和一个时点数列对比组成
的相对数动态数列的序时平均数。
某商业企业商品销售额与库存额情况
1月 2月 3月
a 商品销售额 (万元 ) 80 150 240
1
22
b
a
c
)(39.9313.3
)(13.3
50
7.156
)14/()
2
65
5545
2
35
(
3/)24015080(
32
1
?
????
?
??
???
???
??
????
??
?
n
b
bb
b
n
a
n
?
此题化为一般公式为：
次
月数月平均商品流转次数季度的商品流转次数
次
商品流转次数
第一季度月平均
1月 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日
b 商品库存额 (万元 ) 35 45 55 65
例
㈢ 平 均数动态数列的序时平均数
1,由 一般平均数组成的平均数动态数列的序
时平均数。
某厂某年 1-6月每一工人平均产值
)(62.0
405
29.251
707270686560
3.488.461.4444.3965.3933
b
a
c
万元
人平均月产值
上半年每一工
??
?????
?????
?
?
?
?
月份 1 2 3 4 5 6
a 工业增加值 (万元 ) 33 39.65 39.44 44.1 46.8 48.3
b 平均工人数 (人 ) 60 65 68 70 72 70
c 每一工人平均产值 (万元 ) 0.55 0.61 0.58 0.63 0.65 0.69
例
2,由 序时平均数组成的平均数动态数列的序时
平均数。
某企业某年各季平均月产值情况
)(25.20
12
243
3333
392312317314
万元
全年平均每月产值
以时间为权数：
??
???
???????
?
季 度 一 二 三 四
平均每月产值 (万元 ) 14 17 21 29
可见，当时期相等时，可直接采用简单算术平均法计算。
若时期或间隔不等时，则要采用加权算术平均法计算。
例
三、增长量
说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量。
0
10
11
n
i i- 1 1 0 2 1 3 2
i1
-
( )
( a - a ) ( a - a ) ( a - a ) ( a - a )
n
i
i i n
iii
aa
a a a a
aa
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?
?Q
增 长 量 报 告 期 水 平 基 期 水 平
前 一 时 期
因 为 基 期 有 两 种
某 一 固 定 时 期
累 计 增 长 量,
增 长 量
逐 期 增 长 量,
证 明,
n n- 1
n0
( a - a )
a - a
??
?
L
四、平均增长量
说明社会现象在一段时期内平均每期增加的
绝对数量。
1?? ?
逐 期 增 长 量 之 和 累 计 增 长 量平 均 增 长 量
逐 期 增 长 量 个 数 动 态 数 列 项 数
某省 1995-2000年某工业产品产量 单位：万台
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000
发展水平, 产量 1104.3 1351.1 1707.0 2215.5 2872.4 3301.0
增长量 累计 - 246.8 602.7 1111.2 1768.1 2196.7
逐期 - 246.8 355.9 508.5 656.9 428.6
发展速
度 (%)
定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9
环比 - 122.3 126.3 129.8 129.7 114.9
增长速
度 (%)
定基 - 22.3 54.6 100.6 160.1 198.9
环比 - 22.3 26.3 29.8 29.7 14.9
增长 1%绝对值 - 11.0 13.5 17.1 22.2 28.7
)(34.439
5
7.2196
16
3.11040.3301
)(34.439
5
42 8,665 6,950 8,535 5,924 6,8
20001995
万台或
万台
年平均年增长量
??
?
?
?
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????
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?
例
第三节 动态数列的速度指标
动 态数列的速度指标有：
发展速度
增长速度
平均发展速度
平均增长速度
一、发展速度
反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。
报 告 期 水 平
发 展 速 度
基 期 水 平
定 基 发 展 速 度,
可 分 为,
环 比 发 展 速 度,
0
1
100%
i
i
i
a
a
a
a
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1 10i
in
i
n aa
aa? ????
推 理, 1i
0 0 1
ii
i
aaaa a a?
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二、增长速度
反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。
增 长 速 度 发 展 速 度 -
定 基 增 长 速 度
无 关 系
环 比 增 长 速 度
增 长 量 前 一 时 期 水 平
增 长 的 绝 对 值
增 长 百 分 比
基 期 水 平
或
1 ( 10 0% )
1%
100
100
?
?
?
?
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某省 1995-2000年某工业产品产量 单位：万台
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000
发展水平, 产量 1104.3 1351.1 1707.0 2215.5 2872.4 3301.0
增长量 累计 - 246.8 602.7 1111.2 1768.1 2196.7
逐期 - 246.8 355.9 508.5 656.9 428.6
发展速
度 (%)
定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9
环比 - 122.3 126.3 129.8 129.7 114.9
增长速
度 (%)
定基 - 22.3 54.6 100.6 160.1 198.9
环比 - 22.3 26.3 29.8 29.7 14.9
增长 1%绝对值 - 11.0 13.5 17.1 22.2 28.7
)(34.439
5
7.2196
16
3.11040.3301
)(34.439
5
42 8,665 6,950 8,535 5,924 6,8
20001995
万台或
万台
年平均年增长量
??
?
?
?
?
????
?
?
例
三、平均发展速度和平均增长速度
平 均发展速度是各个环比发展速度的动态平均
数 (序时平均数 )，说明某种现象在一个较长时
期中逐年平均发展变化的程度；
平 均增长速度是各个环比增长速度的动态平均
数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均
增长变化的程度。
㈠ 平均发展速度
1,几 何平均法，又称水平法。
各 个 环 比 发 展 速 度
环 比 发 展 速 度 的 个 数
连 乘 符 号
n
1 2 3
312
0 1 2 1
0
X X
( 1)
( 2)
( 3)
L
L
n
n
n
n
n
n
n
n
X
n
X X X X
aaaa
a a a a
a
a
R
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?
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? ? ? ? ?
?
?
?
总 速 度 定 基 发 展 速 度 ( ) R
某企业总产值资料
%75.1042 6 1 4.1
%75.1042 6 1 3 8 5.1
1.270
7.340
%75.1042 6 1 2 6 8.1
0 5 7 1.10 2 5 1.1
5
5
5
5
5
??
???
??
?????
X
X
1,0 8 7 11,0 1 6 21,0 1 3 7X
或
或
平均发展速度
基年 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
总产值 (万元 ) 270.1 273.80 289.20 314.40 322.30 340.70
环比发展速度 (%) - 101.37 101.62 108.71 102.51 105.71
定基发展速度 (%) - 101.37 107.07 116.40 119.33 126.14
例
2,方 程法，又称累计法。
在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用方程法
计算平均发展速度。
10
2
2 1 0
3
1 2 3
30
0
23
0 0 0 0
12
0
1
1
1
ni
n
n
n
i
i
nn
a a X
a a X a X
n
a a a a a
a a X
i
a a X
n
a X a X a X a X a
i
n
a
i
X X X X
a
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Q L Q
M
L
L
解 这 样 的 高 次 方 程, 用 查 表 法 。
10 4.4 0%X 01.570
%31.570
1.270
4.15 40
1.270
7.3403.3224.3142.2898.273
0
1
i
??
??
????
?
?
?
近似，见表中
仍用前例数据：
a
a
n
i
?
水平法与累计法之比较：
实际资料 按水平法计算 按累计法计算
发展水
平 (万元 )
环比发
展速度
(%)
定基发
展速度
(%)
平均发
展速度
(%)
推算定
基发展
速度 (%)
推算发
展水平
平均发
展速度
(%)
推算定
基发展
速度 (%)
推算发
展水平
a X’ Y Y’ a’ Y” a”
基
年
270.1 - 100 - 100 - - 100 -
第一
年
273.8 101.37 101.3
7
104.7
5
104.7
5
282.93 104.40 104.40 281.98
第二
年
289.2 105.62 107.0
7
104.7
5
109.7
3
296.38 104.40 108.99 294.39
第三
年
314.4 108.71 116.4
0
104.7
5
114.9
4
310.45 104.40 113.79 307.34
第四
年
322.3 102.51 119.3
3
104.7
5
120.4
0
325.19 104.40 118.80 320.87
第五
年
340.7 105.71 126.1
4
104.7
5
126.1
2
340.64 104.40 124.02 334.99
合
计
1540.4 - 570.3
1
- 575.9
4
1555.5
8
- 570.00 1539.57
XX
㈡ 平均增长速度
平均增长速度 =平均发展速度 -1 (100%)
平 均发展速度大于, 1”，平均增长速度就为正值。
则称, 平均递增速度, 或, 平均递增率, 。
平 均发展速度小于, 1”，平均增长速度就为负值。
则称, 平均递减速度, 或, 平均递减率, 。
第四节 动态数列的因素分析
二、长期趋势分析
长 期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期
内持续发展变化的趋势。 (向上或向下变化 )
一,动态数列的因素构成
长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动
测定长期趋势的目的主要有三个：
把 握现象的趋势变化；
从 数量方面研究现象发展的规律性，探
求合适趋势线；
为 测定季节变动的需要。
长期趋势的类型基本有二种：
直 线趋势；
非 直线趋势，即趋势曲线。
测定长期趋势常用的主要方法有：
间 隔扩大法；
移 动平均法；
最 小平方法。
（一）间隔扩大法
某工厂某年各月增加值完成情况 单位：万元
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
通过扩大时间间隔，编制成如下新的动态数列：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
增加值 (万元 ) 147.5 157.4 168.4 177.7
由月资料整理的季度资料，趋势明显是不断增长的，原来的月资
料则表现出波动。将季度资料也可改用间隔扩大平均数编制成如
下数列：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
平均增加值 (万元 ) 49.2 52.5 56.1 59.2
上表也可看出其逐期增长的趋势。
例
（二）移动平均法
仍用上例资料：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
增加值 y(万元 ) 50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
三项移动平均 yc - 49.2 49.5 51.3 52.5 53 55.6 56.1 58.2 58.1 59.2 -
∴ 趋势值项数 =原数列项数 -移动平均项数 +1
=12-3+1=10
注 1：
若采用奇数项移动平均 (如上例, 三项, )，
则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可
得趋势值；
若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，
因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，
故一般都用奇数项移动平均。
注 2：
修匀后的数列，较原数列项数少。 (在进
行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜
使用 )
注 3：
取几项进行移动平均为好，一般若现象有
周期变动，则以周期为长度。例，季度资料
可四项移动平均；各年月资料，可十二项移
动平均；五年一周期，可五项移动平均。移
动平均法可消除周期变动。
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 50.5 45 52 51.
5
50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
四项移动平均 49.8 49.7 52.4 52.6 54.3 56.0 56.9 58.2 58.7
二项移正 yc 49.8 51.
1
52.5 53.5 55.2 56.5 57.6 58.5
用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得更均匀，可
见修匀的项数越多，效果越好。 (但丢掉的数据多一些 )
仍用上例资料：
40
45
50
55
60
65
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
?- ê? ×á?
èy ?? ò? ?ˉ oó μ? ?÷ ê?
?? ?? ò? ?ˉ oó μ? ?÷ ê?
由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。
图示
（三）最小平方法
2
c
( ) m in
y
y
cyy???
实 际 值, 即 原 数 列 值
趋 势 值 或 理 论 值
即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。
这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线
必须满足最基本的要求。即：
现主要介绍配合直线方程，抛物线方程及指数曲线方程。
1、直线方程
当 现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。
该方程的一般形式为：
cy a b t??
a 截 距 ；
b 直 线 的 斜 率
? ?
? ?
? ?
2
2
( ) m in
V
2 ( ) 0
a
V
2 ( ) 0
b
( ) 0
( ) 0
3 2 1 0 1 2 3
5 3 1
V y a bt
y a bt
y a bt t
y N a b ty a bt
y a bt t ty a t b t
t
? ? ? ??
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???
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??
?
??
?? ?
LL
L
设
联 立 方 程 组 为,
为 使 计 算 方 便, 可 设,
奇 数 项,,,,,,,,
偶 数 项,,,,
2
1 3 5
0t
y N a
ty b t
??
??
???
?
?
?
L，,,
这 样 使, 即 上 述 方 程 组 可 简 化 为,
t y ty t2 yc 逐期增长量
-11 50.5 -555.5 121 47.98 -
-9 45 -405 81 49.12 -5.5
-7 52 -364 49 50.26 7
-5 51.5 -257.5 25 51.40 -0.5
-3 50.4 -151.2 9 52.54 -0.9
-1 55.5 -55.5 1 53.68 5.1
1 53 53 1 54.82 -2.5
3 58.4 175.2 9 55.96 5.4
5 57 285 25 57.10 -1.4
7 59.2 414.4 49 58.24 2.2
9 58 522 81 59.38 -1.2
11 60.5 665.5 121 60.52 2.5
合计 651.0 326.4 572
651.00
-
仍用上例资料：
)(8.621557.025.54y
25.54
12
651
57.0
57212
4.32612
0)(
)(
c
222
万元值，则若预测明年二月份增加
公式得：、上例资料代入
导出：由联立方程也可直接推
????
?
?
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?
?
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a
b
ab
t
n
y
n
t
b
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t
ty
ttn
yttyn
b
该方程配合得较好???????
?
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?
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??
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
57.025.54
57.0
25.54
5724.326
12651
2
cc yyty
b
a
b
a
tbty
Nay
?
2,抛物线方程
当 现象的发展，其二级增长量大体上相等时。
5 0 6 9 9 0 1 1 0
19 2 1 2 0?
逐 期 增 长 量,
二 级 增 长 量,
则 给 该 资 料 配 合 抛 物 线 方 程
2
c
2
2 3
32 2 4
y a b t c t ( a b c )
y N a b t c t
ty a t b t c t
t y a t b t c t
? ? ?
? ? ? ?
?
?
? ? ??
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?
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该 方 程 的 一 般 形 式 为,
、, 均 为 未 定 参 数
同 样 用 求 偏 导 数 的 方 法, 导 出 以 下 联 立 方 程 组,
例
某地区 1995-2003年国内生产总值的动态数列
配合抛物线计算过程如下表：
年份 GDP(万元 )y t t2 t4 ty t2y yc
1995 3941 -4 16 256 -15764 63056 3897.56
1996 4285 -3 9 81 -12774 38322 4259.94
1997 4736 -2 4 16 -9472 18944 4854.67
1998 5652 -1 1 1 -5652 5652 5681.76
1999 7020 0 0 0 0 0 6741.20
2000 7859 1 1 1 7859 7859 8032.99
2001 9313 2 4 16 18626 37252 9557.14
2002 11738 3 9 81 35214 105642 11313.64
2003 13125 4 16 256 52500 210000 13302.50
合计 67642 0 60 708 70537 486727 67641.40
例
)(71.15523
5177.1165617.11752.6741
,2004
177.116617.11752.6741
177.116
617.1175
6 7 4 1, 2a
70860486727
6070537
60967642
2
2
万元
则：年若预测该地区
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c
c
y
GDP
tty
c
b
ca
b
ca
3、指数曲线方程
当 现象的发展，环比增长速度大体上相等时。
t
cy a b?
该 方 程 的 一 般 形 式 为,
2
lg lg lg
lg,lg,lg
(,0 )
c
c
y a t b
Y y A a B b
Y A Bt
Y N A B t
tY A t B t
tt
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先 对 上 述 方 程 两 边 各 取 对 数,
设
则,
应 用 最 小 平 方 法 求 得 的 联 立 方 程 组 为,
同 样 设 使
三、季度变动分析
（一）季节变动分析的意义
测 定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，
如季节资料，至少要有 12季，月度资料至
少要有 36个月等，以避免资料太少而产生偶然
性。
测定季节变动的方法有二种：
按 月平均法，不考虑长期趋势的影响 (假定不存
在长期趋势 )，直接利用原始动态数列来计算；
移 动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，
剔除其影响后再进行计算，故常用此法。
（二）按月平均法测定季节变动
也称按季平均法。若为月度资料就按月平均；若为
季度资料则按季平均。
其 步骤如下：
列表，将各年同月 (季 )的数值列在同一栏内；
将各年同月 (季 )数值加总，并求出月 (季 )平均
数；
将所有同月 (季 )数值加总，求出总的月 (季 )平均
数；
求季节比率 (或季节指数 )。
某地区各月毛线销售量季节变动计算表 单位：百千克
月份
年份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计
第一年 150 90 40 26 10 8 12 20 35 85 340 360 1176
第二年 230 150 60 40 20 10 32 40 70 150 420 480 1702
第三年 280 120 80 30 12 9 37 48 84 140 470 500 1820
合计 660 360 180 96 42 27 81 108 189 375 1230 1350 4698
月平均数 220 120 60 32 14 9 27 36 63 125 410 450 130.5
季节比率
(%)
168.58 91.95 45.98 24.52 10.73 6.90 20.69 27.59 48.28 95.79 314.18 344.83 1200
例
)(66.64018.314
52.24
50
11
)(33.19579.95
52.24
50
10
1110504
:
%58.168%100
5.130
220
..1
S, I,
1200
5.130
,
36
4698
%100.,)(
百千克月份销售量
百千克月份销售量
月份销售量：、百千克，预测今年月份销售量为若知，今年
预测方法
月份例：
实际计算出
调整系数
若需调整，则算全期各月平均数
全期各月平均数
各月平均数
：或季节指数季节比率
???
???
???
??
?
??
?
IS
IS
（三）移动平均趋势剔除法测定季节变动
为方便计算，把上例月资料改为季资料：
单位：百千克
季度
年份
一 二 三 四
第一年 280 44 67 785
第二年 440 70 142 1050
第三年 480 51 169 1120
季度 销售量 y
(百千克 )
四项移动
平均
二项移正
yc
趋势值剔除
减法 y-yc 除法 y/yc× 100%
第一年 Ⅰ 280 - - -
Ⅱ 44 - - -
Ⅲ 67 314 -247 21.34
Ⅳ 785 337.25 447.75 232.77
第二年 Ⅰ 440 349.875 90.125 125.76
Ⅱ 70 392.375 -322.375 17.84
Ⅲ 142 430.5 -288.5 32.98
Ⅳ 1050 433.125 616.875 242.42
第三年 Ⅰ 480 434.125 45.875 110.57
Ⅱ 51 446.25 -395.25 11.43
Ⅲ 169 - - -
Ⅳ 1120 - - -
294
334
340.5
359.25
425.5
435.5
430.75
437.5
455
对减法分析如下：
第一季 第二季 第三季 第四季 合计
第一年 - - -247 447.75
第二年 90.125 -322.375 -288.5 616.875
第三年 45.875 -395.25 - -
合 计 136 -717.625 -535.5 1064.625
平 均 68 -58.8125 -267.75 532.3125 -26.25
校正数 +6.56 +6.56 +6.56 +6.56
季节变差 S.V,74.56 -352.25 -261.19 538.87 0
对除法分析如下：
第一季 第二季 第三季 第四季 合计
第一年 - - 21.34 232.77
第二年 125.76 17.84 32.98 242.42
第三年 110.57 11.43 - -
合 计 236.33 29.27 54.32 475.19
平 均 118.165 14.635 27.16 237.60 397.56
校正比例 1.0061 1.0061 1.0061 1.0061
季节比率 S.I,118.89 14.72 27.33 239.05 400
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End of Chapter 4
