电阻电路的等效变换
1,电阻、电源的串并联
3,输入电阻的计算
2,电源的等效变换
重点：
电阻的串联、并联和混联
对电路进行分析和计算时，有时可以把电路中某一
部分简化，即用一个较简单的电路替代原电路，但端口的电压电
流关系保持不变。
等效变换：
i
s
u
1
R
2
R
3
R 5
R
4
R
u
1
'
1
R
i
s
u u
1
'
1
R
eq
R
这就是电路的“等效概念”。
1,电路特点,
一,电阻串联
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
u
i
1
u
1
R
2
R
2
u
n
u
n
R1
'
1
KVL
2,等效电阻 Req
nuuuu ????,,,,21
iRRRu n )....( 21 ????
neq RRRR ????,...21
u
i
1
u
1
R
2
R
2
u nu
n
R1
'
1
1
'
1
eq
R
i
u
iReq?
?
?
?
n
K
KR
1
结论, 串联 电路的 总电阻 等于各 分电阻之和。
eqR
电阻 称串联电阻的等效电阻。
3,电压的分配
eq
k R
uR?
电压与电阻成正比。
上式称为 电压分配公式。
iRu kk ?
nk,.....2,1?
若 两个电阻分压,如下图
uRR Ru
21
1
1 ??
uRR Ru
21
2
2 ??
u 1
u
1
R
2
R
2
u
i
分压公式
二、电阻并联
1,电路特点,
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
u
1
'
1
i
n
G
2
G
1
G
n
i
2
i
1
i
等效
由 KCL:
2,等效电导 Geq
u
1
'
1
i
n
G
2
G
1
G
n
i
2
i
1
i
1
'
1
eq
G
i
u
niiii ????,...21
uGGG n )....( 21 ????
uG eq?
u
iG
eq ?
nGGG ????,,,,,21
Geq：并联电阻的等效电导
结论, 并联 电路的 总电导 等于各 分电导之和。
3,并联电阻的电流分配
eq
k G
iG?
uGi kk ?
nk,.,,,,2,1?
i
G
G
eq
k?
对于两电阻并联,
iGGi
eq
1
1 ?
iGGi
eq
2
2 ?
u
1
'
1
i
2
G
1
G
2
i
1
i
1
'
1
eq
G
i
u
iRR R
21
2
??
iRR R
21
1
??
分流公式
三,电阻的串并联 (混联 )
要求,弄清楚串、并联的概念。
例,
计算举例：
电阻的串联和并联相结合的联接方式叫电阻的串并联
（或混联）。
2 ?
4 ?
3 ?
6 ?
o
o
图中 6 ?电阻和 3 ?电阻并联，
然后和 2 ?电阻串联，再和 4 ?
电阻并联。
eq
R
eqR
= 4∥ (2+3∥ 6) = 2 ?
eqR
电阻的星形联接与三角形联接的
等效变换 (?— Y 变换 )
一,Y, ?联接
1
2
1
R
3
R
4
R
5
R
2
R
在电路中，有时电阻的联接既非
串联又非并联。
R1, R2,R3为 ?联接，
R1, R4,R3为 Y联接。
R1, R2,R3既非串联又非并联。
1
23
31
R
12
R
1
i
2
i
3
i 23R
?联接中，各个电阻分别接
在 3个端子的每两个之间。
1
23
1
R
2
R
3
R
1
i
2
i3
i
Y 联接中，每个电阻的一端
都接到一个公共结点上，另
一端则分别接到 3个端子上。
Y联接或 星形联接
?联接或 三角形联接
1
23
1
R
2
R
3
R
1
i
2
i3
i
二,Y, ?联接的等效变换
1,Y ?变换
1
23
31
R
12
R
'
1
i
'
2
i
'
3
i
23
R
'
12
i
'
23
i
'
31
i
（ a） （ b）
设在它们对应端子间有相同的电压 u12,u23, u31。
'
33
'
22
'
11,,iiiiii ???
如果它们彼此等效，那么流入对应端子的电流必须分别相
等 。应当有：
对 ?，各个电阻的电流分别为：
1
23
31
R
12
R
'
1
i
'
2
i
'
3
i
23
R
'
12
i
'
23
i
'
31
i
12
12'
12 R
ui ?
23
23'
23 R
ui ?
31
31'
31 R
ui ?
按 KCL，端子处
的电流分别为：
'
31
'
12
'
1 iii ??
'
12
'
23
'
2 iii ??
'
23
'
31
'
3 iii ??
（ 1）
31
31
12
12
R
u
R
u ??
12
12
23
23
R
u
R
u ??
23
23
31
31
R
u
R
u ??
1
23
1
R
2
R
3
R
1
i
2
i3
i
对 Y,端子间的电压分别为：
221112 iRiRu ??
332223 iRiRu ??
0321 ??? iii
可解出电流：
133221
232123122
1 RRRRRR
uRuRuRi
??
???
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
33221
312
133221
123
??????
RRRRRR
uR
RRRRRR
uRi
33221
123
133221
231
2 ??????
RRRRRR
uR
RRRRRR
uRi
33221
231
133221
312
3 ??????
不论 u12,u23, u31为何值，两个电路要等效，流
入对应端子的电流就必须相等。故（ 1）（ 2）式
中电压 u12,u23, u31前面的系数应该对应相等，
得：
RRRRRR
uR
RRRRRR
uRi
33221
312
133221
123
1 ??????
（ 2）
1
23
1
R
2
R
3
R
1
i
2
i3
i
1
23
31
R
12
R
'
1
i
'
2
i
'
3
i
23
R
'
12
i
'
23
i
'
31
i
31
31
12
12'
31
'
12
'
1 R
u
R
uiii ????
RRRRRR
uR
RRRRRR
uRi
33221
312
133221
123
1 ??????
3
133221
12 R
RRRRRRR ???
3
21
21 R
RRR ???
1
133221
23 R
RRRRRRR ???
2
133221
31 R
RRRRRRR ???
1
32
32 R
RRRR ???
2
13
31 R
RRRR ???
同理：
上式 （ 3） 就是根据已知的星形电路的电阻确定等效的三
角形各电阻的公式。
（ 3）
1
23
31
R
12
R
'
1
i
'
2
i
'
3
i
23
R
（ a） （ b）
1
23
1
R
2
R
3
R
1
i
2
i3
i
2,? Y变换
3
133221
12 R
RRRRRRR ???
1
133221
23 R
RRRRRRR ???
2
133221
31 R
RRRRRRR ???
可解出：
312312
1231
1 RRR
RRR
???
312312
2312
2 RRR
RR
???
312312
3123
3 RRR
RRR
???
上式 （ 4） 就是从已知的三角形电路的电阻来确定星形等
效电路各电阻的公式。
（ 4）
为了便于记忆，以上互换公式可归纳为：
形电阻之和
形相邻电阻的乘积形电阻
?
??Y? Y
Y ?
形不相邻电阻
形电阻两两乘积之和形电阻
Y
Y??
注意,
(1) 等效对外部 (端钮以外 )有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
一,理想电压源的串联
串联,
理想电压源和理想电流源的串并联
1 2
1s
u 2su
sn
u
1 2
s
u
snsss uuuu ????,,,21
?
?
?
n
k
sku
1
（ a）
（ b）
1
2
2s
i1si
sn
i
二,、理想电流源的并联
1
2
s
i
（ a）
（ b）
snsss iiii ????,,,21
?
?
?
n
k
ski
1
并联,
一、实际电压源
实际电源的两种模型及其等效变换
电源
实际
u
i
oc
U
u
i
开路电压
短路电流
sc
I
实际电源伏安特性
o
U
u
i
如果把这一条直线加以延长，它在 u轴和 i轴各有一
个交点 Uoc和 Isc 。
工作点
u
i
US
U
I
一个实际电压源, 可用一个理想电压源 uS与一个电阻 R
串联的支路模型来表征其特性 。u
i
s
u
R
1
'
1
当它向外电路提供电流时，它的端电压 u总是小于 uS,
电流越大端电压 u越小。
根据理想化的伏安特性，可以用电压源和电阻串联组
合或电流源和电导的并联组合作为实际电源的电路组合 。
s
u
u
i
Ri
Ru
s
/
0
Riuu s ??Gi s /
u
i
Gu
s
i
0
Guii s ??
u
i
s
u
R
1
'
1s
i
G u
i 1
'
1
如果令：
Riuu s ??
Guii s ??
1 R
G
1
?
ss Gui ?
2
则 中两个方程将完全相同，也就是在端子 处的电压 u
和电流 i 的关系将完全相同。
'11?1
注意, 和 的参考方向。 的参考方向由 的
负极指向正极。
su si si su
2式 就是这两种组合彼此对外等效必须满足的条件。
u
i
由电压源变换为电流源：
转换
转换
由电流源变换为电压源：
Rus / R/1
Gis /
G/1
u
i
s
u
R
1
'
1
s
i
G u
i 1
'
1
u
i
1
'
1
输入电阻
任何一个复杂的网络,向外引出两个端钮,则
称为 二端网络 ( 一端口 )。网络内部没有独立源的二
端网络,称为 无源二端网络 。
一个无源二端电阻网络可以用端口的输入端电阻
来等效 。
如果一个一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、
并联和 ?— Y 变换等方法，可以求得它的等效电阻。
如果一端口内部除含电阻以外还含有受控源，但
不含任何独立电源，定义此一端口的输入电阻 Rin为：
i
uR d e f
in ?
例 1,求 a,b 两端的输入电阻 Rab (b?1)
解,通常有两种求输入电阻的方法
① 加压求流法
② 加流求压法
下面用 加流求压法 求 Rab
U
a
b
R
Ib
I
U R
Ib
I
I
)( IIRU b??
I
UR
ab ?
)1( b?? R
正电阻
负电阻
u
i
当 b <1,Rab>0，正电阻
当 b>1,Rab<0，负电阻
)1( b?? RR ab
谢 谢 观 看 !
江西应用技术职业学院
机械电子工程系
1,电阻、电源的串并联
3,输入电阻的计算
2,电源的等效变换
重点：
电阻的串联、并联和混联
对电路进行分析和计算时，有时可以把电路中某一
部分简化，即用一个较简单的电路替代原电路，但端口的电压电
流关系保持不变。
等效变换：
i
s
u
1
R
2
R
3
R 5
R
4
R
u
1
'
1
R
i
s
u u
1
'
1
R
eq
R
这就是电路的“等效概念”。
1,电路特点,
一,电阻串联
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
u
i
1
u
1
R
2
R
2
u
n
u
n
R1
'
1
KVL
2,等效电阻 Req
nuuuu ????,,,,21
iRRRu n )....( 21 ????
neq RRRR ????,...21
u
i
1
u
1
R
2
R
2
u nu
n
R1
'
1
1
'
1
eq
R
i
u
iReq?
?
?
?
n
K
KR
1
结论, 串联 电路的 总电阻 等于各 分电阻之和。
eqR
电阻 称串联电阻的等效电阻。
3,电压的分配
eq
k R
uR?
电压与电阻成正比。
上式称为 电压分配公式。
iRu kk ?
nk,.....2,1?
若 两个电阻分压,如下图
uRR Ru
21
1
1 ??
uRR Ru
21
2
2 ??
u 1
u
1
R
2
R
2
u
i
分压公式
二、电阻并联
1,电路特点,
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
u
1
'
1
i
n
G
2
G
1
G
n
i
2
i
1
i
等效
由 KCL:
2,等效电导 Geq
u
1
'
1
i
n
G
2
G
1
G
n
i
2
i
1
i
1
'
1
eq
G
i
u
niiii ????,...21
uGGG n )....( 21 ????
uG eq?
u
iG
eq ?
nGGG ????,,,,,21
Geq：并联电阻的等效电导
结论, 并联 电路的 总电导 等于各 分电导之和。
3,并联电阻的电流分配
eq
k G
iG?
uGi kk ?
nk,.,,,,2,1?
i
G
G
eq
k?
对于两电阻并联,
iGGi
eq
1
1 ?
iGGi
eq
2
2 ?
u
1
'
1
i
2
G
1
G
2
i
1
i
1
'
1
eq
G
i
u
iRR R
21
2
??
iRR R
21
1
??
分流公式
三,电阻的串并联 (混联 )
要求,弄清楚串、并联的概念。
例,
计算举例：
电阻的串联和并联相结合的联接方式叫电阻的串并联
（或混联）。
2 ?
4 ?
3 ?
6 ?
o
o
图中 6 ?电阻和 3 ?电阻并联，
然后和 2 ?电阻串联，再和 4 ?
电阻并联。
eq
R
eqR
= 4∥ (2+3∥ 6) = 2 ?
eqR
电阻的星形联接与三角形联接的
等效变换 (?— Y 变换 )
一,Y, ?联接
1
2
1
R
3
R
4
R
5
R
2
R
在电路中，有时电阻的联接既非
串联又非并联。
R1, R2,R3为 ?联接，
R1, R4,R3为 Y联接。
R1, R2,R3既非串联又非并联。
1
23
31
R
12
R
1
i
2
i
3
i 23R
?联接中，各个电阻分别接
在 3个端子的每两个之间。
1
23
1
R
2
R
3
R
1
i
2
i3
i
Y 联接中，每个电阻的一端
都接到一个公共结点上，另
一端则分别接到 3个端子上。
Y联接或 星形联接
?联接或 三角形联接
1
23
1
R
2
R
3
R
1
i
2
i3
i
二,Y, ?联接的等效变换
1,Y ?变换
1
23
31
R
12
R
'
1
i
'
2
i
'
3
i
23
R
'
12
i
'
23
i
'
31
i
（ a） （ b）
设在它们对应端子间有相同的电压 u12,u23, u31。
'
33
'
22
'
11,,iiiiii ???
如果它们彼此等效，那么流入对应端子的电流必须分别相
等 。应当有：
对 ?，各个电阻的电流分别为：
1
23
31
R
12
R
'
1
i
'
2
i
'
3
i
23
R
'
12
i
'
23
i
'
31
i
12
12'
12 R
ui ?
23
23'
23 R
ui ?
31
31'
31 R
ui ?
按 KCL，端子处
的电流分别为：
'
31
'
12
'
1 iii ??
'
12
'
23
'
2 iii ??
'
23
'
31
'
3 iii ??
（ 1）
31
31
12
12
R
u
R
u ??
12
12
23
23
R
u
R
u ??
23
23
31
31
R
u
R
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1
23
1
R
2
R
3
R
1
i
2
i3
i
对 Y,端子间的电压分别为：
221112 iRiRu ??
332223 iRiRu ??
0321 ??? iii
可解出电流：
133221
232123122
1 RRRRRR
uRuRuRi
??
???
RRRRRR
uR
RRRRRR
uR
33221
312
133221
123
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RRRRRR
uR
RRRRRR
uRi
33221
123
133221
231
2 ??????
RRRRRR
uR
RRRRRR
uRi
33221
231
133221
312
3 ??????
不论 u12,u23, u31为何值，两个电路要等效，流
入对应端子的电流就必须相等。故（ 1）（ 2）式
中电压 u12,u23, u31前面的系数应该对应相等，
得：
RRRRRR
uR
RRRRRR
uRi
33221
312
133221
123
1 ??????
（ 2）
1
23
1
R
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3
R
1
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1
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31
R
12
R
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1
i
'
2
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'
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23
R
'
12
i
'
23
i
'
31
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31
31
12
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31
'
12
'
1 R
u
R
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RRRRRR
uR
RRRRRR
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33221
312
133221
123
1 ??????
3
133221
12 R
RRRRRRR ???
3
21
21 R
RRR ???
1
133221
23 R
RRRRRRR ???
2
133221
31 R
RRRRRRR ???
1
32
32 R
RRRR ???
2
13
31 R
RRRR ???
同理：
上式 （ 3） 就是根据已知的星形电路的电阻确定等效的三
角形各电阻的公式。
（ 3）
1
23
31
R
12
R
'
1
i
'
2
i
'
3
i
23
R
（ a） （ b）
1
23
1
R
2
R
3
R
1
i
2
i3
i
2,? Y变换
3
133221
12 R
RRRRRRR ???
1
133221
23 R
RRRRRRR ???
2
133221
31 R
RRRRRRR ???
可解出：
312312
1231
1 RRR
RRR
???
312312
2312
2 RRR
RR
???
312312
3123
3 RRR
RRR
???
上式 （ 4） 就是从已知的三角形电路的电阻来确定星形等
效电路各电阻的公式。
（ 4）
为了便于记忆，以上互换公式可归纳为：
形电阻之和
形相邻电阻的乘积形电阻
?
??Y? Y
Y ?
形不相邻电阻
形电阻两两乘积之和形电阻
Y
Y??
注意,
(1) 等效对外部 (端钮以外 )有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
一,理想电压源的串联
串联,
理想电压源和理想电流源的串并联
1 2
1s
u 2su
sn
u
1 2
s
u
snsss uuuu ????,,,21
?
?
?
n
k
sku
1
（ a）
（ b）
1
2
2s
i1si
sn
i
二,、理想电流源的并联
1
2
s
i
（ a）
（ b）
snsss iiii ????,,,21
?
?
?
n
k
ski
1
并联,
一、实际电压源
实际电源的两种模型及其等效变换
电源
实际
u
i
oc
U
u
i
开路电压
短路电流
sc
I
实际电源伏安特性
o
U
u
i
如果把这一条直线加以延长，它在 u轴和 i轴各有一
个交点 Uoc和 Isc 。
工作点
u
i
US
U
I
一个实际电压源, 可用一个理想电压源 uS与一个电阻 R
串联的支路模型来表征其特性 。u
i
s
u
R
1
'
1
当它向外电路提供电流时，它的端电压 u总是小于 uS,
电流越大端电压 u越小。
根据理想化的伏安特性，可以用电压源和电阻串联组
合或电流源和电导的并联组合作为实际电源的电路组合 。
s
u
u
i
Ri
Ru
s
/
0
Riuu s ??Gi s /
u
i
Gu
s
i
0
Guii s ??
u
i
s
u
R
1
'
1s
i
G u
i 1
'
1
如果令：
Riuu s ??
Guii s ??
1 R
G
1
?
ss Gui ?
2
则 中两个方程将完全相同，也就是在端子 处的电压 u
和电流 i 的关系将完全相同。
'11?1
注意, 和 的参考方向。 的参考方向由 的
负极指向正极。
su si si su
2式 就是这两种组合彼此对外等效必须满足的条件。
u
i
由电压源变换为电流源：
转换
转换
由电流源变换为电压源：
Rus / R/1
Gis /
G/1
u
i
s
u
R
1
'
1
s
i
G u
i 1
'
1
u
i
1
'
1
输入电阻
任何一个复杂的网络,向外引出两个端钮,则
称为 二端网络 ( 一端口 )。网络内部没有独立源的二
端网络,称为 无源二端网络 。
一个无源二端电阻网络可以用端口的输入端电阻
来等效 。
如果一个一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、
并联和 ?— Y 变换等方法，可以求得它的等效电阻。
如果一端口内部除含电阻以外还含有受控源，但
不含任何独立电源，定义此一端口的输入电阻 Rin为：
i
uR d e f
in ?
例 1,求 a,b 两端的输入电阻 Rab (b?1)
解,通常有两种求输入电阻的方法
① 加压求流法
② 加流求压法
下面用 加流求压法 求 Rab
U
a
b
R
Ib
I
U R
Ib
I
I
)( IIRU b??
I
UR
ab ?
)1( b?? R
正电阻
负电阻
u
i
当 b <1,Rab>0，正电阻
当 b>1,Rab<0，负电阻
)1( b?? RR ab
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江西应用技术职业学院
机械电子工程系
