第三章 电阻电路的一般分析方法
§ 3,2 KCL和 KVL的独立方程数
§ 3,3 支路电流法
§ 3,4 网孔电流法和回路电流法
§ 3,5 结点电压法
§ 3,1 电路的图
§ 3-1电路的图
图（ G）,结点和支路的一个集合，每条支路的
两端都连接到相应的结点上。
一、图（ G）,
图（ G）
5个结点,8条支路。
在图的定义中，结点和支路各自是一个整体，但任一条
支路必须终止在结点上。移去一条支路并不意味着同时把它
连接的结点也移去，所以允许有孤立的结点存在。若移去一
个结点，则应当把与该结点连接的全部支路都移去。
二、无向图、有向图：
支路的方向即该支路的电流（和电压）的参
考方向。电压电流取关联参考方向。
未赋予支路方向的图称为无向图。
赋予支路方向的图称为有向图。
§ 3-2 KCL和 KVL的独立方程数
一,KCL独立方程数：
对有 n个结点的电路, 就有 n个 KCL方程 。 每条支路对应
于两个结点,支路电流一个流进,一个流出 。 如果将 n个结点
电流方程式相加 必 得 0=0,所以独立结点数最多为 (n–1)。 可
以证明, 此数目恰为 (n–1)个 。 即 n个方程中的任何一个方
程都可以从其余 (n–1)个方程推出 来 。
独立结点,与独立方程对应的结点。
任选 (n–1)个结点即为独立结点。
独立的 KCL方程数,n个结点的电路，在任意（ n-1）个
结点上可以得出 n-1个独立的 KCL方程。
二,KVL独立方程数：
1、连通图：当 G的任意两个结点之间至少存在一条路径时，
G就称为 连通图 。
从图 G的某一个结点出发，沿着一些支路移动，从而到达另
一结点（或回到原出发点），这样的一系列支路构成图 G的
一条 路径 。
2、回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其
他结点都相异，这条闭合路径就构成 G的一个 回路 。
3、树、树支、连支：
利用,树,的概念来寻找一个图的独立回路组，从而得到
独立的 KVL方程组。
树,一个连通图 G的树 T包含 G的全部结点和部分支路，而树 T
本身是连通的且又不包含回路。
树支,树中保含的支路称为该树的树支。
连支,其他的支路则称为对应于该树的连支。
可以证明，任一个具有 n个结点的连通图，它的任何一个树
的树支数为（ n-1）。
4、独立回路：
连通图 G的树支连接了所有的结点又不形成回路，因此，
对于 G的任意一个树，加入一个连支后，就会形成一个回
路，并且此回路除所加的连支外，均由树支组成。
这种回路称为 单连支回路 或 基本回路 。
每一个基本回路仅由一个连支，且这一连支并不出现在其
他基本回路中。由全部连支形成的基本回路构成基本回路
组。显然，基本回路组是 独立回路组 。
根据基本回路列出的 KVL方程组是 独立方程 。
每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路 。
因这样所建立的方程不可能由原来方程导出, 所以,
肯定是独立的 (充分条件 )。 可以证明,结点数为 n,支
路数为 b 的连通图, 其独立回路数 l =（ b - n+1） 。
平面电路,可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。
非平面电路,在平面上无论将电路怎样画，总有支
路相互交叉。
5、网孔
平面图 的一个网孔是它的一个自然的“孔”，它限定 的区域
内不再有支路。
平面图的全部网孔是一组独立回路，所以平面图的网孔数
也就是独立回路数。
一个电路的 KVL独立方程数等于它的独立回路数 。
一,2b法, 以支路电压和支路电流为电路变量列写方程的方法。
§ 3-3 支路电流法
结点数为 n，支路数为 b 的连通图，总共 2b 个未知数。
KCL,n – 1 个方程。
KVL,b– n + 1 个方程。其独立回路数 l =（ b - n+1）。
VCR,b 个方程。 总计方程数为 2b，与未知数相等。
这种方法，称为 2b法 。
二、支路电流法, 以各支路电流为未知量列写电路方程分析
电路的方法。
结点数为 n，支路数为 b 的连通图，总共 b 个未知数。方
程数减少一半。
– R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 + R5 is5 = 0
– R2 i2 – R4 i4 + R6 i6 = 0
R1 i1 – us1 + R2 i2 + R3 i3=0
– i1 + i2 + i6 =0
– i2 + i3 + i4 =0
– i4 + i5 – i6 =0
1
1
2
3
4
1
R
2
R
3
R
4
R
6
R
5
R
1s
u
5s
i
1
i
2
i
6
i
3
i
4
i
5
i
整理得：
R1 i1 + R2 i2 + R3 i3= us1
– R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 = – R5 is5
– R2 i2 – R4 i4 + R6 i6 = 0
2
方程组 1和 方程组 2就是以支路电流 i1 i2 i3 i4 i5 i6为未知
量的支路电流法的方程。
?? ? skkk uiR
bk,...1?
式中 Rk ik 为回路中第 k个支路的电阻上的电压，和式遍及回
路中所有支路,且当 ik 参考方向与回路方向一致时,前面取
,+”号，不一致时，取,–”；
右方 usk为回路中第 k个支路的 电源电压,电源电压包括电压源，
也包括电流源引起的电压。 usk的方向与回路方向一致时,前面取
,–”； usk的方向与回路方向不一致时,前面取,+”；
1
2
3
4
1
R
2
R
3
R
4
R
6
R
5
R
1s
u
5s
i
1
i
2
i
6
i
3
i
4
i
5
i
支路电流法的一般步骤：
(1) 标定各支路电流的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个结点,写出 KCL方程；
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，指定回路的绕行方向，按
照, 列写其 KVL方程；?? ?
skkk uiR
§ 3-4 回路电流法
一、网孔电流法：
网孔电流法, 以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路
的方法。它仅适用于平面电路。
1
R
2
R
3
R
1s
u
2s
u
3
i2i1
i
1
2
假设有两个电流 im1 (= i1 )和 im2 (= i3 )分别沿此平面电路的
两个网孔连续流动。
假想的 im1,im2称为网孔电流。
im1 im2
由于把各支路电流当作有关网孔电流的代数和, 所以
KCL自动满足 。 若以网孔电流为未知量列方程来求解电路,
根据 KVL对全部网孔列出方程, 由于全部网孔是一组独立回
路, 这组方程将是独立的；这种方法称为 网孔电流法 。
回路 1,R1 im1+R2(im1- im2) - uS1+ uS2 = 0
回路 2,R2(im2- im1)+ R3 im2 - uS2 = 0
整理得，
(R1+ R2) im1 - R2 im2= uS1 - uS2
- R2 im1+ (R2 +R3) im2 = uS2
电压与网孔电流绕行方向一致时
取,+”；否则取,-”。
1
R
2
R
3
R
1s
u
2s
u
3
i2i1
i
1
2
im1 im2
即是以网孔电流为
求解对象的网孔电
流方程。
R11
R22R21
R12 uS11
uS22
由于把各支路电流当作有关网孔电流的代数和, 所以
KCL自动满足 。 若以网孔电流为未知量列方程来求解电路, 根
据 KVL对全部网孔列出方程, 由于全部网孔是一组独立回路,
这组方程将是独立的；这种方法称为 网孔电流法 。
R11im1 + R12im2= uS11
R21im1 + R22im2 = uS22
由此得标准形式的方程：
1
R
2
R
3
R
1s
u
2s
u
3
i2i1
i
1
2
im1 im2
一般情况，对于具有 m个 网孔 的平面电路，有
其中 Rkk:自阻 (正 ), k=1,2,…,m。
Rjk:互阻
+, 流过互阻两个网孔电流方向相同
-, 流过互阻两个网孔电流方向相反
0, 无关
R11im1+R12im2+ …+R 1mimm=uS11
…
R21im1+R22im2+ …+R 2m imm=uS22
Rm1im1+Rm2im2+ …+R mm imm=uSmm
uS11, uS22等为网孔 1,2… 等的总电压源的电压, 各电压源
的方向与网孔电流方向一致时, 前面取 负 号；反之取 正 号 。
(1) 根据给定的电路，选定网孔作为独立回路。
(2) 对 m个独立回路, 以网孔电流为未知量, 列写
其 KVL方程； （ 自阻, 互阻, 电压源 ）
(4) 求各支路电流 (用网孔电流表示 )；
网孔电流法的一般步骤：
(3) 求解上述方程，得到 m个网孔电流；
(5) 其它分析。
例, 用网孔电流法求各支路电流。
解：
V50
V10
V40
?40
?40
?20?60
Im2 I
m3
Im1
(1) 设网孔电流 (顺时针 ) Im1 Im2 Im3
(2) 列 网孔 方程
( 60 + 20 ) Im1 - 20 Im2 = 50 - 10
- 20 Im1 + ( 20 + 40 ) Im2 - 40Im3 = 10
- 40 Im2 + (40 + 40 ) Im3 = 40
(3) 求解网孔电流方程，得 Im1,Im2,Im3
(4) 求各支路电流：
80 Im1- 20 Im2 = 40
- 20 Im1 + 60 Im2 - 40Im3 = 10
- 40 Im2 + 80 Im3 = 40
得,Im1= 0.786A
Im2= 1.143A
Im3= 1.071A
V50
V10
V40
?40
?40
?20?60
1
I
2
I
3
I 4
I
I
m 1 I
m 2 I
m 3
(5) 校核,选一新回路,选外回路。
I1= Im1
I2= - Im1 + Im2
I3= Im2 -Im3
60I1 - 40I4 = 50+40
V50 V40
?40?60
1
I
4
I
I4= - Im3
把 I1 I4带入得 90=90，故答案正确。
= 0.786A
= 0.357A
= 0.072A
= - 1.071A
Im1= 0.786A Im2= 1.143A Im3= 1.071A
二、回路电流法：
回路电流法, 以回路电流为未知量列写电路方程分析电路
的方法。
它适用于平面电路或非平面电路。是一种实用性较强并
获得广泛应用的分析方法。
1
4
3
56
2
假想 3个回路电流 il1, il2, il3 。
i1 = il1 i2 = il2
i3 = il3 i4 = - il1 + il2
i5 = - il1 - il3
i6 = - il1 + il2 - il3
il1il2
il3
具有 b个支路和 n个结点的电路,b个支路电流受（ n-1） KCL个
方程的约束，仅有（ b-n+1）个支路电流是独立的；连支数恰好
是（ b-n+1），所以回路电流可以作为电路的独立变量。
在回路电流法中，只须按 KVL列方程，不必再用 KCL。
具有 b个支路和 n个结点的电路，回路电流数 l =（ b-n+1）。回路
电流方程的一般形式：
其中 Rkk:各回路自阻 (正 ), k=1,2,…,l
Rjk:互阻
+, 流过互阻两个回路电流方向相同
-, 流过互阻两个回路电流方向相反
0, 无关
R11 il1+ R12 il2+ …+ R 1l ill = uS11
…
R21 il1+R22 il2+ …+ R 2l ill = uS22
Rl1 il1 + Rl2 il2+ …+ R ll ill = uSll
uS11, uS22等为回路 1,2… 等的总电压源的电压, 各电压源
的方向与回路电流方向一致时, 前面取 负 号；反之取 正 号 。
例, 给定直流电路，其中 R1 = R2 = R3 = 1 ?,R4 = R5 =
R6 = 2 ?,uS1 = 4V,uS2 = 2V，试选择一组独立
回路，并列出回路电流方程。
`
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
1s
u
2s
u
1
2
34
5
6
il1
il2 il3
il1
il2 il3
解：
树：支路（ 4,5,6）
`
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
1s
u
2s
ui
l1
il2 il3
( R1+R6 + R5 + R4 ) il1 + (R5 + R4 ) il2 -(R5 + R6 ) il3 = - us1+us2
(R5 + R4 ) il1 + (R2+R5+R4) il2 - R5 il3 = us2
-(R5 + R6 ) il1 -R5 il2 +(R3+R5 +R6 ) il3 = - us2
带入数据得：
7 il1+ 4 il2 -4 il3 = - 2
4 il1+ 5 il2 -2 il3 = 2
- 4 il1- 2 il2 +5 il3 = - 2
(1) 根据给定的电路，通过选择一个树确定一组基
本回路，并指定回路电流（即连支电流）的参考
方向。
(2) 对 l个独立回路, 以回路电流为未知量, 列写
其 KVL方程； （ 自阻, 互阻, 电压源 ）
回路电流法的一般步骤：
(3) 求解上述方程，得到 l个回路电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用回路电流表示 )；
§ 3-5 结点电压法
任意选择一结点为参考点, 其它结点与参考结点的
电压称为 结点电压 。 结点电压的参考 极性 是以参考结点
为负, 其余独立结点为正 。
结点电压法, 以结点电压为未知量列写电路方程分析电路
的方法。
举例说明：
1
R 2R
3
R
4
R
5
R
1s
i 2s
i
3s
i
1 2
(1) 选定下端的结点为参考节点 。
0
un1 un2
(2) 列 KCL方程：
3
i1 + i2+ i3+ i4 - is1+ is2 - is3 = 0结点,1
结点,2 - i3 - i4+ i5 + is3 = 0
代入支路特性：
S3S2S1
4
n2n1
3
n2n1
2
n1
1
n1 iii
R
uu
R
uu
R
u
R
u ????????
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu ???????
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5
上式简记为
G11un1+G12un2 = iS11
G21un1+G22un2 = iS22
标准形式的结点电压方程 。
S3S2S1n243n14321 )( )( iiiuGGuGGGG ????????
S32n543n143 )()( iuGGGuGG ???????
G11 G1
2
iS11
G2
1
G22 iS2
2
一般情况：
G11un1+G12un2+…+ G1(n-1)un(n-1)=iS11
G21un1+G22un2+…+ G2(n-1)un(n-1)=iS22
????
G(n-1)1un1+G(n-1)2un2+…+ G(n-1)nun(n-1)=iS (n-1)(n-1)
其中 Gii —自电导, 等于接在结点 i上所有支路的电导之
和 (包括电压源与电阻串联支路 )。 总为 正 。
iSii — 流入结点 i的所有电流源电流的代数和 (包括
由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导, 等于接在结点 i与结点 j之间的所有
支路的电导之和, 并冠以 负 号 。
例, 用结点电压法求各支路电流及输出电压 Uo。
?3 ?2
?2
?2
?6
V15
A10
o
U
解, (1) 选定参考结点如图，
其余 3个结点电压分别
为 Un1, Un2, Un3 。
01
2
3Un3
Un1
Un2
(2) 对 3个独立结点，
列结点电压方程：
3
15)
6
1
3
1()
6
1
3
1
2
1(
21 ?????? nn UU
10531521)613121()6131( 321 ????????? nnn UUU
5)2121(21 32 ???? nn UU
A5
(3) 求解上述方程，得到 3个结点电压；
整理得：
55.0 21 ??? nn UU
105.05.0 321 ???? nnn UUU
55.0 32 ??? nn UU
VU n 51 ? VU n 202 ? VU n 153 ?
(4) 求各支路电流 (用 结点电压 表示 )；
?3 ?2
?2
?2
?6
V15
A10
o
U
A5
01
2 3
Un3
Un1
Un2
1
I
2
I
3
I
5
I
4
I
假定求各支路电流方向如图所示：
3
)(15 12
1
nn UUI ???
0?
6
12
2
nn UUI ??
A5.2?
2
1
3
nUI ? A5.2?
2
32
4
nn UUI ?? A5.2?
2
3
3
nUI ? A5.7?
(5) 求 Uo 。
3no UU ? V15?
VU n 51 ? VU n 202 ? VU n 153 ?
(1) 选定参考结点，其余结点对参考结点之间的电压为
结点电压。
(2) 对 n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其
KCL方程；自导（正）、互导（负）、电流源（流
入结点取“正”，流出结点取“负”）。
(3) 求解上述方程，得到 n-1个结点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 结点电压 表示 )；
当电路中含有受控源或无伴电压源时需另行处理。
结点电压法的一般步骤：
§ 3,2 KCL和 KVL的独立方程数
§ 3,3 支路电流法
§ 3,4 网孔电流法和回路电流法
§ 3,5 结点电压法
§ 3,1 电路的图
§ 3-1电路的图
图（ G）,结点和支路的一个集合，每条支路的
两端都连接到相应的结点上。
一、图（ G）,
图（ G）
5个结点,8条支路。
在图的定义中，结点和支路各自是一个整体，但任一条
支路必须终止在结点上。移去一条支路并不意味着同时把它
连接的结点也移去，所以允许有孤立的结点存在。若移去一
个结点，则应当把与该结点连接的全部支路都移去。
二、无向图、有向图：
支路的方向即该支路的电流（和电压）的参
考方向。电压电流取关联参考方向。
未赋予支路方向的图称为无向图。
赋予支路方向的图称为有向图。
§ 3-2 KCL和 KVL的独立方程数
一,KCL独立方程数：
对有 n个结点的电路, 就有 n个 KCL方程 。 每条支路对应
于两个结点,支路电流一个流进,一个流出 。 如果将 n个结点
电流方程式相加 必 得 0=0,所以独立结点数最多为 (n–1)。 可
以证明, 此数目恰为 (n–1)个 。 即 n个方程中的任何一个方
程都可以从其余 (n–1)个方程推出 来 。
独立结点,与独立方程对应的结点。
任选 (n–1)个结点即为独立结点。
独立的 KCL方程数,n个结点的电路，在任意（ n-1）个
结点上可以得出 n-1个独立的 KCL方程。
二,KVL独立方程数：
1、连通图：当 G的任意两个结点之间至少存在一条路径时，
G就称为 连通图 。
从图 G的某一个结点出发，沿着一些支路移动，从而到达另
一结点（或回到原出发点），这样的一系列支路构成图 G的
一条 路径 。
2、回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其
他结点都相异，这条闭合路径就构成 G的一个 回路 。
3、树、树支、连支：
利用,树,的概念来寻找一个图的独立回路组，从而得到
独立的 KVL方程组。
树,一个连通图 G的树 T包含 G的全部结点和部分支路，而树 T
本身是连通的且又不包含回路。
树支,树中保含的支路称为该树的树支。
连支,其他的支路则称为对应于该树的连支。
可以证明，任一个具有 n个结点的连通图，它的任何一个树
的树支数为（ n-1）。
4、独立回路：
连通图 G的树支连接了所有的结点又不形成回路，因此，
对于 G的任意一个树，加入一个连支后，就会形成一个回
路，并且此回路除所加的连支外，均由树支组成。
这种回路称为 单连支回路 或 基本回路 。
每一个基本回路仅由一个连支，且这一连支并不出现在其
他基本回路中。由全部连支形成的基本回路构成基本回路
组。显然，基本回路组是 独立回路组 。
根据基本回路列出的 KVL方程组是 独立方程 。
每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路 。
因这样所建立的方程不可能由原来方程导出, 所以,
肯定是独立的 (充分条件 )。 可以证明,结点数为 n,支
路数为 b 的连通图, 其独立回路数 l =（ b - n+1） 。
平面电路,可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。
非平面电路,在平面上无论将电路怎样画，总有支
路相互交叉。
5、网孔
平面图 的一个网孔是它的一个自然的“孔”，它限定 的区域
内不再有支路。
平面图的全部网孔是一组独立回路，所以平面图的网孔数
也就是独立回路数。
一个电路的 KVL独立方程数等于它的独立回路数 。
一,2b法, 以支路电压和支路电流为电路变量列写方程的方法。
§ 3-3 支路电流法
结点数为 n，支路数为 b 的连通图，总共 2b 个未知数。
KCL,n – 1 个方程。
KVL,b– n + 1 个方程。其独立回路数 l =（ b - n+1）。
VCR,b 个方程。 总计方程数为 2b，与未知数相等。
这种方法，称为 2b法 。
二、支路电流法, 以各支路电流为未知量列写电路方程分析
电路的方法。
结点数为 n，支路数为 b 的连通图，总共 b 个未知数。方
程数减少一半。
– R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 + R5 is5 = 0
– R2 i2 – R4 i4 + R6 i6 = 0
R1 i1 – us1 + R2 i2 + R3 i3=0
– i1 + i2 + i6 =0
– i2 + i3 + i4 =0
– i4 + i5 – i6 =0
1
1
2
3
4
1
R
2
R
3
R
4
R
6
R
5
R
1s
u
5s
i
1
i
2
i
6
i
3
i
4
i
5
i
整理得：
R1 i1 + R2 i2 + R3 i3= us1
– R3 i3 + R4 i4 + R5 i5 = – R5 is5
– R2 i2 – R4 i4 + R6 i6 = 0
2
方程组 1和 方程组 2就是以支路电流 i1 i2 i3 i4 i5 i6为未知
量的支路电流法的方程。
?? ? skkk uiR
bk,...1?
式中 Rk ik 为回路中第 k个支路的电阻上的电压，和式遍及回
路中所有支路,且当 ik 参考方向与回路方向一致时,前面取
,+”号，不一致时，取,–”；
右方 usk为回路中第 k个支路的 电源电压,电源电压包括电压源，
也包括电流源引起的电压。 usk的方向与回路方向一致时,前面取
,–”； usk的方向与回路方向不一致时,前面取,+”；
1
2
3
4
1
R
2
R
3
R
4
R
6
R
5
R
1s
u
5s
i
1
i
2
i
6
i
3
i
4
i
5
i
支路电流法的一般步骤：
(1) 标定各支路电流的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个结点,写出 KCL方程；
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，指定回路的绕行方向，按
照, 列写其 KVL方程；?? ?
skkk uiR
§ 3-4 回路电流法
一、网孔电流法：
网孔电流法, 以网孔电流为未知量列写电路方程分析电路
的方法。它仅适用于平面电路。
1
R
2
R
3
R
1s
u
2s
u
3
i2i1
i
1
2
假设有两个电流 im1 (= i1 )和 im2 (= i3 )分别沿此平面电路的
两个网孔连续流动。
假想的 im1,im2称为网孔电流。
im1 im2
由于把各支路电流当作有关网孔电流的代数和, 所以
KCL自动满足 。 若以网孔电流为未知量列方程来求解电路,
根据 KVL对全部网孔列出方程, 由于全部网孔是一组独立回
路, 这组方程将是独立的；这种方法称为 网孔电流法 。
回路 1,R1 im1+R2(im1- im2) - uS1+ uS2 = 0
回路 2,R2(im2- im1)+ R3 im2 - uS2 = 0
整理得，
(R1+ R2) im1 - R2 im2= uS1 - uS2
- R2 im1+ (R2 +R3) im2 = uS2
电压与网孔电流绕行方向一致时
取,+”；否则取,-”。
1
R
2
R
3
R
1s
u
2s
u
3
i2i1
i
1
2
im1 im2
即是以网孔电流为
求解对象的网孔电
流方程。
R11
R22R21
R12 uS11
uS22
由于把各支路电流当作有关网孔电流的代数和, 所以
KCL自动满足 。 若以网孔电流为未知量列方程来求解电路, 根
据 KVL对全部网孔列出方程, 由于全部网孔是一组独立回路,
这组方程将是独立的；这种方法称为 网孔电流法 。
R11im1 + R12im2= uS11
R21im1 + R22im2 = uS22
由此得标准形式的方程：
1
R
2
R
3
R
1s
u
2s
u
3
i2i1
i
1
2
im1 im2
一般情况，对于具有 m个 网孔 的平面电路，有
其中 Rkk:自阻 (正 ), k=1,2,…,m。
Rjk:互阻
+, 流过互阻两个网孔电流方向相同
-, 流过互阻两个网孔电流方向相反
0, 无关
R11im1+R12im2+ …+R 1mimm=uS11
…
R21im1+R22im2+ …+R 2m imm=uS22
Rm1im1+Rm2im2+ …+R mm imm=uSmm
uS11, uS22等为网孔 1,2… 等的总电压源的电压, 各电压源
的方向与网孔电流方向一致时, 前面取 负 号；反之取 正 号 。
(1) 根据给定的电路，选定网孔作为独立回路。
(2) 对 m个独立回路, 以网孔电流为未知量, 列写
其 KVL方程； （ 自阻, 互阻, 电压源 ）
(4) 求各支路电流 (用网孔电流表示 )；
网孔电流法的一般步骤：
(3) 求解上述方程，得到 m个网孔电流；
(5) 其它分析。
例, 用网孔电流法求各支路电流。
解：
V50
V10
V40
?40
?40
?20?60
Im2 I
m3
Im1
(1) 设网孔电流 (顺时针 ) Im1 Im2 Im3
(2) 列 网孔 方程
( 60 + 20 ) Im1 - 20 Im2 = 50 - 10
- 20 Im1 + ( 20 + 40 ) Im2 - 40Im3 = 10
- 40 Im2 + (40 + 40 ) Im3 = 40
(3) 求解网孔电流方程，得 Im1,Im2,Im3
(4) 求各支路电流：
80 Im1- 20 Im2 = 40
- 20 Im1 + 60 Im2 - 40Im3 = 10
- 40 Im2 + 80 Im3 = 40
得,Im1= 0.786A
Im2= 1.143A
Im3= 1.071A
V50
V10
V40
?40
?40
?20?60
1
I
2
I
3
I 4
I
I
m 1 I
m 2 I
m 3
(5) 校核,选一新回路,选外回路。
I1= Im1
I2= - Im1 + Im2
I3= Im2 -Im3
60I1 - 40I4 = 50+40
V50 V40
?40?60
1
I
4
I
I4= - Im3
把 I1 I4带入得 90=90，故答案正确。
= 0.786A
= 0.357A
= 0.072A
= - 1.071A
Im1= 0.786A Im2= 1.143A Im3= 1.071A
二、回路电流法：
回路电流法, 以回路电流为未知量列写电路方程分析电路
的方法。
它适用于平面电路或非平面电路。是一种实用性较强并
获得广泛应用的分析方法。
1
4
3
56
2
假想 3个回路电流 il1, il2, il3 。
i1 = il1 i2 = il2
i3 = il3 i4 = - il1 + il2
i5 = - il1 - il3
i6 = - il1 + il2 - il3
il1il2
il3
具有 b个支路和 n个结点的电路,b个支路电流受（ n-1） KCL个
方程的约束，仅有（ b-n+1）个支路电流是独立的；连支数恰好
是（ b-n+1），所以回路电流可以作为电路的独立变量。
在回路电流法中，只须按 KVL列方程，不必再用 KCL。
具有 b个支路和 n个结点的电路，回路电流数 l =（ b-n+1）。回路
电流方程的一般形式：
其中 Rkk:各回路自阻 (正 ), k=1,2,…,l
Rjk:互阻
+, 流过互阻两个回路电流方向相同
-, 流过互阻两个回路电流方向相反
0, 无关
R11 il1+ R12 il2+ …+ R 1l ill = uS11
…
R21 il1+R22 il2+ …+ R 2l ill = uS22
Rl1 il1 + Rl2 il2+ …+ R ll ill = uSll
uS11, uS22等为回路 1,2… 等的总电压源的电压, 各电压源
的方向与回路电流方向一致时, 前面取 负 号；反之取 正 号 。
例, 给定直流电路，其中 R1 = R2 = R3 = 1 ?,R4 = R5 =
R6 = 2 ?,uS1 = 4V,uS2 = 2V，试选择一组独立
回路，并列出回路电流方程。
`
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
1s
u
2s
u
1
2
34
5
6
il1
il2 il3
il1
il2 il3
解：
树：支路（ 4,5,6）
`
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
1s
u
2s
ui
l1
il2 il3
( R1+R6 + R5 + R4 ) il1 + (R5 + R4 ) il2 -(R5 + R6 ) il3 = - us1+us2
(R5 + R4 ) il1 + (R2+R5+R4) il2 - R5 il3 = us2
-(R5 + R6 ) il1 -R5 il2 +(R3+R5 +R6 ) il3 = - us2
带入数据得：
7 il1+ 4 il2 -4 il3 = - 2
4 il1+ 5 il2 -2 il3 = 2
- 4 il1- 2 il2 +5 il3 = - 2
(1) 根据给定的电路，通过选择一个树确定一组基
本回路，并指定回路电流（即连支电流）的参考
方向。
(2) 对 l个独立回路, 以回路电流为未知量, 列写
其 KVL方程； （ 自阻, 互阻, 电压源 ）
回路电流法的一般步骤：
(3) 求解上述方程，得到 l个回路电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用回路电流表示 )；
§ 3-5 结点电压法
任意选择一结点为参考点, 其它结点与参考结点的
电压称为 结点电压 。 结点电压的参考 极性 是以参考结点
为负, 其余独立结点为正 。
结点电压法, 以结点电压为未知量列写电路方程分析电路
的方法。
举例说明：
1
R 2R
3
R
4
R
5
R
1s
i 2s
i
3s
i
1 2
(1) 选定下端的结点为参考节点 。
0
un1 un2
(2) 列 KCL方程：
3
i1 + i2+ i3+ i4 - is1+ is2 - is3 = 0结点,1
结点,2 - i3 - i4+ i5 + is3 = 0
代入支路特性：
S3S2S1
4
n2n1
3
n2n1
2
n1
1
n1 iii
R
uu
R
uu
R
u
R
u ????????
S3
5
n2
4
n2n1
3
n2n1 i
R
u
R
uu
R
uu ???????
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5
上式简记为
G11un1+G12un2 = iS11
G21un1+G22un2 = iS22
标准形式的结点电压方程 。
S3S2S1n243n14321 )( )( iiiuGGuGGGG ????????
S32n543n143 )()( iuGGGuGG ???????
G11 G1
2
iS11
G2
1
G22 iS2
2
一般情况：
G11un1+G12un2+…+ G1(n-1)un(n-1)=iS11
G21un1+G22un2+…+ G2(n-1)un(n-1)=iS22
????
G(n-1)1un1+G(n-1)2un2+…+ G(n-1)nun(n-1)=iS (n-1)(n-1)
其中 Gii —自电导, 等于接在结点 i上所有支路的电导之
和 (包括电压源与电阻串联支路 )。 总为 正 。
iSii — 流入结点 i的所有电流源电流的代数和 (包括
由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导, 等于接在结点 i与结点 j之间的所有
支路的电导之和, 并冠以 负 号 。
例, 用结点电压法求各支路电流及输出电压 Uo。
?3 ?2
?2
?2
?6
V15
A10
o
U
解, (1) 选定参考结点如图，
其余 3个结点电压分别
为 Un1, Un2, Un3 。
01
2
3Un3
Un1
Un2
(2) 对 3个独立结点，
列结点电压方程：
3
15)
6
1
3
1()
6
1
3
1
2
1(
21 ?????? nn UU
10531521)613121()6131( 321 ????????? nnn UUU
5)2121(21 32 ???? nn UU
A5
(3) 求解上述方程，得到 3个结点电压；
整理得：
55.0 21 ??? nn UU
105.05.0 321 ???? nnn UUU
55.0 32 ??? nn UU
VU n 51 ? VU n 202 ? VU n 153 ?
(4) 求各支路电流 (用 结点电压 表示 )；
?3 ?2
?2
?2
?6
V15
A10
o
U
A5
01
2 3
Un3
Un1
Un2
1
I
2
I
3
I
5
I
4
I
假定求各支路电流方向如图所示：
3
)(15 12
1
nn UUI ???
0?
6
12
2
nn UUI ??
A5.2?
2
1
3
nUI ? A5.2?
2
32
4
nn UUI ?? A5.2?
2
3
3
nUI ? A5.7?
(5) 求 Uo 。
3no UU ? V15?
VU n 51 ? VU n 202 ? VU n 153 ?
(1) 选定参考结点，其余结点对参考结点之间的电压为
结点电压。
(2) 对 n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其
KCL方程；自导（正）、互导（负）、电流源（流
入结点取“正”，流出结点取“负”）。
(3) 求解上述方程，得到 n-1个结点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 结点电压 表示 )；
当电路中含有受控源或无伴电压源时需另行处理。
结点电压法的一般步骤：
