哈尔滨工业大学：线性系统理论：线性系统理论（第三章）

第三章 线性系统的时间域理论 第3章线性系统的能控性与能观测性 60年代初，卡尔曼（R.E.Kalman）提出和研究了能控性和 能控性和能观测性是系统的两个基本结构特征。 3.1 能控性和能观测性的定义 u对能控性和能观测性的直观讨论 能观测性这两个重要概念。 001 第三章 每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，由任意的 能控性：状态是否可由输入影响。 从物理的直观性来讨论能控性和能观测性。 状态空间描述： 输入和输出构成系统的外部变量，状态为系统的内部变量。 始点达到原点，则是能控，反之不完全能控的。 所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则是 能观测性：状态是否可由输出反映。 能观测的，反之不完全能观测的。 002 第三章 全能控。 例：给定系统的状态空间描述为： 1x 11 22 2 4 52 6 xxu xxu yx =+ =?+ =? & & [] 1 1 22 1 2 401 052 06 x x u xx xy x ?? ??????=+ ?? ??????????????? ??=? ???? & & 将其表为标量方程组的形式，有 表明： 和 可通过选择输入 而由始点达到原点，完u 1x 全能观测的。 y输出 只能反映 ， 和 无直接、间接关系，不完y2x 2x 003 第三章 ，输入 取何种形式，如 1x 例：如图所示电路中，两个 状态变量为两电容的端电压 和 ，输入能够使 或 R 1xC +? R +? 2xC 2x 不能将 和 分别转移不同的任意目标值。 1x 者 转移到任意目标值，但2x 1x 2x 1020()()0xtxt== u 012,()()ttxtxt≥=不可能做到使， 12()()xtxt≠ ，不完全能控。 003 第三章 ()0ut = 1R y + ? L + 1x 2x i 1R L 2R 状态不能由输出反映，不完全能观测。 ()0ut = 例：如图所示电路中，若 ，当 ，即 且为任意值时，必定有 0i = 0 ,()0,ttyt≥= 1020()()xtxt= 005 第三章 其中： 为 维状态向量， 为 维输入向量， 为 线性时变系统的状态方程 x n u能控性定义 时间定义区间， 和 分别为 和 的元为 pu J A nn×B np× 的连续函数的矩阵。 t :()(),xAtxBtutJΣ=+∈& 006 第三章 的一个非零初始状态 ，存在一个时刻 ， 0tJ∈定义1：线性时变系统 ，如果对取定初始时刻，Σ 110,tJtt∈> 和一个无约束的容许控制 ，使状态由 0x 0x 转移到 时 ，则称此 是在 时刻为能控的。 [ ]01(),,utttt∈ 1()0xt =1t 0t0x 都是在 时刻为能控的，则称系统 在时刻 是 定义2：线性时变系统 ，如果状态空间中的所有非零状态Σ 完全能控的。 00()ttJ∈ Σ 0t 007 第三章 态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 是不能控的，则 定义3：线性时变系统 ，取定初始时刻 ，如果状Σ 称系统 在时刻 是不完全能控的。 0t J 0t ①使 时刻的非零状态 在 上的一段有限时间转移到坐标 解释： Σ 原点，对其轨迹不加以限制和规定。 0tJ∈ 0x 0t J ②无约束表示对输入幅值不加限制。容许控制表示输入的所有 分量在 上平方可积。 008 第三章 0t③取定时刻 ，对时变系统是完全必要的，定常系统与 的选取无关。 0t ④非零状态 零状态，能控。→ 零状态 非零状态，能达。→ 线性定常系统 能控等价能达。 时变系统 不能等价。 ⑤不完全能控系统，某些参数的很小的变动，可使其变为完 全能控。 009 第三章 其中： 和 分别为 ， 能观测性表征状态可由输出的完全反映性，应同时考虑 (),(),()AtBtCt ()Dt u能观测性定义 和 的满足状态方程解的存在唯一 nn× ,npqn××qp× 性条件的时变矩阵。 00 :()(), ()(),() xAtxBtutJ yCtxDtuxtx Σ=+∈ =+= & 系统的状态方程和输出方程。 010 第三章 研究能观测性问题，输出 和输入 都为已知，只有内部变 状态方程解的表达式为 y u 量，即初始状态 是未知的。0x 0 00()(,)(,)()() t t xtttxtBudff ttt=+∫ 输出响应的表达式为： 0 00()()(,)()(,)()()()() t t ytCtttxCttBudDtuff tttt=++∫ 011 第三章 也即系统的零输入方程： y则研究 的可由 的完全估计性。 000:(),(),, () xAtxxtxttJ yCtx Σ==∈ = & 令： 的能观测性。 0x 0u =等价于研究 时由 来估计 的可能性。 00()()(,)ytCtttxf= 0 ()()()(,)()()()()t t ytytCttBudDtuf tttt??∫ y 0x 012 第三章 的一个非零初始状态 ，存在一个有限时刻 0tJ∈定义1：线性时变系统 ，如果对取定初始时刻，Σ 110,tJtt∈> 使对所有 有 ，则称此 在时刻 是 0x 0x 不能观测的。 [ ]01,ttt∈ 0t 都不是时刻 的不能观测状态，则称系统 在时 定义2：线性时变系统 ，如果状态空间中的所有非零状态Σ 刻 是完全能观测的。 00()ttJ∈ Σ 0t ()0yt = 013 第三章 态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 是不能观测的，则 定义3：线性时变系统 ，取定初始时刻 ，如果状Σ 称系统 在时刻 是不完全能观测的。 0t Σ 0tJ∈ 0t 3.2 线性连续时间系统的能控性判据 其中： 为 维状态向量， 为 维输入向量， 和 分x n u线性定常系统的能控性判据 别为 和 常阵。 u p np× 00,(),0xAxBuxtxt=+=≥&状态方程 A B nn× 014 第三章 线性定常系统为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 结论1：[ 格拉姆矩阵判据] ，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵1 0t > 为非奇异。 应用于理论分析中。 1 1 0[0,] Tt AtTAt cWteBBedt ??∫ 015 第三章 线性定常系统为完全能控的充分必要条件是， 结论2：[ 秩判据] n 1nrankBABABn???=??L 其中， 为矩阵 的维数。A 称为系统的能控性判别阵。 1n cQBABAB ????? L 016 第三章 线性定常系统为完全能控的充分必要条件是，对矩阵 结论3：[ PBH秩判据] (1,2,,)i inl = L [ ],,1,2,,irankIABninl ?==L 的所有特征值 ，均成立： A 或等价地表示为 [ ],,rankSIABnSB?=?∈ 复数域 也即 和 是左互质的。()SIA? B 017 第三章 和 是左互质的，如果它们的最大左公因子为单()As s模阵。其行列式是独立于 的非零常数。 ()Bs 线性定常系统为完全能控的充分必要条件是， 不能有与 结论4：[ PBH特征向量判据] il A的所有列相正交的非零左特征向量。也即对 的任意一特 A 征值 ，使同时满足 ,0TTTiABalaa== 的特征向量 。0a ≡ B 018 第三章 线性定常系统为完全能控的充分必要条件是： 结论5：[ 约当规范形判矩] 12,,,nlllL B ⑴当矩阵 的特征值 为两两相异时，对A 角线规范形 中， 1 2 n xxBu l l l ?? ?? =+ ???? & O 不包含元素全为零的行。 019 第三章 11(ls重） xAxBu=+&% %%% ⑵当矩阵 的特征值为 ， ，A 且 时，约当规范形 其中， (llls重） 12()l nsss+++=L 22(ls重）L 1 2 ()np l B BB B × ?? ?? ??= ?? ???? ?? % %% M % 1 2 ()nn l J JA J × ?? ?? = ???? % O 020 第三章 1 2 ()i i i i ip i B BB B s a × ?? ?? ??= ?? ?? ???? % %% M % 1 2 ()ii i i i i i J JJ J ss a × ?? ?? = ???? O 1 2 ()ik ik ik ikrp rik b bB b × ?? ?? ??= ?? ?? ???? % %% M % () 1 1 1ikik i i ikrr i J l l l × ?? ?? = ???? O 021 第三章 1,2,,il= L 而 12()iiiiirrras+++=L 由 的最后一行所组成的矩阵 对 均为行线性无关。 (1,2,,)ikiBk a=% L 1 2 i ri ri ri b b b a ?? ?? ?? ?? ?? ???? % % M % 022 第三章 B 例1：已知线性定常系统的对角线规范形为： 11 22 33 70002 02 40 00101 xx xxu ?? ? ?????? ?? ??????=?+ ?? ???? ?? ?????????????? & & & 不包含元素全为零的行，完全能控。 023 第三章 例2：给定线性定常系统的约当规范形为： 21000 0 100 2040 007 31000 03110 3041 xxu ????? ????? ? ???? ?=+ ??? ?? ??? ? ??????? &%% 024 第三章 定出 都是行线性无关的，完全能控。 11 12 13 100 040 007 r r r b b b ???? ????= ?? ???????? ?? % % % 21 22 110 041 r r b b ????= ???????? ?? % % 025 第三章 定义： 完全能控的线性定常系统， 和 分别是 和 k kn= u能控性指数 为 常阵，其中 为正整数。系统能控，当 nQ np× nkp× 时， 即为能控性矩阵 ，且 ，现在，依次 21k kQBABABAB ???= ??L 的常值矩阵。 A B nn× cQ crankQn= 将 由1 增加，直到使 ，那么，便称这个使k rankQnm = 成立 的 的最小正整数 为系统的能控性指kkrankQn= 数。 m 026 第三章 估计能控性指数 的一个关系式 1n nrp m≤≤?+ 令： 则 rankBrp=≤ m 推论： nm = ①对于单输入系统，也即 时，系统的能控性指数为1p = 。 027 第三章 n ②对线性定常系统，可导出简化的能控性的秩判据为：系统 A 完全能控的充分必要条件是： 1 nr nrrankQrankBABABn ? ?+ ??==??L ③令 为矩阵 的最小多项式的次数，且必有 ，则 能控性指数 的估计不等式可进而表为： nn≤ m min(,1)n nnrp m≤≤?+ 028 第三章 ()0Ay =A矩阵 的最小多项式 是使 成立的次数最 低的首系数为 1 的多项式。 ()sy 1 10()0 nn nAAAAIyaaa ? ?=++++=L Qm n ④将 表为 且依次从左至右搜索 中的 个线性无关的列，若某个列Qm 111 121212,,,,, ,,,pppQbbbAbAbAbAbAbAb mmm m ?????=??LLLL n 不能表为其左方各列之线性组合，则为线性无关，否则便是 rB线性相关。考虑到 的秩为 ，故可将得到的 个线性无 关的列重新排列如下： 029 第三章 { }12max,,,,rmmmm= L 12 r nmmm+++=L 且对能控系统显然有： 而能控性指数 满足关系式：m 1211 111222,,,;,,,; ;,,, rrrr bAbAbbAbAb bAbAb mm m ?? ? LLL LL { }12,,,,rmmmL通常，称 为系统 的能控(,)AB 性指数集。 030 第三章 { }12,,,,rmmmL ⑤对系统的状态方程作线性非奇异变换，其能控性指数 m 和能控性指数集 保持不变。 其中： 为 维状态向量， 为 维输入向量， 和x n u线性时变系统的能控性判据 分别为 和 的时变矩阵且满足解的存在 u p np× 000()(),(),,xAtxBtuxtxttJ=+=∈& 线性时变系统，状态方程为 ()At ()Bt nn× 唯一性条件。 031 第三章 线性时变系统在时刻 为完全能控的充分必要条件是， 结论1：[ 格拉姆矩阵判据] 存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵110,tJtt∈> 1 0 0100[,](,)()()(,) t TT c tWt ttBtBtttdtff∫ 为非奇异。 0t 032 第三章 设 和 是 阶连续可微的，则线性时变 结论2：[ 秩判据] 110,tJtt∈> [ ]011 11()()()nrankMtMtMtn? =L 系统在时刻 为完全能控的一个充分条件是，存在一个有 限时刻 使成立： ()At ()Bt 1n ? 0t 033 第三章 其中： 0 ()()MtBt= 100()()()() dMtAtMtMt dt=?+ 211()()()() dMtAtMtMt dt= 122()()()()nnn dMtAtMtMt dt???=?+ LLL 034 第三章 [ ] 00,2,0.5Jt== 例：考虑如下的线性时变系统： 11 22 2 33 100 0201 0 xtx txu xttx ???????? ????????=+ ? ???? ? ?????+???????? & & & 判断系统的能控性。 035 第三章 通过计算，求出 0 0 ()()1 1 MtBt ?? ??== ?? ???? 100 2 1 ()()()()2dMtAtMtMttdt tt ??? ??=?+=? ?????? 2 211 22 3 ()()()()42 ()21 td MtAtMtMttdt ttt ?? ??=?+=? +???? 036 第三章 因为 0 0.5t =1t = []2012 222 013 ()()()1 42 1()21 t MtMtMttt ttttt ??? ??=?? ??+???? 对 的秩为 3 ，所以系统在时刻 是完全能 控的。 037 第三章 3.3 线性连续时间系统的能观测性判据 其中： 为 维状态向量， 为 维输出向量， 和 分x n u线性定常系统的能观测性判据 别为 和 常阵。 y q qn× 0,(0),0xAxxxt yCx ==≥ = & 时的状态方程和输出方程 A C nn× 0u = 038 第三章 线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是，存在时刻 结论1：[ 格拉姆矩阵判据] ，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵1 0t > 为非奇异。 1 1 0[0,] Tt AtTAtWteCCedt∫ o 039 第三章 线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是， 结论2：[ 秩判据] n 1() TTT TnTrankCACACn???=??L 其中， 为矩阵 的维数。A 称为系统的能观测性判别阵。 1() TTT TnT oQCACAC ? L 1n C CArankn CA ? ?? ?? ??= ?? ???? M 或 040 第三章 线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是，对矩阵 结论3：[ PBH秩判据] (1,2,,)i inl = L ,1,2,, i Cranknin IAl ??== ????? L 的所有特征值 ，均成立： A 或等价地表示为 ,CranknSBSIA??=?∈??? ?? 复数域 也即 和是右互质的。()SIA? C 041 第三章 线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是， 没有与 结论4：[ PBH特征向量判据] il A的所有行相正交的非零右特征向量。也即对 的任意一特 A 征值 ，使同时满足 ,0iACalaa== 的特征向量 。0a ≡ C 042 第三章 线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是： 结论5：[ 约当规范形判矩] 12,,,nlllL C ⑴当矩阵 的特征值 为两两相异时，对A 角线规范形 中， 1 2 n xx yCx l l l ?? ?? = ???? = & O 不包含元素全为零的列。 043 第三章 11(ls重） xAx yCx = = &%%% % % ⑵当矩阵 的特征值为 ， ，A 且 时，约当规范形 其中， (llls重） 12()l nsss+++=L 22(ls重）L ()12,,,qnlCCCC× ??= ?? %%%%L 1 2 ()nn l J JA J × ?? ?? = ?? % O 044 第三章 1 2 ()ii i i i i i J JJ J ss a × ?? ?? = ???? O () 1 1 1ikik i i ikrr i J l l l × ?? ?? = ???? O ()12,,,iiiqiiiCCCCsa×= %%%%L ()12,,,ikikqrikikrikCCCC× ??= %%%%L 045 第三章 1,2,,il= L 而 12()iiiiirrras+++=L 由 的第一列所组成的矩阵 对 均为列线性无关。 (1,2,,)ikiCk a=% L 1 121,,, iiiiCCCa???? %%%L 046 第三章 例：给定线性定常系统的约当规范形为： 21 02 2 2 31 03 3 xx ??? ??? ? = ? ?? ?? &%% 047 第三章 4000300 0030101 0005200 yx ?? ??= ?? % 048 第三章 定出 显然，它们都是列线性无关的，因此可知系统为完全能观测。 111112113 400 ,,030 005 CCC ?? ????=?? ???? %%% 121122 30 ,11 20 CC ?? ????=?? ?? ???? %% 049 第三章 定义： 完全能观测的线性定常系统，其中 和 分别是 k u能观测性指数 为 常阵，其中 为正整数。 qn× kqn× 并且，知 ，且 1 k k C CAQ CA ? ?? ?? = ?? ?? M 和 的常值矩阵。 A C nn× 0nQQ= nrankQn= 050 k kv=现在，依次将 由1 增加，直到 ，而使 vrankQn= ，则称这个使上式成立的 的最小正整数 k 为系统的能观测性指数。 v 第三章 1n vnmq≤≤?+ 若 ，则成立rankCm= n A如令 为矩阵 的最小多项式的次数，那么上式可表为 nn≤min(,1)n vnnm q≤ ?+ 051 第三章 vQ n 若把 表为 并且依次从上至下搜索 中的 个vQ 1 2 1 2 1 1 1 2 1 q v q v v v q C C C CA CA Q CA CA CA CA ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ??= ?? ?? ?? ?? ?? M M M M nmC考虑到 的秩为 ，所以将这 个 线性无关的行重新排列后为： 线性无关的行。 052 第三章 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 ; ; m v v m m v m C CA CA C CA CA C CA CA ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? M M M M { }12,,,,mvvvL通常，称 为系统 的能观测性指数集。(,)AC { }12max,,,,mvvvv= L 12 mv vn+++=L 而且，显然有： 和 { }12,,,mvvvL 对系统的作线性非奇异变换，它们都保 v 或者 持不变。 053 第三章 vn=1q =当 ，系统单输出时，有 可将判断能观测性 的秩判据简化为： rankCm=若 ，则系统为能观测的充分必要条件为： 1nm nm C CArankQrankn CA ?+ ? ?? ?? ??== ?? ???? M 054 第三章 其中： 为时间定义区间， 和 分别为 和J u线性时变系统的能观测性判据 的时变矩阵。np× 000(),(),, () xAtxxtxttJ yCtx ==∈ = & 线性时变系统 ()At ()Ct nn× 055 第三章 线性时变系统在时刻 为完全能观测的充分必要条件是， 结论1：[ 格拉姆矩阵判据] 存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵110,tJtt∈> 1 0 00100[,](,)()()(,) t TT t Wt ttCtCtttdtff∫ 为非奇异，其中 为状态转移矩阵。 0t (,)f 056 第三章 设 和 是 阶连续可微的，则线性时变 结论2：[ 秩判据] 110,tJtt∈> 01 11 11 () () ()n Nt Ntrankn Nt? ?? ?? =?? ?? M 系统在时刻 为完全能观测的一个充分条件是，存在一个有 限时刻 使成立： ()At ()Ct 1n ? 0t 057 第三章 其中： 0 ()()NtCt= 100()()()() dNtNtAtNt dt=+ 122()()()()nnn dNtNtAtNt dt???=+ LLL 058 第三章 3.4 对偶性原理 其中：状态 ，输入 和输出 分别为 ，x u u对偶系统 和 的列向量。 y 1q × 1p × ()() () xAtxBtu yCtx =+ = & 考察线性时变系统 1n × Σ 059 第三章 为系统 的对偶系统，其中协状态 、输入 和输出 分Σ f 别为 、 和 的行向量。 h 1 n× j ()() () TTTTT TTT AtCt Bt jjh fj =?+ = & 定义如下构成的线性时变系统 ： 1 q× dΣ 1 p× 060 第三章 xAxBu yCx =+ = & 线性定常系统Σ TTTTT TTT AC B jjh fj =?+ = & 相应的对偶系统 dΣ 和 之间有着如下的一些对应关系。Σ dΣ 061 第三章 0(,)ttΦ①令 为系统 的状态转移矩阵， 为其对 00(,)(,) T d t ttΦ=Φ 偶系统的状态转移矩阵，则必成立： Σ 0(,)d ttΦ dΣ②系统 和对偶系统 的方块图是对偶的。Σ u ()At y∫ + +()Bt ()Ct x Tf ()TAt Th∫ + ?() TBt ()TCt Tj 062 第三章 ③系统 的运动是状态点在状态空间中由 至 的正时t 向转移，而对偶系统的运动是协状态在状态空间中由 至 Σ 0t 反时向转移。 t 0t u对偶性原理 系统 和其对偶系统 在能控性和能观测性上具有对应Σ u结论 关系。 dΣ 的完全能控等同于 的完全能观测。Σ dΣ 的完全能观测等同于 的完全能控。Σ dΣ 063 第三章 3.6 能控规范形和能观测规范形： 成标准形式，称为能控规范形或能观测规范形。 A b u能控规范形 完全能控或完全能观测系统，构造一个非奇异变换阵，变换 c 1 n×1n × xAxBu yCx =+ = & 完全能控的单输入—单输出线性定常系统 nn× :Σ 单输入—单输出情形 其中， 为 常阵， 和 分别为 和 常阵。 064 第三章 n 23 112 nn ncAbcAbcbbaa ?? ?=+++L 1nrankbAbAbn???=??L 完全能控 1 10det()() nn nsIAssssaaaa ? ??=++++ L 特征多项式为 定义如下 个常数 则 LLL 1n cbb ? = 21nncAbcbba??=+ 12 011ncAbcA cb++L 065 第三章 [] 1112 11 1 ,,,,, 1 nn n n PeeeAbAbba aa ?? ? ?? ?? ??==?? ???? OLL MOO L 构造如下的变换阵 P在系统为能控的条件下是非奇异的。 066 第三章 :cΣ 结论：对完全能控的单输入—单输出线性定常系统，引入 1xPx?=线性非奇异变换 ，即可导出其能控规范形为： cc c xAxbu yCx =+ = & 067 第三章 1 011 01 ,c n APAP aaa ? ? ?? ?? == ????? MO L [ ]011,,,cnccP bbb?== L 其中： 1 0 0 1 cbPb ? ?? ?? ??== ?? ???? M 068 第三章 3()det()54ssIAssa ?=?+ 例：给定能控的单输入—单输出线性定常系统为： [] 1021 2112,3 1021 011 xxun yx ???? ????=+= ??? ????????? = & 定出其特征多项式 069 第三章 2 3cbb ==和常数 124cAbcbba=+= 2 0210cAbcAbcbbaa=++= [] 0100 0010 4501 043 xxu yx ???? ????=+ ??? ????????? = & 则能控规范形为 070 第三章 2 2 12 100 10 1 431 052, 011 PAbAbba aa ?? ????=?? ???? ??? ??= ???? 变换阵 1 111 4728 120 77 150 77 p ? ???? ?? =??? ???? 071 第三章 123 1 1 223 3 23 111111 47284728 1 120 7777 15150 7 77 xxx x xPx xx x xx ? ???????+? ?????? ???==?=? ??? ??????? +?? ???? 能控规范形中的状态向量为 072 第三章 u能观测规范形 xAxBu yCx =+ = & 完全能观测的单输入—单输出线性定常系统 :Σ 110,,,nbbb? L 1 10() nn nssssaaaa ? ?=++++L 特征多项式为 常数 如前 073 第三章 1n c cArankn cA ? ?? ?? ??= ?? ???? M 能观测，则 能观测性和能控性间的对偶关系，则能观测性规范形的变换 1 1 11 2 1 1 nn n n e cA eQ cA e c aa a ? ? ? ???? ?? ???? ?? ????== ???? ???? ?????? ?? L OO M M O 阵为： Q状态完全能观测， 为非奇异的。 074 第三章 :oΣ 结论：完全能观测的单输入—单输出线性定常系统，引入 xQx=线性非奇异变换 ，即可导出其能观测规范形为： oo o xAxbu ycx =+ = & 075 第三章 0 11 1 00 1 , 1 o n AQAQ a a a ? ? ??? ??? == ??? L OM [ ]1 001occQ ?==L 其中： 0 1 1 o n bQb b b b ? ?? ?? ==?? ?? M 076 第三章 3()det()54ssIAssa ?=?+ 例：能观测的单输入—单输出线性定常系统为： [] 1021 2112,3 1021 011 xxun yx ???? ????=+= ??? ????????? = & 先定出其特征多项式 077 第三章 2 3Cbb ==常数 124CAbCbba=+= 2 0210CAbCAbCbbaa=++= [] 0040 1054 0103 001 xxu yx ????? ????=+ ??? ???????? = & 则能观测规范形为 078 第三章 2 21 2 1444 0 311 001011 cA QcA c aa a ?? ????? ??????==? ?? ???????????? 变换阵 1123 2123 323 444444 3113 011 xxxx xQ xxxx xxx ??+?????? ??????==?=+? ?? ????+?????? 079 第三章 u讨论 (,)ccAb①能控规范形 和能观测规范形 中， (0,1,,1)i ina =?L与特征多项式的系数 有直接联系。 等价的完全能观测系统具有相同的能观测规范形。 (,)ooAc ②代数等价的完全能控系统具有相同的能控规范形，代数 080 第三章 3.7 能控规范形和能观测规范形： A B C qn×np× xAxBu yCx =+ = & 系统的状态方程和输出方程为： nn× :Σ 多输入—多输出情形 其中， 为 常阵， 和 分别为 和 常阵。 081 第三章 系统的能控性判别阵： 1n cQBABAB ????? L 系统的能观测性判别阵： 1() TTT TnT oQCACAC ????? L 1 o n C CAQ CA ? ?? ?? ??= ?? ???? M 082 第三章 n cQ oQ crankQn=系统能控时， ，即 的 中有npn× cQ 为了确定能控规范形和能观测规范形，找出 和 中的 且仅有 个线性无关的列。 n orankQn=系统能观测时， ，即 的 中有qnn× oQ 且仅有 个线性无关的行。 n个线性无关的列和行，由此来构成相应的变换阵。 变换阵的不同，规范形可有多种形式。 旺纳姆（Wonham）规范形，龙伯格（Luenberger）规范形。 083 第三章 u搜索线性无关列（行）的两种方案 ()coQQ为了找出 的 个线性无关的列（行），通常使 (,)AB对给定 ，构成格栅图，为简化假定 和 u方案Ⅰ（列搜索） n 用格栅来进行。 6n = 4p = 084 第三章 0IA= 1A 2A 3A 4A 5A 6A 1b 4b3b2b 3l = 1 3v = 2 2v = 3 1v = 085 第三章 1b先选定 ，在 的格内用 表示之，按列的方 0 1Ab ""× "" 1b向搜索，如 和 为线性无关， 的格内记 ，1Ab 对第一列搜索下去，直到发现 和先前此列中各向量 1Ab ""× 1 1 111,,, vbAbAb?L 线性相关时为止，在 的 1 1 vAb 1vn<格内记 如果 ，则搜索第二列，若 与 1 1 vAb 2b 为线性无关，记上 直1 1111,,,vbAbAb?????L ""× 到 和先前取定的所有向量为线性相关，记 。2 2vAb "" l如此重复下去，一直到 列。 086 第三章 12 lvvvn+++=L并有 时搜索结束。 ncQ搜索得到的 中的 个线性无关的列向量，即为格栅图 n中用 表征的格所对应的那 个向量。""× (,)AB对给定 ，构成格栅图， 和 u方案Ⅱ（行搜索） 6n = 4p = 087 第三章 0IA= 1A 2A 3A 4A 5A 6A 1b 4b3b2b 3r = 1 3m = 2 1m = 3 2m = 088 第三章 如果 ，那么 中有 个列是线性无 r ""× "" 1b关的，从第一行中，从 取依次找到 个线性无关的向量， r在对应格内记上 ，设 的前 个列，即 ""× 12,,,rbbbL ，搜索第二行，按行由左至右进行判断，直 B n 到 ，和先前取定的所有向量为线性无关的向量内记rAb 反之记上 ，搜索以下的行，直到找到 个线性无关的 rBrankBrp=≤ 向量为止。 089 第三章 指出：若某个格内已记上 ，那么在其所在列中以 a ""× "" 再去判断这些向量，留为空白。搜索完成后，以 表之 { }12,,,rmmmL 的列。 ""×am 的格所对应的 个向量就是要找的 中的 个线性无关 (1,2,,)ra = L 的长度，那么就可得到一个指数集。 oQ 用 表示第 列 中 格 ncQn 下的所有向量也必和已选定的所有向量是线性相关的，不必 即为系统的能控指数集。 对于能观测性矩阵 ，方法类似。 090 第三章 12,,,pBbbb??= ??L xAxBu yCx =+ = & u旺纳姆规范形 :Σ 状态完全能控 旺纳姆能控规范形 已知系统的状态空间描述 091 第三章 111 121212,,,,, ,,, nnn cpppQbbbAbAbAbAbAbAb ?????= ??LLLL 按搜索方案Ⅰ或Ⅱ来找出能控性矩阵： 中的 个线性无关的列向量。 n 12 lvvvn+++=L n 12 111 111222,,,;,,,;;,,,(1) lvvv lllbAbAbbAbAbbAbAb ???LLLL 其中 1 1 vAb知 可表为 的线性组合 方案Ⅰ进行搜索， 个线性无关的向量为： 1 1 111,,, vbAbAb?????L 12 111222,,,;,,, vvbAbAbbAbAb??LL2 2 vAb可表为 的线性组合 lv lAb可表为（1）式的线性组合。 092 第三章 则 1 1 1 11 1 v vj j j AbAba ? = = ∑ 1 1 1 1 1 1 2 1 11 2 2 3 12111 3 11 v v j j j v v j j j v eAbAb eAbAb eb a a ? ? = ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∑ ∑ LL LLL 093 第三章 1 1 111 lk l vvl vj ljlljkkj kj AbAbrea ? ? === =+∑∑∑ 1 2 1 2 2 3 2 3 l l l l l v v j llljl j v v j llljl j lvl eAbAb eAbAb eb a a ? ? = ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ∑ ∑ LL 094 第三章 11 12 12 ,,,;;,,, lvlllv Teeeeee??= ??LLL 组成如下的变换矩阵： u结论1 1xTx?= :CWcc c xAxBu yCx Σ=+ = & 变换 ，可导出其旺纳姆能控规范形为： 完全能控的多输入—多输出线性定常系统，引入线性非奇异 095 第三章 1 121 1 22 () l cnn ll AAA AATAT A ? × ?? ?? == ???? L O 其中： () 12 01 ,1,2,,01 ii i iivv iiiv Ail aaa × ?? ?? == ?? ?? MO L L 096 第三章 1 () 00 ,1,, 00 ij i ji ijvv jvi Ajil g g × ?? ?? ==+ ?? ?? L MMM L MMM L 097 第三章 1 () 0 0 1 0 0 1 cnpBTB ? × ???? ?? ?? == ?? ???? L MMM MM MM OMM MM MMM MM L l pl? 1v lv ()cqnCCT× = 表示的元为可能的非零元。 （无特殊形式） ""? 098 第三章 u结论2 : ooOWoo o o xAxBu yCx Σ=+ = & 能观测规范形在形式上对偶于旺纳姆能控规范形，即有： 状态完全能观测的多输入—多输出线性定常系统，旺纳姆 099 第三章 11 2122 1 o mmm A AAA AA ?? ?? = ?? MO LL 其中： 1 2 00 1 ,1,2,, 0 1 i i i ii i Aim x b b b ?? ?? == ?? ?? L LOM 100 第三章 1 00,1,2,,1 00 iijij ijAji xrr???? ==? ?? ?? L LMM L 101 第三章 001 001 oC ?? ?? = ?? ???? L O L LLLLLLL MM LLLLLLL oB 表示的元为可能的非零元。 （无特殊形式） ""? 102 第三章 3.8 线性系统的结构分解 不完全能控和不完全能观测系统。 能控+ 不能控 结构分解，有助于更深刻地了解系统的结构特性，揭示状 能观测+ 不能观测 能控能观+ 能控不能观+ 不能控能观+ 不能控不能观 态空间描述与输入—输出描述间的本质差别。 103 第三章 u能控性和能观测性在线性非奇异变换下的属性 (,,)ABC设 为对 进行线性非奇异变换所导出的 结论1 (,,)ABC 11,,APAPBPBCCP??=== 结果，两者之间成立： oQ P其中 为非奇异常阵。 ccrankQrankQ= oQ 则必成立： oorankQrankQ= cQ 和 为能控性矩阵， 和 为能观测性矩阵。cQ 104 第三章 1 ()xRtx?= 对线性时变系统 结论2 ()Rt ()(),(),xAtxBtuyCtxtJ=+=∈& （时间定义区间），作可微非奇异变换 ，其 t中 的元是对 的绝对连续函数，且 对一切()Rt 均不降秩， 。则系统的格拉姆矩阵在 [ ]01,ttt∈ 0101,,tJtttJ∈>∈ 变换后的秩不变，即成立： [ ] [ ]0101,,ccrankWttrankWtt= [ ] [ ]0101,,oorankWttrankWtt= 105 第三章 对线性系统作线性非奇异变换，不改变系统的能控性和能 观测性，也不改变其不完全能控和不完全能观测的程度。 u线性定常系统按能控性的结构分解 xAxBu yCx =+ = & 不完全能控的多输入—多输出线性定常系统 nx其中： 为 维状态向量， crankQkn=< 106 第三章 能控性判别矩阵： 1n cQBABAB ???= ??L 任意地选取 个线性无关的列，记为 ，另任k 12,,,kqqqL 中， nk?意地选择 个列向量，记为 ，使它们和 [ ]1,,kqqL 为线性无关。组成变换矩阵： 必是非奇异的。 [ ]1 11,,,,kknPQqqqq? += LL 1,,knqq+ L 107 第三章 xPx=不完全能控系统，引入线性非奇异变换 即可导出 结论 12 0 0 cc c c ccc c cc c xx AA Bu xx A xyCC x ???? ????=+ ???? ???????????? ????= ?????? & & k 系统结构按能控性分解的规范形表达式。 ckrankQ=其中， 为 维能控分状态向量，cx nk?为 维不能控分状态向量。cx 108 第三章 [] 11101 01010 11101 101 xxu yx ???? ????=+ ? ???????? = & 系统为不完全能控。 例：给定线性定常系统 3,2nrankB==已知 ，故只需判断 是否为行满秩[ ]BAB [] 0112 101023 0112 rankBABrankn ?? ??==<= ?? 109 第三章 1 011 100 010 PQ? ?? ??== ???? 在 中取线性无关的列cQ 再任取 构成矩阵： [ ] [ ]12010,101TTqq== 为非奇异。 [ ]3 100Tq = 010 001 101 P ?? ??= ????? 110 第三章 1 010111011 001010100 101111010 100 121 000 APAP? ?????? ??????== ? ? ????????????? ?? ??= ???? 计算： 0100110 0011001 1010100 BPB ?????? ??????=== ? ? ????????????? 111 第三章 按能控性分解的表达式为： [][]1 011 101100021 010 CCP? ?? ??=== ???? [] 10010 12101 00000 021 cc cc c c xx u xx xy x ?????? ?? ????=+?? ?? ???????????? ??= ???? & & 112 第三章 ①系统被分解为能控部分和不能控部分，其中，能控部分为 讨论 12 1 cc cc cc xAxAxBu yCx =++ = & k如下的 维子系统： nk? 而 2 ccc cc xAx yCx = = & 不能控部分为如下的 维子系统： 12yyy=+ 113 第三章 ② 12det()det()det 0 det()det() c c cc sIAAsIAsIA sIA sIAsIA ?????=?= ????? =?? 控振型，另一部分为 的特征值，称为系统的不能控振型。 外输入 的引入，只能改变能控振型的位置，而不能改变不 cA特征值由两部分组成，一部分为 的特征值，称为系统的能 cA 能控振型的位置。 u 114 第三章 ③能控分解方块图 1y ∫ yCB + CA 12A ∫ CA CC CC + + ++ + 2y Cx Cx u CΣ CΣ 115 第三章 不能控部分，即不受输入 的直接影响，也不受其间接影 响。 ④变换矩阵 ，可有多种选取方法，可导出多个分解结果。1P? u u线性定常系统按能观测性的结构分解 xAxBu yCx =+ = & 不完全能观测的线性定常系统 nx其中： 为 维状态向量， orankQmn=< 116 第三章 能观测性判别矩阵： 1 o n C CAQ CA ? ?? ?? = ?? ?? M 任意地选取 个线性无关的行，记为 ，另任m 12,,,mhhhL 中， nm?意地选择 个行向量，记为 ，使它们和 [ ]1,,mhhL 为线性无关。组成变换矩阵： 1,,mnhh+ L 117 第三章 必是非奇异的。 1 1 m m n h hF h h + ?? ?? ?? ??= ?? ?? ?? ?????? M M 118 第三章 xFx=不完全能观测系统，引入线性非奇异变换 则可导出 结论 21 0 0 oooo o xxBAu xAA xyC x ????????=+ ???????????????? ????= ?????? & & m 系统结构按能观测性分解的规范形表达式。 omrankQ=其中， 为 维能观测分状态向量，ox nm?为 维不能观测分状态向量。ox 119 第三章 1 oooo oo xAxBu yCx =+ = & m分解后能观测部分为 维子系统： nm? 其中 21 2 0 oo ooxAxAxBu y =++ = & 不能观测部分为 维子系统： 1yy= 120 第三章 能观测分解方块图 ∫ yOB OA 21A ∫ OA OC + + + Ox Ox u OΣ OΣ OB ++ 121 第三章 u线性定常系统结构的规范分解 xAxBu yCx =+ = & 不完全能控和不完全能观测的线性定常系统 结论：[ 规范分解定理] 同时按能控性和能观测性进行分解。 不完全能控和不完全能观测的系统，通过线性非奇异变换可 实现系统的规范分解。 122 第三章 13 122324 43 00 0 0 0 COCO CO CO COCO CO CO COCO CO COCO CO xx AA B xxAAAA Bu xx A xx AA ???? ???? ???? ???? ?? ????=+ ?? ???? ???? ???????? ???????? & %% %%% %%%% %%% & % %% & %%%% 00 CO CO CO CO CO CO x xyCC x x ?? ?? ????=?? ?? ???? % %%% % % 123 第三章 COx% 其中： ，能控、能观分状态； COx% ，能控、不能观分状态； COx% ，不能控、能观分状态； COx% ，不能控、不能观分状态。 124 第三章 u推论 对不完全能控和不完全能观测的线性定常系统，其输入—输 出描述即传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观测的那一 部分，即成立： 11()()()() COCOCOCOGsCSIAB SIABGs ??=?=?=%%% 125 第三章 COΣ y COB% 21A % 13A % COΣ 23A % COC % +u COB % + COΣ COC % 24A % 43A % COΣ 规范分解的方块图 Σ用 表示正向通道含积分器。 A用 表示反馈通道。 126 第三章 箭头表示各变量所能传递的方向。 COΣ ：只有信号进，而无信号出，能控、不能观。 COΣ ：只有信号出，而无信号进，不能控、但能观。 COΣ ：虽有信号进，但来自 ，送出信号只能达COΣ COΣ 不能控、不能观。 COΣ ：进入信号 ，输出信号到 ，能控、能观。u y 127 第三章（作业） 1、判断下列系统是否为完全能控： 01010 ()00101 24311 axxu ???? ????=+ ? ??????????? & 0431 ()020213 025200 bxxu ????? ????=+ ??? ????????? & 128 第三章（作业） 2、确定使下列系统为完全能控时待定参数的取值范围： 2001 (1)02024 0021 a xxu b ????? ????=?+ ??? ???????? & 01(2) 0 axxu bc ????=+ ????????& 129 第三章（作业） 4、确定使下列系统为完全能观测时待定参数的取值范围： 3、判断下列系统是否为完全能观测： [] 010 001,142 243 xxyx ?? ??== ????? & 200 1 120, 404 002 abxxyx???????=?= ???? ????? & 130 第三章（作业） 5、计算下列系统的能控性指数和能观测性指数： 01001 00110 03 00 101 010 xxu yx ???? ????=+ ???????? ??= ???? & 6、设有能控和能观测的线性定常单变量系统： [] 1222 0110 1011 110 xxu yx ??????? ????=?+ ?? ??????? = & （1）定出系统的能控规范形和变换阵。 （2）定出系统的能观测规范形和变换阵。 131