哈尔滨工业大学：线性系统理论：线性系统理论（第五章）

第五章 线性系统的时间域理论 第5章线性反馈系统的时间域综合 分析： 综合与分析是相反的一个命题。 稳定性等）和定量的变化规律。 研究系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、 已知系统结构和参数及外输入作用， 001 第五章 综合： 律及需要增加的结构和参数。 确定需要施加于系统的外输入作用，即控制作用的规 已知系统结构和参数及所期望的系统运动形式或某些 特征。 合问题。 以状态空间法为基础，在时间域内讨论线性反馈系统的综 控制作用规律常取为反馈的形式。 抗扰动或抗参数变动，反馈系统优于非反馈系统。 综合是建立在系统分析的基础上的。 002 第五章 5.1 引言 u综合问题的提出 ： 维状态向量， ： 维输出向量， ： 维输入向量，x 给定系统的状态空间描述： 0(0),0xAxBuxxt yCx =+=≥ = & y 矩阵 、 和 为常阵且为给定。 n u 给定：期望的性能指标、某些特征向量、或某种期望形式、 q p A CB 或极小（或极大）值一个性能函数。 003 第五章 寻找一个控制作用 ，在其作用下系统的运动满足所给 uKxv=?+ 所谓综合： u uFyv=?+ 出的期望性能指标。 如果控制作用依赖于系统的实际响应： 输出反馈控制 有 状态反馈控制 其中： 为 常阵，状态反馈矩阵。 为参考输入向量。 pn× 为 常阵，输出反馈矩阵。 K pq×F v 004 第五章 u性能指标的类型 所导出的闭环结构的控制系统，分别称为状态反馈系统和 输出反馈系统。 综合：确定控制 的规律和形式。u ≥非优化型指标：不等式型的指标， 即可。 设计：还要考虑控制 的实现问题。u 优化型指标：一类极值型指标，所有值中取极值。 005 第五章 y 非优化型指标： （1）以渐近稳定作为性能指标，镇定问题。 一个输出”作为性能指标，解耦问题。 0 ()yt 作为性能指标，跟踪问题。 （2）以一组期望的闭环极点作为性能指标，极点配置。 （3）以使一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制 （4）以使系统的输出 无静差地跟踪一个外部信号 006 第五章 优化型性能指标： 常取一个相对于状态 和控制 的二次型积分性能指标： 规定出加权矩阵 和 ，综合的任务，是确定一个控制 (())Ju? 为最优控制， 为最优性能。 其中： 为正定对称常阵， 为正定对称常阵或正半定对 称常阵且 为能观测。 ，使指标 为极小值。 ux R 0 (() ()TTJuxQxuRudt∞=+∫ Q ()u ? RQ 1 2(,)AQ (())Ju? ()u ? 007 第五章 （1）建立可综合条件 综合问题分解为两个性质不同的命题。 u研究综合问题的思路 给定的受控系统和指标，控制存在且实现综合的条件。 （2）建立相应的用以综合控制规律的算法 确定满足要求的控制律。 008 第五章 （1）状态反馈的构成问题 u控制系统工程实现中的一些理论问题 y利用可测输入 和输出 来构造出不能测的状态 。u 称为状态重构，观测器问题。 x 问题。 （2）系统模型的不准确和参数慑动问题 模型不准确和参数慑动，按理想模型得到的控制器组成的 控制系统中，是否产生达不到期望的性能指标或不稳定的 009 第五章 鲁棒性问题：参数的不精确误差或摄动出现在模型参数 的一个邻域内时，系统仍能稳定地运行或保持期望的性能 值，则是鲁棒性的。 （3）对外部扰动的影响的抑制问题 扰动抑制问题。 010 第五章 5.2 状态反馈和输出反馈 控制 取为状态 的线性函数，x uKxv=?+ u状态反馈和输出反馈的构成形式 称为状态反馈，线性的直接状态反馈。 u xAxBu yCx =+ = &线性定常系统 011 第五章 控制 取为输出 的线性函数，y uFyv=?+ 称为输出反馈，线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。 u 为参考输入。v 012 第五章 状态反馈的构成形式： ()xABKxBv yCx =?+ = & 传递函数矩阵为： 1()() KGsCsIABKB ?=?+ ∫ yB A K C++ xuv ?+ 013 第五章 输出反馈的构成形式： ()xABFCxBv yCx =?+ = & 传递函数矩阵为： 1()() FGsCsIABFCB ?=?+ ∫ yB A F C++ xuv ?+ 014 第五章 则 受控系统的传递函数矩阵为： 1()() oGsCsIAB ?=? [ ] 10()()()FoGsGsIFGs?=+ 或 [ ] 10()()()GsIGsFGs?=+ 证： 1()()FGsCsIABFCB?=?+ 11()() FCGssIABFCB ??=?+ 015 第五章 1()() FsIABFCCGsB ??+= 1()()() FFsIACGsBFGsB ? += 11()()()() FFGsCsIABFGsCsIAB ??+?=? ()()()()FoFoGsGsFGsGs+= [ ]()()()oFoIGsFGsGs 证毕 [ ] 1()()()FooGsIGsFGs?=+ 016 第五章 另证： sIABFCsIABFC?+=?+ 11()()()IBFCsIAsIABFCsIA??+?=?+? 111()()()BBFCsIABsIABFCCCsIAB??+?=? 1() )() ooBBFGssIABFCCGs ?=?+ 111() )()() oosIABFCBsIABFCBFGsCGs ????++?+= 11()()()() ooCsIABFCBCsIABFCBFGsGs ???++? 证毕 ()()()()FFooGsGsFGsGs+= [ ] 1()()()FooGsGsIFGs?=+ 017 第五章 两者都可改变系统结构属性和实现性能指标。 状态反馈和输出反馈，都可改变系统矩阵。 令： 则输出反馈达到的功能，必可找到相应的 状态反馈要优于输出反馈。 KFC= 一个状态反馈来实现。 F但 的解 通常不存在，则反之不成立。FCK= 018 第五章 反馈的引入对能控性和能观测性的影响。 结论1：状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能 FΣ 改变系统的能观测性。 结论2 ：输出反馈的引入不改变系统的能控性和能观测性。 oΣ能控（能观）= 能控（能观） u状态反馈和输出反馈系统的能控性和能观测性 019 第五章 反馈信息的性质： 状态 可完全地表征系统结构的信息，x 状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 为了使反馈系统获得良好的动态性能，必须采用完全信息 u状态反馈和输出反馈的比较 反馈系统，即状态反馈。 020 第五章 联补偿器，构成动态输出反馈系统。 欲使输出反馈也能达到满意的性能，引入串联补偿器和并 ∫ yB A 并联补偿器 C++ xuv ?+ 串联补偿器 021 第五章 u ()xt 输出变量可直接测量，状态反馈的工程构成，是引入状态 y观测器，利用可量测变量 和 作为其输入，以获得 的重 构量 ，来实现状态反馈。 t →∞ x ?x 时， 和 相等。 ∫ yB A 状态观测器 C++ xuv ?+ ?xK ? ()xt 022 第五章 5.3 极点配置问题：可配置条件和算法 其中： 为 维状态向量， 为 维控制向量， 和 为x n u状态反馈的极点配置问题 相应维数的已知常阵。 u p xAxBu=+& 线性定常受控系统 A B n { }***12,,,nlllL 给定 个所期望的闭环系统的极点： 实数、或共轭复数。 希望闭环极点= 性能指标。 023 第五章 v 极点配置： K 确定状态反馈控制： 为参考输入。 pn× uKxv=?+ *()1,2,, iiABKinll?==L 即确定一个 的状态反馈增益矩阵 ，使得状态 反馈闭环系统： 的极点为 ()xABKxBv=?+& { }***12,,,nlllL 即成立 ()l 表示 的特征值。( ) 024 第五章 A 解决两个问题 K 条件：利用状态反馈任意地配置其闭环极点的条件。 算法：确定状态反馈增益矩阵 的算法。 u极点可配置条件 循环矩阵：系统矩阵 的特征多项式等同于其最小多项式。 特性： A（1） 为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中，相应于 每一个不同的特征值仅有一个约当块。 025 第五章 A（2）如果 的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特 征值必仅有一个约当块，因此 必定是循环的。A 间，也即 为能控。 A（3）若 为循环矩阵，则其循环是指：必存在一个向量 ，使向量组 可构成一个 维空b n{ }1,,,nbAbAb?L { },Ab { },AB（4）若 为能控，且 为循环，则对几乎任意的 实向量 ，单输入矩阵对 为能控。1p × { },ABrr A 026 第五章 A（5）若 不是循环的，但 为能控，则对几乎任意 的 常阵 ， 为循环。pn× ABK?K { },AB 结论：线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全 部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。 u单输入极点配置问题的算法 算法：给定能控性矩阵对 和一组期望的闭环特征 *(),1,2, iiAbkinll?==L使成立 1 n× k值 ，确定 的增益矩阵 ，{ }***12,,,nlllL {,}Ab 027 第五章 第1 步：计算 的特征多项式，即A 1 10det() nn nsIAsssaaa ? ??=++++L 第2 步：计算由 所决定的特征多项式。 ****1** 1 10()()() nn nnssssssallaaa ? ?=??=++++LL即 { }***12,,,nlllL 第3 步：计算 ***001111,,,nnkaaaaaa????=?????L 028 第五章 第4 步：计算变换矩阵 11 11 ,,, 1 nn n PAbAbb a aa ?? ? ?? ?? ??=?? ?? OL MOO L 第5 步：求 1QP?= 第6 步：所求增益矩阵 KKQ= 029 第五章 *** 1232,1,1jjlll=?=?+=?? 例：给定单输入线性定常系统为： 0001 1600 01120 xxu ???? ????=?+ ?? ???????? & 再给定期望的一组闭环特征值为： 解：系统为完全能控，故满足可配置条件。计算特征多项式 32 00 det()det1601872 0112 s sIA sss s ?? ???=?+=++ ?+?? 030 第五章 计算 3 **32 1 ()()(2)(1)(1)464i i ssssjsjsssal = =?=++?++=+++∏ 可求得 [ ]***001122,,4,66,14k aaaaaa??=???=???? 计算变换矩阵 2 2 12 100110072181 ,,161018101210 110072181100 PAbAbb a aa ???????? ??????????==?=?? ? ? ? ???????????????? 031 第五章 求出逆矩阵 1 001 0112 118144 QP? ?? ??==? ??? 所求增益矩阵为 [][] 001 4,66,14011214,186,1220 118144 kkQ ?? ??==???=?? ????? 032 第五章 pn× 算法Ⅰ：给定能控性矩阵对 和一组希望的闭环特{ },AB 征值 ，要确定 的反馈增益矩阵 ， 1ABK? AA= u多输入极点配置问题的算法 若是，则表 。 1AABK=? *(),1,2,, iiABKinll?==L K 第1 步：判断 是否为循环矩阵，若否，选取一个 1K pn×A 常阵 ，使 为循环，并表 ， 使成立 。 { }***12,,,nlllL 033 第五章 bBr= 配置问题的算法，求出增益向量 。 ,Ab???? 第2 步：对循环矩阵 ，通过适当选取一个 实常 r 1p ×A 向量 ，表 且 为能控。 ,Ab????第3 步：对于等价单输入问题 ，利用单输入极点 r k 和 的选取不是唯一的，有一定的任意性。 1KkKr=+ 1K 第4 步：当 为循环矩阵时，所求的增益矩阵为 A Kkr=A 当 为非循环矩阵时，所求的增益矩阵为 。 r从工程实现的角度而言，希望使得 和 的选取以达到1K 的各个元素为尽可能地小。K 但这种算法得到的 的各反馈增益往往偏大。K 035 第五章 第1 步：任选一个 常阵 ，使得满足 算法Ⅱ引入一个限制条件，即 *(),1,2,,iiAinll≠=L nn× 测。一般均满足。 当 和 不具有等同的特征值时，对任意的矩阵 ， F *(),1,2,, iiFinll==L ,FK???? KA 第2 步：选取一个 常阵 ，使 为能观pn× K 第3 步：求解矩阵方程 F ATTFBK?= 此方程的 解阵 存在且唯一。nn× T 035 第五章 控且 为能观测。 多输入情形，解阵 为非奇异的必要条件是 为能T { },AB 步，若为奇异，重选 或 。 { },FK T 单输入情形，则为充分必要条件。 K 第4 步：判断 是否为非奇异。如果为非奇异，转入下 F 第5 步：所求的状态反馈增益矩阵为 ， 为非 奇异。 1KKT ?= T 036 第五章 可得 由方程 11TFTABKTABK??=?=? 1,2,,in= L 即实现了期望的闭环极点配置。 则 矩阵 和 是相似的。 T 1*()()() iiiiABKTFTFllll ??=== A 则 nn× 1ATBT ?=存在可逆矩阵 ，使得 B ATTFBK?= 037 第五章 和 是相似矩阵，则有相同的特征多项式。A B 又： 另： 的特征多项式为 111 1 1 det()det() det( )) detdet()det()det() ITF TITTFT TIFT TIFTIF ll l ??? ? ? ?=? =? = =? 11det()det()detdet1IA AA??=== 1TFT ? det()detdetABAB= det()det()IAIBll?=? 038 第五章 *** 12,34,51,2,12jjlll=?=?±=?± 例：给定多输入线性定常系统为规范形： 0100000 0010 00 3101210 0000100 4311401 xxu ???? ???? ? =+??? ? ???? ??????? & 再给定期望的一组闭环特征值为： 039 第五章 01000 00100 00010 00001 255 48247 ABK ?? ?? ?= ????????? 期望的闭环系统矩阵应为： 5 **5432 1 ()()724485 25i i sssssssal = =?=+++++∏ 解：先求出 040 第五章 则 利用矩阵 和上述得到的矩阵 ，可得()ABK? 31002 295849233K ??= ???? 即为算法Ⅰ。 A 0000000 0000000 3100210 0000000 29584923301 BKK ???? ???? ??? ==??? ???? ??? ??????? 041 第五章 状态反馈 配置闭环系统矩阵的特征值 配置闭环系 u状态反馈对传递函数矩阵的零点的影响 → 状态反馈：改变极点的同时，是否影响系统的零点。 单输入—单输出，完全能控的线性定常系统， xAxbu ycx =+ = & → 统传递函数矩阵的极点。 042 第五章 其中： 引入适当的线性非奇异变换，将其化为能控规范形， 011 01 0 010 1n Ab aaa? ???? ???? ??== ?? ????? ???? MO M L [ ]0,,,ncbbb?= L xAxbu ycx =+ = & 043 第五章 传递函数 为： 11 1 10 1 10 ()()() n n nn n gscsIAbcsIAb ss s bbb aaa ?? ? = =? +++= ++++ L L 任意给定期望的一组闭环极点 ****1** 1 10()()() nn nnssssssallaaa ? ?=??=++++LL 相应的特征多项式为： { }***12,,,nlllL ()gs 044 第五章 反馈增益矩阵为 ， 为使 由极点配置问题的算法可知： { },,Abc P 化为能控规范形 的变换矩阵，而{ },,Abc 1,KKQQP?== *** 001111,,,nnKaaaaaa????=?????L 则状态反馈系统为： ()xAbKxbv ycx =?+ = & 045 第五章 其中： 其能控规范形为： *** 011 01 0 010 1n AbKb aaa? ???? ???? ???== ?? ????? ???? MO M L [ ]011,,,ncbbb?= L ()xAbKxbv ycx =?+ = & 046 第五章 状态反馈系统的传递函数 为： 11 1 10 *1** 10 ()()()K n n nn n gscsIAbKbcsIAbKb ss s bbb aaa ?? ? =?+=?+ +++= ++++ L L 引入状态反馈，使 的极点移动，但不影响零点。 但是，移动极点与零点相重合而对消，也影响了零点，被对 ()gs ()Kgs 消掉的极点成为不可观测的。 047 第五章 多变量线性定常系统： 多输入—多输出系统的情形 的零点有多种定义。 ,np q xAxBuxRuR yC yR =+∈∈ =∈ & 1()()GsCsIAB?=? 其传递函数矩阵： 048 第五章 成为是，使 当 为能控且能观测时， 的零点可看{ },,ABC s 利用复频率域方法，可以证明，状态反馈的引入不影响 min(,)0sIABranknpqC???<+?? ?? ()Gs 的所有 值。 但 的每个元传递函数 的零点将受状态反馈 的零点。 ()ijgs 的影响。 ()Gs ()Gs 049 第五章 传递函数矩阵为： 举例说明：双输入—双输出线性定常系统： 10010 102 020,01, 210 00311 ABC ???? ?? ????===?? ??? ?? ???????? 352 (1)(3)3() 21 12 s sssGs ss ??? ????? = ???? 050 第五章 1231,2,3lll===系统的极点是： 引入状态反馈，状态反馈增益矩阵为： 状态反馈系统的各系数矩阵为： 61515 030K ????= ???? 7151510 102 010,01, 210 6121211 ABKBC ????? ?? ?????=?==?? ??? ?? ????????? 051 第五章 比较 和 ，状态反馈的引入，系统的极点 闭环系统的传递函数矩阵为： ()Gs 移动到 的同时，也改变 ()Gs ()KGs ()Gs 系统 的元传递函数的零点。 23521217 (2)(3)(1)(2)(3)() 2(3)(3)(8) (2)(3)(1)(2)(3) K sss sssssGs ss sssss ???+? ??+++++ = ??+ +++++?? 1231,2,3lll=?=?=? 了 的大部分元传递函数的零点。状态反馈影响受控 052 1 1()CsIABKB ??+ 2K 反馈增益矩阵解的不唯一性。 相同极点配置的两个不同的反馈增益矩阵 和 ，1K 相应的闭环传递函数矩阵 和 第五章 将有不同的状态运动响应和输出响应。 应选取使元增益值较小且瞬态响应较好的反馈增益矩阵解。 1 2()CsIABKB ??+ 一般是不相同的。 053 第五章 u输出反馈的极点配置问题 （ 为参考输入），不能任意地配置系统的全部极点。 uFyv=?+ xAxbu ycx =+ = & （1）一般地说，利用非动态输出反馈 v 其中： 为 维状态向量， 和 为标量输入和标量输出。x n u y 单输入—单输出系统 054 第五章 其中： 为参考输入， 为标量反馈增益。 uvfyvfcx=?=? 1()() fgscsIAbfcb ?=?+ 取反馈控制 v 其特征多项式为： ()det()f ssIAbfca =?+ f 输出反馈系统的传递函数为： 055 第五章 2112det[()()]det[()()]IGsGsIGsGs+=+ 注意： 利用： 1()()[()]sIAbfcsIAIsIAbfc??+=?+? 1 1 ()det()det[()] det()[1()] fssIAIsIAbfc sIAfcsIAb a ? ? =?+? =?+? 可得： 056 第五章 ()()()f ssfsaab=+? 再表： 引入输出反馈后，反馈系统的极点即为方程 ： det()()sIAsa?= 1 ()() () scsIAb s b a ??= 则： ()()0sfsab+?=的根。 057 第五章 极点和零点，则由根轨迹可知，闭环系统的极点只能分布于 由 和 的根分别为 的 输出反馈不可能把反馈系统的极点配置到根轨迹以外的位置 1()csIAb??()0sa = 以开环极点为始点和以开环零点为终点的一组根轨迹上。即， ()0sb = 非动态输出反馈不能任意地配置系统的全部极点。 上。 058 第五章 统的维数为 ，且 和 ，则采用 （2）对于能控和能观测的受控系统 ，令系{ },,ABC 非动态线性输出反馈 ，可对数目为： 个闭环极点进行“任意地接近”式 rankBp= rankCq= uFyv=?+ { }min,1npq+? n 配置，即可使它们任意地接近于指定的期望极点位置。 （3）如果在引入输出反馈的同时，附加引入补偿器，那 么通过适当选取和综合补偿器的结构和特性，将可对所导出 的输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 059 第五章 对于线性定常受控系统： 状态反馈律： ， 为参考输入。 ,npxAxBuxRuR=+∈∈& 则称系统实现了状态反馈镇定。 5.4 镇定问题：可镇定条件和算法 是渐近稳定的，也即其特征值均具有负实部， u状态反馈的镇定条件 uKxv=?+ 如，通过反馈构成的闭环系统： ()xABKxBv=?+& v 060 第五章 开平面上，属于极点区域配置问题。 镇定问题：综合的目标不是使闭环系统的极点严格地配置 { },AB 到任意指定的一组位置上，而是使其配置于复数平面的左半 K u可镇定条件 如果系统 为能控，必存在增益矩阵 ，使得 ()ABK? 的全部特征值配置到任意位置上，包括使 Re()0,1,2,,i ABKinl ?<=L 061 第五章 状态反馈镇定的充分必要条件为： 条件。 为能控是系统可由状态反馈实现镇定的一个充分{ },AB 结论：线性定常系统是由状态反馈可镇定的，当且仅当 其不能控部分是渐近稳定的。 题中综合状态反馈增益矩阵 的计算可按下述步骤进行： 算法：给定 ，且知其满足可镇定条件，则镇定问{ },AB K 062 第五章 { },ccAB 第1 步：对 按能控性进行结构分解，导出{ },AB 111 2 0, cccc AAQAQBQB A ????===?? ?? %% % % ，并求出变换矩阵 。P 11Re()0,(1,2,,)i Ainl ≥= % L { },ccAB第2 步：对 求出约当规范形， 1A %其中， 为 常阵，且11nn× 063 第五章 22Re()0,(1,2,,)i Ainl <= % L 2A % 为 常阵，且22nn× 12 cnnn+=cA% 为 矩阵，并有ccnn× 1Q ?同时，求出 。 1K % 第3 步：利用极点配置问题算法，计算 的反馈 1111()(1,2,,)i ABKinl ?= % %% L增益矩阵 ，使 均具有 1np× 负实部。 064 第五章 第4 步：所求的镇定反馈增益矩阵： 是通过把位于右半闭复数平面上的极点“调整”到左半开复 1 1 ,0KKQP ???=??% 数平面上而实现镇定的。 065 第五章 5.5 解耦控制问题：可解耦条件和算法 三个基本假定： x u 问题的提出：多输入—多输出的线性定常系统 p qy xAxBu yCx =+ = & n (1) 其中， 为 维状态向量， 为 维控制向量， 为 维 输出向量。 066 第五章 （2）控制律采用状态反馈结合输入变换，取 为参考输入。 pq=（1） ，输出和输入具有相同的变量个数。 uKxLv=?+ det0L ≠ v K L L pp×pn×为 反馈增益矩阵， 为 输入变换矩阵， （3）输入变换矩阵 为非奇异，即 。 067 第五章 结构图如下： ∫ yB A C++ xuv ?+ K L 状态空间描述为： ()xABKxBLv yCx =?+ = & (2) 068 第五章 pq= 传递函数矩阵为： ()KLGs，则 为 的有理分式矩阵。 1()()(3) KLGsCsIABKBL ?=?+ 解耦控制问题：对（1）式给出的多变量受控系统，寻找 pp× 1 22()((),(),,()) 0,1,2,, pp ii Gsdiaggsgsgs gip = ≠= L L 一个输入变换和状态反馈矩阵对 ，使由（3）式所定{ },LK 出的传递函数矩阵 为非奇异对角线有理分式阵，即()KLGs 069 第五章 两个问题： ()()()KLysGsvs=))关系式： 实现解耦后，存在 { },LK 如下关系，输出变量和参考输入变量之间： ()()(),1,2,,iiiiysgsvsip==)) L （1）受控系统的可解耦性，实现解耦的条件。 （2）解耦控制问题的算法，求 。 070 第五章 p 受控系统包含着变量间的耦合，通过外部的控制作用， p可使一个 维的多输入—多输出系统化为 个相互独立的 单输入—单输出控制系统。 一个输出量仅由一个输入量所完全控制。 u传递函数矩阵的两个特征量 完全能观测的单输入—单输出线性定常系统 071 第五章 ()igs i()Gs pp×为 的传递函数矩阵， 为它的第 12()(),(),,()iiiipgsgsgsgs??= ??L ()ijijgss = id 个行传递函数向量，并有： ()ijgs ()Gs { }12min,,,1,1,2,,iiiipdipsss=?=LL 表的分母多项式的次数和 的分子 多项式的次数之差。 id 则 的第一个特征量 定义为： 必为非负整数。 { }12,,,pdddL()Gs当 给定后， 为唯一确定。 072 第五章 1lim(),1,2,,id iisEsgsip + →∞ ==L 1 p× ()Gs iE的第二个特征量 定义为： i iE ic 的常行向量。 { },,ABC()Gs C 两个特征量 和 的基本属性： （1）如果 的相应的状态空间描述为 ， id 且表 为 的第 个行向量。 073 第五章 id iiECAB= ,0,0,1,,1 0 1,0,0,1,,1 k i ii CABk dCAB nCABkn m mm?==? ?=≠ ? ?==?? L L 当 而 当 则有： 和 074 第五章 { },LK det0L ≠ i状态反馈闭环系统的传递函数矩阵 的第 个行 传递函数向量可表为： ()KLGs （2）对于任意的矩阵对 ，其中 ， 1 10()det() nn nssIABKsssaaaa ? ?=?+=++++L 其中： 12 210 1() () nn KLiiiniigsCBLsCRBLsCRBLsCRBLsa ?? ???=++++??L 075 第五章 21()nnRABKIa??=?+ 和 2 312()()nnnRABKABKIaa???=?+?+ LLL 12 011()() nn nRABKABKIaa ?? ?=?+?++L 076 第五章 iE而 的两个特征量 和 可表为： ()KLGs id (),1,2,,idiiECABKBLip=?=L ,()0,0,1,,1 ()0 1,()0,0,1,,1 1,2,, k i ii k i CABKBLk dCABKBL nCABKBLkn ip m mm??==? ?=?≠ ? ???==? ? = L L L 当 而 当 和 077 第五章 { },LK det0L ≠ 开环系统和闭环系统的传递函数矩阵的特征量之间存在如下 的关系式： （3）对于任意的矩阵对 ，其中 ， ,1,2,,iiEELip==L iidd= 078 第五章 { },LK 结论：线性定常受控系统，可采用状态反馈和输入变换， 即存在矩阵对 进行解耦的充分必要条件，是如 u可解耦条件 1 p E E E ?? ??= ?? ???? M pp× 为非奇异。 下的 常阵： 079 第五章 ()Gs 解耦后系统能正常运行，并具有良好的动态性能，要求受控 系统是能控的，至少是能镇定的。 （1）能否实现解耦，由传递函数矩阵 的两组特征 (1,2,,)iEip= Lid 推论： 量 和 决定。 E（2） 可由传递函数矩阵组成，也可由状态空间描述组 成。 080 第五章 11,LEKEF??== （3）一个可解耦的受控系统，当选取 为： pn× 1 1 1 1p d d p CA F CA + + ?? ?? ?? ?? M阵， 时， { },LK 使系统解耦，解耦系统的传递函数矩阵为： 081 第五章 1 1 1 1 () 1 p d KL d s Gs s + + ?? ?? = ?? ?? O 均具有多重积分器的特性，称为积分型解耦。 解耦后，每个单输入—单输出闭环控制系统的传递函数 有一定的价值。 动态性能不好，没有实用价值，但作为一个中间步骤， 082 第五章 { },LK 给定受控系统为： 其中： ， 为能控。 u确定解耦控制矩阵对 的算法 xAxBu yCx =+ = & dim()dim()uyp== 系统要实现期望的极点配置。 { },AB 实现解耦，同时对解耦后的每一个单输入—单输出控制 083 第五章 1 ,, TTT pEEE??= ??L判断， 是否为非奇异。 第1 步：计算 和 { },1,2,,idiiECABip==L { },1,2,,idip= L 若是，可解耦，进入下一步。若否，不能解耦。 1E?第2 步：计算 和 1 1 1 1p d d p CA F CA + + ?? ?? ?? ?? M 084 第五章 xAxBv yCx =+ = & 导出积分型解耦系统 第3 步：取 为： 11,LEKEF??== { },LK 其中， { },AB且由 能控，知 为能控。 11,AABEFBBE??=?= { },AB 085 第五章 变换为如下的解耦规范形 第4 步：引入线性非奇异变换 ，把 1 11 0 0p ccpp A A A AAA+ ?? ?? = ?? ?? % OM% % %%%L xQx=% { },,ABC 086 第五章 1 1 p ccp b B b bb ?? ?? = ?? ???? % O% % %%L 1 0 0p c C c ?? ??= ?? % % OM % （ 不完全能观测，或状态反馈导致 不完全能 其中，虚线分块化表示按能观测性的结构分解形式， { },AC { },AC 观测）。 当 为能观测时，则 中不出现不能观测部分。{ },,ABC%%%{ },AC 087 第五章 此外，进而有： 0 0 0 000 ** i ii d i mm I A × ?? ?? = ?? ?? M % L (1)id + (1)iimd?+ (1)id + (1)iimd?+ 088 第五章 1211,iipmdmmmn+≥++++=L其中， 1 0 0 1 0 0 i i m b × ?? ?? ?? ?? ??= ?? ?? ?? ?? ???? M % M (1)id + [ ] 1 100 i i m c × =% L 089 第五章 现解耦控制和解耦后的单输入—单输出控制系统的极点配置。 第5 步：对解耦规范形 ，引入状态反馈，来实{ },,ABC%%% 其中， 状态反馈增益矩阵取为如下形式的 常阵：pn× 1 0 0p k K k ?? ??= ?? % % OM % 01 1 ,,,,00 i i iiid m kkkk × ??=% LL 090 第五章 并且，由此可以导出： 1 1 11111 1 () () ()ppppp CsIABKB csIAbkb csIAbkb ? ? ? ?+ ???+ ??= ?+?? %%%%% %%%%% O %%%%% 091 第五章 和 01 0 0 0 ** i ii i d iii mm iiid I Abk kkk× ?? ?? ?= ????? ?? M %%% L 092 第五章 的元则由解耦后的第 个单输入—单 表明， 的结构形式保证了解耦控制的实现，而K% 部特征值。 (1,2,,)ikip=% L 由于需保证实现解耦，状态反馈所能控制的不是 的全 输出控制系统的期望极点组所决定。 i iA % 093 第五章 使其实现解耦和对解耦后各单输入—单输出系统进行期 第6 步：对于所讨论的受控系统： { },KL望的极点配置的 为： 111,KEFEKQLE???=+=% xAxBu yCx =+ = & 094 第五章 010000 300210 000100 020000 1000 0010 xxu yx ???? ???? ?=+ ??? ??????? ??= ???? & 解：系统能控且能观测。 例：给定双输入—双输出的线性定常受控系统为： 第五章 因为 ①计算 和 (1,2)iEi= [][]1 00 10100000 00 01 CB ?? ?? ==?? ?? (1,2)idi= [][]1 010000 300210100 10 000100 020001 CAB ???? ???? ???== ???? ???????? 096 第五章 [][]2 00 10001000 00 01 CB ?? ?? ==?? ?? [][]2 010000 300210001 01 000100 020001 CAB ???? ???? ??? ??? ????????? 即可定出， [ ] [ ]1210,01EE== 121,1dd== 097 第五章 ②判断可解耦性 1 2 10 01 EE E ????== ???????? 可解耦性判别矩阵： 1 10 01E ? ??= ?? ?? 为非奇异，可进行解耦。 ③导出积分型解耦系统 定出 098 第五章 2 1 2 2 3002 0200 CAF CA ????== ????????? 取 1 10 01LE ? ??==?? ?? 1 3002 0200KEF ? ??==?? ??? 099 第五章 则有： 1 0100 0000 0001 0000 AABEF? ?? ?? =?= ???? 1 00 10 00 01 BBE ? ?? ?? ==?? ?? 1000 0010CC ??== ???? 100 第五章 则 保持为能观测，且 已为解耦规范形。{ },AC 无需再进一步引入变换，也即有 。 { },,ABC ④相对于解耦规范形确定反馈增益矩阵 取为： QI= K% 1011 2021 00 00 kkK kk ??= ????% 则： 1011 2021 01 01 kkABK kk ?????= ???? % 101 第五章 指定解耦后的单输入—单输出系统的期望特征值，分别 ** 1 122,4ll=?=?为： *2 1 ()(2)(4)68sssssa =++=++ 101 20218,6,5,4kkkk==== 2 222,2jj=?+=?? 求： 2 ()(2)(2)45ssjsjssa =+?++=++ 可定出： 8600 0054K ??= ????%则： 102 第五章 ⑤定出对给定受控系统实现解耦控制和极点配置的控制 11 1 602 0254KEFEKFK ?? ??=+=+=?? ??? %% 矩阵对 ， 1 10 01LE ? ??==?? ?? { },LK ⑥定出解耦后闭环控制系统的状态空间方程和传递函数 矩阵。 103 第五章 010000 860010() 000100 005401 xABKxBLvxv ???? ?????? ???=?+=+ ??? ?????????? & 21 2 1 0 68()() 10 45 KL ssGsCsIABKBL ss ? ?? ??++=?+= ++?? 1000 0010yCxx ??== ???? 104 第五章 u静态解耦控制问题 xAxBu yCx =+ = & 控制系统： 输出维数和输入维数相等的线性定常系统： { },KL ()xABKxBLv yCx =?+ = & 如果存在状态反馈和输入变换 ，使得所导出的闭环 105 第五章 具有如下的属性： 1()() KLGsCsIABKBL ?=?+（2） 一般为非对 （1）闭环控制系统是渐近稳定的。 0s → 11 0 (0) lim(),0 (0) KLiis pp g Gsg g → ?? ??=≠ ?? O 角线矩阵，但是，当 时其为对角线非奇异常阵，即 则称受控系统是静态能解耦的。 前面所研究的解耦问题为动态解耦问题。 106 第五章 11() () 1()p t vt t b b ?? ??= ???? M 信号的情况。 静态解耦的概念只适用于参考输入 的各个分量为阶跃 ib v 令： 其中： 为非零常数， 为单位阶跃函数。1()t 利用拉普拉斯变换的终值定理，在系统为渐近稳定的前提 下，可得到系统为稳态时的输出为： 107 第五章 即有：lim()(0),1,2,,iiiitytgipb→∞ ==L 11 00 1 1111 1lim()lim()lim() (0)(0) ()(0) KLKLtss pp p pppp ytsGsGss gg gsg bb bb bb bb →∞→→ ???? ??????== ? ???? ? ?????? ?????? ??????== ??? ??????????? MM OMM 108 第五章 表明，相对于分量为阶跃信号的参考输入，当系统实现 静态解耦时，可做到稳态下每个输出都只受同序号的一个 输入的完全控制。 但输出和输入间的交叉耦合关系并不能消除。 静态解耦与动态解耦的区别。 109 第五章 { },KL结论：存在 ，可使受控系统静态解耦的充分必 是否能实现静态解耦的判据 0 ABranknp C ??=+ ???? 要条件是： n （1）受控系统是用状态反馈能镇定的。 Lp （2）受控系统的系数矩阵满足关系式： 其中， 为系统的维数， 为输出（和输入）的维数，且 为非奇异。 110 第五章 { },AB 阵的秩条件是否成立。 静态解耦算法 ()ABK? 第1 步：判断 是否能稳定或能控，判断系数矩 K算法，确定一个状态反馈增益矩阵 ，使 的特征 第2 步：对于满足可静态解耦条件的系统，按极点配置 值均具有负实部。 111 第五章 (1,2,,)iidip=% L稳态增益要求，确定 的值，且取 第3 步：按照静态解耦后各单输入—单输出自治系统的 11(,,)ppDdiagdd= %%% L 第4 步：取输入变换阵： 11()LCABKBD????=?? ??% 则： (0)KFGD= % 112 第五章 5.6 跟踪问题：无静差性和鲁棒控制 控系统： x u 问题的提出：考虑同时作用有控制和扰动的线性定常受 p qy w w xAxBuBw yCxDuDw =++ =++ & n (1) 其中， 为 维状态向量， 为 维控制向量， 为 维 输出向量， 为 维扰动向量。w q 113 第五章 假定 为能控， 为能观测。 0 ()yt 0()()()etytyt=? 所谓跟踪问题，即讨论系统 ，在满足什么条件下可找 ()yt受控系统的输出 所要跟踪的参考信号为 ， { },AC 跟踪的误差信号： { },AB 0 ()yt (1) ()yt到适当的控制规律 ，来实现使 跟踪 的目标。u 114 第五章 相应的跟踪问题的系统结构框图如下。 ∫ yB A C++ xu 0y ? + D wB w e+ ++ + wD 115 第五章 由于物理可实现性的限制，要找到使对于所有 均有： 0()()ytyt= [ ]0lim()lim()()0(2)ttetytyt→∞→∞=?= 称为无静差跟踪。 一般只能做到使： 的控制 是不可能的。 t u 116 第五章 系统为线性，且同时作用有参考信号 和扰动信号 。 0lim()lim()(3)ttytyt→∞→∞= lim()0(4)w t yt →∞ =满足关系式： 对 ，任意的 相应的输出 ， ()wt ()wt 0 ()yt 0 ()0yt= (3)称 式为渐近跟踪，而 式为扰动抑制。 0 ()yt (4) ()wyt 则： ，对任意的 有：()0wt = 117 第五章 如果参考信号 和扰动 ，当 时均趋 动抑制，即对任意的 和 ， 式成立。 直观的情况。 ()wt t →∞ 0 ()yt (2) 当系统实现无静差跟踪时，将可同时达到渐近跟踪和扰 0 ()yt (2)u 成立。即无静差跟踪可自动地达到。 ()wt [ ]0lim()lim()()0(2)ttetytyt→∞→∞=?= 于零。只要寻找控制 使系统为渐近稳定， 式就自动地 118 第五章 设 和 ，当 时均不趋于零，且对 u参考信号和扰动的模型 和 lim()0 t wt →∞ ≠ t →∞ 0lim()0t yt→∞ ≠ 下面的讨论中假定： 0 ()yt 实际情况大多如此。 ()wt 它们的属性没有任何了解，则无从讨论系统的渐近跟踪问题 和扰动抑制问题。 119 第五章 u标量情况： 知振幅和初始相位的正弦函数，拉氏变换为： 10 22 s s bb a + + 2222sincos stt ss a aa→→++ s b 为了研究跟踪问题，需要对 和 的某些结构0 ()yt ()wt 设信号为未知幅值的阶跃函数，则拉氏变换为 ，未 性质有所了解，并建立起相应的信号模型。 120 第五章 可将标量的 和 的拉氏变换 和 分0 ()yt ()wt 别表示为： 0? ()ys ? ()ws 由于信号的函数结构为已知，多项式 和 是()yds ()wds 和0 ()? () () y y nsys ds= ()? () () w w nsws ds= 已知的，又由于信号的非结构特性为未知，多项式 和()yns ()wns为未知和任意。对 和 的唯一限制是应保()yns ()wns 证 和 均为严格真的有理分式函数。0? ()ys ? ()ws 121 第五章 在时间域内，上述关系等价于把 和 分别看成0 ()yt ()wt 为是由信号模型： 0() rrr rr xAx ytcx = = & (0)rx相对于各自的未知初始条件 和 所产生的。 rA (0)wx 并且， 和 的最小多项式即为 和 。wA 和 () www ww xAx wtcx = = & ()yds ()wds 122 第五章 u向量信号的情况： 参考信号 看成为是在未知的初始状态下，由其模型 所产生。 0 ()yt ()wt 所产生。 0() rrr rr xAx ytcx = = & () www ww xAx wtcx = = & 而扰动 看成为是在未知的初始状态下，由它的模型 123 第五章 再令 和 分别是 和 的最小多项式。()r sf ()w sf 跟踪问题中只需考虑 和 的当 时不趋 rA wA 0 ()yt ()wt 于零的部分，所以只需考虑 和 中根均位于右半闭 t →∞ s平面的部分。 ()r sf ()w sf 现表多项式 和 的位于右半闭 平面上的根因s 式的最小公倍式为 ： ()r sf ()w sf ()sf 1 10() mm mssssfaaa ? ?=++++L 124 第五章 显然 的所有根均具有非负实部。 1() gsIf ? e 于是， 可导出 和 的当 时不 cccc cc xAxBe yx =+ = & (5) 0 ()yt()wt 有： t →∞ 跟踪误差 作为它的输入， 趋于零的部分的共同模型，且将其和受控系统相串联，即把 ()0sf = 125 第五章 [ ],,,c qmqm q Ablockdiag × =ΓΓΓL 重 其中： 1 011 0 0 ,0 0 1 m m I b aaa ? ? ???? ???? ??Γ== ?? ????? ???? M M L 而： (5)由 式所描述的动态系统就是对 和 所建立的信 [ ],,,c qmq q Bblockdiag bbb × = L 重 号模型。 0 ()yt ()wt 126 第五章 u无静差跟踪控制系统的综合 现考虑由受控系统 和信号模型 顺序串联组成的系 统，容易导出此串联系统的状态方程为： (1) (5) 0 00w ccccccwc xAxBBuwy xBCAxBDBDB ????????????=+++ ??????????????????????????? & & 127 第五章 wxAxBuBw=++& 0 0 0 () () ccccccwc cccw cccccc xAxBCxBDuBDwBy AxByCxDuDw AxByyAxBe =???+ =+??? =+?=+ & u将 取为状态反馈控制律： 则可得到实现无静差跟踪的闭环控制系统，控制系统 [],c c xuKK x ??=? ???? 的结构图如下所示。 128 第五章 cx y ccccxAxBe=+& K wxAxBuBw=++&? + xu 0y ? +cK w e wyCxDuDw=++ 从上结构图，给出受控系统可实现无静差跟踪所需满足 的条件。 129 第五章 结论1 ：受控系统 可按上图所示的控制方式实现无静(1) dim()dim()uy≥ 差跟踪的充分必要条件为： il ,1,2,,iIABranknqimCDl ???=+=?? ?? L q （1） （2）对 的每一个根 ，成立： 最小公倍式， 输出维数。()sf ()0sf = 130 第五章 把上图所示的无静差跟踪控制系统表示为更一般的形式。 1u y伺服补偿器 镇定补偿器 ? + x u 0y ? + e 受控系统 2u 从图中可以看出，一个无静差跟踪控制系统，实质上是一 个包含补偿器的输出反馈系统。 131 第五章 伺服补偿器的基本功能是使系统实现渐近跟踪和扰动抑 1 cccc cc xAxBe uKx =+ = & 2uKx= 制，它也是一个动态系统，其动态方程可表示为： 而镇定补偿器的功能在于使整个反馈系统实现镇定，它 是一个非动态的状态反馈，即： 132 第五章 结论2 ：设受控系统 满足结论1 中所给出的条件，则(1) ()wt 可使上图的控制系统实现无静差跟踪的充分必要条件，是引入 0 ()yt （1）可对系统实现镇定。 （2）伺服补偿器中必须包含 和 的不稳定信号 系统的补偿器必须满足如下条件： 模型。 133 第五章 ()wt0 ()yt 称这个引入系统的不稳定信号模型为内模。 利用在系统内部复制一个 和 的不稳定信号模型， 来达到完全的渐近跟踪和扰动抑制的原理，称之为内模原理。 内模原理实现无静差跟踪控制的一个重要优点，是对除了 内模以外的受控系统和补偿器的参数的变动不敏感。 当参数出现摄动时，只要闭环控制系统仍为渐近稳定，则 必仍具有无静差跟踪的属性。 称控制系统为鲁棒的。 134 第五章 ()sfcA但是，内模的参数的变化，即 的最小多项式 （ 公倍式）的系数的变化则是不允许的。 内模原理的实质，就是依靠 的根与 和 的 破坏了渐近跟踪和扰动抑制。 ()sf 内模参数的任何摄动，都将破坏这种精确的对消，从而 ()wt0 ()yt 不稳定振型实现精确的对消来达到渐近跟踪和扰动抑制的。 135 第五章 ()yt 实际工程问题中， 和 总是有界的，即使 的系数有变动或工程实现中不够精确，输出 仍能跟踪 参考信号 ，即只有有限的稳态跟踪误差。 ()sf()wt0 ()yt 0 ()yt 结论3 ：利用内模原理来实现的无静差跟踪控制，即前 图的控制方式，对除了内模以外的系统各部分的参数而言， 是一种鲁棒控制。 136 第五章 例：给定受控系统为 0 ()yt ()wt [] 010000 001014 000100 0011016 1000 wxAxbub xuw ycxx ?????? ??????? ?????=++=++ ?????? ???????????? == & u使系统实现无静差跟踪的控制律 。 给定参考信号 和扰动 均为阶跃函数，要综合 (4,1,1)npq=== 137 第五章 0 ()yt ()wt 由 和 均为阶跃函数，可知： 解：（1）建立 和 的不稳定信号模型， 0 ()yt ()wt (),()rwssssff== 从而可导出它们的最小公倍式为： 并且，由 即可导出， 和 的不稳 定信号模型为： 0 ()yt ()wt ()ssf = 其中， 。 [ ] [ ]01cccccxAxbexe=+=+& 0 ()()eytyt=? 1 1()s sf ? = 138 第五章 dim()dim()1uy==考虑到 ，结论1 条件1 成立。 （2）判断受控系统是否可实现无静差跟踪。 1 0l = 01000 00101 5000100 001 01 10000 Abrankranknq c ??? ?? ???===+? ????? ???? ??? 再因 只有一个根 ，容易判断：()0sf = 条件2 成立，受控系统可实现无静差跟踪。 139 第五章 u 配置极点。根据镇定要求，取期望的闭环极点为： （3）综合控制律 **** 123,451,1,1,2jllll=?=?=?±=? 0 00 00 w ccccc xAxbbuwy xb Axb ????? ??????=+++ ????? ??????? ????????? ?? & & 首先，由受控系统和信号模型来导出其串联系统的状态方程： 由受控系统满足结论1 的条件可知，此系统为能控，故可任意 140 第五章 *2 5432 ()(1)(1(1)(2) 61320144 sssjsjs sssss a =++?+++ =+++++ 从而可定出： [][]1234,,,,ccxxukkkkkkk????=????=????? ???? 取状态反馈控制律为： 141 第五章 增广系统的闭环矩阵为： 1234 1234 01000 1 00010 11 10000 c c cc c kkkkkAbkbk A bcA kkkkk ?? ??????? ???== ???? +??? ?? 142 第五章 543 2413 2 21 ()det()()(11) (10)1010cc ssIAskkskks kksksk a=?=+?+?? +??? 特征多项式为： *()sa由 和 的各对应系数相等，可定出：()sa 12340.4,1.4,2.04,27.4,8.04ckkkkk=?=?=?=?=? 得到： [ ]1.4,2.04,27.4,8.04 0.4c k k =???? =? 143 第五章 [ ] [ ] 1 01 0.4 cc ccc xxee ukxx =+= ==? & （4）定出伺服补偿器和镇定补偿器： 对给定受控系统，使其实现无静差跟踪的伺服补偿器和镇定 补偿器分别为： [ ]2 1.4,2.04,27.4,8.04ukxx==????和 控制律： [ ]12 0.41.4,2.04,27.4,8.04cuuu=?=?+ 144 第五章 5.8 状态重构问题和状态观测器 状态反馈的优越性。 状态重构问题： 极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪，都引入适当的 状态反馈才能实现。 不易直接测量，或经济性上的限制，不能实际获得系统的 全部状态变量，状态反馈的物理实现不可能。 145 第五章 通过重构系统的状态，用重构状态代替系统的真实状态，来 状态反馈的优越性与物理上的不能实现性，形成了矛盾， 实现所要求的状态反馈。 状态重构问题，就是重新构造一个系统。 利用原系统中可直接量测的变量，如输出向量和输入向量 作为它的输入信号，并使其输出信号 在一定的提法下，?()xt 等价于原系统的状态 。()xt 146 第五章 称 为 的重构状态或估计状态，而称这个用以实?()xt 现状态重构的系统为观测器。 ()xt 一般， 和 间的等价性常采用渐近等价提法，即?()xt 使得两者仅成立： ()xt ?lim()lim()(1) tt xtxt →∞→∞ = 147 第五章 ∫ yB A C++ xu obΣ状态观测器 ?x 表征状态重构问题含义的直观说明如下图所示。 状态观测器是一个线性定常系统。 148 第五章 输出 渐近等价于原系统状态 的观测器，即以?()xt 观测器按功能可分为状态观测器和函数观测器。 ()xt 为性能指标综合得到的观测器，称为状态观测器。(1) 输出 渐近等价于原系统状态的一个函数 的观()tw ()Kxt 测器，也即以： 为常阵，lim()lim(), tt tKxtKw →∞→∞ = 为性能指标来构成的观测器，称为函数观测器。 函数观测器的维数要低于状态观测器。 149 第五章 状态观测器，按其结构分为全维观测器和降维观测器。 维数等同于原系统的状态观测器称为全维观测器。 维数小于原系统的状态观测器称为降维观测器。 降维观测器在结构上较为简单。 u全维状态观测器 维线性定常系统 其中， 和 分别为 和 实常阵。 n C 0,(0),0xAxBuxxt yCx =+=≥ = & ,AB qn×,nnnp×× 150 第五章 以利用的。 状态 不能直接加以量测，输出 和输入 是可()xt ()yt ()ut 的一个 维线性定常系统。 ?()xt输出 满足如下关系式： n ?lim()lim() tt xtxt →∞→∞ = 所谓全维状态观测器，就是以 和 为输入，且其()ut()yt 151 第五章 相同的结构形式，复制出一个基本系统。取原系统输出 全维状态观测器可按不同方法来进行设计 ,AB C L矩阵 馈送到复制系统中积分器的输入端，而构成一个闭环 和复制系统输出 之差值信号作为修正量，并将其经增益 方法Ⅰ：根据已知的系数矩阵 和 ，按和原系统 ?()yt ()yt 系统，如下图所示。 152 第五章 ∫ yB A C++ xu ∫B A C + + ?x L ? + + ?y Σ 153 第五章 个 维线性定常系统，待确定的系数矩阵 。 u y L 适当地选取增益矩阵 ，可使这个重构系统成为给定系统的 论证：被估计系统 ，满足一定的条件下，通过 重构系统：以原系统的可量测变量 和 为输入的一 [ ],,ABC n 一个全维观测器。 L 154 第五章 修正项 起到了反馈的作用。 0(),(0)xAxBuLyCxxx=++?= ) ))& ()yCx? ) 0t ≥ 直接复制： 状态观测器的维数等于被估计系统。 全维状态观测器的动态方程为： 00xx= ) 没有修正项 时，观测器就是对被估计系统的()yCx? ) 0,(0)xAxBuxx=+= ))))& 如果使初态 ，则理论上可实现，对所有 均成 ()()xtxt=)立 ，即实现完全的状态重构。 155 第五章 1、用这种观测器前必须设置初始状态 ，不00xx=) ()LyCx? ) A 和 间的很小偏差， 的增加使 和 的偏 方便。 缺点： 0x 2、如果系数矩阵 包含不稳定的特征值，那么即使 t0x) 愈来愈大。 ()xt) 修正项 克服上述问题。 ()xt 156 第五章 相应地观测器的结构图为下图形式。 0(),(0)(2)xALCxLyBuxx=?++= ) ))&全维状态观测器的动态方程为： ∫ yB A C++ xu ∫B ALC? + + ?x L + Σ 157 第五章 可得， 所应满足的动态方程为： xxx=?)% () xAxBu yCx xALCxLyBu =+ = =?++ & ))& ()ALC? 值 均具有负实部， 不管初始误差 为多大，只要使矩阵 的特征 为真实状态和估计状态间的误差，则 0x% (),(1,2,,)i ALCinl ?=L 000(),(0)xALCxxxxx=?==? )&%%%% ()xt% 158 第五章 即实现状态的渐近重构。 lim()lim() tt xtxt →∞→∞ =) L (1,2,,)in= L 任意配置，则 的衰减快慢是可被控制的。 如果可通过选择增益矩阵 而使 那么一定可做到使成立， ()xt (),i ALCl ? ()xt% ()xt%s? te s?的所有分量将以比 要快的速率衰减至零，即可使重构状 若 均具有小于 的负实部，则()i ALCl ? ()xt)态 很快地趋于真实状态 。 159 第五章 为能观测，则必可采用 式所表达的全维观测器来重构其 n L [ ],AC 的全部特征值。 状态，并且必可通过选择增益矩阵 而任意配置 结论：给定 维线性定常系统是能观测的，即若 ()ALC? (2) 160 第五章 设 为能观测，再对所要设计的全维观测器指定一组 ,xAxBuyCx=+=& K [ ],AC 骤为： 期望的极点 ，则设计全维状态观测器的步 算法：给定被估计系统 { }***12,,,nlllL 定使 *(),1,2,,TTiiACKinll?==L { },,TTTACB 的反馈增益矩阵 。 第1 步：导出对偶系统 { },TTAC第2 步：利用极点配置问题的算法，对矩阵 确 161 第五章 而 即为 的估计状态。 ()xALCxBuLy=?++))& x) 测器就为： TLK= ()ALC? 第3 步：取 x 第4 步：计算 ，则所要设计的全维状态观 162 第五章 方法Ⅱ：给定能控且能观测的 维线性定常系统， 其中，待定系数矩阵 和 分别为 n T 0,(0),0xAxBuxxt yCx =+=≥ = & ,,FGH nn× ,,nnnqnp××× 则将其全维状态观测器取为： 和 实常阵。 (1) (2)01 ,(0),0zFzGyHuzzt xTz? =++=≥ = & ) 163 第五章 先讨论使 式成为给定被估计系统的全维观测器的条件。 （1） 为非奇异。 u00,xz ,TAFTGCT?= (1) 结论1 ：对任意的 和 ，使系统 成为被估计系 统 的全维状态观测器的充分必要条件为： (2) (2) (),1,2,,i Finl = L （2）HTB= （3） 的全部特征值 ，均具F 有负实部。 164 第五章 存在一个非奇异解阵 的必要条件是 ， FA TAFTGC?= { },FG 结论2 ：设 和 不具有公共的特征值，则方程， 为能观测和 为能控。 T { },AC 对于单输出 情形，这个条件也是充分条件。(1)q = 165 第五章 能观测，则全维观测器的设计步骤为：{ },AC { },AB算法：给定被估计系统 ，其中 能控和 实部，且 F { },,ABC 第1 步：选取 矩阵 ，使其全部特征值均具有负nn× 第3 步：求解矩阵方程 ，定出其唯一解，定 nq× ()(),,1,2,,ijFAijnll≠=L G第2 步：选取 矩阵 ，使 为能控。 阵 。T { },FG TAFTGC?= 166 第五章 F 而估计状态： zFzGyHu=++& 的全维观测器就为： HTB=T G 第4 步：如果 为非奇异，计算 ，且所要设计 若 为奇异，重新选取 或/ 和 。 1xTz?=) T 167 第五章 u降维状态观测器 系统的输出 中已包含有系统状态 的部分信息，在 直接利用这部分信息的基础上，可以构造出维数低于被估计 y x 系统的状态观测器，称为降维状态观测器。 被估计系统为 维线性定常系统 其中， 和 分别为 和 实常阵。 n C xAxBu yCx =+ = & ,AB qn×,nnnp×× 168 第五章 假定 为能观测， 为满秩矩阵，即有 降维观测器的最小维数可为 。 降维观测器只需要较少的积分器来构成简化了观测器的结 { },AC C rankCq= nq? 一般可采用两种方法来设计降维观测器。 构，因而在工程应用上具有重要意义。 方法Ⅰ：给定被估计系统 ，已知{ },,ABC ，且 为能观测，则其 维的降维观 测器可按如下的步骤来进行设计。 { },ACrankCq= nq? 169 第五章 （1）定义 矩阵： 唯一和任意的。 和 分别为 和 矩阵。 CP R ?? ???? P R P 其中， 为 常阵且取为使 为非奇异， 是非R 2Q ()nnq×?nq× 计算 的逆，其分块矩阵为： [ ]1 12QPQQ? = 1Q ()nqn?× nn× 170 第五章 （2）对被估计系统，引入线性非奇异变换， 可导出 即成立： 则： xPx= 120qCQICQ== []1212 12 0 0 q n nq ICQCQCIPQQQ IRQRQR ? ??????==== ???????? ???? [] 1 12 0q xPAPxPBuAxBu yCPxCQCQxIx ? ? =+=+ ??===?? & 171 第五章 和 矩阵。 令 和 分别为 和 分状态，则上式表示为：2x1x 1111 12 2222122 1 1 2 0q xxBAA u xAA xyIx ????????=+ ???????????????? ????== ?????? & & q 22A其中， 和 分别为1 1221,,AAA ()()nqnq?×? (1) ,(),()qqqnqnqq××??× ()nq? 172 第五章 由 式可以看出，变换后状态 ，其分状态 即为系1xx y统的输出 ，故可直接利用而无需对其重构。 (1) ()nq? ()nq?所要重构的仅是 的 维的分状态 ，故知仅需2xx 要采用 维状态观测器就能达到重构的目的。 （3）由 式导出相对于 的状态方程和输出方程：2x(1) 2222212 1 1122 ()xAxAyBu yAyBuAx =++ ??= & & 173 第五章 定义： 输入 输出 212()uAyBu+ 则上式可表为如下的规范形式： 111wyAyBu??& 且， 为能观测的充分必要条件是 为能观测的。{ },AC{ }2 12,AA (2)2222 122 xAxu wAx =+ = & 174 第五章 为能观测，知此 维状态观测器存在，其 L 形式为： (2) ()nq? ()nq? 可通过选取 而任意配置 的全部特征值， （3）对 维子系统 构造全维状态观测器。由 w (3) 22 122()(3)xALAxLwu=?++ ))& 再将 和 的定义式带入 式，得：u { }2 12,AA 2 12()ALA? 175 第五章 希望的。通过引入： 达到在观测器方程中消去 的目的。 y&上式中包含输出的导数 ，从抗扰动性的角度而言这是不 22 12 111 212 ()() ()(4) xALAxLyAyBu AyBu =?+?? ++ ))& & 2 (5)zxLy=? ) y& 176 第五章 由 式可以导出： u 22 122211 21 2 122 12211 21 ()()() ()()()() zxLyALAxALAyBLBu ALAzALALALAyBLBu =?=?+?+? ??=?+?+?+??? ))& && y可以看出，这是一个以 和 为输入的 维动态系统， (4),(5) ()nq? 2x 2xzLy=+ ) 且 的特征值是可以任意配置的。 而且， 的重构状态，即为： 2 12()ALA? 177 第五章 且，考虑到 ，所以相应地也有 ， x)于是进而定出系统状态 的重构状态 为： x) xQx= )) x（5）对于变换状态 的重构状态 ，可容易地导出为： 1 2 yxx zLyx ????== ????+???? )) ) 1xPxQx?== x []1212,()yxQQQyQzLyzLy??==++??+ ?? ) 178 第五章 ()nq?（6）根据上述分析结果，作出给定系统的 维降维 状态观测器的结构图。 ∫ x ) 21BLB? 2 12ALA? 2Q+ + zu L2111ALA? + + 2x) 1Q + y + + 179 第五章 方法Ⅱ： 维线性定常系统 ，已知{ },,ABC 和 实常阵。 { },AC rankCq= ()nq? n 为能观测， ，现取 维线性定常系统： (1)zFzGyHu=++& ()nqp?× H其中，待定系数矩阵 和 分别为：,FG ()()nqnq?×? ()nqq?× 式可作为降维观测器的条件：(1) 180 第五章 结论1 ：系统 可作为给定系统 的{ },,ABC 负实部。 TAFTGC?= ()nq? CP T ??= ???? 为非奇异的 满秩阵 ，使成立： F （1） (),1,2,,()i Finql =?L ()nqn?× 维降维观测器的充分必要条件，是存在一个使： (1) HTB=（2） （3） 的全部特征值 均具有 T 181 第五章 并且，估计状态 即为： 2Q [] 1 1212, CyyxQQQyQz Tzz ??????? ===+?????? ?????? ) nq× 其中， x) [] 1 12, CQQQ T ??? =?? ?? 而和分别为 和 矩阵。1Q ()nnq×? 182 第五章 使 矩阵为非奇异的满秩矩阵 存在所应遵 循的条件。 TCP T??= ?? ?? 是 为能观测和 为能控。 结论2 ：设 和 不具有公共的特征值，则方程：F TTAFTGC?= P { },FG{ },AC 存在满秩解阵 使 为非奇异的必要条件 A 对于单输出 情形，这个条件也是充分条件。(1)q = 183 第五章 设计降维状态观测器的算法 F 解阵 。 F A 1nqrankGFGFGnq????=???L F第1 步：选取一个 实常阵 ，使 TAFTGC?= 的全部特征值均具有负实部，且 和 没有公共特征值。 ()()nqnq?×? ()nqq?× { },FGG第2 步：选取一个 实常阵 ，使得 为能控，即： ()nqn?× T 第3 步：求出方程 的唯一的 184 第五章 PP HTB= CP T ??= ????第4 步：构成并判断矩阵 的非奇异性。 若 为非奇异，计算 ，若 为奇异，返回第1 [ ]1 12,QPQQ? = 第5 步：组成降维状态观测器方程： 步或第2 步，重复计算过程。 zFzGyHu=++& 12xQyQz=+ ) 表 ，其中 和 分别为 和 x) 2Q nq× 矩阵，则估计状态 就为： 1Q ()nnq×? 185 第五章 n x) ()nq?结构上：降维观测器只需 个积分器， 全维观测器需要 个积分器。 y 降维状态观测器， 通过增益矩阵 直接传递到其输出 抗干扰性： y 端，若 中包含干扰，将全部出现于 中。 1Q x) y 全维状态观测器， 需经积分器滤波后才传送到输出端，y 中由 中包含的干扰所引起的影响较小。 186 第五章 Kx ()nq? u函数观测器 状态重构的目的是为了实现状态反馈。 为了进一步减少观测器的维数，可直接对状态函数 状态观测器的最小维数为 。 进行重构，并且称这样的观测器为函数观测器。 函数观测器的综合要复杂的多。 187 第五章 （1）给定完全能控和完全能观测的线性定常系统： 其中， 和 分别为 和 实常阵。 H C 0,(0),0xAxBuxxt yCx =+=≥ = & ,AB qn×,nnnp×× 那么，以 为重构目标的函数观测器可取为： 其中， 为 矩阵， 为 矩阵， 为 矩阵， Kx G 0,(0)zFzGyHuzz wMzNy =++= =+ & F mq×mm× mp× m为 矩阵， 为 矩阵， 为观测器的维数。NM pq×pm× 188 第五章 使函数观测器的输出 渐近趋于 ，其中 常阵 为已知，也即成立： T ()Kxt lim()lim() tt wtKxt →∞→∞ = ()wt K pn× 的充分必要条件为： （1） ， 为 实常阵。TAFTGC?= mm× （2）HTB= （3） 的全部特征值均具有负实部。F （4）MTNCK+= 189 第五章 （2）通常，如何确定函数观测器的维数 ，是一个比较 复杂的问题。 nq? 1mv=? m K 1 n× v 但是，如果所设计的是一个 的函数观测器，其中 为 维常向量，那么可取 ，这里 是 Kx 1v ? { },AC q 的能观测性指数。 当系统输出维数 比较大时，一般 远比 要 小的多，也即函数观测器的维数比降维状态观测器的维数要 小的多。 190 第五章 设计重构 的函数观测器的算法如下： 第1 步：对给定能观测被估计系统，计算出其能观测性 1v ? Kx v 第2 步：指定 个期望的函数观测器的特征值， ，它们均应是具有负实部的共轭复数或负实***121,,,vlll?L 1 *12 210 1 () v vv iv i sssslaaa ? ?? ? = ?=++++∏ L 指数 。 数，计算出其相应的特征多项式： 191 第五章 第3 步：取 [ ]100,1(1)Mv=×?L 2 012 0 ,(1)(1)0 v v IFvv aaa ? ? ?? ?? =?×? ????? M L 阵， 阵， 192 第五章 ,TTTPCR??= ??第4 步：引入非奇异变换阵 ，其中 ， 为任取，仅需保证 为非奇异，定出：rankCq= R P q 1 1 12 2122 AAAPAP AA ? ??==?? ?? q ()nq? ()nq? 1 2 BBPB B ??== ???? q ()nq? ()nq? 1 12KKPKK ? ??==?? q 193 第五章 12 22 222 122 02 vv vKKAKAKAKaaa ?? ?++++ % L 第5 步：计算 阵2 12 ,(1)(1) q vq qvqq I ILvqvq III a aa ? ? ?? ?? ?×? ?? ?? O MOO L 194 阵 12 1222 2 1222 ,(1)(1) v A AAVvqvq AA? ?? ?? ???×? ?? ???? M 第五章 195 第五章 1,11,21,1,,,vvKtttLV????=???% L 第6 步：求解方程 阵 1,1 1,2 1 1,1 ,(1) v t tTvq t ? ?? ?? ?? ?× ?? ?????? M 定出 ，且组成，1,11,21,1,,,vvttt??L 196 第五章 212 2 22 1112 2 2322 11122 1212 23 2,122 11122 1,3122 1,212 vv vvv tK tKAtA tKAtAAtA tKAtA tAAtA????? = =+ =++ =++++ LLL L 第7 步：计算 阵 2,1 2,2 2 2,1 ,(1)() v t tTvnq t ? ?? ?? ?? ?×? ?? ???? M 并组成 197 第五章 11 2211 11111 GTATAFT HTB NKMTKt =+? = =?=? 第8 步：组成 阵[ ]12,(1)TTTvn?× 计算 198 第五章 第9 步：所要设计的 维函数观测器为： 且成立： (1)v ? (1) zFzGyHu wMzNy =++ =+ & lim()lim() tt wtKxt →∞→∞ = 199 第五章 函数观测器的组成结构图如下图所示： ∫ wH F M++ zu G N + y + + 200 第五章 （3）对于函数 ，其中 为 常阵，其函数观测 器的最小维数常因具体问题的不同而不同，情况比较复杂。 1rankK = (1) K pn× 1p × 若 阵 是秩1 的，即 ，则通过表 的渐近重构函数。 Kx 1v ? 1 n× ()Kxt此时，函数观测器如 式所示，且 即为 ，其中 和 分别为 和 常向量，同样可 Kpn× K r= K 采用一个 维函数观测器来重构 。 r K ()Wtr Kx 201 第五章 5.9 引入观测器的状态反馈控制系统的特性 状态反馈：真实状态进行综合的。 观测器的建立解决了状态的重构问题。 重构状态代替真实状态会产生那些影响和问题。 u包含观测器的状态反馈系统的组成 202 第五章 维的线性定常受控系统 按照性能指标的要求，可定出状态反馈控制： n { },AC xAxBu yCx =+ = & { },AB (2)uKxv=?+ 且假定 为能控和 为能观测。 其中， 和 分别为 和 实常阵。 0 :Σ C (1) ,AB qn×,nnnp×× 其中， 为 常阵， 为 维参考输入。vK ppn× 203 第五章 为了实现状态反馈，还需要引入观测器，令所引入的为 ()nq? [] 1 12 zFzGyHu CyyxQQ Tzz ? =++ ??????== ???????????? & ) 其中， 的特征值可按要求任意配置，并有关系式： 维降维状态观测器： :obΣ (3) F 204 第五章 常阵，为 常阵， 和 分别为 ()nnq×? []1212 ,TAFTGCHTB CQQQCQTI T ?== ??=+= ???? 如下图所示。 利用 式，就可组成包含观测器的状态反馈系统。(1),(2),(3) 2Q 其中， 和 分别为 和H,FG ()nqp?× ()(),()nqnqnqq?×??× 和 常阵。 1QT nq× ()nqn?× 205 第五章 图中，状态反馈控制律中的状态 由其重构值 所代替。x)x xAxBu yCx =+ = & x)K 12 zAzGyHu xQyQz =++ =+ & ) ? +v u y 206 第五章 和 由上述关系式，可导出： 12()() zFzGCxHvHKx GCHKQCxFHKQzHv =++? =?+?+ )& 12 12() xAxBvBKxAxBvBKQCxBKQz ABKQCxBKQzBv =+?=+?? =??+ )& 207 第五章 则包含观测器的状态反馈系统的动态方程为： [] 12 0 ABKQCBKQxxBv GCHKQCFHKQzzH xyC z ??????????=+ ???????????????? ??= ???? & & 208 第五章 u包含观测器的状态反馈系统的特性 包含观测器的状态反馈系统。 （1）引入观测器的结果，提高了状态反馈系统的维数。 dim()dim()dim()oobΣ=Σ+Σ :Σ 受控系统。:oΣ 观测器。:obΣ 209 第五章 的特征值集合 （2）包含观测器的状态反馈系统的特征值集合具有分离性， Σ { }(),1,2,,;(),1,2,,iiABKinFinqll=?==?LL 即成立： 210 第五章 即状态反馈控制律的设计和观测器的设计可以独立地分开进行。 （3）观测器的引入，不影响由状态反馈矩阵 所配置的系K { }(),1,2,,i ABKinl ?=L统特征值， 。 这个性质为分离性原理。 { }(),1,2,,iFinql =?L 状态反馈的引入，不影响已设计好的观测器的特征值， 对于包含观测器的状态反馈系统，其设计可分离地来进行， 211 第五章 其中， 和 分别表示增广矩阵，增广输入矩阵和增广输 （4）观测器的引入不改变原状态反馈系统的传递函数矩阵。 C 直接状态反馈系统的传递函数矩阵为： 出矩阵。 ,AB 1()() KGsCsIABKB ?=?+ 包含观测器的状态反馈系统的传递函数矩阵为： 1()() KBGsCsIAB ?=? 则成立： ()()KBKGsGs= 212 第五章 部的 倍，即： （5）一般地说，包含观测器的状态反馈系统在鲁棒性上较 直接状态反馈系统为差。 2~3 Re()2~3Re()iiFABKll=? 通常，使观测器的特征值负实部是 的特征值负实ABK? 213 第五章 u包含观测器的状态反馈系统与包含补偿器的输出反馈系 一个引入观测器的状态反馈系统，就输出—输入关系的角 统的等价性 度而言，将可等价地化成为一个同时引入串联补偿器和并联 补偿器的输出反馈系统。 1()() oGsCsIAB ?=? x)K 12 zAzGyHu xQyQz =++ =+ & ) ? +v u y 214 第五章 上图为带有观测器的状态反馈系统，其中 K 为受控系统的传递函数矩阵。1()()oGsCsIAB?=? 观测器取为降维状态观测器： (1) 为状态反馈增益矩阵。 12 zFzGyHu xQyQz =++ =+ & ) 215 第五章 把状态反馈—观测器看成为是一个以 和 为输入而 v以 为输出的线性定常系统。 1()Gs且 和 分别为由 到 和由 到 的传 y u 2 ()Gs vu 递函数矩阵，则由 和 式，可导出： y v vKx= ) 则可得等价的输出反馈系统。 1 12()()GsKQsIFH ?=? (1) 1 221()()GsKQsIFGKQ ?=?+ 216 第五章 ()oGs v 1()Gs 2 ()Gs ? +v u y + + 化简上图得： ()oGs 1()Gs 2 ()Gs ? +v u y ? + 217 第五章 进一步化简，导出等价于带观测器的状态反馈系统的一个 同时带有串联补偿器和并联补偿器的输出反馈系统。 并联补偿器的传递函数矩阵为： 2()()PGsGs= 串联补偿器的传递函数矩阵为： [ ] 11()()TGsIGs?=+ ()oGs()TGs 2()Gs ? +v y 218 第五章（作业） 1、判断下列系统能否用状态反馈任意地配置极点： 121() 310axxu ????=+ ????????& 10010 ()02101 00200 bxxu ???? ????=?+ ??? ????????? & 219 第五章（作业） 2、给定受控系统为： 121 310xxu ????=+ ????????& * 1 2 jl =?+试确定一个状态反馈阵 ，使闭环极点配置为K * 2 2 jl =??和 。 220 第五章（作业） 3、给定受控系统为： 110 011 20 01 xxu yx ????=+ ???????? ??= ???? & * 1 2l =?试确定一个输出反馈阵 ，使闭环极点配置为F * 2 4l =?和 。 221 第五章（作业） 4、判断下列系统能否用状态反馈实现镇定： 130() 211axxu ????=+ ????????& 421() 020bxxu ????=+ ?????????& 222 第五章（作业） 5、判断下列各系统能否用状态反馈和输入变换进行解耦： 22 3 32 21()() 411 21 o sssaGs s sss ?? ??+++= + ++?? 31000 ()00110 01101 211 021 bxxu yx ???? ????=?+ ? ???????? ???= ???? & 223 第五章（作业） 6、给定受控系统为： 10010 02301 10101 120 011 xxu yx ????? ????=??+ ? ???????? ??= ???? & （1）系统是否能解耦； （2）若能解耦，定出实现积分型解耦的输入变换阵和状态 反馈阵 。{ },LK 224 第五章（作业） 7、第6 题给出的受控系统，试问： （1）能否实现静态解耦； （2）若能，定出输入变换阵和状态反馈阵 。{ },LK 8、给定线性定常系统为： [] 010 001 10 xxu yx ????=+ ???????? = & * 1 2l =?试确定其全维观测器，且规定其特征值为 和 。 * 2 4l =? 225 第五章（作业） 9、给定线性定常系统为： [] 131 212 01 xxu yx ????=+ ???????? = & * 1 3l =?试确定其降维观测器，且规定其特征值为 。 226 谢谢！请指正。