第二章
线性系统的时间域理论
第2章线性系统的运动分析
进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。
状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。
u分析分为定量分析和定性分析。
定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确
定系统由外部激励作用所引起的响应。
001
第二章
状态方程为：
运动分析的实质
定性分析：对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的
几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等，进行定性
[]000
()()
(),,
xAtxBtu
xtxttta
=+
=∈
&
分析。
0,(0),0xAxBuxxt=+=≥&或
2.1 引言
002
第二章
的解。
数学：给定初始状态 和外输入作用 ，求解出状态方程
分析：从数学模型出发，定量地和精确地定出系统运动的变
化规律，为系统的实际运动过程作出估计。
u0x
由初始状态和外输入作用所引起的响应。
系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应，但运动的形
定的。
态主要是由系统的结构和参数所决定的，即由参数矩阵所决
状态方程的解 给出了系统运动形态对系统的结构和参数()xt
的依赖关系。 003
第二章
u解的存在性和唯一性条件
状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时，对系统的运动
()At
分析才有意义。
时变系统而言，矩阵 和 的所有元在时间定义区间
上均为 的实值连续函数，而输入 的元在时间
定义区间 上是连续实函数，则其状态方程的解
存在且唯一。
这些条件对于实际的物理系统总是能满足的，但从数学的观
()Bt
()utt
()xt
[ ]0 ,tta
[ ]0 ,tta
点而言，条件太强了，将其减弱为：
004
第二章
即：
()At① 的各元 在 上是绝对可积的，
0
(),,1,2,,t ij
t
atdtijna <∞=∫ L
()ijat [ ]0 ,tta
即：
()Bt② 的各元 在 上是平方可积的，
[]
0
2(),1,2,,,1,2,,t
ikt btdtinkp
a <∞==∫ LL
()ikbt [ ]0 ,tta
即：
()ut③ 的各元 在 上是平方可积的，
[]
0
2(),1,2,,t
kt utdtkp
a <∞=∫ L
()kut [ ]0 ,tta
005
第二章
②和③等价于 的元在区间 上绝对可积。()()Btut
[][]
0
00
1
1
222
1
()()
()()
p t
ikkt
k
ptt
ikk
k
btutdt
btdtutdt
a
aa
=
=
??≤ ??
??
∑ ∫
∑ ∫∫
利用许瓦兹不等式有
[ ]0 ,tta
对于线性定常系统：系数矩阵A 和 B 均为常阵，只要其元
的值为有限值，则条件满足，解存在且唯一。
006
第二章
线性系统满足叠加原理
[ ]000(),(),,xAtxxtxttta==∈&
u零输入响应和零状态响应
运动。
初始状态 自由运动。
在初始状态和输入向量作用下的运动，分解为两个单独的分
→
→
输入作用 强迫运动。→
自由运动：系统的自治方程
00(;,,0)ttxf的解， ，零输入响应。
007
第二章
强迫运动：系统在零初始状态下的强迫方程
[ ]000()(),(),,xAtxBtuxtxttta=+=∈&
0(;,0,)ttuf的解， ，零状态响应。
0 000(;,,)(;,,0)(;,0,)ttxuttxttufff=+
系统响应：
008
第二章
00,,(0),0uxAx xt===≥&
u零输入响应
自治方程：
nn×
nn×
x n
2.2 线性定常系统的运动分析
其中， 为 维状态向量，A 为 常阵。
的矩阵函数：
22
0
11
2!!
Atkk
k
eIAtAtAtk
∞
=
=+++=∑L
称为矩阵指数函数。
009
第二章
0
lim At
t
eI
→
=
所描述的线性定常系统的零
对线性定常系统的零输入响应
结论1
基本性质
矩阵指数函数的性质和计算方法
输入响应的表达式为：
0,(0),0xAx xt==≥&
00(;0,,0),0
Attxextf =≥
①
010
第二章
tt
()AtAtAAAteeeeett+=?=?
②令 和 为两个自变量，则必成立
Ate
1()AtAtee??=
③ 总是非奇异的，且其逆为
nn×
AFFA=
④ 设有 常阵A 和 F ，如果A 和 F 是可交换的，
即 ，则必成立
()AFtAtFtFtAteeeee+ =?=?
011
第二章
t
①
Ate
AtAtAtd eAeeA
dt ==
⑤对的导数为：
计算方法：
()(),0,1,2,AtmAmteem==L
2 3311
2!3!
AteIAtAtAt=++++L
⑥对给定方阵A ，必成立：
012
第二章
则在定出使A 实现对角线化
1
1
n
APP
l
l
?
??
??=
??
O P
②如果系统矩阵A 的 个特征值 为两两相异，n 12,,,nlllL
的变换阵 及其逆阵 后，1P?
1
1
n
At
e
ePP
e
l
l
?
??
??=
????
O
有
013
第二章
1
1
1
1
2
2
1000
0100
0000
0001
0000
AQQ
l
l
l
l
l
?
??
??
=
??
??
111
11
1
22
2
2
2!
1
00
000
0000
000
0000
ttte
tt
At t
tt
t
etet
ete
eQQe
ete
e
lll
ll
l
ll
l
?
??
??
=
??
014
第二章
即
③把 表为 的一个多项式，(0,1,,1)kAkn=?L
对于A 的特征值 为两两相异的情况，
Ate
1
2
121
0 111
1 222
21
1
() 1
() 1
() 1 n
n t
n t
n t
n nnn
t e
t e
t e
l
l
l
a lll
l
a lll
??
?
?
?
??????
??????
??
????=
??
??????
???? ????
L
MMMMMM M
M MMMMM M
L
1
011()()()
Atn
netItA tAaaa
?
?=+++L
可按下式计算。
12,,,nlllL
011(),(),,()ntttaaa?L
015
第二章
④对给定 常阵A ，先求出预解矩阵，
则有
nn×
11()AteLsIA??=?
1()sIA??
u
u零状态响应
给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程
,(0)0,0xAxBuxt=+=≥&
x其中， 为 维状态向量， 为 维输入向量，A 和 B 分n
np×nn×
p
别为 和 常阵。
016
第二章
结论2 ：零状态响应的表达式为：
证：考虑如下的显等式：
()
0
(;0,0,)(),0t AttueBudttftt?=≥∫
[]
()
()
AtAtAtdd
dtdt
A At
exexex
exAxeBut
???
??
=+
=?=
&
&
0
()(0)()tAtAextxeBudt tt???=∫
对上式从0 至t 进行积分，得到
017
第二章
，等式两边左乘 ，得
证毕
(0)0x = Ate
0
()
0
(;0,0,)()
()
t AtA
tAt
tueeBud
eBud
t
t
ftt
tt
?
?
=
=
∫
∫
如 ，而 ，则
0
()
00(;,0,)(),
tAt
t
ttueBudtttftt?=≥∫
0tt≥ 0 0t ≠
018
第二章
u线性定常系统的状态运动规律
0x u同时考虑初始状态 和外输入作用 的线性定常系统的状
态运动规律，即状态方程的一般形式，
0,(0),0xAxBuxxt=+=≥&
()
000(;0,,)(),0
tAtAttxuexeBudttftt?=+≥∫
结论3 ：
或 0
0
() ()
0 00(;,, (),
tAtt At
t
ttxuexeBudttt tt? ?= ∫
019
第二章
物理含义：
系统的运动由两部分组成，
控制输入作用下的受控项。
初始状态的转移项。
2.3 线性定常系统的状态转移矩阵
由初始状态引起的运动，由输入作用引起的运动，都是一
状态转移，则可用状态转移矩阵来表征。
定义：对于给定的线性定常系统
00,(0),xAxBuxxtt=+=≥&
020
第二章
则零输入响应的表达式为：
000()(),(0),ttAt IttΦ?=Φ?Φ=≥&
0()
00(),
Attttett?Φ?=≥
00(;0,,0)(),0txtxtf =Φ≥
()(),0AttetΦ
x其中， 为 维状态向量，称满足如下的矩阵方程：n
0()ttΦ?nn×的 解阵 为系统的状态转移矩阵。
0 000(;,,0)(),ttxttxttf =Φ?≥
021
第二章
物理意义： 就是将时刻 之状态 映射到时刻
在定义时间区间内决定了状态向量的自由运动。
之状态 的一个线性变换。
0()ttΦ?
用状态转移矩阵表示的系统运动规律表达式
0t 0x t
000(;0,,)()()(),0
ttxutxtBudtfttt=Φ+Φ?≥∫
0
0 000(;,,)()()(),
t
t
ttxuttxtBudttttt=Φ?+Φ?≥∫
x
022
第二章
状态转移矩阵的性质
① (0) If =
② 1 00()()ttttff??=?
③ 202110()()()ttttttfff?=??
④ 2121()()()ttttfff+=
⑤ [ ]()()mmttff=
⑥ 由A 唯一地确定。满足唯一性。0()ttf ?
023
第二章
u脉冲响应矩阵
具有 个输入端和 个输出端的线性定常系统，系统具有零
初始状态，令在 时刻加于第 个输入端一个单位脉冲函数
，而其他输入端的输入为零，用 表
p
2.4 线性定常系统的脉冲响应矩阵
q
t j
()tdt?
示第 个输出端在 时刻的脉冲响应。
()ijgtt?
以脉冲响应 ，
i t
(),(1,2,,;1,2,,)ijgtiqjpt?==LL
为元所构成的 矩阵。qp×
024
第二章
数来逼近，即表为：
称为系统的脉冲响应矩阵。
1 121
21222
12
()()()
()()()()
()()()
p
p
qqqp
gtgtgt
gtgtgtGt
gtgtgt
tt
t
tt
?????
???
?=
?????
L
L
LLLL
L
假定系统的输出在输入加入之前的所有瞬时为零：
和()0Gt tt?=?
当输入向量的元为任意形式的时间函数时，用一系列脉冲函
t t?<
025
第二章
如
令
输出为：
()(),1,2,,jjkk
k
uuttttjpd ??=∑ L
则
()()()kk
k
ytGttutt??∑
0t?→
0
0()()(),
t
t
ytGtudttttt=?≥∫
0 0t =
则 0()()(),0
tytGtudtttt=?≥∫
026
第二章
作自变量置换 tututt?==+
通常称为卷积。
0
()()()0tytGutdtttt=?≥∫
0
0
()()()()
()()
t
t
ytGuutudu
Guutudu
=??
=?
∫
∫
027
第二章
u脉冲响应矩阵和状态空间描述
结论1 ：脉冲响应矩阵为
000(),xAxDuxtxtt
yCxDu
=+=≥
=+
&
()()()AtGtCeBDtt dt??=+?
其中，A , B , C 和 D 分别是 ， ， ，qn×np×nn×
qp× 的实值常阵。
或 ( ()AtGtCeBDtd=+
028
第二章
结论2 ： () (),()AtAtetett ftf? =?=
则()()()GtCtBDttftdt?=?+?
()()()GtCtBDtfd=+
结论3 ：两个代数等价的线性定常系统具有相同的脉冲响应
矩阵。
11,,,APAPBPBCCPDD??====
代数等价：
029
第二章
结论4 ：两个代数等价的线性定常系统的输出的零状态响应
? ()Gs
和零输入响应相同。
()Gt
u脉冲响应矩阵和传递函数矩阵
结论：用 和 分别表示给定的线性定常系统的脉
冲响应矩阵和传递函数矩阵，则两者之间成立如下的关系式：
和
[ ]?()(),0GsLGtt=≥
1 ?()(),0GtLGst? ??
??
030
第二章
一定相同，则此两系统具有相同脉冲响应矩阵（即相同传递
函数矩阵）的充分必要条件是：
DD=
(,,,)ABCD(,,,)ABCD推论：给定两个线性定常系统 和
设两者具有相同的输出和输入维数，但它们的状态维数可不
,0,1,2,iiCABCABi==L和
031
第二章
证： ()()GtGt=
11( ()CSIABDCSIABD???+=?+
或 ??()(),GsGs= 当且仅当
11223()SIAISASAS?????=+++LL
则 1223
1223
CBSCABSCABSD
CBSCABSCABSD
??
?
++++
=+ ++
L
L
s对任意 均成立，当且仅当
DD= ,0,1,2,iiCABCABi==L和
证毕。 032
第二章
u状态转移矩阵
时变系统：
其中， 为 维状态向量， 为 维输入向量， 为 维输
(),(),()AtBtCt
2.5 线性时变系统的运动分析
qy
[ ]000()(),(),,xAtxBtuxtxttta=+=∈&
()()yCtxDtu=+
出向量， 和 分别为
x n u p
()Dt ,nn×
和 的时变实值矩阵。,npqn××qp×
033
第二章
则满足如下矩阵微分方程和初始条件
的 解阵 为系统的状态转移矩阵。
u线性时变系统的运动规律
0000(,)()(,),(,)t Att ttIfff==
&
结论：线性时变系统由初始状态和输入作用同时引起的状态
nn×
运动规律表达式
0(,)ttf
[]
0
0 00
0
()(;,,)(,)
(,)()(),,t
t
xtttxuttx
tBudttta
ff
f ttt
=
+∈∫
034
第二章
零输入响应为：
[ ]0 000(;,,0)(,),,ttxttxtttaff=∈
零状态响应为：
[]
0
0
0
(;,0,)(,)()()
,
t
t
ttutBud
ttta
fftttt=
∈
∫
035
第二章
则输出响应有：
(,)()(,)()()()GtCttBDtftttdt=+?
线性时变系统的脉冲响应矩阵
[]
0
0()(,)(),,
t
t
ytGtudtttattt=∈∫
036
第二章
系统矩阵 满足下述关系式：
数。
其中 为正常数。
()(),AtAtTt=+?
物理上意味着 的每一个元均是以 为周期的一个周期函
()()
()()
xAtxBtu
yCtxDtu
=+
=+
&
T
()At
()A
T
特殊的线性时变系统，状态空间描述
u具有周期变化阵 的线性时变系统的运动分析()A
037
第二章
具有如下属性：
的一个基本解阵，则 也必是它的一个基本解阵。
()tj①设 是系统 (),()()xAtxAtAtT==+&
有且仅有 个线性无关的解，任取 个线性无关
()tTj +
xAx=&
的解，构成 矩阵函数 ，称为 的基本解
nn
阵。
()tjnn× xAx=&
A②存在一个常值矩阵 ，使成立
()() ATtTtejj+=
038
第二章
和有界，且对所有 成立：
()pt③对时变系统，设变换阵 和 在 上连续()pt&
现作变换 ，即导出
[ ]0 ,t ∞
0tt≥
hdet()0pt h>> 其中 为实常数。
()()
()()
xAtxBtu
yCtxDtu
=+
=+
&
()xptx=
039
第二章
其中：
11()()()()()()AtptAtptptpt??=+&
1()()()CtCtpt?=
()()()BtptBt=
()()DtDt=
040
第二章
矩阵 为李亚普诺夫变换阵。
之间是李亚普诺夫意义下等价的，并称满足上述条件的变换
((),(),(),())AtBtCtDt
则称系统
和 ((),(),(),())AtBtCtDt
对线性时变系统作李亚普诺夫变换其稳定性保持不变，但一
()pt
般的等价变换并不能保持这一点。
041
第二章
，其中变换矩阵取为：
1()()Atptetj ?=
④对 为周期变化的线性时变系统，作变换
其中 是一个常阵。
()A
()xpxx=
则变换后的状态空间描述具有如下形式：
1
()()
()()()
xAxptBtu
yCtptxDtu?
=+&
A
042
第二章
（b）是李亚普诺夫意义下等价的，也即（a）为渐进稳定
⑤ 为周期变化的线性时变系统（a）和变换后的系统()A
的充分必要条件为 的特征值均具有负实部。A
043
第二章（作业）
1、对于下列给出的常阵 ，定出它们的矩阵指数函数A Ate
2021()()
0302aAbA
??????==
????????
0 01()()
1 40cAdA
?????==
????????
01()
32eA
??=
??????
044
第二章（作业）
2、用三种方法计算下列矩阵 的矩阵指数函数 ：A Ate
01()
23aA
??=
??????
010
()001
6116
bA
??
??=
?????
045
第二章（作业）
3、试求出下列各系统的状态变量解 和 ：1 ()xt 2()xt
111
222
111
222
(0)0(),
(0)321
(0)0120(
(0)2301
xxxa
xx
xxxbu
??????? ??==
??????? ??????????????
????????????=+=
??????????????????????????
&
&
&
&
046
第二章（作业）
4、已知某系统的状态转移矩阵 为：()tΦ
33
33
11()()
24()
1()
2
tttt
tttt
eeee
t
eeee
??
??
??+?+
??Φ=
?++??
试定出其系统矩阵A 。
047
