第四章 线性系统的时间域理论 第4章系统运动的稳定性 系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。 稳定性是系统的另一个重要特征。 实际系统必须是稳定的。 外部稳定性:通过输入—输出关系来表征。 内部稳定性:零输入下状态运动的响应来表征。 满足一定的条件,内部稳定性和外部稳定性之间存在等价 关系。 001 第四章 连续时间系统 离散时间系统 定常系统 时变系统; 讨论内部稳定性。 李亚普诺夫方法(А.М.Ляпунов) 线性系统 非线性系统; 002 第四章 考虑一个线性因果系统,如果对应于一个有界的输入 , ()ut ()ut 必须假定系统的初始条件为零,才是唯一的和有意义的。 的,简称为B I B O 稳定。 ()yt [ )10(),,utktt≤<∞?∈∞ 即满足条件: 的输入 ,所产生的输出 也是有界的,即成立 则称此因果系统是外部稳定的,即有界输入—有界输出稳定 4.1 外部稳定性和内部稳定性 u外部稳定性 [ )20(),,ytktt≤<∞?∈∞ 003 第四章 这样的函数 称为 的范数。 K 范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。 如果 是数域 上的一个线性空间, 是任意一个向 条件: 量, 对应一个非负实数 ,这个非负实数满足下列三个x xV∈V 0x >(1)当 时, ,当 时, 。 x 0x ≠ 0x = 0x = x ,xyV∈ x (2)对任意常数 ,有 。Ka ∈ xxaa= (3)对任意向量 ,成立“三角不等式” xyxy+≤+ 004 第四章 一个元 判别准则 结论1 [ 时变系统] 均满足关系式: 0 (,)t ij t gtdktt≤<∞∫ 应矩阵,则系统为B I B O 稳定的充分必要条件是,存在一 k [ )0 ,tt∈∞ (,)(1,2,,;1,2,,)ijgtiqjpt ==LL 个有限常数 ,使对于一切 , 的每 (,)Gtt对于零初始条件的线性时变系统,表 为其脉冲响 (,)Gtt 005 第四章 首先,考虑 ,即单输入—单输出的情况。 证明:分成两步来证明 1pq== 先证充分性:已知 成立, 00 0 112 ()(,)()(,)() (,) tt t ytgtudgtud kgtdkkk tt tt tt =≤ ≤≤=<∞ ∫∫ ∫ 且任意输入 满足 0 (,)t t gtdktt≤<∞∫ 就可得到 那么利用由脉冲响应函数 表示的输出 的表达式 ()ut 从而由定义知系统为B I B O 稳定。 [ )10(),,utktt≤<∞∈∞ (,)gtt ()yt 006 第四章 证必要性:采用反证法,设存在某个 ,[ )10,tt∈∞ 使 11 00 1()(,)()(,) ttytgtudgtdtt tt===∞∫∫ 则定义如下的一个有界输入 1 0 (,)t t gtdtt=∞∫ 即 表明输出无界,与B I B O 稳定相矛盾。 1 1,,)0 ()sgn(,)0,,)0 1,,)0 t utgttt t +>? ?===? ? ?<? 1 1 1 当g(t 当g(t 当g(t 考察由它作用下所产生的输出 ,易知()yt [ ) 0 0(,),, t t gtdktttt≤<∞?∈∞∫ 007 第四章 ()yt 多输入—多输出情况 系统输出 的分量 满足关系式()iyt 0 00 11 11 ()(,)()(,)() (,)( (,)() t iiippt tt ipp ytgtugtud gtudgtud t tt t tt ??=++?? ≤++ ∫ ∫∫ L 有限个有界函数之和仍为有界,可证得此结论。 008 第四章 结论2 [ 定常系统] 均满足关系式: 0 ()ijgtdtk∞ ≤<∞∫ 为B I B O 稳定的充分必要条件是,存在一个有限常数 ,k ? ()Gs ()(1,2,,;ijgtiq= L的每一个元 0 0t =对于零初始条件的线性定常系统,表初始时刻 , ? ()Gs 或等价地,当 为真的有理分式函数矩阵时, 的 ? ()ijgs每一个元传递函数 的所有极点均具有负实部。 1,2,,)jp= L ()Gt为其脉冲响应矩阵, 为其传递函数矩阵,则系统 ()Gt ? ()Gs 009 第四章 对于线性定常系统 0x 0(0) xAxBu yCxDuxx =+ =+= & 0(;0,,0)txf ()0ut ≡如果外输入 ,初始状态 为任意,且由 引起 的零输入响应 ,满足关系式: 则称系统是内部稳定的,或称为是渐近稳定的。 u内部稳定 0x 0lim(;0,,0)0t txf→∞ = 010 第四章 另:渐近稳定的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均具有 { }Re()0,1,2,,i Ainl <=L 1 10()det() nn nssIAsssaaaa ? ??=++++ L 负实部,即 其中 为系统的维数。 当矩阵A 给定后,则可导出其特征多项式 n (0,1,,1)i ina =?L利用劳斯—霍尔维茨判据,直接由系数 来判断系统的渐近稳定性。 011 第四章 下的稳定性。 内部稳定:系统状态自由运动的稳定性,也即李亚普诺夫意义 u内部稳定性和外部稳定性间的关系 必是渐近稳定的。 稳定。 结论2:设线性定常系统是B I B O 稳定的,则不能保证系统 结论1 :设线性定常系统是内部稳定的,则其必是B I B O 性与外部稳定性必是等价的。 结论3:如果线性定常系统为能控和能观测,则其内部稳定 012 第四章 4.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念 如果为线性,则表示为: u自治系统 量状态方程来描述: 000(,),(),xfxtxtxtt==≥& t 没有外输入作用时的系统。 u受扰运动 非线性和时变情况下,自治系统用显含时间 的非线性向 013 第四章 解存在且唯一,由初始状态 所引起的运动为: 000(),(),xAtxxtxtt==≥& 等同于系统状态的零输入响应。 0x 运动的原因为以 为初始时刻的初始状态 ,且有 000(;,),xtxtttf=≥ 0t 动所引起,称为受扰运动。 0x 。由于这一运动是由初始状态的扰0000(;,)txtxf = 014 第四章 ,即状态空间的原点为系统的一个平衡状态。 则称 为系统的一个平衡状态。 0(,)0,eexfxttt==?≥& ex u平衡状态 如果存在某个状态 ,使成立 运动的稳定性,就是研究其平衡状态的稳定性,偏离平 0ex = ex 通过移动坐标系将其转换为空间的原点。 衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到 平衡状态,或者限制在它的一个有限邻域内。 015 第四章 应地存在一个实数 ,使得由满足不等式 夫意义下是稳定的,如果对给定的任一实数 ,都对 ex u李亚普诺夫意义下的稳定 表 为系统的一个孤立平衡状态,则称 为李亚普诺 0(,)0tde > ex 的任一初态 出发的受扰运动都满足不等式: 00(,)exxtde?≤ 000(;,),etxtxttfe?≤?≥ 0x 0e > 016 第四章 记为 。 以原点 为球心构造半径为 的一个超球体,其球域 ()S e e 0(,)tde则存在一个对应的正实数 ,其大小同时依赖于 ()ex 和初始时刻 ,则构造原点为球心,半径为 的另一 ()S d e 0(,)tde 超球体,球域记为 。 0t 00(;,)txtf则由域 上的任一点出发的运动轨迹 ,()S d ex 对所有 ,都不脱离域 。0tt≥ 则原点平衡状态 是李亚普诺夫意义下稳定的。 ()S e 几何含义为: 017 第四章 ()S e ()S d ()H e 00(;,)txtf 0x ex 018 第四章 d如果 只依赖于 而和初始时刻 无关,则称 是一 致稳定的。 e ≠ 定常系统:稳定等价于一致稳定。 0t 时变系统:稳定 一致稳定。 ex (1) 是李氏意义稳定的; ex u渐近稳定 一个孤立平衡状态 称为是渐近稳定的,如果: ex 019 第四章 存在实数 ,使得满足: 0m >0(,)tde(2)对 和任意给定的实数 ,对应地 0(,,)0Ttmd > 的任一初态 出发的受扰 00(;,) etxtxfm?≤ 00(,)exxtde?≤ 运动都同时满足不等式: 0x 运动的有界性。 00(,,)ttTtmd?≥+ ()S e ()S d ()H e 00(;,)txtf 0x ex 020 第四章 ()S e ()S d ()S m 00(;,)txtf 0x ex t T 运动的渐近性 021 第四章 实数 和 都不依赖于 ,则称平衡状态 是一致渐近d 0t 稳定的。 T ex 当 为渐近稳定时,必成立 0m → T →∞随着 ,则有 ex 000lim(;,)0()t txtxSfd→∞ =?∈ 渐近稳定是工程意义下的稳定。 ()S d ex 李氏意义下的稳定是工程意义下的临界不稳定,渐近稳定 的最大区域 称为平衡状态 的吸引区。 022 第四章 运动 都是有界的,且成立: 0x u大范围渐近稳定 如果以状态空间的任一有限非零点为初始状态 的受扰 00(;,)txtf 大范围渐近稳定,除了原点平衡状态外,不存在其它孤立平 大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 则称系统的原点平衡状态 是大范围渐近稳定的。0ex = 衡点。 00lim(;,)0t txtf→∞ = 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定。 023 第四章 相应的实数 ,使得由满足不等式:0(,)0tde > u不稳定 如果对于不管取多么大的有限实数 ,都不可能找到 ()S e 的任一初态 出发的运动满足不等式 0e > ()S d 平衡状态 是不稳定的。 00(;,) etxtxfe?≤ 00(,)exxtde?≤ 取得多么大, 取得如何小,必存在一个非零 0x ex 点 使得由 出发的运动轨线越出 。()S e0 ()xSd? ∈ 0x ? 024 第四章 ()S e ()S d ()H e 00(;,)txtf 0x ex 025 第四章 4.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 由常微分方程组所描述的动力学系统的稳定性分析方法归纳 分析稳定性 原非线性系统的稳定性。 → 为本质不同的两种方法。 第一法,间接法:运动方程 一次近似的线性化方程 → → 其一次导数的定号性 分析稳定性。 →第二法,直接法:运动方程 构造函数 分析它和→ → 026 第四章 其中,对一切 成立 ,即状态空间的原点t u大范围渐近稳定的判别定理 连续非线性时变自由系统 为系统的平衡状态。 0(,),xfxttt=≥& 结论1 [ 大范围一致渐近稳定判别定理] (0,)0ft= 李亚普诺夫主稳定性定理 如果存在一个对 和 具有连续一阶偏导数的标量函数x (,),(0,)0VxtVt= t 027 第四章 (1) 正定且有界,即两个连续的非减标量函数 ()xa 且满足如下的条件: 和 ,其中 和 , (,)Vxt 使对一切 和一切 成立, ()xb 0tt≥ (0)0a = (0)0b = (2) 对时间 的导数 负定且有界, ()(,)()0xVxtxba≥> 0x ≠ 即存在一个连续的非减标量函数 ,其中 0x ≠ (,)Vxt 使对一切 和一切 成立, ()xg t 0tt≥ (0)0g = (,)Vxt& (,)()0Vxtxg≤?<& 028 第四章 (3)当 时,有 即,()xa →∞ 则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。 x →∞ 充分条件,找到标量函数 (,)Vxt (,)Vxt →∞ 直观含义: 为正定有界,将其看成是一种“能量”, 而 为能量随时间的变化率,能量是有限的,而变 (,)Vxt 化率是负的,则运动必是有界的,并最终返回到原点平衡状 态。 (,)Vxt& 029 第四章 结论2 [ 定常系统的大范围渐近稳定判别定理] 对于定常系统,如果存在一个具有连续一阶导数的标量函 数 ,并且对状态空间 中的一切非X(),(0)0VxV= 零点 满足如下的条件:x (1) 为正定。()Vx (2) 为负定。()() dVxVx dt& (3)当 时,有 ()Vx→∞ 则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。 x →∞ 030 第四章 1 0x = 例:给定连续时间的定常系统: 22 12112 22 21212 () () xxxxx xxxxx =?+ =??+ & & 易知, 和 为其唯一的平衡状态。2 0x = ()Vx现取 为状态的一个二次型 22 12()Vxxx=+即 ()Vx为正定。 031 第四章 22 12xxx=+→∞当 时, 2()Vxx=→∞ 1122 2 22 1211221212 222 12 ()22 2() () 2() Vxxxxx xxxxxxxxxx xx =+ ????=?++??+???? =?+ & && 此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。 ()Vx& 为负定。 3R注:三维空间 上,向量 ,它的长度, 123(,,)xxxx= ,就是一种范数。222123xxxx=++ 032 第四章 结论3 [ 定常系统的大范围渐近稳定判别定理] 定常系统,如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数 ,并且对状态空间 中的一切非X(),(0)0VxV= 零点 满足如下的条件:x (1) 为正定。()Vx (2) 为负半定。()() dVxVx dt& (4)当 时,有 ()Vx→∞ 则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。 x →∞ 放宽条件后的结论 (3)对任意 00,((;,0))0xXVtxf∈ & 033 第四章 u李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理 结论1 [ 时变系统稳定的判别定理] 一个吸引区 ,使对一切 和一切 ,满足 对于时变系统,如果存在一个对 和 具有连续一阶偏x (,),(0,)0VxtVt= t 导数的标量函数 和围绕原点的 (1) 正定且有界; x ∈? 如下的条件: (,)Vxt ? 0tt≥ (2) 为负半定且有界。 ? 则系统原点平衡状态为 内一致稳定。 (,)Vxt& 034 第四章 结论2 [ 定常系统稳定的判别定理] 对一切 和一切 ,满足如下的条件: 对于定常系统,如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数 (),(0)0VxV = ,和围绕原点的一个吸引区 ,使 (1) 为正定; x ∈? ()Vx ? 0t ≥ (2) 为负半定。 ? 则系统原点平衡状态为 内稳定。 ()Vx& 035 第四章 u不稳定的判别定理 和一切 ,满足如下的条件: 结论:对于时变系统或定常系统,如果存在一个具有连续 (,)Vxt一阶偏导数的标量函数 或 , 和 x ∈? 0tt≥ ? 判别定理只给出了充分条件,多次试取都得不到答案,可能 为不稳定。 ()Vx (0,)0Vt= 和围绕原点的一个吸引区 ,使对一切(0)0V = 036 第四章 ()Vx ()Vx& (1) 正定且有界或 为正定;(,)Vxt (2) 也为正定且有界或 也为正定。 则系统平衡状态为不稳定。 (,)Vxt& 和 为同号时,系统的受扰运动轨线理(,)Vxt 论上将发散到无穷大。 (,)Vxt& 037 第四章 4.4 线性系统的状态运动稳定性的判据 线性系统,受扰运动即状态的零输入响应。 定常、时变,给出常用判据。 u线性定常系统的自由运动的稳定性判据 定性,由常量矩阵A 所决定。 0,(0),0xAx xt==≥& 没有外输入作用存在时的线性定常自治系统: 知 为它的一个平衡状态。原点的平衡状态的稳0ex = 038 第四章 对于线性定常系统有: 结论1:[ 特征值判据] 必要条件为:A 的所有特征值均具有非正(负或零)实部, 且具有零实部的特征值为A 的最小多项式的单根。 (1)系统的每一个平衡状态是在李亚普诺夫意义稳定的充分 根据矩阵A 的特征值的分布来判断系统的稳定性。 0ex =(2)系统的唯一平衡状态 是渐近稳定的充分必要 条件为,A 的所有特征值均具有负实部。 渐近稳定性 大范围一致渐近稳定。 →线性定常系统 稳定 一致稳定。 → 039 第四章 其平衡状态为 例:给定线性定常自治系统 2 3 0 exx x ?? ??= ?? ???? 1 2 3 100 000 000 x xx x ? ???? ????= ?? ???????? & 即,状态空间中 平面上的每一个点均为平衡状态。 其中 和 为任意数。2x 3x 23xx? 040 第四章 由 A 的特征值为 1 2 1 2 10 001 ()0 0(1)0(1) 0 00(1) 001 010(1) 001 ss sIAsssss ss s sss s ? ? ??+?? ?????==+ +?? + ?? ?? ?? ??=+ +??+ ?? 1()() det() adjsIAsIA sIA ? ??= ? 1,0,0? 041 第四章 若 是 矩阵A 的特征多项式,则nn× 1 () n i i i fbll = = ∑ 即 也是A 的化零多项式。()f l 1 ()0 n i i i fAbA = ==∑ 在 矩阵A 的所有化零多项式中,首项系数为1 ,且次nn× 数最低的称为A 的最小多项式。 可知其最小多项式为 ,所以特征值0 仅是最小多项(1)ss+ 式的一个单根。 此系统的每个平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定的,但不是 渐近稳定的。 042 第四章 线性定常系统的零平衡状态 为渐近稳定的充分必 结论2:[ 李亚普诺夫判据] 要条件,是对任意给定的一个正定对称矩阵 ,如下形式的 0ex = 对称矩阵。 李亚普诺夫矩阵方程: TAPPAQ+=? Q 有唯一正定对称矩阵解 。 () TijAaAA== P 矩阵: ,1,2,,ijjiaaijn==L如 043 第四章 二次型是实变量的一个二次齐次多项式: 定义:对于不全为零的任何实数 , 12 ,1 (,,,) n nijij ij Faxxxxx = = ∑L 则称此二次型是正定的,对应的矩阵是正定的。 12,,,nxxxL 二次型: 12 ,1 (,,,)0 n nijij ij Faxxxxx = =>∑L 044 第四章 nR 二次型的系数确定一个 矩阵:nn× 定义:设A 是实数域上的 矩阵,在 上给定内积: 1 121 21 1 n nnn aaa aA aa ?? ?? = ?? L LLM LLLM LL nn× 12(,,,) T nX xxx= L这里 1 (,) n ii i XY xh = = ∑ 12(,,,) T nY hhh= L 045 第四章 ,0nXRX∈≠设A 是 实对称矩阵,对任意 ,nn× 如果 ,则称A 为正定矩阵,(,)0AXX > 如果 ,则称A 为非负定矩阵。(,)0AXX ≥ 046 第四章 矩阵A 的所有特征值均小于负实值 , 结论3:[ 李亚普诺夫判据的推广形式] 即 s? 的充分必要条件是对任意给定的一个正定对称矩阵 ,有 2 TPAPPAQs ++=? Re(),0,1,2,,i Ainlss<?≥=L 如下的推广形式的李亚普诺夫方程: P Q 有唯一正定对称矩阵解 。 047 第四章 线性时变系统 结论1 :[ 状态转移矩阵判据] (1)系统的每个平衡状态在 时刻是李亚普诺夫意义下稳0t 平衡状态 满足 。ex 没有外输入作用存在时的线性时变自治系统 000(),(),xAtxxtxtt==≥& 0ex ≡& u线性时变系统的自由运动的稳定性判据 定的充分必要条件是存在一个依赖于 的常数 ,0t 0()kt 048 第四章 若存在不依赖于 的常数 上式成立,每个平衡状态是李k 使成立 其中 为系统的状态转移矩阵。 000(,)(),t ktttf ≤<∞?≥ 氏意义下的一致稳定的。 0t 0(,)ttf (2)系统的唯一平衡状态 在 时刻是渐近稳定的充分 必要条件是成立 ex 0t 000 0 (,)() lim(,)0 t t kttt tt f f →∞ ? ≤<∞?≥? ? = ?? 049 1k [ )0,∞在区间 上为一致渐近稳定的充分必要条 0t件,是存在不依赖于 的正数 和 对任意 和 0ex = 所有 成立: 2k 第四章 0tt≥ 0 0t ≥ 20() 01(,) kttt kef ??≤ 050 第四章 线性时变系统, 为其唯一的平衡状态, 的元均 结论2:[ 李亚普诺夫判据] 为分段连续的一致有界的实函数。则原点平衡状态为一致渐 0ex = ()At 近稳定的充分必要条件,是对任意给定的一个实对称、一致 有界和一致正定的时变矩阵 ,存在正实数 ,210bb>>()Qt 使成立 1200(),IQtIttbb<≤≤?≥ 051 第四章 如下形式的李氏方程 有唯一的实对称、一致有界和一致正定的矩阵解 ,即 0()()()()()(), TPtPtAtAtPtQttt?=++?≥& ()Pt 存在正实数 ,使成立:210aa>> 1200(),IPtIttaa<≤≤?≥ 052 第四章 4.5 线性定常系统的稳定自由运动的衰减性能的估计 趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。 线性定常系统,利用李氏判据可判断其原点平衡状态是否 这种估计不必求出自由运动的解 。 00(;,)txtf为渐近稳定,还可对稳定的自由运动,即 00(;,)txtf 一种间接估计稳定自由运动的衰减性能。 053 第四章 原点 为唯一的平衡状态,且为渐近稳定。0x = u衰减系数 零输入响应,即由任一初始状态 出发的自由运动轨线 0(;,0)txf 0,(0),0xAxxxt=≥& 线性定常自治系统 0x t,随时间 的增加而趋于原点 。0x = 054 第四章 减到零。 物理上,运动的收敛趋向于 ,相应的能量也随之衰 初始能量小,衰减速率大,收敛就快。 ()Vx& 0x = 反之收敛得就愈慢。 ()Vx李氏函数 是一种能量, 是“能量”随时间变化的速率。 055 第四章 可引入一个正实数 当系统为渐近稳定时, 为正定, 为负定,()Vx 表征系统自由运动衰减性能,称为衰减系数。 小,且 的绝对值大,则 大,变化快。 () () Vx Vxh =? & ()Vx ()Vx& h ()Vx& 反之,则 小,变化慢。h 056 第四章 则 对上式,由 到 进行积分,得0t = 000 0 0 ()1() ()() ()ln()ln()ln () ttx x Vxd dtdVx VxVx VxVxVx Vx h?== =?= ∫∫∫& 0 0()() tdt VxVxe h? ∫= t 057 第四章 取 由上式,难以直接进行估计,为此 min ()min ()x Vx Vxh ??=?= ???? & 常数 0 0()() tdt VxVxe h? ∫=代入上式, min0 min 00()()() t dt tVxVxeVxeh h? ?∫≤= 一旦确定出 ,就可定出 随时间 衰减上界。minh ()Vx t 058 第四章 出自由运动 随时间 的衰减上界。t0(;,0)txf x线性定常系统, 是 的二次型函数,因此也可定()Vx u计算 的关系式minh 线性定常系统,渐近稳定时,对任意给定的正定对称矩阵 Q ,李氏方程: TAPPAQ+=? 的解阵 存在唯一且为正定。P 059 第四章 并且, {} min ()minmin () min,1 T xx TT x VxxQx V xPx xQxxPx h ????=?=???? ???? == & 把规范化地定为: 正定,为() TVxxPx= minh 为负定,() TVxxQx=?& 几何含义是,把 规定为状态空间中,minh 的超球面上的极小点处的标量 值。 ()1Vx= TxQx 060 第四章 结论:线性定常系统,设正定对称矩阵 和 为已知, 1 minmin ()QPhl ?= 则成立: PQ 其中, 表示 的最小特征值。min ()l () 061 第四章(作业) 1、给定单变量线性定常系统: [] 0100 0010 2500510 2550 xxu yx ???? ????=+ ??? ???????? =? & (1)判断系统是否为渐近稳定; (2)判断系统是否为B I B O稳定。 062 第四章(作业) 2、判断下列系统的原点平衡状态 是否为大范围渐 12 2 2112 xx xxxx =? ? =?? ? & & 0ex = 近稳定: 3、给定线性时变系统为: 01 ,01 10 1 xxt t ?? ??=≥ ??+??& 22 11 1(,)(1) 2Vxtxtx??=++?? 判断其原点平衡状态是否为大范围渐近稳定(提示:取 ) 063 第四章(作业) 4、利用李亚普诺夫方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定: 11 , 23xxQI ???== ?????& 064