昆明理工大学：大学物理（三）：chapter15

第 15章 机械波
§ 15-1 机械波的产生和传播
§ 15-3 平面简谐波 波动方程
§ 15-4 波的能量 波动强度
§ 15-2 机械波的传播速度 媒质的弹性（自学）
§ 15-8 多普勒效应
§ 15-6 波的叠加原理 波的干射
§ 15-5 惠更斯原理
§ 15-7 驻波
教学要求
1、确切理解描述波动的物理量的物理意义，并能熟练
地确定这些物理量；
2、深刻理解平面简谐波波动方程的物理意义，并会建
立波动方程，运用它来讨论与分析波动现象；
3、理解波的能量 能流密度
4、熟练掌握波的干涉原理和干涉强弱的条件；
5、理解驻波形成条件和干涉强弱条件；
6、理解多勒效应。
导言
信号
什么方式?
信 电话 传真 …….,小纸条
一般来说，你的信息可以通过我们在这一章里将
要学到的 波 来传播。
New York
斗南村
小布什,
萨达姆
老布什, 战争
第一步, 信息战 !!!
第二步,
Q Q
波 的 类 型
(1)机械波：地震波，声波，水波,……
(2)电磁波：光，太阳，通讯 ……
(3) 引力波：
(4) 物质波：电子，原子，分子 ……
(5) 秋波, 很有意思的一瞥, 自己去实践 。
波 的 应 用
(1)能量的传播：太阳能, 激光武器, ……
(2)信息的传播：无线电通信, 雷达系统, 通讯卫星,
B-超, x-r射线,…,..
信息和能量 （ 物质的就不可以 ） 可以通
过波从此处移动到彼处做一个旅行 。
在这一章的那些特殊的例子里我们都将涉及到
机械波
§ 15-1 机械波的产生和传播
1,机械波的条件：,
两条,
(1) 必须有一个振荡的中心，
我们称其为,波源；
(2) 必须有一种媒介来传递
波，我们称其为,媒质 。
空气
信号源
在媒质里的分子在振动
2,横波和纵波
物质粒子进行着相对平
衡位置有一定位移的振荡
根据媒质中单个粒子相对于波的传播是怎样运动来
对波进行分类是很方便的：
?横波, 绳波 ;
?纵波, 声波。
粒子 波
横波,
单个粒子做与波的传播方向呈直角的上下振动,
绳
振动 波动
水波
纵波,
单个粒子沿着 （ 平行 ） 波的传播方向作前后的振
动, 称其为纵波或者压缩波 。
例如, 如图所示的声波,
密 稀
振动 波动活塞
声波
一般见到的波都可以看作是纵波和横波的合成 。
例如：
(1)水波。
(2)地震波。
其他分类：
(1)一维波：绳波 ;
(2)二维波：水波；
(3)三维波：光的闪烁。
3.波速，波长，频率
取绳波中的正弦波为例
顶部,波峰
底部,波谷
波速,扰动一
秒钟传播的距离为
波速。
V
波长,毗连的波峰到波峰 （ 波谷到波谷 ） 的距离 。?
x
y
o
波 的 形 状
?
V
一 秒
峰
谷
周期 T,波传播一个波
长的距离所需要的时
间 。
频率 ?：
T
1??
即一秒钟通过横截面的完整波形的个数 。
波的周期和频率与波源的振动周期及频率相同。
x
y
o
波 的 形 状
?
V
一 秒
峰
谷
波速：由媒质的性质
决定如空气声速不同
于钢轨中的速度
?
GV ? (固体中横波）
?
KV ? (纵波）
G为固体的切变模量,K为介质的体积模量,?为介质的密
度 。
x
y
o
波 的 形 状
?
V
一 秒
峰
谷
波长：描述波的空间
周期性，与波速和频
率满足：
???V
或
T
V
?
?
x
y
o
波 的 形 状
?
V
一 秒
峰
谷
4,一些有关波的概念
同相面：介质中各质点都在平衡位置附近振动, 我们把
不同波线上相位相同的点所连成的曲面称为同相面 （ 波
面 ） 。
平面波
波
线
波面
球面波
波前 （ 波阵面 ）,在某一时
刻, 由波源最初振动状态传
到的各点所连成的曲面, 叫
做波前 （ 波阵面 ） 。
波线：沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫做波
线。
球面波和平面波：波阵面为球面（平面）。
§ 15-3 平面简谐波的波函数
1,平面简谐波
当波源和媒质中质点的运
动为简谐运动 （ 简谐振动 ）
时, 这种波就是简谐波：
)c o s ( ?? ?? tAy
注意, 这里的 y指的是波源和媒质中的质点的位移 。
t(s)
y
o
波 源
平面波
波
线
波面
球面波
P x
A A A
如果简谐波的波前
为平面, 则这种波就称
为平面简谐波 。
在这个平面上的任意一
点的运动和 P点一致 。
选一根波线作为 x
轴, 来研究波的运
动 。
y
o
点 P
t
2,平面简谐波的波动方程介绍
在波线 ox上任选一
点 P来研究, 已知 o点
的运动方程为
)co s ( ?? ?? tAy o
P点的运动状态是由 o点的运动状态经一段时间传过来
的。
y
o x
Px
Vxt P??
V
t时刻 P点的运动
状态
时刻 o点
的运动状态 V
xt P?
与相同
经 时间达VxP
y
o x
Px
Vxt P??
V
t时刻 P点的运动
状态
时刻 P点
的运动状态 V
xt P?
与相同
经 时间达VxP
])(c o s [)( ?? ???? VxtAVxty PPo =
t时刻 P点的运动
状态
所以 t时刻 P点的运动状态为：
])(c o s [)()( ?? ????? VxtAVxtyty PPoP
因为 P为任意一点，去掉下标 P,x轴上任一点 (坐标 x）
满足：
])(c o s [ ?? ??? VxtAy
])(c o s [ ?? ??? VxtAy
y
o x
V
这就是平面简谐波的波
动方程 。
])(2c o s [
])(2c o s [
?
?
??
?
?
?
???
???
x
tA
x
T
t
Ay
对横波和纵波都适用。
此方程可以改写为：
重要性：
(1) 可以利用平面简谐波的波动方程来描述自然界里
许多类型的波；
(2)可以通过平面简谐波综合合成许多复杂的波 。
y
o x
V
])(c o s [ ?? ??? VxtAy
)c o s (
)c o s (
])(c o s [
0
0
P
P
tA
V
x
tA
V
x
tAy
??
?
??
??
??
???
???
3.对波动方程的说明：
(1)当 x是一个定值 x0 时, y是时间 t的函数, 它表示的
是在 x0 处的质点的位移 。 这也就是在 x0 处的质点
的振动方程 。
V
x
P
0??? ??
质点 P的速度为：
)s in ( PPP tAdtdyu ??? ????
y
o
点 P
t
(2) 当 t给定时, y是 x的函数, 它表示的是在 t时刻波的形状
(摄像法 ） 。
y
o x
V
时刻0t
)
2
c o s (
)c o s (
])(c o s [)(
0
0
0
t
x
A
t
V
x
A
V
x
tAxy
??
?
?
??
?
??
????
????
???
t0时刻的波形方程
o
V
t
x
y
(3) 通常,y是 x和 t的函数，它描述的是传播着的波：
t+?t
tVd ???
（ 4）前面讨论的波沿 x轴正向传播，如波沿 x轴负向传
播，如何写出相应波动方程？将上面所有方程中
的速度作以下变换：
VV ??
])(c o s [ ?? ??? VxtAy
V
y
o x
(5)已知 xP的振动方程,写出波动方程
y
o x
Px
x
Pxx?
V
)c o s ( PP tAy ?? ??
])(c o s [ PPP V xxtAy ?? ????
0?V如,波动方程?
（ 6）如何判断波线上一点某一时刻的运动方向（以
横波为例）？
o
V
t
x
y t+?t
a
b
bu
波沿 x轴正向传播
0?au
4,例题
例 15-1:如图为一平面简谐波 t=0时刻的波形图。求：
（ 1）该波的波动方程；（ 2） P处质点的振动方程。
-0.04
o x(m)
y(m)
0.20
P
smV /08.0?
解：由图可知：
5
22
5/08.0
4.004.0
??
?
?
?
??
???
??
T
s
V
TsmV
mmA
（ 1）先求 o点的振动方程,)52c o s (04.0 ?? ?? ty o
t=0时刻
??
?
?
?
0)0(
0)0(
o
o
u
y
2
?? ??
)252c o s (04.0 ?? ?? ty o
所以波的波动方程为：
]2)08.0(52c o s [04.0 ?? ??? xty
（ 2） P点（ ）的振动方程mx P 20.0?
]).xt(c o s [.y PP ???????????? ??
])..t(c o s [,????? ?????????? ??
)tc o s (,????????? ??
例 15-2:一平面简谐横波 沿 x轴正向传播, 波速为 30ms-1,波
长 5m,振幅 3cm。 取坐标原点处质点通过平衡位置向 y轴
负向运动为计时起点 。 求,（ 1） 该波的波动方程； （ 2）
x=15m处质点在 t=1s时的位移和速度； （ 3） 以 x=2m处的
B点为坐标原点写出波的波动方程 。
解：（ 1）原点的振动方程：
???? 12261 ???? TsVT
)12co s (03.0 ?? ?? ty o
由
??
?
?
?
0)0(
0)0(
o
o
u
y
2
???
]2)30(12c o s [03.0 ?? ??? xty
o x
y
PB
（ 2） x=15m处质点振动方程为：
)212c o s (03.0]2)3015(12c o s [03.0 ???? ????? tty P
)/(36.01203.0)1(,0)1(,1 smuyst PP ?? ??????? 时
（ 3） x=2m处质点 B振动方程为：
)10312c o s (03.0]2)302(12c o s [03.0 ???? ????? tty B
如果现以 B点为坐标原点，波的波动方程为
]
10
3)
30
(12c os [03.0 ?? ??? xty
例 15-3:如图为一平面简谐波原点的振动曲线, 沿 x轴正向
以速度 5m/s传播 。 试,（ 1） 画出 x=25m处的质点的振动
曲线； （ 2） 画出 t=3s时的波形曲线 。
o t(s)
y(cm)
2 4
2
解：（ 1） o点的振动方程为：
)22c o s (02.0 ?? ?? ty o
T
?? 2?
则波动方程为：
]2)5(2c o s [02.0 ?? ??? xty
x=25m处的质点的振动方程
)2c o s (02.0]2)525(2c o s [02.025 ???? ????? tty
?3?
x=25m 处的质
点的振动曲线
(2) t=3s时的波形方程：
)
10
c o s (02.0
)
10
c o s (02.0
]
2
)
5
3(
2
c o s [02.0
?
?
?
?
??
??
??
???
x
x
x
y
y(cm)
o t(s)
-2
1 3 5
sT 4?
y(cm)
o x(m)
-2
5 15 25
m20??
例 15-4:一平面简谐波 （ 横波 ） 的波动方程为：
求,（ 1） 此波的振幅, 波速, 频率和波长； （ 2） 波线上
质点的最大振动速度和最大加速度； （ 3） x1=0.2m和
x2=0.7m处质点的振动的位相差 。
)21 0 0c o s (05.0 xty ?? ??
解：（ 1）波动方程：
)]
x
t(c o s [.
)xtc o s (.y
??
????????
?????????
?
??
则：
m
smVHzmA
0.1
/505005.0
?
???
?
?
（ 2） 波线上质点的最大振动速度和最大加速度
smAAu /7.152m a x ??? ???
23222
m a x /1093.44 smAAa ???? ???
（ 3） x1=0.2m和 x2=0.7m处质点的振动的位相差
????? ?????? )(2)( 1212 xxV xx
例 15-5:一平面简谐横波 沿 x轴正向传播, 振幅 A=10cm，
园频率 ?=7? rad.s-1.当 t=1.0s时, x=10cm处的 a质点的振
动状态为, 此时 x=20cm处的质点的
振动状态为 。 设该波的波长大于
10cm。 求波的波动方程 。
0)(,0 ?? aa dtdyy
0)(,0.5 ?? ab dtdycmy
解：由题意可写出波的波动方程：
)77c o s (10 ??? ??? V xty
质点的振动速度等于：
)77s in (70 ???? ???? V xtdtdy
对于 a点，因为 t=1.0s时,所以有 0)(,0 ?? aa dtdyy
§ 15-4 波的能量 波的强度
波运动的一个重要特征就是传输能量 。 我们用能流
密度来表示波传播能量的这种特征 。
1,波的能量
取简谐纵波为例来讨论波的能量 。
在这种情况下波的方程为：
)c o s (
V
xtAy ?? ??
?=0
为了简易研究
注意图中所示的元素
S
x xx ??
S
x? yx ???
无波
有波
VmxSV ?????? ?
)s in ( V xtAtyu ??? ??????
元素的动能为
)(s in
2
1
2
1
222
2
V
x
tVA
muW K
???
???
???
张力后果
)(s in VxtV Axy ????? ??
x
y
?
?
弹性势能为
)
V
x
t(s i nVA
V)
x
y
(YW P
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
????
??
?? 2VYYV ???
总能量为
)
V
x
t(s i nVA
WWW PK
??
??
??? ????
???
评论,
(1)所选元素的动能, 势能, 总能量均以同样的方式随
时间变化：
)Vxt(s i nW,W,W PK ?? ? ????
(2) 元素的总能量并不保守；这就意味着能量从一个
元素传输到另一元素去了；
S能量 入 出 能量
o x
V
形变小
(3)当元素处于平衡位置时, 它的动能, 势能和总能
量具有最大值 。
为什么？ 形变大
(4) 能量密度和平均能量密度,
)Vxt(s i nAVWw ??? ??? ????? 每单位体积
称其为能量的密度 （ 能量密度 ） 。 对时间的平均能量密
度为：
22
2
1 ?? Aw ?
这个值取决于角频率 ?。
2,能流和波的强度 （ 能流密度 ）
S
能量
实验：测量通过一个面的能量 。
单位时间内通过一个面的能量称
为这个面的能流：
S
一 秒
对于简谐波, 在垂直于波传
播方向的区域 S上有：
VSAVSwP 2221 ????
对于单位面积来说,被称为波的强度。P
VASPI 2221 ????
用矢量来表示, 是一个矢量, 它的方向与波的传
播方向一致 。
I?
VVAI ??? 22221 ??? ??
S
能量
V
I?
VIVAIVI ?????? ?? ??? 22
频 率 振 幅 媒质的密度
高音
中音
低音
没有空气时，
声音能传播吗？
铁路 (公路 )
3,平面波和球面波的振幅
假设能量不被媒质所吸收。
平面波
波
线
波面
球面波
1A
A
2A
1P 2P
21 PP ?
AAA ?? 21
)c o s (
V
xtAy ?? ??
VSA 2221 ??
2A
1A
21 PP ?
CrArA ?? 2211
)c o s (
V
xt
r
Cy ?? ??
r
CA ?
平面波
波
线
波面
球面波
24 rS ??
4,一些基本的问题：
(1)到达地球大气层上层的太
阳光强度约为：
23 /1038.1 mW??
其中有 40%被反射回茫茫的太空
中去。
(2)人耳能感觉到的最小的声波 （ 频率为 1000Hz的声波 ）
强度大约为：
212
0 /10 mWI
?? )()(lo g10
0
10 dBI
I??
平常说话的强度与 10-6W/m2相接近，这就是 60 dB（分
贝）。
(3) 激光的强度可以达到：
218 /10 cmW?
高能激光
美国的激光武器
1,Christian Huygens(惠更斯 ),1629~1695
§ 15-5 惠更斯原理及其应用
荷兰物理学家、数学家和天文学家；
1656年制成了第一座机械钟；
1678年, 光论）提出了光的波动学
说，建立了著名的惠更斯原理，成
功地解释了光的直线传播；
1665年发现了土星的光环和木星的卫星
（木卫六）。
2.惠更斯原理
惠更斯观察到在典型的波运动中每一个质点
的振动都是由其 临近的质点 带动的 。 于是
他就假定在波阵面上的每一个点都充当了新
的波源发射出了第二级子波 。
波源 次级波源
横波的念
球模型
波 波
惠更斯原理,
(1) 媒质中波动传到的各点
(波前 )都可以看作是新的次
级波源 ;
(2)这些次级波源发射与 原
波相同 (速度,波长 ….)
的次级子波 ;
(3)其后任意时刻这些次级
子波的前方 包迹 就是新的
波阵面,
平面波
·
u ? t
波传播方向
球面波
t + ? t
平面波
·
u ? t
波传播方向
?
问题, 如果说波阵面上每个的质点都向周围发射着
振幅相等的子波，可为什么没有后退的波？
大约在 1851年时，菲涅耳认为
子波的振幅不是在所有的方向上
都一样的，而且 惠更斯子波振
幅的变化遵循一个要素：
没有后退波
??
?
?
?
w hen
w hen 0
??
???
0
2c os1 ?
3.波的衍射
波在传播过程中遇到障碍物时, 能够绕过障碍物的边
缘, 在障碍物的阴影区内继续传播, 这种现象叫做波
的衍射 。 波
是或不是障碍物
光
波会绕过障碍物,继续在媒质中传播,且到达沿
直线传播所不能到达的区域,这种波传播偏离直线
的现象叫波的衍射现象或绕射现象,
所有类型的波都能展现衍射：
??d?,最 显著
这里 d是障碍物（或开口）的大小
?<(<<)d?,不明显
再亲我
多一点 !
嘘 !
没有不透风的墙 ! 隔墙有耳 !!!
例如：
m1~声音?
容易发生衍射。(1)声音,
(2) 水波,
(3) 光, 波长小, 不容易展示出衍射来 。 我们将在
第 18章里学到光的衍射 。
惠更斯原理：能够对波的衍射做一个
好的解释。
3.波的反射与折射
反射与折射也是波的特征，当波传播到 两种介质
的分界面时,波的一部分在界面返回，形成反射
波，另一部分进入另一种介质形成折射波。
用作图法求出折射波的传播方向
BC=u1(t2-t1)
AE=u2 (t2 - t1)
折射波传播方向
· ·
媒质 1
媒质 2
·A C
i
1
i2
t1
t2
B
E波的折射定律
2
1
2
1s i ns i n uuii ?
i1--入射角,i2--折射角
※
(自学 )
§ 15-6 波的叠加原理和波的干涉
1,波的叠加原理 (波的独立传播原理 )
在很多时候会出现两列波在
同一种媒质里相遇的情况 。 它
们相遇时会发生什么情况呢？
许多人造卫星发送讯息
到地球表面上来 。
总经理 总书记
有两个问题必须回答,
(1)两种或多种波在同一种介质中是怎样传递?
(2)有多钟波在一种介质中传递,介质粒子 怎样 反应?
波的叠加原理：
当几列波在同一介质中传播时,
(1)各列波仍保持原有的特性不变,按照原来的方
向继续前进,就象没有遇到其他的波一样 ;
(2)在其相遇区域内,任一点的振动为各个波单独
存在时在该点引起的振动的矢量和,
21 yyy ??
相遇之前
相遇
相遇之后
2,波的干涉
通常，任意波的叠加结果形成复杂的振动。 (大
街上的噪声,真让人心烦 ).
相干波,
两个频率相同, 振动
方向相同, 初位相相同
或保持恒定的两个波源
发射的波称为相干波；
这两个波源称为相干波
源 。 播音室
9.11 事件
9.11 事件
两列相干波相遇，会发生什么？由于两列波引起
质点振动，因各质点的空间位置不同，有的点的合振
动的振幅最大（加强），有的点合振动的振幅最小
（减弱），这样形成一幅稳定的‘图样’，这种现象
叫波的干涉。
播音室
9.11事件
9.11事件
强
弱
哪里?
)tc o s (Ay o ??? ?? ??
)tc o s (Ay o ??? ?? ??
设两相干波源的振动,
它们的波动方程为
])(c o s [ 1111 ?? ???
V
rtAy
])(c o s [ 2222 ?? ???
V
rtAy
P1S
2S
1r
2r
P1S
2S
1r
2r
对于 P点,
]c o s [ 1111 ??? ???
V
rtAy
P
]c o s [ 2222 ??? ???
V
rtAy
P
合振动为,
)c o s (11 ?? ???? tAyyy PPP
这里
??c o sAAAAA ?????? ????
??????
??
??
????? rr
讨论,
(1) P点的振幅由 决定。12 rr ?
?????
12
12 2
rr ?????
因此，不同的点有不同的振幅。
(2) 当 P点有：
.....2,1,022 1212 ???????? kkrr ??????
合振动的振幅有最大值：
21 AAA ??
干涉极大
(3) 当 P点有：
.....2,1,0)12(2 1212 ????????? kkrr ??????
合振动的振幅有最小值：
21 AAA ??
干涉极小
（ 4）特例,21 AA ?
]2,0[ 1AA ?
有些点不动（ A=0），有些点振动最强（ A=2A1),形
成一定的稳定分布，即 干涉图样 。
（ 5）特例,?? ???
?
?
?
??
?
?
???
??
???
...2,1,0
2
)12(
...2,1,0
2
2
12
kk
kk
rr
?
?
?
极大
极小
这里 ?是两列波到 P点的距离之差（路程差） 。
?
?
?
?
?
极小数倍路程差等于半波长的奇
极大数倍路程差等于半波长的偶
点P
实验, 声音
接收器
1S 2
S
转移(1)
(2)共鸣管实验,
例 15-6,设 P点到波源 S1和 S2的距离相等,若 P点的振幅为
零,则由 S1和 S2分别发出的两列简谐波在 P点引起的两个
简谐振动应满足什么条件?
解,因为 r1=r2 和 AP=0,S1和
S2分别发出的两列简谐波
在 P点引起的两个简谐振
动应满足,
1S
2S
P
r?
r?
(1)振幅相等 (A1=A2); (2) 振动方向相同 ;
(3)频率相等 ; (4) 初位相差, ??? )12(12 ???? k
§ 15-7 驻波 (固定波 )
1.驻波
(1) 乐器和一种特殊类型的干涉有着很重要的关系,
就是两列在相反方向上传播的波的干涉 。
V V
(2)物理实验, 共鸣管和绳波 ?两列振幅
和频率均相同的波, 沿相反的方向在一条
直线上传播就形成了驻波 。
A
B
条件, 适当的距离 AB(试推出 ).
波节,始终静止不动,
波腹,振幅最大,
看不见‘波传播’
驻波
波源 反射
波节
波腹
A B
NO
2.形成波节和波腹的条件：
举个简单的例子：考
虑两列有着相同频率和振
幅的简谐波沿着一条直线
传播,)(2c o s2 ??? xtAy ??
)(2c o s1 ??? xtAy ??
txAyyy ??
?
? 2c o s2c o s221 ???
合成的波就为（适合这条线上的所有质点的方程）
V<0
V>0
txAyyy ??
?
? 2c o s2c o s221 ???
这个方程没有描述传播着的波, 因为它不是波动方程的
形式 。
当 x给定为 x0时,它就为一个用振幅来表示的振动方程。
?
? xAxA 2c o s2)( ?
即,
)2c o s ()( ??? ?? txAy
??
?
?
?
?
?
????
???
02c os2
002c os2
xA
xA
重要特点, 满足下式的点,因振幅为零,则始终不动
02c os2 ??? xA
没有信号和能量传递
驻波
波源 反射
A B
4)12(02c o s2
?
?? ????? nx
xA 波节
212c o s2
?
?? nx
xA ???? 波腹
4)12(
???? nx
2
?nx ??
成立条件, 对上面用的方程形式 !!!
重要结论,
2
?
2
?
4
?
(1)两相邻波腹或波节之间的距离为 ;
2
?
(2) 一波腹与相邻波节之间的距离为 ;
4
?
(3)两相邻波节之间的点振动位相相同 ;
(4)两相邻波节之间为一段,则两相邻段振动位相相反 ;
普遍成立 !!!
波源
反射
A B
(5)B点为波节,表明反射波与入射波位相相
反,振动相位突变 ?,这等价于半个波长,
这现象叫半波损失,
波节
3.波在两媒质界面的反射,
波速媒质的密度波阻 ??
媒质 1
媒质 2
波垂直入射到两界面,
(1)如果波从波阻小的媒质
反射回来,在反射出反射波
与入射波的位相相同 ;
(2)如果波从波阻大的媒质反射回来,在反射出反射
波与入射波的位相相反,有半波损失 ;
(3)如果波从波阻很大的媒质反射回来,反射波的振
幅与入射波的振幅近似相等 (即等能量没有损失 ).
例 15-7,两列相干波 (振幅相等 ),相向在同一条直线上传
播 (x 轴 ),已知 x=0处为波节,写出波腹点和波节点的坐标,
o
波节
解,
2
?nx ??
波节
4)12(24
??? ?????? nnx
波腹
例 15-8:设沿弦线传播的一入射波的表达式为,
波在 x=L处发生反射,反射点为固定端如图,设波在传
播和反射过程中振幅不变,试写出反射波的表达式,
])(2c o s [ ??? ??? xTtAy 入
解,反射波来自反射点
B,B点相当于‘波源’,
波源 B的振动方程,
入射 反射
B
x
y
x
L
L-x
]
2
2c o s [
])(2c o s [
?
?
???
??
?
?
L
T
t
A
L
T
t
Ay B
????
????
半波损失
]
4
)(2c o s [
]
2
)(2c o s [
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
Lx
T
t
A
LxL
T
t
Ay
?????
???
?
??
反
入射 反射
B
x
y
x
L
L-x
反射波的波动方程为,
§ 15-8 多普勒效应
1.Christian Doppler,1803~1853
奥地利物理学家，主要贡献：多普勒效应。
多普勒效应有十分广泛的应用：（ 1）宇宙学
（宇宙大爆炸 )；（ 2）原子光谱分析； (3)航空和
航天，飞行器的导航；（ 4）速度测量 ……….,。
雷达
2.多普勒效应 （特别对：声波和电磁波）
昆明站
61次
62次
昆明站
波源或观察者或两者都相对于介质运动, 那么就会出
现多普勒效应：观察者接收到的频率与波源发出的频率就
不同 。
(1)波通过媒质的波速是由媒质决定的；
注意,
(2) 单位时间里 观察者观测到的 频率是波全部频率
的一部分 。
波源
观察者
x
sV oV
波源相对于媒质的速度。 观察者相对于媒质的速度。
两者大于零，表沿 x轴正向运动；
两者小于零，表沿 x轴负向运动；
以下分几种情况讨论机械波的多普勒效应：
（ 1） 00 ??
os Va n dV
波源
观察者
x
频率 ?，周期 T
这完整的波形 T时间通过
V
?
? V
T
?? 1
等于波源的振动频率！
（ 2） 00 ??
os Va n dV
设这完整的波形通过观察者的时间为 T?
TVVTTV o ???? T
VV
VT
o?
?? ?? V VVT 01 ?????
波源 x
波源
观察者
x
V
V
TVo ?
VT
TV ?
oV 感觉
（ 3） 00 ??
os Va n dV
波源在 T时间发射一完整的波形：
TV s??? ?? ??? sVVV ??? ??
sVV
V
??
?
波源
观察者
x
V
sV
?
波源
观察者
x
V
??
TVs
波形变
（ 4） 00 ??
os Va n dV
波源
观察者
x
V
??
TVs
波形变
sV
oV
运动观察者对因波源运动而 变形 的波的 感觉 的频率为：
??
s
o
VV
VV
?
???
讨论,
??
s
o
VV
VV
?
???
(1)波源和观察者的速度在公式中，位置不对称；
为什么?
(2)如果,上式不成立，对应什么情况？VV ?0
(3)如果,,对应什么情况？这就表示波
源的运动和其波前同步；
VVs ? ????
波源
当波源的速度超过声速后将会发生什么事情？
例如, 超音速?
冲击波
So
c
V
c
V
?
?
?
c o s
1
1
2
2
?
?
?
V,波源与观察者相对速度的绝对值 （ 电磁
波的传播不需要媒质, 不存在一个绝对坐
标系 ） 。
（ 4） 光波的多普勒效应 观察者
波源
?
V
c,光速