Chapter 20 Quantum Theory of The Atoms
原子的量子论
§ 20-6 The infinite Potential Well
一维无限深的势阱
Introduction 引言
§ 20-1 Atomic Spectra 原子光谱的规律性
§ 20-2 Bohr Model of Hydrogen Atom
玻尔的氢原子理论
§ 20-3 De Broglie’s Postulate and Matter
Waves 德布罗意波 粒波二象性
§ 20-4 The Uncertainty Principle
不确定度关系
§ 20-5 The Wave Function and Schrodinger
Equation 波函数 薛定谔方程
3、不确定关系、了解波函数及其统计解释，了解一
维定态薛定谔方程。
2、了解德布罗意的物质波假设及电子衍射实验理解
光和实物粒子的波粒二象性。
1、理解氢原子光谱的实验规律及玻尔氢原子理论,
并了解此理论的意义及其局限性。
教学要求
Introduction 引言
1.重要的历史人物
1） J.J,Thomson（汤姆孙）和 G.P,Thomson(英国）
2） E.Rutherford（卢瑟福）（英国）
3） N,Bohr（玻尔）（丹麦）
4） L.Broglie（德布罗意）（法国）
5） W.K,Heisenberg（海森堡）（德国）
6） Paul Dirac（狄拉克）（英国）
7） W.Paul（泡利）（奥地利）
8） E.Schrodinger（薛定谔）（奥地利）
2,原子
电子的发现，标志着人类迈进了微观世界 -----原子
的世界 ---------遵循什么样的规律？
电子
量子力学 微观世界的‘牛顿力学’！！！
3.基本问题
原子
电子 +？
电子带负电，质量大约
为最轻的氢原子的二千
分之一！！
电中性
问题一：肯定有带正电的‘物质’，原子的质量是
如何分布的？
问题二：肯定有带正电的‘物质’，原子的电荷是
如何分布的？
4.两个重要的原子模型：
1）汤姆孙的葡萄干模型
2）卢瑟福的原子核模型
原子结构的行星模型
电子
§ 20-1 Atomic Spectra of Hydrogen 氢原
子光谱的规律性
1,Atomic Spectra 原子光谱：
发射光谱：物质发射电磁波，形成的叫发射光谱。
吸收光谱：当电磁波通过
物质，一些波长的电磁波
能被物质吸收，形成吸收
光谱。
实验证明：发射谱与吸收谱相对应；原子的光谱
随原子的不同而不同，成为识别原子的特征标。
原子光谱的重要特征：线状光谱
十九世纪后半叶,很多科学家都在寻找谱线的规
律,1885年巴尔末 (J.J.Balmer,1825—1898,瑞士一中
学教师 )发现了氢原子光谱在可见光部分的规律 （ 1884
年 6月 25日 ）,即
2.氢原子的 光谱规律
? ?波数?,5,4,3,1
2
11
22 ???
??
?
? ??? n
n
Rv
?
常数 R叫里德伯常数：
1710097.1 ??? mR
后来发现氢原子光谱线的波长可由下列一般公式给出：
整数fi
if
nn
nn
Rv ???
?
?
?
?
?
?
???,
111
22?
相同的谱线组成一谱线系，主要有：fn
1）,赖曼系 Lyman series:1?
fn
整数,...3,2,1
1
11
22 ??
?
?
?
???
?
??? i
if
n
n
Rv
?
紫外区
2）, 巴尔末 Balmer series:2?fn
3） 帕邢系 Paschen series:3?fn
整数,...,n,nRv i
if
?????
?
?
???
? ?
?????? ??? 可见光区
整数,...,n,nRv i
if
?????
?
?
???
? ?
?????? ???
红外光区
4）,布喇开系 Bracketl series:4?fn
5）,普芳得 Pfund series:5?fn
整数,...,n,nRv i
if
?????
?
?
???
? ?
?????? ??? 红外光区
整数,...,n,nRv i
if
?????
?
?
???
? ?
?????? ??? 红外光区
原子光谱的线状性是原子内部电子运动的反
映，这种不连续性意味着什么呢？
如果原子中的电子（如氢原子的电子）运动
满足经典的理论，光谱应是什么？
原子坍塌连续谱
电子
1,N,Bohr（玻尔）（丹麦）
§ 20-2 Bohr Model of Hydrogen Atom 玻尔的
氢原子理论
1885~1962,J.J,Thomson汤姆孙和 E.Rutherford卢瑟福的学生,
对卢瑟福的有核原子模型产生极大的兴趣 。 1913年先后发表, 论原
子构造和分子构造,, 1922年获诺贝尔物理学奖, 1937年访问过中
国 。 主要贡献：
1） 玻尔的氢原子理论, 为量子力学
的创立做出很大贡献；
2） 哥本哈根理论物理研究所和哥本
哈根学派的创始人, 培养了大批的
杰出物理学家；
3）核物理：参加了美国的原子弹制造；
4）爱争论：玻 ------爱争论。
2.玻尔的氢原子理论
轨道
轨道
1）三点假设：
（ 1） 原子中存在一些稳定的轨道,
电子只能在这些轨道上在静电力的作
用下按经典力学规律运动, 但不发射
电磁波 。 这些轨道称为原子的定态,
具有恒定的能量, 称为能级；
（ 2）电子在这些轨道上作圆周运动，其角动量不
能取任意值，由下式给出：
....,,nhnm VrL ??????? ?
将量子概念第一次引入原子世界；
（ 3）当原子（电子）从能量高的定态（激发态）跃迁
到能量较低的定态，将发射光子，光子的能量等于：
fi EEhE ??? ?
iE
fE
h
EE fi ?
?? ?
2）几点结论：
r
r
mV
r
e ?
?
?
?
??? ???
....3,2,12 ?? nhnm V r ?
从下列方程,设为静止
?
??
???
me
hnr
n ?
?
hn
eV
n
?
?
?
?
?
要求会推导！！！
显然，有：
（ 1）电子运动的轨道半径：
12 rnrn ?
称为第一玻尔半径；
m
me
hr 10
2
2
0
1 1053.0
????
?
?
分立值
（ 2）电子的运动速度：
n
VV
n
1?
分立值
其中 为第一玻尔轨道上电子的运动速度，等于：1V
???
?
?
? ???????? ms.h
eV
?
3）能级：取无限远处为电势能零点，有电子（原子
系统）的能量为：
?
?
???
?
?
?
?
??
??
n
E
hn
me
EEE Pkn
?
nE?
nE
eVE 6.131 ??
…..
1?n
2?n
3?n
??n
能级图
eV6.13?
eV4.3?
eV5.1?
0
基态
第一激发态
第二激发态
其中 为第一玻尔轨道上的能量：
1E
能量是量子化的！！
4）电子从能量高的激发态跃迁到能量低的态，发
射的光子的频率为：
???
?
???
? ????
2232
0
4 11
8 if
fi
nnh
me
h
EE
??
光子
iE
fE显然：
17
32
0
4
10097.18 ???? mchmeR ?理
与实验值完全吻合。
5） 电离：当电子吸收能量, 可
从一个低能态跃迁到高能态,
如吸收的能量足够大, 可使电
子脱离原子, 这过程叫电离 。
从一个定态电离电子所需的能
量称为该态的电离能：
)(6.13 2 eVnEEI nn ??? ?
?
n
吸收能量
对于基态，电离能为 。eV6.13
6）用能级公式说明氢原子几个谱线系是哪些能级之
间跃迁形成的？
3.玻尔氢原子理论的缺陷
1）理论本身为大杂烩！
2）只能给出光谱的频率，但对强度无能为力！
3）不能推广到多电子原子！
4）人为引入轨道及轨道满足的条件！
玻尔原子理论的意义在于：
1)揭示了微观体系具有量子化特征 (规律 ),是原
子物理发展史上一个重要的里程碑,对量子力
学的建立起了巨大推进作用。
2)提出, 定态,,“能级,,“量子跃迁, 等概念，
在量子力学中仍很重要,具有极其深远的影响
。
§ 20-3 De Broglie Postulate 德布罗意
波 波粒二象性
1.德布罗意
Louis Victor de Broglie,
1892~?,法国物理学家 。
1924年 在他的博士论文中提
出物质波概念, 1929年获得
诺贝尔物理学奖 。 主要贡献：
提出物质波, 促进了量子力
学的创立 。
2,De Broglie’s Postulate 德布罗意假设：
所有具有动量 P和能量 E
的物体客体, 如电子, 原子,
中子等, 都具有波动性 。
叫波 --粒二象性！！
白骨精
粒子性：
E
P
能量：
动量：
波动性：
?
?
波长：
频率：
客体
mV
h
P
h
h
E
??
?
?
?
德布罗意公式
注,m为运动质量，当 V<<c时，可忽略相对论效
应。对静止质量为零的粒子，如光子和中微子，
动量 P的计算需用相对论公式。
关系？
例 1：计算电子经过 和 的电压的加速
后的德布罗意波长。
VU 1001 ? VU 10001 ?
U
?
解：加速的电子速度小小于
光速，可用经典力学计算电
子加速后的动量：
eUmP ?2
2 e m UP 2?
因此有：
??
?
?
????
VU
VU
e m U
h
P
h
1 0 0 01 2 3.0
1 0 023.1
2 当埃
当埃?
与 x射线的波长相当，因此一般较难观测到电子
的波动效应（如干涉、衍射）。
2.德布罗意假设的实验证明
实验上如何观测微观粒子的波动性？
晶体晶格之间的距离约为 ~10-10米, 可利用它观测
x射线的电子拨的衍射现象 。 如图两相邻晶面的距离
为 d。
d
?
如波程差满足：
??? kkd ?? 22s in2
反射线将加强, 干
涉极大, 称为乌利
夫 ---布喇格 (小 ） 公
式 。
W.H,Bragg:1862~1942,W.L,Bragg,
1890~1971,英国物理学家，父子俩
因为用 x射线分析晶体结构，共享
1915年诺贝尔物理学奖。
1）戴维森 —革末实验
d
?
加速的电子束
em V
h
2
??
Vem
khkd 1
2
s in2 ?? ??
X 射线
准直缝 晶体
劳厄斑2） G.P.汤姆孙（ J.J.汤姆孙 )电子衍射实验
电子束
C.J.戴维孙 (美国）和 G.P.汤姆孙（英国）共同获得
了 1937年 诺贝尔物理学奖。
结论：这些实验，不但证明了电子具有波动性，而且
还证明在数量上证明了动量与波长满足 德布罗意关
系。 实验还进一步证明，一切微观粒子都
具有波粒二象性 。
问题,德布罗意物质波究竟是一种什么样子的波？
它满足怎样的波动方程？
或者说：具有波粒二象性的微观粒子，它
们遵循什么样的物理规律？
这个问题的解决导致量子力学的诞生！
?
量子力学
§ 21-4 不确定关系 （ 测不准关系 ）
1,W.K.海森伯
W.K,Heisenberg,1901~1976
年，德国物理学家,1932年获得
诺贝尔物理学奖。主要贡献：
（ 1）量子力学第一有效形式 -
-----矩阵力学的创建者；
（ 2） 1927年得出测不准关系；
（ 3）在量子场论和基本粒子
物理方面做出很多贡献。
经典粒子 一定的轨道、位置、动量等
微观粒子 具有波粒二象性！！
下面我们将看到对于具有波粒二象性的微观粒子，
不可能同时准确确定粒子的位置和动量 -----测不准关
系！！
2.测不准关系（以一个实验来说明）
如图，做一个实验来测定粒子的 x坐标：
P
)( VorP
d
V
dt ?
x?
结果怎样呢？
轴x
轴y
P
P
h??
d
x?
1?
轴x
轴y
将电子束看成波，则经过狭缝，偏离直线传播，达
到直线运动不能达到的地方。以第一级衍射极小看，
偏离中心的距离为：
mV
h
P
hx
dd
????
??
??
??
1
110
s in
s int a n?
x m V
dh
??0?
将电子束看成粒子流, 经过狭缝, 偏离直线运动,
达到直线运动不能达到的地方, 说明经过狭缝, 电
子在 x轴方向有动量, 且在 。 因此有：],[ xx PP ???
V
d
m
PtV x
x
???
m a xm a x?
有 x方向动量
P
d
x?
轴x
轴y)( VorP
V
dt ?
显然：
0m a x ?? ?
x m V
dh
V
d
m
P x
?
???? 0m a x ??
hPx x ???
将 和 理解为电子在狭缝处 x坐标与 x方向动
量的不确定量 。 上式表明：在狭缝处欲准确测定电
子的 x坐标 （ ）, 那 会非常大 （ 衍射越
显著 ）, 反之, 增大, 就变小 （ 衍射不明
显, 接近直线运动, x 方向动量为零 （ 定值 ） 。
x?
0??x
x?
xP?
xP?
xP?
结论：不能在同一时刻准确测定粒子的位置和动量，
它们的不确定量满足：
?
?
?
?
?
???
???
???
hPy
hPy
hPx
y
y
x
称为海森堡测不准关系 （ 量
子力学可严格证明 ）, 更准
确的形式应为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
2
2
2
?
?
?
y
y
x
Py
Py
Px
?2
h??
注意：
（ 1） 测不准关系不是说不能准确测定粒子的位置和动
量, 而是说不能同时准确测定；
（ 2） 测不准关系不是指 测量手段 不高明而不能准确
测定粒子的位置和动量, 而是说粒子波粒二象的反映；
（ 3） h是一个非常小的量, 对宏观物体, 测不准关系带
来的限制可安全的忽略不计；但对微观粒子, 如原子中
的电子：
smVPmx xx /10~
10
~10~ 61010 ????? ?? ?
与第一玻尔轨道上电子运动的速度相当，说明原子中
的电子完全不能用经典的概念如轨道来描述，而应寻
找新的物理定律。
1,Quantum Mechanics 量子力学
量子力学建立于二十世纪二十年代, 是所有微
观, 低速现象所遵循的规律, 不仅应用于原子物理,
也应用于分子物理, 原子核物理以及宏观物体的微观
结构的研究, 可谓微观世界的牛顿力学 。
历史上：
波动力学 量子力学 矩阵力学
等价！薛定谔 海森堡（ 25岁）
§ 20-5 Wave Function and Schrodinger
Equation 粒子的波函数 薛定谔方程
2,薛定谔和玻恩
E,Schr?dinger(薛定谔 ),1887~1961,奥地利理论物
理学家。 1925~1926年创立波动力学（量子力学的
一种形式）并证明与海森堡创立的矩阵力学是等价
的,1933年获得诺贝尔物理学奖。主要贡献：
（ 1）波动力学；
（ 2）, 生命是什么 ----
活细胞的物理面貌,,
现代分子生物学的先
驱。
Max Born( 玻恩 ）,
1882~1970,英籍德国理论
物理学家, 量子力学 （ 矩
阵力学 ） 的 奠 基 人 之 一
（ 海森堡的老师 ）, 提出
了 波 函 数 的 统 计 解 释,
1954年获得诺贝尔物理学
奖 。
3,波函数和薛定谔方程
薛定谔 （ 与经典波类比 ） 提出用物质波的波函
数来描述粒子的运动状态, 一般用 ?表示, 为空间
和时间坐标的函数 。 对一个粒子, 即：
),,,( tzyx???
通常为一个复函数。
对于一个在势能为 U的力场中运动的粒子，
波函数由什么方程决定？ 1926年薛定谔给出一个
波函数满足的方程 --------薛定谔方程。
薛定谔方程：质量为 m在势能为 U的场中运动的
粒子，波函数满足：
t
iU
m ?
????
???
?
???
? ??? ?? 22
2
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
薛定谔方程
如果 U不显含时间，可令：
?/),,( iE tezyx ??? ?
有：
?? EU
m
???
?
?
???
? ??? 22
2
?
称为不含时间的薛定谔方程 。 波函数 ?叫定态波函数 。
E值称为粒子 （ 体系 ） 的能量本征值 。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，量子力学对
于粒子（系）运动的研究最后归结为求各种条件下薛
定谔方程的解。下一节，我们将以一维无限深势井为
例介绍如何求解薛定谔方程及其基本结论。
r
设为静止例：氢原子
选无限远处为势能的零点，有：
222
0
2
0
2 1
44 zyx
e
r
eU
??
????
????
??
??
E
r
e
m
???
?
?
???
? ???
0
2
2
2
42
?
有解析解
4,波函数的统计解释：
薛定谔引入的波函数代表什么？或波函数的物
理意义是什么？
如图，玻恩是这样解释波函数的意义：
dVdVdV ?????? 2*
为在 dV中发现粒子的几率,
或粒子出现在 dV中的几率 。
这里,dV
),,,( tzyx?
叫几率密度。因此，物质波（德布罗意波）是几率波。
?? ???
?? EU
m
???
?
?
???
? ??? 22
2
?
dV
),,,( tzyx?
波函数应满足的条件：
不是数学上满足薛定谔方
程的解，都有实际的物理意
义。因此波函数应满足一定
的基本条件：
（ 1）归一化条件：
1* ??????
V
dV
即在粒子活动的整个空间找到粒子的几率为 1。
（ 2）波函数描述粒子的行为，它具有明确的物理意
义，这就要求波函数必须满足：
单值、连续和有限！！
§ 20-6 The Infinite Potential Well
一维无限深势阱中的粒子
1.一维无限深势阱
如图，质量 m的粒子在势
能函数为：
?
?
?
???
??
?
axan dx
ax
xU
0
00
)(
由于图形像“陷阱”，故这
种势能分布叫势阱，因深无
限（理想），称为一维无限
深势阱。
0?U
U? ?
o x
m
a势阱宽度
2.薛定谔方程及其解
??
?
?
?
???
????
axorxx
axxE
dx
xd
m
00)(
0)(
)(
2 2
22
?
?
??
在势阱内，方程可变形为：
0)()( 22
2
?? xkdx xd ??
2
2
?
mEk ?
容易求得其通解为：
kxCkxCx c o ss in)( 21 ???
0?U
U? ?
o x
m
三个待定常数，由连续性得
00)0( 2 ??? C?
a
n
knka
kaa
?
?
?
????
??? 0s in0)(
因此：
xanCxn ?? s in)( 1?
归一化条件：
1ds in0 221 ?? xxanC a ?
aC
2
1 ?xa
n
a
xn ?? s in2)( ?
0?U
U? ?
o x
m
由 k的值，可求出能量 本征值：
2
2
2
2
2
22
82 nma
hn
maE n ??
??
3.结论：
（ 1） 能量本征值只能取离散的值, 这叫能量的量
子化, 整数 n叫量子数 。 这是 薛定谔方程 自然给
出的, 是微观世界的普遍现象 ?量子化现象；
（ 2）每一个可能的能量值 叫能级，相应的波
函数 称为能量本征函数（见书上 275页的
图）；
nE
n?
（ 3）粒子在无限深势阱中的最小能量为
2
2
1 8 ma
h
E ?
意味着粒子永远不可能静止在势阱中，不管温度多
么低。最小能量是量子力学一个最普遍的结论（试
用测不准关系证明）；
（ 4）相邻两能级的间隔：
)12(8 2
2
1 ????? ? nma
hEEE
nnn
随 n的增加而增加，但相对比值：
02 ??? nEE
n
n
随 n的增加 趋于连续变化，
即经典结果。 n
E
（ 5）如粒子的波函数为,则在坐标间隔 找
到粒子的几率等于,n?
],[ 21 xx
??
2
1
ds in
2 2x
x
x
a
xn
a
P
?
例：在宽度为 a的无限深势阱中, 粒子处于,
求在 之间找到粒子的几率 。 a
x
an
?? 3s in2?
]3,0[ a
解：
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
a
a
]
a
,[
]
x
a
x
s i n
a
[
a
x
a
x
s i n
a
P
?
?
?
d
课程内容
……...
银河系
太阳系
原子核
基本粒子
……...
量子宇宙学
量子色动力学
结束语,
送君千里，
终有一别！
一路 88！
祝：
Happy New!
Thank You!
Bye Bye!!!
