上海交通大学：人工智能：人工智能7章

第 7章 不确定性处理
7.1 不确定性及其类型
随机性
模糊性
不完全性
不一致性
第 7章 不确定性处理
7.2 不确定性知识的表示
随机性知识的表示
? 随机性产生式规则的表示是在产生式规则的后面加上一个
称为信度（或可信度）的 0到 1之间的数。一般表示形式为
或
其中 表示规则 为真的信度，
表示 A为真的情况下 B为真的信度。一般可以
以概率作为信度。
))|(( ABCBA ?
))(( BACBA ??
)( BAC ? BA ?
)|( ABC
第 7章 不确定性处理
例
? 如果乌云密布并且电闪雷鸣，则天要下暴雨；（ 0.95)
? 如果头痛发烧，则患了感冒；（ 0.8)
7.2.2 模糊知识的表示
模糊不确定性通常用隶属度表示，隶属度表示对象
具有某种属性的程度。隶属度可以与谓词逻辑、产
生式规则、框架、语义网络等结合起来表示模糊不
确定性。
第 7章 不确定性处理
模糊产生式规则
?, 如果患者有些头疼并且发高烧，则他患了重感
冒, 可表示为：
（患者，症状，（头疼,0.95))? （患者，症状，
（发烧,1.1))? （患者，疾病，（感冒,1.2))
模糊谓词
? 普通谓词加上程度表示。例：, Mary 很喜欢书,
可表示为 like1.2(mary,book)，或 1.2like
（ mary,book)。
第 7章 不确定性处理
模糊框架
框架名,〈 大枣 〉
属, （ 〈 干果 〉, 0.8）
形,（圆,0.7)
色,（红,1.0)
味,（甘,1.1）
用途：食用
药用：用量：约五枚
用法：水煎服
第 7章 不确定性处理
模糊语义网
狗 食肉动物理解人意
(灵敏,1.5)
(can,0.3) (AKO,0.7)
嗅
觉
第 7章 不确定性处理
7.2.3 模糊集合与模糊逻辑
模糊逻辑
? 传统二值逻辑的模糊推广。定义命题的真值为对
象具有该属性的隶属度。设一个 n元模糊谓词
,则其真值定义为
具有属性 P的隶属度，即：
? 对模糊命题，可定义逻辑运算为
),,,( 21 nxxxP ? nxxx,,,21 ?
),...,,()),,,(( 2121 nPn xxxxxxPT ???
))(),(mi n ()( QTPTQPT ??
第 7章 不确定性处理
? 逻辑或
? 逻辑非
))(),(ma x ()( QTPTQPT ??
)(1)( PTPT ???
第 7章 不确定性处理
7.2.4 多值逻辑
Kleene三值逻辑
? T F U
T
F
U
T F U
F F F
U F U
? T F U
T
F
U
T T T
T F U
T U U
P ?P
T
F
U
F
T
U
第 7章 不确定性处理
7.2.5 非单调逻辑
推理中的结论并不总是单调增加的。
7.2.6 时序逻辑
将时间概念（如, 过去,,, 将来,,, 有
时, 等）引入逻辑，使命题的真值随时间变
化。
第 7章 不确定性处理
7.3 不确定性推理的一般模式
? 基于不确定性知识的推理称为不确定性推理。在一般推理
的基础上，还要进行不确定性度量（如信度、隶属度等）
的计算。
? 不确定性推理 =符号模式匹配 +不确定性计算
? 符号模式能否匹配成功，要求符号模式本身要匹配，而且
不确定性要超过, 阈值, 。
? 推理过程中规则的触发要求前提匹配成功，并且前提条件
的不确定性超过阈值。
推理结论是否成功取决与不确定性是否超过阈
值。
? 主观 Bayes方法，确定性理论（可信度方法）、证据理论
等。
主观 Bayes方法
在专家系统 PROSPECTOR中成功应用。
知识的不确定性表示为
第 7章 不确定性处理
7.4 确定性理论（可信度方法）
适用于随机不确定性的推理，在专家系统 MYCIN中
成功应用。
C-F模型
? 1。知识不确定性的表示
– If E Then H (CF(H,E))
– CF(H,E) 称为该条知识的可信度 （ Certainty Factor),取值范
围为 [-1,1]。
– 若 CF(H,E)>0，则说明前提条件 E所对应的证据的出现增加
了 H为真的概率。 CF(H,E)越大,H为真的可信度越大。若
CF(H,E)=1，则表示 E的出现使 H为真。
第 7章 不确定性处理
? 若 CF(H,E)<0，则说明 E所对应的证据的出现减
少了 H为真的概率，即增加了 H为假的概率。
CF(H,E)越小,H为假的可信度越大。若
CF(H,E)=-1，则表示 E的出现使 H为假。
? 若 CF(H,E)=0，则表示 H与 E独立，即 E所对应的
证据的出现对 H没有影响。
实际应用中,CF(H,E)的值由领域专家直接
给出。
第 7章 不确定性的处理
2。证据不确定性的表示
? 证据的不确定性也用可信度因子表示。若证据肯
定为真，则 CF(E)=1；若证据肯定为假，则
CF(E)=-1；其它情况则介于 -1 与正 1之间。
? 对组合证据，若 E=E1 and E2 and… and En，
则
CF(E)=min{CF(E1),CF(E2),…,CF(En)}
? 若 E=E1 OR E2 OR …… OR En,则
CF(E)=max{CF(E1),CF(E2),…,CF(En)}
第 7章 不确定性的处理
推理中结论的不确定性的计算
CF(H)=CF(H,E)?max{0,CF(E)}
若 CF(E)<0,则 CF(H)=0;
若 CF(E)=1,则 CF(H)=CF(H,E)
结论不确定性的合成算法。
当有多条知识推出相同结论时，总的不
确定性可利用公式计算。
第 7章 不确定性的处理
如果有两条知识：
IF E1 THEN H (CF(H,E1))
IF E2 THEN H (CF(H,E2))
则 H的总的信度可分两步
（ 1）、分别计算每一条知识的 CF(H):
CF1(H)=CF(H,E1) ?max{0,CF(E1)}
CF2(H)=CF(H,E2) ?max{0,CF(E2)}
第 7章 不确定性的处理
总的可信度可计算为
e l s e
|})(| |,)(m i n { |1
)()(
0)(,0)( if )()()()(
0)(,0)( if )()()()(
)(
21
21
212121
212121
2,1
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?????
?????
?
HCFHCF
HCFHCF
HCFHCFHCFHCFHCFHCF
HCFHCFHCFHCFHCFHCF
HCF
例 设有如下一组知识：
r1,IF E1 THEN H (0.8)
r2,IF E2 THEN H (0.6)
r3,IF E3 THEN H (0.5)
r4,IF E4 AND (E5 OR E6) THEN E1 (0.7)
r5,IF E7 AND E8 THEN E3 (0.9)
第 7章 不确定性的处理
已知,CF(E2)=0.8 CF(E4)=0.5,CF(E5)=0.6
CF(E6)=0.7,CF(E7)=0.6,CF(E8)=0.9
求 CF(H).
带有阈值的不确定性推理
知识不确定性的表示
If E Then H (CF(H,E),?)
其中可信度因子 CF(H,E) 在（ 0,1]之间； ?是阈值，
0< ??1,只有当前提条件 E的可信度 CF(E)? ?时，相
应的知识才能被利用。
第 7章 不确定性处理
证据不确定性的表示
? 也使用可信度表示，但取值范围为 [0,1]。复合
证据不确定性的计算法同前。
结论不确定性的计算方法
? 当可信度 CF(E)? ?时，结论 H的可信度
CF(H)=CF(H,E)?CF(E)
第 7章 不确定性的处理
结论不确定性的合成算法
? 当有 n条规则有相同的结论时，即
IF E1 THEN H (CF(H,E1),?1)
IF E2 THEN H (CF(H,E2),?2)
……………,.
IF En THEN H (CF(H,En),?n)
如果都满足 CF(Ei)? ?i,则首先求出每条规则的结
论的可信度
)(),()( iii ECFEHCFHCF ??
第 7章 不确定性的处理
结论 H的综合可信度可由下列方法之一求出：
? （ 1）求极大值
? （ 2） 加权求和法
? （ 3） 有限求和
)}(),.,,,(),(m a x {)( 21 HCFHCFHCFHCF n?
?
? ?
?
??
n
i
iin
i
i
ECFEHCF
EHCF
HCF
1
1
)(),(
),(
1)(
}1,)(m i n {)(
1
?
?
? n
i
i HCFHCF
第 7章 不确定性的处理
加权的不确定性推理
当条件的重要性程度不一样时，可以使用加
权的规则表示知识，一般形式为
其中,是加权因子,是阈值，
均由领域专家给出。权值一般满足条件
)),,(( T H E N )( A N D,.,A N D )( A N D )( IF 2211 ???? EHCFHEEE nn
),,2,1( nii ??? ?
1,10
1
??? ?
?
n
i ii
??
第 7章 不确定性的处理
加权的不确定性推理
组合证据不确定性的算法
? 如果前提条件
则其可信度为
如果
)( A N D,.,A N D )( A N D )( 2211 nnEEEE ????
))((
1
i
n
i
i ECFC F ( E ) ?
?
?? ?
1
1
??
?
n
i
i?
第 7章 不确定性的处理
则
结论的不确定性
? 当一条知识的 时，结论的可信度
为
? 其中, ?” 可以是相乘预算或, 取极小运算, 。
))((1
1
1
i
n
i
in
i
i
ECFCF ( E ) ?
? ?
?
?? ?
?
??)C F ( E
)(),() ECFEHCFC F ( H ??
第 7章 不确定性的处理
加权的不确定性推理
加权因子的引入不仅解决了证据的重要性、
独立性的问题，而且还解决了证据不完全的
推理问题，并为冲突消解提供了一种解决途
径。
例、设有如下知识：
r1,IF E1(0.6) and E2(0.4) then E6(0.8,0.75)
r2,IF E3(0.5) and E4(0.3) and E5(0.2)
then E7 (0.7,0.6)
r3,IF E6(0.7) and E7(0.3) then H(0.75,0.6)
已知,CF(E1)=0.9,CF(E2)=0.8,CF(E3)=0.7,
CF(E4)=0.6,CF(E5)=0.5,
求,CF(H)=?
第 7章 不确定性的处理
前提条件中带有可信度因子的不确定性
推理
知识不确定性的表示
或
其中 为子条件 的可信度。
)),,(( T H E N )( A N D,.,A N D )( A N D )( IF 2211 ?EHCFHcfEcfEcfE nn
)),,(( T H E N ),( A N D,.,A N D ),( A N D ),( IF 222111 ???? EHCFHcfEcfEcfE nnn
icf iE
第 7章 不确定性的处理
不确定性的匹配算法
（ 1）。不带加权因子
? 如果存在证据,
则当
时，证据与知识匹配。
（ 2）。带加权因子
)(,...,)(,)( 2211 nn fcEfcEfcE ???
??????????? } m a x { 0,} m a x { 0,} m a x { 0,2211 nn fccffccffccf ?
??
??
?????
????????
} m a x{ 0,
} m a x{ 0,} m a x{ 0,222111
nnn fccf
fccffccf
?
第 7章 不确定性的处理
结论的不确定性计算
? 不带加权因子
如果知识的前提条件与证据匹配成功，则
? 带加权因子
C F ( H,E )fccf
fccffccfHCF
nn ?????
?????????
} ) ] m a x{ 0,1(
}) m a x{ 0,1(}) m a x{ 0,1[()( 2211 ?
C F ( H,E )fccf
fccffccfHCF
nnn ??????
???????????
} ) ) ] m a x{ 0,1((
} ) ) m a x{ 0,1((} ) ) m a x{ 0,1([()( 222111
?
?? ?
第 7章 不确定性的处理
7.5 证据理论
D-S证据理论
? 证据理论用集合表示命题。对象的所有可能取值
的集合称为样本空间（识别框架）。样本空间的
任何一个子集都表示一个命题。
? 1、基本概率分配函数
设 D为样本空间,D的所有子集组成的集合记
为 。D2
7.5 证据理论
D-S证据理论
定义 函数 若满足：
则称 m为 上的基本概率分配函数。 为 A 的
基本概率数。
基本概率分配函数不是概率函数。见例。
概率分配函数的基本作用是对命题进行可信度分配。
]1,0[2,?Dm
1)(,0)( ?? ?
? DA
Amm ?
D2 )(Am
7.5 证据理论
D-S证据理论
2、信任函数
定义 信任函数定义为,
且满足
信任函数又称为下限函数,表示命
题 A为真的信任程度。
]1,0[2:B el ?D
DABmA
AB
??? ?
?
)()(B e l
)(B e l A
7.5 证据理论
D-S证据理论
信任函数的性质
? 1、
? 2、
? 3、递增性。若,则
? 4,。 为 A的补集。
0)(B e l ??
1)()(B e l ?? ?
? DB
BmD
21 AA ? )(B e l)(B e l 21 AA ?
1)(B e l)(B e l ??? AA A?
7.5 证据理论
D-S证据理论
似然函数
? 定义 似然函数 定义为
? 似然函数又称为上限函数。 表示对 A为非
假的信任程度。
? 似然函数的性质
? 1、
]1,0[2:Pl ?D
DAA-( A ) ???? ),(B e l1Pl
)(Pl A
?
??
?
?BA
Bm( A ) )(Pl
7.5 证据理论
D-S证据理论
似然函数的性质
? 2、
? 3、
信任区间
? 区间 称为 A的信任区间，表示对
A信任的上下限。
)(B e lPl A( A ) ?
1)(PlPl ??? A( A )
]Pl),(B e l[ ( A )A
7.5 证据理论
D-S证据理论
一些特殊的信任区间：
[1,1]：表示 A为真；
[0,0]：表示 A为假；
[0,1]：表示对 A一无所知；
[0.5,0.5]：表示 A是否为真是完全不确定的；
[0.25,0.85]：表示对 A为真的信任程度比对 A为假
的信任程度稍高一些。
[0.25,1]：表示对 A为真有 0.25的信任度。
7.5 证据理论
概率分配函数的正交和（ Dempster 组合
规则）
定义 设 m1 和 m2 是两个概率分配函数，
则其正交和 为
其中
21 mmm ??
? ? ?
?
????
?
?
??
AymxmKAm
m
Ayx
,)()()(
0)(
21
? ? 1)()(1 21 ???
?
?
???
? ??? ?
?? ?yx
ymxmK
7.5 证据理论
D-S证据理论
如果, 则 m也是一个概率分配函数；
如果,则不存在正交和，称 m1与 m2
矛盾。
例。见书。
??K
??K
7.5 证据理论
一个基于证据理论的不确定推理模型
概率分配函数和类概率函数
? 样本空间 上的概率分配函数满足下面要
求：
（ 1）、
（ 2）、
（ 3）、
（ 4）、当 且 或 时，
},,,{ 21 nsssD ??
Dssm ii ???,0})({
1})({
1
??
?
n
i i
sm
?
?
?? n
i
ismDm
1
})({1)(
DA? 1|| ?A 0|| ?A 0)( ?Am
7.5 证据理论
显然，在此概率分配函数中，只有单个元素
构成的子集及样本空间本身的函数值才有可
能大于 0。其它子集的概率分配数均为 0。
性质
?
?
? n
As
i
i
smA })({)(B e l
1)(})({)(B e l ??? ?
?
DmsmD n
As
i
i
)(B e l)(})({1)(Pl ADmsmA n
As
i
i
???? ?
??
7.5 证据理论
对任何集合 A和 B，都有
定义 命题 A的类概率函数为
其中 |A|表示集合 A中元素的个数。
)()(B e lPl)(B e lPl DmB( B ) -A( A ) - ??
)]()([|| ||)()( AB e lAPlDAAB e lAf ????
7.5 证据理论
类概率函数的性质
? （ 1）、
? （ 2）、
? （ 3）、
? （ 5）、
1})({
1
??
?
n
i i
sf
)(1)(
Pl)()(B el
AfAf
( A )AfA
???
??
1)(
0)(
?
?
Df
f ?
10 ?? f ( A )
7.5 知识不确定性的表示
在该模型中，不确定的知识可表示为
H是结论，用样本空间 中的子集
表示。 CF是可信度因子，满足
},,,{ t h e n If 2121 },c,,c{cCFhhhHE nn ?? ??
},,,{ 21 nhhh ?
1
,,2,1,0
1
?
??
?
?
n
i
i
i
c
nic ?
7.5 证据理论
证据的不确定性
证据 E的不确定性用 CER(E)表示，取值范围
为 [0,1]。
结论不确定性的计算
（ 1）、求 H的概率分配函数。
?
?
??
????
n
i
i
nn
)c( C E R ( E )-M ( D)
}cE,C E R,cE,C E RcE{ C E Rhhhm
1
2121
1
)()()(}){,},{},({ ??
7.5 证据理论
如果有两条知识支持同一结论，即：
则分别计算出每一条知识的概率分配函数：
对 m1和 m2求正交和得到 H的概率分配函数 m。
},,,{ t h e n If 21211 },c,,c{cCFhhhHE nn ?? ??
},,,{ t h e n If 21212 }c,,c,c{CFhhhHE nn ????? ??
)}{,},{},({ 211 nhhhm ?
)}{,},{},({ 212 nhhhm ?
21 mmm ??
7.5 证据理论
结论不确定性的计算
（ 2）、求出信任函数、似然函数和类概率
函数
（ 3）,H的确定性
其中,是知识的前提条件与
?
?
? n
i
ihmH
1
})({)(B el
)(B e l1)(Pl HH ???
)(|| ||)(B e l DmDHHf ( H ) ???
)()/( HfEHMDC E R ( H ) ??
)/( EHMD
7.5 证据理论
相应证据的匹配度，定义为
??
??
否则
匹配成功与如果
0
1)/( EHEHMD
实际计算时，采用辨别框的方法。
例 设有如下知识：
r1,IF E1 and E2 then G={g1,g2} CF={0.2,0.6}
r2,IF G and E3 then A={a1,a2} CF={0.3,0.5}
r3,IF E4 and (E5 or E6) then B={b1} CF={0.7}
r4,IF A then H={h1,h2,h3} CF={0.2,0.6,0.1}
r5,IF B then H={h1,h2,h3} CF={0.4,0.2,0.1}
7.5 证据理论
已知初始数据的确定性：
CER(E1)=0.7,CER(E2)=0.8,CER(E3)=0.6
CER(E4)=0.9,CER(E5)=0.5,CER(E6)=0.7
假设辨别框中元素的个数为 10，
求 CER(H)=?
证据理论的特点
? 比概率论更弱的公理体系；
? 能处理由, 不知道, 所引起的不确定性；
? 辨别框太大时，计算复杂。
模糊理论（补充内容）
模糊集与隶属函数
模糊性是指客观事物在性态及类属方面的不
分明性，类似事物间存在一系列过度状态，
它们互相渗透，彼此之间没有明显的分界线。
普通集合可用其特征函数表示。设 A是论域
U上的一个集合，对任意, 令
则称 为集合 A的特征函数。
Uu?
??
?
?
??
Au
Auu
A 当
当
0
1)(?
)(uA?
模糊集与隶属函数
定义 设 U是论域,是定义在 U上而取值
为 [0,1]之间的函数，即
则称 为定义在 U上的一个隶属函数，由
所确定的集合 称为 U上的一个模糊集，
称为 u对 A的隶属度。
A?
)(
]1,0[,
uu
U
A
A
?
?
?
?
A? A?
A )(uA?
模糊集与隶属函数
模糊集的表示方法
若论域是离散的有限集,
其模糊集可表示为
也可以表示为
或
},,,{ 21 nuuuU ??
)}(,),(),({ 21 nAAA uuuA ??? ??
nnAAA uuuuuuA /)(/)(/)( 2211 ??? ???? ?
?
?
?
n
i
iiA uuA
1
/)(?
模糊集与隶属函数
或表示为
或
若论域是连续的，则模糊集用函数表示。例
如, 年老, 与, 年轻, 两个模糊概念可表示
为
}/)(,,/)(,/)({ 2211 nnAAA uuuuuuA ??? ??
)}),((,),),((),),({( 2211 nnAAA uuuuuuA ??? ??
???
???
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ??
??
? ?
1 0 025,5 251
250,1
)( 12
uu
u
u
当
当
年轻?
???
???
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
? ?
1 0 050,
50
51
500,0
)( 12
u
u
u
u
当
当
年老?
模糊集与隶属函数
无论是连续还是离散，有限或无限，都
可以统一表示为
模糊集的运算
包含。若对任意, 都有,
则称 A包含 B，记为
?
?
?
Uu
A uuA /)(?
Uu? )()( uu AB ?? ?
AB?
模糊集的运算
并、交、补运算
设 A,B为论域 U上的两个模糊集，它们的并、
交、补也是模糊集，分别记为,
和, 它们的隶属函数分别为
BA? BA?
A?
)()()}(),({m a x)( uuuuu BABAUuBA ????? ??? ??
)()()}(),({m i n)( uuuuu BABAUuBA ????? ??? ??
)(1)( uu AA ?? ???
模糊集的 ?水平截集
设 A是论域 U上的模糊集，, 则称
普通集合
为 A的一个 ?水平截集。
?水平截集的性质：
? 1。 ；
? 2。若, 则
]1,0[??
})(,|{ ??? ??? uUuuA A
??? BABA ?? ?)( ??? BABA ?? ?)(
21 ?? ?
21 ?? AA ?
模糊集的 ?水平截集
设 A是论域 U上的一个模糊集，称
分别为模糊集 A的核及支集。当 时，
称 A为正规模糊集。
}1)(,|{K e r ??? uUuuA A?
}0)(,|{S up p ??? uUuuA A?
??AK e r
模糊数
如果实数域 R上的模糊集 A的隶属函数
在 R上连续且具有如下性质：
? （ 1） A是凸模糊集，即对任意, A的 ?
水平截集 是闭区间；
? （ 2） A是正规模糊集，即存在,使
则称 A为一个模糊数。
模糊数的隶属函数是单峰函数。例如模糊数
,6左右, 可用隶属函数表示：
)(uA?
]1,0[??
?A
Ru?
1)( ?uA?
??
???
?
?? ??
36,0
36,)( 2)6(10
6 || u -
|| u -eu u
当
当?
模糊数
模糊数的运算
设 ?是实数域 R上的一种二元运算,A和 B为
两个模糊数，则它们之间的运算结果也是一
个模糊数，其隶属函数为
模糊数的四则运算,+,-,×, ÷
))()(()( yxz BAyxzBA ??? ?? ??? ?
))()(()( yxz BAyxzBA ??? ??? ??? ))()(()( yxz BAyxzBA ??? ??? ???
))()(()( yxz BAyxzBA ??? ??? ??? ))()(()( yxz BAyxzBA ??? ??? ???
模糊关系及其合成
定义 设 是 上的模糊
集，则称
为 的笛卡尔乘积，它是
上的一个模糊集。
元模糊关系 R是指论域 上的一
个模糊集，记为
iA ),,2,1( niU i ??
? ??? ???????
n
nUUU nnAAAn uuuuuuAAA ? ???
21
21 ),,,/())()()(( 212121 ???
nAAA,,,21 ? nUUU ??? ?21
nUUU ??? ?21n
? ????
nUUU
nnR uuuuuuR
?
??
21
),,,/(),,,( 2121?
模糊关系及其合成
当, 都是有限论域
时，其上的二元模糊关系 R可用一个矩阵
表示，称为模糊矩阵，
},,,{ 21 muuuU ?? },,,{ 21 nvvvV ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
21
22212
12111
nmRmRmR
nRRR
nRRR
vuvuvu
vuvuvu
vuvuvu
R
???
???
???
?
???
?
?
模糊关系的合成
设 与 分别是 和 上的两个
二元模糊关系，则 与 的合成是指从 U
到 W的一个模糊关系，记为, 其隶属
函数为
1R 2R VU?
WV?
1R 2R
21 RR ?
)},(),({),( 2121 wvvuwu RRRR ??? ????
建立隶属函数的方法
模糊统计法
? 把论域 U划分为若干区间。
? 选择 n个具有正确判断力的评判员，请他们分别
给出模糊概念应该属于的区段。
? 假设 n个评判员给出的区段中覆盖某个区间的次
数为 m，则当 n足够大时，就可把 m/n作为该区
间中值对 A的隶属度。
? 对每个区间的中值点求出隶属度后，就可绘制出
A的隶属度函数曲线。
建立隶属函数的方法
对比排序法
? 对有限论域，如果直接为每一个元素确定隶属度
是困难的，则可通过对论域中的因素两两比较，
确定一个元素相对于另一个元素隶属于该模糊概
念的隶属度，然后对每一个元素的所有隶属度进
行加权平均得到最后的隶属度。
建立隶属函数的方法
专家评判法
? 设论域, A是 U上待定隶属函
数的模糊集。
? 请 m位专家分别对每一个 给出一个隶属度的
估计值, 求出平均
值及离差
},,,{ 21 nuuuU ??
iu
),,2,1;,,2,1( mjniS ij ?? ??
?
?
? m
j iji
SmS
1
1
?
?
?? m
j ijii
SSmd
1
2)(1
建立隶属函数的方法
? 检查离差是否小于或等于事先指定的阈值,
如果大于, 则请专家重新给出估计值，然后
再计算平均值和离差。重复这一过程，直到离差
小于或等于 时为止。然后请专家给出自己所
估计值的, 确信度,,设为, 求
其平均值
? 若 达到一定的阈值，则就以 作为 的隶
属度
?
?
?
mccc,,,21 ?
??? mj jcmc 11
c iS iu
niu iA,,2,1 ),( ???
建立隶属函数的方法
基本概念扩充法
从基本模糊概念的隶属函数出发，通过一些
运算导出其它相关模糊概念的隶属函数。
例。假设已知, 大, 的隶属函数,
则
)(u大?
)()( 4 uu 大极大 ＝ ?? )()( 2 uu 大很大 ＝ ??
)()( 5.1 uu 大相当大 ＝ ?? )()( 75.0 uu 大比较大 ＝ ??
)()( 5.0 uu 大有点大 ＝ ?? )()( 25.0 uu 大稍许有点大 ＝ ??
模糊推理
模糊推理是利用模糊性知识进行的不确
定性推理
模糊命题
含有模糊概念、模糊数据或带有确信程度的
语句称为模糊命题。模糊命题的一般表示形
式为
或
Ax is
)( is CFAx
模糊命题
其中 x是论域上的变量； A是模糊概念或模糊
数； CF是该模糊命题的确信度或可能性，可
以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或
模糊语言值。
模糊语言值是一些表示大小、长短、高矮、
轻重、快慢、多少等程度的词汇。
模糊命题
模糊知识的表示
模糊产生式规则的一般形式
If E Then H (CF,)
E是用模糊命题表示的模糊条件，可以是多
个模糊命题构成的复合条件。 H是模糊命题
表示的模糊结论。 CF是规则的可信度因子，
可以是确定的数、模糊数或模糊语言值。
推理中所用的证据也是用模糊命题表示。
?
模糊匹配与冲突消解
在进行证据与规则前提匹配时，要计算
两个模糊集所表示的模糊概念的相似程
度，称为匹配度。
匹配度的计算
贴近度
指两个模糊概念互相贴近的程度。设 A,B
分别是论域 上的表示相应模
糊概念的模糊集，它们的贴近度定义为
},,,{ 21 nuuuU ??
模糊匹配与冲突消解
其中
匹配度越大表示越匹配
)]1([21),( BABABA ?????
))()(( iBiAUu uuBA
i
?? ???? ?
))()(( iBiAUu uuBA
i
?? ???? ?
模糊匹配与冲突消解
语义距离
Hamming距离
有限论域：
论域为闭区间 [a,b]:
?
?
??? n
i
iBiA uunBAd
1
|)()(|1),( ??
? ??? ba BA duuuabBAd |)()(|1),( ??
模糊匹配与冲突消解
语义距离
欧几里德距离
Minkowski距离
?
?
???
n
i
iBiA uunBAd
1
2))()((1),( ??
1,|)()(|1),(
/1
1
??????? ??? ?
?
quunBAd
qn
i
q
iBiA ??
模糊匹配与冲突消解
语义距离
切比雪夫距离
相似度
设 A,B分别是论域 U上的两个模糊集,A与 B
之间的相似度可用以下方法计算
最大最小法
|)()(|m a x),( 1 iBiAni uuBAd ?? ?? ??
?
?
?
??
n
i
iBiA
n
i
iBiA
uu
uu
BAr
1
1
)}(),(m ax {
)}(),(m i n {
),(
??
??
模糊匹配与冲突消解
算术平均最小法
几何平均最小法
相关系数法
?
?
?
?
??
? n
i
iBiA
n
i
iBiA
uu
uu
BAr
1
1
))()((21
)}(),(m i n {
),(
??
??
?
?
?
?
?
? n
i
iBiA
n
i
iBiA
uu
uu
BAr
1
1
)()(
)}(),(m i n {
),(
??
??
??
?
??
? ??
??
?
??
? ?
???
?
??
?
??
?
n
i
BiB
n
i
AiA
n
i
BiBAiA
uu
uu
BAr
1
2
1
2
1
))(())((
))(())((
),(
????
????
模糊匹配与冲突消解
其中，
指数法
对复合条件证据的匹配，可对每个子条件算
出匹配度，然后利用公式（如求最小、乘积；
最大、求和）计算出总的匹配度。
?
?
? n
i iAA
un
1
)(1 ?? ?
?
? n
i iBB
un
1
)(1 ??
?? ? ?? ni iBiA uueBAr 1 )|()(|),( ??
模糊匹配与冲突消解
冲突消解策略
按匹配度大小排序
按加权平均值排序
按广义顺序关系排序
模糊推理的基本模式
模糊假言推理
设 A,B分别是论域 U,V上的模糊集合，模
糊假言推理的一般模式为
知识,If x is A then y is B
证据,x is
结论,y is
A?
B?
模糊推理的基本模式
模糊拒取式推理
设 A,B分别是论域 U,V上的模糊集合，模
糊拒取式推理的一般模式为
知识,If x is A then y is B
证据,y is
结论,x is
B?
A?
模糊推理的基本模式
模糊三段论推理
设 A,B,C分别是论域 U,V,W上的模糊集
合，模糊三段论推理的一般模式为
If x is A then y is B
If y is B then z is C
If x is A then z is C
简单模糊推理
合成推理规则
在模糊假言推理和模糊拒取式推理中，首先
构造出 A与 B之间的模糊关系 R。对假言推理，
结论为,y is, 的计算公式为
对模糊拒取式推理，结论为,x is,
的计算公式为
RAB ????
A? A?
BRA ??? ?
B? B?
简单模糊推理
推理中构造模糊关系 R的方法
Zadeh 方法
? 极大极小规则
? 算术规则
? 对于模糊假言推理，若已知证据为, x is
则由, 推出的 结论分别为
? ? ???????? VU ABAm vuuvuVABAR ),/())(1())()(()()( ????
? ? ????????? VU BAa vuvuBAVAR ),/())()(1(1)()( ??
A?
aRmR
简单模糊推理
? 它们的隶属函数分别为
? 对于模糊拒取式推理，若已知证据为,y is,
则由, 求得的 及 分别为
)]()[( VABAARAB mm ???????? ???
)]()[( BUVAARAB aa ????????? ??
) ) ] }(1())()([()({)( uvuuv ABAAUuB m ????? ?????? ???
) ) ] }()(1(1[)({)( vuuv BAAUuB a ???? ?????? ???
B?
mR aR mA? aA?
简单模糊推理
? 它们的隶属函数分别为
BVABABRA mm ???????? ??? )]()[(
BBUVABRA aa ????????? ?? )]()[(
)}() ) ](1())()({ [ ()( vuvuu BABAVvA m ??? ?????? ?????
)}() ) ]()(1(1{[)( vvuu BBAVvA a ??? ?????? ????
简单模糊推理
Mamdani方法
条件命题的最小运算规则
对模糊假言推理，结论为
? ? ???? VU BAc vuvuBAR ),/()()( ??
)( BAARAB cc ?????? ??
) ) ]()(()([)( vuuv BAAUuB c ???? ???? ???
简单模糊推理
Mamdani方法
对模糊拒取式，结论为
Mizumoto方法
一组借鉴多值逻辑中计算逻辑蕴含式思想的
模糊关系构造方法。
BBABRA cc ?????? ?? )(
)]())()([()( vvuu BBAVvA c ??? ???? ????
简单模糊推理
Mizumoto方法
1。
其中，
2。
? ? ?????? VU BsAss vuvuBUVAR ),/()]()([ ??
??
?
?
???
)()(,0
)()(,1)()(
vu
vuvu
BA
BA
BsA ??
????
? ? ?????? VU BgAgg vuvuBUVAR ),/()]()([ ??
简单模糊推理
Mizumoto方法
其中
3。
4。
??
?
?
???
)()( ),(
)()(,1)()(
vuv
vuvu
BAB
BA
BgA ???
????
? ? ??????
?????????
VU BgABsA
gssg
vuvuvu
BUVABUVAR
),/() ) ] }(1())(1[()]()({[
)()(
????
?
? ? ??????
?????????
VU BgABgA
gggg
vuvuvu
BUVABUVAR
),/() ) ] }(1())(1[()]()({[
)()(
????
?
简单模糊推理
5。
6。
? ? ??????
?????????
VU BsABgA
sggs
vuvuvu
BUVABUVAR
),/() ) ] }(1())(1[()]()({[
)()(
????
?
? ? ??????
?????????
VU BsABsA
ssss
vuvuvu
BUVABUVAR
),/() ) ] }(1())(1[()]()({[
)()(
????
?
简单模糊推理
7。
8。
其中，
9。
其中
? ? ??????? VU BAb vuvuBUVAR ),/()]())(1[()()( ???
? ? ?????? VU BA vuvuBUVAR ),/()]()([ *** ??
)()()(1)()( * vuuvu BAABA ????? ?????
? ? ??? ?????? VU BA vuvuBUVAR ),/()]()([ ??
??
?
??
????
? 1)(,1)(,0
1)(,1)(,1)()(
vu
vuvu
BA
BA
BA ??
????
各种模糊关系的性能分析
模糊推理时所依据的一些基本原则
I.
知识,If x is A then y is B
证据,x is A
结论,y is B
各种模糊关系的性能分析
模糊推理时所依据的一些基本原则
II.
知识,If x is A then y is B
证据,x is very A
结论,y is very B
或 y is B
各种模糊关系的性能分析
模糊推理时所依据的一些基本原则
III.
知识,If x is A then y is B
证据,x is more or less A
结论,y is more or less B
或 y is B
各种模糊关系的性能分析
模糊推理时所依据的一些基本原则
IV.
知识,If x is A then y is B
证据,x is not A
结论,y is unknown
或 y is not B
各种模糊关系的性能分析
模糊推理时所依据的一些基本原则
V.
知识,If x is A then y is B
证据,y is not B
结论,x is not A
各种模糊关系的性能分析
模糊推理时所依据的一些基本原则
VI.
知识,If x is A then y is B
证据,y is not very B
结论,x is not very A
各种模糊关系的性能分析
模糊推理时所依据的一些基本原则
VII.
知识,If x is A then y is B
证据,y is not more or less B
结论,x is not more or less A
各种模糊关系的性能分析
模糊推理时所依据的一些基本原则
VIII.
知识,If x is A then y is B
证据,y is B
结论,x is unknown
或 x is A
各种模糊关系性能的分析
对模糊假言推理,的
性能较好,次之,与 较差。
对模糊拒取式,的性能比较好，
次之,与 最差。
综合之,性能比较好，
次之，其它性能较差。
ssgsggsggs RRRRRR,,,,,
cR mR aR
sss RR,sgR
mR ggR
sssgs RRR,,cgsggg
RRRR,,,
模糊三段论推理
模糊三段论的推理中，应有
模糊关系的构造方法，有些满足三段论，
有的不满足。
),(),(),( CARCBRBAR ??
模糊关
系
模糊三
段论 × × ? ? ? ? ? ? ? × ×
?
?RRRRRRRRRRRR bssgsggsggscam *
多维模糊推理
多维模糊推理是指前提条件是复合条件
的模糊推理
知识,If is and is and… and is
then y is B
证据,is and is and… and is
结论,y is
1A?1x 2x nx2A? nA?
1A1x 2x nx2A
nA
B?
多维模糊推理
Zadeh方法
（ 1）、求出,, …, 的笛卡尔乘积，
并记为 A,
（ 2）、用前面讨论的任何一种构造模糊关
系的方法构造出 A与 B之间的模糊关系，记为
1A 2A nA
?
???
????
????
n
n
UUU
nnAAA
n
uuuuuu
AAAA
?
??
?
21
21
),,,/()()()( 2121
21
???
),,,,( 21 BAAAR n?
多维模糊推理
（ 3）、求出证据中 的笛卡尔
积，记为 。
（ 3）、由 与 的合成求
出, 即
nAAA ???,,,21 ?
A?
A? ),,,,( 21 BAAAR n?
B?
),,,,()(),,,,( 212121 BAAARAAABAAARAB nnn ????? ??????????
B?
A?
多维模糊推理
Tsukamoto方法
首先对复合条件中的每一个简单条件按简单
模糊推理求出相应的,即
然后再对各 取交得到
iB?
niBARAB iii,,2,1 ),,( ?? ????
iB?
B?
nBBBB ????? ???? 21
多维模糊推理
Sugeno方法
通过递推计算求出,
…………
B?
),( 111 BARAB ????
),( 1222 BARAB ???? ?
),( 1??????? nnnn BARABB ?
带有可信度因子的模糊推理
既有模糊不确定性，又有随机不确定性。
知识,If x is A then y is B CF1
证据,x is CF2
结论,y is CF
其中的可信度因子可以是 [0,1]上确定的数，
也可以是模糊数或模糊语言值。
A?
B?
带有可信度因子的模糊推理
模糊推理使用前面介绍的方法
可信度的计算
? 当 时，
? （ 1） ；
? （ 2） ；
? （ 3） ；
? 模糊数与模糊语言值的计算可通过隶属函数定义。
确定数与模糊数或模糊语言值之间的运算可先把
确定数化为模糊数后进行。例如确定数 1可表示
为模糊集 {1/1}。
AA ??
21 CFCFCF ??
},m in{ 21 CFCFCF ?
}1,0m a x { 21 ??? CFCFCF
带有可信度因子的模糊推理
可信度的计算
? 当 时,设用 表示 的
匹配度，则结论的可信度因子可用如下公式之一
计算：
? （ 1） ；
? （ 2） ；
? （ 3） ；
? （ 4） ；
AA ??
21m a t c h ),CFCFAACF ???? （?
},m i n {),( 21m a t c h CFCFAACF ??? ?
}1,0m a x {),( 21m a t c h ????? CFCFAACF ?
),(m a tc h AA ?? AA ? 与
},),,m i n { 21m a t c h CFCFAACF ?? （?
作业
1,P170,7,8
2,设有如下推理规则：
R1,If E1 and E2 then A={a} (CF={0.8})
R2,If E2 and (E3 or E4) then B={b1,b2}
(CF={0.4,0.5})
R3,If A then H={h1,h2,h3} (CF={0.2,0.3,0.4})
R4,If B then H={h1,h2,h3} (CF={0.3,0.2,0.1})
且已知初始证据的的确定性分别为：
CER(E1)=0.5,CER(E2)=0.6,CER(E3)=0.7,
CER(E4)=0.8,假设 |D|=10,求 CER(H)=?
作业
3。 P171,9题（用 Rm,Rc,Ra,Rs推理 ）
作业
4。设论域 U=V={1,2,3,4,5,6}，且有如下模糊规则：
If x is A then y is B。 设已知事实为,x
is 。 其中 A,B,的模糊集分别为：
A=1/1+0.8/2+0.6/3+0.3/4
B=0.5/3+0.7/4+0.9/5+1/6
=0.9/1+0.8/2+0.5/3+0.2/4
请分别用 求出
模糊结论，并对这些方法进行性能比较。
A?A?
A?
?RRRRRRRRRR bssgsggsggsc,,,,,,,,,*