1
第二十二章 向量自回归和误差修正模型
联立方程组的结构性方法是用经济理论来建立变量之间关系的模型 。 但
是, 经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明 。 并
且, 内生变量既可以出现在等式的左端又可以出现在等式的右端使得估计和
推断更加复杂 。
为解决这些问题产生了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的
模型, 就是这一章所讲述的向量自回归模型 （ Vector Auto regression,VAR）
以及向量误差修正模型 （ Vector Error Correction,VEC） 的估计与分析 。 同时
也给出一些检验几个非稳定变量之间协整关系的工具 。
2
§ 22.1 向量自回归理论
向量自回归 （ VAR） 常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机
扰动对变量系统的动态影响 。
VAR方法通过把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后
值的函数来构造模型, 从而回避了结构化模型的需要 。 一个 VAR(p) 模型的
数学形式是,
(22.1)
这里 yt 是一个 k 维的内生变量, xt 是一个 d 维的外生变量 。 A1,…,Ap
和 B是待估计的系数矩阵 。 ?t 是扰动向量, 它们相互之间可以同期相关, 但
不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关 。
ttptptt BxyAyAy ????????? ?? 11
3
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21
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12
11
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2
1
由于仅仅内生变量的滞后值出现在等式的右边, 所以不出现同期性
问题, 并且 OLS能得到一致估计 。 即使扰动向量 ?t 有同期相关, 但
OLS仍然是有效的, 因为所有的方程有相同的回归量, 所以其与 GLS是
等价的 。 注意, 由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 滞后项而
被调整 （ absorbed）, 所以扰动项序列不相关的假设并不严格 。
4
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1211
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C
C
M
IP
bb
bb
M
IP
aa
aa
M
IP
t
t
t
t
t
t
作为 VAR的一个例子, 假设工业产量 （ IP） 和货币供应量 （ M1） 联
合地由一个双变量的 VAR模型决定, 并且让常数为唯一的外生变量 。 内
生变量滞后二阶的 VAR(2)模型是,
(22.2)
其中, aij,bij,ci 是待估计的参数 。 也可表示成,
tttttt CMbIPbMaIPaIP,11212211112111 11 ??????? ????
tttttt CMbIPbMaIPaM,22222221122121 111 ??????? ????
5
§ 22.2 估计 VAR模型及估计输出
§ 22.2.1 建立 VAR模型
为了详细说明一个向量自回归模型, 必须创建一个 VAR对象, 选择
Quick/Estimate VAR… 或者选择 Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入
VAR。 下面的对话框便会出现,
6
在对话框内添入适当的信息 。
1,选择说明类型
选择无约束向量自回归 （ Unrestricted VAR ） 或者向量误差修正
（ Vector Error Correction ） 。 前面例子中的 VAR是无约束 VAR,会在下面
详细解释 VEC 模型 。
2,设置样本区间
3,设置变量
在相应的编辑栏中输入适当的内生及外生变量 。 系统通常会自动给出
常数 c作为外生变量 。 如果所列的序列太长, 我们可以先建立一个包含这
些序列的组对象, 然后直接输入组的名字 。
7
4,在相应的编辑框中输入滞后信息 这一信息将会告诉 EViews哪个
滞后变量应该被包括在每个等式的右端 。 这一信息应成对输入：每一对
数字描述一个滞后区间 。 例如, 滞后对,
1 4
告诉 EViews用系统中所有内生变量的一阶到四阶滞后变量作为等式
右端的变量。
可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如,
2 4 6 9 12 12
表示：用 2 – 4 阶,6 – 9 阶及第 12 阶滞后变量。
前面例子对话框中的 VAR模型 。 取 IP,M1和 TB3三 个内生变量, 这
个模型用了 1 – 2 阶滞后变量并且仅仅常数是外生变量 。
其余两个菜单 （ Cointegration 和 Restrictions） 仅与 VEC模型有关,
将在后面介绍 。
8
表中的每一列对应 VAR中一个内生变量的方程 。 对方程右端每一个变量,
EViews会给出系数估计值, 估计系数的标准误差及 t - 统计量 。 例如在 TB3方
程中 IP(-1)的系数是 0.087563。 (VAR02包含外生变量 )
§ 22.2.2 VAR估计的输出
一旦设定了 VAR,单击 OK。 EViews将会在 VAR窗口显示估计结果
(VAR01),
9
两类回归统计量出现在 VAR估计输出的底部,
输出的第一部分显示的是每个方程的标准 OLS回归统计量。分别计算每
个方程的结果（使用各自的残差项），并被显示在对应的列中。第二部分是
VAR系统的回归统计量。
10
§ 22.3 VAR 视图和过程
一旦估计一个 VAR模型,EViews会提供关于被估计 VAR模型的各种视
图。这一部分仅讨论与 VAR模型有关的特定的视图。其它的视图和过程可
参考第 21章：系统估计。
§ 22.3.1 诊断视图
在 VAR窗口的 View/Lag Structure和 View/Residual Tests菜单下将提供一
系列的诊断视图。这些将有利于检验被估计 VAR模型的合适性。
1,Lag Structure (滞后结构 )
AR Roots Table/Graph (AR根的图表 )
如果被估计的 VAR模型所有根的模小于 1并且位于单位圆内, 则其是
稳定的 。 如果模型不稳定, 某些结果将不是有效的 （ 如：脉冲响应标准误
差 ） 。 共有 kp 个根, 其中 k 是内生变量的个数, p 是最大滞后阶数 。 前
面的例子中存在一个根大于 1,所以模型是不稳定的 (VAR01)。 将 IP,M1
差分得到的 VAR模型是稳定的 (VAR03) 。
11
残差的协方差的行列式值由下式得出,
(22.3)
其中 p 是 VAR每一方程的参数个数, ?t 是 k 维残差向量 。 通过假定服从多
元正态 （ 高斯 ） 分布计算对数似然值,
(22.4)
两个信息准则由下面两式算出,
其中 n = k(d + pk) 是 VAR中被估计的参数的总数, k 是内生变量数, T 是
样本长度, 这些信息准则可被用于模型的选择, 例如决定 VAR的滞后长度；
信息准则的值越小模型越好 。 值得注意的是, 一些参考文献通过不同的方法
来定义 AIC/SC,如在似然函数中忽略常数项或不除以 T,请见附录 F中关于各
种信息准则的附加讨论 。
???
?
???
? ?
??? ?t ttpT ?? ??
1d e t?
? ? ????? ?lo g22lo g12 TTkl ?
TnTlA I C 22 ???
TTnTlSC lo g2 ??? (22.5)
12
原假设
?2统计
量
自由度 p-值
R
方
程
实际 M1外生于实际利率 3.78 3 0.286
实际 GDP外生于实际利率 9.00 3 0.029
实际 M1、实际 GDP同时外
生于实际利率 16.8
6
0.010
Log(M
1)方
程
实际利率外生于实际 M1 2.65 3 0.449
实际 GDP外生于实际 M1 6.03 3 0.110
实际利率、实际 GDP同时外
生于实际 M1 17.63
6
0.007
Log(G
DP)方
程
实际利率外生于实际 GDP 1.49 3 0.684
实际 M1外生于实际 GDP 2.84 3 0.418
实际利率、实际 M1同时外
生于实际 GDP 4.38
6 0.625
13
2,Residual Tests(残差检验 )
（ 1） Correlogram (相关图 )
显示 VAR在指定的滞后数的条件下的被估计的残差交叉相关图 （ 样本
自相关 ） 。 交叉相关图能以三种形式显示：有两种表格形式, 一种是以变
量来显示 （ Tabulate by Variable）, 另一种是以滞后阶数来显示 (Tabulate by
Lag)。 曲线图 （ Graph） 显示交叉相关图的矩阵形式 。 点线代表滞后的相关
系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图 （ 以 计算 ） 。
（ 2） Portmanteau Autocorrelation Test（ 混合的自相关检验 ）
计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量 Q统计量 。 同时计算
出 Q统计量和调整后的 Q统计量 （ 即：小样本修正 ） 。 在 原假设是滞后 h期
没有残差序列自相关 的条件下, 两个统计量都近似的服从自由度为
的 ? 2 统计量, 其中 p为 VAR滞后阶数 。
T1
)(2 phk ?
14
（ 3） Autocorrelation LM Test (自相关 LM检验 )
计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量 LM检验统计量 。 滞后 h
阶数的检验统计量是通过关于原始右侧回归量残差 ut 和滞后残差 ut-h 的辅
助回归运算计算得到的, 这里 ut-h 缺少的前 h个值被赋予 0。 参考 Johansen
(1995a.p.22)LM统计量的计算公式 。 在 原假设是滞后 h期没有序列相关 的条件
下, LM统计量渐近的服从自由度为 k2 的 ? 2 统计量 。
（ 4） Normality Test (正态检验 )
计算残差的 J-B正态检验, 这种检验主要是比较残差的第三, 第四阶残差
矩与来自正态分布的那些矩 。 对于多变量检验, 必须选择一 k维残差分解因子,
使其与其他的每一个残差都是正交的 （ 参考脉冲相应函数对正交的详细讨论 ） 。
设 P 是如下的 因子分解矩阵,
（ 22.7）
其中 ut 是不符合要求的残差序列 。
),0(~ ktt INPuv ?
kk?
15
定义第三, 第四阶矩向量为,
则在 原假设是服从正态分布 的条件下, 有,
因为每一个组成部分之间是相互独立的, 所以对任意的这些第三, 第四阶矩
平方求和可形成一个 ? 2 统计量 。 EViews为每一个正交分量 （ 标明残差 1、
残差 2等等 ） 和整体检验都提供检验统计量 。 对于单个分量, 被估计的偏度
(skewness)和峰度 (kurtosis)被列出在前两块中, J-B统计量列在第三块 。
（ 5） White Heteroskedasticity Test (White异方差检验 )
这些检验是针对系统方程的 White’s检验的扩展 。 这个回归检验是通过残
差序列每一个回归量交叉项乘积的回归来实现的, 并检验回归的显著性 。
?? t t Tvm 33 ?? t t Tvm 44
???
?
???
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??????????????? ?
k
k
I
IN
m
m
240
06,0
34
3
16
No Cross Terms 选项仅仅用于原始回归量的水平值及平方项检验 。
With Cross Terms 选项包括被检验方程中原始回归变量所有的非多余
的交叉乘积检验, 回归方程还包括一个常数项作为回归量 。
输出的第一部分显示每一个被检验的回归方程除常数项之外的回归量
的显著性 。 可以把每一个回归方程的检验作为残差协方差矩阵的每一个元
素独立的不变性检验 。 在 原假设是没有异方差 的条件下, 非常数回归量不
是联合显著的 。
在输出的最后一行显示被检验方程系统的所有回归量的 LM ? 2 平方
统计量的联合显著性 。 系统的 LM 统计量服从自由度为 mn 的 ?2 分布,
其中 m = k (k + 1)/2,是系统残差交叉乘积的个数； n 为检验回归方程
中通常形式下右边的变量个数 。
17
§ 22.4 脉冲响应函数
一旦已经估计了 VAR模型, EViews会提供很多方法利用已估计的 VAR来
进行进一步的分析 。 在实际应用中, VAR的主要用处是脉冲响应分析, 方差分
解和 Granger 因果检验 。
§ 22.4.1 脉冲响应函数的基本思想
一, 二变量模型的脉冲响应函数
用时间序列模型来分析影响关系的一种思路, 是考虑扰动项的影响是如
何传播到各变量的 。 以下先根据 VAR(2)模型来说明脉冲响应函数的基本思想 。
(22.8)
其中, 是参数, 扰动项为, 假定是具有下面这样性质
的白噪声向量,
?
?
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?????
?????
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????
tttttt
tttttt
zdzdxcxcz
zbzbxaxax
222112211
122112211
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iiii dcba,,,),( 21 ?? tttv ??
18
现在假定上述系统从０期开始活动, 且设, 又设于第
０期给定了扰动项, 并且其后均为０, 即,t ＝１,
２ ……, 称此为第０期给 x 以脉冲, 下面讨论 xt 与 zt 的变化, 于第０期
02121 ???? ???? zzxx
0,1 2010 ?? ??
0,1 00 ?? zx
将其结果代入 (22.8)式, 第 1期
1111,czax ??
再把此结果代入 (22.8)式, 第 2期
112112 cdcacz ???,12212 cbaax ???
021 ?? tt ??
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0
0
)()(
,0)(
2
2
2
1
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19
继续这样计算下去, 设求得结果为
称为由 x 的脉冲引起的 x 的响应函数 。 同样求得
称为由 x 的脉冲引起的 z 的响应函数 。
当然, 第０期的脉冲反过来, 从 出发, 可以求出由 z 的脉
冲引起的 x 的响应函数和 z 的响应函数 。 因为以上这样的脉冲响应函数明显
地捕捉对冲击的波 动 及效果, 所以和计量经济模型的冲击乘数分析类似 。
??,,,,,43210 xxxxx
??,,,,,43210 zzzzz
1,0 2010 ?? ??
二, 一般的多变量 VAR模型的脉冲响应函数
将上述讨论推广到多变量 VAR模型上去
(22.9)
也可改写为
这里 yt 是一个 k 维内生变量向量, ?t 是协方差矩阵为 ? 的扰动向量 。
tptptt yAyAy ????? ?? ?11
ttpp yLALAI ????? )( 1 ?
20
假如 VAR(p)可逆, 我们可以得到 VMA(∞) 的表达式,
(22.10)
VMA表达式的系数可按下面的方式给出,VAR的系数 A和 VMA的系数
必须满足下面关系,
(22.11)
其中, 。 关于 的条件递归定义了 VMA系数,
?
ILCLCI ???? ?221
021 ??? ?CC
11 A??
2112 AA ?? ??
?
t
t
p
pt
LLI
LALAIy
???
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)(
)(
2
21
1
1
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????
???? ?
ILLILALAI pP ??????? ))(( 2211 ?? ??
从而可知 VMA的系数可以由 VAR的系数递归得到 。
qC
pqPqqq AAA ??? ???? ????,..2211
21
考虑 VMA(∞) 的表达式
设, y 的第 i个变量 可以写成,
其中 k 是变量个数 。
仅考虑 2个变量 (k = 2)的情形,
ity
)( 3,32,21,1,0
1
???????? ???
? jtijjtijjtijjtij
k
jit
y ????????
现在假定在基期给 一个单位的脉冲, 即,
–2 –1 0 1 2 3 4 5 ……… t
1y
??
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e ls e
t
t,0
0,1
1?
tt LLIy ???? )( 2210 ?????
)(,ijqq ?? ?
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12,211,2
1,2
1,1
22,121,1
12,111,1
,2
,1
22,021,0
12,011,0
2
1
t
t
t
t
t
t
t
t
y
y
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??
tt ??,02?
110??
22
由 的脉冲引起的 的响应函数,
1y 2y ?21,221,121,0,,???
21,44,2
21,33,2
21,22,2
21,11,2
21,00,2
,4
,3
,2
,1
,0
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
yt
yt
yt
yt
yt
? ?
由上述推导可知由 的脉冲引起的 的响应函数序列是由 VMA(∞) 中
系数矩阵 第 2行, 第 1列的元素组成,q = 1,2,… 。 因此, 一般地,
由 的脉冲引起的 的响应函数可以求出如下,
其中, 代表着对第 j个变量的单位冲击引起第 i个变量的第 q期滞后反映 。
jy iy
??,,,,,,4,3,2,1,0 ijijijijij ?????
)(,ijqq ?? ?
1y 2y
ijq,?
23
§ 22.4.2 计算 脉冲响应函数
一,EViews中的脉冲响应函数
由以上讨论可知, 对第 i个变量的冲击不仅直接影响第 i个变量, 并且通
过 VAR模型的动态 （ 滞后 ） 结构传导给所有的其它内生变量 。 脉冲响应函数
描绘了在一个扰动项上加上一次性的一个冲击 (one-time shock),对于内生变
量的当前值和未来值所带来的影响 。
假如扰动项 同期不相关, 那么脉冲响应的解释就很直接 。 第 i个扰动
项 就只对第 i个内生变量有一个冲击 。 然而, 扰动之间大都是相关的, 可
以描述为它们有一个与被指定变量不相关的公共成分 。 为了解释脉冲, 最常
用的方法是引进一个转换矩阵, 使扰动项变成不相关,
这里 D是对角协方差矩阵 。 如下面所说明的, EViews提供多种关于 P的选择
方法 。
t?
ti,?
),0(~ DNPv tt ??
24
乔利斯基 （ Cholesky） 分解,
对于任意实对称正定矩阵 ?,存在惟一一个主对角线元素为 1的下三角形
矩阵 A和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵 D使得
（ 22.12）
利用这一矩阵 A可以构造一个 向量, 构造方法为,设
,则
由于 D是对角矩阵, 可得 的元素互不相关 。 其 （ j,j） 元素是 的方差 。
令 表示其 （ j,j） 元素为 的标准差的矩阵 。 注意到 （ 22.12） 可写为
（ 22.13）
其中
式（ 22.13）被称为乔利斯基（ Cholesky）分解。
AAD ???
PPADAD ????? 2121
21ADP ?
21D
)1( ?T
)( ttE ?? ???
tv
tv
tt Av ?1??
jtv
jtv
DAAADAAAAEAvvE tttt ??????????? ?????? 111111 ][][][][])[(][)( ??
25
二, 由 VAR产生脉冲响应函数
为了得到脉冲响应函数, 先建立一个 VAR模型, 然后在 VAR工具栏中选择
View/Impulse Response… 或者在工具栏选择 Impulse,并得到下面的对话框, 有
两个菜单,Display 和 Impulse Definition
26
(一 ) Display菜单提供下列选项,
1,Display Format(显示形式 )
选择以图或表来显示结果 。 如果选择 Combined Graphs 则 Response
Standard Error选项是灰色, 标准误差不被显示 。 而且应注意：输出表的格式
是以响应变量的顺序显示, 而不是脉冲变量 。
2,Display Information (显示信息 )
输入希望产生冲击的变量 （ Impulses） 和希望观察其脉冲响应的变量
（ Responses） 。 可以输入内生变量的名称, 也可以输入变量的对应的序数,
例如：如果 VAR模型以 GDP,M1,CPI的形式定义, 则既可以以,GDP CPI
M1的形式输入, 也可以以,1 3 2的形式输入 。 输入变量的顺序仅仅影响结
果的显示 。
还应定义一个确定响应函数轨迹期间的正整数 。 为了显示累计的响应,
需要单击 Accumulate Response选项 。 对于稳定的 VAR模型, 脉冲响应函数应
趋向于 0,且累计响应应趋向于某些非 0常数 。
27
3.Response Standard Error（ 脉冲响应标准误差 ）
提供计算脉冲响应标准误差的选项 。 解析的或 Monte Carlo标准误差对一
些 Impulse选项和误差修正模型 （ VEC） 一般不一定有效 。 若选择了 Monte
Carlo,还需在下面的编辑框确定合适的循环次数 。
(二 ) Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项,
28
29
1,Residual-One Unit (一单位残差 )
设置脉冲为残差的一个单位的冲击 。 这个选项忽略了 VAR模型残差的
单位度量和相关性, 所以不需要转换矩阵的选择 。 这个选项所产生的响应
函数是 VAR模型相对应 VMA(∞) 模型的系数 。
2,Residual-One Std.Dev (残差的一个标准偏差 )
设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击 。 这个选项忽略了 VAR残差的
相关性 。
3,Cholesky (乔利斯基 )
用残差协方差矩阵的 Cholesky 因子的逆来正交化脉冲。这个选项为
VAR模型的变量强加一个次序，并将所有影响变量的公共成分归结到在
VAR系统中第一次出现的变量上。注意：如果改变变量的次序，将会明显
地改变响应结果。可以在 Cholesky Ordering 的编辑框中重新定义 VAR中
变量的次序。
30
? ?
t tjti
pTee )/(,,
其中 p是 VAR每一个方程中的参数个数 。
no d.f.adjustment,估计残差协方差矩阵的第 （ i,j） 元素的计算是按下列
公式计算的,
?t tjti Tee /,,
4,Gneralized Impluses (广义脉冲 )
描述 Pesaran和 Shin(1998)构建的不依赖于 VAR中变量次序的正交的残差矩
阵 。 应用以上面的 Cholesky顺序计算的第 j个变量的 Cholesky因子得到第 j个变
量的扰动项的广义脉冲响应 。
d.f.adjustment,在估计的残差协方差矩阵利用 Cholesky 因子时进行小
样本的自由度修正。具有自由度修正的残差协方差矩阵的第 (i,j)元素的计算是
按下列公式计算的,
31
5,Structural Decomposition （ 结构分解 ）
用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵 。 如果没有先估计一个结构
因子分解矩阵, 这个方法是不能用的 。
6,User Specified（ 用户指定 ）
在这个选项中允许自己定义脉冲 。 建立一个包含脉冲的矩阵 （ 或向
量 ）, 并在编辑框中输入矩阵的名字 。 如果 VAR模型中有 k个内生变量, 则
脉冲矩阵必须是 k行和 1列或 k 列的矩阵, 每一列代表一个脉冲向量 。
例如：一个有 k（ = 3） 个变量的 VAR模型, 希望同步对第一个变量有
一个正的一个单位的冲击, 给第二个变量一个负的一单位的冲击, 可以建
立一个的脉冲矩阵, 值分别为,1,-1,0。 可以用命令执行如下,
matrix(3,1) shock
shock.fill(by=c) 1,-1,0
并在编辑框中键入矩阵的名字, shock 。
32
例 1 近几年来, 随着国民经济的稳定增长, 我国建材, 汽车, 机械, 家
电等主要的钢材需求行业得到了快速的发展, 有效地拉动了全社会对钢材的
需求 。 本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入数据做为各行业的
需求变量, 通过向量自回归模型 （ VAR模型 ） 的脉冲响应函数分析各下游行
业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响 。
设 VAR(3) 模型为,
式中, Yt是由 5个内生变量组成的向量, 即 Yt = (machinet electric_ht build_mt
cart steelt),其中 machinet, 机械销售收入； electric_ht, 家电销售收入；
build_mt, 建材销售收入； cart, 汽车销售收入； steelt, 钢材销售收入, ?t 为
扰动向量, A1,A2,A3 为参数矩阵 。
对 Yt 所选用的 5个变量的时间序列进行了协整检验, 检验的结果表明各
变量之间满足协整关系 。 这表明, 所选的各下游行业的销售收入与钢铁工业
的销售收入之间具有长期的均衡关系 。 在短期内由于随机干扰, 这些变量可
能偏离均衡值, 但这种偏离是暂时的, 最终会回到均衡状态 。
ttttt YAYAYAY ?? ????? ??? 332211
33
下面分别给各行业销售收入一个冲击 （ 选择乔利斯基分解 ）, 得到关于
钢材销售收入的脉冲响应函数图 。 横轴表示冲击作用的滞后期间数 （ 单位：
月度 ）, 纵轴表示钢材销售收入 （ 亿元 ）, 实线表示脉冲响应函数, 代表了
钢材销售收入对相应的行业销售收入的冲击的反应 。
34 y1,机械 ； y2,家电 ； y3,建材 ； y4,汽车 ； y5,钢材
35
1,从图中我们可以看出, 机械行业销售收入的正冲击经市场传递会给
钢材销售收入带来正面的影响, 并且此影响具有较长的持续效应 。
2,当给家电行业销售收入一个正冲击后, 也会给钢材销售收入带来正
面的冲击, 但是冲击幅度不是很大 。
3,给建材行业销售收入一个正冲击后, 钢材销售收入在前 4期内小幅上
下波动之后在第 6期达到最高点；从第 9期以后开始稳定增长 。 这表明建材行
业受外部条件的某一冲击后, 经市场传递给钢铁行业, 给钢铁行业带来同向
的冲击, 冲击效应在第 6个月时达到最大之后逐渐回落在第 9个月之后趋于稳
定 。 即建材行业销售收入的正向冲击对钢材的销售收入具有显著的促进作用,
并且这一显著促进作用具有较长的持续效应 。
4,给汽车行业销售收入一个正冲击后, 钢材销售收入在前 4期内会上下
波动；从第 4期以后开始稳定增长 。 这表明汽车行业的某一冲击也会给钢铁
行业带来同向的冲击 。 即汽车行业销售收入增加会在 4个月后对钢材的销售
收入产生稳定的拉动作用, 反之如果汽车行业销售收入的降低也会在 4个月
后给钢铁行业带来负面的冲击 。
36
§ 22.5 方差分解
脉冲响应函数描述的是 VAR中的一个内生变量的冲击给其他内生变量所
带来的影响 。 而方差分解是把内生变量中的变化分解为对 VAR的分量冲击 。
因此, 方差分解给出对 VAR中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要性
的信息 。
§ 22.5.1 方差分解的基本思路
脉冲响应函数是随着时间的推移, 来观察模型中的各变量对于冲击是如何
反应的, 然而对于只是要简单地说明变量间的影响关系又稍稍过细了一些 。 因
此 Sims于 1980年依据 VMA(∞ )表示, 提出了方差分解方法, 定量地但是相当
粗糙地把握变量间的影响关系 。 其思路如下,
由 VAR( p)模型,
(22.14)
相应的 VMA(∞ )表示为,
tptptt yAyAy ????? ?? ?11
37
(22.15)
可知第 i个变量 可以写成,
(22.16)
其中 k 是变量个数, (22.16 )式中各括号中的内容是第 j个扰动项 从无限过去
到现在时点对第 i个变量 影响的总和 。 求其方差, 因为 无序列相关, 故
j?
iy }{ jt?
j = 1,2,...,k (22.17)
这是把第 j个扰动项对第 i个变量的从无限过去到现在时点的影响, 用方差
加以评价的结果 。 此处还假定扰动项向量的协方差矩阵 是对角矩阵 。 ?
tt LLIy ???? )( 2210 ?????
)( 3,32,21,1,0
1
???????? ???
? jtijjtijjtijjtij
k
jit
y ????????
ity
22
,0
2
2,21,1,0 )(])[( jjijqqjtijjtijjtijE ????????
?
???
????? ?
38
于是 的方差 是上述方差的 k 项简单和
(22.19)
的方差可以分解成 k种不相关的影响, 因此为了测定各个扰动相对 的
方差有多大程度的贡献, 定义了如下尺度,
i,j = 1,2,…,k (22.20)
ity )var( ity
即 RVC（ Relative Variance Contribution） （ 相对方差贡献率 ） 是根据第 j个
变量基于冲击的方差对 的方差的相对贡献度来观测第 j个变量对第 i个变量
的影响 。 实际上, 不可能用直到 s =∞ 的来评价, 只需有限的 s项 。
VAR ( p ) 模型的前 s期的预测误差是
ity
112211 ??????? ???? tsststst ??????? ? (22.21)
ity ity
})({)v a r ( 22,
01 jjijqq
k
jit
y ???
??
???
})({
)(
)v a r (
)(
)(
22
,
01
22
,
0
22
,
0
jjijq
q
k
j
jjijq
q
it
jjijq
q
ij yR V C
??
????
?
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
??
ijq,?
39
故,
i,j = 1,2,…,k (22.22)
如果 大时, 意味着第 j个变量对第 i个变量的影响大, 相反地,
小时, 可以认为第 j个变量对第 i个变量的影响小 。
)( sRVC ij ??
)( sRVC ij ??
§ 22.5.2 如何由 EViews计算方差分解
为了得到 VAR的方差分解, 从 VAR的工具栏中选 View/Variance decompo-
sition项 。 提供和上面的脉冲响应函数一样的信息 。 注意, 因为非正交的因子分
解所产生的分解不具有较好的性质, 所以所选的因子分解仅限于正交的因子分
解 。
})({
)(
)(
22
,
1
01
22
,
1
0
jjijq
s
q
k
j
jjijq
s
q
ij sR V C
??
??
?
??
?
?
??
??
?
?
40
Table形式分别显示对每个内生变量的方差分解 。 与脉冲响应函数一样,
如果改变 VAR中变量的顺序, 基于 Cholesky 因子的方差分解能有明显的改
变 。 例如：在 VAR次序排列中的第一个变量的第一期分解完全依赖于它自
己的扰动项 。
41
第二列 S.E.是每个预测水平上的变量的预测误差 。 出现这种预测误差的原
因是,VAR中的各个内生变量的扰动项的现在值和将来值的变化 。 其余列显
示了每个变量扰动项所引起的预测方差所占的百分数, 每行加起来是 100。
42
我们考虑例 1中 机械行业 (y1),家电行业 (y2), 建材行业 (y3), 汽
车行业 (y4), 各下游行业需求冲击对钢材需求 (y5)的方差贡献率, 其经济
意义为,
较大时, 意味着第 j 个行业需求冲击对钢材需求的影响大；
相反地, 较小时, 可以认为第 j 个行业需求冲击对钢材需求的
影响小 。
下面分别给出各下游行业销售收入的变化对钢材销售收入的方差分解
图 。 图中横轴表示滞后期间数 （ 单位：月度 ）, 纵轴表示该行业需求对钢
材需求的贡献率 （ 单位：百分数 ） 。
)(5 sRVC j
)(5 sRVC j
43
从上面 4个图中我们可以看出, 不考虑钢铁行业自身的贡献率, 建材行业
对钢铁行业的贡献率最大在 36%左右, 其次是机械行业在 21%左右, 汽车行业
对钢铁行业的贡献率是逐渐增加的, 在第 20期左右达到 20%,家电行业的贡献
率较小仅为 5%左右 。
44
§ 22.6 VAR过程
VAR过程 (procs)中多数的过程和系统对象 （ System） 的过程一样,
在这里仅就对 VAR特有的过程进行讨论 。
一, Make System 建立系统
这个过程产生一个包括等同于 VAR详细定义的对象 。 如果想估计一
个非标准的 VAR,可以通过这个过程建立一个相应于 VAR的系统对象,
经过修改建立合适的联立方程系统 。
例如：如果 VAR对象要求每一个方程有相同的滞后结构, 就可以放
宽这个条件 。 这一过程有两个选择,
45
1,By Variable
该选项产生一个系统, 其说明和系数的显示是以变量的次序来显示 。
如果想排除系统某些方程中特定变量的滞后来进行编辑, 可以选用这个选
项 。
2,By Lag
产生一个以滞后数的次序来显示其详细的说明和系数的系统 。 如果想
排除系统某些方程中特定的滞后来进行编辑, 可以用这个选项 。
注意：标准 VAR可以用单方程 OLS方法来有效地估计, 对于调整后的
系统一般不能出现这种情况 。 当用系统对象估计非标准的 VAR模型时, 可
以用更复杂的系统估计方法 （ 如,SUR） 。
46
§ 22.7 向量误差修正及协整理论
很多宏观经济时间序列可能包含单位根, 这一发现刺激了非平稳时
间序列分析理论的发展 。 Engle和 Granger（ 1987a） 指出两个或多个非平
稳时间序列的线性组合可能是平稳的 。 假如这样一种平稳的或 I ( 0 ) 的线
性组合存在, 这些非平稳 （ 有单位根 ） 时间序列之间被认为具有协整关
系 (Cointegration)。 这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变
量之间的长期均衡关系 。 例如, 消费和收入可能具有协整关系 。 假如它
们不具有, 那么长期消费就可能比收入高或低, 于是消费者便会非理性
地消费或累积储蓄 。
47
§ 22.8 协整检验
协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整
检验, 如下面将要介绍的 Johansen协整检验 。 另一种是基于回归残差的协整
检验, 如 CRDW(Cointegration Regression Durbin-Watson)检验, DF检验,
ADF检验 。
§ 22.8.1 ADF协整检验
考虑 k 个 变量的时间序列,
我们可以建立如下的三种协整回归方程,
(22.23)
)1(I,,,,21 tktt yyy ? Ttk,,2,1,1 ???
(22.24)
(22.25)
其中 为扰动项 。 tu
?
?
??
k
j
ttjjt uyy
2
1 ?
?
?
???
k
j
ttjjt uyay
2
01 ?
?
?
????
k
j
ttjjt uytaay
2
201 ?
48
)?,,?,?(? 32 k??? ???b ),,,,( 21 ktttt yyy ??y
那么残差, 如果 k = 1,, 就是单位根检验；
如果 k > 1,就是检验单个序列 的单整性或检验之间 y1t,y2t,…,ykt 的
协整性, 问题也就变成了判断 是否为 I(1) 。 如果 为 I(1), 则 y1t 是单
整变量 (k = 1)或 y1t,y2t,…,ykt 之间没有协整关系 (k > 1) 。 反之, 承认
y1t,y2t,…,ykt 之间存在协整关系 。 因此等价的原假设为 是 I(1) 的,
备择假设为 是 I(0)的 。
在 EViews中执行 ADF协整检验, 须先从上述 （ 22.23） ～ （ 22.25）
中选择一种形式建立包含 k个变量 y1t,y2t,…,ykt 的回归方程, 然后计
算残差 。
ttu yb )?,1(? ??? tt yu 1? ?
tu?
tu?
tu?
tu? tu?
tu?
令
49
对 进行单位根检验, 从而确定 y1t,y2t,…,ykt 之间是否有协整关系 。
EViews将 DF,ADF检验都看成为 ADF检验 。 ADF检验考虑如下三种回归形
式,
对 ADF检验, 检验统计量是检验回归滞后因变量的 t 统计量, 注意关
于 的统计检验是单边检验, 当计算得到的 t统计量的值小于临界值时
拒绝原假设 （ 即否定存在单位根 ） 。
t
p
i
ititt uuu ??? ????? ?
?
??
1
1 ???
t
p
i
ititt uuau ??? ?????? ?
?
??
1
10 ???
t
p
i
ititt utauau ??? ?
?
?? ???????
1
210 ???
tu?
扩展定义将检验
??
?
?
?
0:
0:
1
0
?
?
H
H
0??
50 检验结果是 是平稳的, 即 是 I（ 0） 的, 从而 y1t,y2t,…,y5t 是协整的 。 tu? tu?
下面检验例 1的 5个变
量是否协整,对方程
Y5 = 0.095*Y4 + 0.2*Y3
+ 0.23*Y2 + 0.12*Y1
的残差进行 ADF检验,
51
§ 22.8.2 Johansen协整检验
协整检验的目的是决定一组非平稳序列是否是协整的 。 如下面所解释
的, 协整关系的出现形成了 VEC说明的基础, EViews给以 VAR为基础的协
整检验提供的工具是 Johansen (1991,1995a) 发展的方法论, 考虑阶数为 p
的 VAR模型,
(22.26)
其中, yt 是一个含有非平稳的 I (1)变量的 k 维向量； xt 是一个确定的 d 维的
向量； ?t 是扰动向量 。
ttptptt BxyAyAy ????????? ?? 11
52
我们可把 VAR重写为以下形式,
ttit
p
i
itt Bxyyy ????????? ?
?
?
? ?
1
1
1 (22.27)
(22.28) IAp
i
i ??? ?
?1
?
??
??? p
ij
ji A
1
Granger指出：如果系数矩阵 ? 的秩 r < k,那么存在 k ? r 阶矩阵
? 和 ?,它们的秩都是 r,使得 ? = ??',并且 ?'yt 是稳定的 。 其中 r是
协整关系的数量 （ 协整秩 ）,? 的每列是协整向量 。 正如下面解释, ? 中的
元素是向量误差修正模型 VEC中的 调整参数 。 Johansen方法是在无约束 VAR
的形式下估计 ? 矩阵, 然后求出 ?,从而检验出协整秩,(秩 (?)= r < k)，
得出协整向量 。
其中,
53
1,如何完成 Johansen协整检验
为了完成协整检验, 从 VAR或组的工具栏中选择 View/Cointegration
Test… 即可 。 因为这是一个协整的检验, 所以仅对已知非稳定的序列有效 。
可以首先对 VAR中每一个序列进行单位根检验, 单位根检验的详细内容可参
考的, 单位根检验, 的介绍 。 在 Cointegration Test Specification的对话框中将
详细提供关于检验的信息 。
54
（ 1） 确定性趋势的说明
序列也许会有非零均值和与随机趋势一样有确定趋势 。 类似地, 协整
方程也可能会有截距和确定趋势, 关于协整的 LR检验统计量的渐近分布不
再是通常的 分布, 它的分布依赖于与确定趋势有关的假设 。 因此为了完
成这个检验, 需要提供关于基本数据的趋势假设 。
EViews在 Deterministic Trend assumption of test 对话框中, 提供了 6种
选择, 对 Johansen考虑的下面五种可能的决定趋势形式提供了检验 （ 见
Johansen,1995,第 80～ 84页 ） 。
假设原数据没有确定性趋势,
1） 序列 yt 没有确定趋势, 协整方程没有截距,
2） 序列 yt 没有确定趋势, 协整方程有截距,
2?
112,)( ?? ???? ttt yBxyrH ??
)(:)( 0111 ??? ????? ??? ttt yBxyrH
55
允许原数据中有线性确定性趋势,
3） 序列 yt 有线性趋势和协整方程有截距,
4） 序列 yt 和协整方程都有线性趋势,
允许原数据中有二次确定性趋势,
5） 序列 yt 有二次趋势且协整方程有线性趋势,
6） 上述 5种假设的综合 。
这里, 是 阶矩阵, 且 。
00111 )(:)( ????? ??? ?????? ttt yBxyrH
01011 )(:)( ?????? ???? ??????? tyBxyrH ttt
)()(:)( 101011 ttyBxyrH ttt ??????? ???????? ???
?? )( rkk ?? 0?? ??? kr ?? )( ??
56
如果不能确定用哪一个趋势假设, 可以选择 Summary of all 5 trend
assump- tion(第 6个选择 )帮助确定趋势假设的选择 。 这个选项在五个趋
势假设的每一个下面都标明协整关系的个数, 可以看到趋势假设检验结
果的敏感性 。
（ 2） 外生变量
对话框允许指定包含于检验 VAR中的附加的外生变量 。 常数和
线性趋势不应被列在该编辑中, 因为它们被指定在五个 Trend
Specification选项 。 假如确实包含外生变量, 应当意识到 EViews算出的
临界值并没有考虑这些变量 。
tx
57
（ 3） 滞后区间
应当用一对数字确定 VAR检验的滞后区间 。 注意,滞后指定是用在辅助
回归中的一阶差分的滞后项, 而不是原序列水平项 。 例如, 如果在编辑栏中
键入 1 2,VAR检验用 对 和其它指定的外生变量作回归 。
2,协整检验结果的解释
对例 1的 5个变量的检验结果的第一部分输出如下,
正如在表头上解释的那样, 检验假设序列和协整关系都没有趋势项和截
距约束 （ 对话框中第 1种情况 ）, 由于 5个变量构成的方程的残差不存在序列
相关, 则差分的滞后编辑框中键入：, 0 0”。 表中第一部分的报告结果检验
了协整关系的数量, 并以两种检验统计量的形式显示,
ty? 21,?? ?? tt yy
58
（ 1） 迹检验统计量 （ Trace Statistic)
第一种检验结果是迹统计量, 列在第一个表格中 。 对于检验结果, 第一列
显示了在原假设成立条件下的协整关系数；第二列是 （ 22.27） 式中 矩阵按
由大到小排序的特征值；第三列是迹检验统计量；最后两列分别是在 5%和 1%
水平下的临界值 。
?
59
为了在趋势假设的条件下确定协整关系的数量, 我们依次进行从 r = 0
到 r = k - 1的检验, 直到被拒绝 。 这个序贯检验的结果在每一个表的最下方
显示 。
在迹统计量的输出中检验原假设有 r个协整关系, 而不是 k个协整关系,
其中 k是内生变量的个数, r = 0,1,…,k-1。 另一种情况是与有 k个协整关系
相对应的情况：所有的序列都没有单位根, 且一个稳定的 VAR模型的指定
是根据所有序列的水平项 。 对原假设是有 r个协整关系的迹统计量是按如下
的方法计算的,
)1lo g ()|(
1
?
??
??? k
ri itr
TkrLR ?(22.29)
60
第二种检验结果是最大特征值统计量，列在第二个表格中。 其中 是
(22.27)式中矩阵 的第 i个最大特征值，在输出表的第二列显示。
i?
?
上表是输出的第 2个检验结果表, 依据最大特征值统计量的检验结果表,
它所检验的原假设是有 r个协整关系, 反之, 有 r + 1 个协整关系 。 统计量是
按下面的方法计算的,
（ 2） 最大特征值统计量 (Max-Eigen Statistic)
61
)1lo g ()1|( 1m a x ????? rTrrLR ?
1,,1,0)|1()|( ????? krkrLRkrLR trtr ?
(22.30)
还有一些其它的细节必须记住,
（ 1） 临界值对直到 k=10个的序列都是有效的, 而且应注意：临界值
依赖于趋势假设, 对于包含其他确定性回归量的模型可能是不适合, 例如：
检验 VAR中的转换虚拟变量的引入可能使水平系列 产生一个不连续的线
性趋势 。
（ 2） 迹统计量和最大特征值统计量的结论可能产生冲突 。 对这样的情
况, 建议评价检验估计得到的协整向量和基于所作的选择解释协整关系 。
（ 3） 在一些情况中, 单个的单位根检验显示有些序列是单整的, 但协
整检验表明矩阵 是满秩的 （ r = k） 。 可能因为样本个数较少或表明有定
义错误 。
ty
?
62
（ 3） 协整关系
输出的第二部分提供协整关系 和调整参数 的估计 。 如我们所知道
的, 如果不强加一些任意的正规化条件, 协整向量 是不能被识别的 。 在第
一块中报告了基于正规化 （ 其中 在 Johansen(1995a)中被定义 ）
的 和 的估计结果 。 注意：在 Unrestricted Cointegrating Coefficients下 的
变换输出结果：第一行是第一个协整向量, 第二行是第二个协整向量, 以
此类推 。
? ?
?
IS ??? 11' 11S
??
?
63
其余的部分是在每一个可能的协整关系数下不同正规化后估计的输出结果,
r = 0,1,…,k - 1。 另一个可选择的正规化方法是：在系统中, 前 r 个变量作
为其余 个变量的函数 。 近似的标准误差在可识别参数的圆括号内输出 。 rk?
64
§ 22.9 向量误差修正模型 (VEC) 的估计
向量误差修正模型 （ VEC） 是一个有约束的 VAR模型, 并在解
释变量中含有协整约束, 因此它适用于已知有协整关系的非平稳序
列 。 因为 VEC模型有协整关系, 当有一个大范围的短期动态波动时,
VEC表达式会限制内生变量的长期行为收敛于它们的协整关系 。 因
为一系列的 局部 短期调整可以修正长期均衡的偏离, 所以协整项被
称为是 误差修正项 。
65
一个简单的例子：考虑一个两变量的协整方程并且没有滞后的差分项 。
协整方程是,
且 VEC是,
在这个简单的模型中, 等式右端唯一的变量是误差修正项 ut-1 。 在长
期均衡中, 这一项为 0。 然而, 如果 在上一期偏离了长期均衡, 则
误差修正项非零并且每个变量会进行调整以部分恢复这种均衡关系 。 系数
代表调整速度, 测量第 i个内生变量向均衡调整的速度 。
在这个模型中, 两个内生变量 可以有非零均值, 但是为使例
子简单, 上面的协整方程没有常数项, 尽管滞后差分项的使用很普遍, 但
我们在等式右边没有使用滞后差分项 。
ttt uyy ???,1,2 ?
tttt yyy,11,11,21,1 )( ??? ????? ??
tttt yyy,21,11,22,2 )( ??? ????? ??
21,yy
21,??
(22.31)
tt yy,2,1,
66
如果两个内生变量 和 不含趋势项并且协整方程有截距, 则 VEC有如
下形式,
另一个 VEC表达式假设在序列中有线性趋势并且在协整方程中有常数, 因
此它的形式如下,
相似地, 在序列中有线性趋势并且在协整方程中有线性趋势项,
ty,1 ty,2
(22.32)
tttt yyy,11,11,21,1 )( ???? ?????? ??
tttt yyy,21,11,22,2 )( ???? ?????? ??
tttt yyy,21,11,222,2 )( ????? ??????? ??(22.33)
tttt ytyy,11,111,211,1 )( ?????? ???????? ??
tttt ytyy,21,111,222,2 )( ?????? ???????? ??(22.34)
tttt yyy,11,11,211,1 )( ????? ??????? ??
最后, 如果在每个 VEC等式的括号外存在线性趋势项, 那么序列中便存在
着隐含的二次趋势项 。
tttt ytyty,11,111,2111,1 )( ??????? ????????? ??
tttt ytyty,21,111,2222,2 )( ??????? ????????? ??
(22.35)
67
§ 22.9.1 如何估计 VEC模型
由于 VEC表达式仅仅适应于协整序列, 所以应先运行 Johansen
协整检验, 并决定协整关系数 。 需要提供协整信息作为 VEC定义的
部分 。
为建立一个 VEC,单击 VAR工具栏中的 Estimate,然后从 VAR
Type中选择 Vector Error Correction项 。 在 VAR Specification栏中, 除
了下面的之外, 应该提供与无约束的 VAR相同的信息,
1,常数或线性趋势项不应包括在 Exogenous Series的编辑框中 。
对于 VEC模型的常数和趋势说明应定义在 Cointegration栏中 。
68
2,对 VEC模型常数和趋势项的说明在 Cointegration栏 。 必须从五个趋
势假设说明中选择一个 （ 见前述的, 确定性趋势说明, 的解释 ） 。 还必须
在适当的编辑框中填入协整关系的个数, 是小于 VEC模型中内生变量的个
数的正数 。
69
3,在 VEC中滞后间隔的说明指一阶差分的滞后 。 例如：滞后说
明, 1 1”将包括 VEC模型右侧的变量的一阶差分项的滞后, 即 VEC是
两阶滞后约束的 VAR模型 。 为了估计没有一阶差分项的 VEC模型,
指定滞后的形式为：, 0 0”。
4, 如果想强加约束于协整关系或 （ 和 ） 调整参数, 用
Restrictions栏 。 在, 协整向量的约束, 对这一点描述更详细 。 注意：
如果没在 VAR Specification栏中单击 Vector Error Correction项, 这
一栏将是灰色的 。
一旦填完这个对话框, 单击 OK估计 VEC。 VEC的估计分两步完
成：在第一步, 利用 Johansen协整检验方法估计协整关系；第二步,
用所估计的协整关系构造误差修正项, 并估计包括误差修正项作为
回归量的一阶差分的 VAR。
70
§ 22.9.2 VEC估计的输出
VEC估计的输出包括两部分 。 第一部分显示了第一步从 Johansen过程
所得到的结果 。 如果不强加约束, EViews将会用系统默认的可以识别所
有的协整关系的正规化方法 。 系统默认的正规化表述为, 在 VEC中前 r 个
变量作为剩余 k - r 个变量的函数, 其中 r 表示协整关系数, k 是 VEC中
内生变量的个数 。 在约束条件下, 对于可识别参数的渐近标准误差 （ 以
自由度修正的 ） 也被输出 。
第二部分输出是从第一步之后以误差修正项作为回归量的一阶差分
的 VAR。 误差修正项以 CointEq1,CointEq2,…… 表示形式输出 。 输出形
式与, VAR估计输出, 的无约束的 VARs输出形式相同, 带有一阶差分 。
在 VEC输出表的底部, 可以看到系统的两个滞后的似然值 。 第一个值标
有 Log Likelihood(d.f.adjusted),这是无约束的 VARs的滞后似然值 。 标有
Log Likelihood的值是以没有修正自由度的残差协方差矩阵计算的 。
71
72
§ 22.9.3 VEC的视图与过程
对 VEC有用的视图和过程大多数与上面 VAR所介绍的一样, 在这里仅
介绍对 VEC模型特殊指定的 。
1,协整关系
View/Cointegration Graph输出在 VEC中所用的被估计的协整关系的曲
线 。 为了保存这些协整关系作为工作表中以命名的序列, 用 Proc/Make
Cointegration Group即可 。 这个过程将建立并输出一个未命名的组对象, 包
括用以命名的序列估计的协整关系 。 这些序列被命名为 COINTEQ01,
COINTEQ02等等 。
2,预测
目前对 VAR或 VEC的预测不能从 VAR对象得到, 但可以通过解决由已
估计的 VAR/VEC创造的一个模型得到 。 从 VAR窗口的工具栏击 Proc/Make
Model从已估计的 VEC/VAR建立一个模型对象 。 同时可以对模型的说明做
任何变化, 包括在求解模型获得预测以前对表达式的修改, 参考第 24章
,模型,, 对在 EViews中如何从模型对象中预测进行了更进一步的讨论 。
73
3,Make System 建立系统
这个过程产生一个包括等同于向量误差修正模型 （ VEC） 定义的系统对
象, 其协整向量的系数固定为 VEC模型估计值 。 如果想在系统中估计协整向
量的系数, 可以编辑系统说明, 但必须确定系统是可识别的, 经过修改建立
合适的联立方程系统 。
74
4,获得 VAR的系数
（ 无约束 ） 的 VAR系数可以通过两维数组 C的元素来得到 。 C的第一维
指 VAR的方程数, 第二维指每一个方程的变量数 。 例如,C (2,3) 是在
VAR中第二个方程的第三个回归量的系数, 命名为 var01的 VAR模型的 C (2,
3)的系数可以通过下面的命令得到,
var01.c(2,3)
为了检查 C中每一个元素与估计的系数的相应关系, 从 VAR的工具栏
中选择 View/Representations。
5,VEC系数的获得
对于 VEC模型, 系数的估计保存在三个不同的二维数组中,A,B和
C。 A包含调整参数； B包含协整向量； C包含短期参数 （ 一阶差方项滞后
的系数 ） 。
75
（ 1） A的第一个指标是 VEC的方程序号, 第二个指标是协整方程的序
号 。 例如, A（ 2,1） 表示,VEC的第二个方程中的第一个协整方程的调
整系数 。
（ 2） B的第一个指标是协整方程序号, 第二个指标是协整方程的变量
序号 。 例如, B（ 2,1） 表示：第二个协整方程中第一个变量的系数 。 注
意：这个索引与的转移相对应 。
（ 3） C的第一个指标是 VEC的方程序号, 第二个指标是 VEC中一阶差
分回归量的变量序号 。 例如, C(2,1)表示,VEC第二个方程中第一个一阶
差分回归量的系数 。
在 VEC模型的名字后面加一个点号和系数元素, 就可以获得这些系数,
如,
var01.a(2,1)
var01.b(2,1)
var01.c(2,1)
要察看 A,B和 C的每一个元素和被估计系数的对应关系, 从 VAR的工
具栏中选择 View/Representations 即可 。
76
§ 22.9.4 利用 两步估计方法建立 一般的 VEC模型
以两个变量 yt,xt 的误差修正模型为例,
(22.36)
模型 (22.36)的解释变量中含有未知参数 k1,不能直接使用 OLS估计,
Engle和 Granger(1981)给出了两步估计方法, 第一步是求模型
,
的 OLS估计, 又称协整回归, 得到 及残差估计
第二步是用 替换 (22.36)式中的, 即对
再用 OLS方法估计其参数 。
ttttt xxkyy ???? ??????? ?? 011110 )(
y k x ut t t? ?1 Tt,,2,1= ?
?k1
? ?,u y k xt t t? ? 1 Tt,,2,1= ?
?ut?1 ( )y k xt t? ??1 1 1
tttt xuy ???? ?????? ? 0110 ?
77
误差修正模型不是单纯地使用变量的水平值 （ 指变量的原始值 ） 或
变量的差分建模, 而是把两者有机地结合在一起, 充分利用这两者所提
供的信息 。 从短期看, 被解释变量的变动是由较稳定的长期趋势和短期
波动所决定的, 短期内系统对于均衡状态的偏离程度的大小直接导致波
动振幅的大小 。 从长期看, 协整关系式起到引力线的作用, 将非均衡状
态拉回到均衡状态 。
我们举一个建立两个变量 (财政支出 Yt 和财政收入 Zt 的对数 ) 间的
误差修正模型的实际例子, 数据是 1978年 —1999年的年度数据 。 小写字
母表示它们的对数, 即 yt = ln(Yt),zt = ln(Zt) 。 通过检验可知, yt ～ I(1)，
zt ～ I(1),且二者之间存在着协整关系, 即存在长期均衡关系 。
第 1步使用 OLS方法估计模型
(22.37)
ttt uzky ??? 1?
78
其结果为 (22.38)
第 2步建立误差修正模型 。 使用 OLS方法估计模型
(22.39)
其结果为
(22.40)
)88.1 1 4()2 0 5.3(
0 3 5 9.12 3 0 8.0
?
??? tt zy
92.1.,9 9 8.02 ?? WDR
tttt
ttttt
zzy
zzkyy
????
?????
??????
???????
??
??
01110
011110
)0 3 5 9.123.0(
)(
)03.9()36.4()83.0(
94.0)0 3 5 9.123.0(0 1 8 2.1011.0 11
?
???????? ?? tttt zzyy
52.1.,488.02 ?? WDR
由上述模型我们可以得到这样的解释：财政收入的对数的系数为 1.0359,
体现了我国财政支出的, 量入为出, 的原则, 但是也说明了我国财政支出略
大
于财政收入的现实状况 。
79
对于模型 (22.39), 我们最感兴趣的是调整参数 ?1,它对于系统的动
态调整具有重要的意义 。 如果 ?1= 0,? zt 根本不能对 t – 1 期的偏离均
衡做出调整 。 我们知道, 如果 yt 和 zt 是协整的, 那么 ?1 应该显著地不为
零 。 由 (22.40)式可知, 其 t 值为 - 4.36,可知 ?1显著地不为
零 。
我们可以得到经济意义上的解释是, 当 t – 1 期 yt + 0.23–1.0359 zt > 0
时, 亦即 t – 1期的财政支出向上偏离长期均衡时, 调整系数 –1.0182 会减
少期财政支出的增量, 调整 t 期的财政支出向长期均衡靠近 。
反之, 当 t – 1 期 yt + 0.23–1.0359 zt < 0 时, 即 t – 1 期的财政支出向
下偏离长期均衡时, 调整系数 –1.0182 会增大 t 期财政支出的增量, 调整 t
期的财政支出向长期均衡靠近 。
0182.1?1 ???
第二十二章 向量自回归和误差修正模型
联立方程组的结构性方法是用经济理论来建立变量之间关系的模型 。 但
是, 经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明 。 并
且, 内生变量既可以出现在等式的左端又可以出现在等式的右端使得估计和
推断更加复杂 。
为解决这些问题产生了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的
模型, 就是这一章所讲述的向量自回归模型 （ Vector Auto regression,VAR）
以及向量误差修正模型 （ Vector Error Correction,VEC） 的估计与分析 。 同时
也给出一些检验几个非稳定变量之间协整关系的工具 。
2
§ 22.1 向量自回归理论
向量自回归 （ VAR） 常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机
扰动对变量系统的动态影响 。
VAR方法通过把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后
值的函数来构造模型, 从而回避了结构化模型的需要 。 一个 VAR(p) 模型的
数学形式是,
(22.1)
这里 yt 是一个 k 维的内生变量, xt 是一个 d 维的外生变量 。 A1,…,Ap
和 B是待估计的系数矩阵 。 ?t 是扰动向量, 它们相互之间可以同期相关, 但
不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关 。
ttptptt BxyAyAy ????????? ?? 11
3
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t
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t
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y
y
A
y
y
y
A
y
y
y
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?
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???
2
1
2
22
21
2
1
12
11
1
2
1
由于仅仅内生变量的滞后值出现在等式的右边, 所以不出现同期性
问题, 并且 OLS能得到一致估计 。 即使扰动向量 ?t 有同期相关, 但
OLS仍然是有效的, 因为所有的方程有相同的回归量, 所以其与 GLS是
等价的 。 注意, 由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 滞后项而
被调整 （ absorbed）, 所以扰动项序列不相关的假设并不严格 。
4
???
?
???
??
???
?
???
??
???
?
???
?
???
?
???
??
???
?
???
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2
1
2
1
2
2
2221
1211
1
1
2221
1211
111 ?
?
C
C
M
IP
bb
bb
M
IP
aa
aa
M
IP
t
t
t
t
t
t
作为 VAR的一个例子, 假设工业产量 （ IP） 和货币供应量 （ M1） 联
合地由一个双变量的 VAR模型决定, 并且让常数为唯一的外生变量 。 内
生变量滞后二阶的 VAR(2)模型是,
(22.2)
其中, aij,bij,ci 是待估计的参数 。 也可表示成,
tttttt CMbIPbMaIPaIP,11212211112111 11 ??????? ????
tttttt CMbIPbMaIPaM,22222221122121 111 ??????? ????
5
§ 22.2 估计 VAR模型及估计输出
§ 22.2.1 建立 VAR模型
为了详细说明一个向量自回归模型, 必须创建一个 VAR对象, 选择
Quick/Estimate VAR… 或者选择 Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入
VAR。 下面的对话框便会出现,
6
在对话框内添入适当的信息 。
1,选择说明类型
选择无约束向量自回归 （ Unrestricted VAR ） 或者向量误差修正
（ Vector Error Correction ） 。 前面例子中的 VAR是无约束 VAR,会在下面
详细解释 VEC 模型 。
2,设置样本区间
3,设置变量
在相应的编辑栏中输入适当的内生及外生变量 。 系统通常会自动给出
常数 c作为外生变量 。 如果所列的序列太长, 我们可以先建立一个包含这
些序列的组对象, 然后直接输入组的名字 。
7
4,在相应的编辑框中输入滞后信息 这一信息将会告诉 EViews哪个
滞后变量应该被包括在每个等式的右端 。 这一信息应成对输入：每一对
数字描述一个滞后区间 。 例如, 滞后对,
1 4
告诉 EViews用系统中所有内生变量的一阶到四阶滞后变量作为等式
右端的变量。
可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如,
2 4 6 9 12 12
表示：用 2 – 4 阶,6 – 9 阶及第 12 阶滞后变量。
前面例子对话框中的 VAR模型 。 取 IP,M1和 TB3三 个内生变量, 这
个模型用了 1 – 2 阶滞后变量并且仅仅常数是外生变量 。
其余两个菜单 （ Cointegration 和 Restrictions） 仅与 VEC模型有关,
将在后面介绍 。
8
表中的每一列对应 VAR中一个内生变量的方程 。 对方程右端每一个变量,
EViews会给出系数估计值, 估计系数的标准误差及 t - 统计量 。 例如在 TB3方
程中 IP(-1)的系数是 0.087563。 (VAR02包含外生变量 )
§ 22.2.2 VAR估计的输出
一旦设定了 VAR,单击 OK。 EViews将会在 VAR窗口显示估计结果
(VAR01),
9
两类回归统计量出现在 VAR估计输出的底部,
输出的第一部分显示的是每个方程的标准 OLS回归统计量。分别计算每
个方程的结果（使用各自的残差项），并被显示在对应的列中。第二部分是
VAR系统的回归统计量。
10
§ 22.3 VAR 视图和过程
一旦估计一个 VAR模型,EViews会提供关于被估计 VAR模型的各种视
图。这一部分仅讨论与 VAR模型有关的特定的视图。其它的视图和过程可
参考第 21章：系统估计。
§ 22.3.1 诊断视图
在 VAR窗口的 View/Lag Structure和 View/Residual Tests菜单下将提供一
系列的诊断视图。这些将有利于检验被估计 VAR模型的合适性。
1,Lag Structure (滞后结构 )
AR Roots Table/Graph (AR根的图表 )
如果被估计的 VAR模型所有根的模小于 1并且位于单位圆内, 则其是
稳定的 。 如果模型不稳定, 某些结果将不是有效的 （ 如：脉冲响应标准误
差 ） 。 共有 kp 个根, 其中 k 是内生变量的个数, p 是最大滞后阶数 。 前
面的例子中存在一个根大于 1,所以模型是不稳定的 (VAR01)。 将 IP,M1
差分得到的 VAR模型是稳定的 (VAR03) 。
11
残差的协方差的行列式值由下式得出,
(22.3)
其中 p 是 VAR每一方程的参数个数, ?t 是 k 维残差向量 。 通过假定服从多
元正态 （ 高斯 ） 分布计算对数似然值,
(22.4)
两个信息准则由下面两式算出,
其中 n = k(d + pk) 是 VAR中被估计的参数的总数, k 是内生变量数, T 是
样本长度, 这些信息准则可被用于模型的选择, 例如决定 VAR的滞后长度；
信息准则的值越小模型越好 。 值得注意的是, 一些参考文献通过不同的方法
来定义 AIC/SC,如在似然函数中忽略常数项或不除以 T,请见附录 F中关于各
种信息准则的附加讨论 。
???
?
???
? ?
??? ?t ttpT ?? ??
1d e t?
? ? ????? ?lo g22lo g12 TTkl ?
TnTlA I C 22 ???
TTnTlSC lo g2 ??? (22.5)
12
原假设
?2统计
量
自由度 p-值
R
方
程
实际 M1外生于实际利率 3.78 3 0.286
实际 GDP外生于实际利率 9.00 3 0.029
实际 M1、实际 GDP同时外
生于实际利率 16.8
6
0.010
Log(M
1)方
程
实际利率外生于实际 M1 2.65 3 0.449
实际 GDP外生于实际 M1 6.03 3 0.110
实际利率、实际 GDP同时外
生于实际 M1 17.63
6
0.007
Log(G
DP)方
程
实际利率外生于实际 GDP 1.49 3 0.684
实际 M1外生于实际 GDP 2.84 3 0.418
实际利率、实际 M1同时外
生于实际 GDP 4.38
6 0.625
13
2,Residual Tests(残差检验 )
（ 1） Correlogram (相关图 )
显示 VAR在指定的滞后数的条件下的被估计的残差交叉相关图 （ 样本
自相关 ） 。 交叉相关图能以三种形式显示：有两种表格形式, 一种是以变
量来显示 （ Tabulate by Variable）, 另一种是以滞后阶数来显示 (Tabulate by
Lag)。 曲线图 （ Graph） 显示交叉相关图的矩阵形式 。 点线代表滞后的相关
系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图 （ 以 计算 ） 。
（ 2） Portmanteau Autocorrelation Test（ 混合的自相关检验 ）
计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量 Q统计量 。 同时计算
出 Q统计量和调整后的 Q统计量 （ 即：小样本修正 ） 。 在 原假设是滞后 h期
没有残差序列自相关 的条件下, 两个统计量都近似的服从自由度为
的 ? 2 统计量, 其中 p为 VAR滞后阶数 。
T1
)(2 phk ?
14
（ 3） Autocorrelation LM Test (自相关 LM检验 )
计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量 LM检验统计量 。 滞后 h
阶数的检验统计量是通过关于原始右侧回归量残差 ut 和滞后残差 ut-h 的辅
助回归运算计算得到的, 这里 ut-h 缺少的前 h个值被赋予 0。 参考 Johansen
(1995a.p.22)LM统计量的计算公式 。 在 原假设是滞后 h期没有序列相关 的条件
下, LM统计量渐近的服从自由度为 k2 的 ? 2 统计量 。
（ 4） Normality Test (正态检验 )
计算残差的 J-B正态检验, 这种检验主要是比较残差的第三, 第四阶残差
矩与来自正态分布的那些矩 。 对于多变量检验, 必须选择一 k维残差分解因子,
使其与其他的每一个残差都是正交的 （ 参考脉冲相应函数对正交的详细讨论 ） 。
设 P 是如下的 因子分解矩阵,
（ 22.7）
其中 ut 是不符合要求的残差序列 。
),0(~ ktt INPuv ?
kk?
15
定义第三, 第四阶矩向量为,
则在 原假设是服从正态分布 的条件下, 有,
因为每一个组成部分之间是相互独立的, 所以对任意的这些第三, 第四阶矩
平方求和可形成一个 ? 2 统计量 。 EViews为每一个正交分量 （ 标明残差 1、
残差 2等等 ） 和整体检验都提供检验统计量 。 对于单个分量, 被估计的偏度
(skewness)和峰度 (kurtosis)被列出在前两块中, J-B统计量列在第三块 。
（ 5） White Heteroskedasticity Test (White异方差检验 )
这些检验是针对系统方程的 White’s检验的扩展 。 这个回归检验是通过残
差序列每一个回归量交叉项乘积的回归来实现的, 并检验回归的显著性 。
?? t t Tvm 33 ?? t t Tvm 44
???
?
???
?
??????????????? ?
k
k
I
IN
m
m
240
06,0
34
3
16
No Cross Terms 选项仅仅用于原始回归量的水平值及平方项检验 。
With Cross Terms 选项包括被检验方程中原始回归变量所有的非多余
的交叉乘积检验, 回归方程还包括一个常数项作为回归量 。
输出的第一部分显示每一个被检验的回归方程除常数项之外的回归量
的显著性 。 可以把每一个回归方程的检验作为残差协方差矩阵的每一个元
素独立的不变性检验 。 在 原假设是没有异方差 的条件下, 非常数回归量不
是联合显著的 。
在输出的最后一行显示被检验方程系统的所有回归量的 LM ? 2 平方
统计量的联合显著性 。 系统的 LM 统计量服从自由度为 mn 的 ?2 分布,
其中 m = k (k + 1)/2,是系统残差交叉乘积的个数； n 为检验回归方程
中通常形式下右边的变量个数 。
17
§ 22.4 脉冲响应函数
一旦已经估计了 VAR模型, EViews会提供很多方法利用已估计的 VAR来
进行进一步的分析 。 在实际应用中, VAR的主要用处是脉冲响应分析, 方差分
解和 Granger 因果检验 。
§ 22.4.1 脉冲响应函数的基本思想
一, 二变量模型的脉冲响应函数
用时间序列模型来分析影响关系的一种思路, 是考虑扰动项的影响是如
何传播到各变量的 。 以下先根据 VAR(2)模型来说明脉冲响应函数的基本思想 。
(22.8)
其中, 是参数, 扰动项为, 假定是具有下面这样性质
的白噪声向量,
?
?
?
?????
?????
????
????
tttttt
tttttt
zdzdxcxcz
zbzbxaxax
222112211
122112211
?
?
iiii dcba,,,),( 21 ?? tttv ??
18
现在假定上述系统从０期开始活动, 且设, 又设于第
０期给定了扰动项, 并且其后均为０, 即,t ＝１,
２ ……, 称此为第０期给 x 以脉冲, 下面讨论 xt 与 zt 的变化, 于第０期
02121 ???? ???? zzxx
0,1 2010 ?? ??
0,1 00 ?? zx
将其结果代入 (22.8)式, 第 1期
1111,czax ??
再把此结果代入 (22.8)式, 第 2期
112112 cdcacz ???,12212 cbaax ???
021 ?? tt ??
?
?
?
?
?
?
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?????
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tv
st
ttt
t
,0)(
,
0
0
)()(
,0)(
2
2
2
1
?
?
19
继续这样计算下去, 设求得结果为
称为由 x 的脉冲引起的 x 的响应函数 。 同样求得
称为由 x 的脉冲引起的 z 的响应函数 。
当然, 第０期的脉冲反过来, 从 出发, 可以求出由 z 的脉
冲引起的 x 的响应函数和 z 的响应函数 。 因为以上这样的脉冲响应函数明显
地捕捉对冲击的波 动 及效果, 所以和计量经济模型的冲击乘数分析类似 。
??,,,,,43210 xxxxx
??,,,,,43210 zzzzz
1,0 2010 ?? ??
二, 一般的多变量 VAR模型的脉冲响应函数
将上述讨论推广到多变量 VAR模型上去
(22.9)
也可改写为
这里 yt 是一个 k 维内生变量向量, ?t 是协方差矩阵为 ? 的扰动向量 。
tptptt yAyAy ????? ?? ?11
ttpp yLALAI ????? )( 1 ?
20
假如 VAR(p)可逆, 我们可以得到 VMA(∞) 的表达式,
(22.10)
VMA表达式的系数可按下面的方式给出,VAR的系数 A和 VMA的系数
必须满足下面关系,
(22.11)
其中, 。 关于 的条件递归定义了 VMA系数,
?
ILCLCI ???? ?221
021 ??? ?CC
11 A??
2112 AA ?? ??
?
t
t
p
pt
LLI
LALAIy
???
?
)(
)(
2
21
1
1
?
?
????
???? ?
ILLILALAI pP ??????? ))(( 2211 ?? ??
从而可知 VMA的系数可以由 VAR的系数递归得到 。
qC
pqPqqq AAA ??? ???? ????,..2211
21
考虑 VMA(∞) 的表达式
设, y 的第 i个变量 可以写成,
其中 k 是变量个数 。
仅考虑 2个变量 (k = 2)的情形,
ity
)( 3,32,21,1,0
1
???????? ???
? jtijjtijjtijjtij
k
jit
y ????????
现在假定在基期给 一个单位的脉冲, 即,
–2 –1 0 1 2 3 4 5 ……… t
1y
??
? ??
e ls e
t
t,0
0,1
1?
tt LLIy ???? )( 2210 ?????
)(,ijqq ?? ?
????
?
?
???
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???
?
???
?
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?
?
2,2
2,1
22,221,2
12,211,2
1,2
1,1
22,121,1
12,111,1
,2
,1
22,021,0
12,011,0
2
1
t
t
t
t
t
t
t
t
y
y
?
?
??
??
?
?
??
??
?
?
??
??
tt ??,02?
110??
22
由 的脉冲引起的 的响应函数,
1y 2y ?21,221,121,0,,???
21,44,2
21,33,2
21,22,2
21,11,2
21,00,2
,4
,3
,2
,1
,0
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
yt
yt
yt
yt
yt
? ?
由上述推导可知由 的脉冲引起的 的响应函数序列是由 VMA(∞) 中
系数矩阵 第 2行, 第 1列的元素组成,q = 1,2,… 。 因此, 一般地,
由 的脉冲引起的 的响应函数可以求出如下,
其中, 代表着对第 j个变量的单位冲击引起第 i个变量的第 q期滞后反映 。
jy iy
??,,,,,,4,3,2,1,0 ijijijijij ?????
)(,ijqq ?? ?
1y 2y
ijq,?
23
§ 22.4.2 计算 脉冲响应函数
一,EViews中的脉冲响应函数
由以上讨论可知, 对第 i个变量的冲击不仅直接影响第 i个变量, 并且通
过 VAR模型的动态 （ 滞后 ） 结构传导给所有的其它内生变量 。 脉冲响应函数
描绘了在一个扰动项上加上一次性的一个冲击 (one-time shock),对于内生变
量的当前值和未来值所带来的影响 。
假如扰动项 同期不相关, 那么脉冲响应的解释就很直接 。 第 i个扰动
项 就只对第 i个内生变量有一个冲击 。 然而, 扰动之间大都是相关的, 可
以描述为它们有一个与被指定变量不相关的公共成分 。 为了解释脉冲, 最常
用的方法是引进一个转换矩阵, 使扰动项变成不相关,
这里 D是对角协方差矩阵 。 如下面所说明的, EViews提供多种关于 P的选择
方法 。
t?
ti,?
),0(~ DNPv tt ??
24
乔利斯基 （ Cholesky） 分解,
对于任意实对称正定矩阵 ?,存在惟一一个主对角线元素为 1的下三角形
矩阵 A和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵 D使得
（ 22.12）
利用这一矩阵 A可以构造一个 向量, 构造方法为,设
,则
由于 D是对角矩阵, 可得 的元素互不相关 。 其 （ j,j） 元素是 的方差 。
令 表示其 （ j,j） 元素为 的标准差的矩阵 。 注意到 （ 22.12） 可写为
（ 22.13）
其中
式（ 22.13）被称为乔利斯基（ Cholesky）分解。
AAD ???
PPADAD ????? 2121
21ADP ?
21D
)1( ?T
)( ttE ?? ???
tv
tv
tt Av ?1??
jtv
jtv
DAAADAAAAEAvvE tttt ??????????? ?????? 111111 ][][][][])[(][)( ??
25
二, 由 VAR产生脉冲响应函数
为了得到脉冲响应函数, 先建立一个 VAR模型, 然后在 VAR工具栏中选择
View/Impulse Response… 或者在工具栏选择 Impulse,并得到下面的对话框, 有
两个菜单,Display 和 Impulse Definition
26
(一 ) Display菜单提供下列选项,
1,Display Format(显示形式 )
选择以图或表来显示结果 。 如果选择 Combined Graphs 则 Response
Standard Error选项是灰色, 标准误差不被显示 。 而且应注意：输出表的格式
是以响应变量的顺序显示, 而不是脉冲变量 。
2,Display Information (显示信息 )
输入希望产生冲击的变量 （ Impulses） 和希望观察其脉冲响应的变量
（ Responses） 。 可以输入内生变量的名称, 也可以输入变量的对应的序数,
例如：如果 VAR模型以 GDP,M1,CPI的形式定义, 则既可以以,GDP CPI
M1的形式输入, 也可以以,1 3 2的形式输入 。 输入变量的顺序仅仅影响结
果的显示 。
还应定义一个确定响应函数轨迹期间的正整数 。 为了显示累计的响应,
需要单击 Accumulate Response选项 。 对于稳定的 VAR模型, 脉冲响应函数应
趋向于 0,且累计响应应趋向于某些非 0常数 。
27
3.Response Standard Error（ 脉冲响应标准误差 ）
提供计算脉冲响应标准误差的选项 。 解析的或 Monte Carlo标准误差对一
些 Impulse选项和误差修正模型 （ VEC） 一般不一定有效 。 若选择了 Monte
Carlo,还需在下面的编辑框确定合适的循环次数 。
(二 ) Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项,
28
29
1,Residual-One Unit (一单位残差 )
设置脉冲为残差的一个单位的冲击 。 这个选项忽略了 VAR模型残差的
单位度量和相关性, 所以不需要转换矩阵的选择 。 这个选项所产生的响应
函数是 VAR模型相对应 VMA(∞) 模型的系数 。
2,Residual-One Std.Dev (残差的一个标准偏差 )
设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击 。 这个选项忽略了 VAR残差的
相关性 。
3,Cholesky (乔利斯基 )
用残差协方差矩阵的 Cholesky 因子的逆来正交化脉冲。这个选项为
VAR模型的变量强加一个次序，并将所有影响变量的公共成分归结到在
VAR系统中第一次出现的变量上。注意：如果改变变量的次序，将会明显
地改变响应结果。可以在 Cholesky Ordering 的编辑框中重新定义 VAR中
变量的次序。
30
? ?
t tjti
pTee )/(,,
其中 p是 VAR每一个方程中的参数个数 。
no d.f.adjustment,估计残差协方差矩阵的第 （ i,j） 元素的计算是按下列
公式计算的,
?t tjti Tee /,,
4,Gneralized Impluses (广义脉冲 )
描述 Pesaran和 Shin(1998)构建的不依赖于 VAR中变量次序的正交的残差矩
阵 。 应用以上面的 Cholesky顺序计算的第 j个变量的 Cholesky因子得到第 j个变
量的扰动项的广义脉冲响应 。
d.f.adjustment,在估计的残差协方差矩阵利用 Cholesky 因子时进行小
样本的自由度修正。具有自由度修正的残差协方差矩阵的第 (i,j)元素的计算是
按下列公式计算的,
31
5,Structural Decomposition （ 结构分解 ）
用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵 。 如果没有先估计一个结构
因子分解矩阵, 这个方法是不能用的 。
6,User Specified（ 用户指定 ）
在这个选项中允许自己定义脉冲 。 建立一个包含脉冲的矩阵 （ 或向
量 ）, 并在编辑框中输入矩阵的名字 。 如果 VAR模型中有 k个内生变量, 则
脉冲矩阵必须是 k行和 1列或 k 列的矩阵, 每一列代表一个脉冲向量 。
例如：一个有 k（ = 3） 个变量的 VAR模型, 希望同步对第一个变量有
一个正的一个单位的冲击, 给第二个变量一个负的一单位的冲击, 可以建
立一个的脉冲矩阵, 值分别为,1,-1,0。 可以用命令执行如下,
matrix(3,1) shock
shock.fill(by=c) 1,-1,0
并在编辑框中键入矩阵的名字, shock 。
32
例 1 近几年来, 随着国民经济的稳定增长, 我国建材, 汽车, 机械, 家
电等主要的钢材需求行业得到了快速的发展, 有效地拉动了全社会对钢材的
需求 。 本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入数据做为各行业的
需求变量, 通过向量自回归模型 （ VAR模型 ） 的脉冲响应函数分析各下游行
业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响 。
设 VAR(3) 模型为,
式中, Yt是由 5个内生变量组成的向量, 即 Yt = (machinet electric_ht build_mt
cart steelt),其中 machinet, 机械销售收入； electric_ht, 家电销售收入；
build_mt, 建材销售收入； cart, 汽车销售收入； steelt, 钢材销售收入, ?t 为
扰动向量, A1,A2,A3 为参数矩阵 。
对 Yt 所选用的 5个变量的时间序列进行了协整检验, 检验的结果表明各
变量之间满足协整关系 。 这表明, 所选的各下游行业的销售收入与钢铁工业
的销售收入之间具有长期的均衡关系 。 在短期内由于随机干扰, 这些变量可
能偏离均衡值, 但这种偏离是暂时的, 最终会回到均衡状态 。
ttttt YAYAYAY ?? ????? ??? 332211
33
下面分别给各行业销售收入一个冲击 （ 选择乔利斯基分解 ）, 得到关于
钢材销售收入的脉冲响应函数图 。 横轴表示冲击作用的滞后期间数 （ 单位：
月度 ）, 纵轴表示钢材销售收入 （ 亿元 ）, 实线表示脉冲响应函数, 代表了
钢材销售收入对相应的行业销售收入的冲击的反应 。
34 y1,机械 ； y2,家电 ； y3,建材 ； y4,汽车 ； y5,钢材
35
1,从图中我们可以看出, 机械行业销售收入的正冲击经市场传递会给
钢材销售收入带来正面的影响, 并且此影响具有较长的持续效应 。
2,当给家电行业销售收入一个正冲击后, 也会给钢材销售收入带来正
面的冲击, 但是冲击幅度不是很大 。
3,给建材行业销售收入一个正冲击后, 钢材销售收入在前 4期内小幅上
下波动之后在第 6期达到最高点；从第 9期以后开始稳定增长 。 这表明建材行
业受外部条件的某一冲击后, 经市场传递给钢铁行业, 给钢铁行业带来同向
的冲击, 冲击效应在第 6个月时达到最大之后逐渐回落在第 9个月之后趋于稳
定 。 即建材行业销售收入的正向冲击对钢材的销售收入具有显著的促进作用,
并且这一显著促进作用具有较长的持续效应 。
4,给汽车行业销售收入一个正冲击后, 钢材销售收入在前 4期内会上下
波动；从第 4期以后开始稳定增长 。 这表明汽车行业的某一冲击也会给钢铁
行业带来同向的冲击 。 即汽车行业销售收入增加会在 4个月后对钢材的销售
收入产生稳定的拉动作用, 反之如果汽车行业销售收入的降低也会在 4个月
后给钢铁行业带来负面的冲击 。
36
§ 22.5 方差分解
脉冲响应函数描述的是 VAR中的一个内生变量的冲击给其他内生变量所
带来的影响 。 而方差分解是把内生变量中的变化分解为对 VAR的分量冲击 。
因此, 方差分解给出对 VAR中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要性
的信息 。
§ 22.5.1 方差分解的基本思路
脉冲响应函数是随着时间的推移, 来观察模型中的各变量对于冲击是如何
反应的, 然而对于只是要简单地说明变量间的影响关系又稍稍过细了一些 。 因
此 Sims于 1980年依据 VMA(∞ )表示, 提出了方差分解方法, 定量地但是相当
粗糙地把握变量间的影响关系 。 其思路如下,
由 VAR( p)模型,
(22.14)
相应的 VMA(∞ )表示为,
tptptt yAyAy ????? ?? ?11
37
(22.15)
可知第 i个变量 可以写成,
(22.16)
其中 k 是变量个数, (22.16 )式中各括号中的内容是第 j个扰动项 从无限过去
到现在时点对第 i个变量 影响的总和 。 求其方差, 因为 无序列相关, 故
j?
iy }{ jt?
j = 1,2,...,k (22.17)
这是把第 j个扰动项对第 i个变量的从无限过去到现在时点的影响, 用方差
加以评价的结果 。 此处还假定扰动项向量的协方差矩阵 是对角矩阵 。 ?
tt LLIy ???? )( 2210 ?????
)( 3,32,21,1,0
1
???????? ???
? jtijjtijjtijjtij
k
jit
y ????????
ity
22
,0
2
2,21,1,0 )(])[( jjijqqjtijjtijjtijE ????????
?
???
????? ?
38
于是 的方差 是上述方差的 k 项简单和
(22.19)
的方差可以分解成 k种不相关的影响, 因此为了测定各个扰动相对 的
方差有多大程度的贡献, 定义了如下尺度,
i,j = 1,2,…,k (22.20)
ity )var( ity
即 RVC（ Relative Variance Contribution） （ 相对方差贡献率 ） 是根据第 j个
变量基于冲击的方差对 的方差的相对贡献度来观测第 j个变量对第 i个变量
的影响 。 实际上, 不可能用直到 s =∞ 的来评价, 只需有限的 s项 。
VAR ( p ) 模型的前 s期的预测误差是
ity
112211 ??????? ???? tsststst ??????? ? (22.21)
ity ity
})({)v a r ( 22,
01 jjijqq
k
jit
y ???
??
???
})({
)(
)v a r (
)(
)(
22
,
01
22
,
0
22
,
0
jjijq
q
k
j
jjijq
q
it
jjijq
q
ij yR V C
??
????
?
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
??
ijq,?
39
故,
i,j = 1,2,…,k (22.22)
如果 大时, 意味着第 j个变量对第 i个变量的影响大, 相反地,
小时, 可以认为第 j个变量对第 i个变量的影响小 。
)( sRVC ij ??
)( sRVC ij ??
§ 22.5.2 如何由 EViews计算方差分解
为了得到 VAR的方差分解, 从 VAR的工具栏中选 View/Variance decompo-
sition项 。 提供和上面的脉冲响应函数一样的信息 。 注意, 因为非正交的因子分
解所产生的分解不具有较好的性质, 所以所选的因子分解仅限于正交的因子分
解 。
})({
)(
)(
22
,
1
01
22
,
1
0
jjijq
s
q
k
j
jjijq
s
q
ij sR V C
??
??
?
??
?
?
??
??
?
?
40
Table形式分别显示对每个内生变量的方差分解 。 与脉冲响应函数一样,
如果改变 VAR中变量的顺序, 基于 Cholesky 因子的方差分解能有明显的改
变 。 例如：在 VAR次序排列中的第一个变量的第一期分解完全依赖于它自
己的扰动项 。
41
第二列 S.E.是每个预测水平上的变量的预测误差 。 出现这种预测误差的原
因是,VAR中的各个内生变量的扰动项的现在值和将来值的变化 。 其余列显
示了每个变量扰动项所引起的预测方差所占的百分数, 每行加起来是 100。
42
我们考虑例 1中 机械行业 (y1),家电行业 (y2), 建材行业 (y3), 汽
车行业 (y4), 各下游行业需求冲击对钢材需求 (y5)的方差贡献率, 其经济
意义为,
较大时, 意味着第 j 个行业需求冲击对钢材需求的影响大；
相反地, 较小时, 可以认为第 j 个行业需求冲击对钢材需求的
影响小 。
下面分别给出各下游行业销售收入的变化对钢材销售收入的方差分解
图 。 图中横轴表示滞后期间数 （ 单位：月度 ）, 纵轴表示该行业需求对钢
材需求的贡献率 （ 单位：百分数 ） 。
)(5 sRVC j
)(5 sRVC j
43
从上面 4个图中我们可以看出, 不考虑钢铁行业自身的贡献率, 建材行业
对钢铁行业的贡献率最大在 36%左右, 其次是机械行业在 21%左右, 汽车行业
对钢铁行业的贡献率是逐渐增加的, 在第 20期左右达到 20%,家电行业的贡献
率较小仅为 5%左右 。
44
§ 22.6 VAR过程
VAR过程 (procs)中多数的过程和系统对象 （ System） 的过程一样,
在这里仅就对 VAR特有的过程进行讨论 。
一, Make System 建立系统
这个过程产生一个包括等同于 VAR详细定义的对象 。 如果想估计一
个非标准的 VAR,可以通过这个过程建立一个相应于 VAR的系统对象,
经过修改建立合适的联立方程系统 。
例如：如果 VAR对象要求每一个方程有相同的滞后结构, 就可以放
宽这个条件 。 这一过程有两个选择,
45
1,By Variable
该选项产生一个系统, 其说明和系数的显示是以变量的次序来显示 。
如果想排除系统某些方程中特定变量的滞后来进行编辑, 可以选用这个选
项 。
2,By Lag
产生一个以滞后数的次序来显示其详细的说明和系数的系统 。 如果想
排除系统某些方程中特定的滞后来进行编辑, 可以用这个选项 。
注意：标准 VAR可以用单方程 OLS方法来有效地估计, 对于调整后的
系统一般不能出现这种情况 。 当用系统对象估计非标准的 VAR模型时, 可
以用更复杂的系统估计方法 （ 如,SUR） 。
46
§ 22.7 向量误差修正及协整理论
很多宏观经济时间序列可能包含单位根, 这一发现刺激了非平稳时
间序列分析理论的发展 。 Engle和 Granger（ 1987a） 指出两个或多个非平
稳时间序列的线性组合可能是平稳的 。 假如这样一种平稳的或 I ( 0 ) 的线
性组合存在, 这些非平稳 （ 有单位根 ） 时间序列之间被认为具有协整关
系 (Cointegration)。 这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变
量之间的长期均衡关系 。 例如, 消费和收入可能具有协整关系 。 假如它
们不具有, 那么长期消费就可能比收入高或低, 于是消费者便会非理性
地消费或累积储蓄 。
47
§ 22.8 协整检验
协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整
检验, 如下面将要介绍的 Johansen协整检验 。 另一种是基于回归残差的协整
检验, 如 CRDW(Cointegration Regression Durbin-Watson)检验, DF检验,
ADF检验 。
§ 22.8.1 ADF协整检验
考虑 k 个 变量的时间序列,
我们可以建立如下的三种协整回归方程,
(22.23)
)1(I,,,,21 tktt yyy ? Ttk,,2,1,1 ???
(22.24)
(22.25)
其中 为扰动项 。 tu
?
?
??
k
j
ttjjt uyy
2
1 ?
?
?
???
k
j
ttjjt uyay
2
01 ?
?
?
????
k
j
ttjjt uytaay
2
201 ?
48
)?,,?,?(? 32 k??? ???b ),,,,( 21 ktttt yyy ??y
那么残差, 如果 k = 1,, 就是单位根检验；
如果 k > 1,就是检验单个序列 的单整性或检验之间 y1t,y2t,…,ykt 的
协整性, 问题也就变成了判断 是否为 I(1) 。 如果 为 I(1), 则 y1t 是单
整变量 (k = 1)或 y1t,y2t,…,ykt 之间没有协整关系 (k > 1) 。 反之, 承认
y1t,y2t,…,ykt 之间存在协整关系 。 因此等价的原假设为 是 I(1) 的,
备择假设为 是 I(0)的 。
在 EViews中执行 ADF协整检验, 须先从上述 （ 22.23） ～ （ 22.25）
中选择一种形式建立包含 k个变量 y1t,y2t,…,ykt 的回归方程, 然后计
算残差 。
ttu yb )?,1(? ??? tt yu 1? ?
tu?
tu?
tu?
tu? tu?
tu?
令
49
对 进行单位根检验, 从而确定 y1t,y2t,…,ykt 之间是否有协整关系 。
EViews将 DF,ADF检验都看成为 ADF检验 。 ADF检验考虑如下三种回归形
式,
对 ADF检验, 检验统计量是检验回归滞后因变量的 t 统计量, 注意关
于 的统计检验是单边检验, 当计算得到的 t统计量的值小于临界值时
拒绝原假设 （ 即否定存在单位根 ） 。
t
p
i
ititt uuu ??? ????? ?
?
??
1
1 ???
t
p
i
ititt uuau ??? ?????? ?
?
??
1
10 ???
t
p
i
ititt utauau ??? ?
?
?? ???????
1
210 ???
tu?
扩展定义将检验
??
?
?
?
0:
0:
1
0
?
?
H
H
0??
50 检验结果是 是平稳的, 即 是 I（ 0） 的, 从而 y1t,y2t,…,y5t 是协整的 。 tu? tu?
下面检验例 1的 5个变
量是否协整,对方程
Y5 = 0.095*Y4 + 0.2*Y3
+ 0.23*Y2 + 0.12*Y1
的残差进行 ADF检验,
51
§ 22.8.2 Johansen协整检验
协整检验的目的是决定一组非平稳序列是否是协整的 。 如下面所解释
的, 协整关系的出现形成了 VEC说明的基础, EViews给以 VAR为基础的协
整检验提供的工具是 Johansen (1991,1995a) 发展的方法论, 考虑阶数为 p
的 VAR模型,
(22.26)
其中, yt 是一个含有非平稳的 I (1)变量的 k 维向量； xt 是一个确定的 d 维的
向量； ?t 是扰动向量 。
ttptptt BxyAyAy ????????? ?? 11
52
我们可把 VAR重写为以下形式,
ttit
p
i
itt Bxyyy ????????? ?
?
?
? ?
1
1
1 (22.27)
(22.28) IAp
i
i ??? ?
?1
?
??
??? p
ij
ji A
1
Granger指出：如果系数矩阵 ? 的秩 r < k,那么存在 k ? r 阶矩阵
? 和 ?,它们的秩都是 r,使得 ? = ??',并且 ?'yt 是稳定的 。 其中 r是
协整关系的数量 （ 协整秩 ）,? 的每列是协整向量 。 正如下面解释, ? 中的
元素是向量误差修正模型 VEC中的 调整参数 。 Johansen方法是在无约束 VAR
的形式下估计 ? 矩阵, 然后求出 ?,从而检验出协整秩,(秩 (?)= r < k)，
得出协整向量 。
其中,
53
1,如何完成 Johansen协整检验
为了完成协整检验, 从 VAR或组的工具栏中选择 View/Cointegration
Test… 即可 。 因为这是一个协整的检验, 所以仅对已知非稳定的序列有效 。
可以首先对 VAR中每一个序列进行单位根检验, 单位根检验的详细内容可参
考的, 单位根检验, 的介绍 。 在 Cointegration Test Specification的对话框中将
详细提供关于检验的信息 。
54
（ 1） 确定性趋势的说明
序列也许会有非零均值和与随机趋势一样有确定趋势 。 类似地, 协整
方程也可能会有截距和确定趋势, 关于协整的 LR检验统计量的渐近分布不
再是通常的 分布, 它的分布依赖于与确定趋势有关的假设 。 因此为了完
成这个检验, 需要提供关于基本数据的趋势假设 。
EViews在 Deterministic Trend assumption of test 对话框中, 提供了 6种
选择, 对 Johansen考虑的下面五种可能的决定趋势形式提供了检验 （ 见
Johansen,1995,第 80～ 84页 ） 。
假设原数据没有确定性趋势,
1） 序列 yt 没有确定趋势, 协整方程没有截距,
2） 序列 yt 没有确定趋势, 协整方程有截距,
2?
112,)( ?? ???? ttt yBxyrH ??
)(:)( 0111 ??? ????? ??? ttt yBxyrH
55
允许原数据中有线性确定性趋势,
3） 序列 yt 有线性趋势和协整方程有截距,
4） 序列 yt 和协整方程都有线性趋势,
允许原数据中有二次确定性趋势,
5） 序列 yt 有二次趋势且协整方程有线性趋势,
6） 上述 5种假设的综合 。
这里, 是 阶矩阵, 且 。
00111 )(:)( ????? ??? ?????? ttt yBxyrH
01011 )(:)( ?????? ???? ??????? tyBxyrH ttt
)()(:)( 101011 ttyBxyrH ttt ??????? ???????? ???
?? )( rkk ?? 0?? ??? kr ?? )( ??
56
如果不能确定用哪一个趋势假设, 可以选择 Summary of all 5 trend
assump- tion(第 6个选择 )帮助确定趋势假设的选择 。 这个选项在五个趋
势假设的每一个下面都标明协整关系的个数, 可以看到趋势假设检验结
果的敏感性 。
（ 2） 外生变量
对话框允许指定包含于检验 VAR中的附加的外生变量 。 常数和
线性趋势不应被列在该编辑中, 因为它们被指定在五个 Trend
Specification选项 。 假如确实包含外生变量, 应当意识到 EViews算出的
临界值并没有考虑这些变量 。
tx
57
（ 3） 滞后区间
应当用一对数字确定 VAR检验的滞后区间 。 注意,滞后指定是用在辅助
回归中的一阶差分的滞后项, 而不是原序列水平项 。 例如, 如果在编辑栏中
键入 1 2,VAR检验用 对 和其它指定的外生变量作回归 。
2,协整检验结果的解释
对例 1的 5个变量的检验结果的第一部分输出如下,
正如在表头上解释的那样, 检验假设序列和协整关系都没有趋势项和截
距约束 （ 对话框中第 1种情况 ）, 由于 5个变量构成的方程的残差不存在序列
相关, 则差分的滞后编辑框中键入：, 0 0”。 表中第一部分的报告结果检验
了协整关系的数量, 并以两种检验统计量的形式显示,
ty? 21,?? ?? tt yy
58
（ 1） 迹检验统计量 （ Trace Statistic)
第一种检验结果是迹统计量, 列在第一个表格中 。 对于检验结果, 第一列
显示了在原假设成立条件下的协整关系数；第二列是 （ 22.27） 式中 矩阵按
由大到小排序的特征值；第三列是迹检验统计量；最后两列分别是在 5%和 1%
水平下的临界值 。
?
59
为了在趋势假设的条件下确定协整关系的数量, 我们依次进行从 r = 0
到 r = k - 1的检验, 直到被拒绝 。 这个序贯检验的结果在每一个表的最下方
显示 。
在迹统计量的输出中检验原假设有 r个协整关系, 而不是 k个协整关系,
其中 k是内生变量的个数, r = 0,1,…,k-1。 另一种情况是与有 k个协整关系
相对应的情况：所有的序列都没有单位根, 且一个稳定的 VAR模型的指定
是根据所有序列的水平项 。 对原假设是有 r个协整关系的迹统计量是按如下
的方法计算的,
)1lo g ()|(
1
?
??
??? k
ri itr
TkrLR ?(22.29)
60
第二种检验结果是最大特征值统计量，列在第二个表格中。 其中 是
(22.27)式中矩阵 的第 i个最大特征值，在输出表的第二列显示。
i?
?
上表是输出的第 2个检验结果表, 依据最大特征值统计量的检验结果表,
它所检验的原假设是有 r个协整关系, 反之, 有 r + 1 个协整关系 。 统计量是
按下面的方法计算的,
（ 2） 最大特征值统计量 (Max-Eigen Statistic)
61
)1lo g ()1|( 1m a x ????? rTrrLR ?
1,,1,0)|1()|( ????? krkrLRkrLR trtr ?
(22.30)
还有一些其它的细节必须记住,
（ 1） 临界值对直到 k=10个的序列都是有效的, 而且应注意：临界值
依赖于趋势假设, 对于包含其他确定性回归量的模型可能是不适合, 例如：
检验 VAR中的转换虚拟变量的引入可能使水平系列 产生一个不连续的线
性趋势 。
（ 2） 迹统计量和最大特征值统计量的结论可能产生冲突 。 对这样的情
况, 建议评价检验估计得到的协整向量和基于所作的选择解释协整关系 。
（ 3） 在一些情况中, 单个的单位根检验显示有些序列是单整的, 但协
整检验表明矩阵 是满秩的 （ r = k） 。 可能因为样本个数较少或表明有定
义错误 。
ty
?
62
（ 3） 协整关系
输出的第二部分提供协整关系 和调整参数 的估计 。 如我们所知道
的, 如果不强加一些任意的正规化条件, 协整向量 是不能被识别的 。 在第
一块中报告了基于正规化 （ 其中 在 Johansen(1995a)中被定义 ）
的 和 的估计结果 。 注意：在 Unrestricted Cointegrating Coefficients下 的
变换输出结果：第一行是第一个协整向量, 第二行是第二个协整向量, 以
此类推 。
? ?
?
IS ??? 11' 11S
??
?
63
其余的部分是在每一个可能的协整关系数下不同正规化后估计的输出结果,
r = 0,1,…,k - 1。 另一个可选择的正规化方法是：在系统中, 前 r 个变量作
为其余 个变量的函数 。 近似的标准误差在可识别参数的圆括号内输出 。 rk?
64
§ 22.9 向量误差修正模型 (VEC) 的估计
向量误差修正模型 （ VEC） 是一个有约束的 VAR模型, 并在解
释变量中含有协整约束, 因此它适用于已知有协整关系的非平稳序
列 。 因为 VEC模型有协整关系, 当有一个大范围的短期动态波动时,
VEC表达式会限制内生变量的长期行为收敛于它们的协整关系 。 因
为一系列的 局部 短期调整可以修正长期均衡的偏离, 所以协整项被
称为是 误差修正项 。
65
一个简单的例子：考虑一个两变量的协整方程并且没有滞后的差分项 。
协整方程是,
且 VEC是,
在这个简单的模型中, 等式右端唯一的变量是误差修正项 ut-1 。 在长
期均衡中, 这一项为 0。 然而, 如果 在上一期偏离了长期均衡, 则
误差修正项非零并且每个变量会进行调整以部分恢复这种均衡关系 。 系数
代表调整速度, 测量第 i个内生变量向均衡调整的速度 。
在这个模型中, 两个内生变量 可以有非零均值, 但是为使例
子简单, 上面的协整方程没有常数项, 尽管滞后差分项的使用很普遍, 但
我们在等式右边没有使用滞后差分项 。
ttt uyy ???,1,2 ?
tttt yyy,11,11,21,1 )( ??? ????? ??
tttt yyy,21,11,22,2 )( ??? ????? ??
21,yy
21,??
(22.31)
tt yy,2,1,
66
如果两个内生变量 和 不含趋势项并且协整方程有截距, 则 VEC有如
下形式,
另一个 VEC表达式假设在序列中有线性趋势并且在协整方程中有常数, 因
此它的形式如下,
相似地, 在序列中有线性趋势并且在协整方程中有线性趋势项,
ty,1 ty,2
(22.32)
tttt yyy,11,11,21,1 )( ???? ?????? ??
tttt yyy,21,11,22,2 )( ???? ?????? ??
tttt yyy,21,11,222,2 )( ????? ??????? ??(22.33)
tttt ytyy,11,111,211,1 )( ?????? ???????? ??
tttt ytyy,21,111,222,2 )( ?????? ???????? ??(22.34)
tttt yyy,11,11,211,1 )( ????? ??????? ??
最后, 如果在每个 VEC等式的括号外存在线性趋势项, 那么序列中便存在
着隐含的二次趋势项 。
tttt ytyty,11,111,2111,1 )( ??????? ????????? ??
tttt ytyty,21,111,2222,2 )( ??????? ????????? ??
(22.35)
67
§ 22.9.1 如何估计 VEC模型
由于 VEC表达式仅仅适应于协整序列, 所以应先运行 Johansen
协整检验, 并决定协整关系数 。 需要提供协整信息作为 VEC定义的
部分 。
为建立一个 VEC,单击 VAR工具栏中的 Estimate,然后从 VAR
Type中选择 Vector Error Correction项 。 在 VAR Specification栏中, 除
了下面的之外, 应该提供与无约束的 VAR相同的信息,
1,常数或线性趋势项不应包括在 Exogenous Series的编辑框中 。
对于 VEC模型的常数和趋势说明应定义在 Cointegration栏中 。
68
2,对 VEC模型常数和趋势项的说明在 Cointegration栏 。 必须从五个趋
势假设说明中选择一个 （ 见前述的, 确定性趋势说明, 的解释 ） 。 还必须
在适当的编辑框中填入协整关系的个数, 是小于 VEC模型中内生变量的个
数的正数 。
69
3,在 VEC中滞后间隔的说明指一阶差分的滞后 。 例如：滞后说
明, 1 1”将包括 VEC模型右侧的变量的一阶差分项的滞后, 即 VEC是
两阶滞后约束的 VAR模型 。 为了估计没有一阶差分项的 VEC模型,
指定滞后的形式为：, 0 0”。
4, 如果想强加约束于协整关系或 （ 和 ） 调整参数, 用
Restrictions栏 。 在, 协整向量的约束, 对这一点描述更详细 。 注意：
如果没在 VAR Specification栏中单击 Vector Error Correction项, 这
一栏将是灰色的 。
一旦填完这个对话框, 单击 OK估计 VEC。 VEC的估计分两步完
成：在第一步, 利用 Johansen协整检验方法估计协整关系；第二步,
用所估计的协整关系构造误差修正项, 并估计包括误差修正项作为
回归量的一阶差分的 VAR。
70
§ 22.9.2 VEC估计的输出
VEC估计的输出包括两部分 。 第一部分显示了第一步从 Johansen过程
所得到的结果 。 如果不强加约束, EViews将会用系统默认的可以识别所
有的协整关系的正规化方法 。 系统默认的正规化表述为, 在 VEC中前 r 个
变量作为剩余 k - r 个变量的函数, 其中 r 表示协整关系数, k 是 VEC中
内生变量的个数 。 在约束条件下, 对于可识别参数的渐近标准误差 （ 以
自由度修正的 ） 也被输出 。
第二部分输出是从第一步之后以误差修正项作为回归量的一阶差分
的 VAR。 误差修正项以 CointEq1,CointEq2,…… 表示形式输出 。 输出形
式与, VAR估计输出, 的无约束的 VARs输出形式相同, 带有一阶差分 。
在 VEC输出表的底部, 可以看到系统的两个滞后的似然值 。 第一个值标
有 Log Likelihood(d.f.adjusted),这是无约束的 VARs的滞后似然值 。 标有
Log Likelihood的值是以没有修正自由度的残差协方差矩阵计算的 。
71
72
§ 22.9.3 VEC的视图与过程
对 VEC有用的视图和过程大多数与上面 VAR所介绍的一样, 在这里仅
介绍对 VEC模型特殊指定的 。
1,协整关系
View/Cointegration Graph输出在 VEC中所用的被估计的协整关系的曲
线 。 为了保存这些协整关系作为工作表中以命名的序列, 用 Proc/Make
Cointegration Group即可 。 这个过程将建立并输出一个未命名的组对象, 包
括用以命名的序列估计的协整关系 。 这些序列被命名为 COINTEQ01,
COINTEQ02等等 。
2,预测
目前对 VAR或 VEC的预测不能从 VAR对象得到, 但可以通过解决由已
估计的 VAR/VEC创造的一个模型得到 。 从 VAR窗口的工具栏击 Proc/Make
Model从已估计的 VEC/VAR建立一个模型对象 。 同时可以对模型的说明做
任何变化, 包括在求解模型获得预测以前对表达式的修改, 参考第 24章
,模型,, 对在 EViews中如何从模型对象中预测进行了更进一步的讨论 。
73
3,Make System 建立系统
这个过程产生一个包括等同于向量误差修正模型 （ VEC） 定义的系统对
象, 其协整向量的系数固定为 VEC模型估计值 。 如果想在系统中估计协整向
量的系数, 可以编辑系统说明, 但必须确定系统是可识别的, 经过修改建立
合适的联立方程系统 。
74
4,获得 VAR的系数
（ 无约束 ） 的 VAR系数可以通过两维数组 C的元素来得到 。 C的第一维
指 VAR的方程数, 第二维指每一个方程的变量数 。 例如,C (2,3) 是在
VAR中第二个方程的第三个回归量的系数, 命名为 var01的 VAR模型的 C (2,
3)的系数可以通过下面的命令得到,
var01.c(2,3)
为了检查 C中每一个元素与估计的系数的相应关系, 从 VAR的工具栏
中选择 View/Representations。
5,VEC系数的获得
对于 VEC模型, 系数的估计保存在三个不同的二维数组中,A,B和
C。 A包含调整参数； B包含协整向量； C包含短期参数 （ 一阶差方项滞后
的系数 ） 。
75
（ 1） A的第一个指标是 VEC的方程序号, 第二个指标是协整方程的序
号 。 例如, A（ 2,1） 表示,VEC的第二个方程中的第一个协整方程的调
整系数 。
（ 2） B的第一个指标是协整方程序号, 第二个指标是协整方程的变量
序号 。 例如, B（ 2,1） 表示：第二个协整方程中第一个变量的系数 。 注
意：这个索引与的转移相对应 。
（ 3） C的第一个指标是 VEC的方程序号, 第二个指标是 VEC中一阶差
分回归量的变量序号 。 例如, C(2,1)表示,VEC第二个方程中第一个一阶
差分回归量的系数 。
在 VEC模型的名字后面加一个点号和系数元素, 就可以获得这些系数,
如,
var01.a(2,1)
var01.b(2,1)
var01.c(2,1)
要察看 A,B和 C的每一个元素和被估计系数的对应关系, 从 VAR的工
具栏中选择 View/Representations 即可 。
76
§ 22.9.4 利用 两步估计方法建立 一般的 VEC模型
以两个变量 yt,xt 的误差修正模型为例,
(22.36)
模型 (22.36)的解释变量中含有未知参数 k1,不能直接使用 OLS估计,
Engle和 Granger(1981)给出了两步估计方法, 第一步是求模型
,
的 OLS估计, 又称协整回归, 得到 及残差估计
第二步是用 替换 (22.36)式中的, 即对
再用 OLS方法估计其参数 。
ttttt xxkyy ???? ??????? ?? 011110 )(
y k x ut t t? ?1 Tt,,2,1= ?
?k1
? ?,u y k xt t t? ? 1 Tt,,2,1= ?
?ut?1 ( )y k xt t? ??1 1 1
tttt xuy ???? ?????? ? 0110 ?
77
误差修正模型不是单纯地使用变量的水平值 （ 指变量的原始值 ） 或
变量的差分建模, 而是把两者有机地结合在一起, 充分利用这两者所提
供的信息 。 从短期看, 被解释变量的变动是由较稳定的长期趋势和短期
波动所决定的, 短期内系统对于均衡状态的偏离程度的大小直接导致波
动振幅的大小 。 从长期看, 协整关系式起到引力线的作用, 将非均衡状
态拉回到均衡状态 。
我们举一个建立两个变量 (财政支出 Yt 和财政收入 Zt 的对数 ) 间的
误差修正模型的实际例子, 数据是 1978年 —1999年的年度数据 。 小写字
母表示它们的对数, 即 yt = ln(Yt),zt = ln(Zt) 。 通过检验可知, yt ～ I(1)，
zt ～ I(1),且二者之间存在着协整关系, 即存在长期均衡关系 。
第 1步使用 OLS方法估计模型
(22.37)
ttt uzky ??? 1?
78
其结果为 (22.38)
第 2步建立误差修正模型 。 使用 OLS方法估计模型
(22.39)
其结果为
(22.40)
)88.1 1 4()2 0 5.3(
0 3 5 9.12 3 0 8.0
?
??? tt zy
92.1.,9 9 8.02 ?? WDR
tttt
ttttt
zzy
zzkyy
????
?????
??????
???????
??
??
01110
011110
)0 3 5 9.123.0(
)(
)03.9()36.4()83.0(
94.0)0 3 5 9.123.0(0 1 8 2.1011.0 11
?
???????? ?? tttt zzyy
52.1.,488.02 ?? WDR
由上述模型我们可以得到这样的解释：财政收入的对数的系数为 1.0359,
体现了我国财政支出的, 量入为出, 的原则, 但是也说明了我国财政支出略
大
于财政收入的现实状况 。
79
对于模型 (22.39), 我们最感兴趣的是调整参数 ?1,它对于系统的动
态调整具有重要的意义 。 如果 ?1= 0,? zt 根本不能对 t – 1 期的偏离均
衡做出调整 。 我们知道, 如果 yt 和 zt 是协整的, 那么 ?1 应该显著地不为
零 。 由 (22.40)式可知, 其 t 值为 - 4.36,可知 ?1显著地不为
零 。
我们可以得到经济意义上的解释是, 当 t – 1 期 yt + 0.23–1.0359 zt > 0
时, 亦即 t – 1期的财政支出向上偏离长期均衡时, 调整系数 –1.0182 会减
少期财政支出的增量, 调整 t 期的财政支出向长期均衡靠近 。
反之, 当 t – 1 期 yt + 0.23–1.0359 zt < 0 时, 即 t – 1 期的财政支出向
下偏离长期均衡时, 调整系数 –1.0182 会增大 t 期财政支出的增量, 调整 t
期的财政支出向长期均衡靠近 。
0182.1?1 ???
