《偏微分方程》ppt：第6章 变分法与边值问题

第 6章 变分法与边值问题
通过求解一个相应的泛函的
极小函数而得到偏微分方程边值问
题的解，这种理论和方法通常叫作
偏微分方程中的变分原理，简称变
分方法。本章通过求解一类边值问
题和特征值问题简单介绍该方法的
理论及其应用。
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? 6.1 边值问题与算子方程
? 6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理
考虑张在平面有界区域 上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的
微小横振动，薄膜的边缘固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的总位能
为
其中,T 表示张力,F(x,y) 表示外力面密度,u(x,y) 表示薄膜在点 (x,y)
出垂直于平面方向的位移。
由于薄膜边缘固定,故 可见,(6.1.1) 是定义在容许
函数类 上的泛函。
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类似于 5.2.5小节中对 Dirichlet原理的讨论，可知泛函
（ 6.1.1）的极小函数就是 Poisson方程 Dirichlet问题
的解；反之边值问题（ 6.1.2)的解 u 也是泛函 (6.1.1)的极小函
数,即
于是,我们可以用变分方法得到边值问题 (6.1.2)的解,值得注
意的是,为了保证极小函数的存在性,有时必须将容许函数类扩大,
此时我们得到的不一定是边值问题的古典解而是弱解,
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? 6.1.2 正算子与算子方程
我们称满足等式（ Au,v)=(Av,u) 的算子 A 为对称算子。
设 A 是定义在 Hilbert 空间 H 的某一线性稠密子集 上的线性算子，
若对 中的任意元素 u，有 且等号成立当且仅当 u=0,则称
A 是正算子。
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? 应用
取 Hilbet 空间为
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可以验证，它们各自对应的算子是正算子。对应于以上三种问题算
子 的定义域分别为
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? 6.1.3 正定算子 弱解存在性
设 A 是 上的线性算子，若存在常数 对任意 有
则称算子 A 是 上的正算子。
在 上引入新内积
由此内积诱导的新范数记为
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? 6.2 Laplace 算子的特征值问题
本节考虑如下的 Laplace 算子特征值问题：
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? 6.2.1 特征值与特征函数的存在性
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? 6.2.2 特征值与特征函数的性质
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