第 8章 广义函数与基本解
? 8.1 基本空间
8.1.1 引言
? 偏微分方程的古典理论对解的光滑性要求过高，这不仅
仅常常不合实际问题的要求，而且影响理论的进一步发展。
我们希望对一般的方程及定解问题统一地扩充解地概念。这
首先需要扩充函数地概念。
? Fourier变换是求解偏微分方程诸多问题的有力工具。但
是能做此变换的函数是不多的。我们希望扩广它的使用
范围，从而需要扩充函数的概念。
? 当物理学家 Dirac为了量子力学的需要引入函数 时，
数学和物理的紧密关系便出现了裂痕。
第 8章 广义函数与基本解
物理学家原本定义的 函数是这样的“函数”：
。
第 8章 广义函数与基本解
物理学家在 20世纪 30年代就广泛使用 函数讨论
问题，并获得相当的成功。直到 20世纪 40年代末，
Schwarz等人建立了广义函数基础理论，才为这类奇异
“函数”建立了严格的 数学理论。仅从以上三个方面看，
扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的
定义。
第 8章 广义函数与基本解
? 8.1 基本空间
8.1.1 引言
第 8章 广义函数与基本解
2,记号
第 8章 广义函数与基本解
? 1.2 基本空间 和
首先考虑的基本空间是 即具有紧支集
的无限次可微函数 组成的空间。所谓一个函数
f(x) 的支集，是指集合 的闭包，
记作 在 中定义收敛概念如下：
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 附注 易知 中的收敛性比 中的收敛性强，反之未必
对。例如可取为例 8.1.1中的函数，并定义
易证 。
第 8章 广义函数与基本解
? 1.3
? 基本空间
若定义在 上的函数 满足条件
则称它是速减函数。易证，条件 (ii)与下述任一个条件等价：
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 基本空间上的 Fourier 变换
第 8章 广义函数与基本解
? Fourier变换的性质
第 8章 广义函数与基本解
一般地，对任一多重指标 有
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
由此，可以导出分数指数的 Sobolev空间。 Parselval等式的重
要性可见一斑。
第 8章 广义函数与基本解
? 8,2 广义函数空间
? 8.2.1 概念与例子
依次把基本空间 和 上的线形连续泛函叫作
广义函数,广义函数和 广义函数，它们各自的全体
分别组成 和 广义函数空间。有时我们分别简称
为广函和广函空间。广义函数又叫作分布，广义函数空间
又叫分布空间。
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.2 广义函数的收敛性
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.3 自变量的变换
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.4 广义函数的微商与乘子
第 8章 广义函数与基本解
? 广义函数微商的性质：
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.5 广义函数的支集
一个广义函数逐点的值是没有意义的，但是我们有
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.6 广义函数的卷积
为了给出广义函数卷积的合理定义，先从常义函数
第 8章 广义函数与基本解
于是，若使广函卷积是 常以函数卷积的合理推广，应把两个广函 f与 g
的卷积定义为
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 广函卷积的可交换性
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 广函卷积的性质：
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.7
第 8章 广义函数与基本解
? 广义函数 Fourier变换的性质：
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.3 基本解
? 8.3.1 基本解的概念
? P(D) 的基本解也叫做方程 P(D)U=0 的基本解。基本解不唯一，
因为一个基本解加上方程 P(D)U=0的任一个解也满足方程 (8.3.1)，故
通常只要求得一个具有奇性的基本解即可（即把满足齐次方程的线性
叠加部分去掉）。
第 8章 广义函数与基本解
3
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.3.2
第 8章 广义函数与基本解
现在看 Cauchy问题
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.3.3
第 8章 广义函数与基本解
的基本解。
第 8章 广义函数与基本解
? 8,3.4
第 8章 广义函数与基本解
? 本节求得一切解都是广义函数，推导过程中的积分应理解为广义
函数对此基本解的取值。所以本节中的推导不再是形式的，得到的解
也不是形式解，而是广函空间中的广义函数解。
? 8.1 基本空间
8.1.1 引言
? 偏微分方程的古典理论对解的光滑性要求过高，这不仅
仅常常不合实际问题的要求，而且影响理论的进一步发展。
我们希望对一般的方程及定解问题统一地扩充解地概念。这
首先需要扩充函数地概念。
? Fourier变换是求解偏微分方程诸多问题的有力工具。但
是能做此变换的函数是不多的。我们希望扩广它的使用
范围，从而需要扩充函数的概念。
? 当物理学家 Dirac为了量子力学的需要引入函数 时，
数学和物理的紧密关系便出现了裂痕。
第 8章 广义函数与基本解
物理学家原本定义的 函数是这样的“函数”：
。
第 8章 广义函数与基本解
物理学家在 20世纪 30年代就广泛使用 函数讨论
问题，并获得相当的成功。直到 20世纪 40年代末，
Schwarz等人建立了广义函数基础理论，才为这类奇异
“函数”建立了严格的 数学理论。仅从以上三个方面看，
扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的
定义。
第 8章 广义函数与基本解
? 8.1 基本空间
8.1.1 引言
第 8章 广义函数与基本解
2,记号
第 8章 广义函数与基本解
? 1.2 基本空间 和
首先考虑的基本空间是 即具有紧支集
的无限次可微函数 组成的空间。所谓一个函数
f(x) 的支集，是指集合 的闭包，
记作 在 中定义收敛概念如下：
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 附注 易知 中的收敛性比 中的收敛性强，反之未必
对。例如可取为例 8.1.1中的函数，并定义
易证 。
第 8章 广义函数与基本解
? 1.3
? 基本空间
若定义在 上的函数 满足条件
则称它是速减函数。易证，条件 (ii)与下述任一个条件等价：
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 基本空间上的 Fourier 变换
第 8章 广义函数与基本解
? Fourier变换的性质
第 8章 广义函数与基本解
一般地，对任一多重指标 有
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
由此，可以导出分数指数的 Sobolev空间。 Parselval等式的重
要性可见一斑。
第 8章 广义函数与基本解
? 8,2 广义函数空间
? 8.2.1 概念与例子
依次把基本空间 和 上的线形连续泛函叫作
广义函数,广义函数和 广义函数，它们各自的全体
分别组成 和 广义函数空间。有时我们分别简称
为广函和广函空间。广义函数又叫作分布，广义函数空间
又叫分布空间。
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.2 广义函数的收敛性
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.3 自变量的变换
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.4 广义函数的微商与乘子
第 8章 广义函数与基本解
? 广义函数微商的性质：
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.5 广义函数的支集
一个广义函数逐点的值是没有意义的，但是我们有
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.6 广义函数的卷积
为了给出广义函数卷积的合理定义，先从常义函数
第 8章 广义函数与基本解
于是，若使广函卷积是 常以函数卷积的合理推广，应把两个广函 f与 g
的卷积定义为
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 广函卷积的可交换性
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 广函卷积的性质：
第 8章 广义函数与基本解
? 8.2.7
第 8章 广义函数与基本解
? 广义函数 Fourier变换的性质：
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.3 基本解
? 8.3.1 基本解的概念
? P(D) 的基本解也叫做方程 P(D)U=0 的基本解。基本解不唯一，
因为一个基本解加上方程 P(D)U=0的任一个解也满足方程 (8.3.1)，故
通常只要求得一个具有奇性的基本解即可（即把满足齐次方程的线性
叠加部分去掉）。
第 8章 广义函数与基本解
3
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.3.2
第 8章 广义函数与基本解
现在看 Cauchy问题
第 8章 广义函数与基本解
第 8章 广义函数与基本解
? 8.3.3
第 8章 广义函数与基本解
的基本解。
第 8章 广义函数与基本解
? 8,3.4
第 8章 广义函数与基本解
? 本节求得一切解都是广义函数，推导过程中的积分应理解为广义
函数对此基本解的取值。所以本节中的推导不再是形式的，得到的解
也不是形式解，而是广函空间中的广义函数解。
