第二章
序列的 Z变换与傅里叶变换
2
本章目录
? 序列的 Z变换
? 序列的傅里叶变换
? 序列的 Z变换与连续时间信号的拉普拉斯
变换、傅里叶变换的关系
? Matlab实现
3
2.1 引言
? 信号与系统的分析方法,
? 时域 分析
? 变换域 分析
? 连续时间信号与系统
? 信号用 时间 t的函数 表示
? 系统用 微分方程 描述
? 离散时间信号与系统
? 信号用 序列 表示
? 系统用 差分方程 描述
4
时域与频域分析
傅里叶变换
时间域
频率域
(复频域 )
拉普拉斯 变换
推
广
傅里叶变换
时间域
频率域
(复频域 )
Z变换
推
广
? 连续时间信
号与系统
? 离散时间信
号与系统
5
本章主要内容
? 序列的 Z变换
? Z变换的主要性质
? 序列的傅里叶变换
? 傅里叶变换的主要性质
6
2.2 序列的 Z变换
? Z变换及其收敛域的 定义
? 几种序列 的 Z变换及其收敛域
? 逆 Z变换
? Z变换的 性质和定理
? 利用 Z变换 求解差分方程
7
2.2.1 Z变换及其收敛域的定义
? 序列的 Z变换定义
? 双 边 Z变 换
( ) [ ( ) ] ( ) ( 2, 1 )n
n
X z x n x n z?? ?
? ? ?
? ? ? ?
? 单 边 Z变 换
11
0
( ) [ ( ) ] ( ) ( 2, 2 )n
n
X z x n x n z?? ?
?
? ? ? ?
? 因果序列 的 Z变换, 单 边 Z变换可以看成因
果序列情况下的双边 Z变换
8
Z平面与单位圆
? 变量 z的极坐标形式
? Z平面, Z变换定义 式中 z所在的复平面,
z是一个连续复变量，具有实部和虚部
? 单位圆,
? 在 Z平面上 |z|= 1为半径的圆
? 单位圆上的参数可表示为
j| | ezz ??
jez ??
9
例, 求序列的 Z变换
例 2.1 求序列 的 Z变换 。 ( ) ( )nx n a u n?
解,序列 x(n)是因果序列，根据 Z变换的定义
1
00
1 1 2 1 3
( ) ( ) ( )
1 ( ) ( )
n n n n
n n n
X z x n z a z az
a z a z a z
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
分 析收敛性,X(z)是无穷项幂级数。
1
1
0
1( ) ( ),| | | |
1
n
n
zX z az z a
a z z a
??
?
?
?
? ? ???? ＞
? X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为
? 当 |z|≤a时级数发散，当 |z|＞ |a|时级数收敛。
10
Z变换的收敛域
? 根据级数理论，式 (2.1)收敛
的充分必要条件是满足绝对
可和条件，即
? 收敛域, 对于给定的任意序列 x(n)，使其 Z
变换收敛的所有 z值的集合组成的区域。
? 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域
| ( ) |n
n
x n z
??
?
? ? ?
??? ＜
? 收敛半径 Rx-可以小到 0,Rx+可以大到 ∞
? 收敛域以原点为中心,Rx-和 Rx+为半径的环域
11
2.2.2 几种序列的 Z变换及其收敛域
序列 x(n)的性质决定了 X(z)的收敛域，
不同形式的序列其收敛域不同 。
? 有限长序列,0≤|z|＜ +∞ 或 0＜ |z|≤+∞
? 右边序列,Rx-＜ |z|＜ +∞
? 左边序列,0＜ |z|＜ Rx+
? 双边序列,Rx- ＜ |z|＜ Rx+
12
有限长序列
? 有限长序列只在有限区间 n1≤n≤n2内具有非零
的有限值，在此区间外序列值都为零
? Z变换
2
1
( ) ( )
n
n
nn
X z x n z ?
?
? ?
? 要求：在有限区间内级数的每一项都有界，
则有限项的和有界，级数就收敛。
| ( ) nx n z ? ?| ＜+ ||nz? ?＜+ ||z ?0 ＜ ＜+
x(n)有 界 开域
? 边界讨论,z= 0及 z= ∞两点是否也收敛与 n1,n2取
值情况有关。 （具体见教材 p40与例题）
13
例：求有限长 序列的 Z变换
例 2.2 求序列 的 Z变换。
讨论,
? 假设 |a|是有限值，且 |a|＜ 1。
? X(z)有一个 z= a的极点，但也有
一个 z= a的零点，将零极点对消。
? 收敛域为 0＜ |z|≤+∞。
解,根据 Z变换的定义
111
1
1
00
1 ( )( ) ( )
1
NNN
n n n
nn
azX z a z a z
az
???
??
?
??
?? ? ?
???
( ) ( )n Nx n a R n?
14
右边序列
? 右边序列只在有限区间 n≥n1 内具有非零的有
限值，在此区间外序列值都为零
? Z变换
1
( ) ( ) ( 2, 5 )n
nn
X z x n z
??
?
?
? ?
? 假设：级数 (2.5)在某个圆 |z|=|z1|上绝对收敛
1
1| ( ) |
n
nn
x n z
??
?
?
??? ＜
15
右边序列（因果）的收敛域
假设, z是圆外任意一点，即 |z|＞ |z1|
? 当 n1≥0时，序列为因果序列
11
1( ) | ( ) | | ( ) |
nn
n n n n
X z x n z x n z
? ? ? ?
??
??
? ? ??? ＜＜
? 显然，级数 X(z) 收敛。
? 讨论：级数 X(z)中没有正幂项，
|z|= +∞时级数收敛，因此收敛
域包括 ∞点，即为
Rx-＜ |z|≤+∞
16
右边序列（非因果）的收敛域
? 当 n1＜ 0时，序列为非因果序列
11
1
0
12
( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |
( ) ( )
n n n
n n n n n
X z x n z x n z x n z
X z X z
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
? 显然，当 z取有限值时，级数 X1(z) 的值有限，
而级数 X2(z) 收敛。所以，级数 X(z)的收敛域是
以 Rx-为半径的圆的外部区域，即
Rx-＜ |z|＜ +∞
17
左边序列
? 左边序列只在有限区间 n≤n2内具有非零的有限
值，在此区间外序列值都为零
? Z变换
2
( ) ( ) ( 2, 6 )
n
n
n
X z x n z ?
? ? ?
? ?
? 假设：级数 (2.5)在某个圆 |z|=|z2|上绝对收敛
2
2| ( ) |
n
n
n
x n z ?
? ? ?
??? ＜
18
左边序列（逆因果）的收敛域
假设, z是圆内任意一点，即 |z|＜ |z2|
? 当 n2≤ 0时，序列为逆因果序列
22
2| ( ) | | ( ) |
nn
nn
nn
x n z x n z??
? ? ? ? ? ?
???? ＜＜
? 显然，级数 X(z) 收敛。
? 讨论：级数 X(z)中没有负幂项，
|z|= 0时级数收敛，因此收敛域
包括 0点，即为
0 ≤ |z| ＜ Rx+
19
左边序列（非因果）的收敛域
? 当 n2＞ 0时，序列为非因果序列
22 1
0
12
( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |
( ) ( )
nn
n n n
n n n
X z x n z x n z x n z
X z X z
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
? 显然，当 z取 0外的有限值时，级数 X2(z) 的值
有限，而级数 X1(z) 收敛。所以，级数 X(z)的收
敛域是以 Rx+为半径的圆的内部区域，即
0＜ |z|＜ Rx+
20
例：求左边 序列的 Z变换
例 2.3 求序列 的 Z变换。
解,
讨论,
? 当 |az|＜ 1，即 |z|＜ 1/|a|时，级
数收敛。 X(z)可用封闭形式表示
? X(z)有一个 z= 1/a的极点，但也
有一个 z= 0的零点 。
1
1
22
( ) ( )
( 1 )
n n n
nn
X z a z a z
a z a z a z
? ? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ? ???
??
( ) ( 1 )nx n a u n?? ? ?
( ),| | 1 / | |1 azX z z aaz? ? ＜
21
双边序列
? 双边序列指 n从 -∞到 +∞都具有非零的有限值，
可看成右边序列和左边序列的和
? Z变换
12
1
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 2,7 )
n
n
nn
nn
X z x n z X z X z
x n z x n z
??
?
? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ?
??
?
??
? 讨论,X1(z) 收敛域为 0＜ |z|＜ Rx+；
X2(z)收敛域为 Rx-＜ |z|＜ +∞。双边序列
Z变换的收敛域是公共部分。
? 如果满足 Rx-<Rx+,则 X(z)的收敛域为
环状区域，即 Rx-＜ |z|＜ Rx+ ；
?如果满足 Rx-≥Rx+，则 X(z)无收敛域。
22
例：求双边 序列的 Z变换
例 2.4 己知序列
讨论,
? 极点为 z1= a和 z2= b
? 零点为 z1= 0和 z2= (a+b)/2
? 收敛域为环域 a＜ |z|＜ b
解,1
0
( ) ( )
( 2 )
( ) ( )
n n n n n
n n n
X z x n z b z a z
z z z z a b
z a z b z a z b
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
,0()
,0
n
n
anxn
bn
???
? ?
??
≥
＜
如果 0＜ a＜ b，求其 Z变换及其收敛域。
23
2.2.3 逆 Z变换
? 逆 Z变换,
由 X(z)及其收敛域求序列 x(n)的变换。
? 求逆 Z变换的方法,
? 幂级数法 (长除法 )
? 部分分式展开法
? 围线积分法。
24
幂级数法 (长除法 )
1 0 1 2( ) ( ) ( 1 ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2, 8 )n
n
X z x n z x z x z x z x z
??
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? Z变换的定义可知, X(z)是复变量 z-1的幂级
数，其系数是序列 x(n)的值
? 显见, 只要在给定的收敛域内，把 X(z)展开
成幂级数，则级数的系数就是序列 x(n)
? X(z)展开成幂级数的方法,
? log,sin,cos等函数, 利用幂级数公式
? 有理分式, 直接用长除法
25
例：幂级数法求逆 Z变换
例 2.5 求, |a|＜ |z| 的逆 Z变换。
展开 X(z)得
解,利用 ln(1+ x)，且 |x|＜ 1的幂级数公式
1( ) l n (1 )X z a z ???
11
23
1
1 1 ( 1 ) ( 1 )l n ( 1 ) ( 1 1 )
23
nn
nn
n
x x x x x x xnn
?? ??
?
??? ? ? ? ? ? ? ??LL ＜≤
1
1
1
( 1 )( ) l n ( 1 ) n nn
n
X z a z a zn
???
??
?
?? ? ? ?
1( 1 )( ) ( )n nx n a u n
n
???
由收敛域 |a|＜ |z|知 x(n)为右边序列
注, X(z)的闭合形式加上收敛域，才能唯一确定 x(n)。
26
长除法, 展开有理分式 X(z)
? 使用前判定对应 x(n) 类型, 由收敛域确定
? 右边序列 (或因果序列 )
? 左边序列 (或逆因果序列 )。
? 根据 x(n) 类型展开 X(z)
? 右边序列, X(z)展成负幂级数，分子分
母应按 z的降幂排列
? 左边序列, X(z)展成正幂级数，分子分
母应按 z的升幂排列。
27
例：长除法 --X(z) 降幂排列
例 2.6 求, |z|＞ 3的逆 Z变换。
解,收敛域是圆外部，对应右边序列。当 z→∞ 时,X(z)趋
近于有限值 0，说明收敛域包括 ∞点，因此是因果序列。
把 X(z)的分子分母按 z的降幂排列
1
12
3()
(1 3 )
zXz
z
?
?? ?
1
12
3()
1 6 9
zXz
zz
?
??? ??
1 2 2 3 3 4 4
0
( ) 0 3 2 3 3 3 4 3 3 nn
n
X z z z z z n z
??? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??L
长除运算，得
由此得到
( ) 3 ( )nx n n u n??
28
例：长除法 --X(z) 升 幂排列
例 2.7 求, |z|＜ 3的逆 Z变换。
解,收敛域是圆内部，对应左边序列。当 z=0时,X(z)趋
近于有限值 0，说明收敛域包括 0点，因此是逆因果序列。
把 X(z)的分子分母按 z的升幂排列
1
12
3()
(1 3 )
zXz
z
?
?? ?
1
21
3()
9 6 1
zXz
zz
?
??? ??
12 3 41 2 1 4
( ) ( ) 33 9 9 8 1 nn
n
X z z z z z n z
? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??L
长除运算，得
由此得到
( ) 3 ( 1 )nx n n u n?? ? ? ? ?
29
部分分式展开法
1
0
01
1
0
0 1
( 1 )
()
( ) ( 2,9)
() ( 1 )
MM
k
kk
kk
NN
k
k k
k k
b c zbz
Pz
Xz
Qz az a d z
??
??
? ?
? ?
?
? ? ?
?
??
? ?
? 方法：如果有理分式 X(z) 是两个实系数多项式 P(z)
和 Q(z)的比，展开成部分分式，求各简单分式的逆 Z
变换，再相加得到 x(n)。
? 式中,
? ck是 X(z)的非零零点,dk是 X(z)的非零极点
? P(z)和 Q(z)的阶次分别为 M和 N。
30
部分分式系数的计算
? 当 M＜ N且 X(z)只有一阶极点时，则
1
1
( ) ( 2, 1 0 )1N k
k k
AXz
dz ??? ??
? 由留数定理
1( 1 ) ( ) | (2, 1 1 )
kk k z dA d z X z
? ???
? 当 M≥N且 X(z)除有一阶极点外，在 z= di处还具有 s
阶极点，则
11
0 1 1
( ) ( 2, 1 2 )1 ( 1 )
M N N s sr
km
r m
r k mki
AcX z B z
d z d z
?? ?
??
? ? ?
? ? ???? ? ?
? 式中,Br用长除法得到，系数 cm由式 (2.13)得到
11
0 1 1
( ) ( 2, 1 3 )1 ( 1 )M N N s sr kmr m
r k mki
AcX z B z
d z d z
?? ?
??
? ? ?
? ? ???? ? ?
31
例：部分分式法求逆 Z变换
例 2.８ 用部分分式法求逆 Z变换。
求得系数为
解,收敛域为圆外，右边序列。 z→∞ 时,X(z)趋近于有限值 1，确定
是因果序列。 X(z)有两个一阶极点,z1= 2和 z2= 0.5
11
1( ),| | 2
( 1 2 ) ( 1 0, 5 )X z zzz??? ?? ＞
12
11() 1 2 1 0,5
AAXz
zz??????
1
1211
1
2 0, 511
14
( 1 2 ) |
( 1 2 ) ( 1 0, 5 ) 3
( 1 0, 5 ) |
( 1 2 ) ( 1 0, 5 ) 3
z
z
Az
zz
zz
?
???
?
???
? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
??
41( ) [ 2 0,5 ] ( )
33
nnx n u n? ? ? ?
查表 2.1可得
32
2.2.4 Z变换的性质和定理
? １．线性,满足叠加原理
Z[ax(n)+by(n)] = aX(z)+bY(z),R-＜ |z|＜ R+ (2.20)
例 2.12 求序列 x(n) = u(n)- u(n-3)的 Z变换。
? 由于出现零极点抵消，收敛域增大了。
? 由于 x(n)是 n≥0的有限长序列，收敛域是除 |z|=
0之外的全部 z平面。
Z [ ( ) ],11zu n zz? ? ＞
32
13Z [ ( 3 ) ],111
n
n
zzu n z z
zz
???? ?
??? ? ? ???? ＞
22
2
( ) Z [ ( ) ] Z [ ( 3 ) ]
1
11
X z x n x n
z z z z
z z z
?
? ? ?
?????
33
Z变换性质
? ２．序列的移位,
Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( )n m k m
nk
x n m x n m z z x k z z X z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ???
证明
Z [ ( ) ] ( )mx n m z X z???
? ３．乘以指数序列,
11Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )n n n n
nn
a x n a x n z x n a z X a z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ???
证明
1Z [ ( ) ] ( )na x n X a z??
34
Z变换性质
? ４．序列的线性加权,
1dd( ) ( ) ( ) ( )
dd
( ) [ ( ) ]
nn
nn
n
n
z X z z x n z z n x n z
zz
n x n z Z n x n
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
??
?
证明
? ? dZ [ ] ( )dnx n z X zz??
? ５．序列的折叠,
11Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )nn
nn
x n x n z x n z X z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ???
证明
1 1 1Z [ ( ) ] ( ),xxx n X z R z R? ? ????? ＜＜
35
Z变换性质－－初值定理
? ６．初值定理, 若 x(n)是因果序列，即
x(n)= 0,n＜ 0，则
12
0
( ) ( ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( )nn
n
X z x n z x x z x z x n z?? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?? LL
证明,x(n)是因果序列，有 ( 0 ) l i m ( )zx X z???
( 0 ) li m ( )zx X z???
显然
0( 0 ) li m ( )zx X z??
若 x(n)是逆因果序列，即 x(n)= 0,n＞ 0，有
36
Z变换性质－－终值定理
? ７．终值定理, 若 x(n)是因果序列，且 X(z)的全
部极点，除在 z= 1处可以有一阶极点外，其余极点
都在单位圆内，则
? ?( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] n
n
z X z z X z X z Z x n x n x n x n z?? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
证明：由 移位性质可得 1
l i m ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]nzx n z X z? ? ? ???
1
( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]n kn
k
z X z x k x k z ?? ? ?
??
? ? ? ??
x(n)是因果序列，则
1
1
l i m [ ( 1 ) ( ) ] l i m [ ( 1 ) ( ) ]
l i m { [ ( 0 ) 0 ] [ ( 1 ) ( 0 ) ] [ ( 1 ) ( ) ] }
l i m { ( 1 ) } l i m ( )
n
zn
k
n
nn
z X z x k x k
x x x x n x n
x n x n
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
L
有
37
Z变换性质
? ８．序列的卷积,
W(z)= Z[x(n)*y(n)]= X(z)·Y(z),R-＜ |z|＜ R+
( ) Z [ ( ) * ( ) ] [ ( ) ( )] n
nk
W z x n y n x k y n k z
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ???
证明
交换求和次序，并代入 m= n-k得
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n
kn
km
km
W z x k y n k z
x k z y m z X z Y z
??
?
? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
??
??
38
例,Z变换性质 求卷积
例 2.１３
X(z)和 H(z)收敛域分别为 |z|＞ a和 |z|＞ b，所以
解, 查表得
1( ) ( ),( ) ( ) ( 1 )n n nx n a u n h n b u n a b u n?? ? ? ?
11
1 1 1 1
1 1 1( ),( )
1 1 1 1
a z a zX z H z
a z b z b z b z
??
? ? ? ?
?? ? ? ?
? ? ? ?
( ) ( ) ( ),| |zY z X z H z z bzb? ? ? ? ＞
-1( ) ( n ) * ( n ) = Z [ ( ) ] = ( )ny n x h Y z b u n?
由收敛域知 y(n)是因果序列
讨论, 在 z= a处,X(z)的极点被 H(z)的零点所抵消，如
果 |b|＜ |a|，则 Y(z)的收敛域比 X(z)与 H(z)收敛域的重叠
部分要大，如图 2.10所示。
39
2.2.5 利用 Z变换求解差分方程
? N阶线性常系数差分方程
? 时域求解
Z变换
移位性质
? Z变换求解 差分方程
代数方程 Z变换式
输出序列
逆 Z变换
解方程
40
例,Z变换 求差分方程
例 2.１ 5 已知一个线性时不变系统的差分方程 y(n)=
ay(n-1)+ x(n)，设初始条件 y(-1)= 2，输入
时系统的输出序列。
解,
( ) ( )nx n b u n?
1
1
2 ( )( ) [ ( ) ( 1 ) ] ( ) ( )
1
a X zY z a z Y z y z X z Y z
az
?
?
?? ? ? ? ? ?
?
1
1( ) ( ) ( )
1
nx n b u n X z
bz ?? ? ? ?
于是
1 1 1
21()
1 ( 1 ) ( 1 )
aYz
a z a z b z? ? ???? ? ?
111( ) 2 nnn aby n a
ab
??? ???
?
零输入解和零状态解分别为 11 ( ) 2 ny n a ??
11
2 ()
nnab
yn ab
???
? ?
41
2.3 序列的傅里叶变换
? 序列傅里叶变换的定义
? 序列傅里叶变换的性质
? 周期序列的傅里叶级数表示
? 周期序列的傅里叶变换表示
42
2.3.1 序列傅里叶变换的定义
? 序列的傅里叶变换定义
? 傅里叶逆变换定义
j - j(e ) F [ ( ) ] ( ) e ( 2, 3 8 )n
n
X x n x n??
??
? ? ?
?? ?
1 j j j
-
1( ) F [ ( e ) ] ( e ) e d ( 2,3 9 )
2
nx n X X?? ? ?
? ??
??? ?
? 由 Z变换定义式
j
-j
e( ) ( ) e
n
z nX z x n?
???
? ? ? ?? ?
? 比较可见, 序列的傅里叶变换在数值上等于它
在 z平面单位圆上取值的 Z变换
jj e( e ) ( ) ( 2, 4 0 )zX X z ?? ??
j
1 j 1
e
1( ) F [ (e ) ] ( ) d ( 2, 4 1 )
2j
n
c zx n X X z z z ?
?
?
??
?
?? ?i
43
傅里叶变换对的计算
? 频谱用实部和虚部表示
? 频谱用幅度和相位表示
j j jRI( e ) ( e ) j ( e ) ( 2, 4 2 )X X X? ? ???
jj j j a r g [ ( e ) ] j ( )( e ) | ( e ) | e ( ) e ( 2, 4 3 )XX X X?? ? ? ????
? 幅度特性
? 相位特性
j 2 j 2 jRI( ) | ( e ) | ( e ) ( e ) ( 2,4 4 )X X X X? ? ?? ? ? ?
j
j I
j
R
( e )( ) a r g [ ( e ) ] = a r g ( 2, 4 5 )
( e )
XX
X
?
?
??? ?
44
例,求序列傅里叶变换
例 2.１ 6 求序列 x(n)= RN (n)的傅里叶变换。
解, -j1j - j - j
-j
0
- j / 2 j / 2 - j / 2
- j ( 1 ) / 2
- j / 2 j / 2 - j / 2
1e
( e ) ( ) e e
1e
e ( e e ) s i n
e
e ( e e ) s i n / 2
NN
nn
NN
nn
N N N
N
R R n
N
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
??
?
??
j s i n| ( e ) |
s i n / 2N
NR ? ?
??
ja r g [ ( e ) ] = - ( 1 ) / 2NRN? ? ?
画出模和相位的曲线,如图 2.11。
45
序列傅里叶变换的特点
? 频谱是 ω的连续周期函数，周期为 2π。
? x(n)为实序列时，频谱幅度在区间 0≤ω≤2π内
是偶对称函数，相位是奇对称函数。
j ( 2 ) j( e ) ( e )XX? ? ?? ?
46
2.3.2 序列傅里叶变换的性质
? １．线性,满足叠加原理
jj1 2 1 2F [ ( ) ( ) ] ( e ) ( e )a x n b x n a X b X??? ? ?
00j j ( )F [ e ( ) ] ( e )n x n X? ? ???
- j jF [ ( ) ] e ( e )kx n k X????
? 2．序列的移位,
? 3．序列的调制,
jd ( e )F [ ( ) ] j
d
Xn x n ?
??
? 4．序列乘以 n,
47
序列傅里叶变换的性质
? 5．序列的折叠,
-jF[ ( ) ] ( e )x n X ???
jF [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] e n
n
x n y n x n y n ?? ?
? ? ?
? ? ??
* * - jF [ ( ) ] ( e )x n X ??
? 6．序列的复共轭,
? 7．序列的卷积,
j( ) ( )e n
nk
x k y n k ??? ?
? ? ? ? ? ?
????
* * jF [ ( ) ] ( e )x n X ???
j j j j( )e ( )e (e ) (e )kn
km
x k y m X Y? ? ? ??? ??
? ? ? ? ? ?
????令 n-k= m
48
序列的乘积
jF [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] e n
n
x n y n x n y n ?? ?
? ? ?
?? ?
? 8．序列的乘积,
j j j1 (e )e d ( )e
2
nn
n
X y n? ? ? ?? ??? ??
? ? ?
??? ?
j j ( )1 (e )d ( )e
2
n
n
X y n? ? ? ?? ?? ? ???
? ? ?
? ??
j j( )1 ( e ) ( e ) d
2 XY
? ? ? ?
? ??
?
?? ?
49
序列的乘积
2 j j1| ( ) | ( ) ( ) ( ) [ (e )e d ]
2
n
n n n
x n x n x n x n X? ??? ??? ? ? ? ? ??? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?
? 8．帕斯瓦尔定理,能量守恒定理，表明信
号在时域的总能量等于其频域的总能量
jj1 (e ) ( ) e d
2
n
n
X x n? ??? ?? ?? ??
? ? ?
? ??
jj1 ( e ) ( e ) d2 XX? ??
? ??
?
?? ?
j21 | ( e ) | d
2 X
? ?
? ?? ?? ?
50
序列傅里叶变换的对称性
? 任何序列 x(n)总能表示为一个共轭对称序列
xe(n)和共轭反对称序列 xo(n)之和
eo( ) ( ) ( )x n x n x n??
**e e o o( ) ( ),( ) ( )x n x n x n x n? ? ? ? ?
eo
11( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]
22x n x n x n x n x n x n??? ? ? ? ? ?
? 定义 xe(n)和 xo(n)
? 序列 x(n)与 xe(n)和 xo(n)的关系
51
序列傅里叶变换的对称性质
52
2.3.3 周期序列的傅里叶级数表示
? 周期序列 定义,
? 周期序列 不是绝对可和 的,
在任何 z值下，其 Z变换都不收敛
( ) ( ),kx n x n k N??%% 为任意整数
? 周期序列的 傅里叶级数表示
2j
( ) e knNk
k
x n a
???
? ? ?
? ?% （2, 7, 4 ）
? ak,傅里叶级数的系数
? 基频序列, e1(n)
? k次谐波序列, ek(n)
2j
1e (n)= e
nN?
2je ( ) e kn
Nk n
??
53
周期序列用离散傅里叶级数表示
? 离散傅里叶级数只有 N个独立谐波分量,
因为复指数序列是 k的周期函数
? 周期序列, 只取 k＝ 0到 N-1的 N个独立谐波分
量足以表示原信号
54
周期序列的离散傅里叶级数变换对
? DFS推导过程见 P63，得到变换对,
? 离散傅里叶级数正变换
? 离散傅里叶级数反变换
55
周期序列,时域与频域
? 时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是周期序列
? 周期序列与有限
长序列之间本质
联系,
周期序列的信息可用
它在一个周期中的 N
个值来代表，式
(2.76)与 (2.77)中只
取 N个序列值说明这
一点。
56
例,求周期序列的傅里叶级数
例 2.１ 7 设 {···,0,1,2,3,0,1,2,3,···}是一个
以 N= 4为周期的周期序列，求离散傅里叶级数。
解, 2-j 44 ejW ?? ? ? 4 1 3
4
00
( ) ( ) ( j ) ( ),1,2,k n k n
nn
X k x n W x n k?
??
? ? ? ? ? ???% %% L
3
0
(0 ) ( ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 6
n
X x n x x x x
?
? ? ? ? ? ??% % % % % %
因此得到，离散傅里叶级数 {···,6,-2+2j,-2,-2-2j,6，
-2+2j,-2,-2-2j,··}
3
0
( 1 ) ( j ) ( ) (0 ) j ( 1 ) ( 2 ) j ( 3 ) 2 2 jn
n
X x n x x x x
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??% % % % % %
3 2
0
( 2 ) ( j ) ( ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 2n
n
X x n x x x x
?
? ? ? ? ? ? ? ??% % % % % %
3 3
0
( 3 ) ( j ) ( ) (0 ) j ( 1 ) ( 2 ) j ( 3 ) 2 2 jn
n
X x n x x x x
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??% % % % % %
57
2.3.4 周期序列的傅里叶变换表示
例 2.１ 8 设 = {···,1,1,1,1,0,0,0,0,···} 是一个
以 N = 8为周期的周期序列，求傅里叶变换。
解, 如图 2.14(a)是周期序列的周期 N= 8，傅里叶变换为
j 22(e ) ( ) ( ),8
k
X X k k NNN? ?? ????
? ? ?
? ? ??%%
参考例 2.16，可以得到
2213- j - j
8
00
( ) ( )e eN k n k nN
nn
X k x n
???
??
????% %
7-j
8 s i n ( )( ) e
s i n ( / 8 )
k kXk
k
? ??
?%
7-j
j 8 s i n ( )( e ) e ( )
4 s i n ( / 8 ) 4
k
k
kXk
k
?? ? ? ???
?
??
? ? ?
???%
58
2.4 序列的 Z变换与连续时间信号的拉普
拉斯变换、傅里叶变换的关系
? 对连续时间信号的理想取样输出，求拉普拉斯变换
? 与离散时间信号的Ｚ变换式比较，得到
? ?( ) ( ) e d ( ) ( ) e d
( ) ( ) e d
( ) ( ) e d ( ) e
s t s t
a a a
st
a
n
s t s nt
aa
nn
X s x t t x t p t t
x nT t nT t
x nT t nT t x nT
d
d
+?
--
-?
+ +
-
-
= -
+? +
--
-
= -? -
==
=-
= - =
蝌
?ò
邋 ò
? ?e ?( ) (e ) ( 2, 8 9 )sT sT azX z X X s? ??
? 当 时，取样序列 xa(nT)的Ｚ变换等于取样
信号 的拉普拉斯变换。
esTz?
? ()axt
59
s平面到 z平面的映射关系
? 将 s平面用直角坐标表示，即 s=σ+jΩ,z平面用极坐标
表示，代入式 (2.90)中，得到
1e,l n ( 2,9 0 )sTz s z
T??
j ( j ) j0 e e e eT T Tr ? ? ?? ? ???
? 因此
0 e,TrT? ?? ? ?
? σ= 0时,r0= 1,s平面的 jΩ轴映
射成 z平面的单位圆；
? σ＜ 0时,r0＜ 1,s平面的左半平
面映射成 z平面的单位圆内部；
? σ＞ 0时,r0＞ 1,s平面的右半平
面映射成 z平面的单位圆外部；
60
序列的 Z变换与傅里叶变换的关系
? 傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即 s＝ jΩ，
因而映射到 z平面上为单位圆，代入式 (2.89)得
j je ?( ) (e ) ( j ) ( 2, 9 4 )T T azX z X X? ? ?? ??
? 取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样
信号的傅里叶变换 。
61
2.5 Matlab实现
? 序列逆 Z变换的 Matlab实现
? 周期序列傅里叶级数的 Matlab实现
62
2.5.1 序列逆 Z变换的 Matlab实现
? 函数 residuez,适合计算离散系统有理函数的留数和极
点，可以用于求解序列的逆 Z变换。
1
01
11 10
01
()( ) ( 2, 9 8 )
( ) 1
M N M N k
Mk k
N kk
Nk
b b z b z RBzX z C z
a a z a z A z p z
?? ? ?
? ? ???
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ???
L
L
? 函数 residuez基本调用方式,
>>[r,p,c]= residuez(b,a);
? 输入参数, b=[b0,b1,…, bM]为分子多项式的系数,
a=[a0,a1,…, aN]为分母多项式的系数，这些多项式都按
z的降幂排列
? 输出参数, r是极点的留数,p是极点,c是无穷项多项式的系
数项，仅当 M≥N时存在。
63
例：计算逆 Z变换
例 2.19 计算 的逆 Z变换 。
解, 有理分式 X(z) 分子和分母
多项式都按 z的降幂排列。
2() 2 3 1
zXz
zz? ??
1
2 1 2
0()
2 3 1 2 3
zzXz
z z z z
?
??
???
? ? ? ?
?>>b= [0,1]; a= [2,-3,1]; % 多项式的系数
?[r,p,c]= residuez(b,a); % 求留数、极点和系数项
?disp('留数,');disp(r'); % 显示输出参数
?disp('极点,');disp(p');
?disp('系数项,');disp(c');
程序运行结果为
?留数, 1 -1
?极点, 1.0000 0.5000
?系数项,
X(z)的部分分式形式 为
11
11() 1 1 0,5Xz zz
??????
逆 Z变换 为
( ) ( ) ( 0, 5 ) ( )nx n u n u n??
64
2.5.2 周期序列傅里叶级数的 Matlab实现
? DFS式 (2.77)的矩阵形式
1 2 1
2 4 2 ( 1 )
1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 ( 0 )( 0 )
1 ( 1 )( 1 )
1 ( 2,9 9 )( 2 )( 2 )
1 ( 1 )( 1 )
N
N N N
N
N N N
N N N N
N N N
xX
W W W xX
X W W W W xxX
W W W xNXN
?
?
? ? ? ?
?? ?? ??
?? ?? ??
?? ??
?? ??? ? ? ?
?? ?? ??
?? ??
?? ?? ??
??????
% %L
% %L
% % %%L
M M M O M MM
% %L
? 由周期序列的 DFS定义,0≤n≤N-1,0≤k≤N-1，有
? ?'
0 0 0 0 0
1 0 1 2 1
0 1 2 1 ( 2.100)2 0 2 4 2( 1 )
1 0 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
N
n k N N
N N N N N
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
L
L
L L
M M M M O M
L
? 只需计算 WN因子，由矩阵理论可计算式 (2.99)
'()( ) ( 2, 1 0 1 )nkNX W x W x?? ? ? ?% %%
65
例：计算 周期序列 离散傅里叶级数
例 2.21 计算 以 N= 4为周期进行周期延拓,
求周期序列的离散傅里叶级数 。
解,
,0 3()
0,
nnxn ?? ?
?
≤≤
其它
?>>xn= [0,1,2,3];N= 4; % 设定序列和周期
?n= [0:1:N-1];k= [0:1:N-1]; % 设定 n和 k
?WN= exp(-j*2*pi/N); % 设定 Wn因子
?nk= n'*k;WNnk = WN.^nk; % 计算 W矩阵
?Xk= xn*WNnk; % 计算 DFS的系数 Xk
?disp(xn);disp(Xk); % 显示计算结果 (系数 )
程序运行结果为
?0 1 2 3
?6.0000 -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 0.0000i -2.0000 - 2.0000i
序列的 Z变换与傅里叶变换
2
本章目录
? 序列的 Z变换
? 序列的傅里叶变换
? 序列的 Z变换与连续时间信号的拉普拉斯
变换、傅里叶变换的关系
? Matlab实现
3
2.1 引言
? 信号与系统的分析方法,
? 时域 分析
? 变换域 分析
? 连续时间信号与系统
? 信号用 时间 t的函数 表示
? 系统用 微分方程 描述
? 离散时间信号与系统
? 信号用 序列 表示
? 系统用 差分方程 描述
4
时域与频域分析
傅里叶变换
时间域
频率域
(复频域 )
拉普拉斯 变换
推
广
傅里叶变换
时间域
频率域
(复频域 )
Z变换
推
广
? 连续时间信
号与系统
? 离散时间信
号与系统
5
本章主要内容
? 序列的 Z变换
? Z变换的主要性质
? 序列的傅里叶变换
? 傅里叶变换的主要性质
6
2.2 序列的 Z变换
? Z变换及其收敛域的 定义
? 几种序列 的 Z变换及其收敛域
? 逆 Z变换
? Z变换的 性质和定理
? 利用 Z变换 求解差分方程
7
2.2.1 Z变换及其收敛域的定义
? 序列的 Z变换定义
? 双 边 Z变 换
( ) [ ( ) ] ( ) ( 2, 1 )n
n
X z x n x n z?? ?
? ? ?
? ? ? ?
? 单 边 Z变 换
11
0
( ) [ ( ) ] ( ) ( 2, 2 )n
n
X z x n x n z?? ?
?
? ? ? ?
? 因果序列 的 Z变换, 单 边 Z变换可以看成因
果序列情况下的双边 Z变换
8
Z平面与单位圆
? 变量 z的极坐标形式
? Z平面, Z变换定义 式中 z所在的复平面,
z是一个连续复变量，具有实部和虚部
? 单位圆,
? 在 Z平面上 |z|= 1为半径的圆
? 单位圆上的参数可表示为
j| | ezz ??
jez ??
9
例, 求序列的 Z变换
例 2.1 求序列 的 Z变换 。 ( ) ( )nx n a u n?
解,序列 x(n)是因果序列，根据 Z变换的定义
1
00
1 1 2 1 3
( ) ( ) ( )
1 ( ) ( )
n n n n
n n n
X z x n z a z az
a z a z a z
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
分 析收敛性,X(z)是无穷项幂级数。
1
1
0
1( ) ( ),| | | |
1
n
n
zX z az z a
a z z a
??
?
?
?
? ? ???? ＞
? X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为
? 当 |z|≤a时级数发散，当 |z|＞ |a|时级数收敛。
10
Z变换的收敛域
? 根据级数理论，式 (2.1)收敛
的充分必要条件是满足绝对
可和条件，即
? 收敛域, 对于给定的任意序列 x(n)，使其 Z
变换收敛的所有 z值的集合组成的区域。
? 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域
| ( ) |n
n
x n z
??
?
? ? ?
??? ＜
? 收敛半径 Rx-可以小到 0,Rx+可以大到 ∞
? 收敛域以原点为中心,Rx-和 Rx+为半径的环域
11
2.2.2 几种序列的 Z变换及其收敛域
序列 x(n)的性质决定了 X(z)的收敛域，
不同形式的序列其收敛域不同 。
? 有限长序列,0≤|z|＜ +∞ 或 0＜ |z|≤+∞
? 右边序列,Rx-＜ |z|＜ +∞
? 左边序列,0＜ |z|＜ Rx+
? 双边序列,Rx- ＜ |z|＜ Rx+
12
有限长序列
? 有限长序列只在有限区间 n1≤n≤n2内具有非零
的有限值，在此区间外序列值都为零
? Z变换
2
1
( ) ( )
n
n
nn
X z x n z ?
?
? ?
? 要求：在有限区间内级数的每一项都有界，
则有限项的和有界，级数就收敛。
| ( ) nx n z ? ?| ＜+ ||nz? ?＜+ ||z ?0 ＜ ＜+
x(n)有 界 开域
? 边界讨论,z= 0及 z= ∞两点是否也收敛与 n1,n2取
值情况有关。 （具体见教材 p40与例题）
13
例：求有限长 序列的 Z变换
例 2.2 求序列 的 Z变换。
讨论,
? 假设 |a|是有限值，且 |a|＜ 1。
? X(z)有一个 z= a的极点，但也有
一个 z= a的零点，将零极点对消。
? 收敛域为 0＜ |z|≤+∞。
解,根据 Z变换的定义
111
1
1
00
1 ( )( ) ( )
1
NNN
n n n
nn
azX z a z a z
az
???
??
?
??
?? ? ?
???
( ) ( )n Nx n a R n?
14
右边序列
? 右边序列只在有限区间 n≥n1 内具有非零的有
限值，在此区间外序列值都为零
? Z变换
1
( ) ( ) ( 2, 5 )n
nn
X z x n z
??
?
?
? ?
? 假设：级数 (2.5)在某个圆 |z|=|z1|上绝对收敛
1
1| ( ) |
n
nn
x n z
??
?
?
??? ＜
15
右边序列（因果）的收敛域
假设, z是圆外任意一点，即 |z|＞ |z1|
? 当 n1≥0时，序列为因果序列
11
1( ) | ( ) | | ( ) |
nn
n n n n
X z x n z x n z
? ? ? ?
??
??
? ? ??? ＜＜
? 显然，级数 X(z) 收敛。
? 讨论：级数 X(z)中没有正幂项，
|z|= +∞时级数收敛，因此收敛
域包括 ∞点，即为
Rx-＜ |z|≤+∞
16
右边序列（非因果）的收敛域
? 当 n1＜ 0时，序列为非因果序列
11
1
0
12
( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |
( ) ( )
n n n
n n n n n
X z x n z x n z x n z
X z X z
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
? 显然，当 z取有限值时，级数 X1(z) 的值有限，
而级数 X2(z) 收敛。所以，级数 X(z)的收敛域是
以 Rx-为半径的圆的外部区域，即
Rx-＜ |z|＜ +∞
17
左边序列
? 左边序列只在有限区间 n≤n2内具有非零的有限
值，在此区间外序列值都为零
? Z变换
2
( ) ( ) ( 2, 6 )
n
n
n
X z x n z ?
? ? ?
? ?
? 假设：级数 (2.5)在某个圆 |z|=|z2|上绝对收敛
2
2| ( ) |
n
n
n
x n z ?
? ? ?
??? ＜
18
左边序列（逆因果）的收敛域
假设, z是圆内任意一点，即 |z|＜ |z2|
? 当 n2≤ 0时，序列为逆因果序列
22
2| ( ) | | ( ) |
nn
nn
nn
x n z x n z??
? ? ? ? ? ?
???? ＜＜
? 显然，级数 X(z) 收敛。
? 讨论：级数 X(z)中没有负幂项，
|z|= 0时级数收敛，因此收敛域
包括 0点，即为
0 ≤ |z| ＜ Rx+
19
左边序列（非因果）的收敛域
? 当 n2＞ 0时，序列为非因果序列
22 1
0
12
( ) | ( ) | | ( ) | | ( ) |
( ) ( )
nn
n n n
n n n
X z x n z x n z x n z
X z X z
?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
? 显然，当 z取 0外的有限值时，级数 X2(z) 的值
有限，而级数 X1(z) 收敛。所以，级数 X(z)的收
敛域是以 Rx+为半径的圆的内部区域，即
0＜ |z|＜ Rx+
20
例：求左边 序列的 Z变换
例 2.3 求序列 的 Z变换。
解,
讨论,
? 当 |az|＜ 1，即 |z|＜ 1/|a|时，级
数收敛。 X(z)可用封闭形式表示
? X(z)有一个 z= 1/a的极点，但也
有一个 z= 0的零点 。
1
1
22
( ) ( )
( 1 )
n n n
nn
X z a z a z
a z a z a z
? ? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ? ???
??
( ) ( 1 )nx n a u n?? ? ?
( ),| | 1 / | |1 azX z z aaz? ? ＜
21
双边序列
? 双边序列指 n从 -∞到 +∞都具有非零的有限值，
可看成右边序列和左边序列的和
? Z变换
12
1
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( 2,7 )
n
n
nn
nn
X z x n z X z X z
x n z x n z
??
?
? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ?
??
?
??
? 讨论,X1(z) 收敛域为 0＜ |z|＜ Rx+；
X2(z)收敛域为 Rx-＜ |z|＜ +∞。双边序列
Z变换的收敛域是公共部分。
? 如果满足 Rx-<Rx+,则 X(z)的收敛域为
环状区域，即 Rx-＜ |z|＜ Rx+ ；
?如果满足 Rx-≥Rx+，则 X(z)无收敛域。
22
例：求双边 序列的 Z变换
例 2.4 己知序列
讨论,
? 极点为 z1= a和 z2= b
? 零点为 z1= 0和 z2= (a+b)/2
? 收敛域为环域 a＜ |z|＜ b
解,1
0
( ) ( )
( 2 )
( ) ( )
n n n n n
n n n
X z x n z b z a z
z z z z a b
z a z b z a z b
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
,0()
,0
n
n
anxn
bn
???
? ?
??
≥
＜
如果 0＜ a＜ b，求其 Z变换及其收敛域。
23
2.2.3 逆 Z变换
? 逆 Z变换,
由 X(z)及其收敛域求序列 x(n)的变换。
? 求逆 Z变换的方法,
? 幂级数法 (长除法 )
? 部分分式展开法
? 围线积分法。
24
幂级数法 (长除法 )
1 0 1 2( ) ( ) ( 1 ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2, 8 )n
n
X z x n z x z x z x z x z
??
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? Z变换的定义可知, X(z)是复变量 z-1的幂级
数，其系数是序列 x(n)的值
? 显见, 只要在给定的收敛域内，把 X(z)展开
成幂级数，则级数的系数就是序列 x(n)
? X(z)展开成幂级数的方法,
? log,sin,cos等函数, 利用幂级数公式
? 有理分式, 直接用长除法
25
例：幂级数法求逆 Z变换
例 2.5 求, |a|＜ |z| 的逆 Z变换。
展开 X(z)得
解,利用 ln(1+ x)，且 |x|＜ 1的幂级数公式
1( ) l n (1 )X z a z ???
11
23
1
1 1 ( 1 ) ( 1 )l n ( 1 ) ( 1 1 )
23
nn
nn
n
x x x x x x xnn
?? ??
?
??? ? ? ? ? ? ? ??LL ＜≤
1
1
1
( 1 )( ) l n ( 1 ) n nn
n
X z a z a zn
???
??
?
?? ? ? ?
1( 1 )( ) ( )n nx n a u n
n
???
由收敛域 |a|＜ |z|知 x(n)为右边序列
注, X(z)的闭合形式加上收敛域，才能唯一确定 x(n)。
26
长除法, 展开有理分式 X(z)
? 使用前判定对应 x(n) 类型, 由收敛域确定
? 右边序列 (或因果序列 )
? 左边序列 (或逆因果序列 )。
? 根据 x(n) 类型展开 X(z)
? 右边序列, X(z)展成负幂级数，分子分
母应按 z的降幂排列
? 左边序列, X(z)展成正幂级数，分子分
母应按 z的升幂排列。
27
例：长除法 --X(z) 降幂排列
例 2.6 求, |z|＞ 3的逆 Z变换。
解,收敛域是圆外部，对应右边序列。当 z→∞ 时,X(z)趋
近于有限值 0，说明收敛域包括 ∞点，因此是因果序列。
把 X(z)的分子分母按 z的降幂排列
1
12
3()
(1 3 )
zXz
z
?
?? ?
1
12
3()
1 6 9
zXz
zz
?
??? ??
1 2 2 3 3 4 4
0
( ) 0 3 2 3 3 3 4 3 3 nn
n
X z z z z z n z
??? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??L
长除运算，得
由此得到
( ) 3 ( )nx n n u n??
28
例：长除法 --X(z) 升 幂排列
例 2.7 求, |z|＜ 3的逆 Z变换。
解,收敛域是圆内部，对应左边序列。当 z=0时,X(z)趋
近于有限值 0，说明收敛域包括 0点，因此是逆因果序列。
把 X(z)的分子分母按 z的升幂排列
1
12
3()
(1 3 )
zXz
z
?
?? ?
1
21
3()
9 6 1
zXz
zz
?
??? ??
12 3 41 2 1 4
( ) ( ) 33 9 9 8 1 nn
n
X z z z z z n z
? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??L
长除运算，得
由此得到
( ) 3 ( 1 )nx n n u n?? ? ? ? ?
29
部分分式展开法
1
0
01
1
0
0 1
( 1 )
()
( ) ( 2,9)
() ( 1 )
MM
k
kk
kk
NN
k
k k
k k
b c zbz
Pz
Xz
Qz az a d z
??
??
? ?
? ?
?
? ? ?
?
??
? ?
? 方法：如果有理分式 X(z) 是两个实系数多项式 P(z)
和 Q(z)的比，展开成部分分式，求各简单分式的逆 Z
变换，再相加得到 x(n)。
? 式中,
? ck是 X(z)的非零零点,dk是 X(z)的非零极点
? P(z)和 Q(z)的阶次分别为 M和 N。
30
部分分式系数的计算
? 当 M＜ N且 X(z)只有一阶极点时，则
1
1
( ) ( 2, 1 0 )1N k
k k
AXz
dz ??? ??
? 由留数定理
1( 1 ) ( ) | (2, 1 1 )
kk k z dA d z X z
? ???
? 当 M≥N且 X(z)除有一阶极点外，在 z= di处还具有 s
阶极点，则
11
0 1 1
( ) ( 2, 1 2 )1 ( 1 )
M N N s sr
km
r m
r k mki
AcX z B z
d z d z
?? ?
??
? ? ?
? ? ???? ? ?
? 式中,Br用长除法得到，系数 cm由式 (2.13)得到
11
0 1 1
( ) ( 2, 1 3 )1 ( 1 )M N N s sr kmr m
r k mki
AcX z B z
d z d z
?? ?
??
? ? ?
? ? ???? ? ?
31
例：部分分式法求逆 Z变换
例 2.８ 用部分分式法求逆 Z变换。
求得系数为
解,收敛域为圆外，右边序列。 z→∞ 时,X(z)趋近于有限值 1，确定
是因果序列。 X(z)有两个一阶极点,z1= 2和 z2= 0.5
11
1( ),| | 2
( 1 2 ) ( 1 0, 5 )X z zzz??? ?? ＞
12
11() 1 2 1 0,5
AAXz
zz??????
1
1211
1
2 0, 511
14
( 1 2 ) |
( 1 2 ) ( 1 0, 5 ) 3
( 1 0, 5 ) |
( 1 2 ) ( 1 0, 5 ) 3
z
z
Az
zz
zz
?
???
?
???
? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
??
41( ) [ 2 0,5 ] ( )
33
nnx n u n? ? ? ?
查表 2.1可得
32
2.2.4 Z变换的性质和定理
? １．线性,满足叠加原理
Z[ax(n)+by(n)] = aX(z)+bY(z),R-＜ |z|＜ R+ (2.20)
例 2.12 求序列 x(n) = u(n)- u(n-3)的 Z变换。
? 由于出现零极点抵消，收敛域增大了。
? 由于 x(n)是 n≥0的有限长序列，收敛域是除 |z|=
0之外的全部 z平面。
Z [ ( ) ],11zu n zz? ? ＞
32
13Z [ ( 3 ) ],111
n
n
zzu n z z
zz
???? ?
??? ? ? ???? ＞
22
2
( ) Z [ ( ) ] Z [ ( 3 ) ]
1
11
X z x n x n
z z z z
z z z
?
? ? ?
?????
33
Z变换性质
? ２．序列的移位,
Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( )n m k m
nk
x n m x n m z z x k z z X z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ???
证明
Z [ ( ) ] ( )mx n m z X z???
? ３．乘以指数序列,
11Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )n n n n
nn
a x n a x n z x n a z X a z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ???
证明
1Z [ ( ) ] ( )na x n X a z??
34
Z变换性质
? ４．序列的线性加权,
1dd( ) ( ) ( ) ( )
dd
( ) [ ( ) ]
nn
nn
n
n
z X z z x n z z n x n z
zz
n x n z Z n x n
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
??
?
证明
? ? dZ [ ] ( )dnx n z X zz??
? ５．序列的折叠,
11Z [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )nn
nn
x n x n z x n z X z
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ???
证明
1 1 1Z [ ( ) ] ( ),xxx n X z R z R? ? ????? ＜＜
35
Z变换性质－－初值定理
? ６．初值定理, 若 x(n)是因果序列，即
x(n)= 0,n＜ 0，则
12
0
( ) ( ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( )nn
n
X z x n z x x z x z x n z?? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?? LL
证明,x(n)是因果序列，有 ( 0 ) l i m ( )zx X z???
( 0 ) li m ( )zx X z???
显然
0( 0 ) li m ( )zx X z??
若 x(n)是逆因果序列，即 x(n)= 0,n＞ 0，有
36
Z变换性质－－终值定理
? ７．终值定理, 若 x(n)是因果序列，且 X(z)的全
部极点，除在 z= 1处可以有一阶极点外，其余极点
都在单位圆内，则
? ?( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( ) ] n
n
z X z z X z X z Z x n x n x n x n z?? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
证明：由 移位性质可得 1
l i m ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]nzx n z X z? ? ? ???
1
( 1 ) ( ) l i m [ ( 1 ) ( ) ]n kn
k
z X z x k x k z ?? ? ?
??
? ? ? ??
x(n)是因果序列，则
1
1
l i m [ ( 1 ) ( ) ] l i m [ ( 1 ) ( ) ]
l i m { [ ( 0 ) 0 ] [ ( 1 ) ( 0 ) ] [ ( 1 ) ( ) ] }
l i m { ( 1 ) } l i m ( )
n
zn
k
n
nn
z X z x k x k
x x x x n x n
x n x n
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
L
有
37
Z变换性质
? ８．序列的卷积,
W(z)= Z[x(n)*y(n)]= X(z)·Y(z),R-＜ |z|＜ R+
( ) Z [ ( ) * ( ) ] [ ( ) ( )] n
nk
W z x n y n x k y n k z
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ???
证明
交换求和次序，并代入 m= n-k得
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n
kn
km
km
W z x k y n k z
x k z y m z X z Y z
??
?
? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
??
??
38
例,Z变换性质 求卷积
例 2.１３
X(z)和 H(z)收敛域分别为 |z|＞ a和 |z|＞ b，所以
解, 查表得
1( ) ( ),( ) ( ) ( 1 )n n nx n a u n h n b u n a b u n?? ? ? ?
11
1 1 1 1
1 1 1( ),( )
1 1 1 1
a z a zX z H z
a z b z b z b z
??
? ? ? ?
?? ? ? ?
? ? ? ?
( ) ( ) ( ),| |zY z X z H z z bzb? ? ? ? ＞
-1( ) ( n ) * ( n ) = Z [ ( ) ] = ( )ny n x h Y z b u n?
由收敛域知 y(n)是因果序列
讨论, 在 z= a处,X(z)的极点被 H(z)的零点所抵消，如
果 |b|＜ |a|，则 Y(z)的收敛域比 X(z)与 H(z)收敛域的重叠
部分要大，如图 2.10所示。
39
2.2.5 利用 Z变换求解差分方程
? N阶线性常系数差分方程
? 时域求解
Z变换
移位性质
? Z变换求解 差分方程
代数方程 Z变换式
输出序列
逆 Z变换
解方程
40
例,Z变换 求差分方程
例 2.１ 5 已知一个线性时不变系统的差分方程 y(n)=
ay(n-1)+ x(n)，设初始条件 y(-1)= 2，输入
时系统的输出序列。
解,
( ) ( )nx n b u n?
1
1
2 ( )( ) [ ( ) ( 1 ) ] ( ) ( )
1
a X zY z a z Y z y z X z Y z
az
?
?
?? ? ? ? ? ?
?
1
1( ) ( ) ( )
1
nx n b u n X z
bz ?? ? ? ?
于是
1 1 1
21()
1 ( 1 ) ( 1 )
aYz
a z a z b z? ? ???? ? ?
111( ) 2 nnn aby n a
ab
??? ???
?
零输入解和零状态解分别为 11 ( ) 2 ny n a ??
11
2 ()
nnab
yn ab
???
? ?
41
2.3 序列的傅里叶变换
? 序列傅里叶变换的定义
? 序列傅里叶变换的性质
? 周期序列的傅里叶级数表示
? 周期序列的傅里叶变换表示
42
2.3.1 序列傅里叶变换的定义
? 序列的傅里叶变换定义
? 傅里叶逆变换定义
j - j(e ) F [ ( ) ] ( ) e ( 2, 3 8 )n
n
X x n x n??
??
? ? ?
?? ?
1 j j j
-
1( ) F [ ( e ) ] ( e ) e d ( 2,3 9 )
2
nx n X X?? ? ?
? ??
??? ?
? 由 Z变换定义式
j
-j
e( ) ( ) e
n
z nX z x n?
???
? ? ? ?? ?
? 比较可见, 序列的傅里叶变换在数值上等于它
在 z平面单位圆上取值的 Z变换
jj e( e ) ( ) ( 2, 4 0 )zX X z ?? ??
j
1 j 1
e
1( ) F [ (e ) ] ( ) d ( 2, 4 1 )
2j
n
c zx n X X z z z ?
?
?
??
?
?? ?i
43
傅里叶变换对的计算
? 频谱用实部和虚部表示
? 频谱用幅度和相位表示
j j jRI( e ) ( e ) j ( e ) ( 2, 4 2 )X X X? ? ???
jj j j a r g [ ( e ) ] j ( )( e ) | ( e ) | e ( ) e ( 2, 4 3 )XX X X?? ? ? ????
? 幅度特性
? 相位特性
j 2 j 2 jRI( ) | ( e ) | ( e ) ( e ) ( 2,4 4 )X X X X? ? ?? ? ? ?
j
j I
j
R
( e )( ) a r g [ ( e ) ] = a r g ( 2, 4 5 )
( e )
XX
X
?
?
??? ?
44
例,求序列傅里叶变换
例 2.１ 6 求序列 x(n)= RN (n)的傅里叶变换。
解, -j1j - j - j
-j
0
- j / 2 j / 2 - j / 2
- j ( 1 ) / 2
- j / 2 j / 2 - j / 2
1e
( e ) ( ) e e
1e
e ( e e ) s i n
e
e ( e e ) s i n / 2
NN
nn
NN
nn
N N N
N
R R n
N
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
??
?
??
j s i n| ( e ) |
s i n / 2N
NR ? ?
??
ja r g [ ( e ) ] = - ( 1 ) / 2NRN? ? ?
画出模和相位的曲线,如图 2.11。
45
序列傅里叶变换的特点
? 频谱是 ω的连续周期函数，周期为 2π。
? x(n)为实序列时，频谱幅度在区间 0≤ω≤2π内
是偶对称函数，相位是奇对称函数。
j ( 2 ) j( e ) ( e )XX? ? ?? ?
46
2.3.2 序列傅里叶变换的性质
? １．线性,满足叠加原理
jj1 2 1 2F [ ( ) ( ) ] ( e ) ( e )a x n b x n a X b X??? ? ?
00j j ( )F [ e ( ) ] ( e )n x n X? ? ???
- j jF [ ( ) ] e ( e )kx n k X????
? 2．序列的移位,
? 3．序列的调制,
jd ( e )F [ ( ) ] j
d
Xn x n ?
??
? 4．序列乘以 n,
47
序列傅里叶变换的性质
? 5．序列的折叠,
-jF[ ( ) ] ( e )x n X ???
jF [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] e n
n
x n y n x n y n ?? ?
? ? ?
? ? ??
* * - jF [ ( ) ] ( e )x n X ??
? 6．序列的复共轭,
? 7．序列的卷积,
j( ) ( )e n
nk
x k y n k ??? ?
? ? ? ? ? ?
????
* * jF [ ( ) ] ( e )x n X ???
j j j j( )e ( )e (e ) (e )kn
km
x k y m X Y? ? ? ??? ??
? ? ? ? ? ?
????令 n-k= m
48
序列的乘积
jF [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] e n
n
x n y n x n y n ?? ?
? ? ?
?? ?
? 8．序列的乘积,
j j j1 (e )e d ( )e
2
nn
n
X y n? ? ? ?? ??? ??
? ? ?
??? ?
j j ( )1 (e )d ( )e
2
n
n
X y n? ? ? ?? ?? ? ???
? ? ?
? ??
j j( )1 ( e ) ( e ) d
2 XY
? ? ? ?
? ??
?
?? ?
49
序列的乘积
2 j j1| ( ) | ( ) ( ) ( ) [ (e )e d ]
2
n
n n n
x n x n x n x n X? ??? ??? ? ? ? ? ??? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ?
? 8．帕斯瓦尔定理,能量守恒定理，表明信
号在时域的总能量等于其频域的总能量
jj1 (e ) ( ) e d
2
n
n
X x n? ??? ?? ?? ??
? ? ?
? ??
jj1 ( e ) ( e ) d2 XX? ??
? ??
?
?? ?
j21 | ( e ) | d
2 X
? ?
? ?? ?? ?
50
序列傅里叶变换的对称性
? 任何序列 x(n)总能表示为一个共轭对称序列
xe(n)和共轭反对称序列 xo(n)之和
eo( ) ( ) ( )x n x n x n??
**e e o o( ) ( ),( ) ( )x n x n x n x n? ? ? ? ?
eo
11( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]
22x n x n x n x n x n x n??? ? ? ? ? ?
? 定义 xe(n)和 xo(n)
? 序列 x(n)与 xe(n)和 xo(n)的关系
51
序列傅里叶变换的对称性质
52
2.3.3 周期序列的傅里叶级数表示
? 周期序列 定义,
? 周期序列 不是绝对可和 的,
在任何 z值下，其 Z变换都不收敛
( ) ( ),kx n x n k N??%% 为任意整数
? 周期序列的 傅里叶级数表示
2j
( ) e knNk
k
x n a
???
? ? ?
? ?% （2, 7, 4 ）
? ak,傅里叶级数的系数
? 基频序列, e1(n)
? k次谐波序列, ek(n)
2j
1e (n)= e
nN?
2je ( ) e kn
Nk n
??
53
周期序列用离散傅里叶级数表示
? 离散傅里叶级数只有 N个独立谐波分量,
因为复指数序列是 k的周期函数
? 周期序列, 只取 k＝ 0到 N-1的 N个独立谐波分
量足以表示原信号
54
周期序列的离散傅里叶级数变换对
? DFS推导过程见 P63，得到变换对,
? 离散傅里叶级数正变换
? 离散傅里叶级数反变换
55
周期序列,时域与频域
? 时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是周期序列
? 周期序列与有限
长序列之间本质
联系,
周期序列的信息可用
它在一个周期中的 N
个值来代表，式
(2.76)与 (2.77)中只
取 N个序列值说明这
一点。
56
例,求周期序列的傅里叶级数
例 2.１ 7 设 {···,0,1,2,3,0,1,2,3,···}是一个
以 N= 4为周期的周期序列，求离散傅里叶级数。
解, 2-j 44 ejW ?? ? ? 4 1 3
4
00
( ) ( ) ( j ) ( ),1,2,k n k n
nn
X k x n W x n k?
??
? ? ? ? ? ???% %% L
3
0
(0 ) ( ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 6
n
X x n x x x x
?
? ? ? ? ? ??% % % % % %
因此得到，离散傅里叶级数 {···,6,-2+2j,-2,-2-2j,6，
-2+2j,-2,-2-2j,··}
3
0
( 1 ) ( j ) ( ) (0 ) j ( 1 ) ( 2 ) j ( 3 ) 2 2 jn
n
X x n x x x x
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??% % % % % %
3 2
0
( 2 ) ( j ) ( ) (0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 2n
n
X x n x x x x
?
? ? ? ? ? ? ? ??% % % % % %
3 3
0
( 3 ) ( j ) ( ) (0 ) j ( 1 ) ( 2 ) j ( 3 ) 2 2 jn
n
X x n x x x x
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??% % % % % %
57
2.3.4 周期序列的傅里叶变换表示
例 2.１ 8 设 = {···,1,1,1,1,0,0,0,0,···} 是一个
以 N = 8为周期的周期序列，求傅里叶变换。
解, 如图 2.14(a)是周期序列的周期 N= 8，傅里叶变换为
j 22(e ) ( ) ( ),8
k
X X k k NNN? ?? ????
? ? ?
? ? ??%%
参考例 2.16，可以得到
2213- j - j
8
00
( ) ( )e eN k n k nN
nn
X k x n
???
??
????% %
7-j
8 s i n ( )( ) e
s i n ( / 8 )
k kXk
k
? ??
?%
7-j
j 8 s i n ( )( e ) e ( )
4 s i n ( / 8 ) 4
k
k
kXk
k
?? ? ? ???
?
??
? ? ?
???%
58
2.4 序列的 Z变换与连续时间信号的拉普
拉斯变换、傅里叶变换的关系
? 对连续时间信号的理想取样输出，求拉普拉斯变换
? 与离散时间信号的Ｚ变换式比较，得到
? ?( ) ( ) e d ( ) ( ) e d
( ) ( ) e d
( ) ( ) e d ( ) e
s t s t
a a a
st
a
n
s t s nt
aa
nn
X s x t t x t p t t
x nT t nT t
x nT t nT t x nT
d
d
+?
--
-?
+ +
-
-
= -
+? +
--
-
= -? -
==
=-
= - =
蝌
?ò
邋 ò
? ?e ?( ) (e ) ( 2, 8 9 )sT sT azX z X X s? ??
? 当 时，取样序列 xa(nT)的Ｚ变换等于取样
信号 的拉普拉斯变换。
esTz?
? ()axt
59
s平面到 z平面的映射关系
? 将 s平面用直角坐标表示，即 s=σ+jΩ,z平面用极坐标
表示，代入式 (2.90)中，得到
1e,l n ( 2,9 0 )sTz s z
T??
j ( j ) j0 e e e eT T Tr ? ? ?? ? ???
? 因此
0 e,TrT? ?? ? ?
? σ= 0时,r0= 1,s平面的 jΩ轴映
射成 z平面的单位圆；
? σ＜ 0时,r0＜ 1,s平面的左半平
面映射成 z平面的单位圆内部；
? σ＞ 0时,r0＞ 1,s平面的右半平
面映射成 z平面的单位圆外部；
60
序列的 Z变换与傅里叶变换的关系
? 傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即 s＝ jΩ，
因而映射到 z平面上为单位圆，代入式 (2.89)得
j je ?( ) (e ) ( j ) ( 2, 9 4 )T T azX z X X? ? ?? ??
? 取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样
信号的傅里叶变换 。
61
2.5 Matlab实现
? 序列逆 Z变换的 Matlab实现
? 周期序列傅里叶级数的 Matlab实现
62
2.5.1 序列逆 Z变换的 Matlab实现
? 函数 residuez,适合计算离散系统有理函数的留数和极
点，可以用于求解序列的逆 Z变换。
1
01
11 10
01
()( ) ( 2, 9 8 )
( ) 1
M N M N k
Mk k
N kk
Nk
b b z b z RBzX z C z
a a z a z A z p z
?? ? ?
? ? ???
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ???
L
L
? 函数 residuez基本调用方式,
>>[r,p,c]= residuez(b,a);
? 输入参数, b=[b0,b1,…, bM]为分子多项式的系数,
a=[a0,a1,…, aN]为分母多项式的系数，这些多项式都按
z的降幂排列
? 输出参数, r是极点的留数,p是极点,c是无穷项多项式的系
数项，仅当 M≥N时存在。
63
例：计算逆 Z变换
例 2.19 计算 的逆 Z变换 。
解, 有理分式 X(z) 分子和分母
多项式都按 z的降幂排列。
2() 2 3 1
zXz
zz? ??
1
2 1 2
0()
2 3 1 2 3
zzXz
z z z z
?
??
???
? ? ? ?
?>>b= [0,1]; a= [2,-3,1]; % 多项式的系数
?[r,p,c]= residuez(b,a); % 求留数、极点和系数项
?disp('留数,');disp(r'); % 显示输出参数
?disp('极点,');disp(p');
?disp('系数项,');disp(c');
程序运行结果为
?留数, 1 -1
?极点, 1.0000 0.5000
?系数项,
X(z)的部分分式形式 为
11
11() 1 1 0,5Xz zz
??????
逆 Z变换 为
( ) ( ) ( 0, 5 ) ( )nx n u n u n??
64
2.5.2 周期序列傅里叶级数的 Matlab实现
? DFS式 (2.77)的矩阵形式
1 2 1
2 4 2 ( 1 )
1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 1 1 1 ( 0 )( 0 )
1 ( 1 )( 1 )
1 ( 2,9 9 )( 2 )( 2 )
1 ( 1 )( 1 )
N
N N N
N
N N N
N N N N
N N N
xX
W W W xX
X W W W W xxX
W W W xNXN
?
?
? ? ? ?
?? ?? ??
?? ?? ??
?? ??
?? ??? ? ? ?
?? ?? ??
?? ??
?? ?? ??
??????
% %L
% %L
% % %%L
M M M O M MM
% %L
? 由周期序列的 DFS定义,0≤n≤N-1,0≤k≤N-1，有
? ?'
0 0 0 0 0
1 0 1 2 1
0 1 2 1 ( 2.100)2 0 2 4 2( 1 )
1 0 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
N
n k N N
N N N N N
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
L
L
L L
M M M M O M
L
? 只需计算 WN因子，由矩阵理论可计算式 (2.99)
'()( ) ( 2, 1 0 1 )nkNX W x W x?? ? ? ?% %%
65
例：计算 周期序列 离散傅里叶级数
例 2.21 计算 以 N= 4为周期进行周期延拓,
求周期序列的离散傅里叶级数 。
解,
,0 3()
0,
nnxn ?? ?
?
≤≤
其它
?>>xn= [0,1,2,3];N= 4; % 设定序列和周期
?n= [0:1:N-1];k= [0:1:N-1]; % 设定 n和 k
?WN= exp(-j*2*pi/N); % 设定 Wn因子
?nk= n'*k;WNnk = WN.^nk; % 计算 W矩阵
?Xk= xn*WNnk; % 计算 DFS的系数 Xk
?disp(xn);disp(Xk); % 显示计算结果 (系数 )
程序运行结果为
?0 1 2 3
?6.0000 -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 0.0000i -2.0000 - 2.0000i
