第七章
无限脉冲响应数字滤波器的设计
2
本章目录
? 数字滤波器的 技术指标 与 设计方法
? 用 模拟 滤波器设计 IIR数字 滤波器
? IIR数字滤波器的 优化 设计
? IIR数字滤波器的 Matlab仿真实现
3
? 理想的数字滤波器是 非因果 的，因而是物
理上 不可实现 的。滤波器的设计就是用一
个 因果稳定 的离散线性移不变系统的系统
函数 H(z)去 逼近 理想滤波器的性能。
? IIR数字滤波器的两类设计方法,
? 借助 于 模拟滤波器 的设计方法；
? 直接 在 频域 或者 时域 中进行设计。
7.1 引言
4
? 数字滤波器的技术要求
? 数字滤波器的设计方法
7.2 数字滤波器的技术指标与设计方法
5
)()()( ???? jjj eeHeH ?
? 传输函数
? 幅频特性
表示信号通过该滤波器后各频率成分
衰减情况；
? 相频特性 φ(ω)
反映各频率成分通过滤波器后在时间上
的延时情况
)( ?jeH
7.2.1 数字滤波器的技术要求
6
? 理想滤波器是 非因果 的，物理上 不可实
现 。
? 为了物理上可实现，在通带与阻带之间
应设置一定宽度的 过渡带,并且在通带
和阻带都允许一定的 误差容限,即通带
不一定是完全水平的，阻带不一定都绝
对衰减到零。
7
低通滤波器
? 通带
? 阻带
0 p???? 1( 1 ) ( ) 1jHe ??? ? ?
s? ? ??? 2()jHe ? ??
8
? 通带内允许的最大衰减
? 阻带内允许的最小衰减
? 3dB通带截止频率
当幅度下降到 时，即 下降为
0.707,，对应的频率
dB
eH
eH
ga
pj
j
p
)(
)(
2 0 1
0
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dB
eH
eH
ga
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)(
2 0 1
0
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dBeHga pjp )(2 0 1 ???
dBeHga sjs )(201 ???
2/2 ()jHe?
3a dB? c?? ?
9
7.2.2 数字滤波器的设计方法
? 数字滤波器的设计问题就是寻找一组系
数 ai和 bi，使得其性能在某种意义上 逼近
所要求的特性。
? 数字滤波器的 设计步骤,
? 给出所需要的滤波器的技术指标；
? 设计一个 H(z)使其逼近所需要的技术指标；
? 用数字硬件或在计算机上编写算法实现所设
计的 H(z)。
10
IIR的设计方法 — 借用模拟滤波器
? 先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足
给定指标的数字滤波器。
? 很方便,这是因为模拟滤波器的设计方法已经很
成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图
表供查阅。
? 设计步骤
? 将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技
术指标；
? 根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器；
? 按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。
11
IIR的设计方法 — 直接 设计
? 直接在频域或者时域中进行设计
? 这是一种最优化设计法。
? 由于要解联立方程，因此需要计算机辅
助进行设计。
12
FIR滤波器的设计方法
? FIR滤波器的设计是通过对理想滤波器
的频率特性作某种逼近得到的。
? 常用的设计方法,
? 窗函数法
? 频率采样法
? 计算机辅助最优化设计法
13
7.3 用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器
? 模拟滤波器的设计
? 脉冲响应不变法
? 双线性变换法
? 设计 IIR数字滤波器的频率变换法
14
7.3.1 模拟滤波器的设计
? 常用的模拟滤波器
? 巴特沃斯 （ Butterworth）滤波器
具有单调下降的幅频特性
? 切比雪夫 （ Chebyshew）滤波器
幅频特性在通带或者阻带内有波动，
可以提高选择性；
? 椭圆 （ Ellipse）滤波器
在通带和阻带内都有纹波
? 贝塞尔 （ Bessel）滤波器等
通带内有较好的线性相位特性
15
理想模拟滤波器幅频特性
16
? 幅度平方函数
? 模拟低通滤波器的设计指标
? 通带截止频率
? 通带最大衰减
? 阻带截止频率
? 阻带最小衰减
2 *( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a a asjH j H s H s H j H j??? ? ? ? ? ?
p?
s?
p?
s?
17
模拟滤波器的设计步骤
? 由给定的,, 和 求出
? 由 得到滤波器的系统函数
Ha(s)的极点（或零点）与 Ha(-s)的极点
（或零点）具有 象限对称性 。为了保证设计的
滤波器稳定，将 |Ha(s)|2的 左半平面 的极点赋
给 Ha(s)。
p? p? s?
s?
2)( ?jH a
2)( ?jH a )(sHa
18
巴特沃斯低通滤波器的设计方法
? 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为,
? N为滤波器阶数
? Ωc为 3dB截止频率
2
2
1()
1 ( )a NcHj ?? ? ? ?
19
巴特沃斯低通滤波器的特点
? 幅度特性随着 Ω增加 单调下降,下降的
速度与阶数有关。
? 随着 N增大, 幅度下降的速度越快, 过渡
带越窄, 在通带内更接近于 1,在阻带内
迅速接近于零, 因而幅度特性更接近于
理想的矩形频率特性 。
? 不管 N的取值是多少, 都经过 点 。 1
2
20
幅度平方函数的极点分布
? 幅度平方函数有 2N个极点
? 这 N个极点等间隔分布在半径为 Ωc的圆上
（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是 ?/Nrad。
? 这些极点以虚轴为对称轴，而且不会落在虚
轴上。
? 当 N是奇数时，实轴上有两个极点；
? 当 N是偶数时，实轴没有极点。
2
1( ) ( )
1 ( )aa NcH s H s sj?? ??
1 2 1
22 0,1,2,,2 1
kj
N
kcs e k N
? ??????
??? ? ? ?L
21
Ha(s)的表达式
? 为了保证所设计的滤波器是稳定的，将 s
平面左半平面的 N个极点分配给 Ha(s)，
而将右半平面的 N个极点分配给 Ha(-s)
1
0
()
N
c
N
k
k
a
SS
Hs ?
?
?
?
?
Ω
（ ）
22
频率归一化
? 将所有的频率对 Ωc归一化，归一化频率,
? 归一化的幅度平方函数为,
c? ? ? ?
2
2
1()
1a NHj ? ?? ?
23
模拟巴特沃斯低通滤波器的设计步骤
? 由给定的设计指标 Ωp,α p, Ωs和 αs确
定巴特沃斯滤波器的阶数 N和频率 Ωc 。
1021 1 0 pN
p
????
1021 1 0 sNs ????
10
10
1 0 1l g l g
1 0 1
p
s
s
p
N
?
?
?
?
????? ??
? ??
110
2( 1 0 1 )p Ncp ? ?? ? ? ?
110
2( 1 0 1 )s Ncs ? ?? ? ? ?
24
? 求滤波器的极点，并由 s平面左半平面的
极点构成 Ha(s)。
? 幅度平方函数极点为,
? 将 s平面左半平面的 N个极点分配给 Ha(s)
1 2 1
22 0,1,2,,2 1
kj
N
kcs e k N
? ??????
??? ? ? ?L
1
0
()
N
c
N
k
k
a
SS
Hs ?
?
?
?
?
Ω
（ ）
25
切比雪夫滤波器的设计方法
? 切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹
特性
? 在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，
称为切比雪夫 Ⅰ 型滤波器；
? 在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，
称为切比雪夫 Ⅱ 型滤波器。
26
切比雪夫多项式
N 为切比雪夫多项式的阶数
? 切比雪夫多项式的递推公式
1
1
c os ( c os ) 1
()
( ) 1N
N x x
Cx
c h N c h x x
?
?
? ??
? ?
???
11( ) 2 ( ) ( )N N NC x x C x C x????
27
不同 N值的切比雪夫多项式的曲线
? 切比雪夫多项式的零点在 区间内；
? 当 时，曲线具有等纹波特性；
? 当 时，曲线按双曲余弦函数单调上升。
1x ?
1x ?
1x ?
28
切比雪夫滤波器的幅度平方函数
? ε是小于 1的正数，称为纹波参数，是表
示通带内纹波大小的一个参数,ε愈大，
纹波也愈大。
? Ωp称为有效通带截止频率。
? 频率通常对 Ωp归一化,
2
22
1()
1 ( )
a
N
p
Hj
C?
?? ?
?
?
p? ? ? ?
29
切比雪夫滤波器的幅频特性
30
? 在通带内，在 1和 之间起伏变化；在
阻带内是单调下降的；
? 当 N为奇数时，滤波器在 处的幅度
响应为 1；当 N为偶数时，滤波器在
处的幅度响应为 。当 时,
2
1
1 ??
0??
0??
2
1
1 ?? p? ? ?
2
1()
1a
Hj
?
??
?
31
ε的确定
? 设允许的通带纹波为 δ,那么
2
2m a x
2
m i n
()
1 0 l g 1 0 l g ( 1 )
()
a
a
Hj
Hj
??
?
? ? ?
?
2 1010 1?? ??
32
阶数 N 的确定
2
22
1
()
1 ( )
as
s
N
p
Hj
C?
??
?
?
?
1
2
11( ) ( ) 1
()
ss
N
pp as
C c h N c h
Hj?
?????? ? ???
???
1
2
1
1
1
()
()
as
s
p
ch
Hj
N
ch
?
?
??
?? ?
???
?
?
?
33
切比雪夫滤波器幅度平方函数的极点
其中
i i isj?? ? ?
21
sin
2
21
c o s
2
ip
ip
i
sh
N
i
ch
N
??
?
??
? ? ?
??
?
??
? ? ?
??
111 ()sh
N
?
?
??
34
极点分布
? 2N个等角度间隔（间隔为 ?/N）分布在
为长半轴,为短半轴的椭圆
上的点。
sch?? ssh??
22
2 2 2 2 1
ii
ccs h c h
?
??
???
??
35
切比雪夫滤波器的传输函数
? 系数 A由 s=0时滤波器幅度响应的值确定,
? 当 N为奇数时,
? 当 N为偶数时,
1
()
()
a N
i
i
AHs
ss
?
?
??
( 0 ) 1aH ?
2
1( 0 )
1a
H
?
?
?
36
切比雪夫低通滤波器的设计步骤
? 由给定的设计指标确定切比雪夫滤波器
的参数 ε,N和 Ωp
2 1010 1
?
? ??
1
2
1
1
1
()
()
as
s
p
ch
Hj
N
ch
?
?
??
?? ?
???
?
?
?
37
? 求滤波器的极点，并由 s平面左半平面的
极点构成 Ha(s)。
2 1 2 1sin c o s
22k p p
iis sh j c h
NN??
??? ? ? ? ?
1
()
()
a N
i
i
A
Hs
ss
?
?
??
38
7.3.2 脉冲响应不变法
? 从模拟滤波器设计 IIR数字滤波器就是按
照一定的转换关系将 s平面上的 Ha(s)转
换成 z平面上的 H(z)。
? 脉冲响应不变法
? 双线性变换法
39
脉冲响应不变法
? 使数字滤波器的单位取样响应 h(n)与相
应的模拟滤波器的单位脉冲响应 ha(t)的
取样值完全一样
( ) ( )ah n h n T?
40
()aHs()aht ()hn ()Hz
1
()
N
k
a
k k
AHs
ss?? ??
1
( ) ( )kN stak
k
h t A e u t
?
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1
( ) ( ) ( )kN s n Tak
k
h n h n T A e u n
?
?? ?
01
1
1
( ) ( )
1
k
k
N
s n Tnn
k
n n k
N
k
sT
k
H z h n z A e z
A
ez
??
??
? ? ? ? ?
?
?
??
?
?
? ? ?
?
41
s平面到 z平面的映射关系
12()
sT aze
k
H z H s j kTT ?
?
?
? ? ?
???? ??
???
? s平面上每一条宽为 2?/T的
横带重复地映射到整个 z平
面上
? 每一横条的左半部分映射
到 z平面的单位圆以内
? 右半部分映射到 z平面的单
位圆以外
? s平面的虚轴映射到 z平面
的单位圆上
? 虚轴上每一段长为的线段
2?/T都映射到 z平面单位圆
上一周。
42
? 例 7.3 设模拟滤波器的系统函数为
试利用脉冲响应不变法求数字滤波器的
系统函数。
解 将 Ha(s)展开成部分分式得
用 代换 得到
2
2()
43aHs ss? ??
2
2 1 1()
4 3 1 3aHs s s s s? ? ?? ? ? ?
1(1 )ksTez?? kss?
1 3 1() 11TT
TTHz
e z e z? ? ? ?????
43
取 T=1，得到
数字滤波器的频率响应为
1
12
0, 3 1 8 1()
1 0, 4 1 7 7 0, 0 1 8 3 1
zHz
zz
?
??? ??
2
0, 3 1 8 1()
1 0, 4 1 7 7 0, 0 1 8 3 1
j
j
jj
eHe
ee
?
?
??
?
??? ??
44
7.3.3 双线性变换法
? 采用非线性频率压缩方法将整个 s平面压
缩变换到 s1平面 ??/T之间的一条横带里 ;
? 然后再用 z=es1T将此横带变换到整个 z平
面上去,
这样就使 s平面到 z平面是一一映射的
关系，从而消除了频谱混叠现象。
45
双线性变换法的映射关系
46
非线性频率压缩
1
21ta n
2 TT
??? ? ???
??
1
11
2 1 2 1
21
sT
sT
es t h T
T T e
?
?
???? ? ?
?? ???
1
1
21
1
zs
Tz
?
?
??
?
2
2
s
Tz
s
T
?
?
?
双线性变
换的映射
关系
47
? z平面的 ω与 s平面的 Ω之间呈非线性关系。
? 这种非线性关系导致双线性变换法的频率标
度的非线性失真，直接影响数字滤波器频响
逼真地模仿模拟滤波器的频响。
21t an
2T ???
48
? 例 7.4 已知模拟滤波器的传输函数为
采用双线性变换法将其转换为数字滤波
器的系统函数，设 T=2s
? 解 将式 (7.38)代入 Ha(s)可得
2
1()
2 3 1aHs ss? ??
1
1
21
2,2
11
1
11
1 2 1 2
1 2 2 1 2 1
1
( ) ( )
11
2 3 1
11
( 1 ) 1 2
2( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) 6 2
za
sT
T z
H z H s
zz
zz
z z z
z z z z
?
?
?
?? ??
?
??
? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ???
??? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
49
7.3.4 设计 IIR数字滤波器的频率变换法
? 数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法
模拟原
型低通
滤波器
模拟（高
通、带通
或带阻）
滤波器
数字（高
通、带通
或带阻）
滤波器
频率
变换
脉冲响应不变法
双线性变换法
模拟原
型低通
滤波器
数字
低通
滤波器
数字（高
通、带通
或带阻）
滤波器
脉冲响应不变法
双线性变换法
频率
变换
50
模拟低通到模拟高通的变换
设 λ为低通滤波器归一化频率,p=jλ,
η为高通滤波器归一化频率, q=jη,
51
? 模拟低通到模拟高通的频率变换关系,
? 模拟低通到模拟高通的系统函数映射关系为,
? 模拟高通滤波器的转移函数为,
1?
??
1( ) ( )H j G j ?
?
??
?
?
( ) ( )
pp
s
H s G p ?
?
?
52
模拟低通到模拟带通的变换
? Ωsl,下阻带上限频率
? Ω1,通带下限
? Ω3,通带上限
? Ωsh,上阻带下限频率
? B= Ω3- Ω1,带通滤波器的带宽，并以此
作为参考频率对轴 Ω作归一化处理
53
? 通带中心频率
? 归一化中心频率
2 1 3? ? ? ?
2 1 3? ? ??
54
模拟低通到模拟带通的频率变换关系
? η和 λ的对应关系,
55
模拟低通到模拟带通的频率变换关系
22
2???
?
?? 22
2qp
q
???
22
2sp
sB
???
q s B?
? 模拟带通滤波器的系统函数为,
22
2
( ) ( )
s
p
sB
H s G p
??
?
?
56
模拟低通到模拟带阻的变换
? Ω1,通带下限
? Ω3,通带上限
? Ωsl,阻带下限
? Ωsh,阻带上限
? B= Ω3- Ω1, 阻带带宽，并以此作为参考
频率对轴 Ω作归一化处理
57
? 通带中心频率
? 归一化中心频率
2 1 3? ? ? ?
2 1 3? ? ??
58
? η和 λ的对应关系,
59
模拟低通到模拟带阻的频率变换关系
? 模拟带阻滤波器的系统函数为,
22
2
??
??
?
?
22
2
sBp
s? ??
22
2
( ) ( ) sB
p
s
H s G p
?
??
?
60
? 由模拟低通原型滤波器设计数字带通、
高通和带阻滤波器的设计步骤,
? 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模
拟滤波器的技术指标。
? 利用频率变换关系将模拟滤波器的技术指标
转换为模拟低通滤波器的技术指标。
? 设计模拟低通滤波器。
? 将模拟低通滤波器通过频率变换法，转换成
所需类型的模拟滤波器。
? 采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波
器转换成所需类型的数字滤波器。
61
? 例 7.5 设计一个数字高通滤波器，要求
通带下限频率,阻带上限频率
为,通带衰减不大于 3dB，阻带
衰减不小于 15dB。
? 解 数字高通滤波器的技术指标为
模拟高通滤波器的技术指标，取 T=1
0.8p???
0,4 4s???
0, 8,3
0, 4 4,1 5
pp
ss
dB
dB
? ? ?
? ? ?
??
??
1
2 t an 6,1 5 5 /
2
1
2 t an 1,6 5 5 /
2
pp
ss
r a d s
r a d s
?
?
? ? ?
? ? ?
62
对 ?p归一化,
模拟低通滤波器的技术指标
设计归一化模拟低通滤波器
1,0, 2 6 9sps
p
?? ?? ? ?
?
11,3, 7 1
ps
s
?? ?? ? ?
10
10
1 0 1l g l g 1,3 1
1 0 1
p
s
s
p
N
?
?
?
?
???
? ? ???
? ??
63
取 N=2，归一化模拟低通滤波器为
去归一化,
将模拟低通转换成模拟高通
2
1()
21
Gp
pp
?
??
2
22() 2
p
pp
Gs
ss
?
?
? ? ? ?
22
22
()
21
p
pp
s
Hs
ss
?
?
? ? ? ?
64
用双线性变换法将模拟低通转换成模拟高通
1
1
12
121
2
1
0.0653 ( 1 )( ) ( ) |
1 1.199 0.349a zs
z
zH z H s
zz??
?
???
?
?
???
??
65
7.4 IIR数字滤波器的优化设计
? 频率最小均方误差设计
? 时域直接设计
66
7.4.1 频率最小均方误差设计
? 理想滤波器的频率响应,Hd(ejω)
? 设计的滤波器的频率响应,H(ejω)
? 频率最小均方误差设计方法就是寻找滤波器的
频率响应 H(ejω)，使
最小
2
1
[ | ( ) | | ( ) |]ii
N
j w j w
d
i
E H e H e
?
???
67
? 设滤波器的频率响应为,
共有（ 4N+1）个待定系数
? 设
那么
2
21
1( ) ( )
1
jjN
jj ii
jji
ii
a e b eH e A A G e
c e d e
??
??
??
??
???
??? ? ?
??
1 1 1 1 2[,,,,,,,,,] TN N N Na b c d a a b c d? L?
(,)E E A? ?
68
? 取 E对每一个参数的偏导数，并令这些导
数为零，得到 4N+1个方程
(,) 0EA
A
? ?
?
?
(,) 0 0,1,,4
n
EA nN
?
? ??
? L
?
69
1
2
1
(,) ( )
(,)
ii
i
N
jj
d de f
i
gN
j
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G e H e
AA
Ge
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?
?
?
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??
?
?
?
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2
12
(,)
(,) R e 1
i
i
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i
j
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n k i k i ze
Ge z
Geb a z b z
?
?
?
?
??
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??
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2
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(,)
(,) R e
1
i
i
j i
i
j
j i
n k i k i ze
Ge z
Ge
c c z d z ?
?
?
?
??
?
? ??
? ? ? ??
? ? ???
?
?
2
12
(,)
(,) R e 1
i
i
j i
i
j
j i
n k i k i ze
Ge z
Ged c z d z
?
?
?
?
??
?
? ??
? ? ? ??? ? ?
??
?
?
1
12
(,)
(,) R e 1
i
i
j i
i
j
j i
n k i k i ze
Ge z
Gea a z b z
?
?
?
?
??
?
? ??
?? ??? ? ?
??
?
?
70
对极点的修正
? 在设计过程中，对系数函数零极点位置
未给任何约束，零极点可能在单位圆内，
也可能在单位圆外。
? 如果极点在单位圆外，那么滤波器不是
因果稳定的，因此需要对这些单位圆外
的极点进行修正。
? 由于系统函数是一个有理函数，零极点
均以共轭成对的形式存在。
71
? 设 z1为极点
? 如果将极点 z1和它的共轭极点 均以其倒数
和 代替后，幅度特性的形状不变化，仅是
幅度的增益变化了 。
? 设极点 z1处于单位圆外，如果用其倒数进行代
换，变成,将极点搬移到单位圆内。
? 极点位置重新分配后，滤波器就变成因果稳定
的。
2*
1 1 1 **
1
11j j j je z e z z e e
zz
? ? ? ?? ? ? ? ?
*1z 11z?
? ? 1*1z ?
2
1z
11z?
72
7.4.2 IIR数字滤波器的时域直接设计
? 设希望设计的 IIR数字滤波器的单位脉冲响应为
hd(n)，时域设计法是设计一个 IIR数字滤波器，
使它的单位脉冲响应 h(n)逼近 hd(n),
? 设滤波器是因果性的，其系统函数为
? 时域直接设计法是寻找 M+N-1个系数 ai,bi，
使得在 范围内，使 h(n)逼近 hd(n)。
0
0
0
( ) ( )
M
i
i
ki
N
i k
i
i
bz
H z h k z
az
?
?
??
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01kp? ? ?
73
0 0 0
()
M N N M
k i i
ii
k i i
h k z a z b z
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? ? ?
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0
( ) 0 k M
k
ik
i
a h k i b
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0
( ) 0 M < k M + N
k
i
i
a h k i
?
? ? ??
? 求解上述方程，得到系统函数 H(z)
74
波形形成滤波器
? 设 x(n)为给定的输入信号,yd(n)为希望
的输出信号,x(n)和 yd(n)长度分别为 M
和 N，实际的滤波器输出为 y(n)
? ?
1
2
0
2
1
00
( ) ( )
( ) ( ) ( ) m i n
N
d
n
Nn
d
nm
E y n y n
h m x n m y n
?
?
?
??
??
??
? ? ? ???
??
?
??
75
? 取 E对 h(n)的偏导为 0
? 得到
? 求解上式得 H(z)的系数 h(n)，然后求出 ai和 bi
0,0,1,,()E iNhi? ??? L
1
00
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0
Nn
d
nm
h m x n m y n x n i
?
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??????
? ? ??
? ?
?
?
????
1
0 0
1
0
)()()()()(
N
n
n
m
N
n
d inxnyinxmnxmh
76
7.5 IIR数字滤波器的 Matlab仿真实现
? IIR数字滤波器设计
? 模拟滤波器到数字滤波器的转换
77
7.5.1 IIR数字滤波器设计
? 设数字滤波器系统函数为
? 模拟滤波器的系统函数为
? 函数 butter和 cheby1可以确定
Butterworth和 Chebyshev I型滤波器的
系统函数。
1
1
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()
( ) 1 ( 2 ) ( 1 )
n
n
B z b b z b n zHz
A z a z a n z
??
??
? ? ? ???
? ? ? ?
L
L
1
1
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()
( ) ( 2 ) ( 1 )
nn
a nn
B s b s b s b nHs
A s s a s a n
?
?
? ? ? ???
? ? ? ?
L
L
78
函数 butter的调用格式
? 函数 butter的调用格式为
? >>[b,a]= butter(n,Wc,) % 设计数字
Butterworth滤波器
? >>[b,a]= butter(n,Wc,'ftype') % 设计模拟
Butterworth滤波器
? 其中,n为滤波器阶数,Wc为截止频率。
79
函数 cheby1的调用格式
? 函数 cheby1的调用格式为
? >>[b,a]= cheby1(n,Rp,Wc) % 设计数字
Chebyshev滤波器
? >>[b,a]= cheby1(n,Rp,Wc,'ftype') % 设计模
拟 Chebyshev滤波器
? 其中,n为滤波器阶数,Rp为通带内的纹波系数，
Wc为截止频率。
80
例：设计 butterworth低通滤波器
例 7.8 设计一模拟 butterworth低通滤波器, 通带截止频
率 300Hz,通带最大衰减 2dB,阻带截止频率 800Hz,阻
带最小衰减 30dB。
? 解 滤波器的阶数和截止频率可由式和确定，
程序段为
? >>Wp= 2*pi*300;Ws= 2*pi*800;Rp= 2;Rs=
30;
? N= ceil((log10((10^(0.1*Rs)-1)/(10^(0.1*Rp)-
1)))/(2*log10(Ws/Wp)));
? Wc= Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)));
? [b,a]= butter(N,Wc,'s');
? freqs(b,a)
81
例 7.8 程序运行结果
运行程序, 得到 N= 4,Wc= 2.0157e+003。 幅
频特性和相频特性如图 7.16所示 。
82
7.5.2 模拟滤波器到数字滤波器的转换
? 设模拟滤波器系统函数为
? 数字滤波器的系统函数为
? 从模拟滤波器到数字滤波器的转换有两
种方法，即脉冲响应不变法和双线性变
换法。
1
1
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
NN
a NN
B s b s b s b NHs
A s a s a s a N
?
?
? ? ? ???
? ? ? ?
L
L
1
1
( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()
( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
NN
NN
b z s b z s b z NHz
a z s a z s a z N
?
?
? ? ? ??
? ? ? ?
L
L
83
脉冲响应不变法
? 脉冲响应不变法, 用代换 Ha(s)中的 (s-sk)
即可得到 H(z)，从而将模拟滤波器转换
为数字滤波器格式。
? 可用函数 impinvar实现，调用格式为
? >>[bz,az]= impinvar(b,a,fs)
? 其中,fs为取样频率。
84
双线性变换法
? 双线性变换法, 用代换 Ha(s)中的 s即可
得到 H(z)，从而将模拟滤波器转换为数
字滤波器格式。
? 可用函数 bilinear实现，调用格式为
? >>[zd,pd,kd]= bilinear(z,p,k,fs)
? 其中,z,p,k和 zd,pd,kd分别为 s域和
z域系统函数的零点、极点和增益。
85
例：模拟滤波器转换数字滤波器
例 7.9 利用 impinvar将一模拟低通滤波器
变换成数字滤波器 (取样频率为 10Hz),
? 程序段为
? >>[b,a]= butter(4,.3,’s’);
? [bz,az]= impinvar(b,a,10);
? 程序运行结果为
? bz=1.0e-006 * -0.0000 0.1324 0.5192 0.1273 0
? az=1.0000 -3.9216 5.7679 -3.7709 0.9246
无限脉冲响应数字滤波器的设计
2
本章目录
? 数字滤波器的 技术指标 与 设计方法
? 用 模拟 滤波器设计 IIR数字 滤波器
? IIR数字滤波器的 优化 设计
? IIR数字滤波器的 Matlab仿真实现
3
? 理想的数字滤波器是 非因果 的，因而是物
理上 不可实现 的。滤波器的设计就是用一
个 因果稳定 的离散线性移不变系统的系统
函数 H(z)去 逼近 理想滤波器的性能。
? IIR数字滤波器的两类设计方法,
? 借助 于 模拟滤波器 的设计方法；
? 直接 在 频域 或者 时域 中进行设计。
7.1 引言
4
? 数字滤波器的技术要求
? 数字滤波器的设计方法
7.2 数字滤波器的技术指标与设计方法
5
)()()( ???? jjj eeHeH ?
? 传输函数
? 幅频特性
表示信号通过该滤波器后各频率成分
衰减情况；
? 相频特性 φ(ω)
反映各频率成分通过滤波器后在时间上
的延时情况
)( ?jeH
7.2.1 数字滤波器的技术要求
6
? 理想滤波器是 非因果 的，物理上 不可实
现 。
? 为了物理上可实现，在通带与阻带之间
应设置一定宽度的 过渡带,并且在通带
和阻带都允许一定的 误差容限,即通带
不一定是完全水平的，阻带不一定都绝
对衰减到零。
7
低通滤波器
? 通带
? 阻带
0 p???? 1( 1 ) ( ) 1jHe ??? ? ?
s? ? ??? 2()jHe ? ??
8
? 通带内允许的最大衰减
? 阻带内允许的最小衰减
? 3dB通带截止频率
当幅度下降到 时，即 下降为
0.707,，对应的频率
dB
eH
eH
ga
pj
j
p
)(
)(
2 0 1
0
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dB
eH
eH
ga
sj
j
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)(
2 0 1
0
??
dBeHga pjp )(2 0 1 ???
dBeHga sjs )(201 ???
2/2 ()jHe?
3a dB? c?? ?
9
7.2.2 数字滤波器的设计方法
? 数字滤波器的设计问题就是寻找一组系
数 ai和 bi，使得其性能在某种意义上 逼近
所要求的特性。
? 数字滤波器的 设计步骤,
? 给出所需要的滤波器的技术指标；
? 设计一个 H(z)使其逼近所需要的技术指标；
? 用数字硬件或在计算机上编写算法实现所设
计的 H(z)。
10
IIR的设计方法 — 借用模拟滤波器
? 先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足
给定指标的数字滤波器。
? 很方便,这是因为模拟滤波器的设计方法已经很
成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图
表供查阅。
? 设计步骤
? 将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技
术指标；
? 根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器；
? 按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。
11
IIR的设计方法 — 直接 设计
? 直接在频域或者时域中进行设计
? 这是一种最优化设计法。
? 由于要解联立方程，因此需要计算机辅
助进行设计。
12
FIR滤波器的设计方法
? FIR滤波器的设计是通过对理想滤波器
的频率特性作某种逼近得到的。
? 常用的设计方法,
? 窗函数法
? 频率采样法
? 计算机辅助最优化设计法
13
7.3 用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器
? 模拟滤波器的设计
? 脉冲响应不变法
? 双线性变换法
? 设计 IIR数字滤波器的频率变换法
14
7.3.1 模拟滤波器的设计
? 常用的模拟滤波器
? 巴特沃斯 （ Butterworth）滤波器
具有单调下降的幅频特性
? 切比雪夫 （ Chebyshew）滤波器
幅频特性在通带或者阻带内有波动，
可以提高选择性；
? 椭圆 （ Ellipse）滤波器
在通带和阻带内都有纹波
? 贝塞尔 （ Bessel）滤波器等
通带内有较好的线性相位特性
15
理想模拟滤波器幅频特性
16
? 幅度平方函数
? 模拟低通滤波器的设计指标
? 通带截止频率
? 通带最大衰减
? 阻带截止频率
? 阻带最小衰减
2 *( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a a asjH j H s H s H j H j??? ? ? ? ? ?
p?
s?
p?
s?
17
模拟滤波器的设计步骤
? 由给定的,, 和 求出
? 由 得到滤波器的系统函数
Ha(s)的极点（或零点）与 Ha(-s)的极点
（或零点）具有 象限对称性 。为了保证设计的
滤波器稳定，将 |Ha(s)|2的 左半平面 的极点赋
给 Ha(s)。
p? p? s?
s?
2)( ?jH a
2)( ?jH a )(sHa
18
巴特沃斯低通滤波器的设计方法
? 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为,
? N为滤波器阶数
? Ωc为 3dB截止频率
2
2
1()
1 ( )a NcHj ?? ? ? ?
19
巴特沃斯低通滤波器的特点
? 幅度特性随着 Ω增加 单调下降,下降的
速度与阶数有关。
? 随着 N增大, 幅度下降的速度越快, 过渡
带越窄, 在通带内更接近于 1,在阻带内
迅速接近于零, 因而幅度特性更接近于
理想的矩形频率特性 。
? 不管 N的取值是多少, 都经过 点 。 1
2
20
幅度平方函数的极点分布
? 幅度平方函数有 2N个极点
? 这 N个极点等间隔分布在半径为 Ωc的圆上
（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是 ?/Nrad。
? 这些极点以虚轴为对称轴，而且不会落在虚
轴上。
? 当 N是奇数时，实轴上有两个极点；
? 当 N是偶数时，实轴没有极点。
2
1( ) ( )
1 ( )aa NcH s H s sj?? ??
1 2 1
22 0,1,2,,2 1
kj
N
kcs e k N
? ??????
??? ? ? ?L
21
Ha(s)的表达式
? 为了保证所设计的滤波器是稳定的，将 s
平面左半平面的 N个极点分配给 Ha(s)，
而将右半平面的 N个极点分配给 Ha(-s)
1
0
()
N
c
N
k
k
a
SS
Hs ?
?
?
?
?
Ω
（ ）
22
频率归一化
? 将所有的频率对 Ωc归一化，归一化频率,
? 归一化的幅度平方函数为,
c? ? ? ?
2
2
1()
1a NHj ? ?? ?
23
模拟巴特沃斯低通滤波器的设计步骤
? 由给定的设计指标 Ωp,α p, Ωs和 αs确
定巴特沃斯滤波器的阶数 N和频率 Ωc 。
1021 1 0 pN
p
????
1021 1 0 sNs ????
10
10
1 0 1l g l g
1 0 1
p
s
s
p
N
?
?
?
?
????? ??
? ??
110
2( 1 0 1 )p Ncp ? ?? ? ? ?
110
2( 1 0 1 )s Ncs ? ?? ? ? ?
24
? 求滤波器的极点，并由 s平面左半平面的
极点构成 Ha(s)。
? 幅度平方函数极点为,
? 将 s平面左半平面的 N个极点分配给 Ha(s)
1 2 1
22 0,1,2,,2 1
kj
N
kcs e k N
? ??????
??? ? ? ?L
1
0
()
N
c
N
k
k
a
SS
Hs ?
?
?
?
?
Ω
（ ）
25
切比雪夫滤波器的设计方法
? 切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹
特性
? 在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，
称为切比雪夫 Ⅰ 型滤波器；
? 在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，
称为切比雪夫 Ⅱ 型滤波器。
26
切比雪夫多项式
N 为切比雪夫多项式的阶数
? 切比雪夫多项式的递推公式
1
1
c os ( c os ) 1
()
( ) 1N
N x x
Cx
c h N c h x x
?
?
? ??
? ?
???
11( ) 2 ( ) ( )N N NC x x C x C x????
27
不同 N值的切比雪夫多项式的曲线
? 切比雪夫多项式的零点在 区间内；
? 当 时，曲线具有等纹波特性；
? 当 时，曲线按双曲余弦函数单调上升。
1x ?
1x ?
1x ?
28
切比雪夫滤波器的幅度平方函数
? ε是小于 1的正数，称为纹波参数，是表
示通带内纹波大小的一个参数,ε愈大，
纹波也愈大。
? Ωp称为有效通带截止频率。
? 频率通常对 Ωp归一化,
2
22
1()
1 ( )
a
N
p
Hj
C?
?? ?
?
?
p? ? ? ?
29
切比雪夫滤波器的幅频特性
30
? 在通带内，在 1和 之间起伏变化；在
阻带内是单调下降的；
? 当 N为奇数时，滤波器在 处的幅度
响应为 1；当 N为偶数时，滤波器在
处的幅度响应为 。当 时,
2
1
1 ??
0??
0??
2
1
1 ?? p? ? ?
2
1()
1a
Hj
?
??
?
31
ε的确定
? 设允许的通带纹波为 δ,那么
2
2m a x
2
m i n
()
1 0 l g 1 0 l g ( 1 )
()
a
a
Hj
Hj
??
?
? ? ?
?
2 1010 1?? ??
32
阶数 N 的确定
2
22
1
()
1 ( )
as
s
N
p
Hj
C?
??
?
?
?
1
2
11( ) ( ) 1
()
ss
N
pp as
C c h N c h
Hj?
?????? ? ???
???
1
2
1
1
1
()
()
as
s
p
ch
Hj
N
ch
?
?
??
?? ?
???
?
?
?
33
切比雪夫滤波器幅度平方函数的极点
其中
i i isj?? ? ?
21
sin
2
21
c o s
2
ip
ip
i
sh
N
i
ch
N
??
?
??
? ? ?
??
?
??
? ? ?
??
111 ()sh
N
?
?
??
34
极点分布
? 2N个等角度间隔（间隔为 ?/N）分布在
为长半轴,为短半轴的椭圆
上的点。
sch?? ssh??
22
2 2 2 2 1
ii
ccs h c h
?
??
???
??
35
切比雪夫滤波器的传输函数
? 系数 A由 s=0时滤波器幅度响应的值确定,
? 当 N为奇数时,
? 当 N为偶数时,
1
()
()
a N
i
i
AHs
ss
?
?
??
( 0 ) 1aH ?
2
1( 0 )
1a
H
?
?
?
36
切比雪夫低通滤波器的设计步骤
? 由给定的设计指标确定切比雪夫滤波器
的参数 ε,N和 Ωp
2 1010 1
?
? ??
1
2
1
1
1
()
()
as
s
p
ch
Hj
N
ch
?
?
??
?? ?
???
?
?
?
37
? 求滤波器的极点，并由 s平面左半平面的
极点构成 Ha(s)。
2 1 2 1sin c o s
22k p p
iis sh j c h
NN??
??? ? ? ? ?
1
()
()
a N
i
i
A
Hs
ss
?
?
??
38
7.3.2 脉冲响应不变法
? 从模拟滤波器设计 IIR数字滤波器就是按
照一定的转换关系将 s平面上的 Ha(s)转
换成 z平面上的 H(z)。
? 脉冲响应不变法
? 双线性变换法
39
脉冲响应不变法
? 使数字滤波器的单位取样响应 h(n)与相
应的模拟滤波器的单位脉冲响应 ha(t)的
取样值完全一样
( ) ( )ah n h n T?
40
()aHs()aht ()hn ()Hz
1
()
N
k
a
k k
AHs
ss?? ??
1
( ) ( )kN stak
k
h t A e u t
?
? ?
1
( ) ( ) ( )kN s n Tak
k
h n h n T A e u n
?
?? ?
01
1
1
( ) ( )
1
k
k
N
s n Tnn
k
n n k
N
k
sT
k
H z h n z A e z
A
ez
??
??
? ? ? ? ?
?
?
??
?
?
? ? ?
?
41
s平面到 z平面的映射关系
12()
sT aze
k
H z H s j kTT ?
?
?
? ? ?
???? ??
???
? s平面上每一条宽为 2?/T的
横带重复地映射到整个 z平
面上
? 每一横条的左半部分映射
到 z平面的单位圆以内
? 右半部分映射到 z平面的单
位圆以外
? s平面的虚轴映射到 z平面
的单位圆上
? 虚轴上每一段长为的线段
2?/T都映射到 z平面单位圆
上一周。
42
? 例 7.3 设模拟滤波器的系统函数为
试利用脉冲响应不变法求数字滤波器的
系统函数。
解 将 Ha(s)展开成部分分式得
用 代换 得到
2
2()
43aHs ss? ??
2
2 1 1()
4 3 1 3aHs s s s s? ? ?? ? ? ?
1(1 )ksTez?? kss?
1 3 1() 11TT
TTHz
e z e z? ? ? ?????
43
取 T=1，得到
数字滤波器的频率响应为
1
12
0, 3 1 8 1()
1 0, 4 1 7 7 0, 0 1 8 3 1
zHz
zz
?
??? ??
2
0, 3 1 8 1()
1 0, 4 1 7 7 0, 0 1 8 3 1
j
j
jj
eHe
ee
?
?
??
?
??? ??
44
7.3.3 双线性变换法
? 采用非线性频率压缩方法将整个 s平面压
缩变换到 s1平面 ??/T之间的一条横带里 ;
? 然后再用 z=es1T将此横带变换到整个 z平
面上去,
这样就使 s平面到 z平面是一一映射的
关系，从而消除了频谱混叠现象。
45
双线性变换法的映射关系
46
非线性频率压缩
1
21ta n
2 TT
??? ? ???
??
1
11
2 1 2 1
21
sT
sT
es t h T
T T e
?
?
???? ? ?
?? ???
1
1
21
1
zs
Tz
?
?
??
?
2
2
s
Tz
s
T
?
?
?
双线性变
换的映射
关系
47
? z平面的 ω与 s平面的 Ω之间呈非线性关系。
? 这种非线性关系导致双线性变换法的频率标
度的非线性失真，直接影响数字滤波器频响
逼真地模仿模拟滤波器的频响。
21t an
2T ???
48
? 例 7.4 已知模拟滤波器的传输函数为
采用双线性变换法将其转换为数字滤波
器的系统函数，设 T=2s
? 解 将式 (7.38)代入 Ha(s)可得
2
1()
2 3 1aHs ss? ??
1
1
21
2,2
11
1
11
1 2 1 2
1 2 2 1 2 1
1
( ) ( )
11
2 3 1
11
( 1 ) 1 2
2( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) 6 2
za
sT
T z
H z H s
zz
zz
z z z
z z z z
?
?
?
?? ??
?
??
? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ???
??? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
49
7.3.4 设计 IIR数字滤波器的频率变换法
? 数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法
模拟原
型低通
滤波器
模拟（高
通、带通
或带阻）
滤波器
数字（高
通、带通
或带阻）
滤波器
频率
变换
脉冲响应不变法
双线性变换法
模拟原
型低通
滤波器
数字
低通
滤波器
数字（高
通、带通
或带阻）
滤波器
脉冲响应不变法
双线性变换法
频率
变换
50
模拟低通到模拟高通的变换
设 λ为低通滤波器归一化频率,p=jλ,
η为高通滤波器归一化频率, q=jη,
51
? 模拟低通到模拟高通的频率变换关系,
? 模拟低通到模拟高通的系统函数映射关系为,
? 模拟高通滤波器的转移函数为,
1?
??
1( ) ( )H j G j ?
?
??
?
?
( ) ( )
pp
s
H s G p ?
?
?
52
模拟低通到模拟带通的变换
? Ωsl,下阻带上限频率
? Ω1,通带下限
? Ω3,通带上限
? Ωsh,上阻带下限频率
? B= Ω3- Ω1,带通滤波器的带宽，并以此
作为参考频率对轴 Ω作归一化处理
53
? 通带中心频率
? 归一化中心频率
2 1 3? ? ? ?
2 1 3? ? ??
54
模拟低通到模拟带通的频率变换关系
? η和 λ的对应关系,
55
模拟低通到模拟带通的频率变换关系
22
2???
?
?? 22
2qp
q
???
22
2sp
sB
???
q s B?
? 模拟带通滤波器的系统函数为,
22
2
( ) ( )
s
p
sB
H s G p
??
?
?
56
模拟低通到模拟带阻的变换
? Ω1,通带下限
? Ω3,通带上限
? Ωsl,阻带下限
? Ωsh,阻带上限
? B= Ω3- Ω1, 阻带带宽，并以此作为参考
频率对轴 Ω作归一化处理
57
? 通带中心频率
? 归一化中心频率
2 1 3? ? ? ?
2 1 3? ? ??
58
? η和 λ的对应关系,
59
模拟低通到模拟带阻的频率变换关系
? 模拟带阻滤波器的系统函数为,
22
2
??
??
?
?
22
2
sBp
s? ??
22
2
( ) ( ) sB
p
s
H s G p
?
??
?
60
? 由模拟低通原型滤波器设计数字带通、
高通和带阻滤波器的设计步骤,
? 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模
拟滤波器的技术指标。
? 利用频率变换关系将模拟滤波器的技术指标
转换为模拟低通滤波器的技术指标。
? 设计模拟低通滤波器。
? 将模拟低通滤波器通过频率变换法，转换成
所需类型的模拟滤波器。
? 采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波
器转换成所需类型的数字滤波器。
61
? 例 7.5 设计一个数字高通滤波器，要求
通带下限频率,阻带上限频率
为,通带衰减不大于 3dB，阻带
衰减不小于 15dB。
? 解 数字高通滤波器的技术指标为
模拟高通滤波器的技术指标，取 T=1
0.8p???
0,4 4s???
0, 8,3
0, 4 4,1 5
pp
ss
dB
dB
? ? ?
? ? ?
??
??
1
2 t an 6,1 5 5 /
2
1
2 t an 1,6 5 5 /
2
pp
ss
r a d s
r a d s
?
?
? ? ?
? ? ?
62
对 ?p归一化,
模拟低通滤波器的技术指标
设计归一化模拟低通滤波器
1,0, 2 6 9sps
p
?? ?? ? ?
?
11,3, 7 1
ps
s
?? ?? ? ?
10
10
1 0 1l g l g 1,3 1
1 0 1
p
s
s
p
N
?
?
?
?
???
? ? ???
? ??
63
取 N=2，归一化模拟低通滤波器为
去归一化,
将模拟低通转换成模拟高通
2
1()
21
Gp
pp
?
??
2
22() 2
p
pp
Gs
ss
?
?
? ? ? ?
22
22
()
21
p
pp
s
Hs
ss
?
?
? ? ? ?
64
用双线性变换法将模拟低通转换成模拟高通
1
1
12
121
2
1
0.0653 ( 1 )( ) ( ) |
1 1.199 0.349a zs
z
zH z H s
zz??
?
???
?
?
???
??
65
7.4 IIR数字滤波器的优化设计
? 频率最小均方误差设计
? 时域直接设计
66
7.4.1 频率最小均方误差设计
? 理想滤波器的频率响应,Hd(ejω)
? 设计的滤波器的频率响应,H(ejω)
? 频率最小均方误差设计方法就是寻找滤波器的
频率响应 H(ejω)，使
最小
2
1
[ | ( ) | | ( ) |]ii
N
j w j w
d
i
E H e H e
?
???
67
? 设滤波器的频率响应为,
共有（ 4N+1）个待定系数
? 设
那么
2
21
1( ) ( )
1
jjN
jj ii
jji
ii
a e b eH e A A G e
c e d e
??
??
??
??
???
??? ? ?
??
1 1 1 1 2[,,,,,,,,,] TN N N Na b c d a a b c d? L?
(,)E E A? ?
68
? 取 E对每一个参数的偏导数，并令这些导
数为零，得到 4N+1个方程
(,) 0EA
A
? ?
?
?
(,) 0 0,1,,4
n
EA nN
?
? ??
? L
?
69
1
2
1
(,) ( )
(,)
ii
i
N
jj
d de f
i
gN
j
i
G e H e
AA
Ge
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
2
12
(,)
(,) R e 1
i
i
j i
i
j
j i
n k i k i ze
Ge z
Geb a z b z
?
?
?
?
??
?
? ??
?? ??? ? ?
??
?
?
2
12
(,)
(,) R e
1
i
i
j i
i
j
j i
n k i k i ze
Ge z
Ge
c c z d z ?
?
?
?
??
?
? ??
? ? ? ??
? ? ???
?
?
2
12
(,)
(,) R e 1
i
i
j i
i
j
j i
n k i k i ze
Ge z
Ged c z d z
?
?
?
?
??
?
? ??
? ? ? ??? ? ?
??
?
?
1
12
(,)
(,) R e 1
i
i
j i
i
j
j i
n k i k i ze
Ge z
Gea a z b z
?
?
?
?
??
?
? ??
?? ??? ? ?
??
?
?
70
对极点的修正
? 在设计过程中，对系数函数零极点位置
未给任何约束，零极点可能在单位圆内，
也可能在单位圆外。
? 如果极点在单位圆外，那么滤波器不是
因果稳定的，因此需要对这些单位圆外
的极点进行修正。
? 由于系统函数是一个有理函数，零极点
均以共轭成对的形式存在。
71
? 设 z1为极点
? 如果将极点 z1和它的共轭极点 均以其倒数
和 代替后，幅度特性的形状不变化，仅是
幅度的增益变化了 。
? 设极点 z1处于单位圆外，如果用其倒数进行代
换，变成,将极点搬移到单位圆内。
? 极点位置重新分配后，滤波器就变成因果稳定
的。
2*
1 1 1 **
1
11j j j je z e z z e e
zz
? ? ? ?? ? ? ? ?
*1z 11z?
? ? 1*1z ?
2
1z
11z?
72
7.4.2 IIR数字滤波器的时域直接设计
? 设希望设计的 IIR数字滤波器的单位脉冲响应为
hd(n)，时域设计法是设计一个 IIR数字滤波器，
使它的单位脉冲响应 h(n)逼近 hd(n),
? 设滤波器是因果性的，其系统函数为
? 时域直接设计法是寻找 M+N-1个系数 ai,bi，
使得在 范围内，使 h(n)逼近 hd(n)。
0
0
0
( ) ( )
M
i
i
ki
N
i k
i
i
bz
H z h k z
az
?
?
??
? ?
?
??
?
?
?
01kp? ? ?
73
0 0 0
()
M N N M
k i i
ii
k i i
h k z a z b z
?
? ? ?
? ? ?
?? ? ?
0
( ) 0 k M
k
ik
i
a h k i b
?
? ? ? ??
0
( ) 0 M < k M + N
k
i
i
a h k i
?
? ? ??
? 求解上述方程，得到系统函数 H(z)
74
波形形成滤波器
? 设 x(n)为给定的输入信号,yd(n)为希望
的输出信号,x(n)和 yd(n)长度分别为 M
和 N，实际的滤波器输出为 y(n)
? ?
1
2
0
2
1
00
( ) ( )
( ) ( ) ( ) m i n
N
d
n
Nn
d
nm
E y n y n
h m x n m y n
?
?
?
??
??
??
? ? ? ???
??
?
??
75
? 取 E对 h(n)的偏导为 0
? 得到
? 求解上式得 H(z)的系数 h(n)，然后求出 ai和 bi
0,0,1,,()E iNhi? ??? L
1
00
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0
Nn
d
nm
h m x n m y n x n i
?
??
?? ? ? ? ?
??????
? ? ??
? ?
?
?
????
1
0 0
1
0
)()()()()(
N
n
n
m
N
n
d inxnyinxmnxmh
76
7.5 IIR数字滤波器的 Matlab仿真实现
? IIR数字滤波器设计
? 模拟滤波器到数字滤波器的转换
77
7.5.1 IIR数字滤波器设计
? 设数字滤波器系统函数为
? 模拟滤波器的系统函数为
? 函数 butter和 cheby1可以确定
Butterworth和 Chebyshev I型滤波器的
系统函数。
1
1
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()
( ) 1 ( 2 ) ( 1 )
n
n
B z b b z b n zHz
A z a z a n z
??
??
? ? ? ???
? ? ? ?
L
L
1
1
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()
( ) ( 2 ) ( 1 )
nn
a nn
B s b s b s b nHs
A s s a s a n
?
?
? ? ? ???
? ? ? ?
L
L
78
函数 butter的调用格式
? 函数 butter的调用格式为
? >>[b,a]= butter(n,Wc,) % 设计数字
Butterworth滤波器
? >>[b,a]= butter(n,Wc,'ftype') % 设计模拟
Butterworth滤波器
? 其中,n为滤波器阶数,Wc为截止频率。
79
函数 cheby1的调用格式
? 函数 cheby1的调用格式为
? >>[b,a]= cheby1(n,Rp,Wc) % 设计数字
Chebyshev滤波器
? >>[b,a]= cheby1(n,Rp,Wc,'ftype') % 设计模
拟 Chebyshev滤波器
? 其中,n为滤波器阶数,Rp为通带内的纹波系数，
Wc为截止频率。
80
例：设计 butterworth低通滤波器
例 7.8 设计一模拟 butterworth低通滤波器, 通带截止频
率 300Hz,通带最大衰减 2dB,阻带截止频率 800Hz,阻
带最小衰减 30dB。
? 解 滤波器的阶数和截止频率可由式和确定，
程序段为
? >>Wp= 2*pi*300;Ws= 2*pi*800;Rp= 2;Rs=
30;
? N= ceil((log10((10^(0.1*Rs)-1)/(10^(0.1*Rp)-
1)))/(2*log10(Ws/Wp)));
? Wc= Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)));
? [b,a]= butter(N,Wc,'s');
? freqs(b,a)
81
例 7.8 程序运行结果
运行程序, 得到 N= 4,Wc= 2.0157e+003。 幅
频特性和相频特性如图 7.16所示 。
82
7.5.2 模拟滤波器到数字滤波器的转换
? 设模拟滤波器系统函数为
? 数字滤波器的系统函数为
? 从模拟滤波器到数字滤波器的转换有两
种方法，即脉冲响应不变法和双线性变
换法。
1
1
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()
( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
NN
a NN
B s b s b s b NHs
A s a s a s a N
?
?
? ? ? ???
? ? ? ?
L
L
1
1
( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()
( 1 ) ( 2 ) ( 1 )
NN
NN
b z s b z s b z NHz
a z s a z s a z N
?
?
? ? ? ??
? ? ? ?
L
L
83
脉冲响应不变法
? 脉冲响应不变法, 用代换 Ha(s)中的 (s-sk)
即可得到 H(z)，从而将模拟滤波器转换
为数字滤波器格式。
? 可用函数 impinvar实现，调用格式为
? >>[bz,az]= impinvar(b,a,fs)
? 其中,fs为取样频率。
84
双线性变换法
? 双线性变换法, 用代换 Ha(s)中的 s即可
得到 H(z)，从而将模拟滤波器转换为数
字滤波器格式。
? 可用函数 bilinear实现，调用格式为
? >>[zd,pd,kd]= bilinear(z,p,k,fs)
? 其中,z,p,k和 zd,pd,kd分别为 s域和
z域系统函数的零点、极点和增益。
85
例：模拟滤波器转换数字滤波器
例 7.9 利用 impinvar将一模拟低通滤波器
变换成数字滤波器 (取样频率为 10Hz),
? 程序段为
? >>[b,a]= butter(4,.3,’s’);
? [bz,az]= impinvar(b,a,10);
? 程序运行结果为
? bz=1.0e-006 * -0.0000 0.1324 0.5192 0.1273 0
? az=1.0000 -3.9216 5.7679 -3.7709 0.9246
