第六章
数字滤波器的基本结构
2
本章目录
? 数字滤波器的基本概念
? 无限脉冲响应滤波器的结构
? 有限脉冲响应滤波器的结构
3
? 数字滤波器 是指输入、输出均为 数字信
号,通过一定运算关系 改变 输入信号所
含 频率成分的相对比例 或者 滤除 某些频
率成分 的器件。
? 数字滤波器的 实现方法,
? 在专用数字信号处理硬件电路上实现
? 通过编写程序在计算机上实现
6.1 引言
4
? 数字滤波器的描述
? 数字滤波器的分类
6.2 数字滤波器的基本概念
5
? 一个数字滤波器可以用 差分方程 来描述,
10
( ) ( ) ( )
NM
kk
kk
y n a y n k b x n k
??
? ? ? ???
? 对应的系统函数,
0
1
()
()
()
1
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Yz
Hz
Xz
az
?
?
?
?
??
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?
?
6.2.1 数字滤波器的描述
6
? 实现数字滤波器的 三种 基本运算单元,
? 加法器
? 单位延迟器
? 常数乘法器
? 基本的单元两种表示法,
? 方框图法
? 信号流图法
7
基本运算单元表示法
8
1 2 0( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )y n a y n a y n b x n? ? ? ? ?
? 差分方差,
数字滤波器表示法
9
6.2.2 数字滤波器的分类
? 经典滤波器
假定输入信号中有用成分和希望滤除的
成分各占 不同的频带,通过一个合适的 选
频 滤波器可以 滤除 干扰成分。
但是如果信号和噪声的频谱相互 重叠,
经典滤波器就 无法 将信号与噪声区分开。
? 现代滤波器
利用信号和噪声的 统计特征,从干扰中
提取最佳地提取信号。
10
? 低通滤波器
? 高通滤波器
? 带通滤波器
? 带阻滤波器
从功能上分类
11
四种滤波器的幅频特性
12
? 无限脉冲响应（ IIR）滤波器
? 有限脉冲响应（ FIR）滤波器
按脉冲响应的长度分类
13
? 差分方程
? 系统函数
? IIR滤波器在结构上存在输出到输入
的反馈
10
( ) ( ) ( )
NM
kk
kk
y n a y n k b x n k
??
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0
1
()
()
()
1
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Yz
Hz
Xz
az
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??
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?
?
IIR滤波器
14
? 差分方程
? 系统函数
? FIR滤波器的结构上不存在输出到输入的
反馈，信号流图中不存在环路 。
0
( ) ( )
M
k
k
y n b x n k
?
???
0
()
M
k
k
k
H z b z ?
?
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FIR滤波器
15
? 直接型
? 正准型
? 级联型
? 并联型
6.3 无限脉冲响应滤波器的结构
16
6.3.1 直接型
17
? 直接型结构是由两个网络级联组成,
? 对线性非移变系统，有
? 交换两个网络次序，得到 正准型 结构
12( ) ( ) ( )H z H z H z??
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H z H z H z H z H z? ? ? ?
6.3.2 正准型
18
正准型结构
19
? 转置定理
如果将原网络中所有支路的方向加以 反
转,并 将输入和输出相互交换,则网络的
系统函数不会改变。
? 转置结构
转置结构
20
? 级联型表示
? ?
? ?
1
01
1
1 1
1
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1 1
MM
k
kk
kk
NN
k
k k
k k
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?由于系统函数 的系数 和 都是 实数,因
此 和 是 实数 或者 共轭复数 。
()Hz
ka kb
kc kd
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
12
12
1 1 * 1
11
1 1 * 1
11
1 1 1
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MM
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kk
NN
k k k
kk
g z h z h z
H z A
p z q z q z
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6.3.3 级联型
21
? 将相互共轭的零点（极点）合并起来，形成一
个实系数的二阶多项式。
? ? ? ?
? ? ? ?
12
12
1 1 2
12
11
1 1 2
12
11
11
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11
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kk
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? 为了简化级联形式，将实系数的两个一阶因子
组合成二阶因子，则整个可写成实系数二阶因子
的形式,
12
12
12
1112
1( ) ( )
1
LL
kk
k
kk kk
zzH z A A H z
zz
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??
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????
22
?将相互共轭的零点（极点）合并起来，形成一个
实系数的二阶多项式。
? ? ? ?
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12
12
1 1 2
12
11
1 1 2
12
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11
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k k k
kk
NN
k k k
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g z z z
H z A
p z z z
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?
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??
??
?为了简化级联形式，将实系数的两个一阶因子组
合成二阶因子，则整个可写成实系数二阶因子的
形式,
12
12
12
1112
1( ) ( )
1
LL
kk
k
kk kk
zzH z A A H z
zz
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??
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??
??
????
????
23
级联型结构
24
? 每一个基本节与滤波器的一对极点和一对零点
有关。
? 调整系数, 可以单独调整滤波器第 对零
点，而不影响其它零点、极点。
? 调整系数, 单独调整滤波器第 对极点，
而不影响其它零点、极点。
1k? 2k?
1k?
2k?
k
k
级联型结构的特点
25
6.3.4 并联型
? 并联型表示
? ?
? ? ? ?
12
0
1
1
1 1 * 1
1 1 0
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1
1
1 11
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k
k
N
k
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k
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k
k
k k kk
kk
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Hz
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?
?
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?
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26
并联型结构
27
? 并联结构可以 单独 调整 极点 位置。
? 但 不能 像级联型那样单独调整 零点 的位置，因
为并联型各子系统的零点，并非整个系统函数
的零点。
? 各并联基本节的误差相互没有影响，因此，并
联形式 运算误差最小 。
? 由于基本节并联，可同时对输入信号进行运算，
因此并联型结构 运算速度快 。
并联型结构的特点
28
6.4 有限脉冲响应（ FIR）滤波器的结构
? 直接型
? 级联型
? 线性相位结构
? 频率采样型结构
29
6.4.1 直接型
? FIR滤波器的差分方程
? FIR滤波器的直接型结构
? FIR滤波器的转置结构
0
( ) ( )
M
k
k
y n b x n k
?
???
30
6.4.2 级联型
? 级联型表示
? 级联型结构的特点
? 级联型结构每一个一阶因子控制一个实数零点
? 每一个二阶因子控制一对共轭零点。
? 调整零点位置比直接型方便。但是它所需要的系
数比直接型多，因而需要的乘法器多。
? ? ? ?121 1 1 20 1 0 1 2
0 00
( ) ( )
NNN
n
k k k k k
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H z h n z z z z? ? ? ? ?
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? ? ? ? ?? ??
31
6.4.3 线性相位结构
? 滤波器的传输函数
为 幅频特性, 为 相频特性 。
? 线性相位特性
滤波器的 相移 和 频率 成 线性 关系
或
()( ) ( )jjH e H e? ? ???
()H ? ()??
? ????
0? ? ????
32
线性相位条件
? 如果 FIR滤波器的单位取样响应 h(n)为实
数，且满足
则滤波器具有线性相位。
( ) ( 1 )h n h N n? ? ? ?
33
当 h(n)为偶对称 h(n)=h(N-1-n)
? N为奇数
3
12
( 1 ) 2
0
1( ) ( )
2
N
N
n N m
n
NH z h n z z h z
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34
? 幅频特性
? 相频特性
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1
2
0
( ) ( ) c o s
N
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( ) ( 1 ) 2N? ? ?? ? ?
35
? 网络结构
36
? N为偶数
1
2
( 1 )
0
( ) ( ) ( )
N
n N n
n
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37
? 幅频特性
? 相频特性
2
1
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2
N
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H b n n??
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????
?????
( ) ( 1 ) 2N? ? ?? ? ?
38
? 网络结构
39
当 h(n)为奇对称 h(n)=-h(N-1-n)
? N为奇数
3
2
( 1 )
0
( ) ( )
N
n N n
n
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2
Nc n h n???
40
? 幅频特性
? 相频特性
1
2
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N
n
H c n n??
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( ) ( 1 ) 2 2N? ? ? ?? ? ? ?
41
? 网络结构
42
? N为偶数
1
2
( 1 )
0
( ) ( ) ( )
N
n N n
n
H z h n z z
?
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???
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()
22
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( ) ( ) s i n ( )
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N
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H e e d n m
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??
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( ) 2 ( )2Nd n h n??
43
? 幅频特性
? 相频特性
2
1
( ) ( ) s in ( )
N
n
H d n m??
?
? ?
( ) ( 1 ) 2 2N? ? ? ?? ? ? ?
44
? 网络结构
45
线性相位 FIR滤波器的零点分布
? 线性相位滤波器满足
? 线性相位 FIR滤波器的零点分布
( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ???
46
? 如果零点在 单位圆 上，则零点以 共轭对
出现；
? 如果零点在 实轴 上，则零点 互为倒数 出
现；
? 如果零点既在 单位圆 上，又在 实轴 上，
此时只有 一个 零点。
47
6.4.4 频率采样型结构
? 对系统函数取样
? 插值公式
? 频率采样型结构
2( ) ( ),0,1,2,,1jkNzeH k H z k N??? ? ?L
? ? 1 1
0
1 ( )( ) 1
1
N
N
k
k N
HkH z z
N W z
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k
H z H z H zN
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( ) 1 NcH z z ???
1
()()
1k kN
HkHz
Wz??? ?
48
H(Z)的第一部分
? 网络结构
49
? 差分方程
? 频率响应
? 幅度响应
( ) 1 NcH z z ???
1 ( ) ( ) ( )y n x n x n N? ? ?
2( ) 1 2 s i n
2
Nj
j j N
c
NH e e je ??? ??? ??? ? ? ??
??
( ) 2 s i n 2jc NHe ? ???? ????
50
? 零点分布
梳状滤波器有 N个零点，在单位圆上等
间隔分布。
2jk
Nkze
?
? 0,1,,1kN??L
51
梳状滤波器结构及其幅频特性
52
H(z)的第二部分
? 由 N个 一阶网络并联而成
? 每个一阶网络都是一个 谐振器,它们在 单位圆
上各有一个极点
? 这些谐振器的 极点 正好与梳状滤波器的 零点 相
抵消,从而使这些频率点上的频率响应等于
H(k)
2jk
k N
kNz W e
?
???
53
FIR滤波器的频率取样结构
54
频率采样结构的特点
? 优点
? 系数 H(k)就是滤波器在频率采样点
处的响应，因此控制滤波器的频率响应比
较方便。
2 k
N
?? ?
55
? 缺点
? 所有谐振网络的极点位于 单位圆 上，系
统稳定是靠这些 极点 与梳状滤波器在单
位圆上的 零点 对消来保证的。如果滤波
器的系数稍有误差，有些极点就 不能 被
零点所 抵消,从而导致系统 不稳定 。
? 所有的系数 H(k)和 都是复数，复数
相乘对硬件实现是不方便的。
kNW?
56
对频率采样结构的修正
? 将单位圆上的极零点向内收缩到半径为 r
的圆上,
如果由于某种原因，零极点 不能抵消 时，
极点位置 仍在单位圆内,保持系统 稳定 。
11rr??且
? ? 1 1
0
1 ( )( ) 1
1
N
NN
k
k N
HkH z r z
N r W z
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??
?
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57
? 将第 k和第 N-k个谐振器合并为一个实系
数二阶网络，从而将复数乘法运算变成
实数运算。
? N为偶数
? ? 2111
1
1 ( 0 ) ( 2 )( ) 1 ( )
11
N
NN
k
k
H H NH z r z H z
N r z r z
?
?
??
?
??? ? ? ?
?????? ?
58
修正的 FIR滤波器频率采样结构
59
? N为奇数
? ?
1( 1 ) 2
01
1
1 2 21
1 ( 0 )
( ) 1
21
1 2 c o s
N
NN kk
k
zH
H z r z
N r z
r k z r z
N
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?
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?
?
???
??
?? ?
? ? ?
? ??
?? ??
????
?
数字滤波器的基本结构
2
本章目录
? 数字滤波器的基本概念
? 无限脉冲响应滤波器的结构
? 有限脉冲响应滤波器的结构
3
? 数字滤波器 是指输入、输出均为 数字信
号,通过一定运算关系 改变 输入信号所
含 频率成分的相对比例 或者 滤除 某些频
率成分 的器件。
? 数字滤波器的 实现方法,
? 在专用数字信号处理硬件电路上实现
? 通过编写程序在计算机上实现
6.1 引言
4
? 数字滤波器的描述
? 数字滤波器的分类
6.2 数字滤波器的基本概念
5
? 一个数字滤波器可以用 差分方程 来描述,
10
( ) ( ) ( )
NM
kk
kk
y n a y n k b x n k
??
? ? ? ???
? 对应的系统函数,
0
1
()
()
()
1
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Yz
Hz
Xz
az
?
?
?
?
??
?
?
?
6.2.1 数字滤波器的描述
6
? 实现数字滤波器的 三种 基本运算单元,
? 加法器
? 单位延迟器
? 常数乘法器
? 基本的单元两种表示法,
? 方框图法
? 信号流图法
7
基本运算单元表示法
8
1 2 0( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )y n a y n a y n b x n? ? ? ? ?
? 差分方差,
数字滤波器表示法
9
6.2.2 数字滤波器的分类
? 经典滤波器
假定输入信号中有用成分和希望滤除的
成分各占 不同的频带,通过一个合适的 选
频 滤波器可以 滤除 干扰成分。
但是如果信号和噪声的频谱相互 重叠,
经典滤波器就 无法 将信号与噪声区分开。
? 现代滤波器
利用信号和噪声的 统计特征,从干扰中
提取最佳地提取信号。
10
? 低通滤波器
? 高通滤波器
? 带通滤波器
? 带阻滤波器
从功能上分类
11
四种滤波器的幅频特性
12
? 无限脉冲响应（ IIR）滤波器
? 有限脉冲响应（ FIR）滤波器
按脉冲响应的长度分类
13
? 差分方程
? 系统函数
? IIR滤波器在结构上存在输出到输入
的反馈
10
( ) ( ) ( )
NM
kk
kk
y n a y n k b x n k
??
? ? ? ???
0
1
()
()
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1
M
k
k
k
N
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k
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?
?
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?
?
IIR滤波器
14
? 差分方程
? 系统函数
? FIR滤波器的结构上不存在输出到输入的
反馈，信号流图中不存在环路 。
0
( ) ( )
M
k
k
y n b x n k
?
???
0
()
M
k
k
k
H z b z ?
?
? ?
FIR滤波器
15
? 直接型
? 正准型
? 级联型
? 并联型
6.3 无限脉冲响应滤波器的结构
16
6.3.1 直接型
17
? 直接型结构是由两个网络级联组成,
? 对线性非移变系统，有
? 交换两个网络次序，得到 正准型 结构
12( ) ( ) ( )H z H z H z??
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H z H z H z H z H z? ? ? ?
6.3.2 正准型
18
正准型结构
19
? 转置定理
如果将原网络中所有支路的方向加以 反
转,并 将输入和输出相互交换,则网络的
系统函数不会改变。
? 转置结构
转置结构
20
? 级联型表示
? ?
? ?
1
01
1
1 1
1
()
1 1
MM
k
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H z A
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?由于系统函数 的系数 和 都是 实数,因
此 和 是 实数 或者 共轭复数 。
()Hz
ka kb
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12
12
1 1 * 1
11
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6.3.3 级联型
21
? 将相互共轭的零点（极点）合并起来，形成一
个实系数的二阶多项式。
? ? ? ?
? ? ? ?
12
12
1 1 2
12
11
1 1 2
12
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?
? ? ?
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? 为了简化级联形式，将实系数的两个一阶因子
组合成二阶因子，则整个可写成实系数二阶因子
的形式,
12
12
12
1112
1( ) ( )
1
LL
kk
k
kk kk
zzH z A A H z
zz
??
??
??
??
??
????
????
22
?将相互共轭的零点（极点）合并起来，形成一个
实系数的二阶多项式。
? ? ? ?
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12
12
1 1 2
12
11
1 1 2
12
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?为了简化级联形式，将实系数的两个一阶因子组
合成二阶因子，则整个可写成实系数二阶因子的
形式,
12
12
12
1112
1( ) ( )
1
LL
kk
k
kk kk
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zz
??
??
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????
????
23
级联型结构
24
? 每一个基本节与滤波器的一对极点和一对零点
有关。
? 调整系数, 可以单独调整滤波器第 对零
点，而不影响其它零点、极点。
? 调整系数, 单独调整滤波器第 对极点，
而不影响其它零点、极点。
1k? 2k?
1k?
2k?
k
k
级联型结构的特点
25
6.3.4 并联型
? 并联型表示
? ?
? ? ? ?
12
0
1
1
1 1 * 1
1 1 0
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1
1
1 11
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B g zA
Cz
cz d z d z
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?
?
?
?
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? ? ?
?
?
?
? ? ?
? ??
?
?
? ? ?
26
并联型结构
27
? 并联结构可以 单独 调整 极点 位置。
? 但 不能 像级联型那样单独调整 零点 的位置，因
为并联型各子系统的零点，并非整个系统函数
的零点。
? 各并联基本节的误差相互没有影响，因此，并
联形式 运算误差最小 。
? 由于基本节并联，可同时对输入信号进行运算，
因此并联型结构 运算速度快 。
并联型结构的特点
28
6.4 有限脉冲响应（ FIR）滤波器的结构
? 直接型
? 级联型
? 线性相位结构
? 频率采样型结构
29
6.4.1 直接型
? FIR滤波器的差分方程
? FIR滤波器的直接型结构
? FIR滤波器的转置结构
0
( ) ( )
M
k
k
y n b x n k
?
???
30
6.4.2 级联型
? 级联型表示
? 级联型结构的特点
? 级联型结构每一个一阶因子控制一个实数零点
? 每一个二阶因子控制一对共轭零点。
? 调整零点位置比直接型方便。但是它所需要的系
数比直接型多，因而需要的乘法器多。
? ? ? ?121 1 1 20 1 0 1 2
0 00
( ) ( )
NNN
n
k k k k k
n kk
H z h n z z z z? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ??
? ? ? ? ?? ??
31
6.4.3 线性相位结构
? 滤波器的传输函数
为 幅频特性, 为 相频特性 。
? 线性相位特性
滤波器的 相移 和 频率 成 线性 关系
或
()( ) ( )jjH e H e? ? ???
()H ? ()??
? ????
0? ? ????
32
线性相位条件
? 如果 FIR滤波器的单位取样响应 h(n)为实
数，且满足
则滤波器具有线性相位。
( ) ( 1 )h n h N n? ? ? ?
33
当 h(n)为偶对称 h(n)=h(N-1-n)
? N为奇数
3
12
( 1 ) 2
0
1( ) ( )
2
N
N
n N m
n
NH z h n z z h z
?
????
??? ? ? ? ??
?
?????? ? ?
???? ???
? ?
1
1
2
2
0
( ) ( ) c os
1
( 0)
2
1
( ) 2
2
N
N
j
j
n
H e e a n n
N
ah
N
a n h n
?
?
?
?
???
?
??
??
?
? ??
???
? ??
?
??
? ??
?
?? ??
??
??
???
? ?
??
???
??
???
?
?
?
34
? 幅频特性
? 相频特性
? ?
1
2
0
( ) ( ) c o s
N
n
H a n n??
?
?
? ?
( ) ( 1 ) 2N? ? ?? ? ?
35
? 网络结构
36
? N为偶数
1
2
( 1 )
0
( ) ( ) ( )
N
n N n
n
H z h n z z
?
? ? ? ?
?
???
1 2
2
1
1
( ) ( ) c o s ( )
2
N
N
j
j
n
H e e b n n
?
? ?
???
? ??
??
?
??
?? ????
?? ??
??
??
?
( ) 2 2Nb n h n??????
??
37
? 幅频特性
? 相频特性
2
1
1( ) ( ) c o s ( )
2
N
n
H b n n??
?
????
?????
( ) ( 1 ) 2N? ? ?? ? ?
38
? 网络结构
39
当 h(n)为奇对称 h(n)=-h(N-1-n)
? N为奇数
3
2
( 1 )
0
( ) ( )
N
n N n
n
H z h n z z
?
? ? ? ?
?
???? ???
1
1 2
()
22
1
( ) ( ) s i n ( )
N
N
jj
n
H e e c n n
?
??
?
?
?
??
?
??
??
? ??
??
??
?
1( ) 2 [ ]
2
Nc n h n???
40
? 幅频特性
? 相频特性
1
2
1
( ) ( ) s i n ( )
N
n
H c n n??
?
?
? ?
( ) ( 1 ) 2 2N? ? ? ?? ? ? ?
41
? 网络结构
42
? N为偶数
1
2
( 1 )
0
( ) ( ) ( )
N
n N n
n
H z h n z z
?
? ? ? ?
?
???
1 2
()
22
1
1
( ) ( ) s i n ( )
2
N
N
jj
m
H e e d n m
?
??
?
?
?
?
??
?? ????
?? ??
??
??
?
( ) 2 ( )2Nd n h n??
43
? 幅频特性
? 相频特性
2
1
( ) ( ) s in ( )
N
n
H d n m??
?
? ?
( ) ( 1 ) 2 2N? ? ? ?? ? ? ?
44
? 网络结构
45
线性相位 FIR滤波器的零点分布
? 线性相位滤波器满足
? 线性相位 FIR滤波器的零点分布
( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ???
46
? 如果零点在 单位圆 上，则零点以 共轭对
出现；
? 如果零点在 实轴 上，则零点 互为倒数 出
现；
? 如果零点既在 单位圆 上，又在 实轴 上，
此时只有 一个 零点。
47
6.4.4 频率采样型结构
? 对系统函数取样
? 插值公式
? 频率采样型结构
2( ) ( ),0,1,2,,1jkNzeH k H z k N??? ? ?L
? ? 1 1
0
1 ( )( ) 1
1
N
N
k
k N
HkH z z
N W z
?
?
??
?
?? ??
1
0
1( ) ( ) ( )N
ck
k
H z H z H zN
?
?
? ?
( ) 1 NcH z z ???
1
()()
1k kN
HkHz
Wz??? ?
48
H(Z)的第一部分
? 网络结构
49
? 差分方程
? 频率响应
? 幅度响应
( ) 1 NcH z z ???
1 ( ) ( ) ( )y n x n x n N? ? ?
2( ) 1 2 s i n
2
Nj
j j N
c
NH e e je ??? ??? ??? ? ? ??
??
( ) 2 s i n 2jc NHe ? ???? ????
50
? 零点分布
梳状滤波器有 N个零点，在单位圆上等
间隔分布。
2jk
Nkze
?
? 0,1,,1kN??L
51
梳状滤波器结构及其幅频特性
52
H(z)的第二部分
? 由 N个 一阶网络并联而成
? 每个一阶网络都是一个 谐振器,它们在 单位圆
上各有一个极点
? 这些谐振器的 极点 正好与梳状滤波器的 零点 相
抵消,从而使这些频率点上的频率响应等于
H(k)
2jk
k N
kNz W e
?
???
53
FIR滤波器的频率取样结构
54
频率采样结构的特点
? 优点
? 系数 H(k)就是滤波器在频率采样点
处的响应，因此控制滤波器的频率响应比
较方便。
2 k
N
?? ?
55
? 缺点
? 所有谐振网络的极点位于 单位圆 上，系
统稳定是靠这些 极点 与梳状滤波器在单
位圆上的 零点 对消来保证的。如果滤波
器的系数稍有误差，有些极点就 不能 被
零点所 抵消,从而导致系统 不稳定 。
? 所有的系数 H(k)和 都是复数，复数
相乘对硬件实现是不方便的。
kNW?
56
对频率采样结构的修正
? 将单位圆上的极零点向内收缩到半径为 r
的圆上,
如果由于某种原因，零极点 不能抵消 时，
极点位置 仍在单位圆内,保持系统 稳定 。
11rr??且
? ? 1 1
0
1 ( )( ) 1
1
N
NN
k
k N
HkH z r z
N r W z
?
?
??
?
?? ??
57
? 将第 k和第 N-k个谐振器合并为一个实系
数二阶网络，从而将复数乘法运算变成
实数运算。
? N为偶数
? ? 2111
1
1 ( 0 ) ( 2 )( ) 1 ( )
11
N
NN
k
k
H H NH z r z H z
N r z r z
?
?
??
?
??? ? ? ?
?????? ?
58
修正的 FIR滤波器频率采样结构
59
? N为奇数
? ?
1( 1 ) 2
01
1
1 2 21
1 ( 0 )
( ) 1
21
1 2 c o s
N
NN kk
k
zH
H z r z
N r z
r k z r z
N
??
?
??
?
?
???
??
?? ?
? ? ?
? ??
?? ??
????
?
